Unidad 5: Polinomios - Facultad de Ingeniería

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FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad 5: Polinomios
 
UNIDAD 5 – Polinomios....................................................................................................... 96 
Introducción ......................................................................................................................... 96 
5.1.- Expresiones algebraicas .......................................................................................... 96 
5.1.1.- Clasificación de las expresiones algebraicas .................................................... 96 
5.2.- Expresiones algebraicas enteras ............................................................................. 97 
5.3.- Monomios ................................................................................................................ 97 
5.3.1.- Grado de un monomio ...................................................................................... 97 
5.3.2.- Monomios semejantes ...................................................................................... 97 
5.4.- Polinomios ............................................................................................................... 97 
5.4.1.- Funciones polinómicas...................................................................................... 98 
5.4.2.- Igualdad de polinomios ..................................................................................... 98 
5.4.3.- Valor numérico de un polinomio ........................................................................ 99 
5.5.- Operaciones con polinomios.................................................................................... 99 
5.5.1.- Suma ................................................................................................................ 99 
5.5.2.- Producto de un número real por un polinomio................................................... 99 
5.5.3.- Resta .............................................................................................................. 100 
5.5.4.- Producto de polinomios................................................................................... 100 
5.5.5.- Algunos productos especiales......................................................................... 101 
5.5.6.- División de polinomios .................................................................................... 101 
5.5.7.- Regla de Ruffini .............................................................................................. 103 
5.6.- Teorema del resto.................................................................................................. 104 
5.7.- Concepto de raíz de un polinomio.......................................................................... 104 
5.8.- Divisibilidad de polinomios ..................................................................................... 104 
5.9.- Factorización de polinomios................................................................................... 105 
5.9.1.- Factor común.................................................................................................. 105 
5.9.2.- Diferencia de cuadrados ................................................................................. 106 
5.9.3.- Trinomio cuadrado perfecto ............................................................................ 106 
5.10.- Factorización de un polinomio por medio de sus raíces ....................................... 106 
5.10.1.- Cálculo de las raíces de un polinomio ........................................................... 107 
5.11.- Expresiones algebraicas fraccionarias ................................................................. 108 
5.11.1.- Funciones racionales .................................................................................... 108 
5.11.2.- Simplificación de fracciones algebraicas ....................................................... 108 
5.12.- Operaciones con fracciones algebraicas.............................................................. 109 
5.12.1.- Suma y resta de fracciones. .......................................................................... 109 
5.12.2.- Producto de fracciones algebraicas............................................................... 110 
5.12.3.- División de fracciones algebraicas ................................................................ 110 
5.13.- Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas ............................................. 110 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5............................................................................ 112 
Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
Curso de Ingreso 96
UNIDAD 5 – Polinomios 
Introducción 
Con el álgebra se pasa del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran 
expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la 
resolución de problemas. 
Para trabajar eficazmente en matemática se debe operar convenientemente con 
expresiones algebraicas de forma tal que se puedan transformar en otras expresiones 
equivalentes más fáciles de manejar. 
Además, en Ingeniería, al realizar el modelado matemático de un problema, es frecuente 
obtener un polinomio. Para encontrar la solución de la situación planteada es necesario 
conocer las “raíces” de dicho polinomio. 
5.1.- Expresiones algebraicas 
Se llama expresión algebraica a cualquier combinación de números representados por letras 
o por letras y cifras, vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, 
división, potenciación y radicación. 
Son ejemplos de expresiones algebraicas: 
zxyx ++ 32 3 23 3 y
y
y +−
yx
yx
−
+
3
2
x
x 13 +− 25 zyx−
En este curso se considerarán expresiones algebraicas en las que intervengan solamente 
números reales. 
 5.1.1.- Clasificación de las expresiones algebraicas 
 Expresiones algebraicas 
Racionales
No hay letras afectadas por el 
signo radical 
Irracionales
Hay por lo menos una 
letra afectada por el 
signo radical 
Ejemplo: 23xx +
Fraccionarias
Hay por lo menos una 
letra en el divisor. 
Ejemplo: 
1
32 2 +
+
x
x
Enteras
No hay letras en el 
divisor. 
 
Ejemplo: 72 2 ++ xyzyx
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Curso de Ingreso 97
5.2.- Expresiones algebraicas enteras 
Se estudiarán ahora expresiones algebraicas enteras. 
5.3.- Monomios 
Los monomios son expresiones algebraicas de un solo término. 
Ejemplo:
yx35
En el monomio yx35 :
• el número 5 recibe el nombre de coeficiente, 
• yx3 constituye la parte literal. 
5.3.1.- Grado de un monomio 
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en 
él. 
Ejemplo:
El monomio zyx 242− es de grado 7 .
5.3.2.- Monomios semejantes 
Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. 
Ejemplo:
cb23− y cb25 son monomios semejantes. 
Los monomios semejantes pueden sumarse o restarse dando por resultado otro monomio 
semejante a los anteriores. 
Ejemplo:
cbcbcbcb 2222 2)53(53 =+−=+−
5.4.- Polinomios 
Un polinomio es una suma algebraica de monomios de distinto grado. 
Ejemplo:
123 24 ++− yxx
Observación 
Durante el desarrollo de este tema nos referiremos a polinomios donde la parte literal está 
constituida solamente por una variable elevada a cualquier exponente natural. 
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Curso de Ingreso 98
Los polinomios que se estudiarán en esta Unidad son expresiones algebraicas de la forma 
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K
donde: 
• 01 ,,, aaa nn K− son númerosreales llamados coeficientes. 
• na es el coeficiente principal. 
• 0a es el término independiente. 
• x es la variable, también conocida con el nombre de indeterminada. 
• Los exponentes 0,1,2,,1, K−nn , son números naturales. 
• n es el grado del polinomio y se indica ( ) nxPgrado =)( .
Ejemplos:
� 1273)( 235 ++−= xxxxQ es un polinomio de grado 5 , que tiene coeficiente 
principal 35 =a y el término independiente es 10 =a .
� 2)( =xG es un polinomio de grado cero. 
� 0)( =xS se llama polinomio nulo y no tiene grado. 
5.4.1.- Funciones polinómicas 
Cada polinomio 01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K tiene asociada una función 
polinómica f con dominio y codominio en R , definida por la fórmula 
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n +++++=
−
− K .
En esta Unidad se hablará indistintamente de polinomios o de funciones polinómicas. 
En la Unidad 3 se analizaron en particular las funciones polinómicas de grado uno o 
funciones lineales y las funciones polinómicas de grado dos o funciones cuadráticas. 
5.4.2.- Igualdad de polinomios 
Los polinomios 
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K y
01
2
2
1
1)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m +++++=
−
− K
son iguales si: 
• tienen el mismo grado, es decir mn =
• mn ba = , 11 −− = mn ba , ....... , 00 ba =
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Curso de Ingreso 99
5.4.3.- Valor numérico de un polinomio 
Se llama valor numérico de un polinomio )(xP en kx = , al valor que toma el polinomio 
cuando se reemplaza x por k .
Si 01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K , entonces el valor de )(xP en kx = es 
01
2
2
1
1)( akakakakakP
n
n
n
n +++++=
−
− K .
Ejemplo:
Sea 1523)( 23 −+−= xxxxQ .
El valor de )(xQ en 2−=x es 431)2(5)2(2)2(3)2( 23 −=−−⋅+−⋅−−⋅=−Q
5.5.- Operaciones con polinomios 
5.5.1.- Suma 
La suma de dos polinomios )(xP y )(xQ es el polinomio )()( xQxP + que se obtiene 
sumando los monomios semejantes que se encuentran en )(xP y )(xQ .
Ejemplo:
Dados xxxxP +−= 34 52)( y 92)( 23 +−= xxxQ calcular )()( xQxP + .
Para sumar polinomios resulta conveniente ordenarlos según potencias decrecientes de x
y completar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente cero. 
 
902)(
0052)(
23
234
++−=
+++−=
xxxxQ
xxxxxP
932)()( 234 ++−−=+ xxxxxQxP
El grado de )()( xQxP + es 4. 
5.5.2.- Producto de un número real por un polinomio 
Si 01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K y k es un número real, entonces: 
 )()()()()()( 01
2
2
1
1 akxakxakxakxakxPk
n
n
n
n ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅
−
− K .
Ejemplo:
Si 2525)( 23 +−+= xxxxP ,
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Curso de Ingreso 100
615615)()3( 23 −+−−=⋅− xxxxP
El grado de )()3( xP⋅− es 3
5.5.3.- Resta 
La resta de dos polinomios )(xP y )(xQ , es el polinomio )()1()()()( xQxPxQxP −+=− .
Ejemplo:
Dados 333)( 24 −+−= xxxxP y 1324)( 23 −++−= xxxxQ calcular )()( xQxP − .
Para restar polinomios resulta conveniente ordenarlos según potencias decrecientes de x y
completar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente cero. 
 
1324)()1(
3303)(
23
234
+−−=⋅−
−+−+=
xxxxQ
xxxxxP
22543)()( 234 −−−+=− xxxxxQxP
El grado de )()( xQxP − es 4. 
5.5.4.- Producto de polinomios 
Para realizar el producto de dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva de 
la multiplicación con respecto a la suma y las propiedades del producto y de la potenciación. 
Ejemplo 1:
53)( 2 +−= xxxP xxQ 2)( =
xxx
xxxxx
xxxxQxP
1062
25232
)2()53()()(
23
2
2
+−=
⋅+⋅−⋅=
⋅+−=⋅
El grado de )()( xQxP ⋅ es 3. 
Ejemplo 2:
53)( 2 +−= xxxP 34)( 23 +−= xxxR
15917177
15205912334
)34()53()()(
2345
2334245
232
+−−+−=
+−+−+−+−=
+−⋅+−=⋅
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxRxP
El grado de )()( xRxP ⋅ es 5. 
 
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Curso de Ingreso 101
Observación 
Dados dos polinomios )(xP y )(xQ , se verifica que: 
( ) ( ) ( ))()()()( xQgradoxPgradoxQxPgrado +=⋅
5.5.5.- Algunos productos especiales 
Los productos que se muestran en el siguiente cuadro suelen presentarse con frecuencia en 
cálculos algebraicos. 
Producto Nombre 
2222)()( axaaxaxxaxax −=−+−=−⋅+
22)()( axaxax −=−⋅+
Diferencia de cuadrados 
Cuadrado de un binomio 
222 )()()( aaxaxxaxaxax +++=+⋅+=+
222 2)( aaxxax ++=+
Trinomio cuadrado perfecto 
222 )()()( aaxaxxaxaxax +−−=−⋅−=−
222 2)( aaxxax +−=−
Trinomio cuadrado perfecto 
Cubo de un binomio 
3223
322223
22
3
33
22
)()2(
)()()()(
axaaxx
axaxaaxaxx
axaaxx
axaxaxax
+++=
+++++=
+⋅++=
+⋅+⋅+=+
32233 33)( axaaxxax +++=+
Cuatrinomio cubo perfecto 
32233 33)( axaaxxax −+−=− Cuatrinomio cubo perfecto 
5.5.6.- División de polinomios 
Cuando se realiza una división entre números se procede del siguiente modo: 
9 4
1 2
Se verifica que 1249 +⋅=
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Curso de Ingreso 102
dividendo divisor 
……. 
resto 
cociente Dividendo = divisor × cociente + resto 
La división de polinomios se efectúa empleando el mismo procedimiento que se usa para 
dividir los números reales. 
Se recuerda que es necesario ordenar los polinomios según las potencias decrecientes de 
x y completar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente nulo. 
Ejemplo: Dados 54572)( 234 +++−= xxxxxP y 12)( 2 +−= xxxQ , el polinomio 
cociente entre )(xP y )(xQ es el polinomio )(xC que se obtiene siguiendo el procedimiento 
que se muestra a continuación. 
1) Se divide el primer término del dividendo 
)(xP por el primer término del divisor 
)(xQ .
224 2:2 xxx =
Se obtiene el primer término del cociente 
)(xC .
54572 234 +++− xxxx 122 +− xx
22x
2) El término de )(xC se multiplica por el 
divisor. 
El producto se resta al dividendo (o se 
cambia de signo y se suma). 
54572 234 +++− xxxx 122 +− xx
( )234 242 xxx +−−
5433 23 +++− xxx
22x
3) Con 5433 23 +++− xxx como nuevo 
dividendo se repiten los pasos 1) y 2). 
Así se obtiene otro término del cociente. 
xxx 3:3 23 −=−
54572 234 +++− xxxx 122 +− xx
( )234 242 xxx +−−
5433 23 +++− xxx
( )xxx 363 23 −+−−
573 2 ++− xx 
xx 32 2 −
4) El proceso continúa hasta que no se 
puedan obtener más términos del 
cociente. 
 
Cociente: 332)( 2 −−= xxxC
Resto: 8)( += xxR
54572 234 +++− xxxx 122 +− xx
( )234 242 xxx +−−
5433 23 +++− xxx
( )xxx 363 23 −+−−
573 2 ++− xx 
( )363 2 −+−− xx
8+x
332 2 −− xx
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Curso de Ingreso 103
Es importante tener en cuenta que: 
• La división )(:)( xQxP puede efectuarse siempre que ( ) ( ))()( xQgradoxPgrado ≥ .
• )()()()( xRxCxQxP +⋅= .
• El grado del resto debe ser menor que el grado del divisor, o bien 0)( =xR .
( ) ( ))()( xQgradoxRgrado <
• ( ) ( ) ( ))()()( xQgradoxPgradoxCgrado −= .
5.5.7.- Regla de Ruffini 
Cuando el divisor es un polinomio de la forma ax − , la división puede realizarse de un 
modo más sencillo, empleando un algoritmo conocido como Regla de Ruffini.
Ejemplo: Calcular )(:)( xQxP , siendo 373)( 23 −+= xxxP y 3)( += xxQ .
Obsérvese que el polinomio divisor puede escribirse también como )3()( −−= xxQ ,
adoptando la forma ax − con 3−=a .
Para realizar la división se emplea un cuadro. 
En el primer renglón del cuadro se 
escriben los coeficientes del polinomio 
dividendo )(xP , que debe estar orde-
nado y completo. 
3073)( 23 −++= xxxxP
En la primera columna sólo se escribe 
el valor de a , que en este caso es 3− .
Los valores que figuran en el segundo 
y tercerrenglón se obtienen realizando 
los cálculos auxiliares que se indican 
en el cuadro que figura a la derecha. 
 
3 7 0 -3 
3 7 0 -3 
-3 -9 6 
)3(3 −• )3(2 −•− )3(6 −• -21 
-18 
+ + +
3 7 0 -3 
-3 
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Curso de Ingreso 104
El último número que figura en el tercer 
renglón es el resto 21−=R .
Los números anteriores son los 
coeficientes del polinomio cociente 
623)( 2 +−= xxxC , cuyo grado es una 
unidad menor que el grado del 
polinomio dividendo )(xP .
En este caso el grado del resto es igual 
a cero. 
 
5.6.- Teorema del resto 
Si se divide un polinomio )(xP por otro de la forma ax − , se verifica que: 
RxCaxxP +⋅−= )()()( .
Si ax = , resulta: 
R
RaC
RaCaaaP
=
+⋅=
+⋅−=
)(0
)()()(
El resto R que resulta de dividir un polinomio )(xP por otro de la forma ax − , es igual al 
valor numérico de )(xP en ax = , es decir RaP =)( .
Ejemplo: Para calcular el resto de la división entre 2753)( 23 −+−= xxxxP y
2)( −= xxQ , basta con determinar el valor numérico de )(xP en 2=x .
162272523)2( 23 =−⋅+⋅−⋅=P
El resto es 16=R .
5.7.- Concepto de raíz de un polinomio 
Un valor de x es raíz de )(xP , si el polinomio se anula para ese valor. 
ax = es raíz de )(xP si y sólo si 0)( =aP .
Ejemplo: 3=x es raíz de 33)( 23 −+−= xxxxP porque 
033333)3( 23 =−+⋅−=P
5.8.- Divisibilidad de polinomios 
Si al realizar la división entre dos polinomios )(xP y )(xQ , el resto es nulo, se dice que 
)(xP es divisible por )(xQ , o que )(xQ divide a )(xP , o que )(xP es múltiplo de )(xQ .
En ese caso )(xP puede expresarse como: 
3 7 0 -3 
-3 -9 6 
-21 
-18 
3 -2 6
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Curso de Ingreso 105
)()()( xCxQxP ⋅=
Ejercicio: Comprobar que 33)( 23 −+−= xxxxP es divisible por 3−x .
Observación 
Teniendo en cuenta el Teorema del resto y los conceptos de divisibilidad y raíz de un 
polinomio se puede afirmar que las condiciones que se enuncian a continuación son 
equivalentes: 
• a es raíz del polinomio )(xP .
• 0)( =aP .
• )(xP es divisible por ax − .
• El resto que resulta de dividir )(xP por ax − es igual a cero. 
5.9.- Factorización de polinomios 
Del mismo modo en que se descompone un número entero en producto de sus factores 
primos, se puede descomponer un polinomio compuesto en producto de polinomios primos. 
Un polinomio )(xP de grado no nulo, es primo o irreducible cuando no puede ser 
expresado como producto de polinomios de grado positivo menor que )(xP .
Todo polinomio de grado uno es primo o irreducible. 
Cuando un polinomio no es primo, es compuesto. 
Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios primos o 
irreducibles. 
Ejemplo:
Polinomio desarrollado: 15123)( 2 ++−= xxxS
Polinomio factorizado: )1()5(3)( +⋅−⋅−= xxxS
A continuación se presentan algunas técnicas que permiten expresar un polinomio como 
producto de factores. 
5.9.1.- Factor común 
Cuando en un polinomio )(xP , la variable x figura en todos los términos, se la extrae como 
factor común elevada al menor exponente. También se extrae como factor común el número 
que aparezca como factor en todos los términos. 
Luego, se divide cada término del polinomio por el factor común. 
Ejemplo: Sea 432 8204)( xxxxP −+= .
El factor común que aparece en todos los términos es 24x y el polinomio dado puede 
expresarse como: 
( )22 2514)( xxxxP −+⋅=
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Curso de Ingreso 106
5.9.2.- Diferencia de cuadrados 
Se recuerda que una diferencia de cuadrados puede expresarse como producto del 
siguiente modo: 
)()(22 axaxax −⋅+=−
Ejemplos:
• )5()5(525 222 −⋅+=−=− xxxx
• ( ) ( ) ( )66636 222224 −⋅+=−=− xxxx
• ( ) ( ) ( )6666 222 −⋅+=−=− xxxx
5.9.3.- Trinomio cuadrado perfecto 
La expresión factorizada de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio. 
222 )(2 axaaxx +=++
222 )(2 axaaxx −=+−
Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos que cumplen las siguientes 
condiciones: 
• Dos de los términos son cuadrados perfectos. 
• El término restante es el duplo del producto de las bases de los cuadrados perfectos. 
Si este término es negativo, entonces es negativo uno de los términos del binomio. 
Ejemplo: 2510)( 2 +−= xxxH es un trinomio cuadrado perfecto porque: 
� El primer término es el cuadrado de x .
� El tercer término es el cuadrado de 5 .
� El segundo término es x⋅⋅− 52 .
El trinomio cuadrado perfecto queda factorizado como: 
22 )5(2510)( −=+−= xxxxH
5.10.- Factorización de un polinomio por medio de sus raíces 
El Teorema Fundamental del Álgebra permite afirmar que: 
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las no 
reales. 
Por lo tanto se puede decir que: 
Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. 
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Curso de Ingreso 107
Si 01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− K con 0≠na , y nxxx ,,, 21 K son sus raíces, 
entonces )(xP puede escribirse como )()()()( 21 nn xxxxxxaxP −⋅⋅−⋅−⋅= K .
El polinomio ha quedado expresado como producto de polinomios primos, ha sido 
factorizado. 
5.10.1.- Cálculo de las raíces de un polinomio 
• Polinomios de grado uno 
Para determinar la única raíz de un polinomio de grado uno, es decir de un polinomio de 
la forma baxxP +=)( , se plantea la ecuación 0=+ bax y se obtiene 
a
bx −= .
• Polinomios de grado dos 
Para determinar las dos raíces 1x y 2x de un polinomio de grado dos, es decir de un 
polinomio de la forma cbxaxxP ++= 2)( se resuelve la ecuación cuadrática 
02 =++ cbxax como ya se vio en la Unidad 2. 
• Polinomios de grado mayor o igual que tres 
La determinación de las raíces de polinomios se ha simplificado notablemente en la 
actualidad, gracias al uso de las computadoras y las calculadoras científicas. 
En este curso de trabajará con polinomios cuyas raíces puedan ser calculadas sin 
mayores dificultades. 
Es importante tener en cuenta que: 
Una raíz entera de un polinomio de coeficientes enteros es un divisor de su término 
independiente. 
Ejemplo: Determinar las raíces de 672)( 23 +−−= xxxxP .
- Para hallar las posibles raíces enteras de )(xP se debe considerar el conjunto de 
divisores del término independiente 6 : { }6,6,3,3,2,2,1,1 −−−− .
- Se prueba cuáles de esos divisores son raíces de )(xP .
0106)1(7)1()1(2)1( 23 ≠=+−⋅−−−−⋅=−P , por lo tanto 1− no es raíz de )(xP .
0617112)1( 23 =+⋅−−⋅=P , por lo tanto 11 =x es raíz de )(xP .
- )(xP es divisible por 1−x . Aplicando la Regla de Ruffini se obtiene: 
 
1
2 -1 -7 6
2 1 -6 
2 1 -6 0 
62)( 2 −+= xxxC
62)1(:)( 2 −+=− xxxxP
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Curso de Ingreso 108
( )62)1()( 2 −+⋅−= xxxxP
- Se determinan las raíces de 62)( 2 −+= xxxC .
2
3
4
4811
2 =
++−=x 2
4
4811
3 −=
+−−=x
Las raíces de )(xP son: 11 =x , 2
3
2 =x y 23 −=x .
El polinomio factorizado resulta: )2(
2
3)1(2)( +⋅




 −⋅−⋅= xxxxP .
5.11.- Expresiones algebraicas fraccionarias 
Reciben el nombre de expresiones algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones 
algebraicas las expresiones de la forma 
)(
)(
xQ
xP
donde )(xP y )(xQ son polinomios de una sola variable x y 0)( ≠xQ .
5.11.1.- Funciones racionales 
Se llamarán funciones racionales a las funciones cuya fórmula es una fracción algebraica. 
)(
)()(
xQ
xPxf =
El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de x que no anulan al 
denominador.Cuado se trabaja con funciones racionales es importante tener en cuenta su dominio. 
Ejemplos:
• El dominio de la función g definida por 
2
3)(
−
+=
x
xxg es: { }2)( −= Rgdom 
• El dominio de la función h definida 
)2()5(
9)(
2
+⋅−
−=
xx
xxh es: { }5,2)( −−= Rhdom 
5.11.2.- Simplificación de fracciones algebraicas 
Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes en el numerador y en el 
denominador, de lo contrario la expresión es irreducible. 
Ejemplo: Dada la expresión 
99
9
23
2
−−+
−
xxx
x
, se factoriza numerador y denominador, 
resultando: 
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 5: Polinomios 
 
Curso de Ingreso 109
)3()3()1(
)3()3(
99
9
23
2
−⋅+⋅+
−⋅+=
−−+
−
xxx
xx
xxx
x
Simplificando los factores comunes, se obtiene: 
1
1
)3()3()1(
)3()3(
99
9
23
2
+
=
−⋅+⋅+
−⋅+=
−−+
−
xxxx
xx
xxx
x
si 3≠x y 3−≠x
Las expresiones anteriores son equivalentes, pero no debe olvidarse que el dominio de la 
función racional es el que quedó determinado a partir de la expresión original . 
La simplificación es válida siempre que 3≠x y 3−≠x .
5.12.- Operaciones con fracciones algebraicas 
5.12.1.- Suma y resta de fracciones. 
Con igual denominador 
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
xQ
xSxP
xQ
xS
xQ
xP +=+
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
xQ
xSxP
xQ
xS
xQ
xP −=−
Ejemplo:
3
4
3
512
3
)5()12(
3
5
3
12
+
−=
+
−−+=
+
+−+=
+
+
−
+
+
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
Con distinto denominador 
Cuando las expresiones que se quieren sumar (o restar) tiene distinto denominador, es 
necesario calcular el denominador común. 
Ejemplo:
44
5
4
2
22 ++
++
− xx
x
x
• Se factorizan los denominadores. 
)2()2(42 −⋅+=− xxx
22 )2(44 +=++ xxx
• Se calcula el denominador común como el múltiplo común menor de los 
denominadores. Para ello, se multiplican los factores comunes y no comunes con el 
mayor exponente con el que figuren. 
El denominador común en el ejemplo dado es )2()2( 2 −⋅+ xx
• Se divide el denominador común encontrado por el denominador de cada término y 
se multiplica este cociente por el numerador correspondiente. 
)2()2(
)2()5()2(2
)2(
5
)2()2(
2
44
5
4
2
2222 −⋅+
−⋅+++⋅=
+
++
−⋅+
=
++
++
− xx
xxx
x
x
xxxx
x
x
• Operando en el numerador, queda: 
Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
Curso de Ingreso 110
)2()2(
65
)2()2(
105242
2
2
2
2
−⋅+
−+=
−⋅+
−+−++
xx
xx
xx
xxxx
• Se factoriza el numerador, y si corresponde se simplifica la fracción. 
)2()2(
)6()1(
)2()2(
65
22
2
−⋅+
+⋅−=
−⋅+
−+
xx
xx
xx
xx
5.12.2.- Producto de fracciones algebraicas 
El producto de dos fracciones algebraicas 
)(
)(
xQ
xP
y
)(
)(
xT
xS
se realiza del siguiente modo: 
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
xTxQ
xSxP
xT
xS
xQ
xP
⋅
⋅=⋅
Ejemplo:
( )
( )23
2
23
2
2)33(
1
2
1
33 xxx
xx
xx
x
x
x
+⋅+
−⋅=
+
−
⋅
+
Se factoriza numerador y denominador y se simplifica si es posible. 
( )
( ) 1)2(3
1
)2()1(3
)1()1(
2)33(
1
2
1
33 223
2
23
2
−≠
+⋅
−=
+⋅⋅+⋅
−⋅+⋅=
+⋅+
−⋅=
+
−
⋅
+
xsi
xx
x
xxx
xxx
xxx
xx
xx
x
x
x
5.12.3.- División de fracciones algebraicas 
Se llama inversa de una expresión algebraica fraccionaria 
)(
)(
xT
xS
a la expresión 
)(
)(
xS
xT
, si
)(xS es no nulo. 
Para realizar la división 
)(
)(:
)(
)(
xT
xS
xQ
xP
se multiplica la primera fracción por la inversa de la 
segunda. 
)(
)(
)(
)(
)(
)(:
)(
)(
xS
xT
xQ
xP
xT
xS
xQ
xP
⋅=
Ejemplo:
21
)1(3
5
)2(3)1()1(
)1()2(5
63
1
1
105
1
63:
1
105
22 −≠−≠−
=
+⋅−⋅+
+⋅+=
+
+
⋅
−
+=
+
+
−
+ xyxsi
xxxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
5.13.- Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas 
A continuación se mostrará a través de un ejemplo cómo se resuelve una ecuación que 
involucra fracciones algebraicas. 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 5: Polinomios 
 
Curso de Ingreso 111
Ejemplo: Encontrar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación. 
 
1
5
1
2
1
3
2
2
−
=
+
−
− x
x
x
x
x
x
Se observa en este caso, que la incógnita x no puede tomar los valores 1 y -1, dado que 
dichos valores anulan los denominadores. 
 
La siguiente ecuación es equivalente a la dada. 
 
0
1
5
1
2
1
3
2
2
=
−
−
+
−
− x
x
x
x
x
x
Se calcula el denominador común y se obtiene: 
0
1
5)1(2)1(3
2
2
=
−
−−⋅−+⋅
x
xxxxx
Operando en el numerador queda: 
 
0
1
52233
2
232
=
−
−+−+
x
xxxxx
0
1
252
2
23
=
−
−+−
x
xxx
Las raíces del polinomio xxx 252 23 −+− que figura en el numerador son soluciones para 
la ecuación dada. 
Ellas son 01 =x , 2
1
2 =x y 23 =x .
Como puede observarse no es necesario descartar ninguna de las soluciones obtenidas, ya 
que son distintas de 1 y -1, valores de la incógnita que al comenzar el ejemplo dijimos que 
anulan el denominador. 
 
Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
Curso de Ingreso 112
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5 
1.- Calcular )(2)( xBxA − , siendo 8942)( 243 +−+= xxxxA y xxxxB 23)( 23 −+−= .
2.- Dados: 4654)( 23 −+−= xxxxP , 54)( 2 +−= xxxQ y 3)( 2 −= xxT
Calcular: 
a. )()(3 xQxP +
b. )()()( xTxQxP ⋅−
3.- Sean 2243)( xxxA +−−= y 12)( −= xxB .
Completar el cuadro que sigue con el resultado de las operaciones indicadas. 
=⋅ )()( xAxB
( ) =2)(xB
4.- Obtener el cubo del siguiente binomio: y32 − .
5.- En el polinomio 332)( 2345 ++−+−= kxxxxxxA ¿Cuánto vale k , si 2)1( −=−A ?
6.- Efectuar las siguientes divisiones, indicando para cada una de ellas el cociente y el resto. 
Cuando corresponda emplear la Regla de Ruffini. 
 
a. ( ) ( )132 223 −÷++− xxxx
b. ( ) ( )128168 2325 +−÷+−− xxxxx
c. ( ) ( )2224 +÷++ xxx
d. ( ) ( )2523 34 −÷+−+− xxxx
e. ( ) ( )37105 −÷−− xxx
f. ( )1
2
1
4
3
2
1 23 −÷




 +−+ xxxx
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 5: Polinomios 
 
Curso de Ingreso 113
g. ( ) ( )32125 32 +÷+−+− yyyy
7.- En una división de polinomios el cociente es 54)( 2 +−= xxxC y el resto es 
73)( −= xxR . ¿Cuál es el dividendo, si el divisor es: 1)( 3 −+= xxxd ?
8.- Dado el polinomio 542)( 23 −−+= xxxxQ , calcular )1(Q . ¿Cuál es el resto de dividir 
)(xQ por ( )1−x ?
9.- Dado bxxxxP +−−= 1042)( 23 , determinar el valor de b, para que el número real 2−
sea raíz de )(xP .
10.- ¿Cuánto debe valer k para que el polinomio 132)( 4 −+−= xkxxQ sea divisible por 
)2( −x
11.- Sin realizar la división que se da a continuación, determinar el resto de: 
1
9899100101
+
+−+
x
xxxx
12.- Completar: 
a. )()2(639 3 KKKKKKKKKK⋅+=++− xxx
b. 3)1()( 2 −=+÷ xxKKKKKKKKKK
13.- Sea 242242)( 23 +−−= xxxxQ
a. Se sabe que )(xQ es divisible por uno de los siguientes polinomios. Indicar por cuál. 
Justificar. 
( )2−x ( )3+x ( )1+x
b. Encontrar todas las raíces de )(xQ
14.- 
a. Si 183123)3()( 23 −++=+⋅ xxxxxT , determinar )(xT .
b. Calcular las raíces de 183123)( 23 −++= xxxxQ
c. Expresar el polinomio )(xQ factorizado 
Raíces de )(xQ : ………………… 
Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
Curso de Ingreso 114
15.- Se sabe que el polinomio )(xP es divisible por )2( −x y el polinomio cociente que 
resulta de dividir )(xP por )2( −x es 1222)( 2 −−= xxxC
a. Calcular )(xP
b. Determinar las raíces de )(xP
c. Expresar el polinomio )(xP factorizado 
16.- Construir un polinomio que admita las raíces: 521 +=x , 522 −=x y 13 −=x
17.- Determinar un polinomio de grado 3, que tenga como raíces a 11 =x , a 22 =x y tal 
que 10)0( =P .
18.- Factorizar las siguientes expresiones: 
a. 40132 +− xx
b. 36244 2 ++ xx
c. 6254 −x
d.xxx 963 23 −−
19.- Factorizar y simplificar las siguientes expresiones: 
a. 
( )
xx
x
x
xxx
33
2
4
2
2
2
2
23
+
+
⋅
−
−−
b. 
4
105
32
183123
2
2
2
23
−
−
⋅
−+
−++
x
xx
xx
xxx
c. 
9
62
84
1222
223
23
−
−
⋅
−
−+
x
x
xx
xxx
d. 
xx
xxx
x
xx
4
242242
9
93
2
23
2
2
−
+−−
⋅
−
−
e. 
305
65
1
63 2
2 −
−−
⋅
−
+
x
xx
x
x
20.- Operar y simplificar. 
a. 
123
1
2
1
2 −
÷
+ xx
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 5: Polinomios 
 
Curso de Ingreso 115
b. 2
2
2 )2(
12
4
3
−
−−÷
−
+
x
xx
x
x
c. 
2
44
12 2
2
2
3
−+
+÷
+−
+
xx
x
xx
xx
d. ( )23
2
23
34
+
−
+
−
aaaa
21.- Indicar verdadero(V) o falso(F). Justificar la respuesta. 
a. El binomio 1+x es un divisor de 306 23 +++ xxx .
b. 
6
13 −x es divisible por 
2
1+x .
c. 
1321
31
21
1
+
=
−−
−
−−
−
a
a
aa
a si 3≠a
d. 
( ) 6
2
6
6
3612
36
22 +
=
+
−
−
++
+
yy
y
yy
y
e. ∀ 1−≠b vale 
1
11
1
22
+
−−=
+
−
b
b
b
b
f. Si { }3,3−−∈Rx se verifica 
2
25
9
65
2
2
−
+−=
−
+− x
x
xx
22.- Resolver las siguientes ecuaciones: 
a. 
1
5
1
2
1
1
2
2
−
−=
+
+
− x
x
xx
b. 1
2
3
2
2
2 =−
−
− xxx
c. 1
11
1
2 =−
+
+ x
x
x
d. 
33
363
44
12
1
2
2
2
2 −
++
−
−
−=
− x
xx
xx
Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
Curso de Ingreso 116
e. 
44
1
2
1
44
1
223 ++
=
+
−
−
++ xxx
x
xxx