Função Inversa: Condição para Existência

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7. Función inversa
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
7.1 Introducción
Pensamos en una función numérica f como proceso que a cada elemento x de un conjunto
A le hace corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.
x g(x) f (x)
f
Pensaremos a la función inversa como el proceso que permita volver para atrás a la f .
x g(x) f (x)
g
Utilizando la composición de funciones, ambos procesos quedan coordinados como sigue
x f (x) x
f g
g ◦ f
¿Siempre podremos encontrar un proceso inverso? Es decir, ¿existirá un proceso g que
deshaga lo que hizo f ? En tal caso, debería cumplirse que
g( f (x)) = x.
� Ejemplo 7.1 En el caso de la función lineal f (x) = a x + b podemos razonar de la siguiente
manera:
“El proceso f consiste en tomar a x, multiplicarlo por a y luego, a ese número sumarle
b. Por lo tanto, el proceso inverso g deberá ser tomar al número, restarle b y al resultado
dividirlo por a”.
En símbolos,
g(x) =
x − b
a
.
Comprobamos que g es el proceso inverso de f .
g( f (x)) = g(ax + b) =
(ax + b) − b
a
=
ax
a
= x.
�
2 Capítulo 7. Función inversa
� Ejemplo 7.2 Con la función f (x) = x2, podemos decir que f es el proceso de tomar un
número y elevarlo al cuadrado. Entonces el proceso inverso g debería ser tomar ese
número y calcularle la raíz cuadrada. Pero en este caso nada nos impide (o nos obliga)
a tomar la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa.
Por ejemplo, si tomamos x = 3 calculamos f (3) = 9. Lo mismo si tomamos x = −3
y calculamos f (−3) = 9. El proceso inverso debería arrancar con 9 y devolver alguno
de los valores iniciales: 3 o −3. No puede devolver los dos valores a la vez porque en
ese caso no cumpliría la definición de función.
No es posible encontrar un proceso inverso de f que sirva para todos los x.
�
Si una función f tiene un proceso inverso (o como se dice propiamente, una función
inversa) g, entonces para todos los x deberá cumplirse que
g( f (x)) = x.
Y considerando dos números a y b tales que f (a) = f (b), y aplicando g a ambos miembros
tendremos
g( f (a)) = g( f (b))
y, por lo tanto, a = b. Esto nos dice que si f tiene una función inversa, entonces f no puede
tomar el mismo valor en números distintos.
Definición 7.1.1 Las funciones que a cada par de números distintos en su dominio les
asignan valores distintos se denominan inyectivas o uno a uno.
O sea, una función f es inyectiva o uno a uno si dados x1 , x2 en su dominio entonces
f (x1) , f (x2).
Gráficamente, una función es inyectiva, si cada recta horizontal corta a la gráfica de f en a
lo sumo un punto.
x
y f (x) = x3
x
y
g(x) = x2
Figura 7.1: La función f (x) = x3 es uno a uno pero la función g(x) = x2 no lo es.
C Entonces, si una función tiene una función inversa, es inyectiva. Recíprocamente, si una
función f es inyectiva, tiene una función inversa g, cuyo dominio es exactamente la
imagen de f . Dado un y en la imagen de f , la función inversa g le asigna el único x del
dominio de f tal que f (x) = y.
Recordemos que la imagen de f está formada por
Im( f ) = {y : y = f (x) para algún x en el dominio de f }.
7.1 Introducción 3
Todo va bien si f es uno a uno en su dominio. ¿Pero qué pasa si no lo es? Por lo que vimos,
no tendrá una función inversa que sirva para todos los valores x de su dominio. Sin embargo,
si podemos restringir el dominio de f a un conjunto más pequeño, donde f sí sea uno a uno,
entonces podremos obtener allí una inversa para f .
� Ejemplo 7.3 Volviendo a la función f (x) = x2, vemos que f tiene inversa en el intervalo
[0,+∞). Concretamente, g(x) =
√
x es su función inversa. También tiene una inversa
en el intervalo (−∞, 0] cuya expresión es h(x) = −
√
x. �
La última cuestión que mencionaremos es la siguiente: si una función tiene una inversa en
cierto subconjunto A de su dominio, entonces esa inversa es única (¿por qué?). De manera que
es legal ponerle un nombre asociado a f . Se acostumbra designar a la función inversa de f
como f −1.
Vamos a resumir lo que hemos dicho acerca de las funciones inversas:
Lamentablemente se utiliza una
simbolización ambigua que pue-
de llevar a confusión. Tendremos
que tener en cuenta que
f −1 ,
1
f
.
Definición 7.1.2 Sea f una función numérica. Sea A un subconjunto del dominio de f .
Diremos que f tiene una inversa en A (o que f es invertible en A) si existe una función
f −1 tal que
f −1( f (x)) = x para todo x perteneciente a A.
Teorema 7.1.1 — Condición para la existencia de inversa. La función f es invertible en A sí
y sólo sí es uno a uno en A.
Hacemos las siguientes observaciones:
En la práctica, si la función tiene una expresión y = f (x), encontrar la inversa implica
despejar la variable x en función de la variable y. En el Ejemplo 7.1 de la función lineal
tenemos que
y = ax + b
y − b = ax
y − b
a
= x.
Que determina la expresión de la función inversa:
f −1(y) =
y − b
a
.
Muy pocas veces podremos hacer este procedimiento tan sencillo cuando estén involu-
cradas funciones más complejas. Por lo tanto, nos dedicaremos a estudiar existencia de
la función inversa y conocer sus propiedades de continuidad, derivabilidad, gráfica, etc.
a partir de las propiedades de la función f .
De la misma forma, es bastante complicado mostrar que una función f es uno a uno
en cierto conjunto. Puesto que eso es lo mismo que mostrar que cada valor de x está
determinado unívocamente por f (x), lo cual tendría que hacerlo otra vez expresando x
en función de y. Daremos entonces otras condiciones más sencillas de comprobar, que
nos permitan asegurar que nuestra función es uno a uno en cierto conjunto A.
Actividad 7.1 En cada uno de los casos siguientes, las funciones f y g están dadas por una
tabla de valores. Determinen si alguna de ellas es una función uno a uno.
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
x 1 2 3 4 5 6
g(x) 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9
4 Capítulo 7. Función inversa
Actividad 7.2 Analicen cada una de las funciones f cuyas gráficas se encuentran en la
Figura 7.2 y determinen, en cada caso, si se trata o no de funciones uno a uno. �
x
y
Gráfica I
x
y
Gráfica II
x
y
Gráfica III
x
y
Gráfica IV
Figura 7.2: Gráficas para la Activi-
dad 7.2.
Actividad 7.3 Indiquen cuáles de las siguientes funciones son uno a uno en sus dominios.
Justifiquen en cada caso (la justificación puede ser gráfica o analítica). En caso que no sea
uno a uno en su dominio, determinen al menos dos subconjuntos del dominio donde la
función sí lo sea. En todos los casos, den una expresión para la función inversa.
a) f (x) = 7x + 1 b) f (x) =
1
x
c) f (x) = x2 − x + 1 d) f (x) =
1
x2
e) f (x) = x2 f ) f (x) =
x − 1
x + 1
�
Como habrán sospechado a partir de las actividades anteriores, puede concluirse que una
función es uno a uno en un intervalo si comprobamos que es creciente o decreciente en ese
intervalo. Y esa comprobación puede hacerse estudiando el signo de la derivada. Podemos
enunciar entonces el siguiente resultado:
Teorema 7.1.2 Sea f una función derivable en un intervalo I (de cualquier forma). Entonces
a) si f ′(x) > 0 en I, entonces f es invertible en I
b) si f ′(x) < 0 en I, entonces f es invertible en I.
Actividad 7.4 Analicen los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones de la
Actividad 7.3 y comparen con las respuestas que dieron en cada caso. �
7.2 Propiedades de la función inversa
7.2.1 Gráficas
Supongamos que tenemos una función f que es invertible en un intervalo I. Sea f −1 su
función inversa.
La gráfica de f −1 es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son de la forma
(x, f −1(x)). Pero si y = f −1(x), entonces x = f (y). Por lo tanto los puntos de la gráfica de f −1
son de la forma ( f (y), y). Esto es, cada punto de la gráfica de f −1 proviene de un punto de la
gráfica de f con las coordenadas permutadas. En forma gráfica:
x
y Recta y = x
x
x
y
y
Figura 7.3: El punto (x, y) es simétrico del punto (y, x) respecto de la recta y = x.
7.2 Propiedades de la funcióninversa 5
Por lo tanto, la gráfica de f −1 es la simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x.
� Ejemplo 7.4 A continuación presentamos dos funciones con sus respectivas inversas en los
dominios correspondientes.
x
y Recta y = x
f (x) =
1
x2
.5 1 1.5 2 2.5
.5
1
1.5
2
2.5
x
y Recta y = x
f −1(x) =
1
√
x
.5 1 1.5 2 2.5
.5
1
1.5
2
2.5
La función f (x) =
1
x2
en el intervalo (0, 3). Su inversa f −1(x) =
1
√
x
.
x
y Recta y = xf (x) = x2
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y Recta y = x
f −1(x) =
√
x
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
La función f (x) = x2 en el intervalo [0, 6]. Su inversa f −1(x) =
√
x.
�
6 Capítulo 7. Función inversa
Actividad 7.5 Utilicen la gráfica de la función en el sistema de ejes cartesianos de la
izquierda para hacer la gráfica de su función inversa en el sistema de ejes cartesianos de la
derecha.
a)
x
y
x
y
b)
x
y
x
y
�
7.2.2 Continuidad
A continuación enunciaremos un resultado que nos da información, bajo ciertas condiciones,
sobre la continuidad de f −1.
Teorema 7.2.1 Sea f una función uno a uno y continua en un intervalo cerrado I, y sea J el
intervalo imagen de I por f . Entonces su función inversa f −1 es continua en J.
7.2.3 Derivabilidad
Supongamos que f es una función derivable en un intervalo abierto I, y supongamos que
f ′ > 0 en I. Sea f −1 su función inversa y sea a un número cualquiera de I. Queremos calcular
la derivada de f −1 en el valor f (a).
La pendiente de la recta secante a la gráfica de f −1 que pasa por los puntos ( f (a), a) y
( f (x), x) es:
f −1 ( f (x)) − f −1 ( f (a))
f (x) − f (a)
=
x − a
f (x) − f (a)
=
1
f (x)− f (a)
x−a
.
Sobre esta base consideramos que
Teorema 7.2.2 — Teorema de la Función Inversa. Si f es una función derivable en un intervalo
abierto I tal que f ′(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces f −1 es derivable en todo b
tal que b = f (a), con a ∈ I. Además se cumple(
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
El teorema es válido también en
el caso que f ′(x) < 0 en el inter-
valo. La fórmula para calcular la
derivada de la función inversa es
igual. Demostración Para determinar si la función inversa f
−1 es derivable en algún valor b de
la forma b = f (a) estudiamos el límite del cociente incremental
7.2 Propiedades de la función inversa 7
lı́m
y→b
f −1(y) − f −1(b)
y − b
=
Considerando que f es continua en el intervalo podemos considerar y = f (x) y tomar
x → a sustituyendo
= lı́m
x→a
x − a
f (x) − f (a)
= lı́m
x→a
1
f (x)− f (a)
x−a
=
1
f ′(a)
.
Por lo tanto (
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
C Usando la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir, bajo las hipótesis
del teorema
df −1
dy
=
1
d f
dx
,
o, con la convención de y = f (x) versus x = f −1(y) entonces
dx
dy
=
1
dy
dx
� Ejemplo 7.5 Consideremos la función f (x) = −x3 − x2 + 1. Cuando derivamos obtenemos
f ′(x) = −3x2−2x = −x(3x+2). Estudiando los intervalos de positividad y negatividad
de la función f ′(x) podemos afirmar que f ′(x) es negativa en el intervalo (0,+∞).
La función f es invertible en ese intervalo.
Dado que f (0) = 1, su inversa estará definida en el intervalo (−∞, 1). Además,
f ( 12 ) =
5
8 y f
′( 12 ) = −
7
4 . Podemos calcular entonces, sin conocer la fórmula de la
función inversa
( f −1)′( 58 ) =
1
f ′( 12 )
=
1
− 74
= −
4
7
.
x
yf (x) = −x3 − x2 + 1
1
2
5
8
m = − 74
y
x
f −1(y)
5
8
1
2
m = − 47
�
8. Comportamientos asintóticos
“Ella era la tía Re, una especie de hada que llegaba cada dos años llena de regalos, desde los Estados
Unidos, hasta que regresó a Buenos Aires, para desempeñarse como profesora en la Facultad de Farmacia y
Bioquímica. . . Era una mujer con un carácter muy,pero muy fuerte. Ella solía contar con tono risueño que
una vez el Dr. Houssay le dijo, para elogiarla, que era ’una mujer de pelo en pecho’.”
Dra. Lidia Costa , en referencia a la Dra. Rebeca Gerschman (1903 - 1986)
8.1 Asíntotas verticales
En varias oportunidades hemos mencionado y trabajado con funciones con comportamiento
asintótico verticales. Los ejemplos fueron las funciones potencias
f (x) =
1
xn
para n ≥ 1,
y las funciones homográficas
f (x) =
ax + b
cx + d
donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.
x
y
a
Gráfica I
x
y
a
Gráfica II
x
y
a
Gráfica III
x
y
a
Gráfica IV
Figura 8.1: Comportamientos asin-
tóticos verticales.
Actividad 8.1 En las gráficas de la Figura 8.1 se presentan varias opciones de compor-
tamientos asintóticos verticales. Marquen con las opciones a), b), c) y/o d) según lo
siguiente:
a) lı́m
x→a+
f (x) = +∞ b) lı́m
x→a+
f (x) = −∞
c) lı́m
x→a−
f (x) = +∞ d) lı́m
x→a−
f (x) = −∞
�
Actividad 8.2 Unan cada gráfica de la Figura 8.1 con su correspondiente fórmula:
Gráfica I f (x) = 1
(x − a)2
Gráfica II g(x) = − 1
x − a
Gráfica III h(x) = 1
(x − a)3
Gráfica IV r(x) = − 1
(x − a)4
�
El comportamiento asintótico vertical hace referencia a un comportamiento de la función
para valores de x que se acercan un número fijo a. En el Módulo 4 presentamos la noción de
límite para una función numérica
lı́m
x→a
g(x) lı́m
x→a+
g(x) lı́m
x→a−
g(x)
para calcular, por ejemplo, el valor de la derivada mediante el cálculo del límite del cociente
incremental. Pero en algunas situaciones esos límites de la forma x → a o x → a+ o x → a−
no existen: los valores de f (x) no tienden o no se aproximan tanto como se quiere a ningún
número.
2 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
En el caso de los comportamientos asintóticos lo que sucede es que los valores de f (x)
se hacen cada vez más grandes y positivos creciendo cada vez más sin tener ningún “techo”. O
también se hacen cada vez más grandes y negativos disminuyendo cada vez más sin tener un
“piso”.
Para comportamientos asintóticos verticales utilizamos la misma notación compacta
incorporando los símbolos +∞ y −∞ para describir el comportamiento de los valores de f (x).
x
y
a d
x → a+ y f (x) → −∞
x
y
c a
x → a− y f (x) → +∞
x
y
c a
x → a− y f (x) → −∞
Figura 8.2: Ejes coordenados para la
Actividad 8.3
f (x) → +∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y positivos indefinidamente.
f (x) → −∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y negativos indefinidamente.
x
a d
y
+∞x
f (x)
a+ ←− x
Figura 8.3: Representación gráfica de una función tal que lı́m
x→a+
f (x) = +∞.
Actividad 8.3 Analicen las gráficas de la Figura 8.3 y realicen en los ejes cartesianos de la
Figura 8.2 las representaciones correspondientes a los diferentes casos planteados.
�
Resumimos a continuación las definiciones que usaremos para comportamientos asin-
tóticos verticales. Son cuatro definiciones, una para cada una de las situaciones descriptas
previamente.
Definición 8.1.1 — lı́m
x→a+
f (x) = +∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos
lı́m
x→a+
f (x) = +∞
si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).
Definición 8.1.2 — lı́m
x→a−
f (x) = +∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos
lı́m
x→a−
f (x) = +∞
si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).
8.1 Asíntotas verticales 3
Definición 8.1.3 — lı́m
x→a+
f (x) = −∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos
lı́m
x→a+
f (x) = −∞
si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).
En ninguna de estas definiciones
es necesario que la función es-
té definida en x = a. Al igual
que sucede con los límites con
los que ya hemos trabajado, el
comportamiento asintótico verti-
cal depende exclusivamente de
los valores cercanos a x = a (cer-
canos por la derecha o por la
izquierda).
Definición 8.1.4 — lı́m
x→a−
f (x) = −∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de laforma (c, a), decimos
lı́m
x→a−
f (x) = −∞
si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).
Definición 8.1.5 — Asíntota vertical.
En cualquiera de los casos anteriores se dice que la recta vertical x = a es una asíntota
vertical de la gráfica de la función.
También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico vertical en x = a.
C Remarcamos la siguiente observación para afianzar el trabajo algebraico que viene a
continuación.
En todos los casos anteriores, los límites no existen. O sea, no dan como resultado un
número real. Los símbolos +∞ y −∞ son sólo símbolos que abrevian el comportamiento
asintótico vertical encontrado y no se puede operar con ellos. No pueden aplicarse las
Propiedades 4.4.1 de suma, resta, multiplicación o división tal cual las conocemos del
Módulo 4. En la siguiente sección presentaremos algunas nuevas propiedades que nos
permitirán determinar límites que involucren operaciones algebraicas.
8.1.1 Propiedades algebraicas de los límites infinitos
En los casos con los que hemos trabajado anteriormente la presencia de asíntotas verticales
proviene de funciones racionales en las que el numerador es una constante distinta de 0 y el
denominador se acerca a 0.
� Ejemplo 8.1 Considerando la función f (x) =
1
x
y el estudio de x → 0+ y x → 0−.
Cuando consideramos x → 0+ es porque pensamos que x toma valores muy pequeños,
cercanos a cero y positivos. Por otro lado, si x → 0− es porque pensamos que x toma
valores muy pequeños, cercanos a cero y negativos. La fracción
1
x
es un número grande
y su signo depende de la regla de los signos entre el numerador y el denominador.
Si x → 0+ entonces
>0︷︸︸︷
1
x︸︷︷︸
x>0
→ +∞ Si x → 0− entonces
>0︷︸︸︷
1
x︸︷︷︸
x<0
→ −∞
lı́m
x→0+
1
x
= +∞ lı́m
x→0−
1
x
= −∞
�
4 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
� Ejemplo 8.2 Analizaremos lı́m
x→2
−3x
x2 − 4x + 4
.
Dado que el denominador tiende a 0 cuando x → 2, no podemos aplicar la propiedad
del cociente para límites. Para x cerca de 2 se tiene que −3x está cerca de −6 mientras
que el denominador es un número pequeño cercano a 0.
Por lo tanto, el límite no existe y la función
f (x) =
−3x
x2 − 4x + 4
presenta en x = 2 un comportamiento asintótico vertical.
Para avanzar en el desarrollo necesitamos conocer qué signo tiene el denominador; que
en este caso se trata de un trinomio cuadrado perfecto
−3x
x2 − 4x + 4
=
→−6 (para x → 2)︷︸︸︷
−3x
(x − 2)2︸ ︷︷ ︸
>0 (para x , 2)
Concluimos entonces que, tanto para x → 2+ o para x → 2−, se tiene
lı́m
x→2−
−3x
x2 − 4x + 4
= −∞ y lı́m
x→2+
−3x
x2 − 4x + 4
= −∞
�
x
y
2
Figura 8.4: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
f (x) =
−3x
x2 − 4x + 4
.
x
y
−1
Figura 8.5: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
g(x) =
3 − x
x2 − x − 2
.
� Ejemplo 8.3 Analizaremos lı́m
x→−1
3 − x
x2 − x − 2
.
Para x cercano a −1 el numerador 3 − x está cerca de 4 (son valores positivos). En
cambio, el denominador x2 − x − 2 tiende a 0 para x → −1. Por lo tanto el límite no
existe y la función g(x) =
3 − x
x2 − x − 2
presenta un comportamiento asintótico vertical
en x = −1.
Estudiaremos qué sucede cuando x → −1+ y x → −1−.
Factorizando el denominador usando las raíces x1 = −1 y x2 = 2 se tiene que
x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2).
Podemos analizar sus intervalos de positividad y negatividad como hicimos en el
Módulo 6 con el Teorema del Valor Intermedio usando algún valor de prueba.
−1 2
+ + + + − − − − −
Para x → −1+ se tiene que x2 − x − 2 < 0 por lo tanto
lı́m
x→−1+
3 − x
x2 − x − 2
= −∞
8.1 Asíntotas verticales 5
Para x → −1− se tiene que x2 − x − 2 > 0 por lo tanto
lı́m
x→−1−
3 − x
x2 − x − 2
= +∞
�
� Ejemplo 8.4 Analizaremos lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
x − 3
En este caso, para x → 3 tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Por
lo tanto no podemos asegurar que exista un comportamiento asintótico vertical. De
hecho, factorizando el numerador usando las raíces x1 = 3 y x2 = 1 se tiene
x2 − 4x + 3
x − 3
=
(x − 3)(x − 1)
x − 3
para x , 3︷︸︸︷
= x − 1
Por lo tanto,
lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
x − 3
= lı́m
x→3
x − 1 = 2
La función
h(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
no tiene un comportamiento asintótico vertical en x = 3. Tiene una discontinuidad
evitable.
�
x
y
3
Figura 8.6: Discontinuidad evitable
de h(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
.
Actividad 8.4 Estudien los siguientes límites y determinen los comportamientos asintóticos
verticales en el caso que los hubiera.
a) lı́m
x→0
x2 + 5
x2
b) lı́m
x→−1
√
x2 + 1
x + 1
c) lı́m
x→2
x + 2
x2 − 4
d) lı́m
x→1
x3 − 1
x2 − 5x + 4
�
Como ya mencionamos, los límites que no existen no tienen reglas algebraicas claras
tal como las aplicamos con los límites que sí existen. Sin embargo existen las siguientes
propiedades. Las propiedades mencionadas en
el teorema también son válidas
en el caso x → a− para funcio-
nes definidas, al menos, en un
intervalo de la forma (c, a).
Teorema 8.1.1 Para dos funciones f y g definidas, al menos, en un intervalo de la forma
(a, d); y L un número real
Respecto a la suma
a) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = −∞.
c) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = +∞.
d) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = −∞.
6 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Respecto al producto
a) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
c) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = −∞.
d) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
e) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = −∞.
C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando
+∞ −∞
o
L > 0 L < 0
.
En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos para
la multiplicación.
C En el Teorema 8.1.1 no se detallan propiedades referidas a la resta o la división de
funciones porque en esos casos se utilizan las igualdades
f (x) − g(x) = f (x) +
(
− g(x)
)
f (x)
g(x)
= f (x).
1
g(x)
C Respecto de la suma no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde los
términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los casos
lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞
deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna regla
o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
C Respecto al producto no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde
alguno de los factores tiende a 0. O sea, los casos
lı́m
x→a
f (x) = ∞ y lı́m
x→a
g(x) = 0
deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna regla
o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
8.2 Asíntotas horizontales 7
� Ejemplo 8.5 Consideremos los siguientes límites:
a) lı́m
x→0+
1
x
+
1
x2
b) lı́m
x→0−
1
x
+
1
x2
Dado que lı́m
x→0+
1
x
= +∞ y también lı́m
x→0+
1
x2
= +∞ podemos concluir que
lı́m
x→0+
1
x
+
1
x2
= +∞
Sin embargo, lı́m
x→0−
1
x
= −∞ y lı́m
x→0−
1
x2
= +∞, que son dos comportamientos asintóticos
verticales diferentes por lo que no es posible usar ninguna de las propiedades del
Teorema 8.1.1 respecto a la suma.
Para calcular el límite debemos operar con la expresión hasta que podamos sacar alguna
conclusión. En este caso, podemos sumar las fracciones
1
x
+
1
x2
=
x + 1
x2
e identificar que se trata de un cociente donde el numerador tiende a 1 (que es positivo)
y el denominador tiende a 0con valores también positivos. Por lo tanto,
lı́m
x→0−
1
x
+
1
x2
= +∞
�
x
y
Figura 8.7: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
f (x) =
1
x
+
1
x2
Actividad 8.5 Decidan cuales de los siguientes límites pueden calcularse utilizando las
propiedades del Teorema 8.1.1 y cuáles no.
• En los casos que se pueda usar alguna de las propiedades, indiquen explícitamente
cuál/es se utiliza/n y calculen el límite.
• En los casos que no se pueda usar ninguna de las propiedades, operen adecuadamente
para poder luego calcular el límite.
a) lı́m
x→1
(x − 1).
1
x − 1
b) lı́m
x→4
2(x − 4) +
3
x − 4
c) lı́m
x→0+
1
x
+
1
x3
d) lı́m
x→2+
2
x − 2
−
x
x − 2
e) lı́m
x→0
x.
1
x3
f ) lı́m
x→0
x3.
1
x
�
8.2 Asíntotas horizontales
Otros límites que involucran los símbolos +∞ y −∞ son los de la forma
lı́m
x→+∞
f (x) lı́m
x→−∞
f (x).
En estos casos se considera que la variable independiente x irá tomando valores cada vez
más grandes y positivos (x → +∞); o podrá tomar valores cada vez más grandes y negativos
(x → −∞). De modo que nos interesa conocer cómo se comportan los valores de f (x).
8 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Por ejemplo, en la Figura 8.8 presentamos dos ejemplos particulares en los que:
• Gráfica I: f (x) → L, siendo L un número real.
• Gráfica II: f (x) → +∞; o sea, los valores de f (x) se hacen grandes y positivos.
x
y
c
f (x)y
L
x −→ +∞
Gráfica I
x
y
c
+∞x
f (x)
x −→ +∞
Gráfica II
Figura 8.8: Dos ejemplos para comportamientos de lı́m
x→+∞
f (x).
Estudiaremos estos, y otros comportamientos, para x → +∞ o para x → −∞
Definición 8.2.1 — lı́m
x→+∞
f (x) = L.
Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que
lı́m
x→+∞
f (x) = L
siempre que los valores f (x) estén aproximándose al número L, tan cerca como querramos,
tomando a x con valores grandes y positivos.
8.2 Asíntotas horizontales 9
Definición 8.2.2 — lı́m
x→+∞
f (x) = +∞.
Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞
siempre que los valores f (x) se hagan grandes y positivos a medida que los valores de x
van tomando valores grandes y positivos.
Actividad 8.6 ¿Cómo correspondería definir los siguientes casos?
lı́m
x→+∞
f (x) = −∞
lı́m
x→−∞
f (x) = +∞ lı́m
x→−∞
f (x) = −∞ lı́m
x→−∞
f (x) = L
Enuncien las definiciones de los 4 casos anteriores y realicen las representaciones gráficas
correspondientes.
�
Definición 8.2.3 — Asíntota horizontal.
En los casos que lı́m
x→+∞
f (x) = L o lı́m
x→−∞
f (x) = L, se dice que la recta horizontal
y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.
También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico horizontal para
x → +∞ (o para x → −∞).
Existen situaciones en las que los
comportamientos para x → +∞
o x → −∞ no se corresponde
con ninguno de los casos presen-
tados en esta sección. Por ejem-
plo, casos oscilatorios que desa-
rrollaremos más adelante con las
funciones trigonométricas.
� Ejemplo 8.6 La función f (x) =
1
x
cumple que
lı́m
x→+∞
1
x
= 0 y lı́m
x→−∞
1
x
= 0
La única asíntota horizontal de la gráfica de la función es la recta y = 0.
�
� Ejemplo 8.7 La función g(x) = x2 cumple que
lı́m
x→+∞
x2 = +∞ y lı́m
x→−∞
x2 = +∞
Los valores de x2 se hacen grandes y positivos, tanto para valores de x grandes y
positivos como para x grandes y negativos. La gráfica no presenta comportamiento
asintótico horizontal.
�
8.2.1 Propiedades algebraicas de los límites para x → +∞ o x → −∞
Los límites para x → +∞ o x → −∞ tienen las mismas propiedades algebraicas que los
límites para x → a en en los casos de f (x) → L. O sea, en los casos que los límites existen:
se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir (salvo que el denominador tienda a 0). Cuando
alguno, o ambos, de los límites da como resultado +∞ o −∞ el comportamiento es similar al
descripto en el Teorema 8.1.1.
10 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Teorema 8.2.1 Dadas f y g definidas en un intervalo de la forma (c,+∞) se tiene
Respecto a la suma
a) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = −∞.
c) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = +∞.
d) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = −∞.
Respecto al producto
a) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
c) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = −∞.
d) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
e) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = −∞.
Las propiedades mencionadas en
el teorema también son válidas
en los casos x → −∞.
C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando
+∞ −∞
o
L > 0 L < 0
.
En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos para
la multiplicación.
C En el Teorema no se detallan propiedades referidas a la resta o la división de funciones
porque en esos casos se utilizan las igualdades
f (x) − g(x) = f (x) +
(
− g(x)
)
f (x)
g(x)
= f (x).
1
g(x)
C Y hacemos la misma observación que para el Teorema 8.1.1 para las propiedades
respecto de la suma dado que no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos
donde los términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los
casos
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞
o, respecto del producto, los casos alguno de los factores tiende a 0
lı́m
x→+∞
f (x) = ∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = 0.
Estos casos deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna
regla o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
8.2 Asíntotas horizontales 11
� Ejemplo 8.8 Comportamiento en el infinito de una función polinomial.
Para una función polinómica de la forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
haremos lo siguiente: sacar factor común el factor anxn (sabiendo que an , 0):
f (x) = anxn
(
1 +
an−1
an
1
x
+ · · · +
a1
an
1
xn−1
+
a0
an
1
xn
)
.
El factor entre paréntesis se comporta de la siguiente manera
1 +
an−1
an
1
x︸ ︷︷ ︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞
+ · · · +
a1
an
1
xn−1︸ ︷︷ ︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞
+
a0
an
1
xn︸︷︷︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞︸ ︷︷ ︸
tiene a 1 cuando x → ±∞
Por lo tanto, para la función polinómica tenemos
lı́m
x→±∞
f (x) = lı́m
x→±∞
anxn.
El comportamiento asintótico para x → +∞ o para x → −∞ de las funciones
polinómicas está determinado exclusivamente por el comportamiento del término de
mayor grado anxn.
�
Actividad 8.7
a) Repitan el procedimiento del Ejemplo 8.8 para la función f (x) = −5x5+2x4− x3+1.
b) El comportamiento de una función polinómica para x → ±∞ depende de dos cosas:
el signo del coeficiente an y si el exponente n es par o impar. Completen la siguiente
tabla:
lı́m
x→+∞
anxn lı́m
x→−∞
anxn
n par an < 0
n par an > 0
n impar an < 0
n impar an > 0
c) Calculen los siguientes límites
a) lı́m
x→+∞
−7x4 + 2x − 1 b) lı́m
x→−∞
−x3 − x2 + 3
c) lı́m
x→−∞
√
2 x6 + x7 d) lı́m
x→+∞
x2 + x
�
12 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
� Ejemplo 8.9 Comportamiento en el infinito de una función racional.
Para funciones racionales f (x) =
p(x)
q(x)
donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas
realizaremos el procedimiento del Ejemplo 8.8 en el numerador y en el denominador
lo que nos permitirá calcular por ejemplo
lı́m
x→±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
de la siguiente manera
Para el numerador: −2x2 + x − 1 = −2x2
(
1 +
1
−2x
−
1
−2x2
)
.
Para el denominador: x3 + 3 =x3
(
1 +
3
x3
)
.
Por lo tanto, considerando que x → ±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
=
−2x2
(
1 + 1
−2x −
1
−2x2
)
x3
(
1 + 3
x3
) = −2
x︸︷︷︸
tiende a 0
.
tiende a 1︷ ︸︸ ︷(
1 +
1
−2x
−
1
−2x2
)
(
1 +
3
x3
)
︸ ︷︷ ︸
tiende a 1
O sea, lı́m
x→±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
= 0. La gráfica de la función f (x) =
−2x2 + x − 1
x3 + 3
presenta
una asíntota horizontal en la recta y = 0.
�
Actividad 8.8 Calculen los límites para x → +∞ y para x → −∞ de las funciones:
a) f (x) =
2x + 3
5x + 7
b) g(x) =
x + 1
x2 + 3
c) r(x) =
1 − 12x3
4x2 + 12
d) m(x) =
7x3
x3 − 3x2 + 6x
e) w(x) =
2x5 + 3
−x2 + x
f ) p(x) =
x4
x3 + 1
�
Actividad 8.9 Con un procedimiento similar al realizado para funciones racionales es
posible calcular límites donde la potencia de x no sea entera o sea negativa. Siempre
corresponde “sacar factor común” la potencia más grande de x.
a) lı́m
x→+∞
2
√
x + x−1
3x − 7
b) lı́m
x→−∞
3√x − 5
√
x
3√x + 5
√
x
c) lı́m
x→+∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x +
√
x
�
9. Modelos exponenciales. Primera parte
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
9.1 Modelos exponenciales
En este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas
funciones exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de las
ciencias químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar los
siguientes procesos (físicos - químicos - biológicos):
Crecimiento y decrecimiento continuo de una población
El primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la
reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria se
divide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias pueden
reproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo de
bacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas las
bacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentes
en el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad de
medición).
Figura 9.1: Cultivo de bacterias.
Métodos de conteo para medir el tamaño
de una población bacteriana:
Conteo directo por microscopio usando
portaobjetos especiales (cámaras de con-
teo o cámaras de conteo electrónicas). No
permite distinguir entre células vivas y
muertas.
Conteo indirecto (recuento de placas):
se diluye la muestra en un diluyente no
tóxico. Si se coloca en un medio adecua-
do, cada unidad viable crece y forma una
colonia que se puede contar (UFC) y el
número de UFC se relaciona con la can-
tidad de bacterias viables en la muestra.
http://textbookofbacteriology.
net/kt_toc.html
El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias considera
como hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplica
es siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (en
alguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)
se tendrá
N ′(t)︸︷︷︸
Velocidad de crecimiento
= k .N(t)︸ ︷︷ ︸
La constante k representa
la proporción de población
que se divide.
La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemos
contemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentar
la cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puede
disminuir por muertes o por emigración.
N ′(t) = a.N(t)︸ ︷︷ ︸
Nacimientos
+ b.N(t)︸ ︷︷ ︸
Inmigración
− c.N(t)︸︷︷︸
Muertes
− d.N(t)︸ ︷︷ ︸
Emigración
N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)
N ′(t) = k .N(t) (9.1)
La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variar
la cantidad de población.
Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.
La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden
varía según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produce
esta variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,
d[A]
dt
= −k[A] (9.2)
donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa de
reacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medida
correspondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .
http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html
http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html
2 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Decaimiento de una sustancia radiactiva
En forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad
de una sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad de
sustancia
dN
dt
= −kN(t) (9.3)
donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasa
de decaimiento de la sustancia.
Las tres ecuaciones anteriores (9.1), (9.2) y (9.3) tienen la misma forma al considerar una
constante k y una función derivable f (x) que cumple
f ′(x) = k . f (x) (9.4)
La existencia de una función que cumpla la ecuación (9.4) la aceptaremos según el siguiente
teorema.
Teorema 9.1.1—Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existe
una función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial de
base a, que denotaremos por
f (x) = ax
y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son números
cualquiera:
ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y (a.b)x = ax .bx
Esta función cumple la ecuación (9.4); o sea, para alguna constante k se tiene
f ′(x) = k . f (x)
9.2 Funciones exponenciales
Actividad 9.1 Considerando la función exponencial f (x) = ax , respondan.
a) Suponiendo que n ∈ N y m ∈ Z, con m , 0. Completen:
an = a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
n-veces
a−1 =
a−n = a1/n =
am/n =
b) Considerando a = 2; o sea f (x) = 2x , completen la siguiente tabla:
x 3/4 0 3 0.1 1.25 −2.3 1 10
2x por definición 23/4
2x según el exponente 4
√
23
2x aproximando ≈ 1.68
�
9.2 Funciones exponenciales 3
Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionario
de manera similar a cómo se resuelve la Actividad 9.1. Para completar todos los números reales
faltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,
3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24
3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2
3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15
3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142
pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que el
número 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos
2p/q < 2π < 2P/Q
siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios con
p
q
< π <
P
Q
. En particular, usando la
última fila de los cálculos anteriores tenemos
8.8213 < 2π < 8.8274.
Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquier
otro exponente x irracional.
La Figura 9.2muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentes
valores de la base a.
x
y
10x
1x
4x 2x
(
1
2
)x ( 1
4
)x
(1.5)x
Figura 9.2: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,
1
2, 1, 1.5, 2, 4 y 10.
• Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1) porque a0 = 1 para a , 0.
• Para a , 1 la imagen de ax es el intervalo (0,+∞).
• Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función decreciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1> ax2
• Si a = 1, f (x) = 1 es una función constante de x.
• Si a > 1, f (x) = ax es una función creciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1< ax2
x
y
(0, 1)
a) f (x) = ax con 1 < a
x
y
(0, 1)
b) f (x) = 1x
x
y
(0, 1)
c) f (x) = ax con 0 < a < 1
4 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
9.3 Funciones logarítmicas
Si a > 0 y a , 1, la función exponencial f (x) = ax es una funcióncreciente o decreciente
en todo R, y por lo tanto es uno a uno (recordar la prueba de la recta horizontal).
Definición 9.3.1 — Función logaritmo. Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1)
a la función inversa de la función exponencial f (x) = ax . Se escribe loga(x). Por lo tanto
loga(x) = y ⇔ a
y = x.
El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).
Se dice y es el logaritmo de x en base a.
En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta
¿Qué número y cumple que x = ay?
� Ejemplo 9.1 Como 23 = 8, 21/2 =
√
2, 2−1 =
1
2
tenemos que
log2(8) = 3, log2(
√
2) =
1
2
, log2
(
1
2
)
= −1.
Además, log2(−3) no existe porque no existe ningún número y para el cual 2
y = −3
(2y es siempre positivo).
Tampoco existe log−3(2) porque y = log−3(2) tendría que ser algún número real que
satisfaga (−3)y = 2, y no se encuentra definida la exponencial para bases negativas.
�
Como se vio en el Módulo 8, la gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráfica
de la función f (x) = ax con respecto a la recta y = x. La Figura 9.3 muestra el caso a > 1.
x
y Recta y = xax
loga(x)
(0, 1)
(1, 0)
Figura 9.3: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a la
recta y = x. Caso con a > 1.
9.3 Funciones logarítmicas 5
Propiedad 9.3.1 Si x e y son números positivos, r un número real cualquiera entonces
• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga
(
x
y
)
= loga(x) − loga(y)
• logb(x) =
logc(x)
logc(b)
• loga(x
r ) = r loga(x)
La Figura 9.4 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a. Como
logb(1) = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
x
y
log10(x)
log2(x)
log1/2(x)
log1/3(x)
log3(x)
Figura 9.4: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,
1
3 y 10.
Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmos
para practicar las propiedades.
� Ejemplo 9.2 Resolvemos la ecuación 2x
2+x−4 = 4 usando que la logaritmo en base 2 es la
función inversa de la función exponencial de base 2. También tenemos en cuenta que
ambos términos de la ecuación son positivos.
2x
2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x
2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0
Hay dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3 (resolver la ecuación cuadrática del final). �
� Ejemplo 9.3 De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este caso
tenemos que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que
2x − 7 ≤ 0. Con esto en el tintero resolvemos
log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 3
2 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8
El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �
6 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Desigualdades (con exponen-
ciales y logaritmos)
Para resolver desigualdades se
puede operar de manera similar
pero teniendo en cuenta que las
funciones exponenciales y loga-
rítmicas son crecientes o decre-
cientes según sea la base mayor
o menor que 1.
Si la base es mayor que 1, la de-
sigualdad se mantiene; si la base
es menor que 1, la desigualdad
se invierte.
� Ejemplo 9.4 Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que el
conjunto de validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.
log4(x − 1) < 1
La base es 4 > 1︷︸︸︷
⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5
Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.
�
Actividad 9.2 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.
a) f (x) =
1
4x − 1
b) g(x) =
1
log2(x)
c) h(x) =
√
5x − 3
�
9.4 Derivada de ax y definición de e
De acuerdo al Teorema 9.1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en
todo R y cumplen la ecuación fundamental
(ax)′ = k .ax (9.5)
para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencial
f (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial
En la Sección 9.1 se presentó a
la constante k en diferentes si-
tuaciones de modelos exponen-
ciales asociándola, por ejemplo,
como la tasa de reproducción
relativa de una población o la
tasa de decaimiento de una sus-
tancia radiactiva.
Teorema 9.4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, tal
que la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,
(ex)′ = ex
Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a
x .
El número e es irracional: no
puede escribirse como fracción
entre dos números enteros. Su
valor aproximado es
e ≈ 2.718281828459045
Demostración Asumiremos como válida la existencia del número e (no haremos la
demostración).
Reescribimos ax usando la igualdad a = eloge (a) y elevando a la x ambos lados
a = eloge (a)
ax =
(
eloge (a)
)x
= eloge (a)x
y usando la regla de la cadena en el miembro de la derecha obtenemos
(ax)′ =
(
eloge (a)x
) ′
= loge(a)e
loge (a)x = loge(a)a
x
Definición 9.4.1 — Función logaritmo natural ln(x). El logaritmo con base e se llama loga-
ritmo natural y se escribe
ln(x) = loge(x)
.
C Luego se tiene que
eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x
9.5 Derivada del logaritmo 7
� Ejemplo 9.5 Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.
d
dx
(2x) = loge(2) 2
x = ln(2) 2x
d
dx
(4x) = loge(4) 4
x = ln(4) 4x
d
dx
(3x) = loge(3) 3
x = ln(3) 3x
d
dx
(πx) = loge(π) π
x = ln(π) πx
�
Las siguientes expresiones son
distintas entre sí
ex
2
, (ex)2
Por convención se considera
ex
2
= e(x
2).
Actividad 9.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = e3x b) g(x) = ex
2
c) h(x) =
ex + 1
ex − 1
d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f ) q(x) = x3 + 3x
�
Actividad 9.4 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 9.3. �
9.5 Derivada del logaritmo
Calcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x). En primer lugar, según
lo visto en el Módulo 8, podemos afirmar que la función es derivable en todo su dominio
porque es la función inversa de g(x) = ax (que ya vimos es derivable y además su derivada es
siempre positiva o siempre negativa). Partiendo entonces de la igualdad
a f (x) = x,
podemos derivar (todas las funciones involucradas son derivables) ambos miembros de la
igualdad
d
dx
[a f (x)] =
d
dx
[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.
Podemos despejar f ′(x)
f ′(x) =
1
ln(a) a f (x)
=︸︷︷︸
a f (x)=x
1
x ln(a)
Teorema 9.5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.
Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además
f ′(x) =
1
x ln(a)
En particular
d
dx
[ln(x)] =
1
x
para todo x > 0
8 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Actividad 9.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x
d) m(x) =
x
ln(x)
e) t(x) =
ln(x)
x
f ) q(x) = x3 ln(x)
g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln
(
3w − 1
1 + 4w
)
�
Actividad 9.6 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �
Actividad 9.7 [Derivación logarítmica] En varias ocasiones puede ser complicado y
trabajoso calcular la derivada de funciones que involucran productos, cocientes o potencias.
Esta tarea puede ser simplificada mediante los logaritmos. Por ejemplo, para calcular la
derivada de la función
f (x) = xx
aplicamos ln(x) a ambos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de los logaritmos
de la siguiente manera:
f (x) = xx
ln ( f (x)) = ln (xx)
= ↓ (aplicando propiedad del logaritmo)
ln ( f (x)) = x ln(x)
Y a continuación derivamos con respecto a x a ambos lados de la igualdad
(ln ( f (x)))′ = (x ln(x))′
(regla de la cadena) ↓ = ↓ (regla del producto)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + x.
1
x
= ln(x) + 1
y luego despejamos f ′(x)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + 1
f ′(x) = f (x) (ln(x) + 1)
f ′(x) = xx (ln(x) + 1)
Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = x(e
x ) b) (x2 + 3)3x+1 c) h(x) = x−x
�
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte 9
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte
Sabemos entoncesque las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación
(ax)′ = k .ax
Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar con
modelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 9.1 son de la forma
f (x) = C.ekx = C.ax
donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).
De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.
• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entre
la velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)
y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).
k =
velocidad del proceso
cantidad neta
=
f ′(x)
f (x)
• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 como
el instante inicial del proceso entonces
f (0) = C.ek.0 = C.1 = C
� Ejemplo 9.6 La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millones
en el año 1960. Asumimos que el crecimiento de la población puede estudiarse con un
modelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?
Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones de
habitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:
C = P(0) = 2560
Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluar
P(10) debiéndose cumplir
3040 = 2560ek10
que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa de
la población mundial. La resolvemos
3040 = 2560e10k
3040
2560 = e
10k
ln
(
19
16
)
= 10k
1
10 ln
(
19
16
)
= k
k ≈ 0.017185
Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,
P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6
Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.
¿Pueden corroborar esta predicción en internet?
�
10 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.7 En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de una
sustancia al tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicial
de materia, hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años.
¿Cuál es la tasa de decaimiento de la sustancia?
Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que
1560 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.
Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurrido
y m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de la
vida media, que
m(1560) = 50
y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia
m(1560) = 50
100e1560k = 50
e1560k =
1
2
1560k = ln
(
1
2
)
k =
1
1560
ln
(
1
2
)
k =
− ln(2)
1560
La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =
− ln(2)
1560
≈ −4.44325 × 10−4.
�
Actividad 9.8 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducción
relativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2
miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �
Actividad 9.9 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichia
coli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando que
la población inicial de un cultivo es de 60 células.
a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.
b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población
al minuto t.
c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.
d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?
�
Actividad 9.10 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestra
de 100 mg.
a) Encuentren la cantidad de sustancia que queda luego de t años.
b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?
�
Actividad 9.11 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,
tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 11
la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras un
organismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,
y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) es
la misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo del
Carbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo en
relación a la presente en la atmósfera.
Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14/Carbono-
12 respecto del Carbono-14/Carbono-12 en la atmósfera. Considerando que la vida media
del Carbono-14 es de 5730 años aproximadamente, estimen la edad del fragmento de
pergamino hallado.
�
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
9.7.1 Comportamientos asintóticos
Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicas
trabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).
x
y
f (x) = ex
Figura 9.5: Gráfica de la función
f (x) = ex .
x
y
g(x) = ln(x)
Figura 9.6: Gráfica de la función
g(x) = ln(x).
Actividad 9.12 Completen con valores correspondientes utilizando la información de las
Figuras 9.5 y 9.6.
a) lı́m
x→+∞
ex = b) lı́m
x→−∞
ex =
c) lı́m
x→+∞
ln(x) = d) lı́m
x→0+
ln(x) =
�
Actividad 9.13 Tachen lo que no corresponda en cada caso.
a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical para
x → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical
para x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
�
En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la forma
lı́m
x→+∞
√
x + 3x2 − 1
x + 3x9 + 9
lı́m
x→−∞
x1/3 + x2/5
x + 3x1/5
para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.
En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funciones
exponenciales y logarítmicas.
En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver la
situación comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En el
caso de funciones exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sin
demostrarlos).
Teorema 9.7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,
a) lı́m
x→+∞
xr
ex
= 0 b) lı́m
x→+∞
xr
ln(x)
= +∞
O sus equivalentes
a) lı́m
x→+∞
ex
xr
= +∞ b) lı́m
x→+∞
ln(x)
xr
= 0
12 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
C El Teorema 9.7.1 establece que, para x → +∞, los valores de e
x crecen mucho más
rápidamente que los valores de xr de modo que el cociente
xr
ex
tiende a 0. En los libros,
esta situación se suele escribir como
xr � ex para x → +∞
Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo
que el cociente
xr
ln(x)
tiende a +∞. Se escribe
ln(x) � xr para x → +∞
C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la forma
general ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades
ax = eln(a)x loga(x) =
ln(x)
ln(a)
Definición 9.7.1 — Órdenes de magnitud. Si f y g son dos funciones que cumplen
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞
se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que
lı́m
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞
Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.
9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
Otros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes
Teorema 9.7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que
a) lı́m
x→0
ex − 1
x
= 1 b) lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
= 1
Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0
usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos
f ′(0) = lı́m
x→0f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
ex − e0
x
= lı́m
x→0
ex − 1
x
Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1.
Actividad 9.14 Realicen la demostración del segundo límite del Teorema 9.7.2. �
Los seis límites resumidos en los Teoremas 9.7.1 y 9.7.2 se consideran básicos desde
el punto de vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponenciales
o logarítmicas de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entre
ellas, junto con funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una gran
variedad de técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientos
asintóticos de las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades.
No lo hemos dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funciones
derivables en todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, los
límites que se refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simple
evaluación.
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13
� Ejemplo 9.8 Podemos calcular lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
por evaluación.
lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
=
ln(2) − e2
4
Ya que la función f (x) =
ln(x) − ex
x2
es continua en x = 2. Consideramos aquí que
es un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.
Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �
� Ejemplo 9.9 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como ya mencionamos en el
Módulo 5, si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x y
g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 9.7. Allí se
observa que hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones de
la ecuación 2x = x10. Sin embargo, dado que
lı́m
x→+∞
2x
x10
=︸︷︷︸
2x=ex ln(2)
lı́m
x→+∞
ex ln(2)
x10
=︸︷︷︸
u = x ln(2)
x =
u
ln(2)
lı́m
u→+∞
(ln(2))10
eu
u10
=︸︷︷︸
(∗)
+∞
(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.
También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene
en cuenta que
x → +∞⇐⇒ u→ +∞
Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debe
volver a cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande y
positivo.
�
x
y
1
2
−1 1
y = 2x
y = x10
Figura 9.7: Gráficas de las funciones
f (x) = 2x y g(x) = x10.
x
y
f (x) = x ln(x)
Figura 9.8: Gráfica de la función
f (x) = x ln(x).
� Ejemplo 9.10 Estudiaremos el lı́m
x→0+
x ln(x).
En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸
→0
. ln(x)︸︷︷︸
→−∞
y por lo tanto no es
posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.
Realizamos la sustitución u = 1x de modo que x → 0
+ ⇐⇒ u→ +∞ y
x ln(x) =
1
u
ln
(
1
u
)
=︸︷︷︸
ln(u−1)=− ln(u)
−
ln(u)
u
Por lo tanto lı́m
x→0+
x ln(x) = lı́m
u→+∞
−
ln(u)
u
= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.
La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �
14 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.11 Estudiaremos el lı́m
x→−∞
x2 − ex .
En primer lugar notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸
→+∞
− ex︸︷︷︸
→0
y por lo tanto si es
posible aplicar las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos
lı́m
x→−∞
x2 − ex = +∞.
La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal para
x → −∞.
�
Actividad 9.15 Estudien, calculen y determien la presencia de comportamientos asintóticos
señalados a continuación.
a) lı́m
x→+∞
x2 − ex b) lı́m
x→−∞
ex − x3 c) lı́m
x→−∞
xex
d) lı́m
x→+∞
x3 + ex
ex −
√
x
e) lı́m
x→0+
x3 ln(x) f ) lı́m
x→0+
xe1/x
g) lı́m
x→0−
xe1/x h) lı́m
x→+∞
x
(
e1/x − 1
)
i) lı́m
x→1+
x
ln(x)
j) lı́m
x→1−
x
ln(x)
k) lı́m
x→0+
ln(x)
x
�
9.8 Modelos Semilog
Una técnica muy utilizada para trabajar con modelos exponenciales f (x) = ax es la
utilización de una escala logarítmica en el eje vertical. Si consideramos un modelo exponencial
de la forma f (x) = Cekx , conC > 0 y definimos una nueva función g(x) = ln ( f (x)) obtenemos
que:
g(x) = ln ( f (x)) = ln
(
Cexk
)
= ln(C) + ln
(
ekx
)
= ln(C) + k x ln(e) = ln(C) + k x
La función g(x) resulta lineal y su gráfica tiene pendiente k y ordenada al origen ln(C).
Recíprocamente, si g(x) = b + k x es una función lineal, al definir f (x) = eg(x) obtenemos
un modelo exponencial
f (x) = eg(x) = eb+kx = ebekx
que representa un modelo exponencial con cantidad inicial eb y tasa de crecimiento k.
Utilizaremos esta equivalencia para explorar los modelos exponenciales en contextos de
las ciencias biológicas o químicas.
9.8 Modelos Semilog 15
t V(t)
1 76.0
4 53.0
8 18.0
11 9.4
15 5.2
22 3.6
Tabla 9.1: Datos V(t) (carga viral en
plasma) respeto a t (en días) luego de
comenzar el tratamiento con ABT-
538.
t V(t) ln (V(t))
1 76.0 4.33
4 53.0 3.97
8 18.0 2.89
11 9.4 2.24
15 5.2 1.65
22 3.6 1.28
Tabla 9.2: Datos V(t) y ln (V(t)) se-
gún la Tabla 9.1.
� Ejemplo 9.12 En 1995, un artículo científico describió los efectos de una proteína (ABT-538)
sobre el virus de inmunodeficiencia humana HIV-1. En Tabla 9.1 y en la Figura 9.9 se
presentan los valores de la carga viral V(t) en el plasma (medido en copias de ARN por
mL) en un paciente luego de t días de haber comenzado el tratamiento con ABT-538.
1 4 8 11 15 22
76
53
18
9.4
5.23.6
t - Días de tratamiento
V
-C
ar
ga
vi
ra
le
np
la
sm
a
Figura 9.9: Datos correspondientes a la Tabla 9.1.
La distribución de los puntos en la Figura 9.9 sugiere que es adecuado un modelo
exponencial V(t) = Cekt considerando que k debe ser negativo porque debe ser una
función decreciente.
Definimos g(t) = ln (V(t)) = ln(C)+ k x de modo que obtenemos los nuevos valores
en la Tabla 9.2 y en la Figura 9.10.
1 4 8 11 15 22
4.33
3.97
2.89
2.24
1.65
1.28
t - Días de tratamiento
ln
(V
)
Figura 9.10: Datos correspondientes a la Tabla 9.2.
Mediante el software Desmos obtenemos el modelo lineal que mejor ajusta los
datos de la Figura 9.10 según el criterio del Error cuadrático medio.
16 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Figura 9.11: Ajuste de los datos de la Figura 9.10 con el software Desmos.
Obtenemos que k ≈ −0.15 y b ≈ 4.31. Por lo tanto el modelo exponencial
f (t) = ebekt = e4.31e−0.15x = 74.44e−0.15t
�
Actividad 9.16 La Tabla 9.3 presenta los resultados de un experimento que involucra el
parásito de la malaria. El tiempo t está medido en días y N es el número de parásitos por
microlitros en sangre.
t N ln(N)
1 228
2 2357
3 12750
4 26661
5 372331
6 2217441
7 6748400
Tabla 9.3: Datos de N (cantidad de parásitos por microlitro en sangre) respeto a t (en días).
a) Completen la Tabla 9.3 con los datos de ln(N).
b) Usando el software Desmos o algún otro, determinen el modelo semi-log asociado
según el criterio el ECM y el modelo exponencial para los datos de la cantidad de
parásitos por microlitro en sangre del experimento.
c) ¿Cuánto se estima, según el modelo propuesto, que será la cantidad de parásitos de
la malaria por microlitros en sangre al día 10?
�
9.8 Modelos Semilog 17
Actividad 9.17 En un estudio médico, los investigadores midieron la concentración en
sangre de alcohol (BAC) de 8 adultos masculinos (en mg/mL) luego de consumir 30 mL de
etanol (correspondiente a 2 bebidas alcohólicas estándar). Se presentan los datos obtenidos
en la Tabla 9.4.
t (horas) BAC (mg/mL) ln(BAC)
1 0.33
1.25 0.29
1.5 0.24
1.75 0.22
2 0.18
2.25 0.15
2.5 0.12
Tabla 9.4: Valores de BAC (concentración de alcohol en sangre - en mg/mL) respeto a t
(en horas).
a) Completen la Tabla 9.4 con los datos de ln(BAC).
b) Determinen el modelo semi-log asociado según el criterio el ECM y el modelo
exponencial para los datos de la concentración de alcohol en sangre del experimento.
c) ¿En qué momento, según el modelo propuesto, la concentración de alcohol en sangre
estará por debajo los 0.1 mg/mL?
�
10. Funciones trigonométricas
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)10.1 Funciones seno y coseno
En este módulonos ocuparemos, en primer lugar, de las funciones trigonométricas.
θ sen(θ) θ cos(θ)
Son funciones donde la variable independiente θ se refiere a la medida de un ángulo θ
(medido en radianes); y donde los valores de las funciones, sen(θ) y cos(θ) se calculen con las
relaciones trigonométricas usuales.
La primera observación que hacemos en el estudio de las funciones trigonométricas se
refiere a que son funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de la variable
independiente. En el caso particular de las funciones sen(θ) y cos(θ) los valores se repiten
cada 2π.
sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)
Durante todo el curso usaremos
principalmente la medición de
ángulos en radianes.
Recuerden que π radiantes equi-
vale a 180◦ sexagesimales. La
conversión del resto de los ángu-
los, de un sistema al otro, se hace
por proporción directa.
π rad ≡ 180◦
1 rad ≡
(
180
π
)◦
π
180 rad ≡ 1
◦
Los valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) están determinados por las coordenadas del
punto sobre la circunferencia unidad (la circunferencia de radio 1 centrada en el origen)
como se muestra en la Figura 10.1.
x
y
x2 + y2 = 1
x
y
r =
1 θ radianes
(x, y) = (cos(θ), sen(θ))
Figura 10.1: Circunferencia unidad.
Las coordenadas del punto determinan los valores de las funciones trigonométricas.
Actividad 10.1 Completen la Tabla 10.1 con los valores de las funciones trigonométricas
sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π. �
θ 0 π6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
sen(θ)
cos(θ)
Tabla 10.1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π.
2 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones sen(θ) y cos(θ) se presentan en las Figuras 10.2 y 10.3.
Actividad 10.2 Utilicen las gráficas de las Figuras 10.2 y 10.3 para corroborar los valores
calculados de la Tabla 10.1. �
x
y
π
6
π
3
π
4
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
1
−1
1
2
− 12
√
2
2
−
√
2
2
−
√
3
2
√
3
2
Figura 10.2: Gráfica de la función sen(x) en el intervalo [0, 2π].
x
y
π
6
π
3
π
4
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
1
−1
1
2
− 12
√
2
2
−
√
2
2
−
√
3
2
√
3
2
Figura 10.3: Gráfica de la función cos(x) en el intervalo [0, 2π].
Actividad 10.3 Las funciones sen(θ) y cos(θ) pueden tomar valores positivos o negativos
según el cuadrante al que pertenezca el ángulo θ. Completen la Tabla 10.2.
Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
sen(θ) positiva
cos(θ) positiva
Tabla 10.2: Positividad y negatividad de las funciones sen(θ) y cos(θ).
�
10.1 Funciones seno y coseno 3
Al considerar la periodicidad de las funciones trigonométricas, la gráfica que tenemos
en el intervalo [0, 2π] se copia en los intervalos (de longitud 2π) siguientes y anteriores para
ocupar todo el eje horizontal como se ve en las Figuras 10.4 y 10.5.
θ
sen(θ)
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π
Período 2π
1
Figura 10.4: Gráfica de la función sen(x) en todo R.
θ
cos(θ)
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π
Período 2π
Figura 10.5: Gráfica de la función cos(x) en todo R.
Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes identidades básicas.
Por convención se escribe
cos2(θ) = (cos(θ))2
= cos(θ). cos(θ)
que es diferente a
cos(θ2) = cos(θ.θ)
1
sen
(θ
)
cos(θ)
x
y
Figura 10.6: Identidad principal.
Propiedad 10.1.1 — Propiedades de las funciones sen(θ) y cos(θ).
Continuidad: Las funciones son continuas en todo R.
Identidad principal: sen2(θ) + cos2(θ) = 1
Los valores están acotados: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1
Simetrías: sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ)
Suma y resta:
sen(θ1 ± θ2) = sen(θ1) cos(θ2) ± cos(θ1) sen(θ2)
cos(θ1 ± θ2) = cos(θ1) cos(θ2) ∓ sen(θ1) sen(θ2)
Desplazamiento: sen(θ + π2 ) = cos(θ)
No desarrollaremos las demostraciones de estas propiedades pero haremos algunos
comentarios y comparaciones como guías.
En primer lugar, para ángulos en el primer cuadrante, la identidad principal se deduce del
teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la Figura 10.6 dado que la hipotenusa
mide 1 unidad de longitud.
Respecto a las simetrías, en la Figura 10.7 se presenta la relación entre los valores de la
función cos(θ) en ángulos opuestos.
4 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
x
y
θ
−θ
θ
cos(θ)
θ−θ
Figura 10.7: Relación entre los valores de la función cos(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.
Actividad 10.4 ¿Cómo realizarían un diagrama similar a la Figura 10.7 para analizar la
simetría de la función sen(θ)? Utilicen la Figura 10.8.
x
y
θ
sen(θ)
Figura 10.8: Relación entre los valores de la función sen(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.
�
Por último, en la Figura 10.9 se presenta la relación de desplazamiento que relaciona los
valores sen(θ + π2 ) y cos(θ).
x
y
θ
θ + π2
cos(θ)
se
n(
θ
+
π 2
)
θ
cos(θ)
sen(θ)
θ θ + π2
Figura 10.9: Relación entre los valores de la función sen(θ + π2 ) y cos(θ).
10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 5
10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)
Definición 10.2.1 — Forma general de las funciones trigonométricas. La forma general de
las funciones trigonométricas es
f (x) = A sen(ω(x − φ)) + c g(x) = A cos(ω(x − φ)) + c (10.1)
en donde utilizamos a x como variable independiente.
En todos los desarrollos anterio-
res utilizamos como variable in-
dependiente a θ porque conside-
ramos necesario diferenciar los
diagramas con ejes coordenados
x-y donde θ se representa como
el ángulo, y los diagramas con
ejes coordenados θ- f (θ) donde
se representaron las relaciones
funcionales.
Describiremos las constantes A, ω, φ y c presentes en la definición 10.1.
Amplitud:
Representa un cambio en los valores máximos y mínimos de las funciones. Para los casos
A sen(x) A cos(x)
los valores máximos y mínimos son A y −A.
Si A es positivo, la amplitud es A y se cumple que
−A ≤ A sen(ω(x − φ)) ≤ A − A ≤ A cos(ω(x − φ)) ≤ A
Si A es negativo, la amplitud es −A. La gráfica debe reflejarse también respecto al eje x.
Ver Figura 10.11.
x
y
y = sen(x)
y = 2 sen(x)
y = 12 sen(x)
−π π 2π
1
2
1
2
Figura 10.10: Gráficas de las funciones sen(x), 2 sen(x) y 12 sen(x).
x
y
y = sen(x)
y = −2 sen(x)
Figura 10.11: Reflejo respecto al
eje x en el caso de A < 0.
Valor promedio c:
x
y y = cos(x) + 2
π 2ππ2
1
2
3
Figura 10.12: Gráfica de la función
cos(x) + 2 en [0, 2π].
Representa el promedio entre los valores máximos y mínimos que toma la función. En
el caso más sencillo, las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen valores máximos y
mínimos iguales a 1 y −1 (respectivamente). Por lo tanto el valor promedio es 0. Gráficamente,
el valor de c representa una traslación en sentido vertical en c unidades de la gráfica. Por
ejemplo,
h(x) = cos(x) + 2
tiene un valor promedio c = 2; la gráfica de h(x) se obtiene trasladando la del cos(x) en 2
unidades hacia arriba y sus valores máximos y mínimos de la función son 3 y 1 respectivamente.
Ver Figura 10.12.
Período
2π
ω
:
El cociente
2π
ω
(para ω > 0) determina el tamaño del intervalo de periodicidad de las
funciones f (x) y g(x).
Para ω > 0, las funciones f (x) y g(x) tienen período 2π
ω
de modo que
f (x) = f
(
x +
2π
ω
)
g(x) = g
(
x +
2π
ω
)
6 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
x
y
y = sen(x)y = sen(2x)
y = sen( 12 x)
π 2π 3π 4π
1
Figura 10.13: Gráficas de las funciones sen(2x), sen( 12 x) y sen(x).
Desplazamiento de la fase φ:
El valor de φ produce un desplazamiento de la gráfica. Si φ es positivo el desplazamiento
se produce hacia la derecha. Si φ es negativo el desplazamiento se produce hacia la izquierda.
x
y
y = sen(x − π3 )
y = sen(x)
π 2ππ3
1
Figura 10.14: Gráfica de la función sen(x − π3 ) en [
π
3 ,
7π
3 ].
x
y
3π
4
π
2−
π
4
1
3
4
Figura 10.15: Gráfica de la función
3
4 cos(2x +
π
2 ).
En la siguiente gráfica se representan los cuatro elementos mencionados: A, c, ω, φ.
x
y
c Valor promedio c
c + A
c −A
φ
Desplazamiento φ
φ + 2πω
Período 2πω
Amplitud A
Figura 10.16: Gráfica de la función f (x) = A sen (ω(x − φ)) + c. Caso A > 0.
10.3 Función trigonométrica tan(x) 7
� Ejemplo 10.1 Determinaremos la amplitud, el período y el desplazamiento de la función
f (x) = 34 cos(2x +
π
2 )
y realizaremos su gráfica.
Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacando factor común 2 en la
expresión 2x + π2 = 2(x +
π
4 ) para tener
f (x) = 34 cos
(
2(x + π4 )
)
= 34 cos
(
2(x − (− π4 ))
)
.
Por lo tanto, obtenemos que la amplitud es 34 , elperíodo es
2π
2 = π y eldesplazamiento
de la fase es de π4 hacia la izquierda. La gráfica de la función se presenta en la
Figura 10.15. �
Actividad 10.5 Realicen la gráfica de las siguientes funciones determinando sus elementos.
a) f (x) = sen(3x) b) g(x) = − cos(2x)
c) h(x) = cos(x − π4 ) d) m(x) = 2 sen(3x + π)
�
Actividad 10.6 Determinen la forma general de las siguientes funciones que se presentan
en forma gráfica.
a) b) c)
d) e) f )
�
10.3 Función trigonométrica tan(x)
Otra función trigonométrica utilizada es la función tangente tan(x) = sen(x)
cos(x)
que, en
la circunferencia unidad, representa la ±longitud (+ o − según el cuadrante) del segmento
vertical como se muestra en la Figura 10.17. x
y
θ
ta
n(
θ
)
Figura 10.17: Circunferencia unidad.
Se diferencia principalmente de las funciones sen(x) y cos(x) porque su período es más
corto y porque su dominio ya no es todo el conjunto de números reales.
El dominio de la función tan(x) está determinado por todos los números reales que no
8 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
anulan el denominador. Por lo tanto debemos excluir a todos los x tales que
cos(x) = 0.
Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma π2 + kπ siendo k ∈ Z.
Por lo tanto el
Dom(tan(x)) = R −
{
π
2 + kπ : k ∈ Z
}
.
En cuanto al período, se tiene que
tan(x + π) =
sen(x + π)
cos(x + π)
=
− sen(x)
− cos(x)
=
sen(x)
cos(x)
= tan(x).
El intervalo principal donde se grafica la función tangente es (− π2 ,
π
2 ). Dado que
lı́m
x→
π
2
sen(x) = 1 y lı́m
x→
π
2
cos(x) = 0
y
lı́m
x→−
π
2
sen(x) = −1 y lı́m
x→−
π
2
cos(x) = 0
se concluye que tan(x) tiene asíntotas verticales en las rectas x = π2 y x = −
π
2 . Y recordando
la Tabla 10.2 tenemos
lı́m
x→
π
2
−
tan(x) = +∞ y lı́m
x→−
π
2
+
tan(x) = −∞
La gráfica de la función tan(x) en todo su dominio se presenta en la Figura 10.18.
x
tan(x)
3π
2
π π 2π− π2
π
2
5π
2
3π
Período π
Figura 10.18: Gráfica de la función tan(x) en todo su dominio.
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 9
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)
Para estudiar la existencia de la derivada de la función sen(x) utilizamos la definición y las
Propiedades 10.1.1 (la propiedad de la suma y resta)
d sen(x)
dx
= lı́m
∆x→0
sen(x + ∆x) − sen(x)
∆x
= lı́m
∆x→0
sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x) − sen(x)
∆x
= lı́m
∆x→0
[
sen(x) cos(∆x) − sen(x)
∆x
+
cos(x) sen(∆x)
∆x
]
= lı́m
∆x→0
sen(x)
[
cos(∆x) − 1
∆x
+ cos(x)
sen(∆x)
∆x
]
= lı́m
∆x→0
sen(x) lı́m
∆x→0
cos(∆x) − 1
∆x
+ lı́m
∆x→0
cos(x) lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
Para que el último paso sea válido necesitamos saber que los cuatro límites involucrados
existen (porque propusimos aplicar las propiedades algebraicas del límite). Dos de estos límites
son sencillos de calcular:
lı́m
∆x→0
sen(x) = sen(x) y lı́m
∆x→0
cos(x) = cos(x)
porque tanto el sen(x) como el cos(x) son constantes con respecto a ∆x.
D
θ
O A
B
x
y
1
C
Figura 10.19: Comparación entre las
tres áreas mencionadas en el desa-
rrollo.
El
lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
no puede calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizando un argumento geométrico.
Supongamos, en primer lugar, que θ se encuentra entre 0 y π/2. La Figura 10.19 muestra un
sector de un círculo con centro O, ángulo θ y radio 1 y dos triángulos (el tríangulo OBA y el
OAD). El valor del área de ese sector circular es mayor al valor del área del triángulo OBA y
menor que el área del triángulo OAD.
Área del triángulo OBA ≤ Área del sector circular AOB ≤ Área del triángulo OAD
Respecto al inciso b), se calcu-
la el área de un sector circular
de ángulo θ tomando proporción
directa:
Círculo completo de radio r:
2π → π × r2
Sector de ángulo θ:
θ →
θ × π × r2
2π
=
θr2
2
Calculamos las áreas mencionadas:
a) El triángulo más pequeño tiene una base que mide |OA| = 1 y una altura que mide
|CB| = sen(θ). Luego su área es
1 × sen(θ)
2
.
b) El área de un sector circular de ángulo θ se calcula por proporción directa:
θ
2
.
c) La base del triángulo más grande también mide |OA| = 1 pero su altura mide |AD| =
tan(θ) =
sen(θ)
cos(θ)
. Luego su área es
1
2
sen(θ)
cos(θ)
.
Obtenemos
sen(θ)
2
<
θ
2
<
1
2
sen(θ)
cos(θ)
.
Como sen(θ) > 0 para 0 < θ < π/2, si multiplicamos por
2
sen(θ)
a cada miembro de la
desigualdad tenemos que
1 <
θ
sen(θ)
<
1
cos(θ)
,
o, en forma equivalente (dado que son todos términos positivos),
cos(θ) <
sen(θ)
θ
< 1.
10 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Sabemos que lı́m
θ→0
1 = 1 y que lı́m
θ→0
cos(θ) = 1. Ambos límites existen y son iguales.
Concluimos (usando el Teorema 10.4.1 del Sandwich que enunciamos a continuación) que
lı́m
θ→0+
sen θ
θ
= 1.
x
y
f (x)
h(x)
a
L
g(x)
Figura 10.20: Teorema del Sand-
wich.
Teorema 10.4.1 — Teorema del Sandwich. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) cuando x es cercana a a
(excepto posiblemente en x = a) y
lı́m
x→a
f (x) = lı́m
x→a
h(x) = L
entonces lı́m
x→a
g(x) = L.
El Teorema del Sandwich, que a veces recibe el nombre de Teorema de Contracción o de
Compresión, se ilustra en la Figura 10.20. No lo demostraremos. Nos dice que si g(x) está
atrapada entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g es
forzada a tener el mismo límite L en a.
Con un razonamiento muy similar para valores θ → 0− se obtiene que
lı́m
θ→0+
sen θ
θ
= lı́m
θ→0−
sen(θ)
θ
.
Luego,
lı́m
θ→0
sen(θ)
θ
= 1.
El límite
lı́m
θ→0
cos(θ) − 1
θ
tampoco puede calcularse por evaluación. Lo haremos de la siguiente manera:
lı́m
θ→0
cos(θ) − 1
θ
= lı́m
θ→0
(
cos(θ) − 1
θ
)
.
(
cos(θ) + 1
cos(θ) + 1
)
= lı́m
θ→0
cos2(θ) − 1
θ (cos(θ) + 1)
= lı́m
θ→0
− sen2(θ)
θ (cos(θ) + 1)
= − lı́m
θ→0
sen(θ)
θ︸ ︷︷ ︸
→ 1
(ya lo calculamos)
.
sen(θ)
cos(θ) + 1︸ ︷︷ ︸
→ 0
(se calcula por
evaluación)
= (−1).
(
0
1 + 1
)
= 0.
Retomando el cálculo de la derivada que estábamos realizando,
f ′(x) = lı́m
∆x→0
sen(x) lı́m
∆x→0
cos(∆x) − 1
∆x
+ lı́m
∆x→0
cos(x) lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
= (sen(x)).0 + (cos(x)).1 = cos(x).
Hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:
Teorema 10.4.2 — Derivada de la función sen(x). La función sen(x) es derivable en todo R y
d
dx
sen(x) = cos(x)
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 11
� Ejemplo 10.2 Calculamos la derivada de la función f (x) = x2 sen(x) utilizando el Teorema
10.4.2 y la regla del producto.
d
dx
[x2 sen(x)] =
d
dx
(x2). sen(x) + x2
d
dx
(sen(x)) = 2x sen(x) + x2 cos(x)
�
Siguiendo el mismo camino que usamos en la demostración del Teorema 10.4.2 se puede
demostrar
Teorema 10.4.3 — Derivada de la función cos(x). La función cos(x) es derivable en todo R y
d
dx
cos(x) = − sen(x)
Actividad 10.7 Realicen la demostración del Teorema 10.4.3. �
La función g(x) = tan(x) también se puede derivar para x en su dominio usando la
definición de derivada, pero es más sencillo en este caso usar la regla del cociente para derivarla
aprovechando que ya conocemos la derivada de las funciones sen(x) y cos(x):
d
dx
(tan(x)) =
d
dx
(
sen(x)
cos(x)
)
=
d
dx (sen(x)) cos(x) − sen(x)
d
dx (cos(x))
(cos(x))2
=
cos(x) cos(x) − sen(x) (− sen(x))
(cos(x))2
=
cos2(x) + sen2(x)
(cos(x))2
=
1
cos2(x)
= sec2(x)
Tomando como base las funcio-
nes sen(x), cos(x) y tan(x) se de-
finen tres nuevas funciones
Secante: sec(x) =
1
cos(x)
Cosecante: cosec(x) =
1
sen(x)
Cotangente: cot(x) =
cos(x)
sen(x)Teorema 10.4.4 — Derivada de la función tan(x). La función tan(x)