Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-30

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524	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Ejercicios de repaso acumulados
 [1.4] 61. Evalúa 2[4(5 2 3)3] 1 24.
	[2.2]	 62. Despeja R de IR 1 Ir 5 E.
	[6.2] 63. Suma 
r
r - 4
-
r
r + 4
+
32
r2 - 16
.
	[7.2] 64. Simplifica ax3>4
 y-2
x1>2
 y2
b
8
.
	[7.6]	65.	Resuelve "x2 + 3x + 12 = x.
Ejercicios de conceptos y escritura
	 55.	Escribe un problema de movimiento y resuélvelo.
	 56.	Escribe un problema de trabajo y resuélvelo.
	 57.	En general, si utilizamos la propiedad de la raíz cuadrada 
o la fórmula cuadrática para despejar una variable de una 
fórmula, solo utilizaremos la raíz cuadrada positiva. Explica 
por qué.
	 58.	Supón que P = 2 + 2 es una fórmula real. Al despejar 
 se obtiene = "P - 2 . Si representa un número 
real, ¿qué relación debe existir entre P y ?
Problemas de desafío
	 59.	Área El área de un rectángulo es de 18 metros cuadrados. 
Cuando la longitud se incrementa en 2 metros y el ancho en 
3, el área es de 48 metros cuadrados. Determina las dimen­
siones del rectángulo más pequeño.
	 60.	Área El área de un rectángulo es de 35 pulgadas cuadra­
das. Cuando la longitud se disminuye en 1 pulgada y el an­
cho se aumenta en 1 pulgada, el área del nuevo rectángulo 
es de 36 pulgadas cuadradas. Determina las dimensiones del 
rectángulo original.
Prueba de mitad de capítulo: 5.1-5.4
Para determinar tu comprensión del tema que se ha abordado hasta el momento, resuelve esta pequeña prueba. Las respuestas y la 
sección en donde se trató el tema por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repasa el tema de las preguntas que respondiste 
de forma incorrecta.
Utiliza la propiedad de la raíz cuadrada para resolver cada 
ecuación.
1.
2.
3. 12m + 72 2 = 36
1a - 32 2 + 20 = 0
x2 - 12 = 86
Resuelve la ecuación completando el cuadrado.
4.
5.
6. 4c2 + c = -9
3a2 - 12a - 30 = 0
y2 + 4y - 12 = 0
	7.	 Patio El patio de una casa es un cuadrado, donde la diago­
nal es 6 metros mayor que un lado. Determina la longitud de 
un lado del patio.
	8.	 a)	 Proporciona la fórmula para el discriminante de una ecua­
ción cuadrática.
	 b) Explica cómo determinar si una ecuación cuadrática tie­
ne dos soluciones reales, una solución real o ninguna so­
lución real.
		9.	 Utiliza el discriminante para determinar si la ecuación 
2b2 2 6b 2 11 5 0 tiene dos distintas soluciones reales, 
una solución real o ninguna solución real.
Resuelve cada ecuación mediante la fórmula cuadrática.
	10.	 6n2 1 n 5 15
11.
12. 3d2 - 2d + 5 = 0
p2 = -4p + 8
En los ejercicios 13 y 14, determina una ecuación que tenga las 
soluciones dadas.
13.
14. 2 + !5, 2 - !5
7, -2
	15.	 Lámparas	 	 Una empresa vende n lámparas, n  20, a un 
precio de (60 2 0.5n) dólares por lámpara. ¿Cuántas lámpa­
ras deben venderse para tener un ingreso de $550?
En los ejercicios 16-18, despeja la variable que se indica. Supón 
que todas las variables son positivas.
16.
17.
18. D = "x para y2 + y2
A =
1
3
 kx para x2
y = x2 - r para r2
	19.	 Área	 	 La longitud de un rectángulo es dos pies mayor que el 
doble del ancho. Determina las dimensiones, si su área es de 
60 pies cuadrados.
	20.	 Relojes	 	 La utilidad de una compañía que vende n relojes es 
p(n) 5 2n2 1 n 2 35, donde p(n) está en cientos de dólares. 
¿Cuántos relojes deben venderse para tener una utilidad de 
$2000?
	 Sección	8.4	 	 Expresar	ecuaciones	en	forma	cuadrática	 525
8.4 Expresar ecuaciones en forma cuadrática
	1 	 Solución	de	ecuaciones	
con	forma	cuadrática.
	2 	 Solución	de	ecuaciones	
con	exponentes		
racionales.
	1 	Solución	de	ecuaciones	con	forma	cuadrática
En esta sección, resolveremos ecuaciones que no son cuadráticas, pero pueden ser reescri­
tas en la forma de una ecuación cuadrática.
Dada una ecuación en la forma cuadrática, haremos una sustitución para re­
escribir la ecuación en la forma au2 1 bu 1 c 5 0. Por ejemplo, considera la ecuación 
2(x 2 3)2 1 5(x 2 3) 2 7 5 0.
Haremos u 5 x 23. Entonces, u2 5 (x 2 3)2, y la ecuación puede reescribirse como 
sigue 
2 u2 + 5 u - 7 = 0
¯˘˙ ¯˘˙
2 1x - 32 2 + 5 1x - 32 - 7 = 0
La ecuación 2u2 1 5u 2 7 5 0 se puede resolver mediante factorización, completando el 
cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática. Otros ejemplos se muestran en la siguiente 
tabla.
Ecuación	en	la	forma	cuadrática Sustitución Ecuación	con	la	sustitución
y4 - y2 - 6 = 0 u = y2 u2 - u - 6 = 0
2 1x + 52 2 - 5 1x + 52 - 12 = 0 u = x + 5 2u2 - 5u - 12 = 0
x2>3 + 4x1>3 - 3 = 0 u = x1>3 u2 + 4u - 3 = 0
Para solucionar las ecuaciones en la forma cuadrática, utilizamos el procedimiento 
siguiente.
EJEMPLO 1
	 a) Resuelve x4 2 5x2 1 4 5 0.
	 b) Determina las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función 
f (x) 5 x4 2 5x2 1 4.
Solución
	 a) Para obtener una ecuación en la forma cuadrática, hacemos u 5 x2. 
Entonces u2 5 (x2)2 5 x4.
u2 - 5u + 4 = 0
1x22 2
- 5x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 4 = 0
se reemplazó por (x2)2.
se reemplazó por u.
Una ecuación que puede reescribirse en la forma au2 1 bu 1 c 5 0 para a  0, en donde u 
es una expresión algebraica, se dice que está en la forma	cuadrática.
Ecuaciones en la forma cuadrática
Comprendiendo 
el álgebra
En	general,	cuando	reescribi-
mos	una	ecuación	que	está	en	
la	forma	cuadrática,	hacemos	
u	igual	a	la	variable	de	“en	
medio”,	sin	el	coeficiente	
numérico.	Por	ejemplo,	en	la	
ecuación	4a - 5!a + 1 = 0,	
hacemos	u = !a.	Como	
u2 = 1 !a2 2 = a,	la	ecua-
ción	se	transforma	en	
4u2 - 5u + 1 = 0.
	 1.	 Realiza una sustitución que resulte en una ecuación de la forma au2 1 bu 1 c 5 0, 
a  0, donde u es una función de la variable original.
	 2.	 Despeja u en la ecuación au2 1 bu 1 c 5 0.
	 3.	 Reemplaza u con la función de la variable original del paso 1 y resuelve la ecuación 
resultante para la variable original.
	 4.	 Comprueba si hay soluciones extrañas, sustituyendo las soluciones aparentes en la 
ecuación original.
Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática
526	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Ahora tenemos una ecuación cuadrática que podemos solucionar por factori­
zación
u = 4 u = 1
u - 4 = 0 o u - 1 = 0
1 u - 42 1 u - 12 = 0
u2 - 5u + 4 = 0
A continuación, reemplazamos u por x2 y resolvemos para x.
u se reemplazó por x2.
Propiedad de la raíz cuadrada
x = �2 x = �1
x = �!4 x = �!1
x2 = 4 x2 = 1
u = 4 u = 1
Comprueba las cuatro soluciones posibles en la ecuación original.
x 2 x 2 x 1 x 1
x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 4 = 0
24 - 5 122 2 + 4 0 1 -22 4 - 5 1 -22 2 + 4 0 14 - 5 112 2 + 4 0 1 -12 4 - 5 1 -12 2 + 4 0
16 - 20 + 4 0 16 - 20 + 4 0 1 - 5 + 4 0 1 - 5 + 4 0
0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0
Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero
Por lo tanto, las soluciones son 2, 22, 1 y 21.
	 b)	 Las intersecciones con el eje x ocurren donde f (x) 5 0. Por consiguiente, la grá­
fica cruzará el eje x en las soluciones de la ecuación x4 2 5x2 1 4 5 0.
�3, 3, 1, �3, 6, 1FIguRA	 8.6	 	
Del inciso a), sabemos que las soluciones son 2, 22, 1 y 21. Por lo tanto, las 
intersecciones con el eje x son (2, 0), (22, 0), (1, 0) y (21, 0). La Figura	8.6 es la 
gráfica de f (x)5 x4 2 5x2 1 4x 5 0 como se ilustra en una calculadora graficado­
ra. Observa que la gráfica cruza el eje x en x 5 2, x 5 22, x 5 1 y x 5 21.
Resuelve ahora el ejercicio 7
EJEMPLO  2 Resuelve p4 1 2p2 5 8.
Solución    Haremos u 5 p2, entonces u2 5 (p2)2 5 p4.
se igualó la ecuación a 0.
p4 se escribió como (p2)2.
p2 se sustituyó por u.
u = -4 u = 2
u + 4 = 0 o u - 2 = 0
1u + 42 1 u - 22 = 0
u2 + 2u - 8 = 0
1 p22 2
+ 2p2 - 8 = 0
p4 + 2p2 - 8 = 0
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	que	las	interseccio-
nes	con	el	eje	x	de	una	fun-
ción	son	los	puntos	en	que	la	
gráfica	cruza	el	eje	x.	Las	inter-
secciones	con	el	eje	x	siempre	
tienen	una	coordenada	y	igual	
a	0.	Para	determinar	las	inter-
secciones	con	el	eje	x	de	una	
función,	establecemos	el	valor	
de	y	o	f (x)	5	0	y	resolvemos	
para	x.
	 Sección	8.4	 	 Expresar	ecuaciones	en	forma	cuadrática	 527
A continuación, sustituimos de nuevo u por p2 y resolvemospara p.
p = �2i
p = �!-4 p = �!2
p2 = -4 p2 = 2 u se reemplazó por p2.
Propiedad de la raíz cuadrada.
Verifica las cuatro soluciones posibles en la ecuación original.
p = 2i p = -2i p = !2 p = -!2
p4 + 2p2 = 8 p4 + 2p2 = 8 p4 + 2p2 = 8 p4 + 2p2 = 8
1 2i2 4 + 21 2i2 2 8 1 -2i2 4 + 21 -2i2 2 8 1 !22 4 + 21 !22 2 8 1 -!22 4 + 21 -!22 2 8
24i4 + 21 222 1 i22 8 1 -22 4i4 + 21 -22 2i2 8 4 + 21 22 8 4 + 21 22 8
161 12 + 81 -12 8 161 12 + 81 -12 8 8 = 8 8 = 8
16 - 8 = 8 16 - 8 = 8
Verdadero Verdadero
VerdaderoVerdadero
Por lo tanto, las soluciones son 2i, -2i, !2, y -!2.
Resuelve ahora el ejercicio 17
EJEMPLO  3  Resuelve 4(2w 1 1)2 2 16(2w 1 1) 1 15 5 0.
Solución Haremos u 5 2w 1 1, entonces, u2 5 (2w 1 1)2 y la ecuación se convier­
te en 
4u2 - 16u + 15 = 0
4 12w + 12 2 - 16 12w + 12 + 15 = 0
2w 1 1 se sustituyó por u.
Ahora podemos factorizar y resolver.
u =
3
2
u =
5
2
 2u = 3 2u = 5
 2u - 3 = 0 o 2u - 5 = 0
1 2u - 32 1 2u - 52 = 0
A continuación, sustituimos u por 2w 1 1 y despejamos w.
u se sustituyó por 2w 1 1.
w =
1
4
w =
3
4
 2w =
1
2
2w =
3
2
2w + 1 =
3
2
2w + 1 =
5
2
Una comprobación mostrará que 
1
4
 y 
3
4
 son soluciones de la ecuación original.
Resuelve ahora el ejercicio 29
EJEMPLO  4  Determina las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función 
f (x) 5 2x22 1 x21 2 1.
Solución    Las intersecciones con el eje x ocurren donde f (x) 5 0. Por lo tanto, 
para determinar las intersecciones con el eje x debemos resolver la ecuación
2x22 1 x21 2 1 5 0
Consejo útil
En ocasiones los estudiantes despejan u en la ecuación, pero luego olvidan terminar el pro­
blema despejando la variable original. Recuerda que si la ecuación original está en térmi­
nos de x, debes obtener los valores para x.
528	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
EJEMPLO  5  Resuelve x2>5 + x1>5 - 6 = 0.
Solución Hacemos u = x1/5, entonces, u2 = Ax1>5B 2 = x2>5. La ecuación se trans­
forma en
u = -3 u = 2
u + 3 = 0 o u - 2 = 0
1u + 32 1 u - 22 = 0
u2 + u - 6 = 0
Ax1>5B 2
+ x1>5 - 6 = 0
Sustituimos x1>5 por u.
Ahora sustituimos u por x1>5 y elevamos ambos lados de la ecuación a la quinta po­
tencia para eliminar los exponentes racionales.
x = -243 x = 32
Ax1>5B 5
= 1 -32 5 Ax1>5B 5
= 25
x1>5 = -3 o x1>5 = 2
Las dos posibles soluciones son 2243 y 32. Recuerda que siempre que elevas ambos 
lados de una ecuación a una potencia, como hiciste aquí, necesitas comprobar si hay 
soluciones extrañas.
Verifica x = -243 x = 32
x2>5 + x1>5 - 6 = 0 x2>5 + x1>5 - 6 = 0
1-2432 2>5 + 1-2432 1>5 - 6 0 1322 2>5 + 1 322 1>5 - 6 0
A!5 -243 B2 + !5 -243 - 6 0 A!5 32 B2 + !5 32 - 6 0
1 -32 2 - 3 - 6 0 22 + 2 - 6 0
9 - 3 - 6 0 4 + 2 - 6 0
Verdadero0 = 0 Verdadero0 = 0
Como ambos valores satisfacen la ecuación, las soluciones son 2243 y 32.
Resuelve ahora el ejercicio 63
Haremos u 5 x21, entonces, u2 5 (x21)2 5 x22.
u =
1
2
u = -1
 2u - 1 = 0 o u + 1 = 0
1 2u - 12 1 u + 12 = 0
2u2 + u - 1 = 0
21 x -12 2
+ x -1 - 1 = 0
x21 se sustituyó por u.
Ahora sustituimos u por x21.
x = 2 x = -1
1
x
=
1
2
1
x
= -1
x -1 =
1
2
o x -1 = -1
Una comprobación mostrará que 2 y 21 son soluciones de la ecuación original. Por 
lo tanto, las intersecciones con el eje x son (2,0) y (21,0).
Resuelve ahora el ejercicio 61
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	del	capítulo	1	que	
una	expresión	elevada	a	un	
exponente	negativo	puede	
escribirse	del	modo	siguiente:
a-m =
1
am, a Z 0
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	del	capítulo	7	que	
una	expresión	con	exponen-
tes	racionales	puede	reescri-
birse	como	una	expresión	
radical	utilizando	la	regla	
siguiente:
1 !n a2 mam>n =
	2 	Solución	de	ecuaciones	con	exponentes	racionales
En nuestros siguientes dos ejemplos, mientras resolvemos las ecuaciones que están en forma 
cuadrática, elevaremos ambos lados de la ecuación a una potencia para eliminar los expo­
nentes racionales (o radicales). Recuerda del capítulo 7, que cada vez que elevamos ambos 
lados de una ecuación a una potencia, es posible introducir soluciones extrañas. Por lo tanto, 
siempre que elevemos ambos lados de una ecuación con exponentes racionales a una potencia, 
debes comprobar todas las soluciones aparentes en la ecuación original.