Ecuaciones logarítmicas

Vista previa del material en texto

Ecuación logarítmica 
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Lic. Juan Gamarra Carhuas
Semana 31
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer la definición de cologaritmo y
antilogaritmo.
 Utilizar estrategias y desarrollar el apoyo
teórico en la resolución de los problemas.
 Resolver ecuaciones logarítmicas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
3. Antilogaritmo
4. Ecuación logarítmica .
2. Cologaritmo
5. Resolución de una E. logarítmica
6. Propiedad en la E. logarítmica
- ÁLGEBRA
Ecuaciones logarítmicas
Los logaritmos son una herramienta matemática
excelente para la solución de problemas propios de la
ciencia, como por ejemplo en la sismología.
Un sismo de magnitud 4.1 en la escala de Richter
se registró a las 14:42 horas en Huacho
27 Enero 2020
En sismología los logaritmos se utilizan para calcular la
intensidad de un sismo por medio del siguiente modelo
matemático
𝐼𝑅 = 𝑙𝑜𝑔
𝐴
𝑡
Donde
𝐼𝑅 : Intensidad del sismo (escala de Richter)
𝐴: Amplitud (micrómetros ) 1 micrómetro = 0,0001 cm
𝑡: periodo (tiempo en segundos que dura una oscilación)
¿Cuál es la intensidad de un sismo en la escala de
Richter si su amplitud es 9000 micrómetros y su
periodo es de 0,9 segundos?
Desafío 
- ÁLGEBRA
COLOGARITMO
Definición colog𝑏𝑁 = log𝑏
1
𝑁
𝑁 > 0
𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
Donde
Ejemplos
1. colog39 = log3
1
9
=−2
2. colog232 = log2
1
32
=−5
3. colog5
1
125
= log5125 = 3
De la definición ∶ colog𝑏𝑁 =−log𝑏𝑁
Ejemplos
1. colog39 =−log39 =−2
2. colog264 =−log264 =−6
3. colog 1000 = −𝑙𝑜𝑔 1000 =−3
ANTILOGARITMO
Definición antilog𝑏𝑥 = 𝑏
𝑥 𝑥 ∈ ℝ
𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
Donde
Ejemplos
1. antilog24 = 2
4= 16
2. antilog5(−2) = 5
−2=
1
25
3. antilog64
1
3
=
1
364 = 4
Propiedades
log𝑏 antilog𝑏𝑁 =𝑁 antilogb 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁 =𝑁
Ejemplos
• log4 antilog47 = 7
• log3 antilog3(−6) = −6
Ejemplos
• anti𝑙𝑜𝑔6 𝑙𝑜𝑔65 = 5
• anti𝑙𝑜𝑔 2 𝑙𝑜𝑔 2 9 = 9
- ÁLGEBRA
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplos
• log4𝑥 = 2
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se
encuentra afectado por el operador logaritmo
• log3 𝑥
2 + 1 = 𝑙𝑜𝑔3 2𝑥 + 9
Resolución de una ecuación logarítmica 
Para su resolución es recomendable reducir las
expresiones logarítmicas usando los teoremas
de logaritmos ya estudiados, además de lo
siguiente:
log𝑏𝑁 = 𝑥⟺𝑏𝑥= 𝑁
log𝑏𝑀 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁⟺𝑀 = 𝑁
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas.
• log2𝑥 = 5
𝑥 = 25 = 32 CS = {32}
• log𝑥 5𝑥 + 6 = 2
𝑥2 = 5𝑥+6
CS = {6}
𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0
𝑥
𝑥
− 6
1
𝑥 − 6 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = −1
Pero 𝑥 debe ser POSITIVO por ser base 𝑥 = 6
Definición de logaritmo
Propiedad
; 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
- ÁLGEBRA
• log 𝑥2 − 3 = log 5𝑥 − 7
𝑥2 − 3 = 5𝑥 − 7
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
𝑥
𝑥
−1
−4
𝑥 − 1 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4
Al reemplazar 𝑥=1 en la ecuación inicial, tenemos:
log −2 = log −2
No esta definido
CS = {4}
⟶ 1 NO es solución
Al reemplazar 𝑥=4 en la ecuación inicial, tenemos:
log 13 = log 13
• log3 𝑥
2 + 1 = log3 2𝑥 + 9
𝑥2 + 1 = 2𝑥 + 9
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0
𝑥
𝑥
− 4
2
𝑥 − 4 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −2
Ya que ambos valores verifican la ecuación
inicial, tenemos:
CS = { 4 ; −2 }
www.adun i . e d u . p e