Modelos Exponenciais em Ciências

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9. Modelos exponenciales. Primera parte
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
9.1 Modelos exponenciales
En este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas
funciones exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de las
ciencias químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar los
siguientes procesos (físicos - químicos - biológicos):
Crecimiento y decrecimiento continuo de una población
El primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la
reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria se
divide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias pueden
reproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo de
bacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas las
bacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentes
en el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad de
medición).
Figura 9.1: Cultivo de bacterias.
Métodos de conteo para medir el tamaño
de una población bacteriana:
Conteo directo por microscopio usando
portaobjetos especiales (cámaras de con-
teo o cámaras de conteo electrónicas). No
permite distinguir entre células vivas y
muertas.
Conteo indirecto (recuento de placas):
se diluye la muestra en un diluyente no
tóxico. Si se coloca en un medio adecua-
do, cada unidad viable crece y forma una
colonia que se puede contar (UFC) y el
número de UFC se relaciona con la can-
tidad de bacterias viables en la muestra.
http://textbookofbacteriology.
net/kt_toc.html
El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias considera
como hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplica
es siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (en
alguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)
se tendrá
N ′(t)︸︷︷︸
Velocidad de crecimiento
= k .N(t)︸ ︷︷ ︸
La constante k representa
la proporción de población
que se divide.
La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemos
contemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentar
la cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puede
disminuir por muertes o por emigración.
N ′(t) = a.N(t)︸ ︷︷ ︸
Nacimientos
+ b.N(t)︸ ︷︷ ︸
Inmigración
− c.N(t)︸︷︷︸
Muertes
− d.N(t)︸ ︷︷ ︸
Emigración
N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)
N ′(t) = k .N(t) (9.1)
La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variar
la cantidad de población.
Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.
La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden
varía según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produce
esta variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,
d[A]
dt
= −k[A] (9.2)
donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa de
reacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medida
correspondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .
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2 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Decaimiento de una sustancia radiactiva
En forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad
de una sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad de
sustancia
dN
dt
= −kN(t) (9.3)
donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasa
de decaimiento de la sustancia.
Las tres ecuaciones anteriores (9.1), (9.2) y (9.3) tienen la misma forma al considerar una
constante k y una función derivable f (x) que cumple
f ′(x) = k . f (x) (9.4)
La existencia de una función que cumpla la ecuación (9.4) la aceptaremos según el siguiente
teorema.
Teorema 9.1.1—Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existe
una función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial de
base a, que denotaremos por
f (x) = ax
y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son números
cualquiera:
ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y (a.b)x = ax .bx
Esta función cumple la ecuación (9.4); o sea, para alguna constante k se tiene
f ′(x) = k . f (x)
9.2 Funciones exponenciales
Actividad 9.1 Considerando la función exponencial f (x) = ax , respondan.
a) Suponiendo que n ∈ N y m ∈ Z, con m , 0. Completen:
an = a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
n-veces
a−1 =
a−n = a1/n =
am/n =
b) Considerando a = 2; o sea f (x) = 2x , completen la siguiente tabla:
x 3/4 0 3 0.1 1.25 −2.3 1 10
2x por definición 23/4
2x según el exponente 4
√
23
2x aproximando ≈ 1.68
�
9.2 Funciones exponenciales 3
Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionario
de manera similar a cómo se resuelve la Actividad 9.1. Para completar todos los números reales
faltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,
3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24
3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2
3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15
3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142
pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que el
número 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos
2p/q < 2π < 2P/Q
siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios con
p
q
< π <
P
Q
. En particular, usando la
última fila de los cálculos anteriores tenemos
8.8213 < 2π < 8.8274.
Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquier
otro exponente x irracional.
La Figura 9.2muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentes
valores de la base a.
x
y
10x
1x
4x 2x
(
1
2
)x ( 1
4
)x
(1.5)x
Figura 9.2: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,
1
2, 1, 1.5, 2, 4 y 10.
• Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1) porque a0 = 1 para a , 0.
• Para a , 1 la imagen de ax es el intervalo (0,+∞).
• Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función decreciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1> ax2
• Si a = 1, f (x) = 1 es una función constante de x.
• Si a > 1, f (x) = ax es una función creciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1< ax2
x
y
(0, 1)
a) f (x) = ax con 1 < a
x
y
(0, 1)
b) f (x) = 1x
x
y
(0, 1)
c) f (x) = ax con 0 < a < 1
4 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
9.3 Funciones logarítmicas
Si a > 0 y a , 1, la función exponencial f (x) = ax es una función creciente o decreciente
en todo R, y por lo tanto es uno a uno (recordar la prueba de la recta horizontal).
Definición 9.3.1 — Función logaritmo. Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1)
a la función inversa de la función exponencial f (x) = ax . Se escribe loga(x). Por lo tanto
loga(x) = y ⇔ a
y = x.
El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).
Se dice y es el logaritmo de x en base a.
En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta
¿Qué número y cumple que x = ay?
� Ejemplo 9.1 Como 23 = 8, 21/2 =
√
2, 2−1 =
1
2
tenemos que
log2(8) = 3, log2(
√
2) =
1
2
, log2
(
1
2
)
= −1.
Además, log2(−3) no existe porque no existe ningún número y para el cual 2
y = −3
(2y es siempre positivo).
Tampoco existe log−3(2) porque y = log−3(2) tendría que ser algún número real que
satisfaga (−3)y = 2, y no se encuentra definida la exponencial para bases negativas.
�
Como se vio en el Módulo 8, la gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráfica
de la función f (x) = ax con respectoa la recta y = x. La Figura 9.3 muestra el caso a > 1.
x
y Recta y = xax
loga(x)
(0, 1)
(1, 0)
Figura 9.3: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a la
recta y = x. Caso con a > 1.
9.3 Funciones logarítmicas 5
Propiedad 9.3.1 Si x e y son números positivos, r un número real cualquiera entonces
• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga
(
x
y
)
= loga(x) − loga(y)
• logb(x) =
logc(x)
logc(b)
• loga(x
r ) = r loga(x)
La Figura 9.4 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a. Como
logb(1) = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
x
y
log10(x)
log2(x)
log1/2(x)
log1/3(x)
log3(x)
Figura 9.4: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,
1
3 y 10.
Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmos
para practicar las propiedades.
� Ejemplo 9.2 Resolvemos la ecuación 2x
2+x−4 = 4 usando que la logaritmo en base 2 es la
función inversa de la función exponencial de base 2. También tenemos en cuenta que
ambos términos de la ecuación son positivos.
2x
2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x
2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0
Hay dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3 (resolver la ecuación cuadrática del final). �
� Ejemplo 9.3 De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este caso
tenemos que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que
2x − 7 ≤ 0. Con esto en el tintero resolvemos
log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 3
2 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8
El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �
6 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Desigualdades (con exponen-
ciales y logaritmos)
Para resolver desigualdades se
puede operar de manera similar
pero teniendo en cuenta que las
funciones exponenciales y loga-
rítmicas son crecientes o decre-
cientes según sea la base mayor
o menor que 1.
Si la base es mayor que 1, la de-
sigualdad se mantiene; si la base
es menor que 1, la desigualdad
se invierte.
� Ejemplo 9.4 Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que el
conjunto de validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.
log4(x − 1) < 1
La base es 4 > 1︷︸︸︷
⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5
Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.
�
Actividad 9.2 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.
a) f (x) =
1
4x − 1
b) g(x) =
1
log2(x)
c) h(x) =
√
5x − 3
�
9.4 Derivada de ax y definición de e
De acuerdo al Teorema 9.1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en
todo R y cumplen la ecuación fundamental
(ax)′ = k .ax (9.5)
para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencial
f (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial
En la Sección 9.1 se presentó a
la constante k en diferentes si-
tuaciones de modelos exponen-
ciales asociándola, por ejemplo,
como la tasa de reproducción
relativa de una población o la
tasa de decaimiento de una sus-
tancia radiactiva.
Teorema 9.4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, tal
que la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,
(ex)′ = ex
Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a
x .
El número e es irracional: no
puede escribirse como fracción
entre dos números enteros. Su
valor aproximado es
e ≈ 2.718281828459045
Demostración Asumiremos como válida la existencia del número e (no haremos la
demostración).
Reescribimos ax usando la igualdad a = eloge (a) y elevando a la x ambos lados
a = eloge (a)
ax =
(
eloge (a)
)x
= eloge (a)x
y usando la regla de la cadena en el miembro de la derecha obtenemos
(ax)′ =
(
eloge (a)x
) ′
= loge(a)e
loge (a)x = loge(a)a
x
Definición 9.4.1 — Función logaritmo natural ln(x). El logaritmo con base e se llama loga-
ritmo natural y se escribe
ln(x) = loge(x)
.
C Luego se tiene que
eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x
9.5 Derivada del logaritmo 7
� Ejemplo 9.5 Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.
d
dx
(2x) = loge(2) 2
x = ln(2) 2x
d
dx
(4x) = loge(4) 4
x = ln(4) 4x
d
dx
(3x) = loge(3) 3
x = ln(3) 3x
d
dx
(πx) = loge(π) π
x = ln(π) πx
�
Las siguientes expresiones son
distintas entre sí
ex
2
, (ex)2
Por convención se considera
ex
2
= e(x
2).
Actividad 9.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = e3x b) g(x) = ex
2
c) h(x) =
ex + 1
ex − 1
d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f ) q(x) = x3 + 3x
�
Actividad 9.4 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 9.3. �
9.5 Derivada del logaritmo
Calcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x). En primer lugar, según
lo visto en el Módulo 8, podemos afirmar que la función es derivable en todo su dominio
porque es la función inversa de g(x) = ax (que ya vimos es derivable y además su derivada es
siempre positiva o siempre negativa). Partiendo entonces de la igualdad
a f (x) = x,
podemos derivar (todas las funciones involucradas son derivables) ambos miembros de la
igualdad
d
dx
[a f (x)] =
d
dx
[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.
Podemos despejar f ′(x)
f ′(x) =
1
ln(a) a f (x)
=︸︷︷︸
a f (x)=x
1
x ln(a)
Teorema 9.5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.
Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además
f ′(x) =
1
x ln(a)
En particular
d
dx
[ln(x)] =
1
x
para todo x > 0
8 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Actividad 9.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x
d) m(x) =
x
ln(x)
e) t(x) =
ln(x)
x
f ) q(x) = x3 ln(x)
g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln
(
3w − 1
1 + 4w
)
�
Actividad 9.6 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �
Actividad 9.7 [Derivación logarítmica] En varias ocasiones puede ser complicado y
trabajoso calcular la derivada de funciones que involucran productos, cocientes o potencias.
Esta tarea puede ser simplificada mediante los logaritmos. Por ejemplo, para calcular la
derivada de la función
f (x) = xx
aplicamos ln(x) a ambos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de los logaritmos
de la siguiente manera:
f (x) = xx
ln ( f (x)) = ln (xx)
= ↓ (aplicando propiedad del logaritmo)
ln ( f (x)) = x ln(x)
Y a continuación derivamos con respecto a x a ambos lados de la igualdad
(ln ( f (x)))′ = (x ln(x))′
(regla de la cadena) ↓ = ↓ (regla del producto)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + x.
1
x
= ln(x) + 1
y luego despejamos f ′(x)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + 1
f ′(x) = f (x) (ln(x) + 1)
f ′(x) = xx (ln(x) + 1)
Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = x(e
x ) b) (x2 + 3)3x+1 c) h(x) = x−x
�
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte 9
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte
Sabemos entonces que las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación
(ax)′ = k .ax
Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar con
modelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 9.1 son de la forma
f (x) = C.ekx = C.ax
donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).
De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.
• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entre
la velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)
y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).
k =
velocidad del proceso
cantidad neta
=
f ′(x)
f (x)
• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 como
el instante inicial del proceso entonces
f (0) = C.ek.0 = C.1 = C
� Ejemplo 9.6 La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millones
en el año 1960. Asumimos que el crecimientode la población puede estudiarse con un
modelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?
Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones de
habitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:
C = P(0) = 2560
Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluar
P(10) debiéndose cumplir
3040 = 2560ek10
que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa de
la población mundial. La resolvemos
3040 = 2560e10k
3040
2560 = e
10k
ln
(
19
16
)
= 10k
1
10 ln
(
19
16
)
= k
k ≈ 0.017185
Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,
P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6
Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.
¿Pueden corroborar esta predicción en internet?
�
10 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.7 En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de una
sustancia al tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicial
de materia, hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años.
¿Cuál es la tasa de decaimiento de la sustancia?
Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que
1560 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.
Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurrido
y m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de la
vida media, que
m(1560) = 50
y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia
m(1560) = 50
100e1560k = 50
e1560k =
1
2
1560k = ln
(
1
2
)
k =
1
1560
ln
(
1
2
)
k =
− ln(2)
1560
La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =
− ln(2)
1560
≈ −4.44325 × 10−4.
�
Actividad 9.8 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducción
relativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2
miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �
Actividad 9.9 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichia
coli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando que
la población inicial de un cultivo es de 60 células.
a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.
b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población
al minuto t.
c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.
d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?
�
Actividad 9.10 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestra
de 100 mg.
a) Encuentren la cantidad de sustancia que queda luego de t años.
b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?
�
Actividad 9.11 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,
tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 11
la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras un
organismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,
y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) es
la misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo del
Carbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo en
relación a la presente en la atmósfera.
Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14/Carbono-
12 respecto del Carbono-14/Carbono-12 en la atmósfera. Considerando que la vida media
del Carbono-14 es de 5730 años aproximadamente, estimen la edad del fragmento de
pergamino hallado.
�
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
9.7.1 Comportamientos asintóticos
Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicas
trabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).
x
y
f (x) = ex
Figura 9.5: Gráfica de la función
f (x) = ex .
x
y
g(x) = ln(x)
Figura 9.6: Gráfica de la función
g(x) = ln(x).
Actividad 9.12 Completen con valores correspondientes utilizando la información de las
Figuras 9.5 y 9.6.
a) lı́m
x→+∞
ex = b) lı́m
x→−∞
ex =
c) lı́m
x→+∞
ln(x) = d) lı́m
x→0+
ln(x) =
�
Actividad 9.13 Tachen lo que no corresponda en cada caso.
a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical para
x → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical
para x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
�
En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la forma
lı́m
x→+∞
√
x + 3x2 − 1
x + 3x9 + 9
lı́m
x→−∞
x1/3 + x2/5
x + 3x1/5
para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.
En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funciones
exponenciales y logarítmicas.
En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver la
situación comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En el
caso de funciones exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sin
demostrarlos).
Teorema 9.7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,
a) lı́m
x→+∞
xr
ex
= 0 b) lı́m
x→+∞
xr
ln(x)
= +∞
O sus equivalentes
a) lı́m
x→+∞
ex
xr
= +∞ b) lı́m
x→+∞
ln(x)
xr
= 0
12 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
C El Teorema 9.7.1 establece que, para x → +∞, los valores de e
x crecen mucho más
rápidamente que los valores de xr de modo que el cociente
xr
ex
tiende a 0. En los libros,
esta situación se suele escribir como
xr � ex para x → +∞
Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo
que el cociente
xr
ln(x)
tiende a +∞. Se escribe
ln(x) � xr para x → +∞
C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la forma
general ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades
ax = eln(a)x loga(x) =
ln(x)
ln(a)
Definición 9.7.1 — Órdenes de magnitud. Si f y g son dos funciones que cumplen
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞
se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que
lı́m
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞
Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.
9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
Otros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes
Teorema 9.7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que
a) lı́m
x→0
ex − 1
x
= 1 b) lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
= 1
Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0
usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos
f ′(0) = lı́m
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
ex − e0
x
= lı́m
x→0
ex − 1
x
Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1.
Actividad 9.14 Realicen la demostración del segundo límite del Teorema 9.7.2. �
Los seis límites resumidos en los Teoremas 9.7.1 y 9.7.2 se consideran básicos desde
el punto de vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponenciales
o logarítmicas de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entre
ellas, junto con funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una gran
variedad de técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientos
asintóticos de las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades.
No lo hemos dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funciones
derivables en todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, los
límites que se refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simple
evaluación.9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13
� Ejemplo 9.8 Podemos calcular lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
por evaluación.
lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
=
ln(2) − e2
4
Ya que la función f (x) =
ln(x) − ex
x2
es continua en x = 2. Consideramos aquí que
es un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.
Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �
� Ejemplo 9.9 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como ya mencionamos en el
Módulo 5, si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x y
g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 9.7. Allí se
observa que hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones de
la ecuación 2x = x10. Sin embargo, dado que
lı́m
x→+∞
2x
x10
=︸︷︷︸
2x=ex ln(2)
lı́m
x→+∞
ex ln(2)
x10
=︸︷︷︸
u = x ln(2)
x =
u
ln(2)
lı́m
u→+∞
(ln(2))10
eu
u10
=︸︷︷︸
(∗)
+∞
(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.
También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene
en cuenta que
x → +∞⇐⇒ u→ +∞
Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debe
volver a cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande y
positivo.
�
x
y
1
2
−1 1
y = 2x
y = x10
Figura 9.7: Gráficas de las funciones
f (x) = 2x y g(x) = x10.
x
y
f (x) = x ln(x)
Figura 9.8: Gráfica de la función
f (x) = x ln(x).
� Ejemplo 9.10 Estudiaremos el lı́m
x→0+
x ln(x).
En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸
→0
. ln(x)︸︷︷︸
→−∞
y por lo tanto no es
posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.
Realizamos la sustitución u = 1x de modo que x → 0
+ ⇐⇒ u→ +∞ y
x ln(x) =
1
u
ln
(
1
u
)
=︸︷︷︸
ln(u−1)=− ln(u)
−
ln(u)
u
Por lo tanto lı́m
x→0+
x ln(x) = lı́m
u→+∞
−
ln(u)
u
= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.
La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �
14 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.11 Estudiaremos el lı́m
x→−∞
x2 − ex .
En primer lugar notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸
→+∞
− ex︸︷︷︸
→0
y por lo tanto si es
posible aplicar las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos
lı́m
x→−∞
x2 − ex = +∞.
La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal para
x → −∞.
�
Actividad 9.15 Estudien, calculen y determien la presencia de comportamientos asintóticos
señalados a continuación.
a) lı́m
x→+∞
x2 − ex b) lı́m
x→−∞
ex − x3 c) lı́m
x→−∞
xex
d) lı́m
x→+∞
x3 + ex
ex −
√
x
e) lı́m
x→0+
x3 ln(x) f ) lı́m
x→0+
xe1/x
g) lı́m
x→0−
xe1/x h) lı́m
x→+∞
x
(
e1/x − 1
)
i) lı́m
x→1+
x
ln(x)
j) lı́m
x→1−
x
ln(x)
k) lı́m
x→0+
ln(x)
x
�
9.8 Modelos Semilog
Una técnica muy utilizada para trabajar con modelos exponenciales f (x) = ax es la
utilización de una escala logarítmica en el eje vertical. Si consideramos un modelo exponencial
de la forma f (x) = Cekx , conC > 0 y definimos una nueva función g(x) = ln ( f (x)) obtenemos
que:
g(x) = ln ( f (x)) = ln
(
Cexk
)
= ln(C) + ln
(
ekx
)
= ln(C) + k x ln(e) = ln(C) + k x
La función g(x) resulta lineal y su gráfica tiene pendiente k y ordenada al origen ln(C).
Recíprocamente, si g(x) = b + k x es una función lineal, al definir f (x) = eg(x) obtenemos
un modelo exponencial
f (x) = eg(x) = eb+kx = ebekx
que representa un modelo exponencial con cantidad inicial eb y tasa de crecimiento k.
Utilizaremos esta equivalencia para explorar los modelos exponenciales en contextos de
las ciencias biológicas o químicas.
9.8 Modelos Semilog 15
t V(t)
1 76.0
4 53.0
8 18.0
11 9.4
15 5.2
22 3.6
Tabla 9.1: Datos V(t) (carga viral en
plasma) respeto a t (en días) luego de
comenzar el tratamiento con ABT-
538.
t V(t) ln (V(t))
1 76.0 4.33
4 53.0 3.97
8 18.0 2.89
11 9.4 2.24
15 5.2 1.65
22 3.6 1.28
Tabla 9.2: Datos V(t) y ln (V(t)) se-
gún la Tabla 9.1.
� Ejemplo 9.12 En 1995, un artículo científico describió los efectos de una proteína (ABT-538)
sobre el virus de inmunodeficiencia humana HIV-1. En Tabla 9.1 y en la Figura 9.9 se
presentan los valores de la carga viral V(t) en el plasma (medido en copias de ARN por
mL) en un paciente luego de t días de haber comenzado el tratamiento con ABT-538.
1 4 8 11 15 22
76
53
18
9.4
5.23.6
t - Días de tratamiento
V
-C
ar
ga
vi
ra
le
np
la
sm
a
Figura 9.9: Datos correspondientes a la Tabla 9.1.
La distribución de los puntos en la Figura 9.9 sugiere que es adecuado un modelo
exponencial V(t) = Cekt considerando que k debe ser negativo porque debe ser una
función decreciente.
Definimos g(t) = ln (V(t)) = ln(C)+ k x de modo que obtenemos los nuevos valores
en la Tabla 9.2 y en la Figura 9.10.
1 4 8 11 15 22
4.33
3.97
2.89
2.24
1.65
1.28
t - Días de tratamiento
ln
(V
)
Figura 9.10: Datos correspondientes a la Tabla 9.2.
Mediante el software Desmos obtenemos el modelo lineal que mejor ajusta los
datos de la Figura 9.10 según el criterio del Error cuadrático medio.
16 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Figura 9.11: Ajuste de los datos de la Figura 9.10 con el software Desmos.
Obtenemos que k ≈ −0.15 y b ≈ 4.31. Por lo tanto el modelo exponencial
f (t) = ebekt = e4.31e−0.15x = 74.44e−0.15t
�
Actividad 9.16 La Tabla 9.3 presenta los resultados de un experimento que involucra el
parásito de la malaria. El tiempo t está medido en días y N es el número de parásitos por
microlitros en sangre.
t N ln(N)
1 228
2 2357
3 12750
4 26661
5 372331
6 2217441
7 6748400
Tabla 9.3: Datos de N (cantidad de parásitos por microlitro en sangre) respeto a t (en días).
a) Completen la Tabla 9.3 con los datos de ln(N).
b) Usando el software Desmos o algún otro, determinen el modelo semi-log asociado
según el criterio el ECM y el modelo exponencial para los datos de la cantidad de
parásitos por microlitro en sangre del experimento.
c) ¿Cuánto se estima, según el modelo propuesto, que será la cantidad de parásitos de
la malaria por microlitros en sangre al día 10?
�
9.8 Modelos Semilog 17
Actividad 9.17 En un estudio médico, los investigadores midieron la concentración en
sangre de alcohol (BAC) de 8 adultos masculinos (en mg/mL) luego de consumir 30 mL de
etanol (correspondiente a 2 bebidas alcohólicas estándar). Se presentan los datos obtenidos
en la Tabla 9.4.
t (horas) BAC (mg/mL) ln(BAC)
1 0.33
1.25 0.29
1.5 0.24
1.75 0.22
2 0.18
2.25 0.15
2.5 0.12
Tabla 9.4: Valores de BAC (concentración de alcohol en sangre - en mg/mL) respeto a t
(en horas).
a) Completen la Tabla 9.4 con los datos de ln(BAC).
b) Determinen el modelo semi-log asociado según el criterio el ECM y el modelo
exponencial para los datos de la concentración de alcohol en sangre del experimento.
c) ¿En qué momento, según el modelo propuesto, la concentración de alcohol en sangre
estará por debajo los 0.1 mg/mL?
�
	9 Modelos exponenciales. Primera parte
	9.1 Modelos exponenciales
	9.2 Funciones exponenciales
	9.3 Funciones logarítmicas
	9.4 Derivada de ax y definición de e
	9.5 Derivada del logaritmo
	9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte
	9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
	9.7.1 Comportamientos asintóticos
	9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
	9.8 Modelos Semilog