Aplicaciones de la derivada

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ 
UNIDAD ACADÉMICA DE ESTUDIOS GENERALES 
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS 
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática II 
DOCENTE 
 GILMAR ANGEL LEON OSCANOA 
PRESENTADO POR: 
AYLAS HUAMAN, Caleb David 
AYLLON CURI, Sandro Ismael 
CARBAJAL MONTAÑEZ, Edgar 
COSME PALOMARES, Jeffrey Kenneth 
ÑAHUINCOPA HUAMAN, Joseph 
PRETIL QUISPE, Daniel Zair 
 
HUANCAYO, PERÚ 
6, octubre de 2021. 
 
APLICACIONES DE LA DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
Desde la experiencia del docente, el concepto de derivadas ha presentado dificultades en su 
comprensión. Pudiéndose notar que los estudiantes realizan los cálculos de derivadas de 
manera más o menos satisfactoria y de nivel estándar (Sánchez, 2008). Además, como enigma 
de lo expuesto los estudiantes desconocen la manifestación de sus aplicaciones, así como la 
Tasa de crecimiento de un organismo (biología), ganancia marginal (economía) y velocidad de 
disolución(química): por consiguiente, este hecho se presume que viene generado por falta 
de comprensión de conceptos del cálculo. Es por ello que la actual monografía les presenta 
los siguientes los objetivos: resaltar el papel de derivadas en ciencias e ingenierías y poner 
problemas que demuestren su uso en situaciones teóricas y cotidianas. Para tal fin hemos 
recurrido a la revisión de material académico para captar la teoría del cálculo diferencial y 
luego aplicarlas en la discusión de gráficas y diversos problemas, hemos utilizado las técnicas 
matemáticas apropiadas para resolver problemas de aplicación a diversas disciplinas. En base 
a esta información recopilada y analizada se pone en manifiesto el resultado de las derivadas 
que te sirven para iniciar o introducir a la asignatura correspondiente, En el nivel intermedio 
se requiere de la matemática y artificios. En nivel avanzado se hace el uso de todo lo 
aprendido. Esta investigación evidenció que se pudo concebir el importante papel de las 
derivadas en las ciencias e ingeniería que nos facilitan resolver los ejercicios de una manera 
más sencilla y rápida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
Tabla de reglas derivación ...................................................................................... 2 
I.Marco Teórico ......................................................................................................... 3 
1.1 Antecedentes de investigación: ..................................................................... 3 
1.2 Objetivos ....................................................................................................... 3 
1.3 Aplicación de la derivada .............................................................................. 3 
1.3.1 Regla de L´Hospital .................................................................................. 3 
1.3.2 Máximos y mínimos .................................................................................. 5 
1.3.3 Monotonía y concavidad ........................................................................... 8 
1.3.4 Derivada implícita ................................................................................... 11 
1.3.5 Decaimiento y crecimiento exponencial .................................................. 12 
II.Metodología ......................................................................................................... 17 
2.1 Técnicas instrumentos y procedimiento de recolección de datos ............... 17 
2.2 Métodos de investigación ............................................................................ 17 
2.3 Tipo de investigación .................................................................................. 18 
2.4 Nivel de investigación ................................................................................. 18 
2.5 Diseño de investigación .............................................................................. 18 
III.Resultados y discusión ..................................................................................... 19 
Recomendaciones ............................................................................................... 19 
3.1 Ejercicios de aplicación de la regla de L´Hospital .......................................... 19 
3.2 Ejercicios de aplicación en máximos y mínimos ............................................ 21 
3.3 Ejercicios de monotonía y concavidad ........................................................... 27 
3.4 Ejercicios de derivada implícita ...................................................................... 30 
3.5 Ejercicios sobre crecimientos y decaimientos exponenciales ........................ 35 
Discusión: ............................................................................................................ 45 
Conclusiones y recomendaciones ....................................................................... 47 
Conclusiones ............................................................................................................ 47 
Recomendaciones.................................................................................................... 47 
REFERENCIAS ....................................................................................................... 48 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
El cálculo diferencial plantea nuevos retos respecto a la generación de estrategias que 
permitan la introducción de contextos polémicos. Una de las dificultades que presentan los 
estudiantes en un curso de cálculo diferencial está asociada a la resolución de situaciones 
problemáticas contextualizadas. Por ejemplo, durante la crisis de salud internacional 
provocada por la pandemia de COVID-19 se trabaja con los datos sobre contagios, muertes y 
ocupación hospitalaria mediante la aplicación de derivadas, para hacer predicciones que 
ayuden a la gestión de las autoridades sanitarias y conocer la tasa de crecimiento. Vemos que 
en las derivadas están disponibles en todas las partes de la vida de las personas: en su trabajo, 
en los medios, en los estudios, etc. Aunque mucho de nosotros inconsciente o 
conscientemente no vemos la utilidad de las derivadas. 
Esta forma de abordar el curso de cálculo diferencial es compleja, dado que involucran 
elementos de las poblaciones y objetos matemáticos para describir las relaciones entre los 
individuos de una comunidad y el entorno en el cual se desenvuelven, logrando como 
resultado final un modelo matemático que permite predecir el comportamiento futuro de la 
población bajo las condiciones que presenta el entorno Enrique et al. (2020) 
En este trabajo se examina el tema de las derivadas y sus aplicaciones. Además, resulta 
que es un conocimiento clave en las investigaciones de ingenierías, la derivada es una tarea 
muy importante debido que al resolver estas ecuaciones podemos imitar, o simular, el 
comportamiento del sistema. 
Los objetos en este trabajo del Matemática II es conocer las aplicaciones de la derivada 
en las ciencias e ingeniería y proponer problemas resueltos que demuestren el uso de 
derivada en situaciones científicas y cotidianas. Con la finalidad de ayudarnos a satisfacer ese 
apetito de aprender directamente como estudiantes universitarios. 
Por último, presentamos los temas tratados máximos y mínimos, decaimiento y 
crecimiento exponencial, derivada implícita, regla de L´Hospital, monotonía y concavidad. 
 
2 
 
Tabla de reglas derivación 
Elaboración propia 
Derivada de la función polinómica. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑛𝑛 = 1,2,3,4, … 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑛𝑛 → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
Derivada de raíz n-ésima, n=3,5,7, … 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥𝑛𝑛 → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) =,
1
𝑛𝑛
 𝑥𝑥
1
𝑛𝑛−1 ,∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 − {0} 
Derivada de producto y cociente 
(𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) → (𝑓𝑓𝑓𝑓)´(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓´(𝑥𝑥)�
𝑓𝑓
𝑓𝑓
� (𝑥𝑥) → �
𝑓𝑓
𝑓𝑓
� ´(𝑥𝑥) =
𝑓𝑓´(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓´(𝑥𝑥 )
(𝑓𝑓(𝑥𝑥))2
 
Derivada de trigonométricas 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = cos(𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −sen(𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 − {±
𝜋𝜋
2
; ±
3𝜋𝜋
2
; ±
5𝜋𝜋
2
; … } 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 − {0; ±𝜋𝜋; ±2𝜋𝜋; … } 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑥𝑥) tan(𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 − {±
𝜋𝜋
2
; ±
3𝜋𝜋
2
; ±
5𝜋𝜋
2
; … } 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑥𝑥)cot (𝑥𝑥), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 − {0; ±𝜋𝜋; ±2𝜋𝜋; … } 
Derivada de funciones trigonométricas inversas 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) =
1
√1 − 𝑥𝑥2
 ∀𝑥𝑥 ∈ ] − 1; 1[ 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −
1
√1 − 𝑥𝑥2
 ∀𝑥𝑥 ∈ ] − 1; 1[ 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑡𝑡𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) =
1
1 + 𝑥𝑥2
 ∀𝑥𝑥 ∈ ] − 1; 1[ 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −
1
1 + 𝑥𝑥2
 ∀𝑥𝑥 ∈ ] − 1; 1[ 
Derivada de función exponencial 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑥𝑥 → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑥𝑥, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 
Derivada de función logarítmica 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) =
1
𝑥𝑥
, ∀𝑥𝑥 ∈]0; +∞[ 
Derivada por regla de la cadena 
𝑓𝑓�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� → �𝑓𝑓�𝑓𝑓(𝑥𝑥)��´ = 𝑓𝑓´�𝑓𝑓(𝑥𝑥)�𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 
3 
 
 
 
 
 
 
 
I. Marco Teórico 
 
1.1 Antecedentes de investigación: 
 
Al investigar en estudiantes universitarios que aprendieron derivadas bajo método 
tradicional y otro grupo bajo método experimental se obtuvo que: Los estudiantes del 
curso experimental tuvieron ventajas sobre quienes habían llevado el curso de 
enfoque tradicional. (Sánchez, G. et al. 2008) 
1.2 Objetivos: 
• Objetivo 1: Resaltar el papel de las derivadas en las ciencias e ingenierías. 
• Objetivo 2: Exponer problemas que demuestren su uso en situaciones teóricas 
y cotidianas. 
1.3 Aplicación de la derivada 
 
1.3.1 Regla de L´Hospital 
 
Este método se atribuye al matemático francés Guillaume de L’Hospital (1661-1704), 
aunque el descubrimiento se debe más bien a su maestro, el matemático suizo 
Johann Bernoulli (1667-1748). El principio general consiste en que, con las hipótesis 
adecuadas, el comportamiento (convergencia o divergencia) del cociente f 0/g 0 entre 
las derivadas de dos funciones (en un punto de la recta real, por la izquierda o por la 
derecha, en +∞ o en −∞) implica el mismo tipo de comportamiento para el cociente f 
/g entre las dos funciones. A la hora de concretar esta idea general, se comprende 
4 
 
que serían necesarios demasiados enunciados para estudiar uno a uno todos los 
casos. (Camilo,2015) 
Si f y g son 2 funciones continuas tal que 
 
La regla de L'Hôpital nos dice que 
 
 
Para poder aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
, y 
tener una de las siguientes indeterminaciones: (Ezpinoza,2012) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
→ 0
0´
 y 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
→ ∞
∞
 
Ejercicio de aplicación: 
a) lim
𝑋𝑋→1
𝐿𝐿𝑛𝑛(2𝑥𝑥2−1)
tan (𝑥𝑥−1)
 
Paso 1: Identificar indeterminación 
lim
𝑋𝑋→1
𝐿𝐿𝑛𝑛(2𝑥𝑥2 − 1)
tan (𝑥𝑥 − 1)
= 
𝐿𝐿𝑛𝑛(2(1)2 − 1)
tan ((1) − 1)
=
𝐿𝐿𝑛𝑛(1)
tan (0)
=
0
0
 
Paso 2: Aplicar la regla de hospital 
Derivamos el numerador y denominador del cociente 
lim
𝑋𝑋→1
4𝑥𝑥
2𝑥𝑥2 − 1
sec (𝑥𝑥 − 1)
= lim
𝑥𝑥→1
4(1)
2𝑥𝑥(1)2 − 1
sec (1 − 1)
= 4 
Formas de indeterminaciones en potencias 
Las formas indeterminadas 𝟎𝟎𝟎𝟎,∞𝟎𝟎𝒚𝒚 𝟏𝟏∞ se obtienen cuando consideramos 
expresiones de la forma: 
5 
 
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)][𝑔𝑔(𝑥𝑥)] 
Estas indeterminaciones se resuelven primero aplicando propiedades del 
logaritmo: 
Tengo mi función: 
𝒚𝒚 = [𝒇𝒇(𝒙𝒙)]𝒈𝒈(𝒙𝒙) 
Paso 1: Aplico logaritmo 
𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒚𝒚) = 𝐥𝐥𝐥𝐥 ([𝒇𝒇(𝒙𝒙)]𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒈𝒈(𝒙𝒙)𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒇𝒇(𝒙𝒙)) 
Paso 2: Aplico exponencial 
𝒚𝒚 = 𝒆𝒆𝒈𝒈(𝒙𝒙)𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒇𝒇(𝒙𝒙)) 
 Entonces 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒂𝒂
[𝒇𝒇(𝒙𝒙)]𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒂𝒂
𝒆𝒆𝒈𝒈(𝒙𝒙)𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒇𝒇(𝒙𝒙)) = 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒂𝒂𝒈𝒈(𝒙𝒙)𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒇𝒇(𝒙𝒙)) 
Por lo que, para resolver el límite inicial, me basta con obtener el límite de su 
logaritmo. 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒂𝒂
𝒈𝒈(𝒙𝒙)𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒇𝒇(𝒙𝒙)) = 𝑳𝑳 
Y así, el límite original será 
1.3.2 Máximos y mínimos 
 
Hablar de situaciones en temas de optimización en un marco amplio, que contienen 
a las matemáticas, y que está avanza a pasos agigantados. En los numerosos 
espectros de las ciencias de la naturaleza como sociales se presentan varios 
problemas de optimización, en el cual lo principal es obtener el máximo y el mínimo 
de una función. (Malaspina 2008, pp.24-25) 
Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras 
que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refieren a los valores más 
pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de 
menos infinito a infinito (intervalo sin acotar). 
Aplicaciones en la vida real: Las aplicaciones de los máximos y mínimos en 
contextos reales resuelven problemas de optimización en distintas áreas tales son: 
6 
 
La economía, el comercio, la física, biología agricultura. Nosotros al plantear los 
trabajos o que haceres que realizamos indistintamente todos los días se trata de 
simplemente de lograr el máximo o mínimo o sea queremos satisfacer nuestras 
necesidades óptimamente, todos evitan a toda costa perder, ya sea el tiempo, la 
medida de un terreno o ahorrar. 
Punto máximo relativo y punto mínimo relativo 
Un punto máximo relativo es un punto en el que la función cambia de dirección de 
creciente a decreciente (lo que hace a ese punto una "cima" en la gráfica). 
Del mismo modo, un punto mínimo relativo es un punto en el que la función cambia 
de dirección de decreciente a creciente (lo que hace ese punto un "valle" en la gráfica). 
 
Pasos para obtener máximos y mínimos 
 
• Se obtiene la derivada de la función. 
• Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los 
valores de x, dichos valores son llamados valores críticos. 
• Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los 
valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero 
entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto 
mínimo. 
• Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de 
"y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos. 
 
7 
 
 
Puntos de inflexión 
 
El punto de inflexión es aquel en donde la recta tangente atraviesa la gráfica de la 
función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a 
cóncava. 
Por lo tanto, este punto nos representa el cambio de concavidad en la función. 
Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad. Veamos, en la 
siguiente gráfica, un ejemplo de una función con más de un punto de inflexión: 
 
 
 
El punto de inflexión se calcula igualando la segunda derivada de la función a 
cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa ecuación y la(s) llamaremos Xi. Luego, 
reemplazamos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es diferente a 
cero, estamos frente a un punto de inflexión. Sin embargo, si el resultado es cero, 
debemos reemplazar en las derivadas sucesivas, hasta que el valor de esta derivada, 
ya sea la tercera, cuarta o quinta, sea diferente a 0. Si la derivada es impar se trata 
de un punto de inflexión, pero si es par no.(Guillermo Westreicher 2021) 
Pasos para hallar puntos de inflexión 
Según Choquecahua (2018) debemos seguir este procedimiento: 
Paso 1: Hallar puntos críticos de M´, los x tales que M´´(x) =0 o M´´(x) no existe. 
Paso 2: Se estudiael signo de M´´ a la izquierda y a la derecha de cada uno de los 
puntos hallados en el paso 1. Los signos en ambos lados deben ser distintos. 
8 
 
1.3.3 Monotonía y concavidad 
 
Teorema del valor medio 
 
Si 𝑓𝑓 es una función continua en el intervalo [𝑃𝑃, 𝑏𝑏], derivable en < 𝑃𝑃, 𝑏𝑏 > ⇒ Ǝ 𝑐𝑐 <
𝑃𝑃, 𝑏𝑏 >, tal que: f′ (x) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑏𝑏−𝑎𝑎
 (p. 619, Espinoza) 
Demostración: 
 
Consideremos una función 𝑓𝑓 definida por: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − 𝑥𝑥(𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)), 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) es continua porque 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) y 𝑥𝑥(𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)) es continua en el intervalo. 
[𝑃𝑃, 𝑏𝑏] 
Además, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − (𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)), como 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) existe en < 𝑃𝑃, 𝑏𝑏 >; 
entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es derivable en < 𝑃𝑃, 𝑏𝑏 >; 𝑓𝑓(𝑃𝑃) = 𝑓𝑓(𝑃𝑃)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − 𝑃𝑃(𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)) =
 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑃𝑃) − 𝑃𝑃𝑓𝑓(𝑏𝑏) 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − 𝑏𝑏(𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)) = 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑃𝑃) − 𝑃𝑃𝑓𝑓(𝑏𝑏) 
Luego 𝑓𝑓(𝑃𝑃) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏), por lo tanto, cumple las condiciones del Teorema de Rolle ⇒3z 
<a, b> tal que 𝑓𝑓′ (𝑧𝑧) = 0. 
como 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − (𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃)) ⇒ 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) = 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) − (𝑓𝑓(𝑏𝑏) −
𝑓𝑓(𝑃𝑃)) = 0 
 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)(𝑏𝑏 − 𝑃𝑃) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑃𝑃) de donde f′(z) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑏𝑏−𝑎𝑎
 (p. 620, Espinoza) 
Interpretación geométrica: 
 
La función continua tiene una tangente en todo punto entre A y B, la cual la tangente 
es paralela a la cuerda AB, puesto que 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) es la pendiente de la cuerda. (p. 620, 
Espinoza) 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones crecientes y decrecientes: 
 
Sea 𝐼𝐼 un intervalo y 𝑓𝑓: 𝐼𝐼 → 𝑅𝑅 una función derivable en 𝐼𝐼. 
i) f es creciente si, y sólo si, f′(a)⩾0, ∀ a ∈ I 
ii) f es decreciente si, y sólo si, f′(a)⩽0, ∀ a ∈ I 
iii) Si f′(a)=0, ∀ a ∈ I, entonces f es constante. 
iv) Supongamos que f′(a)≠0, ∀ a ∈ I Entonces f es estrictamente monótona 
y ocurre una de las dos posibilidades siguientes: 
f′(a)>0, ∀ a ∈ I o bien f′(a)<0, ∀ a ∈ I 
v) El conjunto f′(I)={f′(x): x ∈ I} f′(I) es un intervalo (teorema del valor 
intermedio para las derivadas). 
Demostración: 
 
1. Suponiendo que f(x) > 0, ∀ a ∈ I, sea x₁, x₂ ∈ <a, b>, tal que x₁ < x₂ entonces: 
10 
 
 𝑓𝑓′(a) = 𝑓𝑓(x₂ )−𝑓𝑓(x₁)
x₂ −x₁
, donde a está entre x₁ y x₂, (por el teorema del valor medio), pero 
x₂ - x₁ >0 y además f'(a) existe por hipótesis. 
Luego 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁) > 0 , es decir 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁), o sea, 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) para x₁, x₂ en 
<a,b>, entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es creciente en el intervalo <a,b>. 
2. Suponiendo que f'(x) <0, ∀ a ∈ I, sea x₁, x₂ ∈ <a, b>, tal que x₁ < x₂ entonces: 
 𝑓𝑓′(a) = 𝑓𝑓(x₂ )−𝑓𝑓(x₁)
x₂ −x₁
 donde z está entre x₁ y x₂, (por el teorema del valor medio) 
pero x₁-x₂ <0 como f'(a) <0 por hipótesis. 
Luego 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁) < 0, entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁), o sea, que 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥₂) para 
X₁, X₂ ∈<a, b>, entonces f(x) es decreciente en <a, b> (Aparicio y Paya) 
Corolario 1: 
 
Sea a un número real, h un número real positivo, I= (a− h, a+ h) y f: I→R una función 
continua en II y derivable en I−{a}. Entonces: 
i) Supongamos que x ∈ I, x<a ⇒f′(x)⩾0 y que x ∈ I, x>a ⇒f′(x)⩽0 Entonces f alcanza 
su máximo absoluto en a. Por tanto, cualquier extensión de f alcanza un máximo 
relativo en a. 
ii) Supongamos que x ∈ I, x<a ⇒f′(x)⩽0, y que x ∈ I, x>a ⇒f′(x)⩾0. Entonces f 
alcanza su mínimo absoluto en aa. Por tanto, cualquier extensión de f alcanza un 
mínimo relativo en a. (Aparicio y Paya) 
Corolario 2: 
 
Sea I un intervalo y f: I→R una función derivable en I. Supongamos que existe un 
número real k tal que 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘 𝑓𝑓(𝑥𝑥),∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 
Entonces existe un número real CC tal que 
f(x) = 𝐶𝐶𝑠𝑠𝑘𝑘𝑥𝑥, ∀x ∈ 𝐼𝐼 
En particular, si I=R, k=1 y suponemos f (0) =1, entonces f es la función exponencial. 
(Aparicio y Paya) 
11 
 
 
Corolario 3: (Teorema de la función inversa). 
 
Sea I un intervalo y 𝑓𝑓: 𝐼𝐼 → 𝑅𝑅 una función derivable en I con 𝑓𝑓′(𝑃𝑃) ≠ 0, ∀ a ∈ I 𝑓𝑓′(𝑃𝑃) ≠
0, ∀ a ∈ I. Entonces 𝑓𝑓 es estrictamente monótona, 𝑓𝑓−1 es derivable en 𝑓𝑓(𝐼𝐼) y 
(𝑓𝑓−1)′(f(a)) = 1 1
f(a)
 ,∀ a ∈ I (Aparicio y Paya) 
1.3.4 Derivada implícita 
 
¿Como surge? 
 
Algunas relaciones no pueden representarse por una función explícita. Por 
ejemplo, 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² = 1. La derivación implícita nos ayuda a encontrar 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥 aun para 
relaciones como esa. Esto se logra al usar la regla de la cadena y considerarla como 
una función implícita de x. Por ejemplo, de acuerdo con la regla de la cadena, la 
derivada de y² es 2𝑦𝑦 ⋅ (𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥). (Khan Academy,2016) 
Definición: 
 
El círculo de radio 1 con centro en el origen, puede representarse implícitamente 
mediante la ecuación 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1 o explícitamente por las ecuaciones y = √1 − 𝑥𝑥2 , 
y = −√1 − 𝑥𝑥2. Una representación explícita de una curva del plano xy está dada por 
un par de ecuaciones que expresan y en términos de x o x en términos de y, son de 
la forma 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) o 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦). (Ezpinoza,2012) 
Directrices para la derivación implícita 
 
i) Al diferenciar con respecto a x ambos miembros de la ecuación, use las 
reglas de derivación y considere a y como una función derivable de x. 
Para potencias del símbolo. 
12 
 
ii) Agrupe todos los términos donde aparece 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥 en el miembro izquierdo 
de la ecuación derivable. Mueva todos los otros términos al miembro 
derecho de la ecuación. 
iii) Factorice 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥 en todos los términos donde aparezca este término. 
Luego, despeje 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥. 
1.3.5 Decaimiento y crecimiento exponencial 
 
Las derivadas son importantes en la ingeniería y la investigación. En la naturaleza y 
los negocios hay situaciones que se representan como crecimientos o disminuciones 
a velocidades exponenciales (cK-12,2015). Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) representa el un 
comportamiento exponencial de una población de individuos es razonable interpretar 
que 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) es proporcional a su población: 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥). Otros ejemplos son: el tiempo 
de vida media de los elementos químicos, la velocidad de las reacciones químicas y 
el interés compuesto en la economía (Stewart, J. 2012). Para que el lector reflexione 
sobre la importancia de las derivadas y su aplicación en la realidad se muestra un 
ejemplo de modelado del crecimiento de contagiados por COVID-19. La información 
siguiente a sido tomada de un artículo de revisión elaborado por González Fernando 
y González Francisca (2021). solo se mostrará los datos más relevantes relacionados 
al tema. Si el lector desea conocer más sobre el tema puede entrar el enlace en las 
referencias. 
Los autores han definido el Comportamiento del crecimiento de contagiados 
por la COVID-19 como una función exponencial. Además de introducir una variable 
“R0” que representa el índice para la enfermedad, si R0 es mayor a 1 los contagiados 
crecen, si es menor a 1 significa que no es tan contagiosa. 
FIGURA 1: Comparación entre el número de contagiados en China con el modelo 
matemático. 
13 
 
 
El modelo matemático (pronóstico) tiene esta forma 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑠𝑠(−𝑒𝑒−𝑐𝑐(𝑡𝑡−𝑇𝑇𝑇𝑇)), donde: 
𝑦𝑦(𝑡𝑡): número de contagiados en el tiempo. 
A: Asíntota superior o máximo de infectados. 
c: constante de crecimiento 
Ti: tiempo de inflexión o cambio de la concavidad de y(t). 
Los científicos y médicos tienen la labor de pronosticar el aumento de contagiados a 
través de la tasa de crecimiento. 
FIGURA 2: Tasa de crecimiento real y teórico (obtenido por la derivada) 
14 
 
 
La derivada de y(t) es el límite entre el crecimiento de infectados entre el tiempo 
cuando el cambio de tiempoes muy pequeño, el cálculo de este límite se entiende 
como tasa de crecimiento. ¿Qué se puede lograr con la derivada de ese modelo 
matemático? Elaborar estrategias como proyectar fechas para disponer vacuna, 
suministrar medicamentos que controlen la propagación del mal, encuestas o test, 
normas de distanciamiento físico, etc. (González-Fuenzalida, F. & González-Cohens, 
F. 2021). 
A continuación, se introduce la teoría para el crecimiento o decaimiento 
exponencial. “En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la 
razón de cambio de y respecto a t es proporcional a y(t) en cualquier tiempo, 
entonces” (Stewart, J. 2012, p.237). 
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑘𝑘𝑦𝑦 
Si 𝑘𝑘 > 0 , la ecuación diferencial recibe el nombre de ley de crecimiento. 
Si 𝑘𝑘 < 0, la ecuación diferencial recibe el nombre de ley de decrecimiento o 
decaimiento. 
La única solución para la ecuación diferencial es la función es 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘. 
Algunas de las aplicaciones de la derivada bajo el modelo exponencial son: 
15 
 
Crecimiento de población. 
 
Según Torres (2011) el objetivo de la demografía está en estudiar la dinámica de las 
poblaciones. La dinámica de las poblaciones está en función de tres factores que 
producen cambios durante el tiempo: nacimiento, fallecimiento y migración. Esos 
factores crean dos procesos dinámicos que son de interés de la demografía. El 
primero agrega nuevos individuos donde participa la natalidad y migración 
(inmigración). El segundo resta individuos de una población a través de la mortalidad 
y la migración (emigración). 
Ahora, de la ecuación 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑃𝑃 con P(t) una función que representa el número 
de individuos en un tiempo t, se obtiene que 1
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘. ¿y cual es el significado de 𝑘𝑘? 
 Stewart (2015), sugiere esta interpretación lógica: 
La cantidad 1
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘 es la rapidez de crecimiento dividida entre el 
tamaño de la población; a aquella se le denomina la rapidez o tasa de 
crecimiento relativa. De acuerdo con 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑃𝑃 , en lugar de decir “la 
rapidez o tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” 
podríamos decir “la razón o tasa de crecimiento relativo es constante”. 
Por tanto, 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 indica que una población con crecimiento 
relativo constante debe crecer en forma exponencial. Note que la tasa 
de crecimiento relativa 𝑘𝑘 aparece como el coeficiente de t en la función 
exponencial 𝐶𝐶𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘. Por ejemplo, si 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 0,02𝑃𝑃 donde t se mide en años, 
entonces la rapidez de crecimiento relativo es 𝑘𝑘 = 0.02 y el crecimiento 
de población a una rapidez relativa es de 2% por cada año. Si la 
población en el tiempo 0 es 𝑃𝑃0, entonces la expresión para la población 
es 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 𝑃𝑃0𝑠𝑠0,02𝑘𝑘.(p. 237-238) 
Decaimiento Radiactivo 
 
Una definición aceptada de decaimiento radiactivo es esta: “Un proceso espontáneo 
de desintegración de dicho núcleo. Los eventos de decaimiento se presentan en 
16 
 
núcleos inestables, es decir, donde la proporción entre el número de protones y el de 
neutrones no es energéticamente óptima.” (Hernández, 2021, p.8) 
Sea 𝑚𝑚(𝑡𝑡) la masa restante de una sustancia durante un tiempo t, y 𝑚𝑚0, se 
entiende que la derivada de m(t) es una proporción de sí misma. 
𝑑𝑑𝑚𝑚
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑘𝑘𝑚𝑚 
El signo de 𝑘𝑘 es negativo puesto que la masa se reduce con el transcurso del 
tiempo. La única solución para esa proporción es 𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 
Ley de enfriamiento de Newton 
 
Una reseña histórica compartirá por varios autores es: 
Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del 
fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y 
más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. 
Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley 
de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe 
como:(Morales, 2012). 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑠𝑠) 
Stewart (2017) sugiere que la “La ley de enfriamiento de Newton establece que 
la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura 
entre el objeto y su ambiente, siempre que esta diferencia no sea muy grande “. p.240 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑠𝑠) 
Interpretación de los elementos de la ecuación diferencial menciona: 
𝑑𝑑(𝑡𝑡): Temperatura del cuerpo u objeto. 
𝑡𝑡: tiempo 
𝑘𝑘: constante 
𝑑𝑑𝑠𝑠: Temperatura del ambiente(constante). 
17 
 
El autor de “Cálculo en una variable: Trascendentales tempranas 7ma edición.” 
En la página 240 sugiere hacer un cambio de variable del siguiente modo 𝑦𝑦(𝑡𝑡) =
𝑑𝑑(𝑡𝑡) − 𝑑𝑑𝑠𝑠, ya que al derivar la igualdad respecto al tiempo tenemos: 
𝑦𝑦´(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑´(𝑡𝑡) 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑃𝑃 
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑡𝑡
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
 
Así la ecuación se convierte a 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑦𝑦. Por último, esta ley también se puede usar en 
calentamientos. 
 
 
 
 
 
 
II. Metodología 
 
2.1 Técnicas instrumentos y procedimiento de recolección de datos 
 
Los instrumentos que se utilizaron en la presente investigación para la recolección de 
la información se desarrollarán de acuerdo con las características y necesidades de 
cada objetivo, por consiguiente, en esta investigación se utilizaron los siguientes 
instrumentos: 
• Libros físicos y electrónicos 
• Revistas 
• Laptops 
• Celulares 
• Folletos 
2.2 Métodos de investigación 
 
18 
 
a) La investigación tiene que ver con las aplicaciones de las derivadas: implícitas, 
máximos y mínimos, función creciente y decreciente, regla de L hospital, monotonía 
y concavidad y decaimiento-crecimiento exponencial. 
b) Hemos recurrido al método deductivo para captar primero la teoría matemática 
que fundamenta el cálculo diferencial particular las derivadas y luego aplicarlas en la 
discusión de gráficas y diversos problemas. 
c) Hemos utilizado las técnicas matemáticas apropiadas correspondientes a las 
derivadas, para resolver problemas de aplicación a diversas disciplinas. 
2.3 Tipo de investigación 
 
El enfoque es de tipo cuantitativa, mientras que su naturaleza se define como 
descriptiva e interpretativa. El tipo de investigación que está diseñada en relación al 
objetivo general de nuestro estudio: “la aplicación de la derivada” 
2.4 Nivel de investigación 
 
El enfoque de la presente investigación es descriptivo porque parte del estudio del 
análisis de datos numéricos a través de datos estadísticos, para analizar las 
tendencias establecidas y dar solución a las preguntas planteadas en la investigación. 
2.5 Diseño de investigación 
 
Siendo un diseño de estudio el modelo lógico con el cual se aborda una investigación 
y cómo se controlan las variables de la derivada que serán descritas y contrastadas, 
para la presente investigación se optó por el diseño descriptivo correlacional, que 
tiene por finalidad establecer el desarrollo de derivadas de nivel básico hasta el nivel 
avanzado en el estudio académico. 
 
 
 
 
 
19 
 
 
III. Resultados y discusión 
 
Resultados 
 
3.1 Ejercicios de aplicación de la regla de L´Hospital 
1) lim
𝑥𝑥→0
𝑒𝑒𝑥𝑥−𝑒𝑒−𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
 
SOLUCIÓN: 
a)Se tiene como indeterminacion 0
0
 
b)Aplicando la ley de L'Hôspital 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
= 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝑥𝑥
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥
= 2 
2) lim
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥
(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥)3+2𝑥𝑥
 
SOLUCIÓN: 
a)Se tiene la indeterminación ∞
∞
 
b) Aplicamos la regla de L'Hôspital 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥
(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥)3 + 2𝑥𝑥
=
1
3(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥)2
𝑥𝑥 + 2
=
1
2
 
3) lim
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
(𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥 − 1)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑥𝑥 
SOLUCIÓN: 
a) Se tiene la indeterminación 0
0
 
b)Llevamos la expresion en forma de conciente luego aplicamos la regla de 
L'Hôspital 
20 
 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
(𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥 − 1)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥
= 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2
−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2𝑥𝑥
 
3) Utilizamos la identidad trigonométrica:𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2 = 1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
(𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥 − 1)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥
= 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2
−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2𝑥𝑥
 
=𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→𝜋𝜋4
1+𝑘𝑘𝑔𝑔2
−2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛2𝑥𝑥
= 1+(1)
2
−2(1)
= −1 
4) lim
𝑥𝑥→0
[1
2
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑘𝑘𝑔𝑔𝑥𝑥
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 
SOLUCIÓN: 
a) Aplicamos identidades trigonométricas y propiedades de límites 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
[
1
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 =
1
2
(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥)(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 =
1
2
(1)𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 
b) Al sustituir se tiene una indeterminación por ello aplicamos propiedades de 
logaritmos y exponenciales y la regla de L'Hôspita 
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
[
1
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑡𝑡𝑓𝑓𝑥𝑥
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 =
1
2
(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥)(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 =
1
2
(1)𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥→0
(1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
4
𝑥𝑥 
1
2
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑥𝑥→0
4ln (1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥)
𝑥𝑥
=
1
2
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑥𝑥→0
4.2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐22𝑥𝑥
1 + 𝑡𝑡𝑓𝑓2𝑥𝑥
=
1
2
𝑠𝑠8 
 
5) lim
𝑥𝑥→0
( ln(1∗𝑥𝑥)−𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
) 
SOLUCIÓN: 
a)Se tiene como indeterminación 0
0
 
b)Aplicando la ley de L'Hôspital 
21 
 
lim
𝑥𝑥→0
( ln(1∗𝑥𝑥)−𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
) = lim
𝑥𝑥→0
(
1
1∗𝑥𝑥−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥∗𝑥𝑥𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥
) 
c) Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de 
L'Hôspital 
lim
𝑥𝑥→0
(
1
1∗𝑥𝑥−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥∗𝑥𝑥𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥
)= lim
𝑥𝑥→0
(
−1
(1∗𝑥𝑥)2
∗𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
2𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥
)=1
2
 
 
6) lim
𝑥𝑥→0
( 1
ln (1∗𝑥𝑥)
 - 1
𝑥𝑥
) 
SOLUCIÓN: 
a) Al sustituir se tiene una indeterminacion 0
0
 
b) Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene uan indeterminación 
lim
𝑥𝑥→0
( 1
ln (1∗𝑥𝑥)
 - 1
𝑥𝑥
)= )lim
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥−ln (1∗𝑥𝑥)
ln (1∗𝑥𝑥)𝑥𝑥
 =)lim
𝑥𝑥→0
( 1
ln(1∗x)∗xln(1∗x)∗x
) =1
2
 
3.2 Ejercicios de aplicación en máximos y mínimos 
 
1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥 + 2 
SOLUCIÓN: 
Derivando 
𝐹𝐹’(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 3 = 0 
(𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 1) = 0 
Donde 
𝑥𝑥1 =-1 
𝑥𝑥2=1 
Remplazando 
𝑓𝑓(1) = 13 − 3(1) + 2=0………mínimo 
𝑓𝑓(−1) = −13 − 3(−1) + 2=4……máximo 
22 
 
2) f(x)=1
3
𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥 
SOLUCIÓN: 
Derivando 
𝐹𝐹` = 𝑥𝑥2 − 9 = 0 
(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 − 3) = 0 
𝑥𝑥1 = 3 
𝑥𝑥2=−3 
Reemplazando 
 𝑓𝑓(3) =
1
3
(3)3 − 9(3) = −18 … … . .𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
𝑓𝑓(−3) =
1
3
(−3)3 − 9(−3) = 18 … … .𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
3) f(x)=𝑥𝑥3 − 48𝑥𝑥 − 10 = 0 
SOLUCIÓN: 
Derivando 
𝑓𝑓’ = 12𝑥𝑥2 − 48 = 0 
12𝑥𝑥2 = 48 
(𝑋𝑋 + 2) (𝑥𝑥 − 2) = 0 
𝑥𝑥1 = 2 
𝑥𝑥2 = −2 
Reemplazando 
𝑓𝑓(2) = 23 − 48(2) − 10 = −98 … … .𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
𝑓𝑓(−2) = −23 − 48(−2) − 10 = 78 … …𝑚𝑚𝑃𝑃𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
4) f(x)= 2𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 1 
SOLUCIÓN: 
23 
 
Derivando 
 
𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 16 = 0 
Aplicamos fórmula general 
 Donde A=6 B =-4 C=-16 
𝑥𝑥1 =
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑃𝑃𝑐𝑐
2𝑃𝑃
 
𝑥𝑥2 =
−(−4) ± �−42 − (4)(6)(−16)
2(6)
=
4 ± √400
12
 
Reemplazando valores hallados 
𝐹𝐹(2) = 2(2)3 − 2(2)2 − 16(2) + 1 = −23( 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐) 
𝐹𝐹(−1.33) = 2(−1.33)3 − 2(−1.33)2 + 1 = 14.4(𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐) 
5) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 6 
SOLUCIÓN: 
Derivando 
𝐹𝐹`(𝑥𝑥) = 6(𝑥𝑥)2 + 6𝑥𝑥 − 3 = 0 
A=6, B=6, C=-3 
Aplicando fórmula general 
𝑥𝑥1 =
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑃𝑃𝑐𝑐
2𝑃𝑃
 
X=−6±
�62−4(6)(−3)
2(6)
= −1±√3
2
 
Reemplazando los números hallados 
𝐹𝐹(0.36 ) = 2(0.36)3 + 6(0.36)2 − 3(0.36) + 6 = 𝑑𝑑 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
𝐹𝐹(−1.36 ) = 2(−1.36)3 + 6(−1.36)2 − 3(−1.36) + 6 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
6) f(x)=2𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 10 
𝑥𝑥
1=4+√40012 =2
 
𝑥𝑥
2=4−√40012 =−1.33
 
𝑥𝑥
1=−1+√32 =0.36
 
𝑥𝑥
2=−1−√32 =−1.36
 
 
24 
 
Derivando 
𝐹𝐹’ = 6𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 3 = 0 
2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0 
 
A=2, B=-4, C=+1 
Aplicando fórmula general 
𝑥𝑥1 =
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑃𝑃𝑐𝑐
2𝑃𝑃
 
X=+4±
�42−4(2)(1)
2(4)
= 4±√8
4
 
 
Reemplazando los números hallados 
 𝑓𝑓(1.7) = 2(1.7)3 − 6(1.7)2 + 3(1.7) − 10 = −12.4 … … …𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
𝑓𝑓(0.29) = 2(0.29)3 − 6(0.29)2 + 3(0.29) − 10 = −9.58 … … .𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 
7) Una constructora tiene 150 departamentos totalmente ocupados estando el 
costo del alquiler 300 soles. Y si esta constructora aumentara su alquiler 
algunos departamentos alquilados se reduce linealmente a razón de 5 aptos. 
Si el aumento es de 30 soles. 
 a) Pongamos que la ganancia G está en función del número w de 
departamentos alquilados. 
 b) ¿Cuál será el número de departamentos a alquilar, y cuál será el alquiler 
mensual para que la constructora tenga la mayor ganancia? 80 
 c) Además, ¿la constructora cuanto pierde si alquila todos sus 
departamentos? 
SOLUCIÓN: 
Representemos por w el número de departamentos alquilados. Por obvias 
conclusiones, el número de apartamentos no alquilados será: 150 – w. y sabemos 
𝑥𝑥
1=4+√84 =1.7
 
𝑥𝑥
2=4−√84 =0.29
 
 
25 
 
que el número de departamentos alquilados se reduce linealmente a razón de 5 
departamentos por cada 30 soles que se aumenta su alquiler, la razón estaría 
representado por 1 dpto. no alquilado por cada 6 soles de aumento en su alquiler. a) 
Los departamentos alquilados tendrán, cada uno, un alquiler de: 
 300 + 6 (150 – w) soles 
Y Como se alquilan w apartamentos esta ganancia total G se representará 
por: 
G(w) = w [ 300 + 6 (150 – w)] = - 6 𝑤𝑤 2+ 1200 w con 0≤ w ≤ 150 
Por lo tanto, esta función ganancia se representa como una función 
cuadrática con la concavidad no positiva. Ahora busquemos su máximo, y el vértice 
de esta parábola. Al derivar tenemos que: 
𝑑𝑑𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑤𝑤
 = −12𝑤𝑤 + 1200 
Procediendo a cancelar tenemos que: w = 100 
Por tanto, el valor hallado está dentro del intervalo analizado, y este es el 
máximo Absoluto de la función. Graficamos la función G es el indicado en la figura. 
𝐺𝐺 (100) = 60000 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐺𝐺 (0) = 0 𝐺𝐺 (150) = 45000 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠 
b) Tendremos que el total de departamentos alquilados es 100 y, por ende, el 
alquiler de cada departamento es 600 soles, y este total de ganancia será 60000 
soles. 
c) Por si se alquilan la totalidad de los departamentos esta ganancia seria de G 
(150) = 45000 soles lo que representa una perdida por un monto de 15000 soles 
para la constructora. 
8) Superficie de siembra 
Tenemos un gran agricultor que tiene 600 hectáreas para sembrar. Además, su total, 
de ganancia P en $ lo medirá según la producción que depende del número de 
hectáreas sembradas q, de acuerdo a la expresión: G(q) = 2000q – 2𝑞𝑞 2 
 a) Encuentra la cantidad de hectáreas ideal en la cual tendremos máxima ganancia. 
 b) ¿Y cuánto perderá de su ganancia, al sembrar el total de las 600 hectáreas? 
26 
 
SOLUCIÓN: 
a) Tendremos una función ganancia G que se representara por: 
G(q) = 2000 q – 2 𝒒𝒒𝟐𝟐 
Tenemos la función cuadrática que se representa mediante una parábola con 
concavidad negativa. Entonces solo buscaremos el valor de la Abscisa del vértice y 
tiene que está dentro del intervalo cerrado, [0, 600], entonces será el máximo 
absoluto de esta función. 
Derivado y anulando la derivada obtenemos: 
𝒅𝒅𝒈𝒈
𝒅𝒅𝒒𝒒
= −𝟒𝟒𝒒𝒒 + 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 → 𝒒𝒒 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 
Por consiguiente, este agricultor tiene que sembrar 500 hectáreas 
b) Su máxima ganancia al sembrar 500 Has.Es G (500) = $ 500.000 
El agricultor si sembraba las 600 Hectáreas la ganancia hubiera sido de G (600) = $ 
480000. 
Por consiguiente, Hubiera perdido $ 20000. 
9) En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de x artículos está 
dado por la función C(x) = 7𝑥𝑥2 − 42𝑥𝑥 + 63 .¿En qué nivel de producción será 
mínimo el costo medio por unidad? 
SOLUCIÓN: 
El costo medio de producción está dado por la función: 
𝒄𝒄𝒍𝒍 =
𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒙𝒙
= 𝟕𝟕𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝟐𝟐 +
𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒙𝒙
 
Como la variable que determina el número de artículos toma valores mayores 
que cero, para calcular el mínimo absoluto de la función costo medio, 
Calculamos la derivada 
𝒄𝒄`(𝒙𝒙) = 𝟕𝟕 −
𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟐𝟐
 
Igualamos a cero 
27 
 
𝟕𝟕 −
𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟐𝟐
= 𝟎𝟎 
(𝒙𝒙 + 𝟔𝟔)(𝒙𝒙 − 𝟔𝟔) = 𝟎𝟎 
Por lo tanto, x = 3. Como el signo de la derivada es negativo antes de 3 y 
positivo después de 3 la función costo medio tiene un mínimo en 3, que es a su vez 
el mínimo absoluto de esta función. Por lo tanto, el costo medio mínimo se da 
cuando se han fabricado tres unidades 
Cm (3) = 21 + 42 + 21 = 84 pesos por unidad. 
3.3 Ejercicios de monotonía y concavidad 
 
1) Si f(x)= 2𝑥𝑥3- 3𝑥𝑥2- 12x+ 7, encuentre en dónde f es creciente y en donde 
es decreciente. 
 
SOLUCION: 
f’(X) = 6X² – 6X - 12 = 6(X + 1) (x - 2) 
puntos críticos: (- ∞, -1), (-1, 2) y (2, ∞). f’(x) > 0 en el primero y en el último de estos 
intervalos y que f(x) < 0 en el intervalo de en medio. Así, por el teorema de 
monotonía, f es creciente en <-∞, -1] y en [2, +∞>, es decreciente en [-1, 2]. Observe 
que el teorema nos permite incluir los puntos fronterizos de estos intervalos, aunque 
f'(x) = 0 en esos puntos 
2) Determine las zonas en donde las siguientes funciones son crecientes o 
decrecientes: 
f(x) = 𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑥𝑥. 
SOLUCION: 
 Dom f = R 
f'(x) = 𝑠𝑠𝑥𝑥 − 1. 
 𝑠𝑠𝑥𝑥> 1 cuando x>0 
𝑠𝑠𝑥𝑥< 1 cuando x<0 
28 
 
f'(x) >0, x>0 ⇒ f es creciente en [0, +∞o > 
f'(x) <0, x<0 ⇒ f es decreciente en <0,0] 
3) Determine las zonas en donde las siguientes funciones son crecientes o 
decrecientes: 
f(x) = 2x + sen(x) 
Dom f = R 
f'(x) = 2 + cos (𝑥𝑥), [1, 3] 
f'(x)>0, entonces f es decreciente en R 
4) Usar el teorema del valor medio para probar la desigualdad In (1+x) < x, ∀ 
x ≠ -1 
 
SOLUCION: 
Sea f(t)= ln (1+t). Esta función es continua y diferenciable en todo su dominio 
Luego es continua en [0, x] y diferenciable en <0, x> entonces por el teorema del 
valor medio $ x Є <0, x> tal que f’(c)= 𝒇𝒇(𝒙𝒙)−𝒇𝒇(𝟎𝟎)
𝒙𝒙−𝟎𝟎
 = ln (1+𝑥𝑥 )−ln1
𝑥𝑥
 =ln (1+𝑥𝑥 )
𝑥𝑥
 
Pero f'(x)= 1
1+𝑥𝑥
 ⇒ f'(c)= 1
1+𝑐𝑐
 <1. De donde ln (1+𝑥𝑥 )
𝑥𝑥
 <1 por lo tanto In(1+x) < x, ∀ x ≠ -1 
5) Usar el teorema del valor medio para probar la desigualdad |sen(x)- 
sen(y)| ≤ |x-y|, 
∀ x, y Є R 
 
SOLUCION: 
Sea f(t)= sen(t), esta función satisface las condiciones del teorema del valor medio, 
en todo intervalo [x, y] Є R con x≤ y 
6) f’(c)= 𝒇𝒇(𝒚𝒚)−𝒇𝒇(𝒙𝒙)
𝒚𝒚−𝒙𝒙
 como f(x)= sen(x), f’(x)= cos(x) 
cos(c)= 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑑𝑑)−𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑑𝑑−𝑥𝑥
, como |cos(c)| ≤ 1, entonces |𝒔𝒔𝒆𝒆𝒔𝒔(𝒚𝒚) − 𝒔𝒔𝒆𝒆𝒔𝒔(𝒙𝒙)| ≤ |𝒚𝒚 − 𝒙𝒙| 
 
29 
 
 
7) Usar el teorema del valor medio para probar la desigualdad 
 𝑏𝑏−𝑎𝑎
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2(𝑎𝑎)
≤ tg(b) − tg(a) ≤ 𝑏𝑏−𝑎𝑎
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2(𝑎𝑎)
; 0< a ≤ 𝜋𝜋
2
 
 
SOLUCION: 
Sea f(x)= tg(x). Esta función es continua en [a, b] Є <0, 𝜋𝜋
2
> y diferenciable en <a, 
b>, entonces $ x Є <a, b> tal que f’(c)= 𝒕𝒕𝒈𝒈(𝒃𝒃)−𝒕𝒕𝒈𝒈(𝒂𝒂)
𝒃𝒃−𝒂𝒂
 y f’(x)= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑃𝑃); a< c< b se 
tiene 
 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑃𝑃) ≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑐𝑐) ≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑏𝑏)= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑃𝑃) ≤ 𝑘𝑘𝑔𝑔(𝑏𝑏)−𝑘𝑘𝑔𝑔(𝑎𝑎)
𝑏𝑏−𝑎𝑎
≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑏𝑏) 
𝒃𝒃 − 𝒂𝒂
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒂𝒂)
≤ 𝐭𝐭𝐭𝐭(𝐛𝐛) − 𝐭𝐭𝐭𝐭(𝐚𝐚) ≤
𝒃𝒃− 𝒂𝒂
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒂𝒂)
 
 
8) Comprobar: 1- 𝑥𝑥
2
 < 1
(1+𝑥𝑥)1/2
 < 1- 𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)3/2
 ; -1< x< 0, ∀ x ≠ -1 
SOLUCION: 
a) Sea f(t)= 𝑘𝑘
2
 + 1
(1+𝑘𝑘)1/2
 Esta función es continua y diferenciable en <x, 0>, con -
1< x< 0 
Entonces $ c Є <x, 0> tal que f’(c)= 𝒇𝒇(𝟎𝟎)−𝒇𝒇(𝒙𝒙)
𝟎𝟎−𝒙𝒙
 
Es decir: 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 
1− 𝑥𝑥2−
1
(1+𝑥𝑥)1/2
−𝑥𝑥
 = 2(1+𝑥𝑥)
1/2−𝑥𝑥(1+𝑥𝑥)
1
2−2
−2𝑥𝑥(1+𝑥𝑥)1/2
 
Y como f′(t) = 1
2
− 1
2(1+𝑘𝑘)3/2
 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 1
2
− 1
2(1+𝑐𝑐)3/2
 = − 1
𝑥𝑥
(1 − 𝑥𝑥
2
− 1
(1+𝑥𝑥)
1
2
) 
 C Є <x, 0> Ì <-1, 0>, entonces 1
2
− 1
2
� 1
(1+𝑐𝑐)
3
2
� < 0 
𝟏𝟏 − 𝒙𝒙
𝟐𝟐
− 𝟏𝟏
(𝟏𝟏+𝒙𝒙)
𝟏𝟏
𝟐𝟐
< 𝟎𝟎 ⇒ 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙
𝟐𝟐
< 𝟏𝟏
(𝟏𝟏+𝒙𝒙)
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 ………………(m) 
 
b) Sea f(x)= 1
(1+𝑥𝑥)
1
2
+ 𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)3/2
; x> 0. Esta función es continua y diferenciable en 
<0, x> Entonces $ c Є <0, x> tal que f’(c)= 𝒇𝒇
(𝒙𝒙)−𝒇𝒇(𝟎𝟎)
𝒙𝒙−𝟎𝟎
 = 
1
(1+𝑥𝑥)
1
2
 + 𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)3/2
 −1
𝑥𝑥
 
30 
 
 f’(x)= −3𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)
5
2
, ahora como x> 0 entonces f’(c)< 0 
−1 + 1
(1+𝑥𝑥)
1
2
+ 𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)
3
2
< 0, de donde 𝟏𝟏
(𝟏𝟏+𝒙𝒙)
𝟏𝟏
𝟐𝟐
< 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙
𝟐𝟐(𝟏𝟏+𝒙𝒙)
𝟔𝟔
𝟐𝟐
 ……………. (n) 
Luego m y n se obtiene: 1 − 𝑥𝑥
2
< 1
(1+𝑥𝑥)
1
2
< 1
(1+𝑥𝑥)
1
2
< 1 − 𝑥𝑥
2(1+𝑥𝑥)
3
2
 
9) Hallar los intervalos donde la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5 − 5𝑥𝑥3 − 20𝑥𝑥 − 2 es 
creciente o decreciente. 
 
SOLUCION: 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥4 − 15𝑥𝑥2 − 20 = 0 
(𝑥𝑥2 − 4)(𝑥𝑥2 + 1) = 0, donde (-2, 2) son los puntos críticos, obteniendo los 
intervalos <-∞, -2>, <-2, 2> y <2, +∞> 
𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑥𝑥 є <-∞, -2>, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2 + 1) > 0 → la función es creciente 
𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑥𝑥 є <-2, 2>, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2 + 1) < 0 → la función es decreciente 
𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑥𝑥 є <2, +∞>, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2 + 1) > 0 → la función es creciente 
 
3.4 Ejercicios de derivada implícita 
 
1) 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
2) 4𝑥𝑥2 + 9𝑦𝑦2 − 36 = 0 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) sin𝑦𝑦 = cos 2𝑥𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
4) 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 2 , Hallar la primera, segunda y tercera derivada 
PRIMERA DERIVADA 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
SEGUNDA DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TERCERA DERIVADA 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 sin 𝑦𝑦, halle la primera y segunda derivada 
PRIMERA DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
SEGUNDA DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Ejercicios sobre crecimientos y decaimientos exponenciales 
 
Los ejercicios han sido tomados del libro “Cálculo en una variable: Trascendentales 
Tempranas” de James Stewart. 
1. Una población de protozoarios se desarrolla con una tasa de crecimiento 
relativo constante de 0.7944 por miembro por cada día. En el día cero la 
población consiste de dos miembros. Encuentre el tamaño de la población 
después de 6 días. 
SOLUCIÓN: 
𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝(0)𝑠𝑠0.7944𝑘𝑘 
Por dato 𝑃𝑃(0) = 2 
𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 2𝑠𝑠0.7944𝑘𝑘 
Para t=6 la población es 𝑝𝑝(6) = 2𝑠𝑠0.7944(6) = 234,99 
La población es de 235 bacterias. 
2. Cuando se saca una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5°C. 
Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20°C su temperatura se 
incrementa a 10°C. 
a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después? 
36 
 
b) ¿Cuándo estará su temperatura a 15°C? 
SOLUCIÓN 
T(0)=5°C 
T(25)=10°C 
𝑑𝑑𝑠𝑠 = 20 
Sea 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑(𝑡𝑡) − 𝑑𝑑𝑠𝑠, y 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝑦𝑦(0) = 𝑑𝑑(0) − 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 5 − 20 = −15 
𝑦𝑦(25) = 𝑑𝑑(25) − 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 10 − 20 = −10 
𝑦𝑦(25) = −15𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 = −10 
Aplicando logaritmo natural: 𝑘𝑘 =
ln1015
25
 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −15𝑠𝑠
ln1015
25 𝑘𝑘, en 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑(𝑡𝑡) − 𝑑𝑑𝑠𝑠 
𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 20 − 15𝑠𝑠
ln1015
25 𝑘𝑘 
a) 𝑑𝑑(50) = 20 − 15𝑠𝑠
ln1015
25
(50) = 13,333 °𝐶𝐶 
b) T(x)= 20 − 15𝑠𝑠
ln1015
25
(𝑥𝑥) = 15,usando la calculadora científica se tiene x=67,74 
minutos o 1h 7 minutos. 
 
3. Una muestra de tritio-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad original después 
de 1 año. 
a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritio-3? 
b) ¿Cuánto tardará en decaer a 20% de su cantidad original? 
SOLUCIÓN: 
𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 
En 1 año se conoce que la masa restante es iguala 94,5% de la inicial. 
37 
 
𝑚𝑚(1) = 0,945𝑚𝑚(0) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑘𝑘 
Mediante una simplificación y aplicación dl logaritmo natural se tiene: 
𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑛𝑛(0,945) 
a) Sea t=x el tiempo necesario para que 𝑚𝑚(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚(0)/2 
𝑚𝑚(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚(0)
2
= 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛(0,945)(𝑥𝑥), usando la calculadora científica 
𝑥𝑥 = 12,253 años. 
b) Sea t=a el tiempo necesario para que 𝑚𝑚(𝑃𝑃) = 𝑚𝑚(0)/5 
𝑚𝑚(𝑃𝑃) = 𝑚𝑚(0)
5
= 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛(0,945)(𝑎𝑎), usando la calculadora científica 
𝑥𝑥 = 28,45 años. 
4. Utilice el hecho de que la población mundial fue 2 560 millones en 1950 y 3 
040 millones en 1960, para modelar la población del mundo en la segunda 
mitad del siglo XX. (Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al 
tamaño de la población). ¿Cuál es la rapidez de crecimiento relativa? Utilice el 
modelo para estimar la población mundial en 1993 y, del mismo modo, predecir 
la población en el año 2020. 
SOLUCIÓN 
Por dato: La población se puede modelar como una función exponencial, “Suponga 
que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población”. 
𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 𝑃𝑃0𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑘𝑘−1950) 
En t=1950 
 
𝑃𝑃(1950) = 𝑃𝑃0𝑠𝑠𝑘𝑘(0) = 2560 
𝑃𝑃0 = 2560 
Entonces, 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 25600𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑘𝑘−1950) 
En t=1960 
38 
 
𝑃𝑃(1960) = 2560𝑠𝑠𝑘𝑘(10) = 3040 
𝑠𝑠𝑘𝑘(10) =
3040
2560
 
Usamos el Logaritmo natural para quitar “e” de la expresión y hallar k (lo que 
nos piden hallar). 
ln 𝑠𝑠𝑘𝑘(10) = ln
3040
2560
 
𝑘𝑘 =
1
10
ln
3040
2560
= 0,01718502 
Finalmente, 
𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 2560𝑠𝑠0,01718502(𝑘𝑘−1950) 
Predecir la población en t=1993: 𝑃𝑃(1993) = 2560𝑠𝑠0,01718502(1993−1950) =
5359,9 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠 
Predecir la población en t=2020: 𝑃𝑃(2020) = 2560𝑠𝑠0,01718502(2020−1950) =
8524,6 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠 
5. El tiempo de vida media del Ra-226 es 1 590 años. 
a) Una muestra de Ra-226 tiene una masa de 100 mg. Halle una fórmula para la 
masa de la muestra que permanece después de t años. 
b) Halle la masa exacta en miligramos, después de 1000 años. 
c) ¿Cuándo se reducirá la masa a 30 mg? 
SOLUCIÓN: 
La única solución para 𝑑𝑑𝑚𝑚
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑚𝑚 es 𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘. Asu vez es conveniente aprovechar 
en dato de la vida media mediante esta fórmula 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝑙𝑙
2
𝑡𝑡
1590
, donde t son los 
años múltiplos de 1590. 
a) Para 𝑡𝑡(0): 𝑚𝑚(0) = 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑜𝑜) = 100, 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚(0) = 100. 
Para hallar la fórmula que se pide nos apoyaremos de la formula auxiliar y(t). Para 
t=1590: 
39 
 
𝑦𝑦(1590) = 100
21
= 50 𝑚𝑚𝑓𝑓. Este valor lo usaremos en m(t). 
𝑚𝑚(1590) = 100𝑠𝑠𝑘𝑘(1590) = 50 
100𝑠𝑠𝑘𝑘(1590) = 50 
𝑠𝑠𝑘𝑘(1590) =
1
2
 
Usamos el Logaritmo natural para quitar “e” de la expresión y hallar. 
𝑘𝑘 =
1
1590
ln
1
2
= −4.35941623 × 10−4 
NOTA: A veces es conveniente trabajar con la expresión inicial en lugar de usar 
aproximaciones. 
FINALMENTE, esta es la fórmula pedida 𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 100𝑠𝑠
1
1590 ln
1
2𝑘𝑘. 
b) Para t=1000 años. 
𝑚𝑚(1000) = 100𝑠𝑠
1
1590 ln
1
2(1000) = 64,67𝑚𝑚𝑓𝑓 
c) Sea t=x años. 
𝑚𝑚(𝑥𝑥) = 100𝑠𝑠
1
1590 ln
1
2(𝑥𝑥) = 30𝑚𝑚𝑓𝑓 
Empleando la calculadora científica se tiene: x=2761,775295 o aproximando x=2762 
años. 
6. Una botella con una bebida gasificada a temperatura ambiente (72 °F) se 
coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 44°F. Después de 
media hora la bebida se ha enfriado hasta 61 °F. 
a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora? 
b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 50 °F? 
SOLUCIÓN: 
Sea 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑(𝑡𝑡) − 𝑑𝑑𝑠𝑠, 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 44°F y 𝑑𝑑(0) = 72 °F 
Para t=0min: 𝑦𝑦(0) = 𝑑𝑑(0) − 𝑑𝑑𝑠𝑠=72-44=28. 
Para t=30min: y(30) =61-44=17 
40 
 
Necesitamos y(t) para hallar una expresión para T(t). 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 = 28𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝑦𝑦(30) = 28𝑠𝑠𝑘𝑘(30) = 17 
Mediante la aplicación de logaritmo tenemos: 𝑘𝑘 =
ln1728
30
 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 28𝑠𝑠
ln1728
30 𝑘𝑘 
Finalmente tenemos 𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 28𝑠𝑠
ln1728
30 𝑘𝑘 + 44. 
a) t=60 min: 
𝑑𝑑(60) = 28𝑠𝑠
ln1728
30 (20) + 44 = 54,3°𝐹𝐹 
b) t=x min 
𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 28𝑠𝑠
ln1728
30 (𝑋𝑋) + 44 = 50°𝐹𝐹 
Empleando la calculadora científica: x= 92,61357 o lo que equivalente a 1 
hora 33 minutos. 
7. En una investigación de asesinato, la temperatura del cadáver fue de 32.5°C a 
las 13:30 y de 30.3°C una hora más tarde. La temperatura corporal normal es 
37.0°C y la temperatura del ambiente era de 20.0°C. ¿Cuándo tuvo lugar el 
asesinato? 
SOLUCIÓN: 
Temperatura del cadáver: 
𝑑𝑑1 = 32,5°𝐶𝐶, en 𝑡𝑡1 = 13: 30 horas 
𝑑𝑑2 = 30,3°𝐶𝐶, en 𝑡𝑡2 = 14: 30 horas 
Temperatura del ambiente:𝑑𝑑𝑠𝑠 = 20°𝐶𝐶 
Temperatura corporal normal:𝑑𝑑𝑐𝑐 = 37°𝐶𝐶 
41 
 
De la ley de newton se sabe que 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑠𝑠), y es recomendable hacer cambio de 
variable como sigue: 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑(𝑡𝑡) − 𝑑𝑑𝑠𝑠, por lo que se tiene que 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑦𝑦. 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
= 𝑘𝑘𝑦𝑦 por la definición uncial la única solución para esa ecuación diferencial es 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘 < 0. 
• sea 𝑡𝑡0 el instante en que ocurrió el siniestro: 
𝑦𝑦(𝑡𝑡0) = 𝑑𝑑(𝑡𝑡0) = 37°𝐶𝐶, no se toma en cuenta la temperatura ambiente pues 
considerando que la temperatura del difunto se mantiene constante en los primeros 
minutos de su deceso. 
• Para 𝑡𝑡1: 
𝑦𝑦(𝑡𝑡1) = 𝑑𝑑(1) − 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 32,5 − 20 = 12,5°𝐶𝐶 
𝑦𝑦(𝑡𝑡1) = 12,5 = 37𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘1 
Despejando 𝑘𝑘𝑡𝑡1: 𝑘𝑘𝑡𝑡1 = ln
12,5
37
− (𝐼𝐼) 
• Para 𝑡𝑡2 = 𝑡𝑡1 + 1 
𝑦𝑦(𝑡𝑡2) = 𝑑𝑑(2) − 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 30,3 − 20 = 10,3°𝐶𝐶 
𝑦𝑦(𝑡𝑡1 + 1) = 10,3 = 37𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑘𝑘1+1) 
Despejando 𝑘𝑘𝑡𝑡1: 𝑘𝑘𝑡𝑡1 + 𝑘𝑘 = ln
10,3
37
− (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
𝑘𝑘 se obtiene del sistema de ecuaciones formado por I y II. 
�
𝑘𝑘𝑡𝑡1 = ln
12,5
37
 𝑘𝑘𝑡𝑡1 + 𝑘𝑘 = ln
10,3
37
 ,𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑛𝑛 10,3
37
− ln 12,5
37
= −0,193584 
Se obtiene 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 37𝑠𝑠−0,193584𝑘𝑘 y 𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 37𝑠𝑠−0,193584𝑘𝑘 + 20. 
• Sea 𝑡𝑡3, el tiempo en el que ocurrió el asesinato, es decir, cuando la 
temperatura del cuerpo fue de 37°C. 
𝑑𝑑(𝑡𝑡3) = 37𝑠𝑠−0,193584𝑘𝑘 + 20 = 37 
Utilizando la calculadora científica se tiene: 𝑡𝑡3 = 4,01740 ℎ 
42 
 
La diferencia entre 𝑡𝑡1 𝑑𝑑 𝑡𝑡3 es el tiempo en el que fue asesinado. 
• Hallando 𝑡𝑡1 
𝑑𝑑(𝑡𝑡1) = 37𝑠𝑠−0,193584𝑘𝑘 + 20 = 32,5 
Utilizando la calculadora científica se tiene: 𝑡𝑡1 = 5,605779 ℎ 
• 𝑡𝑡1 − 𝑡𝑡3 = 5,60578 − 4,01740 = 1,58838ℎ que expresado en horas es 1h 
35min. 
• Finalmente, a la hora que se registró la temperatura 32,5°C le quitaremos 1h 
35min. 
13ℎ 30 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1ℎ 35𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 12ℎ 90 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1ℎ 35𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 11ℎ 55𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 
∴ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑛𝑛𝑃𝑃𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑃𝑃 𝑙𝑙𝑃𝑃𝑠𝑠 11ℎ 55 min𝑑𝑑𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑑𝑑í𝑃𝑃. 
8. La tabla proporciona la población de India, en millones, para la segunda 
mitad del siglo XX. 
Año Población 
1951 361 
1961 439 
1971 548 
1981 683 
1991 846 
2001 1029 
a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de censo para 1951 y 1961 
para predecir la población en el 2001. Compare con las cifras actuales. 
b) Utilice el modelo exponencial y las cifras del censo para 1961 y 1981 para 
predecir la población en el 2001. Compare con la población actual. 
Después utilice este modelo para predecir la población en los años 2010 y 
2020. 
c) Grafique ambas funciones exponencialesde los incisos a) y b) junto con 
una gráfica de la población actual. ¿Alguno de estos modelos es 
razonable? 
43 
 
SOLUCIÓN: 
a) 
𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 𝑃𝑃(0)𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑘𝑘−1951), 𝑃𝑃(0) = 361 
𝑃𝑃(1961) = 361𝑠𝑠𝑘𝑘(1961−1951) = 439 
Empleando la calculadora: 𝑘𝑘 = 1
10
ln 439
361
 
∴ 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 361𝑠𝑠
1
10 ln
439
361(𝑘𝑘−1951) 
Comparación entre 𝑃𝑃(2001) y la población en 2001. 
𝑃𝑃(2001) = 361𝑠𝑠
1
10 ln
439
361(2001−1951) = 940 
La población del modelo exponencial es menor a la realidad en 69 millones 
b) 
𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴(0)𝑠𝑠𝑘𝑘(𝑘𝑘−1961), 𝐴𝐴(0) = 439 
𝐴𝐴(1981) = 439𝑠𝑠𝑘𝑘(1981−1961) = 683 
Empleando la calculadora: 𝑘𝑘 = 1
20
ln 683
439
 
𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 439𝑠𝑠
1
20 ln
683
439(𝑘𝑘−1961) 
Comparación entre A(2001) y la población en 2001. 
𝐴𝐴(2001) = 439𝑠𝑠
1
20 ln
683
439(2001−1961) = 1062 
 
La población del modelo exponencial es mayor a la realidad en 33 millones. 
44 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ess razonable utilizar el modelo A porque su precisión es cercana a la poblacion en 
el censo de 2001. 
9. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el 
método de datación por radiocarbono. El bombardeo de la atmósfera superior 
por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un isótopo radioactivo de 
carbono, 14C, con un tiempo de vida media aproximado de 5 730 años. La 
vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera, y la vida 
animal asimila 14C a través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un 
animal mueren, se detiene la sustitución de su carbono, y la cantidad de 14C 
inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. En consecuencia, 
el nivel de radiactividad también decae de manera exponencial. 
En un fragmento de pergamino se descubrió que había aproximadamente 
setenta y cuatro por ciento tanta radioactividad 14C como en el material con el que 
se hace el pergamino que hay sobre la Tierra hoy en día. Estime la edad del 
pergamino. 
SOLUCIÓN: 
45 
 
Tiempo de vida media: 5730 años. 
Masa inicial de carbono 14 en el pergamino: 𝑚𝑚(0) 
Masa restante de carbono 14 en el pergamino: 0,74𝑚𝑚(0) 
El modelo matemático aprendido en la parte teórica es:𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘 
Hallemos k: 
𝑚𝑚(5730) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠𝑘𝑘(5730) =
𝑚𝑚(0)
2
 
Mediante el empleo de una calculadora científica se tiene que 𝑘𝑘 = − ln 2
5730
 
𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠
−ln 2
5730𝑘𝑘 
A partir de la masa restante se hallará el tiempo restante: 
𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚(0)𝑠𝑠
− ln 2
5730𝑘𝑘 = 0,74𝑚𝑚(0) 
Mediante el empleo de una calculadora científica se tiene que 𝑡𝑡 = 2489 𝑃𝑃ñ𝑐𝑐𝑠𝑠 
RESPUESTA: el pergamino tiene una edad de 2489 años. 
Discusión: 
 
Los resultados de este capítulo demuestran la aplicación de las derivadas en 
situaciones teóricas y contextualizada con distintas ciencias y situaciones cotidiana. 
En las 5 aplicaciones de la derivada propuestas en el marco teórico y resultados se 
ha logrado identificar satisfactoriamente 3 niveles de dificultad: básico, intermedio y 
avanzado. Las cuales justificaremos por separado en párrafos. 
En la aplicación de la regla de L´Hospital, se plantearon ejercicios de niveles básicos 
(ejercicios 1,2 y 3), intermedios y avanzados. En el nivel básico se presentan 
ejercicios sencillos y fáciles de entender que te sirven para iniciar la vida universitaria 
o introducir a la asignatura correspondiente. En nivel intermedio (ejercicios 4,5 y 6), 
se requiere de varias ramas de la matemática y artificios. En nivel avanzado 
(ejercicios 7, 8 y 9) se hace el uso de todo lo aprendido y así aprovecharlo para 
nuestra vida universitaria. 
46 
 
En la aplicación derivación implícita, se requiere conocer las reglas de 
derivación puesto que este tema no cuenta con teoría amplia, en lugar de ello contiene 
una guía general de cómo resolver problemas. En el nivel básico (ejercicio 1), los 
ejercicios simplemente requieren aplicación directa. En el nivel intermedio (ejercicios 
2 y 3), se exige al estudiante orden y cálculo de la primera, segunda y tercera 
derivada. Por último, en el nivel avanzado (ejercicios 4 y 5) se pide al dicente que sea 
capaz de interpretar ejercicios contextualizados y resolver la función implícita 
planteada. 
 
En la aplicación de derivadas en monotonía y concavidad (teorema del valor 
medio y funciones crecientes y decrecientes), reconocimos ejercicios de nivel básico 
(ejercicios 1,2 y 3), porque solo exige al estudiante de demostrar haciendo una 
aplicación directa de la fórmula. En el nivel intermedio (ejercicios 4,5 y 6), se requiere 
conocer los teoremas y la tabla de derivadas. Los tres últimos ejercicios de la sección 
son de nivel avanzado porque requiere conocer temas de algebra como puntos 
críticos, factorización y funciones, así mismo usar estrategias para poder resolverlo. 
 
En la aplicación de derivadas en el crecimiento (o decrecimiento) exponencial, 
reconocimos ejercicios de nivel básico (ejercicios 1,2 y 3), por que solo exige al 
estudiante de aplicar la fórmula. En el nivel intermedio (ejercicios 4,5 y 6), se requiere 
del manejo de estrategias como modelo de funciones en intervalos, cambio de 
variables y dominio de la calculadora científica. Los tres últimos ejercicios de la 
sección son de nivel avanzado porque requiere de conocimiento en otras disciplinas 
como la química y la física. 
 
 
 
 
 
47 
 
Conclusiones y recomendaciones 
 
Conclusiones 
 
El cálculo diferencial es un método universal, se puede aplicar en física, química, 
biología, contabilidad, etc. En cualquier proceso que puede ser traducido a una 
ecuación, ahí puedes aplicarlo (AUTOR). La importancia de las derivadas en la 
ciencia, tecnología y vida cotidiana, la derivada te permite conocer lo sensible que es 
al cambio una variable con respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias 
(velocidades, aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad 
de materia, son ejemplos sencillos), en ingeniería y en economía (autor2 
https://www.importancia.org/derivadas.php ). Esta investigación evidenció que sí se 
pudo concebir el importante papel de las derivadas en las ciencias e ingeniería en sus 
diferentes aplicaciones que nos facilitan resolver los ejercicios de una manera más 
sencilla y rápida. En cuanto segundo objetivo de esta investigación: se demostró que 
los problemas propuestos de nivel avanzado exigen razonamiento analítico 
justamente porque estas situaciones son aplicadas en el campo de las ciencias e 
ingenierías. 
Recomendaciones 
 
• Averiguar si una enseñanza basada en las aplicaciones de la Derivada en el 
contexto-social de la carrera de ingeniería de minas, influye positivamente en 
el rendimiento académico de la asignatura de Matemática ya que implica el 
conocimiento crítico y analítico en los ejercicios de nivel avanzado. 
• A los estudiantes de ingeniería leer y comprender el problema, así como 
identificar que teorema se va utilizar en cada ejercicio, también es necesario 
conocer cada uno de la aplicación de derivadas ya que nos ayuda en negocios 
y en otros aspectos. 
 
 
https://www.importancia.org/derivadas.php
48 
 
 
 
 
 
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	Tabla de reglas derivación
	Derivada de la función polinómica.
	Derivada de raíz n-ésima, n=3,5,7, …
	Derivada de producto y cociente
	Derivada de trigonométricas
	Derivada de funciones trigonométricas inversas
	Derivada de función exponencial
	Derivada de función logarítmica
	Derivada por regla de la cadena
	I. Marco Teórico
	1.1 Antecedentes de investigación:
	1.3 Aplicación de la derivada
	1.3.1 Regla de L´Hospital
	1.3.2 Máximos y mínimos
	1.3.3 Monotonía y concavidad
	1.3.4 Derivada implícita
	1.3.5 Decaimiento y crecimiento exponencial
	Crecimiento de población.
	Decaimiento Radiactivo
	Ley de enfriamiento de Newton
	II. Metodología
	2.1 Técnicas instrumentos y procedimiento de recolección de datos
	2.2 Métodos de investigación
	2.3 Tipo de investigación
	2.4 Nivel de investigación
	2.5 Diseño de investigación
	III. Resultados y discusión
	3.1 Ejercicios de aplicación de la regla de L´Hospital
	3.2 Ejercicios de aplicación en máximos y mínimos
	3.3 Ejercicios de monotonía y concavidad
	3.4 Ejercicios de derivada implícita
	3.5 Ejercicios sobre crecimientos y decaimientos exponenciales
	Discusión:
	Conclusiones y recomendaciones
	Conclusiones
	REFERENCIAS