Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-3

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382	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
EJEMPLO 1 Simplifica 
Solución    Los denominadores en la fracción compleja son x2, x, y 5. Por lo tanto, 
el MCD de la fracción compleja es 5x2. Multiplicamos el numerador y el denomina-
dor por 5x2.
Para simplificar una fracción compleja multiplicando por el mínimo común 
denominador
 1. Determina el mínimo común denominador de todas las fracciones que aparecen en la 
fracción compleja. Éste es el MCD de la fracción compleja.
 2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por el MCD que se 
determinó en el paso 1.
 3. Simplifica cuando sea posible.
6.3 Fracciones complejas 
	 1 	 Reconocer	fracciones	
complejas.
	 2 	 Simplificar	fracciones	
complejas	multiplicando	
por	el	mínimo	común	
denominador	(MCD).
	3 	 Simplificar	fracciones	
complejas	simplificando		
el	numerador	y	el	
	denominador.
	1 	Reconocer	fracciones	complejas
Fracción compleja 
Una fracción compleja es una fracción que tiene una expresión racional en el numerador, 
en el denominador o en ambos.
Ejemplos	de	fracciones	complejas
La expresión que se encuentra sobre la línea principal de la fracción es el numerador, y la 
expresión que está debajo de ella es el denominador de una fracción compleja.
a + b
a
a - b
b
Simplificar una fracción compleja significa escribirla eliminando las fracciones de 
su numerador y de su denominador. Explicaremos dos métodos que se pueden utilizar 
para simplificar fracciones complejas: multiplicando por el mínimo común denominador 
(MCD) y simplificando el numerador y el denominador.
	2 	Simplificar	fracciones	complejas	multiplicando	
por	el	mínimo	común	denominador	
En el paso 2, en realidad se multiplica la fracción compleja por 
MCD
MCD
, lo cual es equiva-
lente a multiplicarla por 1.
numerador de la fracción compleja
línea principal de la fracción
denominador de la fracción compleja
2
3
5
, x + 1
x
4x
, x
y
x + 1
, a + b
a
a - b
b
, 9 +
1
x
1
x2
+
8
x
4
x2
-
3
x
x2
5
.
	 Sección	6.3	Fracciones	complejas		 383
 
Multiplica el numerador 
y el denominador por 
5x2.
 Propiedad distributiva
 Simplifica.
Resuelve ahora el ejercicio 13
EJEMPLO 2 Simplifica 
Solución    El MCD de la fracción compleja es ab.
 
Multiplica el numerador 
y el denominador por ab.
 Propiedad distributiva.
 Factoriza y simplifica.
Resuelve ahora el ejercicio 17
EJEMPLO 3 Simplifica 
Solución    Primero reescribimos cada expresión sin exponentes negativos.
 
 
Multiplica el numerador 
y el denominador por 
a2b2, el MCD de la 
fracción compleja.
 Propiedad distributiva. 
 
Resuelve ahora el ejercicio 43
 =
ab2 + a3
a3 - b
 =
 
a
 a2 
 
 
b2( 1
 a 
) + a2
 b2 ( a
 b2 )
a2
 b2 ( a
 b2 ) - a2 
 
 b2 
 
b
( 1
 a2 
 b 
)
 
 =
 a2
 b2 ( 1
a
+
a
b2 )
 a2
 b2 ( a
b2
-
1
a2
 b )
 
a-1 + ab-2
ab-2 - a-2
 b-1
=
1
a
+
a
b2
a
b2
-
1
a2
 b
a-1 + ab-2
ab-2 - a-2
 b-1
.
 =
a (ab + 3) 
b (ab + 3) 
=
a
b
 =
a2
 b + 3a
ab2 + 3b
 
a +
3
b
b +
3
a
=
 ab ( a +
3
b )
 ab ( b +
3
a )
a +
3
b
b +
3
a
.
 =
20 - 15x
x4
 =
 
5 x2 ( 4
 x2 ) -
 
5
 
x
 x2 
 
( 3
 x 
)
 5 x2( x2
 5 
)
 
4
x2
-
3
x
x2
5
=
 5x2 ( 4
x2
-
3
x )
 5x2 ( x2
5 )
384	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Comprendiendo 
el álgebra
Una	fracción	compleja	de	la	
forma	
	 			
se	puede	simplificar	multipli-
cando	el	numerador	por	el	
recíproco	del	denominador	
como	sigue:
a
b
c
d
= 
a
b
 , 
c
d
 = 
a
b
 # d
c
 = 
ad
bc
a
b
c
d
x + 3
18
x - 8
6
o
20 - 15x
x4
 =
5(4 - 3x)
x4
=
4 - 3x
x2
# 5
x2
=
4 - 3x
x2
x2
5
 =
4
x2
-
3x
x2
x2
5
 
4
x2
-
3
x
x2
5
=
4
x2
-
3
x
# x
x
x2
5
4
x2
-
3
x
x2
5
.
Aunque en el ejemplo 3 podríamos factorizar una a de ambos términos en el numerador 
de la respuesta, no seríamos capaces de simplificar más la respuesta dividiendo entre los 
factores comunes. De modo que dejamos la respuesta hasta ese punto.
	3 	Simplificar	fracciones	complejas	simplificando	
el	numerador	y	el	denominador
Para simplificar una fracción compleja simplificando el numerador y el 
denominador
 1. Suma o resta, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el numerador.
 2. Suma o resta, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el denominador.
 3. Multiplica por el numerador de la fracción compleja por el recíproco del denominador.
 4. Simplifica cuando sea posible.
El ejemplo 4 nos mostrará cómo el ejemplo 1 se puede simplificar por este segundo método.
EJEMPLO 4 Simplifica 
Solución    Restamos las fracciones del numerador para obtener una expresión ra-
cional. El denominador común de las fracciones del numerador es x2.
 
Obtén el común denominador en el 
numerador.
 
 
 
 Multiplica el numerador por el 
recíproco del denominador.
 
 
Ésta es la misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo 1.
Resuelve ahora el ejercicio 13
Consejo útil
Algunos estudiantes prefieren el segundo método cuando la fracción compleja consta de una 
sola fracción sobre otra sola fracción, tal como
Para fracciones más complejas, muchos estudiantes optan por el primer método, ya que de 
esta manera no tienen que sumar fracciones.
	 Sección	6.3	Fracciones	complejas		 385
CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.3 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
numerador denominador fracción compleja recíproco opuesto
 1. Una es una fracción que tiene una expre-
sión racional en su numerador o en su denominador o en 
ambos.
 2. La expresión que se encuentra sobre la línea principal de la 
fracción es el de la fracción compleja.
 3. La expresión que se encuentra debajo de la línea principal de 
la fracción es el de la fracción compleja.
 4. Una fracción compleja de la forma se puede simplificar 
multiplicando el numerador por el del 
denominador.
Practica tus habilidades
Simplifica.
.8.7.6.5
.21.11.01.9
13. .61.51.41
17. .02.91.81
.42.32.22.12
.82.72.62.52
.13.03.92
.43.33.23
.63.53
1
x2 + 5x + 4
+
2
x2 + 2x - 8
2
x2 - x - 2
+
1
x2 - 5x + 6
2
a2 - 3a + 2
+
2
a2 - a - 2
2
a2 - 1
+
2
a2 + 4a + 3
2
x2 + x - 20
+
3
x2 - 6x + 8
2
x2 + 3x - 10
+
3
x2 + 2x - 24
3
x2 -
1
x
+
2
x - 2
1
x
2
m
+
1
m2 +
3
m - 1
6
m - 1
5
5 - x
+
6
x - 5
3
x
+
2
x - 5
a - 2
a + 2
-
a + 2
a - 2
a - 2
a + 2
+
a + 2
a - 2
a + 1
a - 1
+
a - 1
a + 1
a + 1
a - 1
-
a - 1
a + 1
2
x - 1
+ 2
2
x + 1
- 2
1 +
x
x + 1
2x + 1
x - 1
x
4
-
1
x
1 +
x + 4
x
a
a + 1
- 1
2a + 1
a - 1
x2 - y2
x
x + y
x4
4x + 8
3x2
4x3
9
7 -
x
y
x
y
- 7
a
b
- 6
-a
b
+ 6
1
m
+
9
m2
2 +
1
m2
x
y
-
y
x
x + y
x
x -
4
y
y -
4
x
a2
b
- b
b2
a
- a
3 -
1
y
2 -
1
y
2
a
+
1
2a
a +
a
2
4
x
+
2
x2
2 +
1
x
x +
5
y
1 +
x
y
a +
2a
b
7 + a
b
x -
x
y
8 + x
y
3a4
 b3
7b4
 c
15a2
 b6
14ac7
10x3
 y2
9yz4
40x4
 y7
27y2
 z8
40x3
7y5
 z5
8x2
 y2
28x4
 z5
36x4
5y4
 z5
9xy2
15z5
6x
y2
3y
5
15a
b2
b3
5
386	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
a) b)
1
3
2
5
E =
1
2
 h
h +
1
2
61. Si define 
62. Si define f(f(a)).f(x) =
2
x + 2
,
f(f(a)).f(x) =
1
x
,
f = (p-1 + q-1)-1
RT =
1
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
RT =
1
1
R1
+
1
R2
.04.93.83.73
.24.14 43. 44.
.64.54 .84.74
.25.15.05.94
4m-1 + 3n-1 + (2mn)-1
5
m
+
7
n
2
xy
-
8
y
+
5
x
3x-1 - 4y-2
7
x
+
1
y
(x - y)-1
5x-1 - (3y)-1
4a-1 - b-1
(a - b)-1
a-1 + b-1
(a + b)-1
x-2 +
3
x
3x-1 + x-2
9a
b
+ a-1
b
a
+ a-1
xy-1 + x-1
 y-2
x-1 - x-2
 y-1
a-2 - ab-1
ab-2 + a-1
 b-1
x-1 - y-1
x-1 + y-1
a-1 + 1
b-1 - 1
a-1 + b-1
5
ab
2
xy
x-1 - y-1
(a-2 + b)-1(a-1 + b-1)
- 1
.45.35
.65.55
x2 11x 18
x2 x 6
w 
x2 17x 72
x 3
A 
l
(x 2)
x2 8x 7
x2 4x 5
w 
x2 11x 28
x 5
A 
l
(x 1)
x2 11x 24
x2 3x 4
w 
x2 10x 16
x 4
A 
l
(x 1)
x2 6x 5
x2 5x 6
w 
x2 12x 35
x 3
A 
l
 57. Gato mecánico La eficiencia de un gato mecánico,E, está 
dada por la fórmula
donde h está determinada por el paso de la rosca del gato 
mecánico.
Determina la eficiencia de un gato mecánico cuyos valores de h son:
Paso
	 
 58. Resistores Si se conectan en paralelo dos resistores con re-
sistencia R1 y R2, podemos determinar su resistencia combi-
nada, RT, mediante la fórmula
 Simplifica el lado derecho de la fórmula.
 59. Resistores Si se conectan en paralelo tres resistores con 
resistencia R1, R2 y R3, podemos determinar su resistencia 
combinada mediante la fórmula.
 
 Simplifica el lado derecho de la fórmula.
 60. Óptica Una fórmula que se utiliza en el estudio de la óptica es
donde p es la distancia del objeto respecto de una lente, q es 
la distancia de la imagen respecto de la lente y f es la longi-
tud focal de la lente. Expresa el lado derecho de la fórmula 
sin exponentes negativos.
 
Simplifica.
Resolución de problemas
Área Para los ejercicios 53-56, se da el área y el ancho de cada rectángulo. En cada caso, determina la longitud, l, mediante la división 
del área, A, entre el ancho, w.
	 
	 
	 Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 387
.56.46.36
.86.76.66
.17.07.96
1
2a +
1
2a +
1
2a
1
x +
1
x +
1
x + 1
1
2 +
1
2 +
1
2
f(x) =
3
x2f(x) =
1
x2f(x) =
6
x - 1
f(x) =
1
x + 1
f(x) =
5
x
f(x) =
1
x
f(a + h) - f(a)
h
.
3
5
6
-x - 5
3
6 6
ƒ - 
3
9 ƒ - ( - 
5
9
) # ƒ - 
3
8 ƒ
ƒ -5 - (-3) ƒ
.
4x - 9 = -2y
 6x + 2y = 5
ƒx - 1 ƒ = ƒ2x - 4 ƒ .
 x = -5
 x + 2 = -3
 3x + 2 = 2x - 3
 4(3x
4 ) + 4( 1
2 ) = 2x - 3
 4 ( 3x
4
+
1
2
) =
2x - 3
4
# 4
3x
4
+
1
2
=
2x - 3
4
.
Problemas de desafío
Para cada función, determina 
Simplifica.
 
Ejercicios de repaso acumulados
[1.4] 72. Evalúa
[2.5] 73. Resuelve y proporciona la res-
puesta en notación de intervalo.
[2.6] 74. Resuelve
[3.5]	 75. Determina si las dos rectas representadas por las si-
guientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares o 
ninguna de éstas.
6.4 Resolución de ecuaciones racionales 
	 1 	 Resolver	ecuaciones	
racionales.
	 2 	 Verificar	soluciones.
	3 	 Resolver	proporciones.
	4 	 Resolver	problemas	que	
incluyen	funciones	
racionales.
	 5 	 Resolver	problemas	de	
aplicación	mediante	
expresiones	racionales.
	 6 	 Despejar	una	variable	en	
una	fórmula	con	expresio-
nes	racionales.
	1 	Resolver	ecuaciones	racionales
Una ecuación racional es una ecuación que contiene al menos una expresión racional.
Para resolver ecuaciones racionales
 1. Determina el MCD de todas las expresiones racionales de la ecuación.
 2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCD. Esto dará por resultado que todos 
los términos de la ecuación queden multiplicados por el MCD.
 3. Elimina los paréntesis y reduce los términos semejantes de cada lado de la ecuación.
 4. Resuelve la ecuación utilizando las propiedades analizadas en secciones anteriores.
 5. Verifica la solución en la ecuación original.
EJEMPLO 1 Resuelve 
Solución    Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 4. Después uti-
lizamos la propiedad distributiva, lo que da como resultado fracciones eliminadas de 
la ecuación.
 Multiplica ambos lados por 4.
 Propiedad distributiva.
 
 Resta 2x de ambos lados.
 Resta 2 de ambos lados.
La comprobación mostrará que ]5 es la solución.
Resuelve ahora el ejercicio 15
En el paso 2, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD para eliminar 
 fracciones.
388	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
.
 x = 1 x = -6
 x - 1 = 0 o x + 6 = 0
 (x - 1)(x + 6) = 0
 x2 + 5x - 6 = 0
 x2 - 6 = -5x
 x(x) - x ( 6
 x 
) = -5x
 x # ( x -
6
x ) = -5 # x
x -
6
x
= -5.
2
 
5
2
 =
5
2
 
8
2
-
3
2
 =
5
2
 4 -
3
2
 =
5
2
 4 -
3
x
 =
5
2
 x = 2
 3x = 6
 3x - 6 = 0
 8x - 6 = 5x
 2x(4) - 2x( 
3
x
 ) = ( 
5
2
 ) 2x
 2x ( 4 -
3
x
 ) = ( 
5
2
 ) x
 4 -
3
x
 =
5
2
4 -
3
x
 = 
5
2
	2 	Verificar	soluciones
Cuando resolvemos una ecuación racional con una variable en algún denominador, es 
posible obtener un valor que haga 0 al denominador. Dado que la división entre 0 es inde-
finida, el valor que hace 0 al denominador no es una solución y es llamada solución extraña 
o raíz extraña. Siempre que aparezca una variable en algún denominador, deberás verificar 
el valor obtenido en la ecuación original. 
EJEMPLO 2 Resuelve 
Solución    El MCD es 2x.
 
 Multiplica ambos lados por el MCD, 2x.
 Propiedad distributiva. 
 
 Resta 5x de ambos lados.
 Suma 6 en ambos lados.
 Divide ambos lados entre 3. 
Verifica 
 Sustituye 2 por x.
 Reescribe 4 como 82
 Verdadero
Se verifica en la ecuación original que x = 2, por lo tanto, es una solución.
Resuelve ahora el ejercicio 21
EJEMPLO 3 Resuelve 
Solución    Multiplica ambos lados por el 
MCD, x.
 Propiedad distributiva.
 
 
 
Al verificar 1 y 6 se demostrará que ambos números son soluciones para la ecuación.
Resuelve ahora el ejercicio 35