Identificar los datos conocidos y los desconocidos. Observar la relación que guardan entre sí. Establecer la incógnita. Como incógnita se elige una de las cantidades desconocidas y las otras se relacionan con ella según el enunciado del problema. Plantear la ecuación. Es decir, expresar mediante una ecuación la relación existente entre los datos del problema y la incógnita. Resolver la ecuación y comprobar el resultado. Por lo tanto, el ejemplo de la imagen se resuelve fácilmente con una ecuación. Datos: Número: ???? Doble de dicho número: 2???? Cinco veces el propio número: 5???? Luego: 2???? + 249 = 5???? ⇒ 2???? − 5???? = −249 ⇒ −3???? = −249 ⇒ ???? = Entonces el número buscado es el 83. VEAMOS MÁS EJEMPLOS… (−249) (−3) ⇒ ???? = 83 MATEMÁTICA 1. La suma de las edades A y B es 84 años, se sabe que B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Lo más importante es definir la variable del problema. En este caso se tiene dos datos desconocidos (las edades A y B), pero la edad B está expresada en función de la edad A; entonces se define: Edad A = ???? Edad B = Edad A menos 8 = ???? − 8 Para plantear la ecuación, se debe utilizar el dato de que la suma de las edades es 84 años: Edad A + Edad B = 84 años Sustituyendo con lo que se ha definido, se tiene: ???? + ???? − 8 = 84 Resolviendo: ???? + ???? = 84 + 8 ⇒ 2???? = 92 ⇒ ???? = 92 2 ⇒ ???? = 46 Así, la edad A es 46 años y la edad B es 46 – 8 = 38 años. La verificación en los problemas es ver si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Así, en este caso, se obtuvo que la edad B es 38 años y la de A es 46 años, si se suman ambas edades, se verifica la suposición original. 2. La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años, y ambas edades suman 59 años. Hallar la edad de María y la de Rosa. Lo más importante es definir la variable del problema. En este caso se tiene dos datos desconocidos (las edades de María y de Rosa), pero sabemos que la edad de María está expresada en función a la edad de Rosa, entonces se define: Edad de Rosa: ???? Edad de María: 3???? + 15 Sabemos que la suma de las dos edades resulta 59 años, por lo tanto: Edad de Rosa + Edad de María = 59 ???? + 3???? + 15 = 59 4???? = 59 − 15 Ahora debemos hallar las edades: 44 ???? = 4 = 11 MATEMÁTICA Edad de Rosa = ???? ⇒ Rosa tiene 11 años Edad de María = 3???? + 15 = 3 * 11 + 15 = 48 ⇒ María tiene 48 años La verificación en los problemas consiste en corroborar si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Entonces si sumamos ambas edades nos debería dar 59; entonces: 11 + 48 = 59. Por lo tanto, se verifica la suposición original. 3. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la edad de Juan el triple de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno? Se puede realizar una representación gráfica de la siguiente manera: Expresando en términos de las incógnitas: Edad de Enrique: ???? Edad de Pedro: 2???? Edad de Juan: 3???? Edad de Eugenio: 6???? Luego nos dice que, si sumamos la edad de los 4, obtenemos 132 años. Es decir: ???????????????? ???????? ???????????????????????????? + ???????????????? ???????? ???????????????????? + ???????????????? ???????? ???????????????? + ???????????????? ???????? ???????????????????????????? = 132 Luego: ???? + 2???? + 3???? + 6???? = 132 ⟹ 12???? = 132 ⟹ ???? = 132 12 ⟹ ???? = 11 Ahora debemos hallar la edad de cada uno, para eso sustituimos ???? por 11 en las edades: MATEMÁTICA Edad de Enrique: ???? = 11 Edad de Pedro: 2???? = 2(11) = 22 Edad de Juan: 3???? = 3(11) = 33 Edad de Eugenio: 6???? = 6(11) = 66 Como sabemos, la verificación en los problemas consiste en corroborar si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Entonces si sumamos todas las edades nos debería dar 132; entonces: 11 + 22 + 33 + 66 = 132. Por lo tanto, se verifica la suposición original. 4. Halle tres números consecutivos cuya suma sea 249. Llamamos ???? al menor de los tres números. Los números consecutivos son ???? + 1, ???? + 2. Nos dice que, si sumamos esos tres números consecutivos, obtenemos 249, por lo que la ecuación resulta: ???? + ???? + 1 + ???? + 2 = 249 ⟹ 3???? + 3 = 249 ⟹ 3???? = 249 − 3 ⟹ ???? = Por lo tanto, los números buscados son: ???? = 82 ???? + 1 = 82 + 1 = 83 ???? + 2 = 82 + 2 = 84 246 3 ⇒ ???? = 82 Sabíamos que se pedía que la suma de tres números consecutivos sea 249. Verificando: 82 + 83 + 84 = 249, por lo tanto, se verifica la ecuación. 5. Hallar las dimensiones de una cancha de fútbol sabiendo que su perímetro es 104 ???????? y que la diferencia entre la longitud de la base y la de la altura es 12 ????????. Tenemos: Longitud de ????: ???? Longitud de ????: longitud de ???? + 12: ???? + 12 Además, sabemos que el perímetro se define como la suma de los 4 lados, y en este caso, nos indica que el perímetro es 104 ????????. Por lo tanto: ???? + ???? + ???? + ???? = 104 ⟹ 2???? + 2???? = 104 ⟹ 2???? + 2(???? + 12) = 104 ⇒ 2???? + 2???? + 24 = 104 ⟹ 4???? 80 Luego: = 104 − 24 ⟹ ???? = 4 ⟹ ???? = 20 Longitud de ????: ???? = 20 ???????? Longitud de ????: ???? + 12 = 20 + 12 = 32 Perímetro: 2???? + 2(???? + 12) = 2(20) + 2(20 + 12) = 104, por lo que se verifica la ecuación. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones son igualdades matemáticas donde se desconoce uno de los términos o números que componen esa igualdad. Cuando se menciona que es de segundo grado significa que el número desconocido (incógnita) está elevado a potencia dos, es decir, está multiplicado por sí mismo (????2). Por lo tanto, una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general: ????????2 + ???????? + ???? = 0, ???? ≠ 0 Donde ???? es la variable y ????, ???? y ???? son constantes; ???? es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), ???? es el coeficiente lineal y ???? es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje ???? son las raíces reales de la ecuación. Si la paráb