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Álgebra de Polinômios
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS Ing. Francisco Raúl Ortíz González ,2008. x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8-2-4 -3 -1 3 4 1 2 5 6 7 8 -5-6-7-8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 y = P(x) = x -22x +170x -177x -1039x - 432x +12606 5 4 3 2 APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS El presente trabajo obviamente no pretende sustituir al tema relacionado a los polinomios, contenidos en publicaciones tan prestigiadas relacionadas con las matemáticas. Surge de la necesidad de que el alumno de ingeniería puede utilizarlo como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia de Álgebra en el TEMA III, denominado “POLINOMIOS” del programa actual, así como de materias afines. Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente al manejo de los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para la obtención de raíces. Por lo que si se quiere profundizar en el tema de polinomios, es necesario consultar bibliografía especializada para tener una información más amplia y con mayor profundidad que la que aquí se presenta, ya que solamente esto es una guía. ATENTAMENTE Ing. Francisco Raúl Ortíz González ,2008. Ing. Francisco Raúl Ortíz González. APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS i Pág. 1. INTRODUCCIÓN 1 2. DEFINICIÓN 2 3. FUNCIONES POLINOMIALES 4. TEOREMAS 11 5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO 14 6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO 18 7. RAÍCES DE UN POLINOMIO 20 8. EJERCICIOS 28 9. BIBLIOGRAFÍA 45 CONTENIDO GENERAL Ing. Francisco Raúl Ortíz González. APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS ii Pág. 1. INTRODUCCIÓN 1 2. DEFINICIÓN 2 2.1. CLASIFICACIÓN 2 2.2. EL GRADO 3 3. FUNCIONES POLINOMIALES 3 3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 4 3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS 5 3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN 5 3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN 6 3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO 7 3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE 7 4. TEOREMAS 11 4.1. TEOREMA DEL RESIDUO 11 4.2. TEOREMA DEL FACTOR 12 4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 12 5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO 14 6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO 18 7. RAÍCES DE UN POLINOMIO 20 7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES 20 7.1.1 REGLA DE LOS SIGNOS DE DECARTES 21 7.1.2 RAÍCES RACIONALES 26 8. EJERCICIOS 28 9. BIBLIOGRAFÍA 45 CONTENIDO Ing. Francisco Raúl Ortíz González. APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 1 1. INTRODUCCIÓN Los tipos más simples de función se construyen mediante la aplicación repetida de las operaciones elementales de: potencias, multiplicación, división, adición y, sustracción. Por ejemplo: 3 2 132 64 −+− xxx yy +3 243 523 2 1 zzzz ++−+− A cada una de estas expresiones que son llamadas “términos algebraicos” indican sumas y sustracción de monomios, las cuales forman polinomios. Estas expresiones algebraicas cuyos elementos están separados por los signos + o -, se forman por constantes y variables como se indica a continuación. a) Coeficientes numéricos: 3, 2 1,3,2 −− 1,1 − 5,2,1,3, 2 1 −− . b) Variables: 064 ,,, xxxx yy ,3 2043 ,,,, zzzzz . Los cuales al asociarse respectivamente se crean los siguientes monomios: 3, 2 1,3,2 64 −− xxx yy −,3 243 5,2,,3, 2 1 zzzz −− Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 2 2. DEFINICIÓN Un polinomio es la suma de uno o más términos algebraicos cuyas variables tienen exponentes enteros positivos. Los polinomios se dividen en: polinomios con una variable y polinomios con varias variables. Por ejemplo, para el primer caso siendo x la variable, el polinomio es la suma de uno o más términos que tienen la forma nax , donde a es un número real y n es un número entero. Las expresiones siguientes son polinomios con una variable: xx 23 2 + 345 3 8 4 7 5 3 xxx −− Y para el segundo caso, con yx, y z como variables, el polinomio es la suma de uno o más términos de la forma ,pnm zyax donde a es un número real y nm, y p son números reales enteros. Las siguientes expresiones son polinomios con más de una variable: xy3 xyyzyx 325 32 −+ 133222 ++ yxwvu 2.1. CLASIFICACIÓN Un polinomio con un término se llama monomio, con dos términos se llama binomio, y el de tres términos se llama trinomio. En la siguiente tabla se indica esta clasificación: Monomios (un término) Binomios (dos términos) Trinomios (tres términos) 32x 52 4 +x 342 23 ++ xx ba 2 xyt 317 2 −− nnmmn 73 224 +− 2533 zyx yzxyx 3513 4732 + 333425 71312 yxyxyx −+− Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 3 2.2. EL GRADO El grado de un polinomio es la potencia entera positiva mayor de una variable. Por ejemplo: a) 743 25 ++ xx es un trinomio de grado 5. Porque el grado máximo de los tres monomios es 5. b) xyyx 37 82 − es un binomio de grado 10, c) xyyx −+ 23 es un trinomio de grado 2, y d) 331218 392732 −+− yxyxyx es un polinomio de grado 12. Si los exponentes de la variable de un polinomio con una variable disminuyen al ir de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden descendente. Si aumentan al avanzar de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden ascendente. Ejemplo: Escribir los exponentes de 12357 342 −++− xxxx en: a) Orden descendente, y b) Orden ascendente. Solución: a) 13725 234 −+++− xxxx b) 432 52731 xxxx −+++− 3. FUNCIONES POLINOMIALES Para nombrar un polinomio se utiliza la expresión del tipo )(xP . Donde P representa a la función polinomial, la cual puede ser cualquier letra, y x la indeterminada correspondencia llamada variable del polinomio. Así se pueden escribir los siguientes polinomios: 1 2 132)( 64 −+−= xxxxP yyyQ 24)( 3 += zzzzzR 523 3 1)( 25 ++−+−= Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 4 Donde cada uno de los sumandos o monomios que forman a cada polinomio, es un término del mismo. A éstas expresiones se les llama funciones polinomiales. Para evaluar una función polinomial en valores específicos de su variable, por ejemplo 234)( 256 −+−+= xxxxxP cuando 1=x , sustituimos a x por el valor de 1 y simplificamos: 234)( 256 −+−+= xxxxxP 2)1()1(3)1(4)1()1( 256 −+−+=P 21341)1( −+−+=P 1)1( =P Como se puede ver, a cada número de x corresponde un sólo valor de )(xP . Si se aplican estas operaciones a una variable independiente x y a un conjunto de números reales naaaa .,..,,, 321 se obtiene el polinomio general expresado de la siguiente manera: ...2210 +++= xaxaay n n xa+ El polinomio más simple,es la función lineal: baxy += , la cual se representa gráficamente por medio de una línea recta. Otro caso es el de la función cuadrática: cbxaxy ++= 2 , que representa una parábola. 3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE En términos generales la representación de un polinomio con sólo una variable es la siguiente: 01 1 2 2 2 2 1 1 ...)( xaxaxaxaxaxaxP o n n n n n n ++++++= − − − − Pero: xaxa 1 1 1 = y 00 0 0 )1( aaxa == , recordando que 1 0 =x , por lo tanto: ...)( 22 1 1 +++= − − − − n n n n n n xaxaxaxP + oaxaxa ++ 1 2 2 Este polinomio es la suma de varios términos algebraicos cuyas variables tiene exponentes enteros, donde: )(xP es la variable dependiente, x es la variable independiente, 012321 ,,,...,,,, aaaaaaa nnnn −−− son los números reales, 0a es el término independiente; y, n es la potencia o exponente entero máximo. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 5 3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS En esta parte se describen las cuatro operaciones básicas que se pueden realizar para dos o más polinomios de una variable. 3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN Sean: ...)( 22 1 1 +++= − − − − n n n n n n xaxaxaxP + 01 2 2 axaxa ++ y ...)( 22 1 1 +++= − − − − n n n n n n xbxbxbxQ + .1 2 2 obxbxb ++ Realizar la siguiente operación aritmética: )()( xQxP + Solución: =+ )()( xQxP ( )0122211 ... axaxaxaxaxa annnnnn ++++++ −−−− + + ( )0122211 ... bxbxbxbxbxb annnnnn ++++++ −−−− Al sumar y agrupar términos semejantes resulta lo siguiente: = ( ) ( ) ( ) ...222111 ++++++ −−−−−− nnnnnnnnn xbaxbaxba ( ) ( ) ( )0011222 baxbaxba ++++++ Esto da como resultado otro polinomio con una sola variable, pero con diferente valor en los coeficientes y el término independiente. Ejemplo: Sean los siguientes tres polinomios: 223)( 24 +−+= xxxxP 342)( 345 +−+−= xxxxxQ y 34252)( 2345 −+−−+= xxxxxxR Realizar: )()()( xRxQxP ++ Solución: )()()( xRxQxP ++ = = )223( 24 +−+ xxx + )342( 345 +−+− xxxx + )34252( 2345 −+−−+ xxxxx Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 6 Al ordenar los polinomios en forma descendente, resulta lo siguiente: 223 24 +−+ xxx + 342 345 +−+− xxxx + 34252 2345 −+−−+ xxxxx ______________________________ cuya operación da como resultado: 263 45 +−+ xxx Por lo que: )()()( xRxQxP ++ = 263 45 +−+ xxx 3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN Con las dos expresiones de los polinomios )(xP y )(xQ del inciso 3.1.1.1., realizar: =− )()( xQxP Que al ser sustituidos en la expresión resulta lo siguiente: =− )()( xQxP ( )01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−− - - ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− Donde al restar y agrupar términos se obtiene lo siguiente: = ( ) ( ) ( ) ...222111 +−+−+− −−−−−− nnnnnnnnn xbaxbaxba ( ) ( ) ( )0011222 baxbaxba −+−+−+ Dando como resultado otro polinomio con una sola variable, pero con diferente valor en los coeficientes y el término independiente. Ejemplo: Sea: 223)( 234 −++−= xxxxxP y 23)( 34 +−+= xxxxQ . Obtener: )()( xQxP − Solución: )()( xQxP + = = )223( 234 −++− xxxx - )23( 34 +−+ xxx = = 22323 23344 −−+++−−− xxxxxxx = 4432 234 −++− xxxx Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 7 3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO Sean: 01 2 2 2 2 1 1)( axaxaxaxaxaxP n n m m m m ++++++= − − − − y ...)( 22 1 1 +++= − − − − n n n n n n xbxbxbxQ + .1 2 2 obxbxb ++ Efectuar: )()( xQxP Sustituyendo en la expresión, resulta lo siguiente: )()( xQxP = = ( 01 2 2 2 2 1 1 axaxaxaxaxa m m m m m m ++++++ − − − − ) ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− = )( mm xa ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− + + )( 11 − − m m xa ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− + + )( 22 − − m m xa ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− + + …………………………………………………………………….. + + )( 22 xa ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− + + )( 1xa ( )01222211 ... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− + + )( 0a ( )0122211 2... bxbxbxbxbxb nnnnnn ++++++ −−−− Lo que da como resultado otro polinomio pero de grado nm + , siendo la primera m el grado del primer polinomio y la siguiente n , el grado del segundo polinomio. Ejemplo: Sean: 33)( 23 −+= xxxP y 22)( 2 −= xxQ Calcular )(xP )(xQ Solución: )()( xQxP = )33( 23 −+ xx )22( 2 −x = = )3( 3x )22( 2 −x + )( 2x )22( 2 −x + )3(− )22( 2 −x = = 662266 22435 +−−+− xxxxx = = 68266 2435 +−+− xxxx 3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE Sean: 16)( 4 −= xxP y 13)( 2 ++= xxxQ . Efectuar la siguiente operación (división): )( )( xQ xP Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 8 Para ello se realiza la división algebraica ordinaria donde: )(xP es el dividendo y )(xQ el divisor. Considerando que )(xQ su grado es menor o igual que el de )(xP . La siguiente ilustración indica el proceso de esta operación: 832 +− xx 132 ++ xx 164 −x 224 3 xxx −−− 163 23 −−− xx xxx 393 23 ++ 1638 2 −+ xx 8248 2 −−− xx 2421 −− x Por lo que: )( )( xQ xP = 13 16 2 4 ++ − xx x = )83( 2 +− xx + ++ −− 13 2421 2 xx x = ++ + −+− 13 2421)83( 2 2 xx xxx Siendo: )83( 2 +− xx es el cociente y, 2421 −− x es el residuo. Esto indica que la división es no exacta. Existe además de este método para dividir dos polinomios el Método de la División Sintética, el cual consiste en que el divisor es un polinomio de la forma rx − . Por ejemplo: dividir el polinomio 8252)( 34 −−+= xxxxP entre 3+x empleando el procedimiento de división sintética. Solución: Escribir los coeficientes del dividendo y del divisor en el siguiente arreglo: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 9 2 5 0 -2 -8 -3 -3 2 5 0 -2 -8 2 - 1 3 - 6 3 2 5 0 -2 -8 2 - 1 3 -11 25 - 6 3 - 9 33 -3 obsérvese que no debe omitirse el coeficiente cero de 2x . El proceso de operación se realiza de la siguiente manera: bajar el primer término del dividendo. Multiplicar éste por 3− , colocándolo debajo del siguiente coeficiente para efectuar la adición. Repetir el paso anterior, ahora con el nuevo coeficiente obtenido. Se continúa con el proceso hasta que se hayan utilizado todos los coeficientes, obteniendo el siguiente resultado: Coeficientes del cociente residuo 2 5 0 -2 -8 -3 2 -3 2 5 0 -2 -8 2 - 1 - 6 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 10 1 8 -29 44 1 - 3 4 0 -11 Como se está dividiendo un polinomio de grado 4 con respecto a uno de grado 1, el cociente debe ser de grado 3 con su término independiente. Si se observa el resultado existen 5 coeficientes, pero el valor de 25 se llama residuo; el cual cuando es igual a cero la división es exacta, en caso contrario la división es no exacta, por lo que: . 3 251132 3 8252)( 2334 + +−+−= + −−+ = − x xxx x xxx rx xP es una división no exacta. Ejercicio: Sea el siguiente polinomio 44298)( 23 +−+= xxxxP , dividirlo con respecto a 11)( += xxQ , por ambosmétodos. Solución: a) División algebraica ordinaria cocientexx 432 +− 11+x 44298 23 +−+ xxx 23 11xx −− 44293 2 +−− xx xx 333 2 + 444 +x 444 −− x 0 residuo b) División sintética Coeficientes del cociente residuo Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 11 Esto indica que: 11 44298 )( )( 23 + +−+ = x xxx xQ xP = 432 +− xx por lo que es una división exacta. 4. TEOREMAS 4.1. TEOREMA DEL RESIDUO La división sintética es importante en las matemáticas debido al teorema del residuo. El cual indica lo siguiente: Si un polinomio )(xP se divide entre rx − , el residuo es )(rP Ejemplo: Sea el siguiente polinomio 1232)( 23 +−−= xxxxP . Determinar: a) A )3(P b) El residuo cuando )(xP se divide entre 3−x . Solución: a) Si 1)3(2)3(3)3(2)3( 23 +−−=P 162754 +−−= 22= b) 3 1232 3 )( 23 − +−− = − x xxx x xP qué por división sintética: 1232 −− 3 2196 22732 cuyo residuo es 22. Los resultados de las partes a) y b) muestran que el residuo es 22 . En ocasiones es más fácil determinar )(rP empleando la división sintética, que sustituyendo a x por r en )(xP ; esto, se cumple especialmente cuando r es un decimal. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 12 4.2. TEOREMA DEL FACTOR Si r es una raíz de 0)( =xP , se deduce, por definición de raíz, que 0)( =xP , entonces rx− es un factor del polinomio )(xP , y viceversa. Ejemplo: Por medio del teorema del factor, demostrar que 5−x es un factor dado de 20198)( 23 −+−= xxxxP . Solución: 5−x será factor de )(xP si 0)5( =P . Por lo que: 020)5(19)5(8)5()5( 23 =−+−=P Esto indica que si 5=x este factor es una raíz de dicho polinomio. 4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA El teorema fundamental del Álgebra dice: un polinomio 0)( =xP tiene por lo menos una raíz, ya sea real o compleja; y, que al utilizar el siguiente teorema que indica: una ecuación entera 0)( =xP , de grado n , tiene exactamente n raíces. Sea el siguiente polinomio: 0....)( 01 2 2 2 2 1 1 =++++++= − − − − axaxaxaxaxaxP n n n n n n . Donde 00 ≠a , al emplearse el teorema fundamental, dicho polinomio tiene por lo menos una raíz )( 1r . Por tanto, por el teorema del factor, )( 1rx − es un factor de )(xP , y se puede escribir: )()()( 11 xQrxxP −≡ , siendo )(1 xQ un polinomio de grado 1−n con coeficiente principal na . Así mismo, al seguir empleando el teorema fundamental donde 0)(1 =xQ posee por lo menos una raíz, es decir 2r . Por tanto, por el teorema del factor, 2rx − es un factor de )(1 xQ , con lo que ( )( ) 0)()( 221 =−−= xQrxrxxP , en donde )(2 xQ es un polinomio de grado 2−n con coeficiente principal na . Continuando con este proceso n veces, se obtienen n factores lineales y un último cociente que será simplemente el coeficiente principal na . Por tanto, )(xP se puede escribir en la forma siguiente: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 13 2 2 6 8 4 1 3 4 2 0 1 1 -2 -6 -4 )())(()( 01 rxrxrxaxP nnn −−−≡ − Donde 021 ,,,, rrrr nnn −− , son n raíces de la ecuación o polinomio )(xP . Ejemplo: Construir el siguiente polinomio que tiene las siguientes raíces: 2,3,1 − y 2 . Solución: El primer miembro del polinomio buscado tiene los factores: .22,3,1 −−+− xyxxx Por tanto: 0)2)(2)(3)(1( =−−+− xxxx Al efectuar los tres productos resulta el siguiente polinomio o ecuación. 0122072 234 =−+−− xxxx que es de grado 4, con coeficientes: 1220,7,2,1 01234 −==−=−== ayaaaa Siendo 120 −=a el término independiente. Ejemplo: Comprobar que 02=−x es una raíz de la ecuación 0462 234 =−−−+ xxxx , y hallar las raíces restantes. Solución: Primeramente se comprobará que 2 es una raíz usando para ello el método de la división sintética: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 14 1 3 4 2 -1 -1 -2 -2 1 2 2 0 Donde su ecuación reducida es de la siguiente manera: 0243 23 =+++ xxx Ahora bien, utilizando esta ecuación en lugar de la original, para comprobar que 1− es la otra raíz. Así se obtiene por división sintética lo siguiente: La ecuación reducida es ahora la ecuación cuadrática 0222 =++ xx , cuyas raíces pueden obtenerse fácilmente por la fórmula: a acbb x 2 42 2,1 −±− = obteniéndose las siguientes raíces complejos (números complejos) i±−1 . 5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO En esta parte se estudia el problema general de la construcción e interpretación de la gráfica del polinomio )(xP . Para ello se utiliza el sistema de coordenadas rectangulares para dar una representación geométrica o gráfica de una relación funcional. Este método tiene la ventaja de que proporciona visualmente el diagrama de comportamiento de una función dada, dando valores a una variable. )(xPy = Esta expresión establece que la variable y depende de la variable independiente x . Esto significa que para cada valor asignado a x , pueden ser determinados uno o más valores correspondientes de y . Donde cada par de valores correspondientes de x y de y satisfacen al polinomio (ecuación), tomando a cada uno de los pares de valores reales como coordenadas ),( yx de un punto en un sistema de coordenadas rectangulares. Por lo que el conjunto de todos los puntos, y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o polinomio )(xPy = , se llama el lugar geométrico o gráfica del polinomio. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 15 Todo punto cuyas coordenadas satisfacen al polinomio se dice que pertenecen al lugar geométrico de )(xPy = . Esto es, si las coordenadas de un punto satisfacen un polinomio entonces ese punto pertenece al lugar geométrico del polinomio, y recíprocamente, si un punto pertenece al lugar geométrico de un polinomio o ecuación sus coordenadas satisfacen al polinomio. Ya que las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas a satisfacer al polinomio, entonces, en general, dichos puntos quedarán localizados en posiciones que determinan una trayectoria definida llamada curva, gráfica o lugar geométrico. Ejemplo: Construir la gráfica del polinomio 24812)( 234 ++−−= xxxxxP y localizar las raíces reales de la ecuación 0)( =xP . Solución: Primeramente se obtendrán las coordenadas de un número adecuado de puntos de la gráfica. Las ordenadas se calculan por sustitución en )(xP de los valores asignados a x . Sin embargo, en muchos casos pueden obtenerse con menos esfuerzo utilizando la división sintética. Generalmente conviene empezar con los valores de ,4,3,2,1,0: ±±±±x etc., continuando mientras de información útil acerca de las raíces reales. Donde se observa que si: 2=x , 0)2( == Py cuya pareja ordenada es )0,2(),( =yx . Ahora bien, si: 3−=x , 0)3( =−= Py , esto significa que: )0,3(),( −=yx Siendo ,2=x y 3−=x , las primeras dos raíces reales del polinomio que alaplicarlas como elemento de 24812)( 234 ++−−= xxxxxP resulta lo siguiente en la división sintética: x P(x) 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 24 20 0 -6 56 6 -16 0 120 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 16 1 1 -10 -12 -3 1 -2 -4 0 -3 6 12 Dando como resultado el siguiente polinomio: 0121023 =−−+ xxx , el cual al ser dividido por 3− se obtiene el polinomio: 0422 =−− xx . Gráficamente se indica su representación: 1 -1 -12 8 24 1 1 -10 -12 0 2 2 -20 24 2 x y = P(x) 1 2 3 4-1-2-3-4 -10 -20 10 20 30 40 50 60 0 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 17 1 0 2 3 4 5 6 -1 0 8 6 0 -4 0 18 -24 x y -3-4 -2 10 -10 -20 -1 0 1 2 3 4 y = P(x) 20 30 x5 6 Ejemplo: Trazar la gráfica del polinomio: xxx 158 23 +− Solución: Hagamos xxxxPy 158)( 23 +−== , asignando valores a x , y calculando los valores correspondientes de y , se obtienen las coordenadas de un número adecuado de puntos: Donde: ,3,0 == xx y 5=x son las tres raíces reales del polinomio. Su gráfica correspondiente es la siguiente: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 18 6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO Sea la siguiente expresión: 00 1 1 2 2 2 2 1 1 ....)( xaxaxaxaxaxaxP n n n n n n ++++++= − − − − a la cual se le llama polinomio en x con coeficientes 0123321 ,,,,,,,, aaaaaaaa nnnn −−− que pertenecen a los números reales, donde 0a se le llama término independiente. A las expresiones: 00 1 1 2 2 2 2 1 1 ,,,,,, xaxaxaxaxaxa n n n n n n − − − − se les llama términos del polinomio y a los números 0123321 ,,,,,,,, aaaaaaaa nnnn −−− coeficientes de 01221 ,,,,,, xxxxxx nnn −− respectivamente. En la práctica es usual realizar las siguientes simplificaciones en cualquier polinomio: 1. Escribir 0a en lugar de 0 0 xa . 2. Escribir x en lugar de 1x . 3. escribir kx en lugar de kx1 4. Escribir kk xa− en lugar de k k xa )(−+ 5. Omitir los términos cuyo coeficiente sea cero. Así, )4(02 5310 xxxx +−−+ se escribe en la forma: 542 xx −+ Ejemplo: Encontrar todos los coeficientes que existen en el siguiente polinomio: 13235)( 246 −+−+= xxxxxP Solución: El polinomio es de grado 6, por lo tanto va a tener 7 coeficientes. Esto a consecuencia de que se le suma una unidad a la potencia entera de grado máximo. Entonces: ,3,2,0,3,0,5 123456 =−===== aaaaaa y 10 −=a Por lo que el polinomio en forma general es de la siguiente manera: 132)0(3)0(5)( 123456 −+−+++= xxxxxxxP que al efectuar los productos del coeficiente cero se obtiene el polinomio original. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 19 13235)( 246 −+−+= xxxxxP Ejemplo: Encontrar todos los coeficientes que existen en el siguiente polinomio. 573 23421)( xxxxxP +−−+= Solución: Primero hay que ordenar en forma descendente el polinomio: 14223)( 357 +−++−= xxxxxP Seguidamente a la potencia entera 7 sumarle la unidad ( 17+ = 8 ), lo que indica que van a ser 8 coeficientes los que acompañarán a cada una de las x . ,4,0,2,0,2,0,3 1234567 −======−= aaaaaaa y 10 =a Ejemplo: Obtener todos lo coeficientes que contienen al siguiente polinomio: 2358 238)( xxxxxP ++−= Solución: Por ser un polinomio de grado 8, esta expresión debe de tener 9 coeficientes, pero si se observa no está el término independiente, esto a consecuencia de que: ?,,1,2,0,3,0,0,8 12345678 ====−==== aaaaaaaa y ?0 =a Pero si se utiliza el último monomio como factor común múltiplo de todo el polinomio, resulta lo siguiente. [ ])1238()( 362 ++−= xxxxxP = 0 como 2x está como producto, este pasa del otro lado dividiendo, 002 =x . Entonces: 1238)( 36 ++−= xxxxP es el polinomio original, por lo que este es de grado 6, con 7 coeficientes. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 20 Por lo que: ,2,0,3,0,0,8 123456 ====== aaaaaa y 10 =a son los verdaderos coeficientes. 7. RAÍCES DE UN POLINOMIO El concepto de raíz de un polinomio o solución de una ecuación algebraica son equivalentes, esto a consecuencia de que una ecuación algebraica de grado n es una ecuación de la forma: 0....)( 01 2 2 2 2 1 1 =++++++= − − − − axaxaxaxaxaxP n n n n n n Donde: 111 xaxa = , y 0 00 xaa = , recordando que 1 0 =x . Además: 01221 ,,,....,,, aaaaaa nnn −− son los coeficientes, números reales o constantes, 0a el término independiente y x la variable. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. Estas raíces se clasifican ya sean en: raíces reales las cuales pueden ser racionales o irracionales iguales o diferentes o en el mejor de los casos raíces complejas, las que siempre deben estar en parejas (números complejos en forma binómica). A continuación se presentan algunos ejemplos de raíces de polinomios. , 7 2, 3 1,5,2,5, 3 1,1,0 −==−==−==== xxxxxxxx ,32;32 21 ixix −=+= ix −=11 y ix +=12 ix 31 = y ix 32 −= 7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES Para determinar la naturaleza de las posibles raíces de polinomios se basa en el análisis de los signos que aparecen en los coeficientes del polinomio, al cual se le llama “Regla de los signos de Descartes”. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 21 7.1.1. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES La Regla de los Signos de Descartes, es muy importante en lo referente al estudio sobre la naturaleza de las raíces de cualquier polinomio de orden n , por medio de esta regla es posible determinar su número máximo de posibles raíces positivas y negativas de coeficientes reales. El cual debe de estar ordenado en potencias decrecientes de la variable. Se dice que existe un cambio de signo cuando dos términos sucesivos difieren en el signo de sus coeficientes Es por ello que: 1. El número de raíces reales positivas de )(xP es igual al número de cambios de signos en )(xP o menor en un número par. 2. El número de raíces reales negativas de )(xP es igual al número de cambios de signo en )( xP − o menor en número par. Para poder comprender esta regla considerar el siguiente polinomio: 02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP 1. La obtención de las posibles raíces reales positivas es de la siguiente manera: Sí: xx += . Donde esta igualdad al ser sustituida en )(xP resulta que )()( xPxP += , por lo que el polinomio se representa como: 024)(14)(13)(2)()( 234 =++−+−+++=+ xxxxxP Que al efectuar la potencia de cada variable el polinomio queda igual al original, por lo que: 02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP Observándose que existen dos variaciones de signo: 02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP Esto indica que )(xP tiene 2 o 0 raíces reales positivas, a consecuencia de que existen dos cambios de signo. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 22 2. Con respecto a las posibles raíces negativas del polinomio, se sigue el mismo procedimiento para las raíces positivas, sólo que la variable x debe ser negativa, por lo que: xx −= . Esto implica que: 024)(14)(13)(2)()( 234 =+−+−−−−−=− xxxxxP Que al efectuar las operaciones de las diferentes potencias, resulta lo siguiente: 02414132)( 234 =++−−=− xxxxxP Viendo que existen 2 cambios de signo, lo cual indica quetiene 2 o 0 raíces negativas, el polinomio en estudio. Puesto que el polinomio es de grado 4, este debe tener 4 raíces y dado que no tiene raíces nulas, las únicas posibilidades son las que se presentan en la siguiente tabla. Para ello hubo la necesidad de realizar combinaciones entre cada una de las raíces positivas con respecto a cada una de las raíces negativas: RAÍCES .PROPUESTA 1 2 3 4 REALES POSITIVAS 2 2 0 0 REALES NEGATIVAS 0 2 0 2 COMPLEJAS 2 0 4 2 TOTAL 4 4 4 4 Esta tabla se llama Tabla de la Naturaleza de las Raíces. Es necesario hacer la aclaración de que al obtenerse raíces pares siempre es necesario restarlas de dos en dos, hasta llegar al cero. Cuando las raíces sean impares es necesario también restar de dos en dos hasta llegar a la unidad. EJEMPLOS 1. Obtener la naturaleza del siguiente polinomio: 32)( 24 −−= xxxP Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 23 Solución: Es un polinomio de grado 4, por lo tanto va a tener cuatro raíces. Si: xx += , entonces el polinomio 32)( 24 −−= xxxP , resulta 32)( 24 −−=+ xxxP , que es el mismo polinomio original. Donde sólo existe un sólo cambio de signo, lo cual significa que existe una sola raíz positiva. Si: xx −= , entonces el polinomio 32)( 24 −−= xxxP , es 32)( 24 −−=− xxxP En donde también sólo hay un cambio de signo; esto indica que sólo existe una raíz negativa. Con lo información obtenida, se puede realizar la Tabla de la Naturaleza de las Raíces, como se indica a continuación: Por lo que además de una raíz real positiva, y una raíz real negativa, tiene dos raíces complejas las cuales son necesarias para ajustar el total de las cuatro raíces del polinomio. 2. Obtener la naturaleza de las raíces del siguiente polinomio: 0123 23 =−+− xxx Solución: Si: xx += , entonces )()( xPxP += , por lo que: 0123)()( 23 =−+−=+= xxxxPxP es el mismo polinomio propuesto, donde se observa que sólo existen tres o una raíz. RAICES PROPUESTA REALES POSITIVAS 1 REALES NEGATIVAS 1 COMPLEJAS 2 TOTAL 4 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 24 =)(xP 0123 23 =−+− xxx Sí xx −= , entonces =−= )()( xPxP 0123 23 =−−−− xxx . Observándose que no hay variación de signos, por lo que el polinomio no tiene raíces negativas. La Tabla de la Naturaleza de las Raíces, queda de la siguiente manera RAÍCES PROPUESTA 1 2 REALES POSITIVAS 3 1 REALES NEGATIVAS 0 0 COMPLEJAS 0 2 TOTAL 3 3 De aquí se tiene que el polinomio puede tener tres raíces positivas o una raíz positiva y dos raíces complejas. 3. Establecer la Tabla de la Naturaleza de las Raíces del siguiente polinomio: 234567 100160104225)( xxxxxxxP +−+−−= Solución: Este es un polinomio de grado 7, por lo que tiene siete raíces, sin embargo como no presenta el término independiente, de esta forma no se puede obtener la naturaleza de las raíces del polinomio. Pero si 2x se utiliza como factor común de dicho polinomio, resulta lo siguiente: 0)100160104225()( 23452 =+−+−−= xxxxxxxP donde: 0100160104225)( 2345 =+−+−−= xxxxxxP Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 25 Por lo que el polinomio de grado siete, es realmente de grado cinco, lo cual indica que va a tener cinco raíces. Al aplicar el teorema para obtener la naturaleza de las raíces del polinomio mencionado, resulta lo siguiente: Sí: xx += , entonces 0100160104225)()( 2345 =+−+−−=+= xxxxxxPxP El polinomio queda igual con respecto a la variación del signo +, por lo que sigue presentando sus cuatro variaciones de signo originales: )100160104225()( 2345 +−+−−= xxxxxxP Esto indica que existirán 4, 2 o 0 raíces positivas. Ahora bien, sí: ( )xx −= , entonces: 100160104225)( 2345 ++++−−=− xxxxxxP donde sólo existe un cambio de signo, lo que implica que solamente tendrá una raíz negativa. Su Tabla de la Naturaleza de las Raíces, queda de la siguiente forma: RAÍCES PROPUESTA 1 2 3 REALES POSITIVAS 4 2 0 REALES NEGATIVAS 0 0 0 COMPLEJAS 0 2 4 TOTAL 4 4 4 Esta tabla indica que existen tres posibles soluciones, de las cuales una va a ser la verdadera. La primera posibilidad será de 4 raíces reales positivas, la segunda posibilidad de dos raíces reales positivas y dos raíces complejas o en el mejor de los casos cuatro raíces complejas. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 26 7.1.2. RAÍCES RACIONALES Para determinar las raíces de cualquier polinomio de grado n entero positivo, con coeficientes que pertenecen al conjunto de los números racional, es necesario utilizar el siguiente teorema: Sea: 00 1 1 2 2 2 2 1 1 ....)( xaxaxaxaxaxaxP n n n n n n ++++++= − − − − un polinomio en x con coeficientes enteros, donde 0≠na , 00 ≠a y 1≥n . Si un número racional es raíz de )(xP y d c es su mínima expresión, entonces c es un factor de 0a y d es un factor de na . Siendo c y d números primos relativos. Ejemplo: Dado el siguiente polinomio, obtener sus raíces racionales. 2 1 3 1 6 7 3 1)( 23 −++= xxxxP Solución: Como se observa en el polinomio sus coeficientes son números racionales, pero por lo general los coeficientes siempre deben ser números enteros. Para ello es necesario multiplicar a toda la expresión por el escalar seis (6), con lo cual se obtiene la siguiente expresión: 0) 2 1 3 1 6 7 3 1(6)( 23 =−++= xxxxP resultando lo siguiente: 3272)( 23 −++= xxxxP que tiene las mismas raíces que )(xP original, y cuyos coeficientes son números enteros. Para )(xP se tiene que: 30 −=a cuyos factores son 1=c y 3 , y 23 =a cuyos factores son =q 1 y 2 Por lo que en base al teorema del residuo, si )(xP tiene raíces racionales tanto positivas como negativas, éstas deberán ser las siguientes: = d c 2 3, 2 1,3,1 ±±±± los cuales se conocen como posibles raíces racionales de )(xP . Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 27 2 9 11 8 2 9 11 2 7 2 - 3 1 2 7 2 - 3 2 13 41 120 6 39 123 3 Empleando la división sintética y con base al teorema del residuo, se puede determinar cuáles de las posibles raíces lo son efectivamente. Por lo que 1 no es raíz de )(xP También 3 no es raíz de )(xP Pero, 2 1 es la primera raíz de )(xP y el polinomio puede factorizarse de la siguiente manera: 0)682)( 2 1()( 2 =++−= xxxxP Como 682 2 ++ xx es un polinomio de segundo grado sus raíces pueden obtenerse directamente de la siguiente expresión: a acbb x 2 42 2,1 −±− = donde 8,2 == ba y 6=c , que al ser sustituidos dichos valores resulta lo siguiente: 4 48 )2(2 )6)(2(4)8(8 2 3,2 ±− = −±− =x 2 7 2 - 3 2 8 6 0 1 8 6 1 2 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 28 Siendo la segunda raíz con el valor de 1− y la tercera de 3− . Con lo que se puede expresar como: Donde la descomposición de )(xP en factores lineales es: 0)3)(1)( 2 1()( =++−= xxxxP cuyas raícesson las siguientes: ;1; 2 1 21 −== xx y, 33 −=x 8. EJERCICIOS 1. Dados los siguientes polinomios, encontrar los coeficientes que acompañan a la variable independiente. a) 235)( 25 −+= xxxP Solución: Es un polinomio de grado 5 , el cual va a tener 6 coeficientes, ya que: Si 5=n , entonces los coeficientes son 61=+n . A continuación se establecen cuales son los coeficientes que acompañan al polinomio en cuestión. ;0;3;0;0;5 12345 ===== aaaaa y, 20 −=a Siendo que 20 −=a es el término independiente del polinomio. b) 2 24683 5262)( xxxxxxxxQ +−+−++−= Solución: El polinomio no está en orden decreciente, por lo tanto hay que ordenarlo desde la potencia mayor de la variable independiente que tiene como valor 8 , hasta el valor de .0 Por lo que el polinomio queda ordenado de la siguiente forma. 6252)( 23468 +−−++−= xxxxxxxQ quedando los 9coeficientes de la siguiente manera: 2)3)(1(682 2 ++=++ xxxx Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 29 18 =a 26 −=a 05 =a 54 =a 13 =a 12 −=a 21 −=a 60 =a , siendo este coeficiente el término independiente del polinomio. c) 4678 42)( xxxxxR +−−= Solución: Como se observa es un polinomio de grado 8 , por lo que van a existir 9 coeficientes, por lo que: ;4;0;1;2;1 45678 ==−=−== aaaaa 0;0;0 123 === aaa y, 00 =a Observándose que los coeficientes ;;; 123 aaa y, 0a no tienen valor. Además de que no hay término independiente. Por lo que este polinomio no es de grado 8 , ya que debe de existir el término independiente. Pero, si de la variable independiente con potencia menor que es 4x se utiliza como factor común múltiplo del polinomio original, resulta lo siguiente: 0)42(42)( 23444678 =+−−=+−−= xxxxxxxxxR Que al despejar 4x , resulta que: 042)( 234 =+−−= xxxxR ya que 004 =x Por lo que de un polinomio de grado 8 sin término independiente, resulta ser polinomio de grado 4 con término independiente, y cuyos coeficientes son los siguientes: ;0:1;2;1 1234 =−=−== aaaa y 00 =a 2. Dados los siguientes polinomio 423 2 +− xx y 342 2 −+ xx , sumarlos. 07 =a Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 30 Solución: Si 423)( 2 +−= xxxP y 342)( 2 −+= xxxQ , entonces )()()( xQxPxR += , que al sustituir los valores darán lo siguiente: 125)342()423()( 222 ++=−+++−= xxxxxxxR 3. Realizar )()()( xQxPxR −= , si 238)( 25 −−= xxxP y 14)( 234 −+−= xxxxQ Solución: )()()( xQxPxR −= = )238( 25 −− xx )14( 234 −+−− xxx = = 1448 2345 −−+− xxxx 4. Considerar los siguientes polinomios: 123)( 23 −++= xxxxP y 2)( 2 −= xxQ ; efectuar el producto ))(( QxxP . Solución: Si )()()( xQxPxR = al sustituir los valores resulta lo siguiente: =−−++= )2)(123()( 223 xxxxxR =+−−+−+− 224263 232435 xxxxxxx 225523 2345 +−−−+= xxxxx 5. Dados los siguientes polinomios: 45)( 24 +−= xxxP y 12)( 2 −−= xxxQ . Efectuar )( )( xQ xP e indicar si es una división exacta o no. Solución: 12 45 )( )()( 2 24 −− +− == xx xx xQ xPxR = 12 422 2 2 −− + ++ xx xxx Por lo que esta división ordinaria es NO EXACTA 6. Si 45)( 24 +−= xxxP y 23)( 2 ++= xxxQ . Efectuar su división ordinaria. Solución: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 31 2 -3 4 - 5 4 2 12 2 1 6 7 2 12 2 234 )( )()( 2 23 −−= − ++− == xx x xxx xQ xPxR Si 23 23 45 )( )()( 22 24 +−= ++ +− == xx xx xx xQ xPxR por lo que esta división ordinaria ES EXACTA, por no existir el residuo 7. Si 53)( 23 ++−= xxxxP , aplicar el teorema del residuo para hallar ).2(P Solución: En base al teorema del residuo )2(P da como resultado su residuo. 35)2()2(3)2()2( 23 =++−=P . Siendo 3 su residuo. Ahora bien, si se divide entre 2−x el polinomio resulta lo siguiente: 2 53 )( )()( 23 − ++− == x xxx xQ xPxR = 2 312 − +−− x xx siendo su residuo igual a 3 , 8. Probar que 2−x es un factor de 234)( 23 ++−= xxxxP Solución: Como 02)2(3)2(4)2()2( 23 =++−=P , por el teorema del factor, 2−x es un factor de )(xP . Otro método de solución es el de dividir )(xP entre 2−x y probar que el residuo es ,0 donde el cociente de la división sería otro factor de )(xP , por lo que: Cuyo residuo es igual a 0. 9. Emplear la división sintética para hallar el cociente y el residuo, si el primer polinomio se divide entre el segundo. a) 2;5432 23 −−+− xxxx Solución: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 32 5 2 0 -5 -2 5 7 2 - 1 3 -6 12 -18 36 -65 -6 12 -24 36 -72 3 0 0 6 0 7 -2 Esto indica que: 2 762 2 5432 223 − +++= − −+− x xx x xxx donde el cociente tiene como resultado: 62 2 ++ xx y como residuo: 7 b) 2;763 25 +++ xxx Solución: ya que: 2 763 25 + ++ x xx es igual a: 2 6536181263 234 + −+−+− x xxxx donde 36181263 234 +−+− xxxx es el cociente, y 65− es el residuo c) 1;275 2 +++ xxx Solución: Por lo que: 25 1 275 2 += + ++ x x xx cuyo cociente es 25 +x y su residuo es cero 10. Analizar el número posible de soluciones reales positivas, negativas y complejas de la ecuación 0)( =xP , donde: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 33 56372)( 245 −++−= xxxxxP Solución: Aplicando la regla de los signos de Descartes, para: xx += . 5)(6)(3)(7)(2)( 245 −+++++−+=+ xxxxxP 56372 245 −++−= xxxx Donde sólo existen tres cambios de signo. Por lo que la cantidad de raíces reales positivas serán tres o una. Ahora bien, si xx −= , 5)(6)(3)(7)(2)( 245 −−+−+−−−=− xxxxxP 56372 245 −−+−−= xxxx En donde sólo existen dos cambios de signo, esto indica que la cantidad de raíces reales negativas serán dos o cero. La siguiente tabla resume las diversas posibilidades que pueden ocurrir como soluciones del polinomio: 56372)( 245 −++−= xxxxxP NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA 1 2 3 4 REALES POSITIVAS 3 3 1 1 REALES NEGATIVAS 2 0 2 0 COMPLEJAS 0 2 2 4 TOTAL DE RAÍCES 5 5 5 5 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 34 11. Investigar el posible número y la naturaleza de las raíces del siguiente polinomio. 2735)( 23 −−−= xxxxP Solución: Si xx += , entonces 2735)( 23 −−−=+ xxxxP donde sólo existe un cambio, por lo que la cantidad de raíces positivas será de uno. Ahora bien, si xx −= , entonces: 2735)( 23 −+−−=− xxxxP En este caso se presentan dos cambios de signo, por lo que la cantidad de raíces negativas será de dos o cero. La siguiente tabla resume las diversas posibilidades que pueden ocurrir como soluciones del polinomio: 2735)( 23 −−−= xxxxP 12. Indicar la cantidad de diversas posibilidades de raíces tanto positivas, negativas y complejas, que puede tener el siguiente polinomio. 07232 235 =+−− xxx NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA 1 2 REALES POSITIVAS 1 1 REALES NEGATIVAS 0 2 COMPLEJAS 2 0 TOTAL DE RAÍCES 3 3 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 35 Solución: Si xx += , entoncesen polinomio queda igual 07232)( 235 =+−−=+ xxxxP Existiendo dos cambios de signo, y por lo tanto la cantidad de raíces positivas puede ser de dos o cero. Si xx −= , entonces: 07232)( 235 =+−+−=− xxxxP cuya cantidad de variaciones es de tres, lo que indica que pueden existir tres o una raíz negativa. Quedando de la siguiente manera la tabla de la naturaleza de las raíces. 13. Encontrar las raíces que conforman al siguiente polinomio: 0232 24 =−−− xxx Solución: Utilizando la regla de los signos de Descartes Si xx += , entonces: 0232)( 24 =−−−=+ xxxxP sólo existe un cambio de signo, por lo que sólo habrá una raíz positiva. NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA 1 2 3 4 REALES POSITVAS 2 0 2 0 REALES NEGATIVAS 3 3 1 1 COMPLEJAS 0 2 2 4 TOTAL DE RAÍCES 5 5 5 5 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 36 Si xx −= , entonces: 0232)( 24 =−+−=− xxxxP Indica que existen tres cambios de signo, por lo que sólo pueden existir tres o una raíz negativa. Y la tabla de la naturaleza de las raíces queda de la siguiente manera. Aplicando el Teorema que dice lo siguiente: Sea un polinomio 01 2 2 1 1)( axaxaxaxaxP n n n n +++++= − − , donde 0121 ,,,,, aaaaa nn − pertenecen a los números enteros. Si d c es una raíz racional de dicho polinomio; además de que c y d son números primos relativos, entonces c divide a 0a y d divide a na . Por lo que: 20 =a y 1=na ; 1,2=c y 1=d Siendo 2 1 2 ±== d c y 1 1 1 ±== d c posibles raíces reales, que por división sintética se obtiene. Para obtener la primera raíz real positiva, se establece que 1=x , donde la división sintética queda de la siguiente manera: NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA 1 2 REALES POSITIVAS 1 1 REALES NEGATIVAS 1 3 COMPLEJAS 2 0 TOTALES 4 4 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 37 1 1 -1 - 4 - 6 1 0 -2 -3 -2 1 1 -1 - 4 1 1 2 2 1 1 1 1 0 - 1 - 1 - 1 -1 De aquí se observa que no es una división exacta, por existir el residuo. Sí 2=x , la división sintética resulta de la manera siguiente: 1 2 2 1 0 1 0 - 2 - 3 - 2 2 4 4 2 2 Esto indica que 2=x es la primera raíz real positiva, porque no existe residuo diferente de cero, por lo que: 122 2 232 2324 +++= − −−− xxx x xxx , es un polinomio de grado tres. Continuando con la obtención de las siguientes raíces, se procede la obtención de las raíces reales negativas, donde 1−=x . Que al aplicarlo al polinomio de grado tres en división sintética resulta lo siguiente: Lo cual indica que 1−=x , es otra raíz, pero real negativa, ya que: 1 1 122 223 ++= + +++ xx x xxx es un polinomio de grado dos. Este último polinomio que es de grado dos, se puede resolver aplicando la fórmula: a acbb x 2 42 2,1 −±− = Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 38 Con la cual se pueden obtener las dos últimas raíces buscadas. Recordando que 012 =++ xx proviene de 02 =++ cbxax . Donde: ,1;1 == ba y 1=c , son sustituidos en dicha fórmula. 2 31 2 411 )1(2 )1)(1(4)1(1 2 4,3 −±− = −±− = −±− =x = 3 3 3 1 − ±− Por lo que: 2 3 2 1 3 − +−=x y 2 3 2 1 4 − −−=x Pero, recordando que no existe en el conjunto de los números reales la siguiente expresión 3− , estas no son las dos últimas raíces del polinomio buscadas. Por lo que es necesario realizar la siguiente operación si: 1−=i y i313)1)(3(3 =−=−=− entonces: ix 2 3 2 1 3 +−= y ix 2 3 2 1 4 −−= Siendo estas dos expresiones, las dos últimas raíces que son del tipo complejas. Por lo que: a) la primera raíz real positiva es 21 =x , b) la segunda raíz real negativa es 12 −=x ; y c) la tercera y cuarta raíz son complejas ix 2 3 2 1 3 +−= y ix 2 3 2 1 4 −−= Que si se observa la tabla de la naturaleza de las raíces, la primera propuesta es la verdadera. 14. Resolver el siguiente polinomio: 8465)( 234 −++−= xxxxxP Solución: Aplicando la regla de los signos de Descartes, donde: Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 39 xx += : 8465)( 234 −++−=+ xxxxxP Por existir tres cambios de signo, esto indica que pueden ser tres o una raíz real positiva. Sí xx −= , entonces resulta lo siguiente: 8465)( 234 −−++=+ xxxxxP Lo cual indica que sólo existe una sola variación, y por lo tanto existirá una raíz real negativa. La tabla de la naturaleza de las raíces es la siguiente: Aplicando el teorema que indica como obtener las posibles raíces racionales del polinomio, considerando na y 0a , resulta lo siguiente: Sí 80 =a y 1=na , entonces 1,2,4,8=c y, 1=d números primos relativos. De donde: 8 1 8 ±== d c 4 1 4 ±== d c 2 1 2 ±== d c 1 1 1 ±== d c son las posibles raíces del polinomio. RAÍCES PROPUESTA 1 2 REALES POSITIVAS 3 1 REALES NEGATIVAS 1 1 COMPLEJAS 0 2 TOTAL 4 4 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 40 A continuación se realiza la división sintética para obtener las raíces de este polinomio. Para ello se establece que 2=x . Por lo que 2=x es la primera raíz real positiva del polinomio original, cuyo resultado es el de: 043 23 =+− xx el cual se va a volver a dividir por medio de la división sintética, considerando que ahora x va a valer 1− ; es decir que: 1−=x , entonces resulta lo siguiente: Observándose que 1−=x es la segunda raíz real del polinomio pero negativa, cuyo cociente resulta el siguiente polinomio de orden 2: 0442 =+− xx , que utilizando la fórmula general para resolverlo resulta lo siguiente: = −± = −−±−− = 2 16164 )1(2 )4)(1(4)4()4( 2 4,3x 22 4 2 04 == ± Esto indica que: ;23 =x y, 24 =x son las dos últimas raíces del polinomio del tipo reales positivas. Sí: 2,;2;1;2 4321 ==−== xyxxx , entonces tres raíces son reales positivas y la otra es una raíz real negativa, con lo cual la primera propuesta de la tabla de la naturaleza de las raíces se cumple. Ahora bien, si ésta raíces: 2=x , 1−=x , 2=x , y 2=x ; se igualan a cero: 02=−x , 01=+x , 02=−x , y 02=−x ; y se efectúa se producto en forma conjunta: 1 - 3 0 4 0 1 1 -1 - 4 1 - 5 6 4 -8 2 1 - 4 4 0 - 1 4 4 1 - 3 0 4 -1 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 41 )2( −x )1( +x )2( −x 0)2( =−x se observa: )2( −x )1( +x )2( −x =− )2(x )(8465 234 xPxxxx =−++− 15. Sean las siguientes raíces de números reales: ;3;1 == xx .3,;2;1 −=−=−= xyxx Encontrar el polinomio correspondiente. Solución: Como son cinco raíces reales (dos positivas y tres negativas) el polinomio va a ser de grado cinco, con seis coeficientes reales. Para la obtención de dicho polinomio hay que igualarlos a ceroy posteriormente efectuar sus productos para cada uno de los monomios: 1=x 3=x 1−=x 2−=x 3−=x Las cuales se igualarán a cero 01=−x 03=−x 01=+x 02=+x 03 =+x Seguidamente efectuar el producto de monomio por monomio, como se indica a continuación. 1−x 342 +− xx 3−x 1+x xx −2 xxx 34 23 +− 33 −− x 342 +− xx 342 +− xx 33 23 +−− xxx Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 42 33 23 +−− xxx 2+x xxxx 33 234 +−− 6262 23 +−− xxx 67 234 ++−− xxxx 3+x xxxxx 67 2345 ++−− 1832133 234 ++−− xxxx 18920102 2345 ++−−+ xxxxx Por lo que el polinomio es 018920102 2345 =++−−+ xxxxx 16. Graficar el polinomio del ejercicio anterior en el intervalo comprendido [ ]4,4− . Solución: Sí: 018920102)( 2345 =++−−+== xxxxxxPy ; y, 4−=x , entonces =−= )4(Py 21018)4(9)4(20)4(10)4(2)4( 2345 −=+−+−−−−−+− 3−=x =−= )3(Py 018)3(9)3(20)3(10)3(2)3( 2345 =+−+−−−−−+− 2−=x =−= )2(Py 018)2(9)2(20)2(10)2(2)2( 2345 =+−+−−−−−+− 1−=x =−= )1(Py 018)1(9)1(20)1(10)1(2)1( 2345 =+−+−−−−−+− 0=x == )0(Py 1818)0(9)0(20)0(10)0(2)0( 2345 =++−−+ 1=x == )1(Py 018)1(9)1(20)1(10)1(2)1( 2345 =++−−+ 2=x == )2(Py 6018)2(9)2(20)2(10)2(2)2( 2345 −=++−−+ 3=x 67 234 ++−− xxxx Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 43 == )3(Py 018)3(9)3(20)3(10)3(2)3( 2345 =++−−+= 4=x == )4(Py 63018)4(9)4(20)4(10)4(2)4( 2345 =++−−+= Que en forma tabular queda de la siguiente manera: Y en forma gráfica su representación es la siguiente: x y = P(x) = COORDENADAS (x, y) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -210 0 0 0 18 0 -60 0 630 (-4, -210) (-3, 0) (-2, 0) (-1, 0) (0, 18) (1, 0) (2, -60) (3, 0) (4, 630) 30 20 -1 -20 -10 10 -3-4 -2 4321 0 y = P(x) x -30 -40 -50 -60 Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 44 Donde se puede observar que los valores de: ;3;1 == xx ;2;1 −=−= xx y, 3−=x son las intersecciones en el eje de las abscisas cuando .0=y 17. Al lanzar un cohete de juguete directo hacia arriba a una velocidad inicial de 128 pies por segundo, la altura h , en pies, a la que se encuentra después de t segundos, está expresada por la función polinomial tttP 12816)( 2 +−= donde h es el valor )(tP Calcular la altura del cohete después de los: a) 0 segundos. b) 3 segundos; y c) 7.9 segundos. Solución: a) Para calcular la altura a los 0 segundos, se sustituye a t por 0 y se simplifica. 0)0(128)0(16)( 2 =+−=tP Esto significa que a los 0 segundos, el cohete está en tierra esperando a ser lanzado. b) Para calcular la altura a los 3 segundos, se sustituye a t por el valor de 3 y se simplifica. 240)3(128)3(16)3( 2 =+−=P Lo que indica que a los 3 segundos, el cohete se encuentra a 240 pies de altura. c) Y, para calcular la altura a los 7.9 segundos, se sustituye a t por los 7.9 segundos y se simplifica. 64.12)9.7(128)9.7(16)9.7( 2 =+−=P Que significa, que a los 7.9 segundos el cohete está cayendo y está a tan sólo 12.64 pies del suelo. Ing. Francisco Raúl Ortíz González . APUNTES ÁLGEBRA POLINOMIOS 45 9. BIBLIOGRAFÍA Apuntes de ÁLGEBRA SECCIÓN DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM, 1976. Gustafson, R. David Álgebra Intermedia Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. 1997. Swokoski, Earl W. Álgebra y trigonometría con geometría analítica Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. 1998. Lehmann, Charles H. Álgebra Limusa Noriega Ing. Francisco Raúl Ortíz González . A-1 PORTADA A-2 INTRODUCCION A-3 CONTENIDO A-4 DESARROLLO 1. INTRODUCCIÓN 2. DEFINICIÓN 2.1. CLASIFICACIÓN 2.2. EL GRADO Ejemplo: 3. FUNCIONES POLINOMIALES 3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS 3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN Realizar: 3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN Sea: y . Obtener: 3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO Sean: y 3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE Sean: y . Efectuar la siguiente operación (división): Esto indica que la división es no exacta. obsérvese que no debe omitirse el coeficiente cero de . 4. TEOREMAS 4.1. TEOREMA DEL RESIDUO La división sintética es importante en las matemáticas debido al teorema del residuo. El cual indica lo siguiente: Si un polinomio se divide entre , el residuo es Ejemplo: 4.2. TEOREMA DEL FACTOR 4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Por tanto: 5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO Construir la gráfica del polinomio Trazar la gráfica del polinomio: 6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO 7. RAÍCES DE UN POLINOMIO 7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES Para determinar la naturaleza de las posibles raíces de polinomios se basa en el análisis de los signos que aparecen en los coeficientes del polinomio, al cual se le llama “Regla de los signos de Descartes”. 7.1.1. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Esta tabla se llama Tabla de la Naturaleza de las Raíces. Es necesario hacer la aclaración de que al obtenerse raíces pares siempre es necesario restarlas de dos en dos, hasta llegar al cero. Cuando las raíces sean impares es necesario también restar de dos en dos hasta llegar a la unidad. EJEMPLOS Esto indica que existirán 4, 2 o 0 raíces positivas. 7.1.2. RAÍCES RACIONALES Sea: un polinomio en con coeficientes enteros, donde , y . Si un número racional es raíz de y es su mínima expresión, entonces es un factor de y es un factor de . Siendo Dado el siguiente polinomio, obtener sus raíces racionales. Por lo que 1 no es raíz de Siendo la segunda raíz con el valor de y la tercera de . Con lo que se puede expresar como: 8. EJERCICIOS Si , entonces los coeficientes son . Que al despejar , resulta que: ya que Por lo que esta división ordinaria es NO EXACTA Si por lo que esta división ordinaria ES EXACTA, por no existir el residuo 9. BIBLIOGRAFÍA
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