Tema IV Ecuacion y funcion cuadratica - Lucia Appelhanz (1)

Vista previa del material en texto

lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
1 
 
Tema IV: Ecuación e Inecuación Cuadrática 
Ecuaciones cuadráticas 
En esta sección examinamos las ecuaciones polinomiales de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. 
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial que puede escribirse en la forma estándar: 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 (1) 
𝑎𝑥2 es el término cuadrático 
𝑏𝑥 es el término lineal 
𝑐 es el término independiente. De acuerdo a los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 las ecuaciones cuadráticas pueden 
ser: 
a) Completas: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 no son nulos ⇒ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
b) Incompletas: {
𝑏 y 𝑐 son ceros ⇒ la ecuación queda 𝑎𝑥2 = 0
𝑐 = 0 ⇒ la ecuación queda 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑏 = 0 ⇒ la ecuación queda 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
 
 
Muchos problemas sobre objetos en movimiento implican ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, si se 
lanza un globo de agua con una velocidad inicial de 48 pies/s directamente hacia abajo desde una 
ventana de un dormitorio 64 pies arriba del suelo, la altura s (en pies) arriba del suelo después de 𝑡 
segundos está dada por 
𝑠(𝑡) = −16𝑡2 − 48𝑡 + 64 
Cuando el globo golpea el suelo, su altura s es igual a 0, por lo que hallamos el tiempo transcurrido al 
solucionar 
−16𝑡2 − 48𝑡 + 64 = 0 
Al dividir entre −16, esta ecuación equivale a 
𝑡2 + 3𝑡 − 4 = 0 
Veremos a continuación como resolver este tipo de ecuaciones. 
Método del Factor 
Para que podamos resolver muchos tipos de ecuaciones, haremos uso del siguiente teorema 
Teorema: Si 𝑝 y 𝑞 son expresiones algebraicas, entonces 
𝑝𝑞 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑝 = 0 ∨ 𝑞 = 0. 
El teorema del factor cero se puede extender a cualquier número de expresiones algebraicas, es decir, 
𝑝𝑞𝑟 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑝 = 0 ∨ = 0 ∨ 𝑟 = 0. 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
2 
 
y así sucesivamente. Se deduce que si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se pueden escribir como un producto de dos 
polinomios de primer grado, entonces se pueden hallar soluciones al igualar a 0 cada uno de los 
factores, como se ilustra en los siguientes dos ejemplos. Esta técnica se conoce como método de 
factorización. 
Ejemplo: 
1) Resuelva la ecuación 3𝑥2 = 10 − 𝑥. 
Para usar el método de factorización, es esencial que sólo el número 0 aparezca en un lado de 
la ecuación. Así, procedemos como sigue: 
 
 3𝑥2 = 10 − 𝑥
 3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0
 
(3𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0
 
 
3𝑥 − 5 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0
 𝑥 =
5
3
 ∨ 𝑥 = −2 
 
Por lo tanto, el conjunto solución es 𝐶𝑆 = {
5
3
, −2} 
2) Resuelva la ecuación 𝑥2 + 16 = 8𝑥. 
 𝑥2 + 16 = 8𝑥
 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0
 
 
(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) = 0
 
 
 𝑥 − 4 = 0 ∨ 𝑥 − 4 = 0
 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 4
 
 
Por lo tanto, el conjunto solución es 𝐶𝑆 = {4} 
 
Observación: Como 𝑥 − 4 aparece como factor dos veces en la solución previa, a 4 lo llamamos raíz 
doble o raíz de multiplicidad 2 de la ecuación 𝑥2 + 16 = 8𝑥. 
 
 
Método de la raíz cuadrada 
 
Si una ecuación cuadrática tiene la forma especial 
 𝑥2 = 𝑑, 𝑐𝑜𝑛 𝑑 ≥ 0, (2) 
la resolvemos factorizando: 
 𝑥2 − 𝑑 = 0
(𝑥 − √𝑑)(𝑥 + √𝑑) = 0 
 
lo que da por resultado 𝑥 = √𝑑 𝑜 𝑥 = −√𝑑. Otro método para resolver la ecuación dada es obtener la 
raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación. Esto se resume como el método de raíz cuadrada: 
𝑆𝑖 𝑥2 = 𝑑, 𝑐𝑜𝑛 𝑑 ≥ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = ±√𝑑. 
 
 
 
 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
3 
 
Metodo de completar cuadrados 
 
Cuando una expresión cuadrática no puede factorizarse fácilmente y la ecuación no tiene la forma 
especial (2), podemos hallar las raíces completando el cuadrado. Esta técnica se aplica a la expresión 
cuadrática de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; es decir, la expresión cuadrática debe tener 1 como su coeficiente 
principal. Reescribimos la ecuación 
 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (3) 
de modo que los términos que tengan la variable 𝑥 queden en el miembro izquierdo de la ecuación: 
𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 
Luego agregamos (
𝑏
2
)
2
 a ambos miembros de esta última ecuación: 
𝑥2 + 𝑏𝑥 + (
𝑏
2
)
2
= −𝑐 + (
𝑏
2
)
2
 
Ahora, el miembro izquierdo de la ecuación resultante es un cuadrado perfecto: 
(𝑥 +
𝑏
2
)
2
= (
𝑏
2
)
2
− 𝑐 
Ahora es fácil despejar 𝑥 con el método de la raíz cuadrada. 
 
Ejemplo: Resuelva 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 completando el cuadrado. 
Comenzamos por dividir ambos lados de la ecuación entre 2, el coeficiente de 𝑥2, 
para obtener la forma (3) 
𝑥2 + 𝑥 −
1
2
= 0 
Ahora escribimos esta ecuación como 
𝑥2 + 𝑥 =
1
2
 
y sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de 𝑥 (en este caso es 1) a ambos miembros de la 
ecuación: 
𝑥2 + 𝑥 + (
1
2
)
2
=
1
2
+ (
1
2
)
2
 
Entonces, tenemos 
(𝑥 +
1
2
)
2
=
3
4
 
Al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación queda: 
𝑥 +
1
2
= ±
√3
2
 ∨ 𝑥 = −
1
2
±
√3
2
 
Las dos soluciones o raíces son entonces 𝑥 = −
1
2
+
√3
2
 y 𝑥 = −
1
2
−
√3
2
. El conjunto solución es 
𝐶𝑆 = {−
1
2
+
√3
2
, −
1
2
−
√3
2
} 
 
La fórmula cuadrática 
 En el ejemplo anterior, resolvimos una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 = 1. 
Si 𝑎 ≠ 1, podemos resolver la ecuación cuadrática al sumar un paso al procedimiento empleado en el 
ejemplo precedente. Después de reescribir la ecuación para que sólo términos con 𝑥 se encuentren en 
el lado izquierdo, 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
4 
 
 
dividimos ambos lados entre 𝑎, obteniendo 
𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
 
Entonces completamos el cuadrado al sumar (
𝑏
2𝑎
)
2
a ambos lados. Esta técnica se usa en la prueba de 
la siguiente e importante fórmula 
 
Si 𝑎 ≠ 0, las raíces de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dados por 
 𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 (4) 
 El número 𝑏2 − 4𝑎𝑐 bajo el signo del radical de la fórmula cuadrática se llama discriminante de la 
ecuación cuadrática. El discriminante se puede usar para determinar la naturaleza de las raíces de la 
ecuación, como en la tabla siguiente. 
 
Valor del discriminante 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Naturaleza de las raíces de 
𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Valor positivo (∆> 0) Dos raíces reales y distintas 
Si es cero (∆= 0) Una raíz de multiplicidad 2 
Valor negativo (∆< 0) No hay raíz real 
Ejemplo: Resuelva la ecuación 4𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 
Tenemos que 𝑎 = 4, 𝑏 = 1, 𝑐 = −3, reemplazando en la formula cuadrática 
𝑥 =
−1 ± √12 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−3)
2 ⋅ 4
=
−1 ± √49
8
 
=
−1 ± 7
8
 
 
Por lo tanto las soluciones son 
𝑥1 =
−1 + 7
8
=
3
4
 𝑦 𝑥2 =
−1 − 7
8
= −1 
 
Propiedades de las Raices. 
En toda ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se verifican las siguientes propiedades de las raíces 
𝑥1 y 𝑥2: 
1) La suma de las raíces es el cociente cambiado de signo entre el coeficiente del término lineal y el 
coeficiente cuadrático. 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
 
2) El producto de las raíces es el cociente entre el término independiente y el coeficiente 
cuadrático. 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
5 
 
3) Toda ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se puede expresar como el siguiente producto: 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
 Esta expresión se conoce como la Forma Factorizada de una ecuación cuadrática. 
 
EcuacionesBicuadradas o Bicuadráticas: 
Se llama ecuación bicuadrada a toda ecuación de cuarto grado en la que figuran solamente los 
términos de exponente par, es decir, es una ecuación de la forma: 
 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 
Para resolverlas se reemplaza 𝑧 = 𝑥2, para trabajar con la ecuación cuadrática: 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0. Una 
vez hecho el cambio de variable, se resuelve utilizando alguno de los métodos ya vistos y se encuentra 
𝑧1 y 𝑧2. 
Luego, como 𝑧 = 𝑥2 tenemos que 
𝑧1 = 𝑥
2 ⇒ 𝑥1,2 = ±√𝑧1 ∧ 𝑧2 = 𝑥
2 ⇒ 𝑥3,4 = ±√𝑧2 
De allí, se obtienen las 4 raíces de la ecuación, si es que estas existen. 
Ejemplo: Hallar las soluciones de 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0 ⇒ 𝑧2 − 5𝑧 + 4 = 0 
Resolviendo está ecuación, obtenemos que 𝑧1 = 4 𝑦 𝑧2 = 1, por lo que 
𝑥1,2 = ±√4 = ±2 ∧ 𝑥3,4 = ±√1 = ±1 
Así, el conjunto solución es: 𝐶𝑆 = {2, −2,1, −1}. 
Inecuaciones cuadráticas 
 
Definición: Una inecuación cuadrática es una expresión de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 < 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0. Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. 
 
Para resolver una inecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, o cualquiera de las 
enunciadas en la definición, se aplicará la expresión factorizada. 
𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) > 0 
 
Y se analizarán los signos de cada uno de los factores que se especifican mediante una tabla. 
Ejemplos: Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas. 
a) 7𝑥2 + 21𝑥 – 28 < 0 
Buscamos las raíces de 7𝑥² + 21𝑥 − 28 = 0, las cuales son 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = −4 
Ahora que conocemos las raíces podemos expresar la inecuación en forma factorizada. 
7(𝑥 − 1)(𝑥 − (−4)) < 0 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
6 
 
7(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) < 0 
Ahora se analizará los signos de cada uno de los factores que se especifican en la siguiente 
tabla: 
 (−∞, −𝟒) (−𝟒 , 𝟏) (𝟏 , ∞) 
7 + + + 
(𝑥 − 1) − − + 
(𝑥 + 4) − + + 
7(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) + − + 
 
Dado que en la tabla se puede visualizar los valores donde el producto de los factores sean 
negativos, entonces el conjunto solución es: 𝐶𝑠 = (−4 ,1) 
Para verificar puede elegir cualquier valor del intervalo y reemplazar en la inecuación. 
b) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 ≥ 0 
Buscamos las raíces de la ecuación cuadrática, las cuales son 𝑥1 = 𝑥2 = −1 (raíz doble) 
Escribimos la expresión factorizada 
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) ≥ 0 
 (𝑥 + 1)2 ≥ 0 
 
A continuación, podemos hacer tabla o bien analizar respecto a la desigualdad que quede. En 
este caso haremos lo segundo. 
Como del lado izquierdo nos queda una expresión que está elevada al cuadrado, sabemos 
que ese resultado siempre será mayor o igual a cero, cualquiera sea el valor de 𝑥 que tome la 
variable. 
 Si 𝑥 = −4, reemplazando en la desigualdad quedaría (−4 + 1)2 ≥ 0 ⇒ 9 ≥ 0 es 
verdadero. 
 Si 𝑥 = 5, reemplazando (5 + 1)2 ≥ 0 ⇒ 36 ≥ 0 es verdadero. 
Como cualquier valor de 𝑥 cumple la desigualdad. 𝐶𝑆 = ℝ 
c) 4𝑥2 − 16 ≥ 0 
Escribimos de forma factorizada la ecuación 
4(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
−𝟒 𝟏 
 
lOMoARcPSD|7236487 
 
Universidad Católica de Salta CIVU 2.023 
Facultad de Ingeniería 
 
7 
 
Ahora se analizará los signos de cada uno de los factores que se especifican en la siguiente 
tabla: 
 (−∞, −𝟐) (−𝟐 , 𝟐) (𝟐 , ∞) 
4 + + + 
(𝑥 − 2) − − + 
(𝑥 + 2) − + + 
4(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + − + 
 
Dado que en la tabla se puede visualizar los valores donde el producto de los factores sean 
positivos o iguales a 0, entonces el conjunto solución es: 𝐶𝑠 = (−∞ , −2] ∪ [2, ∞) 
 
 
−𝟐 𝟐