Tema II Polinomios - Lucia Appelhanz

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Universidad Católica de Salta CIVU 2.021 
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Tema II: Polinomios 
Expresiones algebraicas 
Definición: Se llama expresión algebraica a todo conjunto de términos representados por letras y 
números, relacionados entre sí por medio de las siguientes operaciones: adición, sustracción, 
multiplicación, división, potenciación y radicación. 
Ejemplos: 
(𝑥 + 𝑦)2; 4𝑥 − 𝜋√𝑏 + 2𝑦; ℎ2 = 𝑥2 + 𝑦2; 
𝑥 + 3𝑎
2𝑦
. 
En una expresión algebraica, identificaremos: 
 Variables: son las letras que aparecen en dicha expresión algebraica. Por ejemplo 𝑥, 𝑦, ℎ… 
Reciben ese nombre pues pueden tomar “varios” valores. 
 Constantes: son los números o expresiones de un número que tienen un valor determinado. Por 
ejemplo. 4. 𝜋, 2, 𝑒… 
 
Definición: Se llama monomio a aquellas expresiones algebraicas en las cuales no aparecen sumas ni 
restas. Es decir, las variables y las constantes, están multiplicadas entre sí. 
Por ejemplo, son monomios las siguientes expresiones: 3𝑥2𝑦; 
3
2
𝑥𝑡; 𝜋𝑟2; 2√3𝑎𝑡3. 
 Las constantes de los monomios, se denominan coeficientes, por ejemplo, en los monomios 
anteriores, las constantes son: 3,
3
2
, 𝜋, 2√3, respectivamente. 
 El grado de un monomio, se calcula sumando los exponentes de las variables. Por ejemplo: 
3𝑥2𝑦 Monomio de grado 3 
3
2
𝑥𝑡 
Monomio de grado 2 
𝜋𝑟2 Monomio de grado 2 
2√3𝑎𝑡3 Monomio de grado 4 
 
Si el monomio es de una sola variable, su grado está dado por el exponente de dicha variable. 
¿Qué grado tiene el monomio igual a 5? ¿Por qué? La respuesta es que son monomios de grado 0 pues 
5 = 5𝑥0 = 5 ⋅ 1 
Definición: Dos monomios se llaman semejantes, si tienen el mismo grado, con las mismas variables 
elevadas a los mismos exponentes. 3𝑥2𝑦3 y −2𝑥2𝑦3 son monomios semejantes. También son 
semejantes 4𝑥5 y √2𝑥5. No son semejantes −2𝑥5 y 3𝑥2𝑦3, dado que, si bien tienen el mismo grado, no 
tienen las mismas variables. 
 
 
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Polinomios 
Definición: Un polinomio es la suma algebraica de monomios, llamados términos del polinomio. Por 
ejemplo: son polinomios las siguientes expresiones algebraicas: 
a. 3𝑥2 − 5𝑦 + 2𝑥𝑦 b. 𝑥5 − 3𝑥2 + √5𝑥 − 2 
Un polinomio con dos términos se llama binomio, un polinomio con tres términos se llama trinomio, 
un polinomio con cuatro términos se llama cuatrinomio, y si tiene cinco términos o más se llamará 
polinomio. 
Definición: Un polinomio esta ordenado con relación a una variable si los exponentes de dicha 
variable están en orden ascendente o descendente, leído de izquierda a derecha. 
 Orden ascendente: Un polinomio se ordena de forma ascendente con respecto a una variable, si los 
exponentes de esta variable aparecen de menor a mayor los términos del polinomio. 
 Orden descendente: Un polinomio se ordena en forma descendente con respecto a una variable 
cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor. 
 Ejemplo 
Ordenar el siguiente polinomio 2𝑥3𝑦 – 5𝑥𝑦3 + 2𝑥2𝑦2 – 7 con respecto a la variable 𝑥 en orden 
ascendente y descendente. 
En orden ascendente el polinomio queda: 
– 7 – 5𝑥𝑦3 + 2𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦 
En orden descendente el polinomio queda: 
2𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦2 – 5𝑥𝑦3 – 7 
Definición: Un polinomio es completo si al ordenarlo con respecto a una variable aparecen sus 
exponentes en forma consecutiva, desde 0 hasta el mayor exponente de la variable. 
 a. El polinomio 2𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦2 – 5𝑥𝑦3 – 7 es completo con respecto a la variable 𝑥. 
 b. El polinomio 5𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 4𝑏3 – 7 no es completo con respecto a la variable 𝑎 porque el 
término con grado relativo 2 con respecto a esta variable no está en el polinomio. Por otro lado si es 
completo con respecto a la variable 𝑏, lo cual se puede observar si lo ordenamos con respecto a esta 
variable – 7 + 5𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 4𝑏3. 
Definición: Se llama polinomio de variable 𝑥, a toda expresión algebraica de la forma: 
𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥
𝑛, para 𝑛 ∈ ℕ 
Donde: 
 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 son números reales y se llamarán coeficientes del polinomio. 
 𝑥 es la variable del polinomio. 
 Si 𝑎𝑛 ≠ 0, el polinomio se dice de grado 𝑛 y el coeficiente 𝑎𝑛 se llama coeficiente principal. 
 El término 𝑎0 se llama término independiente porque en él no aparece la variable. 
 
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Llamamos ℤ[𝑥] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números enteros. 
Llamamos ℚ[𝑥] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números racionales. 
Llamamos ℝ[𝑥] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números reales. 
 
Definición: Un polinomio se llama completo, si tiene todas las potencias de la variable, con coeficientes 
no nulos. En caso contrario se llamará polinomio incompleto. Para completar un polinomio, se agregan 
los términos faltantes con coeficiente nulos. 
Veamos algunos ejemplos: 
𝑃(𝑥) = 5𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 +
1
2
𝑥 − 1 
Este es un polinomio de grado 4, con cinco 
términos, los coeficientes son 5,−1, 3,
1
2
, −1; 
el coeficiente principal es 5; el término 
independiente es – 1. Está completo. 
 
 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 3 Este es un polinomio de grado 2 con dos 
términos, los coeficientes son 1, 𝑦 3; el 
coeficiente principal es 1; el término 
independiente es 3. Está incompleto, pues 
falta el término de grado 1. Si necesitara 
completarlo quedaría 𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 0𝑥 + 3. 
 
𝑅(𝑥) = 4 Este es un polinomio de grado 0 con un 
único término, el único coeficiente y 
coeficiente principal es 4. Está completo. 
 
Polinomio Nulo: Se llama así al polinomio que tiene todos los coeficientes numéricos 
nulos y se dice que carece de grado. 
Ejemplo: 𝑝(𝑥) = 0𝑥4 + 0𝑥2 + 0 
 
Igualdad de Polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de 
términos semejantes son iguales. 
Operaciones con polinomios 
 
1) Suma de Polinomios: Se realiza agrupando los términos semejantes y sumando sus coeficientes. 
El grado del polinomio resultante será igual o menor al mayor grado de los polinomios dados. 
Ejemplo: Sumar los polinomios siguientes: 
 
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 𝑃(𝑥) = 5𝑥4 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 
+ 
 𝑄(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 − 4 
 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 8𝑥4 − 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 7 
Otra forma de realizarlo 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (5𝑥4 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3) + (3𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 − 4) 
= (5𝑥4 + 3𝑥4) + (−2𝑥3) + (−4𝑥2) + (2𝑥 + 3𝑥) + (−3 − 4) 
 = 8𝑥4 − 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 7 
Observe que llegamos al mismo resultado. Simplemente se ha aplicado primero la propiedad asociativa 
de monomios semejantes, luego se han sumado o restado los coeficientes. 
 
2) Diferencia de Polinomios: Se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo 
(el opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus términos). 
Veamos un ejemplo: 
 
𝑇(𝑥) − 𝑆(𝑥) = (7𝑥3 + 4𝑥 − 3 ) − (2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 
 = (7𝑥3 + 4𝑥 − 3 ) + (−2𝑥2 + 3𝑥 − 2) 
 = (7𝑥3) + (−2𝑥2) + (4𝑥 + 3𝑥) + (−3 − 2) 
 = 7𝑥3 − 2𝑥2 + 7𝑥 − 5 
3) Producto de polinomios: Se obtiene multiplicando cada término del polinomio por cada término 
del otro polinomio. O sea que se aplica la propiedad distributiva. El grado del polinomio resultado es 
igual a la suma de los grados de los polinomios dados. Como lo hicimos en el caso anterior, haremos 
uso en este caso de la propiedad de la potenciación para el producto de potencias de igual base. 
Recordamosque si se desean multiplicar dos potencias de igual base, el resultado es una potencia, 
cuya base es la misma que la de los factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los 
factores. Es decir: 
𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 Por ejemplo, si multiplicamos dos monomios: 
(−3𝑥2) ⋅ (2𝑥) = (−3 ⋅ 2)(𝑥2 ⋅ 𝑥) = −6𝑥2+1 = −6𝑥3 
Ahora, si multiplicamos un monomio por un polinomio: 
 Ejemplo: 
(−3𝑥)(4𝑥2 + 2𝑥 − 3) = (−3𝑥) ⋅ 4𝑥2 + (−3𝑥) ⋅ 2𝑥 + (−3𝑥) ⋅ (−3) = −12𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 
Para multiplicar polinomios se trabaja de la misma forma que en el caso anterior: 
Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 y 𝑄(𝑥) = 4𝑥2 + 2𝑥 + 3. Calcular 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥3 + 5𝑥 − 1) ⋅ (4𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
 
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 = (2𝑥3) ⋅ (4𝑥2 + 2𝑥 + 3) + (5𝑥) ⋅ (4𝑥2 + 2𝑥 + 3) + (−1) ⋅ (4𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
= (8𝑥5 + 4𝑥4 + 6𝑥3) + (20𝑥3 + 10𝑥2 + 15𝑥) + (−4𝑥2 − 2𝑥 − 3) 
= 8𝑥5 + 4𝑥4 + (6𝑥3 + 20𝑥3) + (10𝑥2 − 4𝑥2) + (15𝑥 − 2𝑥) + (−3) 
= 8𝑥5 + 4𝑥4 + 26𝑥3 + 6𝑥2 + 13𝑥 − 3 
Otra Forma de Multiplicar: Se colocan los polinomios como si fuera producto de dos números y se 
realiza los productos entre los términos de uno con término del otro, esos resultados se colocan de 
manera que queden en columnas los términos semejantes para poder sumarlos 
 
4) División de Polinomios: Para efectuar la división de polinomios el grado del dividendo 
debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Deben ordenarse en forma decreciente, 
y el polinomio dividendo debe estar completo. 
 Regla: Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el 
primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se lo resta 
del dividendo, obteniéndose un resto de grado menor que el dividendo. Se repite el procedimiento 
entre el resto y el divisor hasta llegar a obtener un resto de menor grado que el divisor. Expresado 
simbólicamente: 
 
 
𝑃(𝑥) es el polinomio dividendo 
𝑄(𝑥) polinomio divisor 
𝐶(𝑥) es el polinomio cociente 
𝑅(𝑥) es el resto 
Para verificar que realizamos correctamente la división, lo comprobamos a través del Algoritmo de la 
División: 
 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
Veamos un ejemplo: 
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 
𝑅(𝑥) 𝐶(𝑥) 
 
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Calcular el cociente y el resto de la división de 𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥), siendo 𝑃(𝑥) = 20𝑥2 + 2𝑥 − 10 y 
𝑄(𝑥) = 4𝑥 + 6. 
Tenemos que tener en cuenta que el polinomio dividendo, debe estar completo y ordenado en forma 
decreciente. 
 
 
 
 
 
Igual que con los números, buscamos el monomio por el cual hay que multiplicar a 4𝑥 para obtener 
20𝑥2 . Aplicando la Propiedad de Potencias de igual base, vemos que (4𝑥) ⋅ (5𝑥) = 20𝑥2. Luego 
multiplicaremos (5𝑥) ⋅ 6, es decir, estamos aplicando la propiedad distributiva. Los valores obtenidos 
los encolumnamos con los monomios semejantes y realizamos la resta, de manera de obtener el resto. 
El primer resto es el polinomio (−28𝑥 − 10), como el mismo tiene el mismo grado que el polinomio 
divisor, continuamos dividiendo. 
Ahora debo buscar el monomio por el cual debo multiplicar 4𝑥 para obtener 28𝑥, es fácil ver que 
(4𝑥) ⋅ 7 = 28𝑥. A partir de ahí se procede de la misma forma que en el paso anterior, obteniendo 
como resto el polinomio 32. Este es un polinomio de grado cero, menor que el grado 1 del polinomio 
divisor, por lo que, la división está terminada. 
Comprobemos que el procedimiento fue correcto aplicando el Algoritmo del Cociente: 
Como obtuvimos que 𝐶(𝑥) = 5𝑥 − 7 y 𝑅(𝑥) = 32, entonces al polinomio 𝑃(𝑥) lo podemos escribir 
como: 
20𝑥2 + 2𝑥 − 10 = (4𝑥 + 6)(5𝑥 − 7) + 32 
Veamos otro ejemplo: 
 
 
 
 
 
Se obtuvo que 𝐶(𝑥) = 2𝑥 − 6 y 𝑅(𝑥) = 0. Por lo tanto, podemos escribir: 
 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 = (𝑥2 + 𝑥 − 2)(2𝑥 − 6) 
Cuando el resto en la división de polinomios es igual a cero, diremos que la división es exacta, y que el 
polinomio 𝑃(𝑥) es divisible por el polinomio 𝑄(𝑥). 
Regla de Ruffini: Se aplica en el caso especial de división de un polinomio en 𝑥 por un binomio de la 
forma (𝑥 – 𝑎). El resultado se obtiene mediante una disposición práctica llamada “Regla de Ruffini”: 
 20𝑥2 + 2𝑥 − 10 4𝑥 + 6 
−(20𝑥2 + 30𝑥) 5𝑥 − 7 
 0𝑥2 − 28𝑥 − 10 
 − (−28𝑥 − 42) 
 0𝑥 + 32 
 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 𝑥2 + 𝑥 − 2 
−(2𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥) 2𝑥 − 6 
 −6𝑥2 − 6𝑥 + 12 
 −(−6𝑥2 − 6𝑥 + 12) 
 0 
 
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 En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo completo y 
ordenado decrecientemente. 
 En la segunda fila se escribe hacia la izquierda el opuesto del número 𝑎. 
 En la tercera fila se escriben los coeficientes del resultado que se van obteniendo así: 
- El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo 
- El segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por a (cambiado de 
signo) y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo, luego se 
repite este procedimiento para obtener los siguientes coeficientes; el último corresponde al 
resto de la división y todos los anteriores son los coeficientes del polinomio resultado quien 
tiene un grado menor que el dividendo. 
Ejemplo: Calcular el cociente y el resto de la división de 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 3. 
 2 -5 4 Coeficientes del dividendo 
 
Valor de 𝑎 3 6 3 
 2 1 7 
Se baja el primer coeficiente de 𝑃(𝑥) (en este caso 2), se multiplica al mismo por 3. El resultado se 
ubica debajo del segundo coeficiente de 𝑃(𝑥) y se suma en vertical. Se repiten estos pasos 
reiteradamente hasta agotar los coeficientes. 
Así el cociente será 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 1 y el resto será 𝑅(𝑥) = 7. 
 Así escribiremos que 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) + 7 , según el Algoritmo del Cociente. 
Veamos otro ejemplo: 
Calcular el cociente y el resto de la siguiente división 
(3𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥): (𝑥 + 1) 
Lo primero que hacemos es ordenar y completar el polinomio dividendo 
𝑃(𝑥) = −2𝑥4 + 3𝑥3 + 0𝑥2 + 𝑥 + 0 
Al divisor, lo podemos escribir de la siguiente manera, para identificar el valor 𝑎 
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1) 
Por lo tanto 𝑎 = −1. 
 
 
 
 
 
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Aplicamos la Regla: 
 -2 3 0 1 0 
 
-1 2 -5 5 -6 
 -2 5 -5 6 -6 
Así tendremos que el cociente es 𝑪(𝒙) = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 y el resto es 𝑹(𝒙) = −𝟔. Queda 
para el alumno verificar el resultado obtenido según el Algoritmo del Cociente 
 
Teorema del resto 
Este teorema, nos permite verificar el resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥) por otro de la forma 
(𝑥 − 𝑎). 
Para trabajar este teorema, debemos dar una definición previa: 
Definición: El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎, es el valor que se obtiene al reemplazar 
en el polinomio 𝑥, por el valor 𝑎. Se identifica como 𝑃(𝑎). 
Veamos algunos ejemplos: 
a. Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 4, para 𝑥 = 3. Obtenemos: 
𝑃(3) = 2(3)2 − 5(3) + 4 = 7. 
b. Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥, para 𝑥 = −1. Obtenemos: 
𝑃(−1) = 3(−1)3 − 2(−1)4 + (−1) = −6 
Observación: los valores obtenidos anteriormente, coinciden con los restos de las divisiones de los 
respectivos polinomios, por 𝑥 − 3 y por 𝑥 + 1, respectivamente.Este resultado no es casual, según 
veremos a continuación. 
El resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎, es igual al valor numérico del polinomio 
cuando 𝑥 = 𝑎. Es decir 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑎). 
Teorema del resto : Si dividimos un polinomio 𝑃(𝑥) por otro de la forma 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑎), resto de dicho 
cociente es el valor numérico de 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎. Esto es: 
𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑎). 
Por ejemplo: 
a. Calcular el resto de la división de 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 8𝑥 + 3 por (𝑥 − 2) 
Por el Teorema del Resto, obtenemos que 
 
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𝑅(𝑥) = 𝑃(2) = 23 − 8.2 + 3 = 8 − 16 + 3 = −5 
b. Calcular el resto de la división de 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 4𝑥 − 5 por (𝑥 − 5) 
Por el Teorema del Resto, obtenemos que 
𝑅(𝑥) = 𝑃(5) = 53 − 4. 52 − 4.5 − 5 = 125 − 100 − 20 − 5 = 0 
Por lo tanto, podemos decir que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 4𝑥 − 5 es divisible por el polinomio 
(𝑥 − 5), dado que el resto en la división es igual a cero. 
Queda para el alumno comprobar los resultados obtenidos por alguno de los métodos vistos 
anteriormente 
Definición: Un número real 𝑎, se llama raíz de un polinomio 𝑃(𝑥), si se cumple que 𝑷(𝒂) = 𝟎. 
Con esta definición, podemos obtener algunas consecuencias importantes: 
 Si 𝑃(𝑎) = 0, decimos que 𝑎 es una raíz de 𝑃(𝑥). 
 Si 𝑃(𝑎) = 0, decimos que el resto de la división de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 𝑎) es igual a cero. 
 Si 𝑃(𝑎) = 0, decimos que el polinomio 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) es un factor de 𝑃(𝑥) 
 Si 𝑃(𝑎) = 0, decimos que 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 − 𝑎). 
Luego tenemos que: 
𝑃(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 𝑎)𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
Entonces 𝑃(𝑥) puede expresarse como producto de polinomios, de la siguiente manera: 
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥) ⋅ (𝑥 − 𝑎) 
Donde 𝐶(𝑥) es el cociente de la división de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 𝑎) y puede calcularse con la Regla de 
Ruffini. 
Ejemplo: 
Verificar si el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 24 es divisible por el polinomio (𝑥 − 3). 
Veamos que 𝑥 = 3 es una raíz del polinomio: 𝑃(3) = 2 ⋅ 32 + 2 ⋅ 3 − 24 = 18 + 6 − 24 = 0 
Por lo tanto, el polinomio planteado es divisible por (𝑥 − 3). Hallemos el cociente con ayuda de la 
Regla de Ruffini. 
Vemos que: 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 8 
 
 
Por la tanto el polinomio puede escribirse de la siguiente manera 
𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 24 = (2𝑥 + 8)(𝑥 − 3) 
 2 2 −24 
 
3 6 24 
 2 8 0 
 
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Al polinomio 𝐶(𝑥) lo podemos escribir de la siguiente manera 2𝑥 + 8 = 2(𝑥 + 4). De esta manera, el 
polinomio original queda escrito de la siguiente manera: 
𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 24 = 2(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) 
Esta última expresión, se denomina factorización completa de 𝑃(𝑥). 
Definición: Sea 𝑃(𝑥) un polinomio con coeficientes reales de grado 𝑛, entonces 𝑃(𝑥) tiene a lo sumo 𝑛 
raíces. Supongamos que 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑛 son las 𝑛 raíces del polinomio 𝑃(𝑥) y 𝑎𝑛 su coeficiente 
principal, el polinomio 𝑃(𝑥) se puede factorizar de la siguiente manera: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2)(𝑥 − 𝑟3)… (𝑥 − 𝑟𝑛) 
Observaciones. 
De acuerdo a estas últimas consideraciones, podemos decir que, en el polinomio analizado en el 
ejemplo anterior, −𝟒 y 𝟑 son raíces de 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 (polinomio de grado 2) 
 
Factorización de polinomios 
Definición: Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios más simples, 
en lo posible de grado 1. 
En general, la factorización la realizamos encontrando todas las raíces reales r del polinomio y 
expresamos como factores a los polinomios de la forma (𝑥 − 𝑟). 
Por ejemplo, el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 24 = 2(𝑥 + 4)(𝑥 − 3), está factorizado, pues está 
escrito como producto de polinomios más sencillos. 
Si hay raíces reales repetidas, el factor (𝑥 − 𝑟) aparecerá repetido el mismo número de veces, por lo 
que en la factorización estará elevado a una potencia que se corresponde con el número de veces que 
se repite la raíz. Por ejemplo: 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8 tiene por raíces 𝑟1 = −2, 𝑟2 = −2 y 𝑟3 = 2 . Vemos que 𝑟1 = 𝑟2. 
 
La factorización quedaría como: 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2 (𝑥 + 2) 
 
Decimos que esta es la Factorización Completa en los reales. Sin embargo, no siempre se puede obtener 
la factorización completa en los reales cuando tenemos raíces complejas. Sin meternos en los Números 
Complejos, en este caso se realiza la factorización mientras se pueda. 
Existen casos especiales para los cuales la factorización se puede realizar aplicando ciertas técnicas. 
Estos casos se conocen como Casos de Factoreo y los vamos a ver a continuación: 
1) Factor Común: Un número o una expresión algebraica es factor común de todos los términos de 
 
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un polinomio cuando figura en todos ellos como factor. 
 Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al 
producto de ese factor común por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. 
Ejemplo: 
a. 2𝑥2 − 4𝑥 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 − 2 ⋅ 2𝑥, el factor común es 2𝑥, por lo tanto, la factorización queda: 
2𝑥2 − 4𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 2) 
 Verifíquelo aplicando la propiedad distributiva. 
b. −12𝑥6 + 6𝑥5 − 15𝑥3 = 3𝑥3(−4𝑥3 + 2𝑥2 − 5). Observe que se extrae la variable con el menor 
exponente. 
 
c. 
4
15
𝑥3 −
6
12
𝑥2 =
2
3
𝑥2 (
2
5
𝑥 −
3
4
) 
2) Factor Común por Grupos: Se aplica generalmente a polinomios que no tienen factor común en 
todos sus términos. 
 Regla: Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con 
un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma 
expresión en cada uno de los paréntesis, se lo saca a su vez como factor común, quedando el 
polinomio como un producto de factores comunes. 
Ejemplo: 
a. 𝑥5 − 2𝑥4⏟ + 3𝑥 − 6⏟ = 𝑥4(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)(𝑥4 + 3) 
b. 3𝑥3 + 3𝑥2⏟ + 2𝑥 + 2⏟ = 3𝑥2(𝑥 + 1) + 2(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(3𝑥2 + 2) 
 
3) Trinomio Cuadrado Perfecto: 
Definición: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son 
cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. 
Al trinomio cuadrado perfecto se lo puede escribir como el cuadrado de un binomio 
formado por la suma o diferencia de sus bases. 
 
(𝑎 ± 𝑏)2⏟ 
𝐸𝑥𝑝.𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚.𝐶𝑢𝑎𝑑.𝑃𝑒𝑟𝑓.
= 𝑎2 ± 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏2⏟ 
𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚. 𝐶𝑢𝑎𝑑.𝑃𝑒𝑟𝑓.
 
 En este caso, la técnica es reconocer los tres términos (trinomio), que se encuentran en el lado 
derecho de la igualdad y llevarlos a la expresión que se encuentra en el lado izquierdo. 
Ejemplo. 
a. 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 𝑥 + 32 = (𝑥 + 3)2 
b. 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 𝑥 + 22 = (𝑥 − 2)2 
 
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4) Cuatrinomio Cubo Perfecto: 
 
Definición: Todo cuatrinomio de la forma 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3en el que dos términos son cubos 
perfectos ( 𝑎3 y 𝑏3), otro término es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base 
del segundo cubo (3𝑎2𝑏) y el otro término es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo por 
la base del primer cubo (3𝑎𝑏2) se llama “cuatrinomio cubo perfecto” y se lo puede escribir como el 
cubo de un binomio, formado por la suma de las bases de los cubos, con sus respectivos signos. 
(𝑎 + 𝑏)3⏟ 
𝐸𝑥𝑝.𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑡.𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑓.
= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3⏟ 
𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑓.Es un caso similar al anterior, con la diferencia de que en este caso la expresión de cuatro términos 
(Cuatrinomio), proviene del cubo de un binomio. 
Ejemplo: 
𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8 = 𝑥3 + 3 ⋅ 2 ⋅ 𝑥2 + 3 ⋅ 22 ⋅ 𝑥 + 23 = (𝑥 + 2)3 
5) Diferencia de Cuadrados: 
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la 
diferencia de sus bases. 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
Ejemplo. 
a. 𝑥2 − 36 = (𝑥 + 6)(𝑥 − 6) 
b. 
9
25
− 16𝑥2 = (
3
5
+ 4𝑥) (
3
5
− 4𝑥) 
 
6) Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado. 
Se presentan los siguientes casos: 
Si 𝑛 es par: 
1. El polinomio 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 es irreducible. No se puede factorizar. 
2. El polinomio 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛, es divisible por 𝑥 − 𝑎 y por 𝑥 + 𝑎. 
Si 𝑛 es impar: 
1. El polinomio 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 es divisible por 𝑥 + 𝑎. 
2. El polinomio 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛, es divisible por 𝑥 − 𝑎. 
La factorización se logra dividiendo el polinomio a factorizar, por el divisor correspondiente, utilizando 
la Regla de Ruffini. 
Ejemplo. 
Factorizar los siguientes polinomios: 
a. 𝑥3 + 8 = 𝑥3 + 23 
Aquí tenemos el caso en que 𝑛 es impar por lo tanto, debemos dividir el polinomio dado por (𝑥 + 2) 
 
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La factorización resulta de la siguiente manera: 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) 
b. 𝑥6 + 64 = 𝑥6 + 26 no puede factorizarse. 
 
 
Ejemplos de caso de factoreo combinados. 
 
Para factorizar algunos polinomios, a veces debemos aplicar los diferentes casos de factoreo, hasta 
lograr una factorización completa. 
Veamos algunos ejemplos. 
a. 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2⏟ 
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁 𝑥2
= 𝑥2 (𝑥2 − 2𝑥 + 1)⏟ 
𝑇𝑅𝐼𝑁𝑂𝑀𝐼𝑂 𝐶𝑈𝐴𝐷.
𝑃𝐸𝑅𝐹𝐸𝐶𝑇𝑂
= 𝑥2(𝑥 − 1)2 
 
b. 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2⏟ − 4𝑥 + 12⏟ ⏟ 
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁 𝑃𝑂𝑅 𝐺𝑅𝑈𝑃𝑂𝑆
= 𝑥2(𝑥 − 3) − 4(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3) (𝑥2 − 4)⏟ 
𝐷𝐼𝐹.𝐷𝐸 𝐶𝑈𝐴𝐷.
 
= (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 
En algunos casos es necesario aplicar la Regla de Ruffini y el Teorema de Resto para factorizar un 
polinomio. 
c. Verificar que el binomio (𝑥 − 1) es un factor de 𝑇(𝑥) = −3𝑥3 + 15𝑥2 − 24𝑥 + 12. Factorizar en 
forma completa el polinomio planteado. 
Aplicamos el Teorema del Resto para ver si el resto de la división es igual a cero. Para ello calculamos 
el valor del polinomio 𝑇(𝑥) para 𝑥 = 1. 
𝑇(1) = −3. 13 + 15. 12 − 24.1 + 12 = −3 + 15 − 24 + 12 = 0 
Podemos aplicar la Regla de Ruffini para encontrar el cociente: 
Así tenemos que el polinomio 𝑇(𝑥) puede escribirse como: 
𝑇(𝑥) = −3𝑥3 + 15𝑥2 − 24𝑥 + 12 = (−3𝑥2 + 12𝑥 − 12)⏟ 
𝐶𝑂𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸
(𝑥 − 1) 
Podemos intentar factorizar el polinomio cociente: 
−3𝑥2 + 12𝑥 − 12⏟ 
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁
= −3 (𝑥2 − 4𝑥 + 4)⏟ 
𝑇𝑅𝐼𝑁.𝐶𝑈𝐴𝐷.𝑃𝐸𝑅𝐹.
= −3(𝑥 − 2)2 
Entonces el polinomio 𝑇(𝑥) puede escribirse como: 
𝑇(𝑥) = −3𝑥3 + 15𝑥2 − 24𝑥 + 12 = (−3𝑥2 + 12𝑥 − 12)(𝑥 − 1) = −3(𝑥 − 2)2(𝑥 − 1) 
Así hemos logrado una factorización completa del polinomio. 
 1 0 0 8 
 
-2 -2 4 −8 
 1 -2 4 0 
 -3 15 -24 12 
 
1 -3 12 -12 
 -3 12 -12 0 
 
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d. 𝑆(𝑥) = 𝑥6 − 16𝑥2⏟ 
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁
= 𝑥2 (𝑥4 − 16)⏟ 
𝐷𝐼𝐹.𝐷𝐸 𝑃𝑂𝑇.
𝐷𝐸 𝐼𝐺𝑈𝐴𝐿 𝐸𝑋𝑃.
(1)
= 𝑥2(𝑥 − 2) (𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 + 8)⏟ 
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀𝑈𝑁 𝑃𝑂𝑅
𝐺𝑅𝑈𝑃𝑂𝑆 
(2)
= 
𝑆(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥2 + 2) 
 
(1) 𝑥4 − 16 se factoriza dividiendo el polinomio dado por el binomio (𝑥 − 2), aplicando la Regla 
de Ruffini, de la siguiente manera: 
El polinomio se puede factorizar como: 
𝑥4 − 16 = (𝑥 − 2)(𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 + 8) 
 
(2) 𝑥3 + 2𝑥2⏟ + 4𝑥 + 8⏟ = 𝑥2(𝑥 + 2) + 2(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥2 + 2) 
 
Máximo Común Divisor de polinomios (MCD) 
 
El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente 
numérico que es factor o divisor de los polinomios dados. 
Para hallar el MCD: 
1) Se factorizan los polinomios 
2) El MCD es el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia con que 
figuran. 
Ejemplo: Hallar el MCD de 8𝑥2 − 16𝑥𝑦 + 8𝑦2 y 4𝑥2 − 4𝑦2 
1) 8𝑥2 − 16𝑥𝑦 + 8𝑦2 = 8(𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2) = 8 (𝑥 – 𝑦)2 
4𝑥2 − 4𝑦2 = 4(𝑥2 − 𝑦2) = 4 (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 
2) MCD = 4 (𝑥 – 𝑦) 
 
Mínimo común múltiplo de polinomios (mcm) 
El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y coeficiente 
numérico que es múltiplo de todos los polinomios dados. 
Para hallar el mcm: 
1) Se factorizan los polinomios 
2) El mcm es el producto de todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor 
exponente con que figuran. 
Ejemplo: Hallar el mcm de: 
5𝑚𝑎 + 5𝑚𝑏 − 5𝑛𝑎 − 5𝑛𝑏 y 𝑚2𝑎2 −𝑚2𝑏2 − 2𝑛𝑚𝑎2 + 2𝑛𝑚𝑏2 + 𝑛2𝑎2 − 𝑛2𝑏2 
 1 0 0 0 -16 
 
2 2 4 8 16 
 1 2 4 8 0 
 
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1) 5𝑚𝑎 + 5𝑚𝑏 − 5𝑛𝑎 − 5𝑛𝑏 = 5𝑚(𝑎 + 𝑏) − 5𝑛 (𝑎 + 𝑏) 
 = (5𝑚 − 5𝑛)(𝑎 + 𝑏) 
= 5 (𝑚 – 𝑛 )( 𝑎 + 𝑏 ) 
 
𝑚2𝑎2 −𝑚2𝑏2 − 2𝑛𝑚𝑎2 + 2𝑛𝑚𝑏2 + 𝑛2𝑎2 − 𝑛2𝑏2 = 𝑚2(𝑎2 − 𝑏2) − 2𝑛𝑚(𝑎2 − 𝑏2) + 𝑛2(𝑎2 − 𝑏2) 
 = (𝑚2 − 2𝑛𝑚 + 𝑛2)(𝑎2 – 𝑏2) 
 = (𝑚 – 𝑛)2(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
2) El mcm = 5(𝑚 –𝑛)2(𝑎 – 𝑏) (𝑎 + 𝑏) 
Ejemplo: Hallar el MCD y mcm de los siguientes polinomios: 
9𝑎2 − 𝑥2; 9𝑎2 + 6𝑎𝑥 + 𝑥2; 3𝑎𝑧 + 𝑥𝑧 
1) 9𝑎2 − 𝑥2 = (3𝑎 − 𝑥)(3𝑎 + 𝑥) 2) MCD = (3𝑎 + 𝑥) 
9𝑎2 + 6𝑎𝑥 + 𝑥2 = (3𝑎 + 𝑥)2 mcm = (3𝑎 + 𝑥)2(3𝑎 – 𝑥)𝑧 
3𝑎𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑧 (3𝑎 + 𝑥) 
 
 
Expresiones algebraicas fraccionarias o racionales 
 
Dados dos polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥), tal que 𝑄(𝑥) ≠ 0 se denomina expresión algebraica racional a 
toda expresión de la forma 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
 
Ejemplos: 
2𝑥 + 𝑎
5𝑥
 ∀ 𝑥 ≠ 0; 
𝑥3 + 8
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 ∀𝑥, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 2 
Definición: Una expresión algebraica racional 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, con 𝑄(𝑥) ≠ 0, se dice que es irreducible si 𝑃(𝑥) y 
𝑄(𝑥) no tienen factores en común. 
Simplificación de Expresiones Algebraicas Racionales: 
 Para convertir una expresión algebraica racional en irreducible se debe simplificar, es decir se 
deben factorear numerador y denominador y luego suprimir todos los factores comunes a ambos. 
Ejemplo: Simplificar 
𝑥3 − 1
𝑥2 − 1
 ∀𝑥, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1 
𝑥3 − 1
𝑥2 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 + 1
 
Común Denominador: Para reducir dos o más expresiones racionales a un mínimo común 
denominador, se trabaja de la misma forma que en la suma de fracciones, es decir se toma el mcm 
 
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de los denominadores, y los numeradores se obtienen dividiendo el mcm por el denominador 
correspondiente y el resultado se lo multiplica por el respectivo numerador. 
 
Ejemplo: Reducir las siguientes expresiones racionales a mínimo común denominador 
 
2𝑥𝑦
𝑎2 − 𝑏2
; 
3(𝑎 + 𝑏)
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
; 
5
𝑎 + 𝑏
 
 
1) Factorear los denominadores: 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏); 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2; 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 
2) El mcm de los denominadores es el producto de todos los factores comunes y no comunes con 
el mayor exponente con que figuran, por lo tanto: 
 El mcm es: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 
3) Obtener los respectivos numeradores: 
2𝑥𝑦
𝑎2 − 𝑏2
=
2𝑥𝑦
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
 → 
2𝑥𝑦(𝑎 − 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2
 
 
3(𝑎 + 𝑏)
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
=
3(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)2
 → 
3(𝑎 + 𝑏)2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)25
𝑎 + 𝑏
 → 
5(𝑎 − 𝑏)2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2
 
Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales 
 1) Suma: 
a) Primer Caso: Cuando las fracciones tienen igual denominador, la suma es otra 
fracción de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores 
dados. 
𝐴(𝑥)
𝐶(𝑥)
+
𝐵(𝑥)
𝐶(𝑥)
=
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥)
𝐶(𝑥)
 
Ejemplo: Segundo Caso: Cuando los denominadores son distintos, las fracciones deben reducirse 
previamente a un mínimo común denominador y luego se procede como en el caso anterior: 
Ejemplo: 
2
𝑥 − 1
+
4𝑥
2(𝑥 + 1)
+
3𝑥2
𝑥2 − 1
 
 Primero hallamos el mcm de los denominadores: 
𝑚𝑐𝑚(𝑥 − 1; 2(𝑥 + 1); (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 
 Hallamos los nuevos numeradores 
 
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2
𝑥 − 1
 → 
4(𝑥 + 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
4𝑥
2(𝑥 + 1)
 →
4𝑥(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
 
3𝑥2
𝑥2 − 1
 →
6𝑥2
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
Realizamos la suma: 
4(𝑥 + 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
4𝑥(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
6𝑥2
𝑥2 − 1
=
4𝑥 + 4 + 4𝑥2 − 4 + 6𝑥2
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
 =
10𝑥2 + 4
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
 =
2(5𝑥2 + 2)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
 =
5𝑥2 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
2) Diferencia: Se procede igual que la suma. 
3) Producto: El producto de dos o más expresiones racionales es otra fracción que tiene por 
numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. 
𝐴(𝑥)
𝐶(𝑥)
⋅
𝐵(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴(𝑥)𝐵(𝑥)
𝐶(𝑥)𝐷(𝑥)
 
Ejemplo: 
4 + 2𝑥
9 − 𝑥2
⋅
3 + 𝑥
𝑥2
⋅
6𝑥 − 2𝑥2
2 + 𝑥
=
2(2 + 𝑥)
(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)
⋅
3 + 𝑥
𝑥2
⋅
2𝑥(3 − 𝑥)
2 + 𝑥
=
4
𝑥
 
4) División: El cociente de dos expresiones racionales es el producto del dividendo por el reciproco 
del divisor, es decir, 
𝐴(𝑥)
𝐶(𝑥)
:
𝐵(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴(𝑥)
𝐶(𝑥)
⋅
𝐷(𝑥)
𝐵(𝑥)
=
𝐴(𝑥)𝐷(𝑥)
𝐶(𝑥)𝐵(𝑥)
 
Ejemplo: 
2𝑎3𝑥2
𝑥3 − 1
:
4𝑎2 − 2𝑎
𝑥 − 1
=
2𝑎3𝑥2
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
⋅
𝑥 − 1
2𝑎(2𝑎 − 1)
=
𝑎2𝑥2
(𝑥2 + 𝑥 + 1)(2𝑎 − 1)