Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral

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1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
“Lo que observamos no es la naturaleza en si misma sino la naturaleza
expuesta a nuestros métodos de indagación.”
Werner Heisenberg (1901 - 1976)
1.1 Introducción.
¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipo
de problemas permite resolver? ¿Es imprescindible aprenderlo?
El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo como también suele llamarse, se desarrolló
a lo largo de la historia de una manera no muy diferente ni especial al desarrollo de otras ramas
de las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyó
en forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,
ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.
Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquí-
medes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueron
los árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hasta
que en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica como
metodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, la
historia del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, el
desarrollo y la formalización (ver Figura 1.1).
Figura 1.1: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo.
Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitos
para encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa de
desarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todas
estas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del siglo
XIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos en
términos de límite de funciones numéricas y sucesiones. El reduccionismo es un término de
la sociología que se utiliza para de-
nominar el proceso mediante el cual
se quieren explicar los fenómenos de
una ciencia con los términos y pro-
cedimientos de otra. Se dice que una
ciencia es reducida a otra ciencia
más general.
Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útiles
para explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía.
Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica,
el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.
En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferencial
e integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a través
de la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, la
composición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc.
Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación
2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional,
etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad de
moléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria.
Otras áreas de la matemática apare-
cen en las ciencias naturales apor-
tando sus estructuras en otro tipo
de modelos, tales como los mode-
los geométricos en la estructura del
ADN o en la conformación de na-
notubos, la teoría de grafos en las
redes neuronales, la teoría de sime-
trías en la estructura de los cristales,
la estadística, etc.
Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establece
a través de la noción de modelo. En particular, los modelos matemáticos basados en el
cálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varían
los sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. La
posición de un automóvil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosa
en la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza una
reacción química varía según la temperatura.
Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción del
conocimiento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar:
La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4.
https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw
1.2 Modelos matemáticos.
La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosa
o descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos para
representar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema real
que es de nuestro interés.
C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosmética
y belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelo
de desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (el
niño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modelo
asociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisión
a qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones.
Sistema Real
Modelo 1
Modelo 2
...
Modelo n
No existe el modelo del sistema.
Figura 1.2: Esquema orientativo so-
bre diferentes modelos que pueden
representar a un mismo sistema.
Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multi-
plicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. La
elección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 1.2).
Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, por
lo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de las
múltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemas
simplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a las
variables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales
(biología, química, física, etc.) se denomina modelo.
Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma.
Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclarar
que no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben en
términos matemáticos. Cuando nos referimos amodelo matemático nos referimos entonces a
la utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguaje
matemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientas
matemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas de
la matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades,
la teoría de grafos, etc.
C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza en
términos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios.
El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y el
concepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos o
más cantidades numéricas.
https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw
1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 3
A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre el
modelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuesto
se testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de manera
aproximada, dentro de
un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales
(datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado de
validez delmodelo construido y funcionar como sistema de retroalimentación. En algunos casos
se requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamente
el modelo.
En la Figura 1.3 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente.
Sistema real
(físico, químico, biológico, etc.)
Modelo matemático.
Ecuaciones, definiciones, fórmulas.
Generalizaciones, simplificaciones.
Teoría, hipótesis, marco teórico.
Resultados
experimentales
Predicciones
teóricas
Comparación.
Confrontación.
Se construye.
Se aplica sobre el modelo.
Figura 1.3: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría.
Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las ciencias
experimentales:
el sistema real, y
el modelo construido.
Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucede
que hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que se
está considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modelo
construido que no tienen su correspondiente en el sistema real.
1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas.
Lo detallado en la Sección 1.2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo
determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre los
acontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posible
determinar el sistema en su todo completo. Se establecen leyes o fórmulas que permiten
interrelacionar las magnitudes del sistema en forma exacta. Claro está que, al ser los modelos
una simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificaciones que se
realizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nunca son
accesibles con 100% de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizan en
términos probabilísticos.
Existen otros modelos matemáticos, denominados modelos empíricos o modelos esta-
dísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que se
4 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
pretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna ley
propia del sistema. En estosmodelos estadísticos las predicciones se realizan al ajustar algún
modelo determinista a los datos experimentales que sea lo más sencillo posible sin dejar de ser
representativo de la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos.
C La palabra ajustar tiene varios significados en el lenguaje castellano usado coloquial-
mente. Por eso es necesario remarcar que en el contexto de los modelos estadísticos se
refiere como sinónimo de adecuar. O sea, se propone un modelo determinista que sea
adecuado a los datos experimentales recolectados. No hay que confundirse con otros
significados de la palabra ajuste, como por ejemplo: un ajuste económico (recorte en la
economía), un ajuste de cuentas (saldando alguna deuda como en la mafia), entre otras
opciones.
A continuación presentamos tres ejemplos de conjuntos de datos recolectados en distintas
situaciones. En cada caso, el conjunto de datos se presenta acompañado (en azul) por una
curva que pretende ser un ajuste posible.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
(a) Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas
de gestación de 32 bebés.
1,800 1,850 1,900 1,950 2,000
0
50
100
150
200
250
Año
Po
bl
ac
ió
n
(e
n
m
ill
on
es
)
(b) Población de EEUU (en millones de personas)
extraído de los censos realizados en cada década
(cada 10 años).
6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
Cantidad de semanas
Ri
es
go
ho
sp
ita
la
rio
(c) Riesgo hospitalario en 112 pacientes vs. la canti-
dad de semanas de hospitalización.
1.4 Modelos lineales 5
Enfatizamos ahora lo anteriormente dicho. Losmodelos estadísticos no pretenden establecer
una relación de causa-efecto entre las magnitudes involucradas.
Los modelos estadísticos no pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación.
No está dentro de sus posibilidades metodológicas.
En ambos casos demodeladomatemático es común que incluso luego de ya haber logrado
formular el sistema en estudio, la etapa de comparación experimental permite avanzar en el
grado de comprensión del sistema manipulando algunos parámetros numéricos del modelo y
contrastando con sistemas similares pero distintos.
1.4 Modelos lineales
Como primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modelos
lineales, en ambas versiones: deterministas y estadísticos.
1.4.1 Modelos lineales deterministas
Todas las conversiones de mediciones (pesos, temperaturas, longitudes, etc.) se consideran
relaciones lineales. En particular, la fórmula que relaciona la temperatura en grados Celsius
[◦C] con la temperatura en grados Fahrenheit [◦F] es
[◦F] =
9
5
[◦C] + 32
Actividad 1.1 Respondan las siguientes consignas, referidas a la conversión de grados
Celsius y grados Fahrenheit.
a) Se dice que el punto de congelación del agua pura (H2O) es de 0◦C. ¿A cuántos
grados Fahrenheit equivalen? ¿Y respecto al punto de ebullición del agua pura?
b) ¿Es cierto que 5◦C es equivalente a 41◦F? ¿Es cierto que 0◦F equivalen a −18◦C?
c) En el siguiente sistema de ejes cartesianos, representen la relación lineal de la
conversión entre grados Celsius y grados Fahrenheit.
0 10 20 30 40 50
40
60
80
100
120
grados Celsius
gr
ad
os
Fa
hr
en
he
it
Figura 1.5: Relación lineal de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit.
�
6 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
Actividad 1.2 La presión del aire suministrada por el regulador a un buzo varía linealmente
con la profundidad del agua. Cuando el buzo está a 10 metros, el regulador entrega 2.02
atmósferas, mientras que a 20 metros, el regulador entrega 3.04 atmósferas. Encuentren la
presión de aire entregada en la superficie (0 metros de profundidad), a los 15 metros de
profundad, y a los 40 metros de profundidad (la profundidad máxima permitida para el
buceo recreativo). �
Otros ejemplos de relaciones deterministas que quizás conozcan previamente son:
• Determinación del perímetro de una circunferencia:
Perímetro = π × diámetro
• Ley de Hooke, relación entre el alargamiento de un resorte sometido a una fuerza:
Y = a + bX , donde Y = tamaño del estiramiento del resorte, y X = fuerza aplicada
1.4.2 Modelos lineales estadísticos
Como primer ejemplo de modelo lineal estadístico trabajaremos con un estudio realizado
con 32 bebés en el que se consignaron los datos de la cantidad de semanas de gestación al
momento de nacer y el peso (en kilogramos) del bebé al momento del nacimiento. Los datos
se presentan en la Tabla 1.1 y en la Figura 1.6.
Semanas de
gestación Peso al nacer
36 2.420
38 2.940
38 3.130
34 2.450
39 2.760
35 2.440
40 3.226
42 3.301
37 2.729
40 3.410
36 2.715
39 3.095
39 3.130
39 3.244
35 2.520
39 2.928
41 3.523
42 3.446
38 2.920
39 2.957
42 3.530
38 2.580
37 3.040
42 3.500
41 3.200
39 3.322
40 3.459
42 3.346
35 2.619
41 3.175
38 2.740
36 2.841
Tabla 1.1: Peso al nacer (en kg) de
32 bebés y la cantidad de semanas
de gestación al nacer.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
Figura 1.6: Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas de gestación de 32 bebés.
Actividad 1.3 Discutan en el grupo y escriban un párrafo que describa los datos tal como se
observan en la Figura 1.6. Por ejemplo, es interesante intentar responder las preguntas ¿los
datos están alineados? ¿tienen una forma específica? ¿alguna característica que se pueda
destacar? �
Los datos recopilados se encuentran dispersos de manera tal que la elección de algún
modelo determinista simple representa un problema
no sencillo de resolver. Sin embargo, por
la disposición de los puntos en el sistema de ejes cartesianos y también por un criterio de
simplicidad, se propone comenzar con modelos lineales.
El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de la mejor
manera posible. Para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “la
mejor manera posible”.
1.4 Modelos lineales 7
Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente y la ordenada al origen
buscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada al origen) para que la recta
p = ms + b
se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados.
En este caso, hemos decidido tomar a
• s como la variable en el eje horizontal asociada a la cantidad de semanas de gestación,
• p como la variable en el eje vertical asociada el peso del bebé al nacer (en kilogramos).
Hay infinitas rectas posibles para elegir. A continuación presentamos 4 opciones de rectas
para ajustar a los datos recolectados.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
(a)Modelo lineal 1: p = 0.15s − 2.76.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
(b) Modelo lineal 2: p = 0.21s − 5.1.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
(c)Modelo lineal 3: p = 0.15s − 2.8.
383634 3935 40 4237 41
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
(d) Modelo lineal 4: p = 0.1s − 0.73.
Figura 1.7: Cuatro modelos lineales propuestos para ajustar los datos observados de peso y semanas de gestación de la Tabla 1.1.
Actividad 1.4 Discutan en grupo, estableciendo algún criterio consensuado, ¿cuál de los 4
modelos lineales propuestos es el mejor.
�
8 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
1.4.3 Error cuadrático medio (ECM)
Tomaremos el primer ejemplo de los 4 presentados anteriormente para definir una idea de
error en el ajuste.
34 36 38 40 42
2.5
3
3.5
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
Figura 1.8:Modelo lineal p = 0.15s − 2.76.
La recta no pasa por todos los puntos. Se observa, ver Figura 1.8, que hay puntos alejados
de la recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran por
arriba de ella.
Las diferencias verticales entre los
valores observados y los valores co-
rrespondientes a la recta se denomi-
nan residuos.
Hay diferencia entre los valores observados (valores experimentales de la Tabla 1.1) y los
valores correspondientes a la recta. Esquematizamos esas diferencias en la siguiente figura.
Figura 1.9: Representación de la diferencia vertical existente entre los valores
experimentales y los valores de la recta.
El enfoque tradicional para determinar el error y resolver esta situación es elevar al
cuadrado los residuos (las diferencias entre el valor experimental y el valor del modelo) y
luego calcular el promedio de todos los residuos. El valor que se obtiene se llama error
cuadrático medio (ECM) y es el que tradicionalmente se utiliza para analizar qué tan buena
es la recta elegida. El criterio que utilizaremos para decidir si una recta es mejor que otra será
estudiando los errores cuadráticos medios asociados a cada una.
1.4 Modelos lineales 9
A continuación calcularemos el ECM para el modelo p = 0.15s− 2.76 asociado a los datos
del peso y las semanas de gestiación de los 32 bebés.
Semanas de gestación Peso al nacer Modelo p = 0.15s − 2.76 Residuos al cuadrado
36 2.420 0.15(36) − 2.76 = 2.64 (2.42 − 2.64)2 = 0.0484
38 2.940 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.94 − 2.94)2 = 0
38 3.130 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.92 − 3.13)2 = 0.0441
34 2.45 2.34 0.012
39 2.76 3.09 0.109
35 2.44 2.49 0.003
40 3.23 3.24 0.000
42 3.30 3.54 0.057
37 2.73 2.79 0.004
40 3.41 3.24 0.029
36 2.71 2.64 0.006
39 3.10 3.09 0.000
39 3.13 3.09 0.002
39 3.24 3.09 0.024
35 2.52 2.49 0.001
39 2.93 3.09 0.026
41 3.52 3.39 0.018
42 3.45 3.54 0.009
38 2.92 2.94 0.000
39 2.96 3.09 0.018
42 3.53 3.54 0.000
38 2.58 2.94 0.130
37 3.04 2.79 0.063
42 3.50 3.54 0.002
41 3.20 3.39 0.036
39 3.32 3.09 0.054
40 3.46 3.24 0.048
42 3.35 3.54 0.038
35 2.62 2.49 0.017
41 3.18 3.39 0.046
38 2.74 2.94 0.040
36 2.84 2.64 0.040
ECM (Promedio): 0.0285
Tabla 1.2: Determinación del EMC para el modelo p = 0.15s − 2.76 asociado a los datos de la Tabla 1.1.
Se ha calculado que el ECM del modelo p = 0.15s − 2.76 es: 0.0285.
De la misma manera, calculamos los ECM para los otros 3 modelos propuestos en la 1.7
Semanas de gestación Ecuación ECM
Modelo 1 p = 0.15s − 2.76 0.0285
Modelo 2 p = 0.21s − 5.1 0.0594
Modelo 3 p = 0.15s − 2.8 0.0287
Modleo 4 p = 0.1s − 0.73 0.0447
Tabla 1.3: Determinación de los EMCs para cuatro modelos de la Figura 1.7.
Se observa que el menor ECM encontrado corresponde, precisamente, al modelo 1.
10 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida:
a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0.
b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente
por todos los puntos experimentales.
c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima
de los puntos experimentales.
Actividad 1.5 Hemos calculado el ECM de cuatro modelos elegidos como ejemplo. No está
muy claro por qué elegimos esos cuatro y no otros.
a) ¿Hay otros modelos lineales que se puedan utilizar? Propongan dos distintos a los
utilizados previamente.
b) ¿Es posible que los modelos propuestos en el inciso anterior tengan un ECM menor
al encontrado 0.0285?
C Para poder calcular el ECM de los nuevos modelos tendríamos que utilizar alguna
planilla de cálculo o software de manera de agilizar los cálculos. No lo haremos en
esta oportunidad.
Los interesados pueden obtener una copia de los datos para cargar en la planilla de
cálculo en el siguiente link:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_
WpeCGTwE/edit?usp=sharing
�
En la siguiente sección estudiaremos un método que permite determinar el modelo lineal
que posee elmenor ECM posible de manera que, desde este punto de vista, determinaremos
el modelo lineal que mejor se ajusta a los datos experimentales.
1.4.4 Método de mínimos cuadrados.
El método de mínimos cuadrados es,
desde su creación por el astrónomo
y matemático francés Lagrange en el
siglo XVII, el más usado de los mé-
todos estadísticos. El motivo de su
popularidad es principalmente su fá-
cil aplicación y que siempre permite
una respuesta explícita.
¿Cómo encontrar la recta o modelo lineal con el ECM más cercano a cero posible para
garantizar que hemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a esta
pregunta está en el método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar la
pendiente y la ordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrolla
en el curso de Análisis de datos y ahora lo utilizaremos con el software Desmos disponible en
forma gratuita y libre para smartphones, iphones, tablets, notebook, netbook y computadoras
de escritorio.
Hemos decidido no utilizar en esta
oportunidad el software Geogebra
porque su versión para celular no es
amigable con los entornos de tablas
y determinación de ajustes de datos
experimentales.
Online: https://www.desmos.com/calculator
Para smartphones, tablets o iphones:
https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419
https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8
Tutorial de Desmos: https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing
https://www.desmos.com/calculator
https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419
https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8
https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do
1.4 Modelos lineales 11
El símbolo∼ delPaso 3 se encuentra
en la última fila del teclado.
Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados utili-
zando Desmos en un smartphone.
Paso 1: Al iniciar Desmos aparece la pantalla principal.
Paso 2: Cargar los datos experimentales mediante la opción de Tabla. Cambiar los
encabezados de las columnas por s (para la columna de las semanas) y p para
la columna de los pesos.
Paso 3: Una vez cargados todos los datos. En la siguiente casilla de instrucción escribir
la forma del modelo propuesto de la siguiente manera.
12 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
Paso 4: Inmediatamente luego de escribir la fórmula, elDesmos responde con el ajuste
lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados.
Se obtuvo m = 0.131093 y b = −2.04726. Analizando las unidades de las
cantidades involucradas tenemos que:
• El peso p de los datos tiene unidad de medida kg por lo tanto, tanto m.s
como b deben estar en kg.
• Dado que s está dada en cantidad de semanas, entonces la pendiente m
tendrá como unidad kg/[cantidad de semanas].
Por lo tanto,
• Pendiente m = 0.131093 kg/[cantidad de semanas]
• Ordenada al origen b = −2.04726 semanas.
El modelo lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados es
p = 0.131093s − 2.04726
Paso 5: Los residuos están representados en el Desmos por la variable e1. Si queremos
conocer el ECM del modelo lineal podemos escribir el comando:
Se obtuvo: ECM = 0.0260436795937.
Paso 6: Desmos también realiza la gráfica de los valores cargados y del modelo lineal
encontrado. Moviendo la pantalla y ajustando el zoom. Ver Figura 1.10.
Recordar que el ECM se calcula ha-
ciendo el promedio (mean, en inglés)
de los residuos al cuadrado.
Figura 1.10: Captura de pantalla de
datos y ajuste lineal elaborada en el
Paso 6.
34 36 38 40 42
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
Figura 1.11:Modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726.
El modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726 es elmejor modelo lineal que se ajusta a los
datos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacer según el criterio de
error cuadrático medio.
1.4 Modelos lineales 13
Actividad 1.6 Los datos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacer
de la Tabla 1.1 fueron clasificados según se tratase de madre fumadoras o madre no
fumadora como se presenta a continuación.
Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora
38 3.130 No 38 2.940 Sí
34 2.450 No 36 2.420 Sí
40 3.226 No 39 2.760 Sí
37 2.729 No 35 2.440 Sí
40 3.410 No 42 3.301 Sí
39 3.095 No 36 2.715 Sí
39 3.244 No 39 3.130 Sí
35 2.520 No 39 2.928 Sí
41 3.523 No 42 3.446 Sí
38 2.920 No 39 2.957 Sí
42 3.530 No 38 2.580 Sí
37 3.040 No 42 3.500 Sí
39 3.322 No 41 3.200 Sí
40 3.459 No 42 3.346 Sí
35 2.619 No 41 3.175 Sí
36 2.841 No 38 2.740 Sí
Tabla 1.4: Clasificación de los datos observados según si la madre es fumadora o no.
Los datos se presentan a continuación
34 36 38 40 42
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
Semanas de gestación
Pe
so
al
na
ce
r(
en
kg
)
Madres fumadoras
Madres no fumadoras
a) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres fuma-
doras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuencia
similar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madres
fumadoras.
b) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres no
fumadoras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuencia
similar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madres
no fumadoras.
c) Grafiquen los modelos lineales encontrados y, discutiendo en el grupo, expliquen las
diferencias y coincidencias entre los modelos encontrados.
�
14 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano?
En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido;
es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan)
cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido”
de los grillos?
Chirridos por
minuto
Temperatura
(°C)
176 26.944
185.6 25.833
174.4 25.556
140 23.056
130.4 20.000
115.6 18.889
110.8 18.333
102 16.389
81.5 13.889
50 12.778
144.8 22.500
140 22.222
132.4 21.667
126 20.556
115.2 19.167
85.2 15.556
151.2 23.889
148 22.917
94.64 16.111
74 11.111
110.8 18.333
104 17.222
86.8 15.000
Tabla 1.5: Chirridos por minuto y
temperatura de una especie de grillos
en Nebraska.
Actividad 1.7 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que se
puede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contar
la cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4.
Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinen
una expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridos
descripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. �
La Tabla 1.5, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado en
Colorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridos
de una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en grados
Celsius.
Actividad 1.8 Utilicen Desmos para realizar las actividades:
a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En
el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura.
Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero.
b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen al
gráfico anterior la recta obtenida.
c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproxima
mejor los datos?
d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estos
modelos?
e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos?
f ) ¿Cómo puedemejorarse la precisión delmodelo determinado pormínimos cuadrados?
g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano?
�
Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre el
problema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sido
completas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y el
problema biológico. Con el debido cuidado, nos permite apreciar cómo se usan las matemáticas
y alguna de sus limitaciones.
La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí.
Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto de
vista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantan
sólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C.
Las preguntas e) y f ) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modelado
matemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a las
temperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente,
los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se han
recolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados).
En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 11°C y los 27°C. Que es
apropiada para las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunque
alejado un poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche de
verano con amigos.
La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. El
modelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay una
explicación del fenómeno que permita deducir cómo influye
la temperatura ambiente en la
frecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo una
correlación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismo
y la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luego
1.6 Ejercitación 15
vendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos en
una habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo?
Actividad 1.9 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres-
pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperatura
ambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperatura
dado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzca
más chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad
1.8 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de la
temperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21◦C.
�
1.6 Ejercitación
Ejercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condiciones
mencionadas:
a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente −1
3
b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0
c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1)
d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3)
e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3)
f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0)
g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el putno (3, 2).
�
Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas �
Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que son
perpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. �
Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0).
¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. �
Temperatura (◦C) Potencia
0 38
0 43
0 34
10 32
10 26
10 33
20 19
20 27
20 23
30 14
30 19
30 21
Tabla 1.6: Potencia de los antibióticos.
Ejercicio 1.5 En un experimento para observar el efecto de la temperatura de almacenamiento
en la potencia de un antibiótico se almacenaron tres porciones de 1 gramo del antibiótico se
almacenaron durante tiempos iguales a cada una de las siguientes temperaturas: 0◦C, 10◦C,
20◦C y 30◦C. Las lecturas de potencia observadas al final del período experimental son las
que se muestran en la Tabla 1.6.
La potencia o actividad de los antibióticos se calcula comparando la inhibición de microor-
16 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?
ganismos sensibles y específicos determinada por concentraciones conocidas del antibiótico
analizado y una sustancia de referencia.
a) Determinen, a partir de los datos presentados, el ajuste lineal correspondiente.
b) ¿Qué unidades corresponden para la pendiente y la ordenada al origen del modelo
encontrado?
c) Según el modelo lineal encontrado, ¿cuál es la potencia esperada de un gramo de
antibiótico almacenado a una temperatura de 25◦ C?
d) Se observa la potencia de un gramo de antibiótico y resulta 18. ¿Cuál es la temperatura
de almacenamiento que se estima según el modelo lineal encontrado?
�
Figura 1.12: Amplitud entre párpados.
ASO (cm2) Amplitud (cm)
0.4 1.02
0.48 0.88
0.57 1.52
0.7 1.5
0.75 1.8
0.78 1.63
0.84 2
0.99 2.48
1.12 3.05
1.15 3.18
1.25 3.68
1.25 3.82
1.3 4.27
1.34 3.12
1.4 3.75
1.43 4.1
1.49 3.77
1.58 4.21
1.6 4.92
Tabla 1.7: ASO vs. amplitud de los
párpados.
Ejercicio 1.6 Los problemas visuales y muscoesqueléticos relacionados con el uso de
monitores se han vuelto bastantes recientes. Se estudia la relación entre el área de superficie
del ojo (ASO, en cm2) y la amplitud entre los párpados (en cm) de 19 individuos y se
presentan los resultados en la Tabla 1.7.
a) Determinen el ajuste lineal de mínimos cuadrados correspondiente.
b) ¿Qué unidades corresponden a la pendiente y a la ordenada al origen del modelo
encontrado?
c) Según el modelo lineal encontrado, ¿qué amplitud entre párpados se espera para un
individuo cuya superficie ocular es de 1 cm2?
�
Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P depende
linealmente de la tempertura T . Luego, podemos escribir la ecuación
P = kT + b,
para algunas constantes k y b.
a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la
presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mm
de Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando sus
unidades).
b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentren
la temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior.
�
2. Funciones numéricas.
“Los músculos de las matemáticas se conectan con el esqueleto de las ciencias
experimentales mediante los tendones de la modelación matemática.”
Glenn Ledder
Este módulo pretende desarrollar la capacidad de interpretar y usar información presentada
en una variedad de formas familiares, matemáticas y no matemáticas. Como hemos mencionado
anteriormente, el cálculo diferencial e integral estudia los procesos en los que hay cantidades
numéricas que cambian a medida que otras cantidades también lo hacen. La herramienta
fundamental para ello serán las funciones numéricas.
El aprendizaje de las funciones numéricas requiere:
Conocer las distintas formas de representación de las funciones numéricas.
Leer e interpretar la información que tiene cada una de ellas.
Traducir la información de una forma de representación en otra.
Identificar las fortalezas y las debilidades de cada forma de representación.
Funciones numéricas
Representación
verbal
Representación
gráfica
Representación
en tabla.
Representación
algebraica
Figura 2.1: Las 4 formas usadas
usualmente para representar a las
funciones numéricas.
En este módulo formalizaremos la definición de función numérica en la matemática
detallando sus elementos más fundamentales: variable independiente, variable dependiente,
regla de asignación, dominio, codominio e imagen. También algunas de sus propiedades
principales como crecimiento, decrecimiento, valores máximos y valores mínimos.
2.1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas.
Hemos visto ya algunos ejemplos en donde construimos modelos matemáticos definiendo
funciones que relacionen dos cantidades mensurables.
La fórmula que relaciona la temperatura en grados ◦F en función de la temperatura en
grados ◦C.
El perímetro de una circunferencia como función de su diámetro.
Los modelos lineales construidos según el método de mínimos cuadrados.
Definición 2.1.1 — Definición de función.
Una función es una ley de asignación que a cada elemento x de un conjunto A le hace
corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.
Se escribe: f : A→ B
A B
x y
f
f
y = f (x)
x
f
f (x)
Materia
prima
Aquí se realiza
la operación
Resultado
Figura 2.2: Representación de una
función como una máquina que re-
cibe materia prima, opera y luego
devuelve un resultado.
En este caso, f es el nombre de la función.
El conjunto A se denomina dominio de la función. Corresponde a los valores de la
variable independiente.
A = Dominio de f = Dom( f )
El conjunto B se denomina codominio de la función. Corresponde a los valores de la
variable dependiente.
Así, x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.
En nuestro curso, los conjuntos A y B siempre se referirán a conjuntos numéricos.
2 Capítulo 2. Funciones numéricas.
C Cuando escribimos y = f (x) decimos que y es el valor de la función f cuando la
evaluamos en x.
y = f (x)
y es f evaluada en x
y es f de x
y es la imagen de x mediante la función f
Que f sea una función significa que no puede existir un elemento de A sin su correspondiente
elemento en B, y que a cada elemento de A no le puede corresponder más de un elemento de
B como resultado.
C Una de las dificultades en la simbolización matemática es que muchas veces se usan
los mismos símbolos pero para cosas distintas. El uso de los paréntesis es un ejemplo.
Uso de paréntesis
El uso de paréntesis en la notación de función es muy especial para las funciones. Hay que
tener especial cuidado y no confundirlo con una multiplicación. Cuando escribimos
f (x)
no debe entenderse como si fuera
f .(x) ni f × (x)
.
El símbolo dentro de los paréntesis es siempre la variable independiente, un miembro del
dominio, y f (x) es un valor de la variable dependiente, un miembro del codominio.
Algunos ejemplos:
Conjunto ∅
Conjunto vacío. Sin elementos.
Conjunto (a, b)
{x ∈ R : a < x < b }
Conjunto [a, b]
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }
Conjunto (a, b]
{x ∈ R : a < x ≤ b }
Conjunto (a,+∞)
{x ∈ R : a < x }
Conjunto (−∞, b]
{x ∈ R : x ≤ b }
Conjunto (−∞,+∞)
Todos los números reales. R.
Tabla 2.1: Repaso de algunos ejem-
plos de notación de intervalos para
los conjuntos numéricos.
� Ejemplo 2.1 La Figura 2.3 muestra el gráfico de un electrocardiograma (EGG). El EGG
mide el potencial eléctrico V (medido en milivolts) en una cierta dirección (hacia el
electrodo positivo de un cable) correspondiente a una parte particular del corazón
como una función del tiempo (en segundos). Para un valor del tiempo t dado, el gráfico
nos proporciona un valor correspondiente de V .
Figura 2.3: Electrocardiograma
�
2.1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 3
2.1.1 Dominio natural de una función numérica.
El dominio de una función está determinado por motivos de 3 categorías:
Motivos relacionados con el contexto.
El sistema real en estudio impone restricciones sobre las variables.
Si l representa una longitud, el área o el volumen de un objeto entonces no puede ser
cero ni tomar valores negativos.
Si P representa la población de la Argentina entonces debe ser un número natural; la
parte decimal no puede ser distinta de cero.
Hay una temperatura teórica que es la más baja posible. Dependiendo del sistema
de medición utilizado corresponde a 0 grados Kelvin, −273.15 grados centígrados o
−459.67 grados Farenheit. De modo que, si T es la temperatura de un sistema en grados
centígrados entonces debe cumplirse que
−273.15 < T
Motivos relacionados con limitaciones matemáticas.
Momentáneamente tomaremos como restricciones matemáticas dos operaciones que no
se pueden realizar en los números reales.
No está permitida la división por cero. Expresiones como
1
0
x
0
0
0
no están definidas ni se aceptan como válidas.
No está permitido calcular raíces cuadradas o raíces de orden par a números negativos.
Por ejemplo, las siguientes expresiones no son válidas
√
−1 4
√
−3
3 +
√
−2
8
Motivos arbitrarios que decide cada persona.
Cada persona puede imponer una restricción sobre el dominio de una función por algún
motivo que considere importante o por puro antojo. La decisión de estudiar la altura de niños y
niñas para edades entre 4 y 16 años es una decisión del investigador. O sin motivo alguno, se
puede decidir estudiar la función
S(r) = π r2 en el intervalo (2, 5].
Dominio natural de una función numérica.
Definición 2.1.2 — Dominio natural de una función numérica.
Dada una función f representada por medio de una expresión matemática, llamamos
dominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula permita
calcular un resultado real. Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.
� Ejemplo 2.2 El dominio natural de f (x) = x3 son todos los reales ya que no hay dificultades
en calcular x3. Algunos de sus valores son:
f (0) = 0 f (−2) = (−2)3 = −8 f
(
1
2
)
=
(
1
2
)3
=
1
8
�
4 Capítulo 2. Funciones numéricas.
� Ejemplo 2.3 El dominio natural de g(x) =
√
x es el intervalo [0,+∞). Algunos de sus
valores son:
g(0) = 0 g(9) =
√
9 = 3
�
2.2 Imagen de una función numérica.
La variable dependiente de una función no siempre toma todos los valores del codominio
declarado. Por ejemplo, la función f : [0,+∞) → R dada por f (x) =
√
x no toma nunca
valores negativos.
Definición 2.2.1 — Imagen de una función numérica. Se llama imagen de una función al
conjunto de todos los valores efectivamente alcanzados por la función. Dada una función
f : A→ B, se llama imagen de f al conjunto de elementos de B que son el resultado de
f (x) para algún elemento x de A. Se suele notar Im( f ) o f (A). En notación de conjuntos,
se define
Im( f ) = { f (x) : x ∈ A}
C Calcular la imagen de una función no es una tarea trivial. Por ejemplo, para f (x) = x
2
tenemos que Im( f ) = [0,+∞) porque los resultados de x2 pueden ser arbitrariamente
grandes pero no pueden ser negativos. Sin embargo, calcular la imagen de la función
g(x) = x4 − 3x2 + x ya no es una tarea tan sencilla (más adelante, aprenderemos
herramientas que nos permitirán hallarla).
2.3 Gráfica de una función numérica.
Si f es una función con Dom( f ) = A entonces la gráfica de f está compuesta por puntos
del plano coordenado de la forma
(x, f (x)) .
Los pares ordenados son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f está
formada por todos los puntos (x, y) del plano coordenado tales que y = f (x) para x ∈ Dom( f ).
Por ejemplo, si consideramos la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1 entonces el
punto (3, 5) pertenece a la gráfica porque x = 3 pertenece al dominio de la función y f (3) = 5.
Sin embargo, el punto (2, 5) no lo está porque f (2) , 5.
La gráfica de una función también nos permite tener información del dominio (sobre el eje
horizontal) y la imagen (sobre el eje vertical) como indica la Figura 2.4.
2.4 Prueba de la recta vertical. 5
(a) El punto (x, f (x)) ubicado en la gráfica de la
función.
(b) Dominio e imagen de una función representados
en los ejes cartesianos.
Figura 2.4: Gráfica de la función, dominio e imagen
Actividad 2.1 En la Figura 2.5 se muestra la gráfica de una función g.
1. Determinen los valores de g(1) y g(5).
2. Determinen el dominio y la imagen de g.
�
Figura 2.5: Gráfica de la función g.
Ya vieron anteriormente como hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos
por donde pasa, un punto y la pendiente ó la pendiente y la ordenada al origen, llegando a
representar sus gráficas o reconocerlas por su aspecto. En base a lo que saben sobre gráficas de
rectas, realicen las siguientes actividades.
Actividad 2.2 Tracen una gráfica y encuentren el dominio e imagen de cada función
a) f (x) = 5x + 1 b) g(x) = x − 1 con x ≥ 2
�
Actividad 2.3 Determinen el dominio natural de las siguientes funciones. Escríbanlo en
palabras y con la notación de intervalos.
a) f (x) =
√
2x − 1 b) g(x) =
1
x2 + x
c) h(x) =
x2 + 1
x3 + 1
d) r(x) = 3
√
x2 − 2
e) m(x) =
3 + 1x
x + 1
f ) R(x) =
√
4 − 3x
g) q(x) =
1
x
+
√
4 − 3x h) w(x) =
1
x
+
x
3x − 4 + x2
�
2.4 Prueba de la recta vertical.
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical
se interseca con las curva más de una vez.
En la Figura 2.6 se puede ver que si cada recta vertical x = a interseca a la curva sólo una
vez, en el punto (a, b), entonces se tiene que f (a) = b. Pero si una recta x = a se interseca con
la curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar la gráfica de una
función, porque no puede asignar dos valores diferentes a a.
6 Capítulo 2. Funciones numéricas.
Figura 2.6: Dos ejemplos que representan la regla de la recta vertical.
� Ejemplo 2.4 La curva de ecuación x = y2 − 2 que aparece en la Figura 2.7, no es la gráfica
de una función de x porque como podemos ver, existen muchas rectas verticales que
intersecan dos veces a esa curva. Sin embargo, sí contiene las gráficas de dos funciones
de x, f (x) = +
√
x + 2 y g(x) = −
√
x + 2 (parte superior e inferior de la curva) como
se representa en las Figuras ?? y ??. �
(a) x = y2 − 2 (b) y =
√
x + 2 (c) y = −
√
x + 2
Figura 2.7: Gráficas de la curva x = y2 − 2 y las dos funciones f (x) = +
√
x + 2 y g(x) = −
√
x + 2
2.5 Funciones definidas por partes.
Hay
funciones que se definen empleando distintas fórmulas en diferentes partes de sus
dominios.
Actividad 2.4 Calculen f (0), f (1) y f (3) y realicen la gráfica de f para
f (x) =

2 − x si x ≤ 1
x + 3 si x > 1
�
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 2.8: Gráfica de la función f .
Actividad 2.5 Encuentren una fórmula para la función f cuya gráfica se da en la Figura 2.8.
Indiquen su dominio e imagen. �
2.6 Funciones crecientes y decrecientes. 7
Actividad 2.6 Decididan cual de las siguientes ecuaciones define a y como función de x
a) x + y = 1 b) x2 + y2 = 4 c) y4 + x = 2
�
Figura 2.9: Cuatro gráficas para de-
cidir si son funciones.
Actividad 2.7 Determinen, en cada caso de la Figura 2.9, si la curva es la gráfica de una
función de la variable x. Si lo es, establezcan su dominio e imagen.
�
2.6 Funciones crecientes y decrecientes.
En la Figura 2.10 se muestra el gráfico de una función f que se eleva y luego comienza a
descender. Expresaremos en forma algebraica el comportamiento creciente o decreciente de
la función considerando el sentido u orientación que tienen los ejes cartesianos.
El eje x tiene una orientación de izquierda a derecha. La relación x1 < x2 equivale a que
x1 está ubicado a la izquierda de x2 sobre el eje x.
El eje y tiene una orientación de abajo hacia arriba. La relación y1 < y2 equivale a que
y1 está ubicado debajo de y2.
Definición 2.6.1 — Funciones crecientes y decrecientes.
Una función f es creciente en un intervalo I si
para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2)
Y se dice que es decreciente en I si
para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2)
Figura 2.10: Gráfica de una función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Figura 2.11: Gráfica de la función
f (x) = x2.
� Ejemplo 2.5 La gráfica de la función f (x) = x2 que se encuentra en la Figura 2.11. Podemos
ver que es decreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en intervalo [0,+∞). �
8 Capítulo 2. Funciones numéricas.
Actividad 2.8 Observen las gráficas de las funciones f y g que se encuentran en la Figura
2.12.
a) Indiquen el dominio y la imagen para f y para g.
b) Calculen f (−4) y g(3).
c) ¿Para qué valores de x resulta f (x) = g(x)?
d) Estimen el/los valores de x tales que f (x) = 1.
e) Indiquen el intervalo donde la función f es creciente.
�
Figura 2.12: Gráficas de las funcio-
nes f y g.
2.7 Valores máximos y valores mínimos.
Los valoresmáximos ymínimos de una función son de interés porque marcan situaciones
extremas en el evento que se estudia. Por ejemplo, en la Figura 2.13 se tomó una porción del
ritmo cardíaco según un EGG y se observa que el potencial eléctrico aumenta y disminuye
reiteradas veces, en el punto R se encuentra el punto más alto de la gráfica y en el punto S el
punto más bajo.
El punto R tiene coordenadas (0.22, 1) y el punto S tiene coordenadas (0.25,−0.11). De
modo que
P(0.22 s) = 1 milivolts y P(0.25 s) = −0.26 milivolts
El valor más grande que se registra es 1 milivolts a los 0.22 segundos. El valor más bajo
que se registra es −0.26 milivolts a los 0.25 segundos.
Figura 2.13: Porción del ritmo cardíaco determinado por un EGG.
Definición 2.7.1 — Valores máximos y mínimos absolutos.
Sean c y d dos números en el dominio de la función f .
Entonces f (c) es el
valor máximo absoluto de f si f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .
Y f (d) es el
valor mínimo absoluto de f si f (d) ≤ f (x) para todo x en el dominio de f .
El valor máximo o mínimo absoluto es llamado también valor máximo o mínimo
global; o, en forma genérica, valores extremos globales.
En la misma porción del ritmo cardíaco se observa que hay otros picos y valles en la
gráfica que no son tan altos como R ni tan bajos como S pero que el cardiólogo toma como
2.8 Ejercitación. 9
interés. En la Figura 2.14 quedan marcados los puntos R, P y T como ejemplos de picos y los
puntos S y Q como ejemplos de valles. Hay otros más pero por simplicidad no los marcamos.
Figura 2.14: Valles y picos en la gráfica correspondiente al EEG.
Definición 2.7.2 El número f (c) es un
valor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cercano a c.
valor mínimo local de f si f (c) ≤ f (x) cuando x está cercano a c.
Los valores máximos y mínimos locales también suelen llamarse valores máximos
o mínimos relativos; o, en forma genérica, valores extremos locales.
Figura 2.15: Gráfica de f (x) = x2.
Actividad 2.9 Consideren que la separación de la grilla de la Figura 2.14 corresponde
horizontalmente a 0.05 segundos y verticalmente a 0.24 milivolts.
Determinen los valores extremos locales. Indiquen también el tiempo (en segundos)
para los cuales se alcanzan esos valores extremos locales.
�
� Ejemplo 2.6 En las Figuras 2.15 y 2.16 se encuentran las gráficas de las funciones f (x) = x2
y g(x) = x3, respectivamente. Observen que f (0) = 0 es el mínimo absoluto (y local)
de f porque f (x) ≥ f (0) para todo x en el dominio de f . Sin embargo, no existe
ningún punto que sea el más alto de la parábola, por lo que f no tiene máximo absoluto.
En el caso de la función cúbica g vemos que no tiene ni máximo ni mínimo absoluto.
Y tampoco tiene valores extremos locales. � Figura 2.16: Gráfica de g(x) = x3.
2.8 Ejercitación.
Figura 2.17: Temperatura promedio global
en función del tiempo
Ejercicio 2.1 En la Figura 2.17 se muestra el gráfico de la temperatura global promedio T
durante el siglo XX.
a) ¿Cuál fue la temperatura global promedio en el año 1950?
b) ¿En qué año la temperatura promedio fue de 14, 2◦C?
c) ¿En qué año se produjo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?
10 Capítulo 2. Funciones numéricas.
d) Estimen la imagen de T .
�
Ejercicio 2.2 Un esófago saludable tiene un pH aproximado de 7.0. Cuando ocurre un reflujo
ácido, el ácido del estómago (que tiene un pH que va desde 1.0 a 3.0) fluye hacia atrás
desde el estómago hacia el esófago. Cuando el pH del esófago es menor que 4.0, el episodio
recibe el nombre de reflujo ácido clínico y puede causar úlceras y dañar el revestimiento
del esófago. El gráfico de la Figura 2.18 muestra el pH del esófago para un paciente con
reflujo ácido que se encuentra dormido. ¿Durante qué intervalo de tiempo se considera que
el paciente tiene un episodio de reflujo ácido clínico? �
Figura 2.18: pH del esófago para un pa-
ciente con reflujo ácido.
Ejercicio 2.3 La Figura 2.19 muestra los pesos corporales promedios de renacuajos criados
en diferentes densidades. La función f muestra el peso corporal cuando la densidad es de
10 renacuajos/L. Para las funciones g y h, las densidades son de 80 y 160 renacuajos/L,
respectivamente. ¿Qué información le brindan estos gráfico sobre el efecto de hacinamiento?
�
Figura 2.19: Peso corporal promedio de
renacuajos en diferentes densidades.
Ejercicio 2.4 Las regiones tropicales se caracterizan por tener muchas precipitaciones e
intensa luz solar y tienen temporadas de crecimiento más largas que las regiones más
alejadas del ecuador. Como resultado de esto, las regiones tropicales poseen una mayor
riqueza de especies, es decir, un mayor número de especies. El gráfico 2.20 muestra cómo
varía el número de hormigas con respecto a la latitud.
a) ¿Cuántas especies esperarían encontrar a los 30◦S? ¿Y a los 20◦N?
b) Si en un lugar determinado encuentran unas 100 especies de hormigas, ¿en qué latitud
aproximada estarían?
�
Figura 2.20: Número de especies de hor-
migas según la latitud.
Ejercicio 2.5 Den tres ejemplos de funciones que aparezcan en la vida diaria que puedan ser
descriptos verbalmente. Los ejemplos deben contemplar la descripción del dominio y de la
imagen de las funciones. Acompañar las descripciones con un gráfico para cada función. �
Ejercicio 2.6 Determinen el dominio natural de cada función:
a) f (x) =
2x + 1
x2 − x + 1
b) g(x) =
3√x
x2 + 1
c) h(x) =
√
4 − x
�
Ejercicio 2.7 Consideren la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x.
a) ¿Cuál es su dominio natural?
b) Calculen f (0), f (1), f (−1).
c) ¿Para qué valores de x se cumple que f (x) =
0?
�
Ejercicio 2.8 Hallen, en forma analítica, la intersección entre las gráficas de los siguientes
pares de funciones. �

f (x) = 2x2
g(x) = 3x + 9

f (x) =
3
2
x2 − x
g(x) =
3
2
x2 − x + 2

f (x) = x2 + 6x + 9
g(x) = −
1
2
x2 − 1
3. Funciones numéricas. Segunda parte.
“La ciencia no tiene patria. Pero el hombre que hace ciencia sí la tiene”.
Bernardo Houssay (1887 - 1971)
En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar el
mejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamos
la definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,
decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente son
lineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.
3.1 Funciones cuadráticas.
3.1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.
La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muy
rápidamente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos.
Esta capacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logran
sintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre la
velocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y el
tiempo que tardan en duplicarse.
La bacteria E. coli es uno de los or-
ganismos patógenos más relevantes
en el humano, tanto en la produc-
ción de infecciones gastrointestina-
les como de otros sistemas (urinario,
sanguíneo, nervioso). Fue descrita
por primera vez en 1885 por Theodo-
re von Escherich, bacteriólogo ale-
mán, quien la denominó Bacterium
coli commune. Posteriormente la ta-
xonomía le adjudicó el nombre de
Escherichia coli, en honor a su des-
cubridor.
El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirecta-
mente en todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. La
síntesis de proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 3.1.
Figura 3.1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.
Transcripción:
La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde
la proteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementario
mRNA a modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirve
para producir una proteína específica de la célula bacteriana.
Traducción:
La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción.
Los ribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basados
en los elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedades
2 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
físicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciarias
que crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan con
otros elementos para producir otras proteínas o enzimas.
µ r
0.6 4.3
1 9.1
1.5 13
2 19
2.5 23
Tabla 3.1: Datos para la cantidad µ de dupli-
caciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.
Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción de
los componentes internos de la célula. En la Tabla 3.1 se muestran datos que relacionan la
cantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)
que denominaremos µ, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por r × 105
nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 3.2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.
0.5 1 1.5 2 2.5
5
10
15
20
µ (duplicaciones/hora)
r
(n
uc
le
ót
ic
os
/m
in
ut
o/
cé
lu
la
×
10
5 )
Figura 3.2: Gráfico para la cantidad µ de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.
Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 3.1mediante
mínimos cuadrados.
r = mµ + b (3.1)
Actividad 3.1
a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta
correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.
b) De manera similar a la que trabajaron en el Módulo 1, utilicen el Desmos para
realizar el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados.
c) ¿Qué valor de r corresponde a µ = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser el
valor razonable esperable para r en este caso?
�
Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados la ordenada al origen encontrada
resulta ser b ≈ −1.28 × 105 nucleótidos por minuto por célula. Que no es acorde al sistema
real dado que la síntesis del mRNA se produce en el proceso de división celular.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
10
20
30
Figura 3.3: Modelos r = mµ para
ajustar los datos de la Tabla 3.1.
Realizaremos entonces un ajuste lineal con mínimos cuadrados pero imponiendo la
condición de b = 0 en la ecuación 3.1 quedando
r = mµ (3.2)
lo que haría que sólo necesitemos encontrar el valor de la pendiente m.
3.1 Funciones cuadráticas. 3
Actividad 3.2
a) Escriban la expresión que permite calcular el error cuadráticomedioECMasociado
al modelo 3.2 y los datos de la Tabla 3.1. La expresión del ECM deberá quedar
expresada en términos de la variable m: ECM(m).
b) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.
c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?
�
En forma resumida y simplificada, la expresión del error cuadrático medio en función
de la pendiente m debería haberles quedado como
E MC(m) = 15
(
13.86m2 − 253.36m + 1160.3
)
(3.3)
La función 3.3 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.
Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.
3.1.2 Funciones cuadráticas.
El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales. Su forma general es
f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3.4)
donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficiente
principal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).
La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩
según sea el signo del coeficiente principal a.
a = 1
a = 12a = 1.5
(a) Con coeficiente a > 0.
a = −1
a = − 12
a = −1.5
(b) Con coeficiente a < 0.
Figura 3.4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.
Un elemento principal en las parábolas es su vértice que se corresponde con el máximo
absoluto (en el caso que a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Las coordenadas
del vértice pueden encontrarse completando cuadrados en la expresión 3.4
4 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
f (x) = ax2 + bx + c = a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
=
= a
[
x2 +
b
a
x +
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
]
= a
[(
x +
b
2a
)2
−
b2
4a2
+
c
a
]
= a
(
x +
b
2a
)2
+
4ac − b2
4a
Las coordenadas del vértice serán V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
.
También son importantes las intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje x:
Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación
f (x) = 0
ax2 + bx + c = 0
Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.
Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f no
intersecta al eje x.
Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por
x1 =
−b
2a
La intersección es el punto (x1, 0).
Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).
Los valores x1 y x2 se denominan
raíces de la función f .
Con el eje y:
Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando
f (0) = a02 + b0 + c = c.
La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).
� Ejemplo 3.1 La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyo
vértice se encuentra en el punto
V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
=
(
−
2
2
,
4(−3) − 4
4
)
= (−1,−4)
Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.
Dado que el discriminante b2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dos
intersecciones con el eje x. Las raíces son
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ±
√
16
2
⇒ x1 = 1 x2 = −3
3.2 Funciones polinomiales. 5
Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la intersección
con el eje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 3.5.
�
−4 −3 −2 −1 1 2
−4
−2
2
4
6
0
Vértice
Figura 3.5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3
y sus elementos principales.
Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicen
sus gráficas.
a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x
2 − 12x + 18
�
Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en el
estudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajusta
los datos de la Tabla 3.1 mediante mínimos cuadrados?
�
3.2 Funciones polinomiales.
En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a las
funciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)
al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma r = mµ.
Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funciones
polinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variable
independiente.
Definición 3.2.1 — Funciones polinomiales. Para n un entero positivo o cero, una función
polinomial de grado n es una función definida por una ecuación de la forma
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,
donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficiente
principal an debe ser distinto de 0.
Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.
El dominio de una función polinomial es todo R.
Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde los
modelos lineales no sean adecuados.
a0
Figura 3.6: Gráfica de P(x) = a0 (función
constante).
� Ejemplo 3.2 Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general
P(x) = a0 donde a0 es un número constante
Por lo tanto su gráfica, ver Figura 3.6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal)
y ordenada al origen a0.
Ejemplos
f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π
�
� Ejemplo 3.3 Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1.
Las funciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �
6 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
� Ejemplo 3.4 Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado se
toma como punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término
(el asociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma
P(x) = xn
que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que corresponden
a grado n impar.
En las Figuras 3.7 y 3.8 se presentan varios ejemplos.
�
1−1
1
(a) Con grado n = 2.
1−1
1
(b) Con grado n = 4.
1−1
1
(c) Con grado n = 6.
1−1
1
(d) Con grado n = 8.
Figura 3.7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.
1
1
(a) Con grado n = 1.
1
1
(b) Con grado n = 3.
1
1
(c) Con grado n = 5.
1
1
(d) Con grado n = 7.
Figura 3.8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.
Actividad 3.5 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par o
impar. �
Las funciones polinómicas se usan frecuentemente en modelado como un medio para
ajustar datos complicados. Las curvas polinómicas ajustan bastante bien a los datos y producen
modelos sencillos y simples que permiten interpretar los datos y construir predicciones sobre
cómo se comportarán los experimentos. Existen muy buenas rutinas o algoritmos que permiten
ajustar por medio de mínimos cuadrados usando modelos polinomiales.
Sin embargo, pese a sus buenas propiedades de comportamiento, aparecen dificultades en
términos algebraicos. Por ejemplo, determinar las raíces de una función polinómica puede ser
difícil de realizar para grados de n > 2; y sólo en casos muy especiales para grados n > 4.
En general, conocemos la fórmula de Baskara para ecuaciones cuadráticas; pero muy pocos
3.3 Funciones racionales. 7
conocen la fórmula para trabajar con ecuaciones de grado tres o cuatro (a pesar que existen).
Actividad 3.6 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:
a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64 c) h(x) = x4 − 5x2 + 4
�
3.3 Funciones racionales.
El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir
las funciones racionales:
Definición 3.3.1 — Función racional. Una función racional f es el cociente entre dos polino-
mios. La forma general es
f (x) =
P(x)
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.
El dominio de f está determinado por aquellos números reales para los cuales Q(x) , 0
Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .
3.3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)
Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma
f (x) =
1
xn
siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones
f (x) =
1
x
g(x) =
1
x2
h(x) =
1
x3
r(x) =
1
x4
La gráfica de la función f (x) =
1
x
forma una curva en el plano denomi-
nada hipérbola.
En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).
Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupo
correspondiente a n impar. Ver las Figuras 3.9a y 3.9b donde se presentan los ejemplos
f (x) =
1
x
y g(x) =
1
x2
.
y =
1
x
(a) Con n = 1.
y =
1
x2
(b) Con n = 2.
Figura 3.9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.
8 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.
Cuando desarrollemos las ideas de
límite de una función volveremos so-
bre estos asuntos de comportamien-
to asintótico. Por ahora presentamos
las funciones con sus gráficas para
poder identificarlas.
Asíntota vertical:
La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores
de x cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.
Asíntota horizontal:
La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores
grandes de x y positivos como para valores grandes de x y negativos.
3.3.2 Función homográfica.
Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones
denominadas funciones homográficas.
Definición 3.3.2 Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. La
forma general es
f (x) =
ax + b
cx + d
donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.
Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.
Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto
{
x ∈ R : x , − dc
}
.
Si fuera el caso que ad − bc = 0
la función se reduce a una función
constante.
Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.
Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x
Tendrá a la recta vertical x = −
d
c
como asíntota vertical.
Tendrá a la recta horizontal en y =
a
c
como asíntota horizontal.
Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientación
de las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 3.10. Una manera de averiguar cuál de las dos
opciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x del
dominio.
Figura 3.10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.
x = 12
y = 1
−1
Figura 3.11: Función f (x) = 2x + 1
2x − 1
.
� Ejemplo 3.5 La función f (x) =
2x + 1
2x − 1
es una función homográfica.
Su dominio
natural es R −
{ 1
2
}
.
La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por
último, evaluamos f (0) = −1
�
3.4 Funciones radicales. 9
Actividad 3.7 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementos
principales (asíntotas y orientación de las ramas de la hipérbola).
a) f (x) =
−x + 2
x − 3
b) g(x) =
10x
2 + x
�
Actividad 3.8 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la recta
x = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �
3.4 Funciones radicales.
Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma
f (x) =
√
x g(x) = 3
√
x h(x) = 8
√
x
f (x) =
√
x
Figura 3.12: Gráfica de f (x) =
√
x.
f (x) = 3
√
x
Figura 3.13: Gráfica de g(x) = 3
√
x.
Definición 3.4.1 — Funciones radicales. La forma general de las funciones radicales es
f (x) = n
√
x = x1/n Para n un número entero positivo.
El dominio natural correspondiente depende del valor de n.
Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).
Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.
Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemos
utilizar los desarrollos del Ejemplo 3.4 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones.
Ver los Ejemplos f (x) =
√
x y g(x) = 3
√
x en las Figuras 3.12 y 3.13.
3.5 Composición de funciones.
Consideraremos ahora una forma muy importante de combinar funciones para obtener
una nueva función. Por ejemplo, si consideramos las funciones f (x) =
√
x y g(x) = x2 + 1, se
puede definir una nueva función h como,
h(x) = f (g(x)) = f
(
x2 + 1
)
=
√
x2 + 1
La función h está compuesta por las funciones f y g de una manera interesante:
Se forma una cadena que agarra primero el valor x para calcular el valor g(x); y luego, ese
resultado, se usa para calcular el valor f (g(x))
x g(x) f (g(x))
g f
La función h(x) es una función compuesta por las funciones g y f en forma de cadena.
x g(x) f (g(x))
g f
h
10 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
Definición 3.5.1—Composición de funciones. Si f y g son dos funciones numéricas entonces
se puede realizar la composición de g con f formando una nueva función h de la forma
h(x) = f (g(x))
El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en el
dominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}
La composición h se escribe f ◦ g.
C Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero usamos la función g y luego
usamos la función f .
( f ◦ g)(x) = f ( g(x) ).
Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).
Reiteramos, comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x). Si este número
g(x) está en el dominio de f , entonces calculamos el valor f (g(x)). Por eso decimos
que el dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x)
está en el dominio de f .
x
Entrada
g
g(x)
f
f (g(x))
Salida
f ◦ g
Figura 3.14: Composión f ◦ g.
� Ejemplo 3.6 La función h(x) =
√
x4 + 2 resulta ser la composición de las funciones
f (x) =
√
x y g(x) = x4 + 2.
Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de h
planteando
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}
=
{
x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0
}
= R
El dominio de h son todos los números reales. �
La actividad de la derecha permite
concluir que la composición de fun-
ciones no cumple la ley conmutati-
va. En general se tendrá que f ◦g y
g ◦ f serán dos funciones distintas.
Actividad 3.9 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 3.6
a) Calculen la composición g ◦ f .
b) Determinen su dominio natural.
c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 3.6?
�
� Ejemplo 3.7 Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funciones
compuestas f ◦ g y g ◦ f se obtienen
( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4
Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominios
naturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �
3.6 Ejercitación 11
� Ejemplo 3.8 Si consideramos T(r) =
√
−r + 2 y M(s) =
√
s calcularemos M ◦ T y
determinaremos su dominio natural.
(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M
(√
−r + 2
)
=
√
√
−r + 2 = 4
√
−r + 2
Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lo
tanto,
Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}
=
{
r ∈ (−∞, 2] :
√
−r + 2 ∈ [0,+∞)
}
= (−∞, 2]
�
Actividad 3.10 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 3.8, calculen
a) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M
�
C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.
Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuesta
f ◦ g ◦ h está definida como
( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).
3.6 Ejercitación
Ejercicio 3.1 Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el nivel
del suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medido
en segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.
a) Realicen la gráfica de la función h.
b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.
c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?
�
Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio
2.8 del Módulo 2. �
A c
0.12 0.05
0.32 0.14
0.5 0.21
0.66 0.3
Tabla 3.2: Concentración c en mi-
liMolares y absorbancia A de una
muestra.
Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-
tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface una
relación lineal
c = mA
donde m es la pendiente de la recta.
La Tabla 3.2 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A
de una muestra.
a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente del
valor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.
b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajuste
lineal.
12 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidas
cuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.
�
Para resolver desigualdades de la
forma
(x − 4)2 − 3 > 0
o de la forma
(x + 1)2 < 7
puede ser útil recordar las siguien-
tes equivalencias (para valores de a
positivos):
u2 > a
u ∈ (−∞,−
√
a) ∪ (
√
a,+∞)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
u2 < a
u ∈ (−
√
a,
√
a).
Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.
a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.
b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente
con esa variable independiente).
c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el
rectángulo tenga la mayor área posible.
�
Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x) =
√
8 − 2x b) h(x) =
√
1 − x2 c) g(x) =
√
8 − 2x − x2
�
Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientes
funciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).
a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =
√
x3 + 3 c) h(x) =
1
x2 − 2x + 1
�
Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. En
cada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de la
función compuesta (pueden utilizar el Geogebra).
a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =
1
1 + z
g(x) = x2
c) f (z) =
z
1 + z
g(x) =
x
1 − x
d) f (z) =
1
z
g(x) = 1 + x2
e) f (z) =
z
1 − z
g(x) =
x
1 + x
f ) f (z) =
√
z g(x) = x2 − 1
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 3 1 4 2 2 5
g(x) 6 3 2 1 2 3
Tabla 3.3: Tabla de valores de f y g.
Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 3.3 para calcular cada expresión
a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))
e) (g ◦ f )(3) f ) ( f ◦ g)(6)
�
Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 3.15, para evaluar cada expresión en los
casos que sea posible