Notas 04 Polinomios - Axel Sánchez Nazario (1)

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P O L I N O M I O S 
1 
 
Un polinomio es una suma finita de potencias de base x, que se puede escribir de la siguiente forma: 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = ∑ 𝑎𝑘 𝑥
𝑘
𝑛
𝑘=0
 
 
 
En esta expresión, todos los valores 𝑎𝑘 son los coeficientes del polinomio. 
 
 
𝑛 es un número entero no negativo e indica el grado del polinomio. 
 
 
𝑎𝑛 es el coeficiente principal o director, mientras que 𝑎0 es el término independiente. 
 
 
 
VALORES DE UN POLINOMIO 
 
Cuando sustituimos la variable x por un número determinado, obtenemos el valor de dicho polinomio que 
corresponde con ese valor de x. 
 
 
Por ejemplo, para el polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 el 
valor correspondiente con 𝑥 = 1 es 
 
 
𝑃(1) = 3(1)2 + 2(1) − 1 = 4 
 
 
Si dibujamos todos los puntos del polinomio en un plano 
cartesiano, tenemos su gráfica. 
 
 
En nuestro ejemplo, la gráfica que se forma es una parábola. 
 
 
Dependiendo del grado del polinomio y sus coeficientes, se 
obtendrán diversas gráficas. 
 
 
Nuestro tema se enfoca en el estudio de los polinomios, sus características y sus gráficas. 
 
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2 
 
Los polinomios están formados por términos que se suman. Los elementos que forman cada uno de los 
términos son: 
 
 
Los exponentes son números enteros no negativos, mientras que los coeficientes pueden ser cualquier 
número complejo. 
 
 
El mayor exponente presente en un polinomio determina el grado del mismo. 
 
Polinomios de grado cero 𝑃(𝑥) = 3 𝑄(𝑥) = −4 
 
Polinomios de grado 1 𝑃(𝑥) = 3𝑥 𝑄(𝑥) = −5𝑥 + 2 
 
Polinomios de grado 2 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 9 𝑄(𝑥) = 4𝑥2 − 7 
 
Polinomios de grado 3 𝑃(𝑥) = 9𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 + 2 
 
 
Los términos de un polinomio se acostumbra ordenarlos de mayor potencia a menor potencia, aunque 
pueden trabajarse en cualquier otro orden. 
 
 
Si todos los coeficientes del polinomio son cero, decimos que se trata del “polinomio cero”, que 
básicamente sirve para cierre y consistencia de algunas operaciones. 
 
 
Los valores en los cuales un polinomio vale cero, se conocen como las raíces del polinomio. 
 
 
Por ejemplo, para 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6 sus raíces son 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = −1 ; 𝑥3 = 3 
 
 
Una parte muy importante del estudio de los polinomios es la forma de determinar todas sus raíces. 
 
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OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
 
Los polinomios, como todo ente algebraico, será necesario hacer operaciones con ellos. De esta manera, 
podemos identificar las siguientes operaciones con polinomios: 
 
 
IGUALDAD. Dos polinomios son iguales cuando uno a uno, tienen los mismos elementos. 
 
 
SUMA o RESTA. Seguimos las reglas algebraicas de la suma y la resta, recordando que sólo podemos 
sumar términos semejantes, es decir, términos con la misma potencia. 
 
 
MULTIPLICACIÓN. Seguimos las reglas algebraicas de la multiplicación, es decir, se multiplican todos 
los términos de un polinomio con todos los términos de otro polinomio. De los productos parciales 
obtenidos, se tendrá que hacer la suma algebraica de aquellos que sean semejantes. 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 para que los siguientes polinomios sean iguales. 
 
𝑃(𝑥) = 12𝑥4 + 5𝑥2 + 3𝑥 𝑄(𝑥) = (2𝑎 + 𝑏)𝑥6 + 2𝑐𝑥4 + 5𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 
 
 
 
* Ejercicio. Realiza las siguientes operaciones con polinomios. 
 
 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 1 
 
 
 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥 − 8 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 2 
 
 
 
𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) = 4 𝑄(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 + 7𝑥 − 3 
 
 
 
𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 + 2 
 
 
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
 
Para realizar la división entre polinomios, debemos tener en cuenta dos situaciones: 
 
1) Los términos de ambos polinomios deben escribirse de mayor a menor potencia. 
 
2) Generalmente, el polinomio divisor tiene grado menor o igual que el polinomio dividendo 
 
 
Así, podemos recordar el procedimiento con la siguiente ilustración: 
 
 
 
En este ejemplo, dividimos al polinomio 𝑃(𝑥) = 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 entre el polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 y el 
resultado es el polinomio 𝐶(𝑥) = 8𝑥 − 14 con un polinomio residual 𝑅(𝑥) = 27 
 
 
Esto nos indica que (𝑥 + 2)(8𝑥 − 14) + 27 = 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 
 
 
Si dividimos toda la expresión entre 𝑥 + 2 luce así 
 
 
 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 
𝑥 + 2
= 8𝑥 − 14 +
27
𝑥 + 2
 
 
 
Como vemos, la multiplicación y la división son operaciones inversas íntimamente relacionadas. 
 
 
El polinomio residual 𝑅(𝑥) = 27 se dice que es irreductible. 
 
 
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Entonces, la división de dos polinomios se puede expresar en forma general así 
 
 
 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐶(𝑥) +
 𝑅(𝑥) 
𝑄(𝑥)
 
 
 
Que también se puede escribir como una multiplicación: 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
 
 
En el caso particular de que el polinomio divisor 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 (como en nuestro ejemplo 𝑥 + 2), se 
verifica que 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑃(𝑎) Teorema del Residuo 
 
 
Esto me dice que el polinomio residual 𝑅(𝑥), que es de grado cero, es el valor 𝑃(𝑎) del polinomio 𝑃(𝑥) 
 
 
Si el residuo es cero, significa que 𝑃(𝑎) = 0 y por lo tanto, 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃(𝑥) 
 
 
Cuando conocemos todas las raíces de un polinomio 𝑃(𝑥), cada una de ellas genera un polinomio divisor 
que tendrá por residuo cero, y en consecuencia, el polinomio 𝑥 − 𝑎𝑖 es un factor del polinomio 𝑃(𝑥), donde 
𝑎𝑖 es una de las raíces del polinomio. 
 
 
Teorema del Factor. Un polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛, se puede expresar como el producto de 𝑛 polinomios 
irreductibles 𝑥 − 𝑎𝑖 donde 𝑎𝑖 es una de las raíces del polinomio. 
 
 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎1)(𝑥 − 𝑎2) ⋯ (𝑥 − 𝑎𝑛) 
 
 
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6 
 
DIVISIÓN SINTÉTICA 
 
 
A medida que realizamos la división de un polinomio de grado cada vez mayor, entre un binomio de grado 
1, el proceso se vuelve bastante laborioso. 
 
 
Por ejemplo, al dividir 𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 − 3𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 − 2 entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 resulta: 
 
 
 
 
 
El polinomio cociente es 𝐶(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 y el residuo es cero. 
 
 
Si lo meditamos, vamos acarreando todas las literales y sus potencias, así como se van cambiando de signo 
muchos de los términos. Es decir, en este proceso hay muchos pasos y elementos que si somos ordenados, 
podríamos no escribirlos. 
 
 
A este procedimiento abreviado se le conoce como división sintética y es muy sencillo. Funciona con 
divisores de grado 1 del tipo 𝑥 − 𝑎 sin importar el valor de 𝑎. 
 
 
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Primero ordenamos el polinomio que vamos a dividir en potencias de mayor a menor grado. Si faltan 
potencias, sus coeficientes se consideran ceros. 
 
 
En nuestro ejemplo 𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 0𝑥4 − 3𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 − 2 
 
 
Lo vamos a dividir entre el polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 = 𝑥 − 𝑎 para el cual 𝑎 = −2 
 
 
Ahora vamos a escribir este valor de 𝑎 = −2 y a su derecha colocamos todos los coeficientes de 𝑃(𝑥) 
dejando un espacio para trabajar debajo de ellos. 
 
 
 −2 1 2 0 −3 −4 3 −2 
 
 
 
El primer coeficiente se copia debajo de la segunda línea y se multiplica por el divisor. Este producto parcial 
se coloca debajo del siguiente coeficiente del polinomio. 
 
 
 −2 1 2 0 −3 −4 3 −2 
 −2 
 1 
 
Después se suman las cantidades de esa segunda columna y colocamos el resultado debajo de ellas. Con 
este resultado se vuelve a multiplicar por el divisor y se coloca debajo del siguiente coeficiente del 
polinomio. 
 
 
 −2 1 2 0 −3 −4 3 −2 
 −2 0 
 1 0 
 
 
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El proceso se repite hasta completar todas las columnas. 
 
 
 −2 1 2 0 −3 −4 3 −2 
 −2 0 0 6 −4 2 
 1 0 0 −3 2 −1 0 
 
 
 
El último número es el residuo de la división, que por el teorema del residuo, es el valor 𝑃(−2) = 0 
Cómo el residuo es cero, el valor 𝑎 = −2 es una raíz del polinomio 𝑃(𝑥) 
 
 
Todos los números que obtuvimos en el último renglón son los coeficientes del polinomio cociente, 
empezando por la potencia de grado 𝑛 − 1 
 
 
𝐶(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
 
 
* Ejercicio. Realiza la división sintética de los siguientes polinomios. 
 
 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 14𝑥 + 8 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 4 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 17𝑥 − 15 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥6 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥 + 8 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 
 
 
𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 8𝑥2 + 9𝑥 − 10 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
 
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RAÍCES DE UN POLINOMIO 
 
Como ya mencionamos, los valores en los cuales un polinomio vale cero, se conocen como las raíces del 
polinomio. 
 
 
Por ejemplo, para 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6 sus raíces son 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = −1 ; 𝑥3 = 3 
 
 
Y como al dividir un polinomio entre el binomio irreductible 𝑥 − 𝑎𝑖 el residuo es cero, siendo 𝑎𝑖 una raíz, 
entonces por el teorema del factor, podemos descomponer al polinomio en sus factores irreductibles: 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
 
 
Este proceso de factorización es muy útil para simplificar expresiones algebraicas que involucran cocientes 
de polinomios o para trabajar con operaciones superiores como las derivadas o las integrales. 
 
 
Para empezar a determinar las raíces de un polinomio, nos apoyamos en el Teorema Fundamental del 
Álgebra, que dice “todo polinomio de grado 𝑛 con coeficientes complejos, tiene exactamente 𝑛 raíces 
complejas” 
 
 
Conociendo el grado del polinomio, sabemos cuántas raíces tendrá. 
 
 
Actualmente, los equipos electrónicos, como calculadoras y computadoras, así como en muchas páginas de 
internet, pueden determinar las raíces de un polinomio, incluyendo las imaginarias. 
 
 
Sin embargo, como parte de la formación en Ingeniería, es muy recomendable aprender las técnicas básicas 
para la determinación de las raíces de un polinomio, por lo menos a nivel didáctico. 
 
 
Existen muchas técnicas y trucos para encontrar las raíces de un polinomio, aunque algunas reglas generales 
son aplicables. 
 
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En particular, cuando un polinomio sólo tiene coeficientes Reales, entonces: 
 
 
1) Si un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es una raíz de 𝑃(𝑥) entonces su conjugado 𝑧∗ = 𝑎 − 𝑏𝑖 
también es una raíz de 𝑃(𝑥) 
 
 
2) Las raíces complejas con término imaginario, siempre vienen en pares. 
 
 
3) Las raíces irracionales provenientes de raíces cuadradas, siempre vienen en pares. 
 
 
4) Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz Real 
 
 
En un polinomio de coeficientes complejos con término imaginario, se pueden presentar solas las raíces 
complejas con término imaginario. 
 
 
En el caso de polinomios de grado 1, es decir, 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 basta con igualar a cero el polinomio y 
despejar a la variable 𝑥. 
 
 
Por ejemplo para 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 3 
 
𝑥 + 3 = 0 
 
𝑥 = −3 
 
 
Cuando las raíces son números reales, siempre nos 
indican donde la curva del polinomio intersecta al 
eje X 
 
 
 
La gráfica de este tipo de polinomios siempre es una línea recta. 
 
 
* Ejercicio. Determina las raíces de los siguientes polinomios y dibuja su gráfica. 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 8 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑃(𝑥) = 4𝑥 − 2 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 5 
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Cuando se trata de polinomios de grado 2, es decir 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, al igualar a cero tenemos varias 
alternativas para resolver la ecuación de segundo grado: 
 
 
i) Utilizar la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
ii) Despejar a la variable 𝑥 
 
 
iii) Aplicar algún criterio de factorización 
 
 
En cualquier procedimiento, llegaremos a dos raíces, tal y como afirma el Teorema Fundamental del 
Álgebra. 
 
 
Por ejemplo 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 
 
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥 =
1 ± √1 − 4(1)(−6)
2(1)
=
1 ± √25
2
=
1 ± 5
2
 
 
 
𝑥1 = −2 𝑥2 = 3 
 
Entonces 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) 
 
 
La gráfica resultante siempre es una parábola. 
 
 
 
Las raíces, por ser números reales, son los puntos donde la parábola intersecta al eje X. 
 
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12 
 
Veamos ahora al polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0 
 
𝑥 =
−4 ± √16 − 4(1)(4)
2(1)
=
−4 ± √0
2
=
−4 ± 0
2
 
 
 
𝑥1 = −2 𝑥2 = −2 
 
Entonces 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2 
 
 
 
 
 
La gráfica sólo toca una vez al eje X, porque ambas 
raíces valen lo mismo. 
 
Cuando esto ocurre, decimos que la raíz 𝑥 = −2 
tiene multiplicidad 2, es decir, se repite dos veces. 
 
 
Analicemos el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 
 
𝑥2 − 3𝑥 = 0 
Factorizando 
 
𝑥(𝑥 − 3) = 0 
 
 
𝑥1 = 0 𝑥2 = 3 
 
Entonces 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 = 𝑥(𝑥 − 3) 
 
 
Cuando falta el término independiente, el 
polinomio siempre pasa por 𝑥 = 0 , que será la 
primera de sus raíces. 
 
 
La gráfica siempre es una parábola 
 
 
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Toca el turno al polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 
 
𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 
 
𝑥 =
4 ± √16 − 4(1)(5)
2(1)
=
4 ± √−4
2
=
4 ± 2𝑖
2
 
 
 
𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑥2 = 2 − 𝑖 
 
Entonces 
 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2 − 𝑖)(𝑥 − 2 + 𝑖) 
 
 
Como las soluciones no son números reales, nunca 
intersecto al eje X. 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina las raíces de los siguientes polinomios. Dibuja sus gráficas. 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 8 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 16 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥 − 3 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑃(𝑥) = 18𝑥2 + 9𝑥 − 2 
 
 
 
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RAÍCES DE POLINOMIOS MÚLTIPLOS. 
 
 
Sean los polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) donde 𝑄(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑃(𝑥) con 𝑘 ∈ ℝ 
 
 
Se verifica que las raíces de 𝑃(𝑥) son las mismas raíces de 𝑄(𝑥) 
 
 
Lo anterior nos ayuda a trabajar con coeficientes enteros en vez de fraccionarios. Por ejemplo: 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 +
1
2
𝑥 −
1
9
 𝑄(𝑥) = 18𝑥2 + 9𝑥 − 2 
 
 
Las raíces de ambos son las mismas: 
 
𝑥1 = −
2
3
 𝑥2 =
1
6
 
 
 Su factorización es 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 +
1
2
𝑥 −
1
9
= (𝑥 +
2
3
) (𝑥 −
1
6
) 
 
 
 
𝑄(𝑥) = 18𝑥2 + 9𝑥 − 2 = 18 (𝑥 +
2
3
) (𝑥 −
1
6
) 
 
 
𝑄(𝑥) = 18𝑥2 + 9𝑥 − 2 = (3𝑥 + 2)(6𝑥 − 1) 
 
 
 
 
 
Sus gráficas y sus comportamientos son diferentes pero coinciden en el valor de sus raíces. 
 
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Los polinomios de grado mayor a 2, no son tan simples de factorizar como los de grado 1 y 2, lo que 
conduce a buscar otros mecanismos para determinar sus raíces. 
 
 
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES 
 
 
Para polinomios con coeficientes en los Reales, nos permite establecer el número probable de raíces Reales, 
positivas o negativas, que tendrá el polinomio. 
 
 
NÚMERO PROBABLE DE RAÍCES REALES 
 
POSITIVAS 
 
 NEGATIVAS 
Para 𝑃(𝑥) se cuentan los cambios de signo de un 
término a otro del polinomio. 
 
El número de cambios de signo será el máximo 
número de raíces Reales Positivas, y esa 
cantidad va disminuyendo de dos en dos. 
 Para 𝑃(−𝑥) se cuentan los cambios de signo de 
un término a otro del polinomio. 
 
El número de cambios de signo será el máximo 
número de raíces Reales Negativas, y esa 
cantidad va disminuyendo de dos en dos. 
 
 
Para aplicar esta regla,debemos escribir los términos del polinomio en orden descendente de acuerdo con 
el grado que poseen. 
 
 
Los coeficientes ceros no se consideran como cambio de signo. 
 
 
Sabiendo que el grado del polinomio nos indica la cantidad total de raíces que tendrá el polinomio, entonces 
se procede a hacer un análisis de posibles combinaciones entre la cantidad de raíces Reales positivas, raíces 
Reales negativas y raíces Imaginarias. 
 
 
Este razonamiento, nos lleva a concluir de qué signo será al menos alguna de las raíces, o que signo será 
más probable que encontremos. 
 
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Ejemplo. 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
 
 
Como es de grado 2, el Teorema Fundamental del Álgebra nos asegura que TIENE 2 RAÍCES. 
 
 
Revisamos los cambios de signo para 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
 
Cambió de + a - en el tercer término. Como presentó 1 cambio de signo, tiene UNA RAÍZ 
REAL POSITIVA. 
 
Observa que al ser sólo una raíz, no puede disminuir 
en una cantidad par. 
 
 
Revisamos los cambios de signo para 𝑃(−𝑥) = (−𝑥)2 + (−𝑥) − 12 = 𝑥2 − 𝑥 − 12 
 
Cambió de + a - en el segundo término. Como presentó 1 cambio de signo, tiene UNA RAÍZ 
REAL NEGATIVA. 
 
Observa que al ser sólo una raíz, no puede disminuir 
en una cantidad par. 
 
 
Una vez que sabemos cuántas posibles raíces reales (positivas o negativas) puede tener, debemos hacer las 
combinaciones de posibles raíces hasta completar las DOS RAÍCES que deberá incluir a los imaginarios 
en los números Complejos. 
 
 
Para ayudarnos, se acostumbra hacer las combinaciones con una tabla donde indiquemos cuantas son 
positivas (+), cuantas son (−) y cuantas son imaginarias ( 𝑖 ) 
 
 
+ 1 
- 1 
i 0 
 
 
RECUERDA: EL TOTAL DE RAÍCES POR COMBINACIÓN DEBE SER LA MISMA CANTIDAD 
DEL GRADO DEL POLINOMIO. 
 
 
OBSERVA: En este ejemplo, es 100% seguro que una raíz será positiva y la otra será negativa. 
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Por ejemplo para 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 
 
 
Como es de grado 3, el Teorema Fundamental del Álgebra nos asegura que TIENE 3 RAÍCES. 
 
 
Revisando los cambios de signo para 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 
 
Cambió de + a - en el segundo término. 
 
Cambió de - a + en el tercer término. 
Como presentó 2 cambios de signo, tiene DOS 
RAÍCES REALES POSITIVAS. 
 
También podría no tener ninguna raíz real positiva, 
debido a que el número de raíces puede disminuir 
en una cantidad par. 
 
 
Revisando los cambios de signo para 𝑃(−𝑥) = (−𝑥)3 − 4(−𝑥)2 + (−𝑥) + 6 = −𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 6 
 
Cambió de - a + en el último término. Como presentó 1 cambio de signo, tiene 1 RAÍZ 
REAL NEGATIVA. 
 
 
Entonces, las combinaciones de posibles raíces son 
 
 
+ 2 0 
- 1 1 
i 0 2 
 
 
OBSERVA: En este ejemplo, la raíz negativa es 100% seguro que va a existir. 
 
 
* Ejercicio. Determina el número posible de raíces reales positivas, raíces reales negativas y raíces 
imaginarias, que puede tener cada uno de los siguientes polinomios 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥 + 4 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 − 8 
 
 
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Hasta este momento, tenemos dos herramientas: 
 
 
1) El teorema fundamental del álgebra, que nos dice cuántas raíces complejas son, y 
 
 
2) La regla de los signos de Descartes, que nos dice las posibles combinaciones de signo que 
tendremos. 
 
 
Pero, ¿cómo saber cuánto valen esas raíces? Para ayudarnos, tenemos el siguiente teorema. 
 
 
POSIBLES RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO 
 
 
Si tenemos un polinomio 𝑃(𝑥) con COEFICIENTES ENTEROS se cumple que si el número 𝑠 es una raíz 
racional del polinomio, entonces 
 
𝑠 =
 𝑟 
𝑞
=
 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎0 
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑛
 
 
 
𝑎0 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 
 
 
Los valores de 𝑟 , 𝑞 pueden ser positivos o negativos. 
 
 
Esto nos indica que si 𝑃(𝑥) tiene coeficientes enteros, Y SI TIENE RAÍCES RACIONALES, ellas tienen 
relación con el término independiente y el término director. 
 
 
NOTA: NO NOS ASEGURA QUE TENDRÁ RAÍCES RACIONALES. 
 
 
Con estas herramientas, estamos listos para averiguar las raíces de un polinomio. 
 
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Ejemplo: determinar las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 
 
 
Sabemos que tendrá tres raíces complejas por ser de grado 3 
 
 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 
 
 𝑃(−𝑥) = −2𝑥3 − 4𝑥2 + 10𝑥 + 12 
Tiene dos cambios de signo 
 
 
Podrá tener dos o cero raíces reales positivas 
 Tiene un cambio de signo 
 
 
Podrá tener sólo una raíz real negativa 
 
 
Entonces, las combinaciones de posibles raíces son 
 
+ 2 0 
- 1 1 
i 0 2 
 
En este ejemplo, la raíz negativa es 100% seguro que va a existir. 
 
 
Para buscar las posibles raíces racionales trabajamos con los divisores del término independiente y del 
término director 
 
 
El término independiente es 12 que tiene posibles divisores 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 
 
 
El coeficiente director es 2 que tiene posibles divisores 1 , 2 
 
 
Una posible raíz racional será 
𝑠 =
 𝑟 
𝑞
=
 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎0 
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑛
 
 
Aunque hay doce posibles combinaciones, algunas se repiten, por lo que sólo se escriben una vez. 
 
Así, tenemos posibles raíces racionales 
± { 
1
2
 , 1 ,
3
2
 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } 
P O L I N O M I O S 
 
20 
Para conocer quién de ellas es una raíz, tenemos que evaluar cada una en 𝑃(𝑥) 
 
x - 12 - 6 - 4 - 3 - 2 - 1.5 - 1 - 0.5 
P(x) - 3900 - 504 - 140 - 48 0 11.25 16 15.75 
 
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 
P(x) 6.25 0 -5.25 -8 0 36 240 2772 
 
 
De la tabla tenemos que las raíces del polinomio son 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = 1 ; 𝑥3 = 3 
 
 
Para nuestro ejemplo 
 
 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 
 
 
𝑃(𝑥) = 2(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
 
 
Observa como en efecto, sólo se presentó una raíz 
negativa. 
 
 
La gráfica se muestra a la derecha. 
 
 
Como evaluar los diferentes candidatos a raíz en 𝑃(𝑥) resulta un proceso tardado, usualmente buscaremos 
las raíces entre las más probables, en este caso, entre los negativos. 
 
 
Cuando detectamos una raíz, es recomendable hacer la división sintética de 𝑃(𝑥) entre dicha raíz, y con 
ello llegar a un polinomio 𝑄(𝑥) más simple, que conserva las raíces restantes por encontrar. 
 
 
En este cociente, también es recomendable probar que la raíz encontrada no se repite. Esto se logra al dividir 
el polinomio 𝑄(𝑥) entre la raíz anterior. Si el residuo es cero, tendremos una raíz con multiplicidad. 
 
 
Al evaluar las posibles candidatas a raíz, es recomendable empezar con los valores cercanos a cero. 
P O L I N O M I O S 
21 
 
RESUMEN DEL MÉTODO PARA OBTENER LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO 
 
 
1) Ordenar el polinomio 𝑃(𝑥) de mayor a menor grado. Recordar que el grado del polinomio es el 
mismo número de raíces complejas del polinomio. 
 
 
2) Aplicar la regla de los signos de Descartes para 𝑃(𝑥) y determinar la cantidad posible de raíces 
reales positivas. 
 
 
3) Aplicar la regla de los signos de Descartes para 𝑃(−𝑥) y determinar la cantidad posible de raíces 
reales negativas 
 
 
4) Establecer todas las posibles combinaciones de raíces reales positivas, reales negativas e 
imaginarias que podría tener 𝑃(𝑥) 
 
 
5) Determinar las posibles raíces racionales del polinomio dividiendo todos los divisores del término 
independiente entre todos los divisores del coeficiente del término director. 
 
 
6) Evaluar las posibles raíces racionales en 𝑃(𝑥) para buscar alguna raíz. 
 
 
7) Si encontramos una raíz, podremos realizar la división de 𝑃(𝑥) entre𝑥 − 𝑠 y obtener así un 
polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 − 1 y con él seguir buscando las raíces restantes. 
 
 
8) Probamos en 𝑃(𝑥) a la raíz 𝑠 obtenida, para averiguar si es múltiple. 
 
 
9) Se continúa con el procedimiento para cada nuevo polinomio, hasta encontrar todas las raíces. En 
algunas ocasiones, se pueden hacer simplificaciones algebraicas en las etapas finales. 
 
 
10) En caso necesario, hacer un bosquejo de la gráfica del polinomio con los datos de la tabulación. 
 
 
P O L I N O M I O S 
 
22 
 
* Ejercicio. Determina las raíces de los siguientes polinomios 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 11𝑥 + 12 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 14𝑥2 − 14𝑥 + 5 𝑃(𝑥) = 𝑥6 +
3
2
𝑥5 −
5
2
𝑥3 − 3𝑥2 + 1 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de k para que 𝑥 + 1 sea un factor del polinomio 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑘2𝑥2 − 𝑘𝑥 − 3 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de m para que 𝑥 + 1 sea un factor del polinomio 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 𝑚 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de A y B del polinomio 𝑃(𝑥) para que el número 𝑧 = −1 − 𝑖 sea una 
raíz. Además encuentra todas las raíces. 
 
 
𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 + 3𝑥2 + 𝐴𝑥 + 𝐵 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de a y b para que el número 𝑧 = 2 − 5𝑖 sea una raíz del polinomio 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 + (1 + 5𝑖)𝑥3 − (3 − 15𝑖)𝑥2 + (−𝑎 + 15𝑖)𝑥 + (𝑏 − 10𝑖) 
 
P O L I N O M I O S 
23 
 
 
* Ejercicio. Determina las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) si una de ellas es el número complejo 𝑧 = −2𝑖 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥5 + (1 + 2𝑖)𝑥4 + (−6 + 2𝑖)𝑥3 − (14 + 12𝑖)𝑥2 − (12 + 28𝑖)𝑥 − 24𝑖 
 
 
 
* Ejercicio. Determina las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) si dos de ellas son 𝑥 y 𝑥2 = −2𝑖 
 
 
𝑃(𝑥) = 6𝑥6 − 12𝑥5 + 12𝑥4 − 12𝑥3 − 66𝑥2 + 144𝑥 − 72