Notas 04 Derivada y Aplicaciones - Axel Sánchez Nazario

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DERIVADA Y APLICACIONES 
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“Se llama derivada de una función en el punto 𝑥0, al valor del límite de la razón de cambio de la variable 
dependiente con respecto de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende 
a cero.” 
 
𝑓′(𝑥0) = lim
∆𝑥 → 0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) 
∆𝑥
 
 
 
La definición anterior nos dice que LA DERIVADA ES UN LÍMITE, por lo tanto es un concepto completamente 
matemático y aplica para un punto en particular. 
 
 
Ahora bien, como la razón de cambio entre los incrementos de dos o más variables es una idea muy utilizada en 
diferentes campos de las ciencias y las humanidades, entonces la derivada se puede aplicar a una infinita variedad 
de problemas. 
 
 
* Interpretación geométrica 
 
 
Si para una curva cualquiera unimos dos puntos de ella, obtenemos una línea recta secante de dicha curva, a la 
cual le podemos obtener el valor de su pendiente. El segundo punto es función directa del tamaño que asignemos 
al incremento ∆𝑥 
 
 
Pero, cuando hacemos tender a cero el incremento ∆𝑥, esta recta secante se convierte en una recta tangente a la 
curva en el punto 𝑥0 
 
 
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
 ∆𝑦 
∆𝑥
=
 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) 
∆𝑥
 
 
 
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
∆𝑥 → 0
 𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆𝑥 → 0
 
 ∆𝑦 
∆𝑥
 
 
 
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) 
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥0) 
 
 
Esto nos indica que la derivada se puede emplear para conocer la pendiente de la recta tangente a una curva en un 
punto en particular, cuando conocemos la función de la curva. 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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* Interpretación física. (Una de muchas aplicaciones físicas) 
 
 
Sabemos que la velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme es la relación de la distancia recorrida 
entre el tiempo empleado para hacerlo. 
 
𝑉 =
𝑑
𝑡
 
 
 
Pero la distancia recorrida es función directa del tiempo que transcurre 𝑑 = 𝑓(𝑡) entonces 
 
 
𝑉 =
𝑓(𝑡)
𝑡
 
 
 
En esta expresión, estamos comparando la distancia entre dos puntos diferentes para valores diferentes de tiempo, 
por lo que en realidad estamos calculando una velocidad promedio 
 
 
𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 =
 𝑓(𝑡0 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡0) 
∆𝑡
 
 
 
Si a esta velocidad promedio le aplicamos el operador límite cuando ∆𝑡 tiende a cero, obtenemos un concepto 
conocido como velocidad instantánea, que es la velocidad de un cuerpo en un momento en particular 
 
 
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡 = lim
∆𝑡 → 0
 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = lim
∆𝑡 → 0
 
 𝑓(𝑡0 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡0) 
∆𝑡
= 𝑓′(𝑡0) 
 
 
Esto nos indica que la derivada se puede emplear para conocer la velocidad instantánea del movimiento de un 
cuerpo en un momento en particular, cuando conocemos la función del movimiento. 
 
 
 
Como se ve en los dos casos anteriores, la DERIVADA puede aplicarse a cualquier fenómeno que involucre una 
razón de cambio entre dos variables. 
 
 
¿Y cómo se calculan las derivadas? Resolviendo el límite que la define. 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
3 
 
Por ejemplo, para obtener el valor de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto 𝑃(2 , 4) 
 
 
De la definición de derivada 
 
𝑓′(2) = lim
∆𝑥 → 0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) 
∆𝑥
 
 
 
Al evaluar en la función, esto se desarrolla en 
 
 
𝑓′(2) = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) 
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 (2 + ∆𝑥)2 − (2)2 
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 4 + 4 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4 
∆𝑥
 
 
 
Si después reducimos términos semejantes 
 
𝑓′(2) = lim
∆𝑥 → 0
 
 4 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 
∆𝑥
 
 
 
Podemos simplificar la expresión eliminando la indeterminación 
 
 
𝑓′(2) = lim
∆𝑥 → 0
 [ 4 + ∆𝑥 ] 
 
 
Y finalmente aplicamos el límite para obtener 𝑓′(2) = 4 
 
 
Este desarrollo se conoce como “Método de los cuatro pasos” para resolver derivadas, y no es más que resolver 
el límite de la definición eliminando la indeterminación. 
 
 
Como ya mencionamos, la derivada es un límite, y por lo tanto se aplica a un punto en particular. Sin embargo, 
repetir este procedimiento a muchos puntos de una misma curva es tedioso y poco práctico. 
 
 
Para solventar lo anterior, recurrimos a un trabajo algebraico genérico. 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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Por ejemplo, para obtener el valor de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) 
 
 
De la definición de derivada 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
Al evaluar en la función, esto se desarrolla en 
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 (𝑥 + ∆𝑥)2 − (𝑥)2 
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑥2 + 2 𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥2 
∆𝑥
 
 
 
Si después reducimos términos semejantes 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 
 2 𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 
∆𝑥
 
 
 
Podemos simplificar la expresión eliminando la indeterminación 
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 [ 2𝑥 + ∆𝑥 ] 
 
 
Y finalmente aplicamos el límite para obtener 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
 
 
Al resolver este ejercicio podemos ver que si generalizamos con una variable la aplicación de la definición de 
derivada, llegamos a una nueva función que me permite encontrar el valor del límite para cualquier punto de dicha 
función. 
 
 
Con este truco algebraico, se han desarrollado en la práctica las conocidas fórmulas de derivación que veremos 
más adelante. 
 
 
Pero debemos tener muy claro que las derivadas no son las fórmulas, sino el concepto del límite aplicado a una 
razón de cambio entre dos variables relacionadas. 
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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* Función Derivada 
 
 
Es la función que se obtiene después de aplicar el operador derivada a una función, y el dominio de la función 
derivada estará determinado por todos los valores donde la función original es derivable, es decir, donde existe el 
límite de la definición. 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
1) Si una función tiene derivada en un punto de su dominio, se dice que es derivable en él. 
 
 
2) Si una función tiene derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces se dice que es derivable 
en ese intervalo. 
 
 
El dominio de la función derivada siempre será un subconjunto del dominio de la función que le dio origen 
 
 
𝐷𝑓′ ⊂ 𝐷𝑓 
 
 
* Derivadas de orden superior 
 
 
En vista de que al aplicarle el operador derivada a una función, obtenemos como resultado otra función, uno se 
podría preguntar si es posible aplicar el operador derivada a esa nueva función. 
 
 
Si el límite existe, entonces existe esta nueva derivada, que se llamará segunda derivada, y será una nueva función. 
 
 
𝑓′′(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓′(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓′(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
En general, si la función permite la existencia del límite, entonces la función tendrá n derivadas de orden superior. 
 
 
𝑓(𝑛)(𝑥) = lim
∆𝑥 → 0
 
 𝑓(𝑛−1)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑛−1)(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
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* Notación de Derivadas 
 
 
La notación de derivadas se ha desarrollado en términos de cómo la interpretaron los distintos matemáticos, siendo 
las más usuales: 
 
 
Autor Notación Interpretación 
Lagrange 𝑓′(𝑥) 𝑦′ La derivada es una nueva función 
Cauchy 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 𝐷𝑥𝑦 La derivada es un operador lineal 
Leibniz 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 La derivada es un cociente de diferenciales 
Newton �̇�(𝑥) �̇� La derivada es una nueva función 
 
 
Su uso depende de la bibliografía así como del área del conocimiento en la cual estemos trabajando. 
 
 
Las tres primeras son de uso extensivo en todos los libros de matemáticas y ciencias, mientras que la notación de 
Newton aparece con mucha frecuencia en los libros de mecánica clásica. 
 
 
Todas tienen ventajas y desventajas, las cuales serán perceptibles al momento de desarrollar los conceptos del 
cálculo para derivadas de orden superior o para derivadas con másde una variable independiente. 
 
 
En general, las notaciones para derivadas de orden superior quedan así: 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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Derivada Lagrange Cauchy Leibniz Newton 
1ª 𝑓′(𝑥) 𝑦′ 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 𝐷𝑥𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑓̇(𝑥) �̇� 
2ª 𝑓′′(𝑥) 𝑦′′ 𝐷𝑥
2𝑓(𝑥) 𝐷𝑥
2𝑦 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 𝑓̈(𝑥) �̈� 
3ª 𝑓′′′(𝑥) 𝑦′′′ 𝐷𝑥
3𝑓(𝑥) 𝐷𝑥
3𝑦 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
 𝑓(𝑥) 𝑦 
4ª 𝑓(4)(𝑥) 𝑦(4) 𝐷𝑥
4𝑓(𝑥) 𝐷𝑥
4𝑦 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
 No la usa 
na 𝑓(𝑛)(𝑥) 𝑦(𝑛) 𝐷𝑥
𝑛𝑓(𝑥) 𝐷𝑥
𝑛𝑦 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
 No la usa 
 
 
El uso correcto de la notación hará más comprensible los temas avanzados del cálculo diferencial e integral. 
 
 
Sobretodo debemos vigilar su uso adecuado para no confundir el orden de una derivada con una potencia. 
 
 
 
* Derivadas laterales 
 
 
Como se vio en el tema de límites, en ocasiones necesitamos trabajar con límites en los extremos de una función 
o en cambios de regla de correspondencia, lo que dio origen a los límites laterales. 
 
 
En las derivadas ocurre de la misma manera, ya que al ser ésta un límite, también la podemos manejar de manera 
lateral, con lo que definimos a continuación: 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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Derivada lateral por la izquierda 
 
𝑓(−)
′ (𝑥) = lim
∆𝑥 → 0−
 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
Derivada lateral por la derecha 
 
𝑓(+)
′ (𝑥) = lim
∆𝑥 → 0+
 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑥
 
 
 
Si para un punto en particular, las derivadas laterales existen y son iguales, decimos que la derivada completa 
existe. 
 
𝑓(−)
′ (𝑥0) = 𝑓(+)
′ (𝑥0) ⟹ 𝑓
′(𝑥0) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
Pero, si las derivadas laterales son diferentes en un mismo punto, significa que la derivada en ese punto no existe, 
porque no cumple el teorema de unicidad de los límites. 
 
 
𝑓(−)
′ (𝑥0) ≠ 𝑓(+)
′ (𝑥0) ⟹ 𝑓
′(𝑥0) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
 
* Continuidad y Derivabilidad 
 
 
Existe una relación directa entre continuidad y derivabilidad. De hecho, una función solo será derivable cuando 
sea continua. 
 
 
 
 
Hoyo Asíntota vertical Salto Punto fugado 
 
Si la función no es continua, entonces no es derivable. 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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Pero cuidado, que una función sea continua, no asegura que será derivable. 
 
 
 
En esta ilustración vemos que la función es continua 
puesto que nunca se interrumpe. 
 
 
Sin embargo, cuando 𝑥 = 2 presenta un cambio 
brusco en su dirección, indicando que no es derivable 
en ese punto. 
 
 
Esto ocurre porque las derivadas laterales en el punto 
son diferentes, por lo que el teorema de Unicidad de 
los límites no se cumple. 
 
 
De ahí surge el siguiente teorema: “Si una función es derivable, entonces es continua” 
 
 
 
En este ejemplo, la función es derivable porque nunca 
cambia bruscamente de dirección, es decir, tiene un 
comportamiento de cambio gradual en todo su 
dominio. 
 
 
Evidentemente es continua puesto que nunca se 
interrumpe. 
 
 
Podemos darnos cuenta que, como la derivada es un 
concepto puntual, puede ser que solo en algunos 
puntos no sea derivable, pero en la mayor parte de su 
dominio sí lo sea. 
 
 
 
Ya estamos casi listos para calcular derivadas, así como para analizar su derivabilidad a lo largo de su dominio. 
 
 
Sin embargo, nos falta un concepto que será de mucha utilidad en la determinación de derivadas: la regla de la 
cadena. 
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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* Derivación compuesta (Regla de la cadena) 
 
 
Hemos visto con anterioridad que una función puede ser el resultado de una composición de otras dos funciones 
 
 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √ 𝑥 − 2 donde 𝑓(𝑥) = √ 𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
 
Esto también se puede escribir así 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √ 𝑢 donde 𝑢 = 𝑥 − 2 
 
 
Ahora requerimos la derivada de 𝑦 con respecto de 𝑥, aun cuando sabemos que 𝑦 está en función de 𝑢 
 
 
La derivación compuesta es el mecanismo que permite derivar a la función 𝑦 = 𝑓(𝑢) con respecto de la variable 
𝑢 como si esta fuera la variable independiente, para después multiplicar este resultado por la derivada de 𝑢 con 
respecto de 𝑥 
 
 
𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑢𝑦 ⋅ 𝐷𝑥𝑢 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
 
Esto permite dos cosas: 
 
 
1) Generalizar las fórmulas de derivación usando el argumento genérico 𝑢 
 
 
2) Simplificar algunos cálculos con derivadas para funciones con varias dependencias ligadas 
 
 
 
* Derivadas de las funciones básicas 
 
 
Nos referimos a la función constante y la función identidad, base de todas las funciones algebraicas y 
trascendentes. También incluiremos la derivada de una potencia de base x 
 
 
𝐷𝑥 𝐶 = 0 𝐷𝑥 𝑥 = 1 𝐷𝑥 𝑥
𝑛 = 𝑛 𝑥𝑛−1 
 
 
 
 
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* Fórmulas de Derivación 
 
 
Son teoremas concebidos y demostrados a partir de la definición de derivada, que permiten el cálculo de derivadas 
de manera práctica, sin necesidad de efectuar los cuatro pasos de la definición. 
 
 
Siendo 𝑢, 𝑣, 𝑤 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 con 𝐶, 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, se verifican los siguientes teoremas: 
 
 
𝐷𝑥 𝑢
𝑛 = 𝑛 𝑢𝑛−1 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 (𝑢 + 𝑣 − 𝑤) = 𝐷𝑥𝑢 + 𝐷𝑥𝑣 − 𝐷𝑥𝑤 
𝐷𝑥 (𝐶 ⋅ 𝑢) = 𝐶 ⋅ 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥√𝑢 =
 𝐷𝑥𝑢 
2√𝑢
 
𝐷𝑥 (𝑢 ⋅ 𝑣) = 𝑢 ⋅ 𝐷𝑥𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 ( 
𝐶
𝑣
 ) =
 − 𝐶 ⋅ 𝐷𝑥𝑣 
𝑣2
 
𝐷𝑥 ( 
𝑢
𝑣
 ) =
 𝑣 ⋅ 𝐷𝑥𝑢 − 𝑢 ⋅ 𝐷𝑥𝑣 
𝑣2
 𝐷𝑥 𝑒
𝑢 = 𝑒𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 𝑎
𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑢
𝑣 = 𝑣 𝑢𝑣−1 𝐷𝑥𝑢 + 𝑢
𝑣 ln 𝑢 𝐷𝑥𝑣 
𝐷𝑥 ln 𝑢 =
1
𝑢
 𝐷𝑥𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑢 > 0 𝐷𝑥 log𝑎 𝑢 =
1
𝑢 ln 𝑎
 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑢 = cos 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 cos 𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 tan 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐
2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 cot 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐
2𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 sec 𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 𝐷𝑥𝑢 
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
√ 1 − 𝑢2 
 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠
−1𝑢 =
− 𝐷𝑥𝑢
√ 1 − 𝑢2 
 
𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
𝑢2 + 1
 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑡
−1𝑢 =
− 𝐷𝑥𝑢
𝑢2 + 1
 
𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
𝑢 √ 𝑢2 − 1 
 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐
−1𝑢 =
− 𝐷𝑥𝑢
𝑢 √ 𝑢2 − 1 
 
𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 = cosh 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 cosh 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 tanh 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐ℎ
2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 coth 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐ℎ
2𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 sech 𝑢 = − sech 𝑢 tanh 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 csch 𝑢 = − csch 𝑢 coth 𝑢 𝐷𝑥𝑢 
𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
√ 𝑢2 + 1 
 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠
−1𝑢 =
 𝐷𝑥𝑢
√ 𝑢2 − 1 
 ; 𝑢 > 1 
𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
1 − 𝑢2
 ; −1 < 𝑢 < 1 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑡ℎ
−1𝑢 =
𝐷𝑥𝑢
1 − 𝑢2
 ; −1 > 𝑢 > 1 
𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐ℎ
−1𝑢 =
− 𝐷𝑥𝑢
𝑢 √ 1 − 𝑢2 
 ; 0 < 𝑢 < 1 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐ℎ
−1𝑢 =
− 𝐷𝑥𝑢
| 𝑢 | √ 𝑢2 + 1 
 ; 𝑢 ≠ 0 
 
 
* Ejercicio: Determina la derivada de las siguientes funciones: 
 
𝑓(𝑥) = 4𝑥5 − 3𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)3 2⁄ 
 
𝑓(𝑥) = √ 𝑥2 + 9 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥
3
 
 
𝑓(𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 5 cos 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
𝑓(𝑥) = ln 4𝑥5 𝑓(𝑥) = ln √ 𝑥2 
3
 
 
𝑓(𝑥) = log5 3𝑥
2 𝑓(𝑥) = (4𝑥2)3𝑥
3
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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* Ejercicio: Determina la derivada de las siguientes funciones: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎𝑛𝑔 tan 𝑥 
 
𝑓(𝑥) =
 𝑥2 − 3 
𝑥2 + 3
 𝑓(𝑥) =
 cos 𝑥 
𝑥
 
 
𝑓(𝑥) =
cos 4𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1√𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡
−1𝑥3 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
 𝑠𝑒𝑐−12𝑥 𝑓(𝑥) = 5 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 cosh 𝑥 
 
 
 
* Derivada de la función inversa 
 
 
El procedimiento natural para obtener la derivada de la función inversa de 𝑦 = 𝑓(𝑥) es: 
 
1) Determinar si la función admite inversa 
 
2) Obtener la inversa 
 
3) Proceder a encontrar su derivada 
 
 
Pero también podemos emplear el siguiente teorema: 
 
 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) admite inversa con 𝐷𝑥𝑦 ≠ 0 entonces se cumple que 
 
 
𝐷𝑦𝑥 =
 1 
𝐷𝑥𝑦Es decir, la derivada de la función inversa es el inverso multiplicativo de la derivada de la función directa. 
 
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
14 
 
Por ejemplo, determinemos la derivada de la función inversa para la función 𝑦 = 3𝑥 + 2 
 
Método 1 Método 2 
Obteniendo primero la función inversa y después 
aplicar la derivada 
 
La función inversa es 𝑥 = 3𝑦 + 2 
 
Despejamos a la variable dependiente 𝑦 
 
𝑦 = 𝑓−1(𝑥) =
 𝑥 − 2 
3
 
 
Finalmente derivamos esta función 
 
𝑦′ =
1
3
 
Aplicar el teorema de la derivación inversa 
 
 
La derivada de la función directa es 
 
𝐷𝑥𝑦 = 3 
 
 
Aplicamos el teorema de la derivación inversa 
 
𝐷𝑦𝑥 =
 1 
𝐷𝑥𝑦
=
1
3
 
 
Y podemos ver que llegamos al mismo valor de la derivada. 
 
 
Ahora determinemos la derivada de la función inversa para la función 𝑦 =
1
𝑥
 
 
Método 1 Método 2 
Obteniendo primero la función inversa y después 
aplicar la derivada 
 
La función inversa es 𝑥 =
1
𝑦
 
 
Despejamos a la variable dependiente 𝑦 
 
𝑦 = 𝑓−1(𝑥) =
 1 
𝑥
 
 
Finalmente derivamos esta función 
 
𝑦′ = −
1
𝑥2
 
Aplicar el teorema de la derivación inversa 
 
 
La derivada de la función directa es 
 
 
𝐷𝑥𝑦 = −
1
𝑥2
 
 
 
Aplicamos el teorema de la derivación inversa 
 
𝐷𝑦𝑥 =
 1 
𝐷𝑥𝑦
= −𝑥2 
 
 
Cuando observamos estos dos últimos resultados, cualquiera pensaría que algo no está bien, puesto que no son 
iguales las derivadas. 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
15 
 
Sin embargo, esto tiene una explicación muy sencilla: en el primer método, la derivada se encuentra expresada en 
términos su variable independiente (la cual equivale a la variable dependiente de la función directa). 
 
 
En cambio, la derivada de la inversa que obtuvimos con el segundo método, se encuentra expresada en términos 
de la variable independiente de la función directa, puesto que aún no las hemos intercambiado. 
 
 
Como vemos, cada una trabaja con su propia variable independiente. 
 
 
Cuando evaluamos la derivada en un punto en particular, el valor obtenido con cualquiera de ellas será el mismo. 
 
 
Retomemos nuestro ejemplo. A continuación tenemos ambas funciones y sus gráficas. 
 
Función directa Función inversa 
 
 
Vamos a evaluar la derivada de la inversa en su punto 𝑃 ( 
1
2
 , 2 ) 
 
Usando el método 1 
 
𝑦′ = −
1
𝑥2
= −
1
( 
1
2
 )
2 = −4 
Usando el método 2 
 
𝐷𝑦𝑥 =
 1 
𝐷𝑥𝑦
= −𝑥2 = −(2)2 = −4 
 
Y podemos ver que llegamos al mismo valor de la derivada. 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
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* Derivación en forma paramétrica 
 
 
En las funciones paramétricas, ambas variables se encuentran en términos de un parámetro auxiliar 
 
𝑓(𝑥) ∶ { 
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
 
 
 
Por lo que al derivar a la variable dependiente con respecto de la variable independiente debemos aplicar la regla 
de la cadena. 
 
𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑡𝑦 ⋅ 𝐷𝑥𝑡 
 
 
Como 𝐷𝑥𝑡 es la derivada de la función inversa 𝑥 = 𝑓(𝑡) podemos aplicar el teorema de la derivación inversa 
 
𝐷𝑥𝑡 =
 1 
𝐷𝑡𝑥
 
 
Por lo que la derivada paramétrica queda así 
 
𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑡𝑦 ⋅ 𝐷𝑥𝑡 = 𝐷𝑡𝑦 ⋅ ( 
1
𝐷𝑡𝑥
 ) 
 
 
𝐷𝑥𝑦 =
 𝐷𝑡𝑦 
𝐷𝑡𝑥
 
 
 
Y como se puede apreciar, la derivada quedará expresada también en forma paramétrica. 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la derivada 𝐷𝑥𝑦 de las siguientes funciones: 
 
 
𝑓 ∶ { 
𝑥 = 2𝑡2 − 𝑡
𝑦 = √ 𝑡 − 1
 𝑔 ∶ { 
𝑥 = 2 ( 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 )
𝑦 = 2 (1 − cos 𝑡) 
 ℎ ∶ { 
𝑥 = 4 tan 𝑡
𝑦 = 2 sec 𝑡
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
17 
 
* Derivadas de orden superior en forma paramétrica 
 
 
Como la primera derivada de una función en forma paramétrica, sigue estando en forma paramétrica, entonces la 
regla de la cadena se repite. 
 
𝑓(𝑥) ∶ { 
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
 ⟹ 𝐷𝑥𝑦 =
 𝐷𝑡𝑦 
𝐷𝑡𝑥
 
 
 
Aplicando el operador derivada en esta última expresión 
 
 
𝐷𝑥
2𝑦 = 𝐷𝑡 ( 𝐷𝑥𝑦 ) ⋅ 𝐷𝑥𝑡 = 𝐷𝑡 ( 𝐷𝑥𝑦 ) ⋅ (
1
𝐷𝑡𝑥
) 
 
 
Y se escribe de forma simplificada 
 
𝐷𝑥
2𝑦 =
 𝐷𝑡 ( 𝐷𝑥𝑦 ) 
𝐷𝑡𝑥
 
 
 
En cada nueva derivada superior, el proceso se repite, por lo que generalizamos así 
 
 
𝐷𝑥
𝑛𝑦 =
 𝐷𝑡 ( 𝐷𝑥
𝑛−1𝑦 ) 
𝐷𝑡𝑥
 
 
 
 
* Ejercicio: Determine la derivada 𝐷𝑥2𝑦 de las siguientes funciones: 
 
 
𝑓 ∶ { 
𝑥 = 𝑡3 + 3𝑡
𝑦 = 𝑡3 − 9𝑡
 𝑔 ∶ { 
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 ℎ ∶ { 
𝑥 = 4 tan 𝑡
𝑦 = 2 sec 𝑡
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
18 
 
* Derivación implícita 
 
 
En las funciones implícitas, la variable dependiente no se encuentra despejada, por lo que al derivarla estamos 
obligados a aplicar la regla de la cadena. 
 
 
Entonces, podemos derivar a la variable dependiente 𝑦 como si se tratará de la variable independiente 𝑥, pero al 
hacerlo, tendremos que multiplicarla por 𝑦′ 
 
 
Ejemplo: Derivar 
2𝑥5 − 𝑥 = 3𝑦3 + 2𝑦 + 8 
 
 
Derivando ambas variables con respecto de la variable 𝑥 
 
 
10𝑥4 − 1 = 9𝑦2𝑦′ + 2𝑦′ 
 
 
En esta última expresión, la derivada 𝑦′ siempre será lineal, por lo tanto se puede despejar fácilmente 
 
 
𝑦′ =
 10𝑥4 − 1 
9𝑦2 + 2
 
 
 
Es importante observar que la derivada queda expresada en forma implícita. 
 
 
 
* Ejercicio: Determina la derivada de las siguientes funciones: 
 
2𝑥4𝑦2 − 𝑥𝑦3 + 8𝑦 = 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 = 𝑥2 + 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦) = 1 3𝑥 + 2𝑦2 = 𝑦 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
19 
 
* Derivación implícita de orden superior 
 
 
Para derivadas de orden superior en forma implícita, realizamos el mismo proceso descrito anteriormente, debido 
a que la primera derivada esta en forma implícita. 
 
 
Por ejemplo, si se requiere la segunda derivada para 
 
𝑥𝑦 − 𝑦2 + 2 = 0 
 
Empezamos obteniendo la primera derivada 
 
Derivando 
 
𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′ = 0 
Despejando la derivada 𝑦′ 
 
𝑦′ =
 −𝑦 
𝑥 − 2𝑦
 
 
 
Ahora debemos obtener la segunda derivada pero, ¿de cuál expresión partimos? Probemos ambas. 
 
 
Derivando en la expresión de la izquierda 
 
 
𝑥𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦′ − 2𝑦𝑦′′ − 2𝑦′𝑦′ = 0 
 
 
Que al despejar la segunda derivada 𝑦′′ 
 
 
𝑦′′ =
 2(𝑦′)2 − 2𝑦′ 
𝑥 − 2𝑦
 
Derivando en la expresión de la derecha 
 
 
𝑦′′ =
 (𝑥 − 2𝑦)(−𝑦′) − (−𝑦)(1 − 2𝑦′) 
(𝑥 − 2𝑦)2
 
 
 
 
𝑦′′ =
 𝑦 − 𝑥𝑦′ 
(𝑥 − 2𝑦)2
 
 
 
Estas dos expresiones, distintas en apariencia, son equivalentes para la segunda derivada de la función, y siguen 
estando en forma implícita. 
 
 
* Ejercicio. Determina la segunda derivada de 𝑦 con respecto de 𝑥 
 
 
𝑥𝑦 + cos 𝑦 = 𝜋 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
20 
 
* Aplicaciones geométricas de la Derivada 
 
 
Como ya se ha mencionado, la derivada interviene en cualquier fenómeno que involucre una razón de cambio 
entre dos variables, por lo que sus aplicaciones son muy variadas. 
 
 
En esta sección veremos algunas de esas aplicaciones, empezando con las de tipo geométrico. 
 
 
1) Para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto conocido. 
 
 
Recordemos que la función derivada permite 
encontrar el valor de la pendiente de la recta tangente 
a una curva en un punto en particular. 
 
 
𝑚𝑇 = 𝑓′(𝑥0) 
 
 
Un requisito indispensable de esta aplicación es que el 
punto pertenezca a la curva para garantizar la 
tangencia, es decir, que la recta toque solo una vez a la 
curva. 
 
 
Por ejemplo, para 𝐶 ∶ 𝑦 = 𝑥2 − 3 en el punto 
𝑃(−1 , −2) 
 
 
Su derivada es𝑦′ = 2𝑥 
 
 
Evaluando en 𝑥 = −1 
 
𝑚𝑇 = −2 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto de abscisa 𝑥 = −1 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = −2 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
21 
 
2) Para determinar los puntos de una curva donde su recta tangente es paralela a una recta conocida. 
 
Conocemos la recta 𝑅𝐶 y la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥).Buscamos el punto donde la recta tangente 𝑅𝑇 es paralela a la recta 
conocida. 
 
 
De la recta conocida 𝑅𝐶 calculamos su pendiente 𝑚𝑅 
 
 
Como son rectas paralelas 𝑚𝑅 = 𝑚𝑇 
 
 
Y llevando este valor a la fórmula de las pendientes 
 
 
𝑚𝑇 = 𝑓′(𝑥0) 
 
 
Solo debemos despejar el valor 𝑥0 requerido. 
 
 
Por ejemplo, para la recta 𝑅 ∶ 2𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0 y la 
curva 
𝑦 =
5
1 − 2𝑥
 
 
Calculamos el valor de la pendiente de la recta 
 
𝑚𝑅 =
2
5
= 𝑚𝑇 
 
 
Derivamos la curva 
𝑦′ =
10
(1 − 2𝑥)2
 
 
Igualando con la pendiente, se obtienen los puntos 
 
𝑃1(−2 , 1) 𝑃2(3 , −1) 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el punto de la curva C donde su recta tangente es paralela a la recta R 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2
 𝑅 ∶ 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
22 
 
3) Para determinar los puntos de una curva donde su recta tangente es perpendicular a una recta conocida. 
 
Conocemos la recta 𝑅𝐶 y la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). Buscamos el punto donde la recta tangente 𝑅𝑇 es perpendicular a la 
recta conocida. 
 
 
De la recta conocida 𝑅𝐶 calculamos su pendiente 𝑚𝑅 
 
 
Como son rectas perpendiculares 𝑚𝑇 = −
1
𝑚𝑅
 
 
 
Y llevando este valor a la fórmula de las pendientes 
 
 
𝑚𝑇 = 𝑓′(𝑥0) 
 
 
Solo debemos despejar el valor 𝑥0 requerido. 
 
Por ejemplo, para 𝐶 ∶ 6𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 48𝑥 + 30 se 
requieren los puntos donde su recta tangente es 
perpendicular a la recta 𝑅 ∶ 𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0 
 
 
Calculamos el valor de la pendiente de la recta 
 
𝑚𝑅 = −
1
4
 ⟹ 𝑚𝑇 = 4 
 
 
Derivamos la curva 
 
𝑦′ = 𝑥2 − 𝑥 − 8 
 
Igualando con la pendiente, se obtienen los puntos 
 
𝑃1(−3 , 15.5) 𝑃2(4 , −13.66) 
 
 
* Ejercicio. Determina el punto de la curva C donde su recta tangente es perpendicular a la recta R 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 2 
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 1
 𝑅 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
23 
 
4) Para determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a una curva en un punto conocido. 
 
 
Conocemos la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) así como el punto de 
tangencia P 
 
 
Derivamos la curva y la evaluamos en el punto P 
 
 
𝑚𝑇 = 𝑓′(𝑥0) 
 
 
Obtenemos la pendiente normal 
 
𝑚𝑁 = −
1
𝑚𝑇
 
 
Finalmente, aplicamos la ecuación punto-pendiente de cada recta con los datos obtenidos. 
 
 
𝑅𝑇 ∶ 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑇 (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑁 ∶ 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑁 (𝑥 − 𝑥0) 
 
 
Por ejemplo, para la curva 𝐶 ∶ 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 se 
requieren las ecuaciones de la recta tangente y la recta 
normal en el punto 𝑃(4 , 3) 
 
Derivamos la curva 𝑦′ = 2𝑥 − 4 
 
Evaluamos con 𝑥 = 4 
 
𝑚𝑇 = 4 𝑦 𝑚𝑁 = −
1
4
 
 
Finalmente, las ecuaciones de las rectas son 
 
𝑅𝑇 ∶ 4𝑥 − 𝑦 − 13 = 0 
 
𝑅𝑁 ∶ 𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 
 
 
* Ejercicio. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva 𝑦 − 𝑥𝑦2 − 2 = 0 en el 
punto de coordenadas 𝑃(0 , 2) 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
24 
 
5) Para determinar el ángulo entre dos curvas conocidas. 
 
Partimos de conocer la curva 𝐶1 ∶ 𝑦1 = 𝑓1(𝑥) y la curva 𝐶2 ∶ 𝑦2 = 𝑓2(𝑥). El ángulo entre ellas es el ángulo que 
formen sus rectas tangentes en su punto de intersección. 
 
 
Para encontrar el punto de intersección, debemos resolver simultáneamente las ecuaciones de las curvas. 
 
 
Con ayuda de las derivadas, obtenemos la pendiente tangente en el punto de intersección para cada una de las 
curvas. 
 
 
Finalmente, aplicamos algún método para obtener el ángulo entre dos rectas con las pendientes obtenidas. 
 
 
𝑃𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
𝑚1 = 𝑓1
′(𝑥𝑖) 𝑚2 = 𝑓2
′(𝑥𝑖) 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 
 𝑚2 − 𝑚1 
1 + 𝑚1 𝑚2
 
 
 
𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1 
 
 
𝛼1 = 𝑡𝑎𝑛
−1 𝑚1 𝛼2 = 𝑡𝑎𝑛
−1 𝑚2 
 
 
 
El proceso se debe aplicar en todos los puntos de intersección que tengan las curvas. 
 
 
Ejemplo: Determina el ángulo entre las curvas 𝐶1 ∶ 𝑦
2 =
𝑥
2
 𝐶2 ∶ 𝑦 =
𝑥2
4
 
 
 
Primero, resolvemos simultáneamente las ecuaciones de las curvas, y con ello determinamos los puntos de 
intersección entre ellas, que en este caso son dos: 
 
𝑃1(0 , 0) 𝑃2(2 , 1) 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
25 
 
 
Derivando cada una de las curvas 𝑦1
′ =
 1 
4𝑦
 𝑦2
′ =
 𝑥 
2
 
 
 
Para cada punto de intersección vamos a aplicar el método de ángulo entre dos curvas: 
 
 
 
Para 𝑃1( 0 , 0) 
 
 
𝑓1
′ |𝑦=0 = 𝑚1 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 ⟹ 𝛼1 = 90° 
 
 
𝑓2
′ |𝑥=0 = 𝑚2 = 0 ⟹ 𝛼1 = 0° 
 
 
𝜃1 = 90° − 0° = 90° 
 
 
 
 
Para 𝑃1( 2 , 1) 
 
 
𝑓1
′ |𝑦=1 = 𝑚1 =
1
4
 ⟹ 𝛼1 = 14.04° 
 
 
𝑓2
′ |𝑥=2 = 𝑚2 = 1 ⟹ 𝛼1 = 45° 
 
 
𝜃2 = 45° − 14.04° = 30.96° 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el ángulo de intersección entre las curvas 
 
𝐶1 ∶ 𝑦 = 𝑥
3 + 1 𝐶2 ∶ 𝑦 = −2𝑥
2 + 2𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
26 
 
* Aplicaciones físicas de la Derivada 
 
 
Para las aplicaciones físicas de la derivada, sólo trataremos las relaciones de varias variables y como cambian con 
respecto del tiempo. 
 
 
Ante un problema de este tipo, lo primero que hacemos es entender cómo se relacionan las variables involucradas, 
y plasmar esa relación mediante un modelo matemático. 
 
 
Una vez establecido dicho modelo, se procede a derivarlo con respecto del tiempo. 
 
 
Finalmente se sustituye la información que tenemos, y se despejan las incógnitas. 
 
 
Ejemplo. Una escalera de 3m de longitud está apoyada sobre un piso horizontal y contra un muro vertical. En 
cierto momento, empieza a caer porque se desliza sobre el suelo. 
 
 
Si el extremo inferior de la escalera se aleja del muro a una velocidad de 1.20 m/s ¿A qué velocidad desciende el 
extremo superior, en el instante en que su altura sobre el nivel del suelo es de 2.40m? 
 
 
Observamos que los dos extremos de la escalera se mueven 
simultáneamente con diferentes direcciones. 
 
 
Entonces, elegimos un sistema de referencia adecuado. En nuestro 
ejemplo, el sistema cartesiano con el origen en la base del muro. 
 
 
La distancia del origen al extremo superior de la escalera es 𝑦 
 
 
La distancia del origen al extremo inferior de la escalera es 𝑥 
 
 
La longitud de la escalera siempre es 3 
 
 
Como la velocidad es el cambio de distancia con respecto al tiempo, para nuestro ejemplo: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1.2 𝑚 𝑠⁄ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ? 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦0 = 2.4 𝑚 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
27 
 
 
De la figura, podemos asociar a las variables mediante el teorema de Pitágoras 𝑥2 + 𝑦2 = 9 
 
 
PRECAUCIÓN: Si los valores que se están estudiando están cambiando, son variables que no se deben sustituir 
en la función antes de derivarla. 
 
 
Ahora procedemos a derivar la expresión que definimos con respecto del tiempo. Como el tiempo no aparece en 
la expresión, se trata de la regla de la cadena: 
 
2𝑥 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
 
 
Después de derivar, ya podemos sustituir la información necesaria para despejar la variable buscada. 
 
 
En el planteamiento sabemos que 𝑦0 = 2.4 𝑚, pero ¿cuánto vale 𝑥0? 
 
 
Con la ecuación que establecimos 𝑥2 + 𝑦2 = 9, podemos sustituir 𝑦 = 2.4 por lo que 𝑥 = 1.8 
 
 
Llevando estos resultados a nuestra derivada 
 
2 (1.8)(1.2) + 2 (2.4) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⟹ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −0.90 𝑚 𝑠⁄ 
 
 
Podemos observar que la velocidad de caída es negativa puesto que en el sistema de referencia elegido, el 
desplazamiento hacia abajo es negativo. 
 
 
* Ejercicio: Resuelve los siguientes problemas de variables relacionadas y su cambio con relación al tiempo. 
 
 
a) El foco de un arbotante se encuentra a 4.5m de altura sobre una banqueta horizontal. Una persona de 
1.75m de altura camina alejándose del arbotante a una velocidad de 44 m/min,¿a razón de cuántos m/min 
crece su sombra? 
 
 
b) Un papalote está a 30m de altura sobre el nivel del suelo y se aleja horizontalmente a una velocidad de 10 
m/s del niño que lo sostiene. ¿A qué velocidad está soltando la cuerda el niño, cuando la distancia entre 
éste y el papalote es de 50m? 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
28 
 
c) El lado de un triángulo equilátero mide 12cm. Si aumenta a razón de 1.5 cm/hr, ¿a razón de cuántos cm2/hr 
aumenta su área? 
 
 
d) Un tanque en forma de cilindro circular recto de 4m de radio y 12m de altura se está llenando de agua a 
razón de 0.8 m3/s, ¿a razón de cuántos m/s crece el nivel del agua? 
 
 
e) Resuelve el problema anterior suponiendo que el tanque tiene forma de cono circular recto invertido, y el 
momento de la medición requerida es cuando la altura de agua es de 5m 
 
 
 
* Función Diferenciable 
 
 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función derivable, con 𝑓′(𝑥) ≠ 0 
 
 
Se dice que esta función es diferenciable si el incremento de la variable dependiente ∆𝑦 se puede escribir de la 
siguiente manera 
 
 
∆𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∆𝑥 + 𝜂 Δ𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜂 → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝑥 → 0 
 
 
Cuando esto ocurre, decimos que la función es localmente lineal. 
 
 
Esta idea será fundamental en los siguientes cursos de cálculo. Para fines de nuestro curso, se cumple que: 
 
 
“Es condición necesaria y suficiente la existencia de la derivada, para que una función sea diferenciable.” 
 
 
* La Diferencial. “Es la parte principal de la definición formal de función diferenciable” 
 
 
∆𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∆𝑥 + 𝜂 Δ𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∆𝑥 
 
 
Como siempre se verifica que 𝑑𝑥 = ∆𝑥, entonces 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
29 
 
* Interpretación geométrica 
 
 
En la figura observamos como ∆𝑦 = 𝑑𝑦 + 𝜂 ∆𝑥 a partir de un punto conocido en una curva. 
 
 
Claramente se aprecia que siempre ∆𝑦 > 𝑑𝑦 
 
 
Sin embargo, si ∆𝑥 → 0 o por lo menos es muy 
pequeño 
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦 
 
 
Entonces la diferencial 𝑑𝑦 es una buena aproximación 
del valor real para el incremento ∆𝑦 
 
 
Por eso se dice que la diferencial es la parte principal (el sumando más grande) de la definición formal de función 
diferenciable. 
 
 
Para obtener la diferencial 𝑑𝑦, sólo necesitamos multiplicar a la derivada 𝑓′(𝑥) por la diferencial 𝑑𝑥 
 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
* Ejercicio: Determina la diferencial de las siguientes funciones. 
 
𝑦 = 𝑥3 + 5𝑥2 + 10𝑥 − 18 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1 ( 
𝑥
2
 ) 𝑦3 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 
* Cálculo de aproximaciones. 
 
 
Como ya mencionamos, la diferencial 𝑑𝑦 es una buena aproximación para el incremento real ∆𝑦 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
30 
 
Esto nos permite hacer cálculos sencillos y rápidos de algunas operaciones, como por ejemplo: √28
3
 
 
 
La forma general de la operación solicitada es 𝑦 = √𝑥
3
= 𝑥1 3⁄ 
 
 
El valor para un punto cualquiera de la función será 𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦 ≈ 𝑦0 + 𝑑𝑦 
 
 
En nuestro ejemplo 𝑥1 = 28 y debemos elegir un valor cercano y sencillo para evaluarlo en la función. 
 
 
La opción ideal es 𝑥0 = 27 ya que es muy sencillo obtener 𝑦0 = √27
3
= 3 
 
 
En consecuencia, 𝑑𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 28 − 27 = 1 
 
 
Ahora sólo falta calcular 𝑑𝑦 para sumárselo al valor inicial 𝑦0 
 
 
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
3𝑥2 3⁄
=
1
3 (27)2 3⁄
=
1
27
 
 
 
Finalmente, una buena aproximación del valor buscado es 
 
 
𝑦1 ≈ 𝑦0 + 𝑑𝑦 = 3 +
1
27
=
82
27
 ⟹ √28
3
≈
82
27
 
 
 
 
Otro ejemplo es: 𝑠𝑒𝑛 31° =? 
 
 
La forma general de la operación solicitada es 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
El valor para un punto cualquiera de la función será 𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦 ≈ 𝑦0 + 𝑑𝑦 
 
 
En nuestro ejemplo 𝑥1 = 31° y debemos elegir un valor cercano y sencillo para evaluarlo en la función. 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
31 
 
La opción ideal es 𝑥0 = 30° ya que es muy sencillo obtener 𝑦0 = 𝑠𝑒𝑛 30° =
1
2⁄ 
 
 
En consecuencia, 
𝑑𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 31° − 30° = 1° =
𝜋
180
 𝑟𝑎𝑑 
 
 
Ahora sólo falta calcular 𝑑𝑦 para sumárselo al valor inicial 𝑦0 
 
 
𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(30°) (
𝜋
180
) =
√3
2
 
𝜋
180
=
√3 𝜋
360
 
 
 
Finalmente, una buena aproximación del valor buscado es 
 
 
𝑦1 ≈ 𝑦0 + 𝑑𝑦 =
1
2
+
√3 𝜋
360
= 0.51512 ⟹ 𝑠𝑒𝑛 31° ≈ 0.51512 
 
 
Nota: si lo comparamos este resultado contra el valor que aparece en las calculadoras científicas 
 
 
Valor usando diferenciales 
 
𝑠𝑒𝑛 31° = 0.51512 
Valor obtenido usando la calculadora 
 
𝑠𝑒𝑛31° = 0.51504 
 
 
Podemos apreciar que la diferencia entre estos valores es de 8 cienmilésimas, que es una muy buena aproximación. 
 
 
Algunas personas se podrían preguntar ¿Por qué aplicar este método, cuando la calculadora nos da el resultado 
con solo apretar un botón? 
 
 
La respuesta es muy simple. Las calculadoras electrónicas y otros dispositivos similares de cómputo son de una 
historia relativamente corta, que están al alcance de la mayoría de la población apenas hace 40 años. 
 
 
Antes de ese tiempo, todas las operaciones se realizaban a mano, mentalmente o con ayuda de tablas matemáticas 
y aparatos ingeniosos como la regla de cálculo. 
 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
32 
 
Otra uso de las aproximaciones con diferenciales es el siguiente problema. 
 
 
Obtener el volumen de material empleado para hacer un cubo hueco, que tiene un volumen interior libre de 
64 𝑐𝑚3 si la pared tiene un espesor de 1 4⁄ 𝑐𝑚 
 
 
 
La caja se muestra en la figura. Por ser un cubo, su volumen es 
 
 
𝑉 = 𝐿3 
 
 
Sin embargo, en esta ocasión estamos considerando las placas del 
material con el cual esta construida. 
 
 
Si quitamos la cara frontal, la caja luce como en esta figura. 
 
 
Podemos apreciar que 𝐿𝑒 = 𝐿𝑖 +
1
4
+
1
4
= 𝐿𝑖 +
1
2
= 𝐿𝑖 + 𝑑𝐿 
 
 
Si el volumen interior es de 64 𝑐𝑚3entonces el lado interior es 
 
 
𝐿𝑖 = √64
3
= 4 𝑐𝑚 
 
 
Y el incremento del lado será 𝑑𝐿 =
1
2
 𝑐𝑚 
 
 
El incremento de volumen 𝑑𝑉 será al valor aproximado del volumen que ocupan las placas. Entonces 
 
𝑑𝑉 = 3𝐿2 𝑑𝐿 = 3(4)2 (
1
2
) = 24 𝑐𝑚3 
 
 
Concluimos que la cantidad de material necesario para construir la caja son 24 𝑐𝑚3 
 
 
En todos los casos de aplicación de diferenciales, debemos seguir la premisa de que sean sencillos y rápidos en el 
cálculo inicial de cantidades y aproximaciones. 
 
 
DERIVADA Y APLICACIONES 
33 
 
* Ejercicios: Usando diferenciales, determina lo siguiente: 
 
 
a) ¿Cuánto aumenta aproximadamente el lado de un cuadrado, si su área aumenta de 9 a 9.1 𝑚2? 
 
 
 
b) El interior de un tanque de combustible de forma esférica tiene 5𝑚 de radio, y se va a pintar con un 
recubrimiento epóxico, que por especificación tendrá 3𝑚𝑚 de espesor. 
 
Si el litro de pintura epóxica cuesta $ 250, ¿Cuál es el costo de material empleado para pintar el tanque? 
 
 
 
c) El lado de un cubo se midió de 11.4 𝑐𝑚 con un posible error inherente al aparato de medición de 
±0.05 𝑐𝑚. Evalúa el volumen del cubo, dando una estimación del error de ese valor.