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UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES 
 
Propósitos: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del 
estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y 
exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones 
trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su 
derivada. 
 
Sección 1. Derivadas de funciones trigonométricas 
Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son: 
• Analizar las gráficas de las funciones seno y coseno y a partir de ellas, 
bosquejar la gráfica de su respectiva derivada. 
• Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones seno y coseno. 
• Reconocer que las derivadas de las funciones trigonométricas también 
involucran variación periódica. 
• Utilizar las derivadas de las funciones seno y coseno, y reglas de derivación 
para obtener las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y 
cosecante. 
• Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones trigonométricas cuyo 
argumento es función de x. 
 
Derivada de la función seno. 
A continuación te mostramos las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x). 
 
Dibuja la derivada de cada una de ellas y gráficamente comprueba que: 
a) Si f(x) = senx, entonces f’(x) = cosx b) Si f(x) = cosx, entonces f’(x) = -senx 
 
También para obtener la derivada de l
definición de derivada, como sigue: 
lim)x´(f
0h
=
→
 
Para hacerlo, además de usar la identid
 
 
a función f(x) = sen x, se puede utilizar la 
h
)x(f)hx(f −+ 
ad trigonométrica: 
1 
 
sen(x+y) = senx cosy + seny cosx 
 
se necesita que recuerdes los siguientes límites, para lo cual te solicitamos 
completes las tablas correspondientes y, con ello, compruebes los resultados 
indicados: 
 
x 
→0
senlim
x
x
x
 
→0
1-coslim
x
x
x
 →0lim senx x →0limcosx x 
0.1 
0.01 
0.001 
0.0001 
0.00001 
0.000001 
0.0000001 
 
0 1 0 0 1 
 
Teniendo lo anterior, a continuación encontraremos la derivada de la función 
sen(x). Sigue cada uno de los pasos: 
h 0 h 0
sen(x h) senx senxcosh senhcosx senxf '(x) lim lim
h h→ →
+ − + −
= = 
factorizando – senx, del primero y tercer términos obtenemos: 
h 0
senx( cosh 1) senhcosxf '(x) lim
h→
− − + +
= 
luego, 
h 0 h 0
senx(1 cosh) senhcosxf '(x) lim lim
h h→ →
− −
= + 
→ →
−
= − + =
h 0 h 0
1 cosh senhf '(x) senx lim cosx lim cosx
h h
 
 
Resumiendo: 
xcos
dx
)x(send
= 
 
De lo anterior y por la regla de la cadena, podemos concluir que si u es una 
función diferenciable1, entonces: 
dsenu ducosu
dx dx
= 
 
 
1 Una función es diferenciable en un intervalo dado abierto si f’(x) existe para toda x en 
ese intervalo. 
 2 
 
 
Ahora estamos en condiciones de derivar funciones que contengan a la función 
seno. 
 
Ejemplo 1. Encuentra la derivada de g(x) = –5sen (–2x). 
Solución. d( 5sen( 2x)) dsen( 2x) d( 2x)5 5cos( 2x) 10cos( 2x)
dx dx dx
− − − −
= − = − − = − . 
 
Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = sen 2x, 
cuando 
2
x π= . 
Solución. Para determinar la ecuación de la recta tangente, necesitamos su 
pendiente y el punto de tangencia. Su pendiente la encontraremos al calcular: 
f´( )
2
π , lo cual haremos a continuación: 
dsen(2x) d(2x)f '(x) cos(2x) 2cos(2x)
dx dx
= = = =2cos2x 
 
Habiendo encontrado la fórmula2 (f’(x) =2cos2x) podemos determinar la pendiente 
de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen2x en cada punto de su 
gráfica, pasamos a encontrar en particular la pendiente de la recta tangente en el 
punto ( ,f( ))
2 2
π π 
f´( )
2
π = 2cos (2
2
π ) = 2cosπ =2(–1) = –2 
 
La ordenada, f(
2
π ), del punto de tangencia es igual a: 
f(
2
π ) = sen(2 ) sen 0
2
π
= π = . 
 
Así pues, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen 2x, 
en el punto ( )0,
2
π es: y - 0 = –2(x – )
2
π , o bien 
2x + y – π = 0. 
 
Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función h(x) = xsen 
Solución. Recordando que: 
dx
du
u2
1
dx
ud
= , obtenemos: 
d senx 1 dsenx cosxh'(x)
dx dx2 senx 2 senx
= = = . 
 
2 Cuando no se presta a confusión se acostumbra escribir cos2x en lugar de cos(2x). 
 3 
 
 
 
Ejemplo 4. Encuentra la derivada de f(x) = )x6sen(
3
7 2 
Solución. 2 2 2d 7 7 d 7 df '(x) sen(6x ) sen(6x ) cos(6x ) 6x
dx 3 3 dx 3 dx
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 = 
 2 27f '(x) cos(6x )(12x) 28xcos(6x )
3
= = . 
 
Ejemplo 5. Encuentra la derivada de s(t) = sen3t 
Solución. 3 2 2d ds'(t) sen t 3sen t sent 3sen tcos t
dt dt
= = = . 
 
Ejemplo 6. Calcula la derivada de m(t) = sen t3
Solución. 3 3 3 2d dm'(t) sent cost t 3t cost
dt dt
= = = 3 . 
 
Ejemplo 7. Calcula la derivada de: k(x) = x2 sen(4x3) 
Solución. 2 3 2 3 3d dk '(x) x sen(4x ) x sen(4x ) sen(4x ) x
dx dx dx
= = + 2
d
=
3
 
2 3 2 3 4 3k '(x) x cos(4x )(12x ) 2xsen(4x ) 12x cos(4x ) 2xsen(4x )= + = + 
 
Resuelve los siguientes ejercicios. Al terminarlos, comprueba tus resultados al 
final de la guía. 
 
Ejercicios 1 
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 
1. 
x
xsen)x(v = 2. 4x3sen42y −= 3. 
x
1sen7)x(t −= 
4. h(t) = 
tsen
1
2 5. s(w) = wsen)1w2(
3− 6. f(x) = sen2x2 
 
Derivada de la función coseno. 
Para encontrar la derivada de la función f(x) = cosx, hacemos uso de la siguiente 
identidad trigonométrica: 
sen2x + cos2x = 1 
 
Derivándola de manera implícita obtenemos: 
 
 
2 2dsen x dcos x d1
dx dx dx
+ = 
dsenx dcosx2senx 2cosx 0
dx dx
+ = 
 4 
 
 
 dcosx2senxcosx 2cosx 0
dx
+ = 
 dcosx2cosx 2senxcosx
dx
= − 
xsen
dx
)x(cosd
−= 
 
De lo anterior y usando la regla de la cadena podemos concluir que: 
 
dcosu dcosu du dusenu
dx du dx dx
= = − 
 
Ejemplo 8. Encuentra g´(x), si xcosxsen)x(g = 
Solución. Como es un producto de funciones, entonces: 
 )x(cos
dx
)x(send
dx
)x(cosd)x(sen)x('g += 
 )x)(cosx(cos)xsen)(x(sen +−= 
2 2ǵ (x) sen x cos x= − + 
 
Ejemplo 9. Calcula 
dx
dy , si , en donde a y m ∈ 2axcosmy =
Solución. 
2
2 2 2dy d daxmcosax msenax ( msenax )(2ax) 2amxsenax
dx dx dx
= = − = − = − 2 . 
 
Ejemplo 10. Calcula la derivada de: 
x3cos
x5)x(f
2−
= 
Solución. 
( )
2 2
2
d 5x (cos3x)( 10x) ( 5x )( sen3x)(3)f '(x)
dx cos3x cos3x
− − − − −
= = = 
2
2
10xcos3x 15x sen3xf '(x)
cos 3x
− −
= . 
 
Ejemplo 11. Encuentra la pendiente de la recta normal a la gráfica de la función 
f(x) = x cosx, en el punto P( )
6
,
3
ππ 
Solución. Para resolver este ejemplo debes recordar que la recta normal y la 
tangente tienen la propiedad de que el producto de sus pendientes es –1. Hecho 
lo anterior, pasamos a determinar la fórmula de las pendientes de las rectas 
tangentes a la gráfica de f(x), es decir su derivada: 
 5 
 
 
d d df '(x) xcosx x cosx cosx x xsenx cosx
dx dx dx
= = + = − + 
Ahora, determinaremos la pendiente de la recta tangente en el punto P( )
6
,
3
ππ , o lo 
que es lo mismo f '( )
3
π : 
f '( ) sen( ) cos( ) sen60º cos60º
3 3 3 3 3
π π π π π
= − + = − + = 
π π − π
= − + =
3 1 3 3f '( )
3 3 2 2 6
 
 
Una vez encontrada la pendiente de la recta tangente, determinaremos la 
pendiente de la recta normal (mN) a partir del hecho de que su producto con la 
recta tangente es –1: 
Nf '( )m 13
π
= − 
− −
= = = −
π − π − π
N
1 1 6m
3 3 3 3f '( )
3 6
. 
 
Ejemplo 12. Encuentra las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en 
un círculo de radio 1. 
y
2
x
α
 
 
 
 
 
 
 
Solución. Como se nos pide el rectángulo inscrito de mayor área, debemos 
encontrar una fórmula del área de ese rectángulo y aplicarle tus conocimientos de 
cálculo diferencial para determinar sus lados. 
 
Sean x, y los lados del rectángulo inscrito en el círculoy α el ángulo comprendido 
entre una de sus diagonales y el lado x, como se muestra en la figura. 
 
El área del rectángulo es A =xy. Así escrita la función A depende de dos variables, 
por lo que debemos encontrar una relación entre ellas que nos permita rescribir a 
la función A en términos de sólo una variable. 
 
Del triángulo formado por los dos lados del triángulo y la diagonal, tenemos que 
 
2
ysen =α , 
2
xcos =α , en donde 
2
0 π<α< . 
 
 6 
 
 
Por lo tanto 
α= sen2y , α= cos2x , 
Así pues, 
A = xy = (2senα)(2cosα) = 4 senα cosα. 
 
Con lo anterior hemos logrado que la función A dependa de una variable 
A(α) =4 senα cosα 
 
Al derivarla obtenemos: 
A´(α) = ))(coscos)sen((sen4 αα+α−α 
 A´(α) = )sen(cos4 22 α−α
 
Determinemos los números críticos igualando a cero la derivada y resolviendo la 
ecuación resultante: 
A´(α) = 0 ⇒ , 0)sen(cos4 22 =α−α
de donde 
α=α 22 sencos . 
 
Como α es un ángulo agudo, entonces senα y cosα son positivos, por lo que 
senα = cosα, 
lo cual ocurre cuando 
4
π
=α . 
 
Cuando 
4
π
=α A´(α) es igual a cero, para saber si con este valor, el área es 
máxima o mínima, calculemos la segunda derivada: y determinemos el signo de 
A ''( )
4
π . 
A´´(α) = )cossen2sencos2(4 αα−αα− 
 A´´( ) 16cos senα = − α α 
 08
2
216
4
sen
4
cos16)
4
´´(A
2
<−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
ππ
−=
π 
 
Por lo anterior, el área tiene un máximo cuando 
4
π
=α . Los valores de los lados 
del rectángulo inscrito en un círculo de radio 1 son: 
2
2
4
cosx =π= , 
2
2
4
seny =π= , 
es decir, se trata de un cuadrado de área: 
2
2
2
2
24A =⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= . 
 7 
 
 
 
 
Ejercicios 2 
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 
1. 2. x4cosy =
tcos23
tsen)t(h
+
= 3. 
xcos
x)x(j = 
4. 5 w2cos4)w(k −= 5. 
xcos
xsen1)x(m 3
2+
= 6. tsentcos
3
4)t(p π−= 
7. La sección transversal de un canal de agua tiene forma de triángulo isósceles. 
Si los lados iguales miden 20 cm. Encuentra la medida del ángulo comprendido 
entre los lados iguales, que de la máxima capacidad de agua que puede 
contener la canal. 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de otras funciones trigonométricas 
La derivada de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, las 
puedes obtener a partir de expresarlas en términos de seno o coseno, recuerda 
que: 
xcos
xsentanx = 
xsen
xcosxcot = 
xcos
1xsec = 
xsen
1xcsc = 
 
Ejemplo 13. Encuentra dtanx
dx
 
Solución. 
2 2
2 2
dtanx d senx cos x(cos x) senx( senx) cos x sen x
dx dx cos x (cos x) cos x
− − +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Usando la identidad y que secx = 1/ cosx, obtenemos 1xcosxsen 22 =+
2
2
dtanx 1 sec x
dx cos x
= = 
 
En resumen: 
2dtanx sec x
dx
= 
 
De lo anterior y por la regla de la cadena, concluimos que si u es una función 
diferenciable, entonces: 
θ 
 8 
 
 
2dtanu dusec u
dx dx
= 
Ejemplo 14. Calcula la derivada de la función 3x1tany −= 
Solución. 
2
3 2 3 3 2 3
3
dy d d 3xtan 1 x sec 1 x 1 x sec 1 x
dx dx dx 2 1 x
−
= − = − − = −
−
= 
 
2 2
3
dy 3x sec 1 x
dx 2 1 x
− −
=
−
3
 
 
Ejercicios 3 
1. Demuestra que: xcsc)x(cot
dx
d 2−= 
2. Demuestra que: xtanxsec)x(sec
dx
d
= 
3. Demuestra que: xcotxcsc)x(csc
dx
d
−= 
4. Si u es una función diferenciable, usando la regla de la cadena y los resultados 
de los tres ejercicios anteriores, encuentra las fórmulas para: 
 a) )u(cot
dx
d b) )u(sec
dx
d c) )u(csc
dx
d 
5. Calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes: 
a) f(x) = xsec b) g(x) = cos (5x2 + 2)3
c) h(x) = cos x2 – cos2x d) m(t) = tan 4t2 
6. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva de la gráfica de la función 
y = –3tanx cuando x
4
π
= . 
 
Sección 2. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. 
Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son: 
• Analizar las gráficas de las funciones logarítmica y exponencial y a partir de 
ellas bosqueja las gráficas de sus derivadas. 
• Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones logarítmica y 
exponencial. 
• Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones logarítmica y 
exponencial cuyo argumento es función de x. 
• Aplicar las derivadas de funciones logarítmica y exponencial a problemas 
diversos. 
Definición. Una función exponencial es una función que tiene la forma: 
f(x) = bx, 
en donde la base b es una constante positiva, x ∈R y f(x) es positiva. 
 9 
 
 
 
A continuación trabajaremos con ejemplos de funciones exponenciales. 
A continuación te presentamos las gráficas de las funciones: f(x) = 2x, f(x) = 3x, 
f(x) = 4x y f(x) = 5x. 
 
 
¿Cuál es la gráfica de cada función? Para contestar la pregunta debemos de 
considerar el comportamiento que tiene cada una de las funciones con respecto 
de las otras. Es claro que todas la funciones exponenciales deben pasar por el 
punto (0,1), ¿por qué? 
 
¿Cuál es la función que crece más rápidamente? La función f(x) = 5x, debido a que 
conforme x va aumentando sus valores van siendo mayores que los de las otras 
tres funciones. Así pues, la gráfica de la función que para valores mayores que 
cero está por encima del resto es la de f(x) = 5x. La gráfica que está más abajo es 
la de f(x) = 4x, luego f(x) = 3x y finalmente la de f(x) = 2x. Observa que no ocurre lo 
mismo cuando x es negativa, a la izquierda del cero, la situación es diferente. Lo 
anterior ocurre porque, por ejemplo, cuando x = -2, las funciones: f(x) = 2x, 
, f(x) = 4= xf(x) 3 x y f(x) = 5x, tomarán los siguientes valores: 
2
2
1 1f( 2) 2 0.25
2 4
−− = = = = , 2 2
1 1f( 2) 3 0.1
3 9
−− = = = = 3, 2 1f( 2) 4 0.0625
16
−− = = = , 
2
2
1 1f( 2) 5 0.04
5 25
−− = = = = , respectivamente. Para valores menores que cero, 
conforme x va disminuyendo, las funciones exponenciales cuya base es de un 
valor mayor, disminuyen más rápidamente con respecto a las que tienen una base 
menor. 
 
 
3 Debe recordarse que así como 0.3
−
significa 0.3333333... (infinidad de números tres), 
0.1 se debe entender como 0.11111111... (infinidad de números unos) 
 10 
 
 
Te aconsejamos que recuerdes las siguientes leyes de los exponentes: 
■ anam= an+m ■ ( )mna a= nm ■ n n1a a
− = , a ≠ 0 
■ 
n
n m
m
a a
a
−= , a 0 ■ ≠ ( )
n n
nm mma a a= = ■ a0 = 1, a 0. ≠
 
La función y = ex. 
Bien lo dicen Kasner y Newman 4“Un universo donde faltaran π y e (...) no sería 
inconcebible. Difícilmente uno podría imaginarse que el Sol dejaría de salir o que 
las mareas cesaran por la falta de π y e. Pero sin estos artificios matemáticos, lo 
que sabemos del Sol y las mareas, e incluso nuestra capacidad para describir 
todos los fenómenos naturales, físicos, biológicos, químicos o estadísticos, 
quedarían reducidos a dimensiones primitivas.” 
 
De las funciones exponenciales la más importante, sin duda, se da cuando b = e. 
El número e se ha encontrado como una constante que aparece en la naturaleza 
en diversos problemas de crecimiento exponencial. A dicho número se le asignó la 
letra e en honor al matemático Leonardo Euler, quien calculó el número con 23 
decimales correctos (en una época en la que, obviamente, no existían las 
calculadoras) obteniendo el siguiente resultado: 
e = 2.71828182845904523536028... 
 
El número e se encuentra cuando se determina el siguiente límite: 
n
n
1e lim 1
n→∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Con el fin de que encuentres una aproximación del número e, realiza la siguiente 
tabulación. 
n 
n11
n
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
1 
10 
102 
103 
104 
105 
106 
107 
108 
1094 Kasner y Newman, Matemáticas e Imaginación. Ed. CECSA, México 1972. 
 11 
 
 
 
La función logaritmo como inversa de la exponencial. 
Ahora trazaremos una gráfica simétrica a la función f(x) = ex con respecto a la 
recta y = x. Para hacerlo utilizaremos las gráficas de f(x) = x, y de f(x) = ex, así 
como la tabulación de esta última: 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
f(x) = ex
3
1
e
 2
1
e
 1
1
e
1 e 3e 2e 
 
El punto simétrico al punto (0,1) es el punto (1,0); el de (1,e) es (e,1); el de (-1,1/e) 
es (1/e,-1); el de (-2,1/e2) es (1/e2,-2); y el de (-3,1/e3) es (1/e3,-3). ¿Cuál es el 
punto simétrico de (3,e3)? 
 
 
 
Basándonos en los puntos que hemos encontrado hemos trazado la gráfica. La 
función correspondiente a la gráfica encontrada es f(x) = ln(x). 
 
De la gráfica de ln(x) podemos determinar lo siguiente: 
1) ln(1) = 0. 
2) El dominio de ln(x) es y su rango . +R R
3) ln(e) = 1. 
4) eln(1) = 1 
 
En la gráfica que se presenta a continuación hemos colocado inicialmente el valor 
de eu, luego se ha encontrado el valor de ln(eu), utilizando la gráfica de logaritmo 
natural. También, utilizando la gráfica de y = x, hemos encontrado ese mismo valor 
sobre el eje Y. De la gráfica de ex hemos proyectado el valor de u, porque dicho 
valor tomado a partir del eje X sobre la gráfica de ex nos proporciona eu sobre el 
eje Y. La propiedad mostrada en la gráfica se puede sintetizar como sigue: 
 12 
 
 
5) lneu= u 
 
eu
 euu 
ln(eu), u 
 
Otra propiedad, que te dejamos como ejercicio de tarea para mostrarla 
gráficamente, es: 
6) elnu = u. 
 
Cuando trabajamos con una función f, denotamos por f(2) al valor que la función le 
asigna al número 2. Si alguna persona escribe en lugar de f(2) f2, consideramos 
incorrecta dicha escritura. Por lo anterior es importante aclarar en el caso de las 
funciones logarítmicas, al igual que en las trigonométricas, es válido escribir ln(2) o 
bien ln2. Nosotros a lo largo del texto las utilizaremos indistintamente. También es 
necesario recordar que (lnx)p se puede escribir como lnpx, pero no como lnxp. 
 
Es importante recordar que otra forma, muy práctica y que fue lo que motivo su 
uso, es que si 
23 = 8, 
entonces podemos afirmar que 
log28 = 3. 
 
En general, si 
bn = x, 
entonces 
logbx = n, 
en donde b >0 y b ≠ 1. Claro que cuando b = e, loge x = lnx. 
 
Con base en lo anterior no es difícil comprender las siguientes propiedades de los 
logaritmos: 
 13 
 
 
 
• b blog (xy) log x log y= + b
• b b
xlog log x log y
y
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
b 
• =nb blog x nlog x
 
Ejercicios 4 
1. Dibuja las gráficas de ex y de lnx y en ellas muestra que elnu = u. 
Con base en el comportamiento de sus gráficas contesta las siguientes preguntas: 
2. ¿La función lnx es creciente o decreciente? 
3. ¿Qué concavidad tiene la función lnx? 
4. ¿lnx tiene puntos de inflexión? 
 
La derivada de las funciones exponenciales y = ex, y = eu 
Para determinar la derivada de las funciones exponenciales iniciamos encontrando 
la de la función f(x) = ex, procederemos utilizando la definición de derivada: 
x h x
h 0 h 0
f(x h) f(x) e ef´(x) lim lim
h h
+
→ →
+ − −
= = 
 
Ahora bien, como ex+h – ex = ex(eh - 1), y ex no varia conforme h tiende a cero, 
podemos escribir 
x h x h
x
h 0 h 0
e e ef´(x) lim e lim
h h
+
→ →
1− −
= = 
 
Sólo nos falta determinar el 
h
h 0
elim
h→
1− , para lo cual hacemos lo siguiente: Primero 
al resultado de eh –1 le llamamos k, esto es: eh –1 = k, de donde eh = 1 + k. De lo 
anterior ln(eh) = ln(1 + k), por lo que considerando las propiedades de los 
logaritmos obtenemos que h = ln(1 + k). Además, si h 0, k = e→ h –1 0 (¿por 
qué). Considerando lo anterior y una propiedad de los logaritmos (n lnx = lnx
→
n), 
substituimos en nuestro límite para obtener: 
h
1h 0 k 0 k 0 k 0
k
e 1 k 1 1lim lim lim lim1h ln(1 k) ln(1 k) ln(1 k)k
→ → → →
−
= = =
+ + +
 
 
Asignémosle el valor 1/k a n, esto es n = 1/k, por lo que k = 1/n. Observemos que 
cuando k 0, n = 1/k , recordemos que → → ∞
n
n
1e lim 1
n→∞
⎛= +⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ y utilicemos las 
propiedades de los límites para obtener lo siguiente: 
1 1k 0 nk k
nk 0
1 1 1lim 1
1 lnelim ln(1 )ln(1 k) lim ln(1 k) n
→
→∞→
= = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤++ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
1
= 
 14 
 
 
 
Este resultado nos permite concluir que 
x h x h
x x
h 0 h 0
e e e 1f´(x) lim e lim e
h h
+
→ →
− −
= = = , 
es decir 
x xd e e
dx
= 
 
Este resultado es inesperado. Significa que la pendiente de la recta tangente a la 
curva de la función f(x) = ex en el punto (x0,f(x0)) es . ¡Su primera derivada, 
segunda,...,n-ésima sigue siendo la misma función! 
0xm e=
 
Ejemplo 15. Determina de la función f(x) = ex
a) Su concavidad. 
b) Sus máximos y mínimos. 
c) Sus puntos de inflexión. 
d) Si es creciente o decreciente. 
Solución. 
a) Como f’’(x) = ex siempre es mayor que cero, es cóncava hacia arriba. 
b) Como f’(x) > 0, para toda x, y f’(x) está definida para toda x real, f(x) no tiene 
números críticos, en consecuencia no tiene valores extremos, es decir, no tiene 
máximos ni mínimos. 
c) Lo mismo pasa para f’’(x), como f’’(x) ≠ 0 para todo x, f(x) = ex no tiene puntos 
de inflexión. 
d) Finalmente, como f’(x) = ex es mayor que cero para toda x, f es estrictamente 
creciente. 
 
Ahora, utilizando la regla de la cadena encontraremos la derivada de eu: 
 
u
u ud de du(e ) e
dx du dx dx
= =
du
 
 
A continuación aplicaremos estas fórmulas en varios ejemplos. 
 
Ejemplo 16. Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones: 
a) f(x) = 4ex b) f(x) = e5x c) f(x) = e-2x 
d) 
1
xf(x) 2e= e) =
xf (x ) 3e f) 
23x 5x 2f(x) 5e − += 
g) 2 x 4f (x) e += h) 
1 x
1 xf ( x ) e
+
−= 
i) 
2x 3 x 1f ( x ) e −= 
Solución. Para resolver las derivadas es necesario que recuerdes las siguientes 
fórmulas de derivación: 
• n nd dax a x anx
dx dx
−= = n 1 . 
 15 
 
 
• 
du
d dxu
dx 2 u
= . 
• 2
du dvv ud u dx dx
dx v v
−
= . 
• d d duv u v v u.
dx dx dx
= + 
a) x xd d4e 4 e 4e
dx dx
= = x . 
b) 5x 5x 5x 5xd de e 5x e 5 5e
dx dx
= = = . 
c) 2x 2x 2x 2xd de e ( 2x) e ( 2) 2e
dx dx
− − −= − = − = − − . 
d) 
1
1 1 1 1 1 x
1 2x x x x x
2
d d d 1 d2e 2 e 2e 2e x 2e ( 1x )
dx dx dx x dx x
− −⎛ ⎞= = = = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2e . 
e) 
x
x x x xd d d 13e 3 e 3e x 3e
dx dx dx 2 x 2 x
= = = =
3e . 
f) 
2 2 23x 5x 2 3x 5x 2 3x 5x 2 2d d d5e 5 e 5e ( 3x 5x 2)
dx dx dx
− − + − − + − − += = − − + = 
 
2 23x 5x 2 3x 5x 25e ( 6x 5) (6x 5) 5e− − + − − += − − = − + . 
g) 
2x 4
2x 4 2x 4 2x 4 2x 4
d (2x 4)d d 2dxe e 2x 4 e e
dx dx 2 2x 4 2 2x 4 2x 4
+
+ + + +
+
= + = = =
e
+ + +
. 
 
h) 
1 x 1 x 1 x
1 x 1 x 1 x
2
d d(1 x) (1 x) (1 x) (1 x)d d 1 x dx dxe e e
dx dx 1 x (1 x)
+ + +
− − −
− + − + −+⎛ ⎞= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= 
 
1 x 1 x
1 x 1 x
2 2
(1 x)(1) (1 x)( 1) (1 x) ( 1 x)e e
(1 x) (1 x)
+ +
− −− − + − − − − −= =
− −
 
 
1 x
1 x 1 x 1 x
1 x 1 x
2 2
1 x 1 x 2 2ee e
(1 x) (1 x) (1 x)
+
+ + −
− −− + += = =
− − 2−
. 
i) 
2 2 2x 3x 1 x 3x 1 2 x 3x 1 2 2d d de e x 3x 1 e x 3x 1 3x 1 x
dx dx dx dx
− − − ⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
d
= 
 
2 2
2
x 3x 1 2 x 3x 1
d (3x 1) 3xdxe x 3x 1(2x) e 2x 3x 1
2 3x 1 2 3x 1
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− = 
 16 
 
 
 
2 2
2 2
x 3x 1 x 3x 13x 2x 3x 1(2 3x 1) 3x 4x(3x 1)e e
2 3x 1 2 3x 1 2 3x 1
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + −= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠
= 
 
2
2
2 2 2 x 3x
x 3x 1 3x 12x 4x) (15x 4x)ee
2 3x 1 2 3x 1
1−
− ⎛ ⎞+ − −= =⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
 
 
Ejercicios 5 
Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones: 
1. f(x) = 3e3x. 2. f(x) = e-5x. 3. f(x) = e-3/x 
4. 
−
=
3
xf(x) 2e 5. 
23 xf(x) 3e −= 6. 
24x 3x 5f(x) e − +=
7. 3x 4f(x) e −= 8. 
2 x
2 xf(x) e
+
−= 9. 
2x 3x 1f(x) e −= 
 
Las derivadas de y = lnx, y = lnu, y = logbu, 
Determinemos la derivada de : ln xf(x) e=
ln x ln xd de e ln
dx dx
= x 
 
Ahora, como , tenemos que ln xx e=
ln x ln xd d dx e e ln
dx dxdx
= = x 
ln x d d1 e lnx x lnx
dx dx
= = 
 
Por lo tanto 
d 1lnx
dx x
= . 
 
Si utilizamos la regla de la cadena podemos encontrar la derivada de lnu como 
sigue: 
d d d 1lnu lnu u u
dx du dx u dx
= =
d
. 
 
Ejemplo 17. Determina las derivadas de las siguientes funciones. 
a) f(x) = lnx2 b) f(x) = ln2x3 c) f(x) = ln(4x2 – 3x + 5) 
d) 2f(x) x lnx= e) 4xf(x) 3e lnx= f) x
3ln4xf(x)
e
= 
g) ( )53f(x) lnx= h) 
2
2
1 xf(x) ln
1 x
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 i) 2f(x) ln 3x 5x 4= − +
Soluciones. 
a) 2 22 2 2
d 1 d 1 2xlnx x 2x
dx x dx x x x
= = =
2
= , 
 17 
 
 
 o bien utilizando propiedades de la función logaritmo; 
 2d d d 1lnx 2lnx 2 lnx 2 .
dx dx dx x x
= = =
2
= 
b) ( )2 3 3 3 3 3 3 23 3d d 1 d 1ln x 2lnx lnx 2lnx x 2lnx (3x )dx dx x dx x= = = = . 
 
2 3 3
3
6x lnx 6lnx 18lnx
x x
= = =
x
. 
 O bien, 
 2 3 3 3d d d d 1ln x 2lnx lnx 6lnx 3lnx 6lnx(3 lnx) (18lnx) .
dx dx dx dx x x
= = = = =
18lnx 
c) 2 22
d 1 dln(4x 3x 5) (4x 3x 5)
dx 4x 3x 5 dx
− + = − +
− +
= 
 2 2
1 8(8x 3) .
4x 3x 5 4x 3x 5
x 3−
= − =
− + − +
 
d) 2 2 2 2d d d 1x lnx x lnx lnx x x lnx(2x) x 2xlnx x(1 2lnx)
dx dx dx x
= + = + = + = + . 
e) 4x 4x 4x 4x 4xd d d 13e lnx 3e lnx lnx 3e 3e lnx(3e 4x)
dx dx dx x dx
= + = +
d
= 
 
4x 4x
4x 4x 4x3e 3e 1lnx(12e ) 12e lnx 3e 4lnx .
x x x
⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
f)
x x x x
x x x 2 2x
d d 4e ln4x ln4x e e (ln4x)ed 3ln4x d ln4x dx dx x3 3 3
dx e dx e (e ) e
− −
= = = = 
 
x x x x x
x
2x 2x 2x
4e 4e xe ln4x 4e xe ln4xe ln4x
x x x x3 3 3
e e e
−
− −
= = = = 
 
x x x
2x 2x x
4e xe ln4x e (4 xln4x) 3(4 x ln4x)3 3
xe xe xe
− − −
= = = . 
g) ( )53 3 4 3 3 4 4d d d 3lnx 5(lnx ) lnx 5(lnx ) 3lnx 5(3lnx) ln xdx dx dx x x= = = =
4405 . 
h) ( )
2
2 2 2
2
d 1 x d d dln ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x )
dx 1 x dx dx dx
⎛ ⎞+
= + − − = + − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 = 
 
2 2
2 2 2 2
2x 2x 2x(1 x ) 2x(1 x )
1 x 1 x (1 x )(1 x )
− − + +
= − =
+ − + −
= 
 
3 3
2 2 2 2
2x 2x 2x 2x 4x 4x
(1 x )(1 x ) (1 x )(1 x ) 1 x
− + +
= =
+ − + − − 4
= . 
i) 
1
2 2 22d d 1 dln 3x 5x 4 ln(3x 5x 4) ln(3x 5x 4)
dx dx 2 dx
− + = − + = − + = 
 22 2
1 d 6x 5(3x 5x 4)
2(3x 5x 4) dx 2(3x 5x 4)
−
= − + =
− + − +
 18 
 
 
A continuación vamos a encontrar la derivada de la función f(x) = bx, y luego la de 
bu. Para hacerlo, utilizaremos la derivada de la función lnbx: 
x x
x
d 1 dlnb b
dx b dx
= . 
 
Por otro lado, 
xd d dlnb xlnb lnb x lnb,
dx dx dx
= = = 
y como b es una constante, también lo es lnb. 
 
Así pues, 
x x
x
d 1 dlnb b lnb,
dx b dx
= = 
de donde 
x xd b b ln
dx
= b 
 
Podemos generalizar la fórmula anterior, derivando la función bu, utilizando la 
regla de la cadena: 
u u ud d d db b u b lnb
dx du dx dx
= = u. 
 
Para determinar la derivada de f(x) = logbx, hacemos uso de la derivada de bx y de 
que como sigue. Tomando en cuenta que blog xb = x
blog xd db x
dx dx
1,= = 
y que 
b blog x log x
b b
d db b lnb log x xlnb log
dx dx dx
= =
d x , 
llegamos a 
b
d1 xlnb log x
dx
= , 
de donde 
b
d 1log x
dx xlnb
= . 
 
Utilizando la regla de la cadena, se puede llegar a la siguiente derivada: 
 
b
d 1log u u
dx ulnb dx
=
d
 
 
Uno de los ejercicios que te dejamos es encontrar la fórmula anterior. 
 
 19 
 
 
 
Ejemplo 18. Determina las derivadas de las siguientes funciones. 
a) f(x) = 2x b) f(x) = 42x-3 c) xf(x) 7= 
d) 2f(x) log x= e) 33f(x) log (2x 3)= − f) 5f(x) log x= 
Solución. 
a) x xd 2 2 ln
dx
= 2. 
b) 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3d d4 4 ln4 (2x 3) (2ln4)4 (ln16)4
dx dx
− − −= − = = − . 
c) 
x
x x xd d 17 7 ln7 x 7 ln7
dx dx 2 x 2 x
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
7 ln7 . 
d) 2
d 1log x
dx xln2
= . 
e) 3 33 3 3
d 1 dlog (2x 3) (2x 3)
dx (2x 3)ln3 dx (2x 3)ln3
− = − =
− −
6x . 
f) 5
d 1 d 1 1log x x
dx dx 2xln5x ln5 x ln5 2 x
= = =
1 , o bien 
 5 5
d 1 d 1 1log x log x
dx 2 dx 2 xln5 2xln5
= = =
1
 
Ejercicios 6 
1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones: 
a) f(x) = lnx3 b) f(x) = ln3x2 c) f(x) = ln(3x2 – 2x - 4) 
d) 3f(x) 4x lnx= e) 4xf(x) 2e lnx−= f) x
2ln3xf(x)
e
= 
g) ( )42f(x) lnx= h) 
2
2
1 xf(x) ln
1 x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 i) 
3 2f(x) ln x 3x 2= − + 
j) f(x) = 5x k) f(x) = 63x-4 l) 5xf(x) 9= 
m) 10f(x) log x= n) 34f(x) log (2x 3x)= − o) 35f(x) log x= 
2. Utilizando la regla de la cadena demuestra que si b
d log x
dx xlnb
=
1 , entonces 
b
d 1log u u
dx ulnb dx
=
d
 
 
3. Encuentra la derivada de la función f(x) = xx, en donde x > 0. 
4. Encuentra la derivada de ux. 
 
Derivación logarítmica y sus aplicaciones. 
Existen funciones en las que para derivarlas podemos apoyarnos en las 
propiedades de las funciones logarítmicas. A continuación te presentamos 
ejemplos de esto. 
 20 
 
 
 
Ejemplo 19. Determina la derivada de la función f(x) = x4x, con x > 0. 
inar la derivada de y = x , le aplicamos la función logaritmo a ambos 
lny = ln x , 
luego aplicamos una de las pr
lny = 4x lnx, 
Solución. 
4xPara determ
lados de la igualdad 
4x
opiedades de los logaritmos (¿cuál?) y a 
continuación derivamos 
=
d dlny 4 xlnx
dx dx
 
= +
1 d dy 4(x lnx lnx)
y dx dx
 
= +
1 d 1 dy 4(x( ) x lnx)
y dx x dx
 
= +
d y 4y(1 lnx
dx
 )
= +4x
d y 4x (1 lnx)
dx
 
jemplo 20. Encuentra la derivada de la función y = (x+4)lnx. 
a función logaritmo, sus propiedades y derivamos. 
E
Solución. 
Aplicamos l
ln xlny ln(x 4)= + 
lny (lnx)ln(x 4)= + 
d dlny (lnx)ln(x 4)
dx dx
= + 
1 d d dy lnx ln(x 4) ln(x 4) lnx
y dx dx dx
= + + + 
1 d 1 d 1y (lnx) (x 4) ln(x 4)
y dx x 4 dx x
= + +
+
 +
1 d 1 1y (lnx) ln(x 4)
y dx x 4 x
= + +
+
 
d 1 1y y lnx ln(x 4)
dx x 4 x
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
 +
ln xd 1 1y ln(x 4) lnx ln(x 4)
dx x 4 x
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
Ejercicios 7 
Utilizando la derivación logarítmica que x > 0, encuentra la derivada 
 
 y suponiendo
de: 
1. =
xey x
 21 
 
 
xy x=2. . 
3. . 
x
y = x1/x
Bibliografía 
. Allan B. Cruse y Millianne Lehm s de Cálculo 1”. Fondo de Cultura 
4. y = x1/ln . 
u5. y = x . 
 
1 an. “Leccione
Educativo Iberoamericano, México 1987. Lección 16. 
2. James Stewart. “Cálculo. Conceptos y Contextos”. Thomson, México, 1999. 
Secciones 1.5, 1.6, 3.1, 3.4 y 3.7. 
3. Larry Goldstein, et al. “Cálculo y sus aplicaciones”. Prentice Hall 
Hispanoamericana. México 1990. Capítulos 4 y 8. 
4. Larson Hostetler Edwards. “Cálculo”. McGraw – Hill, México, 1999. Secciones 
3.4, 5.7, 5.8, 5.9, 6.1 y 6.2. 
 
 
 
 22 
 
	Así pues, la ecuación de la recta tangen�