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Nueva carpeta de matemática VI - Aique (3 Polimodal) - Alma Ninette López Hernández
Desafio PASSEI DIRETO
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:Cuademit1o s
5· Matrtcesy sistemas
de eroaciones lineales
f?ev.isión inidal
Matric;es
Operaciones con matrices
Alglitlas
les det-erminantes
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Méfelikl de G:auS.s
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ba: i;nsu..mG•
tl)at'i'1G:esceñ la:s. aéreas
Má'B actMdadi!s
G
Rewsián inigal
Gombina't0"(Ía
Qla;g'I@U:\.4 de árb0l y de
Permtttiaci:on.e§ y,.ya;y¡laetone:s
El.e
entr:e s;qe,eS0)
8esvra estándar
ut'la; aleatoria (ll'isere{a
'bir.tolffii'<tll
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Mues-trea 'de de lotes
la de les
Máft;
Au'tJoev:áJP.;(!leJ.Gi'l
Aetittidades iñteg,radofas
Cuadernillo 1
Respuestas a las actividades
de los ruademtllos 1 a 6.
•
CUADERNILLO 1
-
' .
.
1 .. F14;ndone.s éxponendate_s y lo.garítmicas !
' b . • . • . . . 1 J.n··zci.l'I: -_ .. ,, ........ .. -....................... .... 'l ........... ..... .-: ................... ... 4
El mo:délo ex:ponenoa) ..... .............. ·'"·············"" ..... '5
la f1;1:ndén e"xponanti.al .. : .......................... 6
de la f.c,uma{(x) == k . + b ..... , .. ,.,. ..... " .. 8
f,1LiJd0rl€S tle la fo;rma ffx) .;_k , :fiX .¡¡e .. , ........ : •• 9
:E'G:u..adórtes expo.neJ'lcjales ......................... ... __, ...... ,. ro
Logaritme:s: ..... !' ••••••• ... ....... ............ .:. ... . . ............ ., .. . ...... · • ••• ....... i ........ "Jt2
L9gatitm.P.s y fo:garlt111:Qs naturales. .......... 13
Prop,iedacl:es. de .............. : ........... :." ... , ...
Sistemas. de ecua.ciones. ..................... .......... .............. 16
'La fun.c;l·Q--n · :1 qg.a:ritm i'ta ... ........ ·-· .. .... -; ........... -. ........ ···!· ... .••.• 1J
f"tl'J:'lci0nes d€:1 tipa f{x) = + 1:8 .... ,. ............... ti
fll modelo loga:rftrrfico .. ..... ........ ............... . .
, ..... .. ·······;f··, ..... .-; ... v -···:. •••• , ao
Sumq_ de Ios.primel'es n términos
. .
d , , .,..,. At e una geom-e nca ....... _., ....... _ ........... ....... 2l'
MGdelas de. cmKimieBt€> ge0métriGe .................. , ...... 22
1'\l'ociórt tl'e lítflite de v,;Aá su cestón ......• , ...................... rz3
.t:J e .... A •• ....... ... ..... ........ ••• .: •• - . 24
_En ·eJ 'fYJUp tjeJ: real ·_ ........... .._ .... :-._._.. ... ; .!' ••• : .................. ...... : ....... ..... .t·•• 2:.5
ta.s ffi;nCfon:es y l0s GákulO:s
fjn_aJlci.eros .......... ......... _ ....................... ....... ,(;" ..... 25
las furrciones.logarítmtcas y
}a& qu}micas .................................... ., ..... 26
Md s ......... ,..; ..................................... _ .. · .-... . . , ..... ; ... . '2..7
A ut,oevarlua.t2ión .... , ............ ..... !1 •••• .-. ••••• 1 • ••• _ ••••••• ······-· -- · ••••• .3·0
,.
-
En fenómenos tan dbrersós como el trecimiento
dem_ográflco, la desin·te;gradón y la r-e:producción
de bacteria-s, se magnitudes que-v,arian con u·n - .
Titmo muy acelerado, _prod.udendo aumentes c:r
-decre-dmientos muy rápidos, acordes con un modelo
- - .
expresado per una fun.ción Uamac.la exponenciaL
Por el co.ntrario, las (ogatitmléas, qu:e :son las
-
.,
inversas de las muy lentamente, ·por
lo .. cual proporcionan escala-s numérica.s adecuadas para
medir y representar fen_ómenos naturales que involucran
,cantidades muy grandes o muy péqueña$, cC,rno la
intens:idad--de IEIS movlmieotos sísm.icos o la (On(e·ntradón
de partículas en una
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El mo_de·to exponencial
-•
([l -En -la ·actilalidad, la m ayoría de las finan-
cíeras trabajan dando un sobre los de-_
pósitos. Sintétiqunente, .esto significa que los intereses
se acoplan al capital y también generan intereses.
'
El .caso qú"e vamos a considerar es un banco que oto=rga
en. forma tal que el capjtal depositado se dupli-. -
ca al cabo de. cada_ año transcunide,
Supongan que. upa persona deposita· $1 en este banco y
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que n o hace ningú¡,I retiro.
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tabla y: realicen el gráfico corresflendiente .. -
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Encuet?:trén una qae permita calcular el din ero acumulado D funoión - - -
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(!} quj¡nícas que en cgndiciones de :gJ;esióny tem;per&tu:rá se
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me11. por hora.. . . ,
2J· Ia-sfgtl.ieúte falJla y -reaiken· él gráfico correspon<fienté. ·
1
4 2 •
EJ;J:ruentrenurra expresión-.que reladone: el volumen
del liquido V con el tiemp9 t:ra:nsc_¡;un:ido t,. _
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¿Qué-- volumen d,e'-líq>utdo qliedaFía mego de un día . -. · ·t · o2 - -en er. . ...... , ... •1• . ......... t •• · ••••••• ¡ •• ···#··· ··- ··. •.•• •·•·• ••••••• •• • ······fT!··--· ... .•.............. ,
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•
La función exponencial
(IOJ Consideren la funciónf(x) = 2x, cuyo dominio es IR.
Completen la tabla de valores y grafiquen la función .
:: :: = 1
.
-
Observen el gráfico que h icieron y contesten a las preguntas.
• •
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J
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1 .1
1 1
1
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X
l. ¿Cuál es el conjunto imagen de f? .. ...... .......................................................................................... ...... ... .
11. if es creciente o decreciente? .................................................................................... ................................... .
1
III. ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál? .................................................... ·
:rv. ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál? ........ ............................................... ..
V. ¿Qué ocurrecon la gráfica de j{x) cuando x toma valores positivos ((muy grandes"?
• ••••••• ••••• ••• •••••• •••••• • •• •••• • ••••• ••••• •• •• ••••••••••• •••••••••••••••••••• •• • • ••• •• ••••••••••• •• •• • •••• ••• ••• •••••• ••• ••• • •••••• •••• ••• ••••••• r• •••••• ••••• • •••••• ••
VI. ¿Qué sucede con la gráfica de j{x) cuando x toma valores negativos cada vez menores?
Para leer y recordar
• Llamamos fundón exponendal a toda función cuya expresión sea de la siguiente forma:
f(x) =k. ax (k E IR; a E R; O; a> O; 1)
• El dominio de estas funciones es IR. Al representarlas gráficamente, se obtienen curvas crecientes o
decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de abscisas como asíntota horizontal.
• Recordemos que una asintDtD es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a utocarla".
(11) Representen estas funci<?nes en el mismo sistema cartesiano: j{x) = 2x; g{x)- = ( t r; h(x) = 4x;
m(x)= -4x y completen las frases.
1
• Las gráficas de f y g son simétricas <::on respecto •
.
-
al eje ................... .......... Las gráficas de h y m son
. ' . s1metricas .................................................................. .
• Las funciones .............. _son crecientes y las fun- o
dones -................. son decrecientes.
.
1 -
--
(l2J Construyan las gráficas de las funciones fix) = -3 . 2x y g(x) = 2 . (t r. _ ..::
Indiquen para cada una conjunto imagen, puntos de contactó con los ejes y sfp_gn crecientes o
decrecientes.
(13) Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y sus respuestas en
los casos en que sean falsas. -
5!.) La función fix) = ( x es creciente. •
La fuq.ción fix) = -4 x tiene una asíntota horizontal que es la recta de ecuación y= O.
Todas las f1,1nciones·del tipo fix) = d, con a> 1, cortan .al eje x.
Todas las funciones del tipo fix) = d, con O< a< 1, son decrecientes.
(íiJ Encuentren la fórmula de la función exponencial fix) = k . d que cumpla con las condiciones
pedidas en cada caso.
5!.) Pasa por el punto (O; 3) y a = .
k= 0,001 y pasa por el punto (3;· 1).
a =fy corta al eje de las ordenadas en y = 6.
[15) Un capital de $10 000 se deposita en un banco que paga un 1% mensual de interés compuesto.
Escriban la expresión que relaciona el capital acumulado C con la cantidad de meses transcurridos t
¿Cuánto dinero se logra acumular luego de un año?
(16) En cierto cultivo se reproducen bacterias que se triplican diariamente. Calculen cuántas.habrá
al cabo de cinco días.
Si inicialmente hay up.a bacteria._
Si se comienza con 500 bacterias.
•
Funciones de la forma f(x) = k. ax + b
(17) Observen detenidamente los siguientes gráficos,
que corresponden a funciones del tipo j(x) = k . ct + b
y completen el cuadro.
(18) Indiquen cuál es la fórmula que corresponde a
cada gráfico.
X • J2 (x) = -2 . 5 - 1
. ( 1 )X • !3 (x) = 2 . 5 + 2
X
• f4(x) = -2 . ( i) 2
••••••••• • •• • •• • •••• • •• •• • ••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• •••• •••••••••••• •••••••• •
••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• ••••••••••••• • • •••• •••••••• ••• ••••• •• ••••
•• ••• ••• ••• ••••••••• •• •• •• •••• •••• •• ••••••••••• ••••••••••••••••• ••••••••••••••• ••••••••
1
g
-
-
-
b
-
. -
.
.
-
1 -
d
·-- 2 -
' l
[19) Unan con flechas cada función con su respectivo conjunto imagen.
d(x) == 10x + 2
l.v .,
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h
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h(x) = -0,1x- 1
Funciones de la forma f(x) = k .
(20] Sabiendo que la función graficada en color negro corresponde a f(x) = zx, indiquen cuál, entre las
fórmulas, es la que corresponde a la curva de color en cada caso.
1
X l. y= 2 + 2 x+1 111. y= 2
X 11. y= 2 - 2 Iv. y= 2
X- 2
-
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• 1
Para observar
A partir de una función exponencial de la for-
ma y = k • ax se puede representar gráficamen-
te otra de la forma y = k . ax +e desplazando la
gráfica hacia la derecha o hacia la izquierda,
según corresponda.
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x+2 V. y=2 -1
X- 2
VI. y= 2 + 1
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1
Ecuaciones exponenciales
(21) Unan con flechas los pares de expresiones equivalentes.
r 2x " 2
"' ..1
2x 1_ . 2
(22} Transformen cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l' l 6x-2 2x+ 3= :::J 1 . 8 ..... ....... .................... .. ...... .
b J 3 -x • 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . d J 5 2x + 2 • 2 53 - x • 12 5x = •...•..•.•..... •.......... . ..
(23) Resuelvan las siguientes ecuaciones y comprueben las soluciOnes obtenidas.
4x = 1 .5!J gx + 1 = 3 .9J 2x + 2x =4 -
4
2x + 1 = 8 4x . 2x + 1 = 1 l!J 1 • 3x + 3x = t .
9 • 3x = 27 .fJ 2 7 • 3x + 2 - 1 =O i.J 5x + 5x + 1 .... 6 = O 25
•
/ Para observar
Decimos que una ecuación es exponencial cuando contiene a la incógnita en algún exponente.
Observen dos ejemplos de cómo se pueden resolver.
1024 = 8 • 2)(
10 = 3 +X
x = 7
Planteamos la
igualdad entre
los exponentes.
3x + 3x + 2 = 10
3
3x + 3x • 32 = 1f
3x • {1 + 32) =
3x • 10 =
3x = 10
3x :.!
3
Expresamos el
segundo miembro
----+) 3x = rt
como una
X= -1 potencia de 3.
{24} Completen para que se verifique la igualdad.
4 = 64
- 2
- 1 - -
4
3 = -8 3 • 2 = 54
!) (- 2) . (-1) = -16
2 • = 128 . 2
(25) Transformen cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia.
4x --
g 2x+3
....................................................................................................................................
273x-2
81x •• • •••••••••••••• • •• • • ••••••• •••••••••••••••••••• •• • • •••• •• • • •••• •••• •••••••• • •••• • ••••••••••• ••••••••• •••• • •••••••••••••• ••••••
e J 16x + 5 : 4 - 2.x - 4 • 3 2x - 2 = . ... .... . . ... . ................... .. . . . ..... ..•........•.......... ...... . ............... ..... . ........ ........
{26) Un cohete es disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
de 16 km/h. En el primer cuarto de hora, la velocidad se va duplicando por mi-
nuto. Calculen cuánto tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 512 km/h .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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(27) Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones obtenidas.
!) 27 • 3 2x+3 = g 3x
.fJ 2- t+ x = 1 16
hJ 3 3x -1 - 1 = O
[28] Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones obtenidas.
4x +l
---"------ 2 56 = o 23x- 2
gx + 2 : 3x + 1 • 3x = 1
(Ayuda: en el item !!.), pueden plantear una ecuación de segundo grado si reemplazan 5x por z y 52x por z2}.
Logaritmos
Para leer y recordar , 1
• El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado número a se llama logaritmo de
ese número en esa base.
Es decir que bx = a x = log0 a
(donde a y b son números reales, b > O, b 1, a > O)
Por ejemplo: log2 16 = ·4, porque 2
4 = 16
log3 .1 = -2, porque r 2 = .1
9 9
2X = 3 2 X = fog 2 3 2 ::::::> X = 5
log2 X = 3 =;. X = 2
3 =;. X = 8
{29) Calculen los siguientes logaritmos cuando sea posible y verifiquen los resultados que obtengan
aplicando la definición.
a J log 4 6 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f J Log 4 O, 5 = ................................................ .
b J lag 2 Y2 = .. .. ...... . . ... ... . . . ... . . ..... . . . . . ... . . . . ... . .. . . . . .. .. Lag 10 O, O 1 = ....................................... ... .... .
.E) lag3 1 = ....................................................... h) lag2 (-4) = .................................. ........... .. 9
dJ lag v'3 9 = .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. .. .. . . i J lag 3 O = ............. . ................ . ... . ..... .......... ..
.
e J lag 6 1 = . .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. jJ lag 7 7 = .................................................. ..
Analicen los ejemplos y la definición, y respondan a las preguntas.
¿Por qué se establece que el número a debe ser positivo?
¿Por qué se establece que el mí mero b debe ser positivo y distinto de 1?
[31] Completen las siguientes expresiones teniendo en cuenta que bes un número real positivo dis-
tinto de l.
lagb b =
lagb 1 =
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
.E) lag b ( ) = .............................................. ..
• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
eJ lag b == ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••
f J lag.,¡¡; b == ........................................................ .
con flechas cada ecuación o inecuación de la fila superior con su correspondiente solu-
ción de la fila inferior.
( tog2• a= o)
( o<a<l )
( log2 B >a)
e a=2 ) e: = 1 )
Logaritmos decimales y logaritmos naturales
Para leer y recordar
• Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo dedmal y se puede escribir log, sin indicar la base.
• Si la base es el número e (e = 2,718 •.. ), se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se escri-
be In. La denominación 11neperiano" es en honor a John Neper (1550-1617), matemático escocés a quien .
se atribuye el .concepto de logaritmo.
• Tanto los logaritmos naturales como los decimales pueden obtenerse con una calculadora cientifica.
(33) Usen una calculadora científica.
!!J Utilicen las teclas C!2i) y [§] para obtener los siguientes logaritmos (redondeen a los mi-
lésimos).
l. -lag 9,8 = •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• V. ln 2,5 = • ••••••••••• •••• ••••••••••••••••••••••••••••
11. Lag 9 8 = ................... ........................ . VI. in 2 5 = .......... . . .......... . ..................... .
111. lag 980 = ..... ..... ........... ............. ....... . VII. ln 2 5O = ...... ........ ............................ .
N. lag 9 8 O O = ............................ ...... ......... . VIII. ln 2500 = ...................... -................... .
Analicen los valores que obtuvieron y enuncien alguna conclusión.
••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••• ••••••••••••••• • •••• •••••••••• ••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• ••••
(34) Calculen mentalmente.
a J log 1 O = .................. ..... .. . lag :Y 100 = ........................ . e J Ln Ve = ....... ...................... .
lag 0,001 = ................... .. d J ln e = ......... ... .. ................... . fJ ln ( ! ) = .... ....................... ..
.
(3$) La mitad del logaritmo en base 3, del consecutivo de un número entero, más 6, es 7. ¿Cuál es
ese número?
(36) Apliquen la definición de logaritmo de un número para resolver las siguientes ecuaciones y
luego verifiquen las soluciones que obtengan.
lag3 x = 4 lag3 (x + 2) = 2 lag12 (2x - 6) + 3 = 3
lag2 ( ) = x 2 . lag 4 x = - 4 fJ -3 lag3 X2 - 8 = -14 •
(37) Resuelvan las siguientes ecuaciones. Tengan en cuenta que la notación logb2 a significa
2 (lagba) .
4 - lag (x2 - x + 4) = 3
Propiedades de los logaritmos
Para leer y recordar
• Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean positivos) :
• Logaritmo de un producto
Log, (a . b) = loge a + loge b
• Logaritmo de un codente
log e { .!j; } = log e a - log e b
• Cambio de base
log a log a= n
e logn e
• Logaritmo de una potenda
loge ab = b . loge a
• Logaritmo de una raíz
LogeVa = log, a
• La propiedad de cambio de base permite transformar un logaritmo dado en
derta base en otro logaritmo expresado en otra base que resulte más con-
veniente; por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científicas.
(38) Resuelvan aplicando las propiedades de los logaritmos y sin usar la calculadora.
lag 2 ( 8 . 3 2) = ..... . ........ . . .
lag 3 ( 2 7 . li) = ..... ........ .
lag 4 64 6 = ....................... .
lag ( 10 : 0,01 ) = .. ... . . .. ••..
0,001
• •• • • •••• ••••••• • ••
(39) Apliquen un cambio de base que resulte conveniente para obtener los siguientes logaritmos
con una calculadora y anoten los valores redondeados a los milésimos.
a J lag 2 18 = . .... •.. .... . . ... . . . .. lag 3 100 = ..................... .
@ Hallen el valor de A teniendo los siguientes datos. A =
lag u = 2,5.
[41] Sabiendo que lag m = -2, calculen lag
[42) Encuentren el valor de x.
(m.Vm)
Lag0,1 25 = ......... ..... .. .... .
; lag m= 0,5; lag a= - 1,5;
•• •••• • ••• •• •• • • • ••• • • •• ••• • • •• ••••• • •••• X = 310g3 9 .. .. . . .. ..... .. .......... .. . ... .. . ..... .. .
b) X = 10 /og 1000 . .... .. . ............................. . ... . d) X = a tog o b •.... . •. • ... .. .•.... . ........•......•.. . . . •
(4.3) Sabiendo ql.le el log 2 = 0,301, hallen aproximadamente los siguientes logaritmos sin usar la
calculadora.
OJ lag 25 ::;: .................... , '! ••• Log 0,08 = ........................................... .
b J log 16 = ........................... .. .... , . , .•... , , , , . . . d J log 6, 4 = ................................................... .
{4j) Si loga h = m y logb h = r, escriban en función de m y r las siguientes expresiones:
a J log a b = ......... . .............. ................................................. .............................................. .
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ! ••••• " •••••••••• " •••••••••••• .•••••••••••••••••••••
(f5J ¿Qué relación debe existir entre m y r para que se verifique log m+ log r = O?
···· ··· ························· ··· ········· ······•• t•·································· · ···· ·· ···!••·· ··························· · ········ ······ ······· ·· ·· ····.······
Demuestren las siguientes propiedades:
log m (a . b) = log m a + log m b
@7) Apliquen logaritmos para resolver las siguientes ecuaciones (utilicen la calculadora para obte-
ner los logaritmos y aproximen las soluciones redondeando a los milésimos, cuando sea necesario).
(4.8) Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones que obtengan.
logx 27 = 3 fJ log x - lag 3 = 2
log ( -x + 5) = 2 9) log2 (8 . x) + log2 (4 . X2 ) ;: 8
2
log x - log 17 = O !!J log5 (x + 12) - log5 (x+ 3) = 1
log8 (3 - 2x) = O • !) log (x - 8) + log (x - 2) = log ( - 8 - x)
!.) log 3 x = 5 . log 3 2
{i?) Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones que obtengan.
log2 x - log8 x = 1
(log5x) 2 - 2 • log5 x .,.. 8
2 . log ( -1 + x) = -4 ° + log (x + 8)
log2 3x+t + 1 - log2 (3x + 45) =O
¿Cuál es el número cuyo logaritmo en base m es 2 y en base ';: es 3?
Sistemas de ecuaciones
,,._ __ _, ., Para leer y recordar
Observen una de las formas en que podemos resolver un sistema de ecuaciones exponenciales.
• En cada ecuación buscamos
expresar todas las potencias
en la misma base.
4x - y=40
3x +y = 32
• Obtenemos un sistema de dos ecuaciones Hneales.
• Resolvemos este sistema.
x - y=O
x +y=2
• Verificamos.
41-1=40=1
) y=x ---+) x=2-x
y= 2 - x 2x = 2
• En cada ecuación
planteamos la igualdad
entre los exponentes.
X= 1
y=1
x-y=O
X+ y= 2
{51] Resuelvan los siguientes sistemas y verifiquen las soluciones que obtengan.
3x+y- 1 =O 2x-y = 4 9Y : 3x = 2 7
3
2x-y _ _1_ = O
8
2x + 2Y = Í
2
2x - 4Y = -14
.,
•••••••••••• • • • •••• • • • • • • • • • • • ••• • • • • •••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• •• • •••••••• •• •••• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................... .
•••••• •• •••••• •••••• • • ••••• • • • •••••••••••••• • ••• ••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• • • • •• ••• • ••••••••• ••• ••• • •• • ••••• •• ••••• • ••••••• ••• •••• • •• •••
O Encuentren los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades.
lag (x +y) = lag x + lag y
2x- 3 = .Y..
2
lag (x-y) + lag (x +y) = lag 44
lag 2 x + lag 2 y = 1
lagx 0,25 - lagx Y2-- -i-
La función logarítmica
(53) Consideren las funciones f(x) = log2 x y g(x) = log L x,
que asignan a cada número real positivo su logaritm6 en
base 2 y en base , respectivamente.
Completen la tabla y construyan las gráficas correspondientes.
2
Completen el cuadro.
Observen la gráfica y respondan a las siguientes preguntas:
l. ¿Cortan al eje de ordenadas? ¿Por qué?
11
J
o
1
- - -
1
1 1
• • •••••••••••••• •• ••••• ••••• ••• •••• ••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
11. ¿Qué se observa, en ambas gráficas, cuando los valores de x se aproximan a cero?
... .. ....... .. .... .. ... . ......... .. ... ...... ... ...... ........ o ......................................... . ....... .... . ....... .... ... ... .. .... . ...................... ..... . ..... .
111. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada función?
. .. ....... . ..... ... ..... ... ...... ..... .................................... o ............... .. .... ..................... .......................... .. ............ . ......... .
:rv. ¿Cuál es la relación gráfica que se observa entre ambas curvas?
........................................................ ..................... .. .......................................................................................................
.
Para leer y recordar
• llamamos fundón log.aritmica a toda función cuya expresión sea de la siguiente forma:
f(x) = Iogb x (x > O; b > O ; b ;.t 1)
'"---'
• El dominio de estas funciones son los reales positivos ( IR+) , y al representarlas gráficamente se obtie-
nen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de ordenadas como asintota
vertical
Funciones del tipo f(x) = logc (ax + b)
.. , ' 1 .. 1 . .,. 1
J
"" /
" f , (54) Los siguientes gráficos corresponden a funcio-
nes logarítmicas de la formaf(x) = log2 (x + b). / l/
En cada una, encuentren el valor de b; indiquen el do-
minio, el conjunto imagen y los puntos de contacto
con los ejes, cuando los tenga.
l55J En la gráfica está representada la función j{x) = log x.
-
.
L
1
1
fL V
7 ,/
0¡1
1
!L
/
V -, 1
A
.. ,
X
1
.
Sin hacer cálculos, tracen en el mismo sistema las curvas correspondientes a las funciones
g(x) = log(-x), h(x) = - lag x y j(x) = -log(- x ).
las gráficas de las cuatro curvas y respon-
dan a las siguientes preguntas:
1 T. l . d . . ? • ¿ 1enen e mismo om1n10. . ............................... .
11 T. 1 . . . ? • ¿ 1enen e mismo conJunto rmagen ................. .
111. ¿Tienen la misma asíntota vertical? ........ ........ .
-
¡,
¡&
o
, ...
¡,.
, ...
•
l'y
• '(X)
7 .::::::
.. '\o. _,
• X
1
(5d] Expliquen por qué, para determinar el dominio de una función del tipo j{x) = logc (ax + b), es
necesario averiguar para qué valores de x se cumple que ax + b > O.
{57) Consideren las funciones f (x) = log2 (x + 2) y g(x) = log2 (2x- 4).
Hallen el dominio de cada una.
Para cada función, construyan una tabla de valores teniendo en cuenta su dominio y realicen
el gráfico.
Indiquen la ecuación de la asíntota y los puntos de corte con los ejes para cada función.
{58) Indiquen en el gráfico cuál es la curva que corresponde
a cada una de las funciones y completen el cuadro.
lagx
-
a
7_, .:::::
1
1
- f
b
V
d
_'l ...
.. 1\ ...
-;;r
f
. ... 11
,. ... e
e
\
IC
-
::::1
"'
El modelo logarítmico
(59J Una manera de medir la intensidad de los terremotos es a través de la llamada escala de Richter.
Esta es una escala logarítmica de base 10, que responde a la siguiente fórmula:
M= logp
donde M representa el grado en la escala, y p indica cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmi-
ca del terremoto, en compara,ción con una onda de referencia correspondiente a una situación normal. Por
ejemplo, si el grado de un tenemoto en la escala de Richter fue mayor que otro en 3 unidades, esto quiere
decir que su intensidad fue 103 veces mayor.
En el año 1906, un terremoto en la ciudad chilena de Val paraíso tuvo una magnitud de 8,4 en la es-
cala de Richter. En 1960, en la ciudad de Valdivia, hubo otro sismo que fue de una intensidad 101.1
veces mayor. Calculen el grado de este terremoto en la escala de Richter .
..... .. ....... .. .... ........... .. ...... ................••........... ... ...... ............ ... .. . .... .. ..... .. . ............ ................•...... , .....•.. .................
•••••• • •••••••••••••• • •••••••••••••••••• • •••••••••••• • •••• ••• ••••• • •••••••• • • • •• •• •• • •• •• •••••••••• • ••••• • •••••• • ••••••• • ••••••••• • ••••• • •••••••• • ••••••••• •••• •• • •• •• •••
liiQ} La masa m(t) de una sustancia radiactiva que va quedando al cabo de t días se calcula con la
fórmula: m(t) = M . e -o,2 ·t.
Si la masa inicial M es de 38 g, ¿cuánta sustancia quedará, aproximadamente, al cabo de un año?
. ..................... . .. . ..... .. .... .... ............ .. .................. .... .... ..... . .. . .... . .. . .................................. . ..... . . .. .... .. ... . ..... !' .. ......... . .... _ ••••• "" '
¿Al cabo de cuánto tiempo la masa se habrá reducido a la tercera parte?
•••••• ••••••••• •••• ••• •• ••••• •••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •• •••• • ••• •••••••••••• • •••• • •••••••••••••• •• •••• •• •••• ••• •
Representen este caso en un gráfico aproximado.
••• • ••• • •••••••••• • ••• • ••••••• •• •••••• ••••••••••• • •••••• • •• ••••••••• ••• ••••••••••• •• •••••••••••••• •• •••• •• • •• •• •••••• • •••• ••••••• •••• •• •••• •••• ••• ••••••••••• • ••• • • • • • •••
(dl) Para la datación de restos arqueológi-
cos se utiliza el C-14 (carbono-14). Este isó-
topo radiactivo del carbono se desintegra
con una velocidad tal que su masa se reduce
a la mitad en aproximadamente 5 730 años.
Se encuentra un fósil y se calcula que cuan-
doestaba vivo contenía 2,5 mg de C-14. Al
realizarse las mediciones en los restos, se en-
cuentran 0,083 mg de ese isótopo. ¿Qué edad
aproximada tiene el fósil?
••••• ••••••••••••••••••• •• •••••••••••• •••••••••• •••••••••••••• •••••• ••• •••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••• • ••••• • ••••••• • • • ••• •••• ••••• ••• •••• • •• • ••••• • ••• • ••• • ••••••• • •••• •• •• •• • ••• • • ••• • •••••• •• ••••• •• •
Las sucesiones geométricas
Para leer y recordar
• Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto IN de los números naturales o un sub-
conjunto de este y cuyá imagen está incluida en el conjunto IR de los números reales.
• Cuando trabajamos con sucesiones, prestamos especial atención al número de orden n que le correspon-
de a cada una de las imágenes, y a estas las llamamos términos de la sucesión.
• Los términos de una sucesión siguen una "regularidad" o "ley" que la caracteriza, que, en muchos casos,
se expresa algebraicamente mediante una fórmula a la que llamamos término general o término enésimo
de la sucesión.
Observen en el siguiente ejemplo la notación que utilizamos para trabajar con sucesiones.
Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2.
81 = 3. 1 + 2
. S
• Una sucesión geométrica es una sucesión numérica en la cual cada término se obtiene multiplicando por
un valor constante (sir> O y r 1), llamado razón, al término anterior.
a2 = a1 • r
a3 = a2 . r = al • r • r = al . r
a4 = a3 • r = a1 • r . r = a1 • f3
--+
--+
a2 = a1 • r
a3 =al . r
a4 = al . f3
1
n - 11__3.. Fórmula del término general de una an =al.
sucesión geométrica.
• Toda sucesión geométrica puede asociarse a una función exponencial cuyo dominio está incluido en IN y
cuya imagen está incluida en IR.
Despejen cada una de las variables en la fórmula del término general y completen.
(} = .............. ............................. . r= ····•··· ........ ... ······ n= . ·-· •·· ................. .-· ..... ·-·· ........ ..
(63) Sobre la base de la información dada, analicen si cada una de las siguientes sucesiones es o no
una sucesión geométrica. Para las que-lo sean, calculen su razón y escriban la fórmula del término
general.
3; 6; 12; 24; 48 ... 1 2. 3 . 9 . 27. 81 ::..; ' 2 , 8 , 32, 128 ...
-1; 2; -4; 8; -16 ... 3; 6; 24; 192; 3072 ...
(64) El primer término de una sucesión geométrica es 4 y su razón es 2. Hallen los cinco prime-
ros términos.
Suma de los primeros n términos
de una sucesión geométrica
(65] Analicen si existe una única sucesión geométrica tal que la suma del primer término y el terce-
ro sea 20, y la suma del tercero y el quinto sea 180.
Luego hallén los cinco primeros términos de la sucesión o las sucesiones que cumplan con estas
condiciones.
Para observar
Con-sideremos una sucesión geométrica de razón 3, cuyos 5 primeros términos son estos:
2; 6; 18; 54; 162
Podemos calcular la suma de estos 5 términos, haciendo lo siguiente:.
5
S5 = 2 • 1 - 3 ==;> S = 242 1- 3 5
Para sumar los primeros n términos de cualquier sucesión geométrica, podemos aplicar la siguiente fór:mula:
donde r es la razón.
_ 1 - rn
S n - a 1 • ....;;1;.__
- r
(66) Los datos de cada fila de la siguiente tabla corresponden a la misma sucesión geométrica. Com-
pleten los que faltan.
4
lS 5 -9
4 Q,jj
•
·6,2·
-8
(6'7) En un prisma rectangular de 216 cm3 de volumen, tres aristas distintas forman una sucesión
geométrica y su suma es 21. Encuentren las dimensiones del prisma.
QO\ 1\ 1\ En un cuadrilátero ABCD, D = 9B y todos los ángulos interiores forman una sucesión geomé-
trica.¿Cuánto mide cada uno de ellos? ¿Qué clase de cuadrilátero es?
•••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••• •••••••••••••••••••••••• •• •••••• •••• ••• •• •••• ••• •• • ••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• •••••••••••••••••••
Modelos de crecimiento geométrico
G;s9J En las transacciones financieras, se llama interés
compuesto al interés que se calcula teniendo en cuen-
ta tanto el capital inicial como el interés acumulado en
períodos anteriores al considerado. Un capital inicial
Ca = $100 se deposita en un banco que otorga un 5% de
interés compuesto mensual.
Completen la siguiente tabla, que relaciona el tiempo del
depósito con el monto obtenido. Recuerden que llama-
mos monto a la suma del capital inicial y el interés.
100 + 100 . 0,05 = 109 . (1 + 0,05)
100 . (1 + 0,05) . (1 + O,Oi) = 100 . (1 + Oc.r05)2
100 . (1 + 0,05) 2 • (1 + 0,05) = 100 . (1 + 0,05)3
105
110,25
(70) Tomen como referencia la tabla de la actividad anterior y completen las siguientes frases:
Si se depositan $100 durante 5 meses al5% de interés compuesto mensual, el monto acumula-
<iC> == ... .. ..... .. ..... ... ... ...... ..... .. ......... .. ...... ....... ......... ...... ... .... ..... ... ............ .. ......... ... ... .. .... ... .... .... .... .
Si se depositan $100 durante 12 meses al5% de interés compuesto mensual, el monto acumu-
lado es = ...................... ........ . ...................... ....................................................... .......................... ...... .
,S) Si se depositan $100 durante n meses al5% de interés compuesto mensual, la fórmula que sir-
ve para calcular el monto acumulado es ..................................... ..................... ........ ............. -.......... .
!!,! Si se depositan $100 durante 12 meses al3% mensual, el monto acumulado es ....................... ..
!) Si se depositan $100 durante n meses con un interés compuesto
mensual i, la fórmula que permite calcular el
monto acumulado es ..... .. ......................... ........ .
.f.J Si se deposita un capital inicial Ca durante n ·.
meses con un interés mensual i, la fórmula que
permite calcular el monto acumulado es ............ .
"' "O ·-.e ·-..e
2
¡:!..,
..:t:
en ...
.9 ·-ci1
o c.
2
<.:>
1!)
;:::
O"' ·-..:t:
©
Noción de límite de una sucesión
(71) Observen las siguientes figuras:
1 2 3
i ' ' ' '
e '
1 l
. . . 1 ; ,
4
Considerando que el área del cuadrado mayor es 1, completen el siguiente cuadro:
1 2 3 4
Las áreas de los cuadrados lisos generados según este procedimiento, forman una sucesión
geométrica. Indiquen su razón y su término general.
Seguramente pueden imaginarse que, si seguimos generando cuadraditos cada vez más chi-
quitos con la misma regularidad, el área del cuadrado liso "tiende" a acercarse a un valor. ¿Cuál
es ese valor?
(Z2} Consideren las mismas figuras de la actividad anterior, pero piensen ahora en la sucesión que
forman las áreas de las figuras rayadas.
Completen el siguiente cuadro:
1 2 3 4
¿Se trata de una sucesión geométrica? ¿Por qué?
E) ¿A qué valor tienden a acercarse las áreas a medida que se toman valores de n cada vez mayores?
Para leer y recordar
Cuando en una sucesión ocurre que, a partir de un cierto valor de n, los términos se van acercando a un
número determinado L, decimos que la sucesión tiene limite y que su limite es L.
Por el momento, no calcularemos, definiremos, ni demostraremos formalmente las propiedades de Los li-
mites de sucesiones. Sólo trabajaremos con algunos aspectos relacionados con este concepto, que se pue-
den abordar a partir de Las regularidades numéricas que observamos y de La posibilidad que tenemos de
conseguir muy fácilmente listados de valores con la ayuda de una calculadora cientifica.
El número e
[73) Consideren la sucesión cuyo término general es an = ( 1 + .ft)n .
.5!) Encuentren con ayuda de una calculadora científica los términos que se piden en la siguiente
tabla. (Anoten todas las cifras que aparecen en el visor).
---.- ---------=----:
. .
u :m ': '1• , Jlllllllill':t · ¡ ,!:;, 1 · , tktll '?l =ee+
1 r
p¡ .... !t:S't!iC e•p' 1 ¿a¡ j $•! '3 1 e¿ IS'fti+F *% .. ¡;::;;;=-
!!J Observen los valores que obtuvieron y respondan a las preguntas.
1 ·L . . ? . . l a suces1on es creciente. .................................................................................................................... .
11 · L . . lí . ? · P • ¿ es parece que esta suceswn tiene mlte. l or que ...................................................................... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' .................................................................... ...... .......................... .
Obtengan un valor aproximado del número irracional e utilizando la función f! de una calcula-
dora científica, y anótenlo con todos los decimales posibles. (En muchas calculadoras se consigue
pulsando [!] [(shittl [El [B ) .
e = ................................................................................................................................................................... .
Comparen los términos de an hallados con el número e y enuncien alguna conclusión .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para leer y recordar
El número e es un número irracional muy importante en Matemática. Se lo utiliza muy frecuentemente
como base de funciones exponenciales y logarítmicas, y aparece en muchas fórmulas matemáticas rela-
cionadas con la Fisica, La Quim1ca y la Economia.
Si continuáramos calculando términos de la sucesión de término general ( 1 + -Á-r para valQres de n cada
vez mayores, nos iríamos acercando al valor exacto de e, es decir que el número e es el limite de esta sucesión.
(ZiJ Confeccionen tablas de valores con la ayuda de una calculadora científica y hallen cuál es el lí-
mite de cada sucesión.
b 1 n 1--n
1 2n 1 +-n
Las funciones exponenciales y los cálculos financieros
En el sistema financiero se utilizan con
mucha frecuencia cálculos exponenciales y
logarítmicos.
Las entidades bancarias o financieras pres-
tan y reciben dinero de usuarios o empre-
sas. Los intereses asociados a esas transac-
ciones se pueden calcular, según el criterio
que se establece en las condiciones de cada
operación, de diferentes maneras: en for-
ma simple, compuesta o continua.
En el caso del interés compuesto, los intere-
ses se van incorporando al capital al cabo
de cada periodo de capitalización y, a su
vez, generan intereses.
La fórmula que se utiliza comúnmente pa-
ra estos cálculos es la siguiente:
donde c1es el capital final o acumulado, C0
es el capital inicial, res la tasa de interés y t
es el tiempo, expresado en las mismas uni-
dades que se utilizan para indicar la tasa.
(75) Se deposita un capital de $25 000 en un banco que ofrece una tasa mensual de 0,5% de interés
compuesto.
Completen las siguientes oraciones:
5!J La expresión que relaciona el capital acumulado con el tiempo (en meses) es ........................... .
b J El capital acumulado luego de un año es ................................................................................. ......... .
Para llegar a acumular $26 278,50, el depósito debe permanecer ............ .......................... meses.
Si el depósito inicial se hubiera realizado en otro banco que ofrece un 0,6% mensual de interés,
al cabo de un año se habrían acumulado $ ............................................................................................ .
• ·- - - - -· • - - ..:::: ... --- -:- ...... "1.:. •
Las funciones y las • • qutmiC._,..!CIS
El grado de acidez de una solución química se expre-
sa mediante una magnitud llamada pH (significa po-
tencial hidrógeno; se lee pe hache), que indica la con-
centración de iones hidrógeno (H+) en la solución.
El pH se define mediante la siguiente fórmula:
pH = - log [H"]
donde [H+] representa la concentración de iones hi-
drógeno por litro de sustancia, indicada en moles
por litro.
El agua pura, por ejemplo, es una solución neutra y
tiene un pH = 7. Cuando el pH de una sustancia es
menor que 7, decirnos que es ácida; si es mayor que
7, decimos que es básica.
(76) Se analizan dos muestras de agua extraídas de los desagües A y B de una fábrica. La concentra-
ción de [H+] de la muestra A es de 10--4 moles por litro, y el pH de la muestra B es de 4,699. ¿Cuál de
las dos tiene el1nayor grado de acidez?
•••••••••••• • ••••• •••• •••• • •• • ••• • ••••••••••••••••••• • ••••••• • •••••••••••••••• • ••••••• ••• ••••••• • •••• •• ••• • •• •• ••••••••••••••••••••••••••••• • •••• • ••••• • • ••••• • •••••• •• • •
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ..
(7:lJ En la etiqueta de los envases de muchos
productos, especialmente en artículos de
perfumería y limpieza, se informa el pH de la
solución.
Busquen en sus casas y en los supermerca-
dos, y confeccionen una lista de diez productos
con su respectivo pH, en orden creciente se-
gún su grado de acidez.
[18) De una determinada sernílla nace una
planta. De esta planta se obtienen 5 semillas
-
nuevas. De ellas nacen sendas plantas que, a
su vez, dan 5 semillas cada una, y así sucesi-.
vamente. Llamaremos "generación cero" a la
primera semilla.
¿Cuántas semillas corresponden a la ge-
•
neración 6?
Llamen m al "número de generación" y
escriban una fórmula que permita calcular la
cantidad de semillas en función de m.
Busquen ahora una fórmula que permi-
ta expresar la cantidad de semillas corres-
pondiente a la generación m, pero suponien-
do que la generación cero está compuesta
por 8 semillas.
fZ?J Se tiene una muestra de 128 gramos de
una sustancia radiactiva (torio-234), cuya
masa se reduce a la mitad en aproximada-
mente 24 días.
Calculen la masa aproximada que que-
dará al cabo de 100 días y al cabo de 200 días.
el tiempo -aproximado-que ha-
brá transcurrido cuando queden 2 gramos.
(80) En un zoológico, un veterinario que de-
be medicar a una cebra enferma prescribe las
siguientes instrucciones:
•El medicamento debe ser suministrado
durante 1 O días.
• El primer día, la dosis debe ser de 200 ml.
• Cada día subsiguiente se le debe sumi-
nistrar t de la dosis correspondiente al
día anteríor.
¿Cuál es la dosis indicada para el octavo día?
¿Cuántos ml se le habrán dado luego de
5 días?
Escriban la fórmula de la función que
relaciona el número de día y la cantidad
de medicamento inyectado por día, y gra-
fíquenla en forma aproximada.
(81) Grafiquen las siguientes funciones e in di-
quen, cuando sea posible, el dominio, el con-
junto imagen, la ordenada al origen, los ceros,
y la asíntota de cada una .
f(x) = -Log2 (-3 . x + 9)
= ( 1 r- 4
f(x) = - 4x + l
4
Ü Grafiquen cada uno de los siguientes pa-
res de funciones en un mismo sistema. Indi-
quen la ecuación de la recta con respecto a la
cual son simétricas.
f(x) = 2x - 2 y g(x) = -2x + 2
f(x) = 3x- 3 y g(x) = ( 1 r- 3
f(x) = Log3 (x + 3) y g(x) = Log3 (-x + 3)
O Resuelvan las siguientes ecuaciones:
(4x- 256) (3x-l - 27) =O
(6x+2- 6) (22x + 1.6) =O
Log5 (x + 4) - 2 . Log5 (x- 2) + 1 = 4°
4 + 3 . ( t r = ( 4 -l r
!) LogV2 x + Log4 (3 . x) = 2 • log2 x + t
(84} Resuelvan los siguientes sistemas de
. ecuacwnes:
ln y = 2 . ln 2 - ln x
2 . log3 (x + 1) - log3 y = O
logx + 1 (y- 3) - 1 = logx + 1 x
(85) Indiquen si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas. Justifiquen aquellas que
sean falsas.
La función f(x) = log2 (x + 1) es decre-
ciente.
La funciónf(x) = (x + 1) es creciente.
La función f(x) = log 2 (x- 4) corta al eje x
en el punto (5; 0).La funclón f(x) = 2 . log2 (x + 2) corta al
eje de ordenadas en el punto (0;. 2).
!.J La funciónf(x) = log2 (-x- 2) no corta al
eje de abscisas.
(86) Se estudia el comportamiento de la con-
centración de una solución química sometida a
distintas temperaturas y se comprueba que ese
comportamiento responde a un modelo expo-
nencial.
Para una temperatura de 2 oc, la concentra-
ción es de 9 unidades, y para una temperatu-
ra de 4 oc, la concentración asciende a 20,25
unidades.
¿Cuál es la función que relaciona la tem-
peratura y la concentración?
¿Cuál es la concentración a 6 oc?
¿Es cierto que la concentración aumenta
en forma directamente proporcional a la tem-
peratura? ¿Por qué?
5!J ¿A qué temperatura la concentración será
de 1,125 unidades?
!) Realicen un gráfico aproximado de esta si-
tuación, para temperaturas entre -3 oc y 4 oc.
(88) Julio trabaja en una empresa. Su contra-
to estipula un sueldo inicial de $900 al mes y
un aumento pautado en un 0,3% mensual.
Escriban la función que relaciona la anti-
güedad de Julio en este trabajo (en meses) y su
sueldo (en $) .
¿Cuánto ganará al cabo de dos años y
medio?
¿A partir de qué mes su sueldo superará
los $1000?
Un grupo de entomólogos estudia el
comportamiento de una plaga cuya población
crece según la expresión p(x) = 1 + 3 . ex, don-
de p (x) representa el número de miles de in-
sectos y x, el tiempo transcurrido, en meses, a
partir del comienzo de la investigación.
Realicen una gráfica de la función p(x).
¿En cuánto tiempo, aproximadamente,
se duplicará la población inicial?
¿En cuánto tiempo, aproximadamente,
se cuadruplicará la población inicial?
(87) Al estudiar la tasa de crecimiento de cier- Un cierto cultivo de bacterias crece, con
ta población a partir del año 2000, se observa ficiente alimento, según la función N= 1500. 6!.1),
que responde a un modelo exponencial de la donde N es el número de bacterias y t el tiem-
forma: P(x) = 10000. l ,02x, donde x representa po transcurrido en horas.
al tiempo en años y P(x), el número de personas. ¿Cuántas bacterias habrá después de 4
¿Cuántos individuos había en 2000? ¿Y horas?
en 2004? ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha-
¿En qué año, aproximadamente, lapo- brá transcurrido cuando la población sea de
blación alcanza los 11950 habitantes? 30 000 bacterias?
[9¡) Los siguientes datos corresponden a
montos a interés compuesto con capitaliza-
ción mensual. Completen la tabla.
1,5% mensual 1 año 120000
...... -- --+---·--i
720 6 bjmestres 136'8
68000 51535,50 t 2% mensual _.._ ___ -'--
Según datos publicados por Usted S. A. en
agosto de 2006, en la Argentina había 687 438
hogares más con banda ancha que en 2005.
En el mismo año, en Latinoamérica la cifra
llegó a 8 500 000.
Una empresa que realiza estudios de mercado
estimó que el crecimiento anual de usuarios de
banda ancha en la Argentina y en Latinoamérica
en los próximos años será "geométrico".
!!} Calculen la cantidad de usuarios que se
espera que haya en la Argentina en el año 2 009,
suponiendo una tasa de crecimiento anual
del36,7%.
Hallen la tasa de crecimiento anual esti-
mada para Latinoamérica, si se calcula, según
esta proyección, una cantidad de 24 300 000
usuarios de banda ancha para 2010.
O Se estima que el crecimiento demográfico
en la República Argentina responde a una ley
geométrica de razón r = 1 + q, donde q es la tasa
media anual de crecimiento de población e indi-
ca el número medio de personas que se incor-
poran anualmente a la población total, por cada
1000 habitantes.
Según datos del Instituto Nacional de Esta-
dística y Censos, los censos de 1980 y 1991
indicaron que la población de la República
Argentina fue de 27 949 480 y 32 615 528 ha-
bitantes, respectivamente . .
Considerando estos valores, hallen la
fórmula del término general de una sucesión
geométrica que se corresponda con el creci-
miento demográfico en este período.
Calculen el promedio de personas que
se incorporaron anualmente a la población
total, por cada 1000 habitantes.
Calculen cuál fue la cantidad de habi-
tantes en la República Argentina en el año
1995 según este modelo.
Estimen cuál será la población de la Re-
pública Argentina en el año 2010, si se man-
tiene el ritmo del crecimiento demográfico.
los siguientes sistemas de ecuacio-
nes, a, b, y e son tres números enteros y térmi-
nos consecutivos de una sucesión geométrica.
x+y=a 19x-y=c
4x + 2y = b y 8x + y = 9
Sabiendo que ambos sistemas tienen la mis-
ma solución, calculen a, b, y c.
Indiquen cuáles de las siguientes afir-
maciones son falsas y justifiquen sus res-
puestas mediante un ejemplo.
.5!) Toda sucesión geométrica puede aso-
ciarse a una función exponencial, cuyo do-
minio es IN.
Toda función exponencial puede aso-
ciarse a una sucesión geométrica.
(96) Los datos que se muestran correspon-
den a sucesiones geométricas. Completen las
frases.
a1 = 3 y r= +'entonces, as= ............. .
!:!J Si a7 = -64 y a3 = -4, entonces, r = ••••••••••••
CUADERNILLO 2
•
.·
•
• .
2. fundcm.es tñgcmométticas
Rev'is .. ..i;é:n inicia'l· ..... 't . .................. .. -.. ......... , 4
Ángulos en el s'lstama carte.s-ian0· ......... ; 5
.'$istema drtular d:.e átlgufes .......... · . .,. .. '6 . .
_las r,á;zones tngeua métricas ................................... ... ·, T
. ..,. ...... , ..... : .. _ ....... ", 8
e;t>ttl'e· 1a:s' :ttigonom'é!tjt:as -
'
· de -á,nQ;Ul:o ... ....... .... .......... .. ......... : ....... ................... !>".,· · 9.
Fundones hisQnométricas reÍ11 .... 1@
ftl.ncidT-1 ..y_ K ··· --·u·_.: ..... ..._ ......... ... ). ...• lO
Fttn'G;_ianes a . serJ:;fbx) ........... : ..... .. "' 11 . . . . .
- . . la = x .... t ... ! .... ... ;-...... . .... . ...... ,. ....... u . , .. 12{
La funciófl y=· tg .............. .............. . .
.Pa:r:_.e·s- es-fjeda1es _-de aJ;tgulos. .................... , ....... ........... , .. 15,
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C7:J real ...•..... .;. ... :-...... .-. ..•.. .. _.
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,: • .._ ,. - r • ,.. < f'j..(nriorres trrgpnometrmas .... , ........................ ... : ...
' .
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. ,
A "" - ¡ ,, , . JJ.:éi:d,:cJ1n · ......... _ ............ .......... _., ........ , ...... ·., .... "' ............... .. ;4.4
-
•
-
Las funciones trigonométricas son la herramienta
matemática adecuada para la descripción de fenómenos
periódicos, que se repiten en ciclos regulares a través del
tiempo, tan diversos como la actividad cardíaca, el
movimiento de los planetas y la variación de la presión que
produce en el aire la propagación de un sonido.
Estas variaciones pueden describirse en forma de ondas y
representarse gráficamente.
'
........
''
'
' '
•
-----
' ;
-· ··' ... _.... . --. -
núiné-r.ós son las en c_entímetros, Jle-Ios lados triángulos
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5.6
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33
29
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medidas de)os
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•
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_(!) Calculen la un una
. .. z- . . . -- ._
lugar, una persona de l :t;n de alttu;a P.IQyecta sombr:a ·de
'
29,7 cm en el ntl$!no -
..
- ·-...
.... .. -.;.. ..
,• :_:._...._""!!.¿:::, -- ..... .... .,.. '-- ---::-.·-:: :. ....
(§) es rectáqil;ío .. lin que tiene=dos.-ángulos-htteriore.s-·qüe.miden (3x + -Y
18x0 , y el ángulo extetior no a ellos nrlde_ (33x
_,._ - ---
' -
. . ' --
, ·--: .,
•
•
•
•
,
Angulos orientados en el sistema cartesiano
Para observar
Asi representamos ángulos en el sistema cartesiano:
y 2.0 cuadrante 1.0 cuadrante
lado terminal
\+
lado inicial J-X
1\ a= 45° 3.0 cuadrante 4.0 cuadrante
1\ 1\
= -30° y = 330°
en el segundo cuadro los ángulos que aparecen en el primer cuadro, según el cua-
drante al que pertenece cada uno.
CZJ Agrupen los siguientes ángulos considerando que por grupo tienen el mismo lado terminal.
; ::.11 - wa:asa: u gnz••·• aes: lit' -.:. ca••
1
::nu : : warr J
([) Escriban la medida de tres ángulos que verifiquen las condiciones pedidas en cada caso.
!!J Pertenece al tercer cuadrante y es negativo.
Pertenece al segundo cuadrante y es positivo.
E) Tiene el mismo lado terminal que a= 110°.
Sistema circular de medición de ángulos
Para leer y recordar
• En el sistema drcular, los ángulos se miden en radianes. ángulo de 1 radián
• Un radián es la medida del ángulo central que en una drcunferenda deter-
mina un arco de la misma medida que el radio.
Como el radio está comprendido 2rr veces en la longitud de la drcunferenda,
un ángulo de un giro corresponde a 2n radianes.
1
1
1
1
1
' ' \
, ,
; , ,
, --- ... ....
r 1
1
1 • Si conocemos la medida de un ángulo en grados y queremos calcular su me-
dida en radianes, o viceversa, debemos tener en cuenta que 180° equivalen a
n radianes, es dedr:
\ 1
\ , ' , ' , ' , ' , - ---- -
/\ /\ a ( 0 ) _ a (rad) -180° 1t
Para indicar que la medida de a es 2 radianes, ponemos a = 2 rad o, directamente, u = 2.
(!) Completen la tabla.
21t
1
5 -n 4
2
5 . -:n;
6
3
2
1 - n 6
5
(IOJ Hallen la longitud del arco que recorre la esfera de un péndulo, cuyo hilo mide 25 cm, cuando
barre un ángulo de 20° .
••• •• •••• •• • •• ••• ••••••••••••••••••••••••••••• •• ••••••••••••• •• ••••••• • ••••• ••• ••••••• • •••••••••••••••••• •••••• •••• ••• ••••••••••• •• •••• •• •• • •• •••••••••• • ••• •••• ••••• •• ••
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(11) Un atleta corre alrededor de una pista circular, en sen-
tido contrario a las agujas del reloj, y después de dar cinco
vueltas y media, se sienta a tomar agua. ¿Qué ángulo, en
radianes, recoiTió?
••••••••••••••••••• • • • •••• • • •• ••••• ••••• ••••• • •••••• •••• •• •••••• • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las razones trigonométricas
1
Para leer y recordar
Asi definimos las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera, en función de las coordenadas de
un punto que se encuentre en su lado terminal.
y
X o X
sena = Yo r
" Xo cosa. =--=-r
tga = Yo
X o
y
-3 X
1\ 4 S
cos = (-3) = _]_
S S
1\ 4 4 tg = =--(-3) 3
(12) Observen los datos en cada figura y escriban las razones trigonométricas.
.
y
'l ..
1\ sen a=
1\ cosa=
1\ tga =
t/
V
1.
X
"
1
/\
sen p =
/\
cos f3 =
1
/ V
\
/
X
¡...,_ -
-3
/\ sen y=
/\ cos y=
/\
tg y=
V ,...
.1 ......... / i\.
-.t ,Y -.... \
)1
-
1
/\ sen E =
1\
COSE=
1\
tg E=
¡ y
.......
\
2 E
1/ V
/
J
1 . .., ...
(13) Marquen los siguientes ángulos en la circunferencia de radio unidad y, teniendo en cuenta las
definiciones, completen el cuadro. y
1
r--
1 o o
goo
180°
-1 X
i
.
270° (O; -1) -1
--
o No existe 1
360°
. -
810°
- -- - --
-goo -1
La circunferencia trigonométrica
Para observar
li
• Llamamos circunferencia trigonométrica o circunferencia unidad a
aquella cuyo radio es 1 y su centro es el origen de coordenadas.
Al considerar el radio de una unidad, las expresiones en las que
aparece este se simplifican.
La circunferencia trigonométrica nos permite ver una "representa-
• ción geométrica" del seno, del coseno y de la tangente de un án-
gulo, mediante "segmentos asociados".
y
y
R
T X
O cos Q (1; O)
1\ -sen a.- PO
1\ -cos 0.--+ 00
1\ -tg a. -TR
T X
(1; O)
Si & pertenece al segundo o al tercer cuadrante, encontramos
el segmento asociado a la tangente trazando la semirrecta
opuesta al lado terminal del ángulo hasta su intersección con la
recta x = 1.
""":;:: > A -
senf3-UV
1\ -s cos {3--+UO
1\ -tg {3--+TS
(14] Dibujen una circunferencia trigonométrica y marquen un ángulo en cada cuadrante. Luego se-
ñalen con colores distintos los segmentos asociados, respectivamente, al seno, el coseno y la tangen-
te de cada ángulo.
(15) El signo de cada una de las razones trigonométricas de un ángulo depende del cuadrante en el
que se encuentra el ángulo, ya que este determinará el signo de las coordenadas de cualquier punto
que se encuentre en su lado terminal. Completen el cuadro.
Signo del coseno Signo de la tangente
entre las deun ·
Para leer y recordar
Seno, coseno y tangente Relación pitagórica
A
y -sena = = tg & A cosa -r
A o sena A
A = tg a cosa
Secante, cosecante y cotangente de un ángulo
Asi definimos tres nuevas razones trigonométricas: cosecante, secante y cotangente de un ángulo (para
todos los casos en los que el denominador no se anule).
A r coseca =-
Y
sec&. =L X
Se cumplen las siguientes relaciones:
. A cosec a= 1 A sen a
A seca= 1 A cosa
ctg S.= .K. y
A ctg a= 1 A tga
(16) Sin calcular el valor de:;._, encuentren todas sus razones trigonométricas, utilizando la informa-
ción que se da en cada caso.
/\ v'20 /\ 5!J sen a = y 90° < a < 360° 5
b 1 /\ ..[26 /\
=.J cosec a = - 5 y tg a > O
/\ /\
ctg a = 1 y cosec a < O
(I7) Completen el cuadro.
- - ' . (1; 1) .
.·• ..
-
·- -" ,. -- -- - ., .
("""4.; lJ é ll''"· . - . ·"" e - --- •
{-2·¡. -3') .
'
'"' . - '7" -"' - . ' . -.. ,.. -- . .(S,; -61 .. - . -· "' .. .. """ c. , ·-- ' • -
(18] Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables que contie-
ne, siempre que las expresiones estén definidas y las operaciones indicadas se puedan realizar.
Verifiquen que las siguientes igualdades sean identidades.
/\
tg a "
A= sen a sec a
b j sen3 a /\ ( 1\ ") /\ --=",.... + tg a = 2sen2 a + cos2 a . tg a
cosa
e J sec a - cos a = tg a .sen a
Funciones trigonométricas de un número real
Para leer y recordar 1
Como la medida en radianes de un ángulo orientado es un número real, podemos definir las funciones
trigonométricas seno y coseno sobre el dominio de los números reales, asociando a cada número la me-
dida de un ángulo en radianes.
La función f (x) = sen x
(¡9) Completen la construcción geométrica de la gráfica de un ciclo completo de la función y = sen x.
Para hacerlo, trasladen las medidas de los segmentos asociados a los senos de los ángulos señalados en
la circunferencia trigonométrica.
e ,. 1
l\ ......
/ \ \ 1
/ :-.., 1\ \ 1/ ¡' t/ r"\. .!!_
" '- -J 1 ' 1'-' \ \ / ¡; // v ' In: r- 1"- " \ / / / -- -112 -- -r-- - o
-- ¡, --::: - .-" / !_¡_ ..\.' :" , ' , --- - ,
/ / 1 1 \ ·\ " . ....... ! .... r./' 1', ..... ' '\ / 11 1 ,\ \. " / " 1 ( \ ¡\ / ..... 1 1 ..... ,.....
E- 1t ·1
Para observar
La función f(x) = sen x, de dominio IR ,
es una función periódica cuyo periodo es
T = 2Jt, porque sus valores se repiten
dclicamente en intervalos del dominio
de longitud 2Jt.
Su imagen es Im j= [-1; 1] .
Yl
/
1
- f-
i/
J
1
2 ,.... ,-
'
/ i'\.
l \
' 1 \
\ f T
- - - J
\ l
' ' J " 1/
(i.Q} Analicen la gráfica j{x) = sen x en el intervalo [O; 2n) e indiquen:
Intersecciones con los ejes.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Máxim os y mínimos.
Intervalos de positividad y de negatividad.
' X
V .......
1 \
1 \ X ,,
1 ' • \ ' J \ 1\ V
..... /
Funciones del tipo f(x) = a. sen (bx)
Para observar
' 1 \ 1? -....
\ r¡ 1
- .... - 12- L
t ..
1' 171
\ ,.,
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X j V \ -
f
/ g
" h
X
J
f(x) = 3 sen x
g(x) = 2 sen x
h(x) = sen x
l(x) =sen (2x)
m(x) =sen (3x)
n(x) = sen x
amplitud
T= 2n
b
(21) Las siguientes figuras muestran la gráfica de funciones del tipo y = a . sen (bx) en un intervalo
de longitud T. Analícenlas y completen el cuadro.
y
3 3 3
2 2 2
1 fl 1 1 f3
X X
o o 3t 3t o 2n 4n Sn 6n -1 -1 - 1 2
-2 -2 - 2
- 3 -3 -3
{22) Representen gráficamente cada una de las siguientes funciones en un intervalo de longitud T.
5:!.) y= 4 sen (2x) !!J y = _.1 sen ( 4x) 4 -sen x
La función f(x) = cos x
(23) Completen la construcción geométrica de la gráfica de la función y = cos x.
Para hacerlo, trasladen las medidas de los segmentos asociados a los cosenos de los ángulos señala-
dos en la circunferencia trigonométrica.
i-""' 3" :• 1
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....... 1 1 \ / ..... lJ t .......
t. n
Para observar
La función f(x) = cos x, de dominio IR, es una fun-
ción periódica. Su periodo es T = 2rr y su imagen
es el intervalo [-1; 1].
y .. ... ,
- ..
"""' í ' '" 1 n ) - .,\ - - -2J 1 "'' \ - \
\ /_, r:.o \ 1
1\. '1 '-./ -1
- 1 r;
(24) Analicen la gráfica de la función f(x) = cos x en el intervalo [O; 2n) e indiquen:
Intersecciones con los ejes.
?
1
1
F
V .
I/ X
4/ 6
/
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
••••••••• •• ••••• •• •••••• ••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •• • ••••••••••••••••••• • • •••••••• • ••••••••• • • •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
E) Máximos y mínimos.
········ ·························· ······················ ··· ····· ··· ······· ··"·············· ······ ·· ······· ······ ···· ·· ·· · ·· ······· ·· ··· ··· ··· ·· ······· ······ ··· ······
Intervalos de positividad y de negatividad.
•••• • •••••••• • • • ••••• •• ••••• ••• ••• ••••••••• • •• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••• •••••••••••••••••••• ••• ••••• ••••••• • ••••••••••••••••••
Fu-nciones de1 tipo f(x) = a . cos (bx)
Para observar
f (x) = 2 cos x
g(x) = cos x
b (x) = -.! cos x
2
y
3
-1
-3
f
g
3
p (x) = cos x
q(x) = cos (2x)
m (x) = cos (3x)
y
3
2
p
X
q m
{¿5] Los siguientes gráficos muestran una onda completa de funciones del tipo y = a . cos (bx). Ana-
lícenlos y completen el cuadro referido al intervalo graficado.
y . y y
3 3 3
2• 2 f2 2
1 fl 1 1 1
X 1 X X
o 1t o 2n o .1.n 2n 1t - 1 - -1 -1 2 2
-2 - 2 - 2
- 3 - 3 -3
(26) Las funciones del gráfico son
f(x) = cos (tx) y g (x) = t cos (x).
Indiquen cuál es cada una.
o
•• • ••• •• • •• •• •••• • ••• • •• ••• ••••••• •• • ••• •••• •••• •••• •••• • • • •• • • •• ••••••• • •• •• - 0,5
-1
••• ••• • •••••• •• •••• • ••••• • • •• •••••••••••• • • ••• •••••• • ••••• • •••• • •• ••• •••••••• • •
La función f(x) = tg x
(27) Completen la construcción geométrica de la gráfica de la función y= tg x. Para hacerlo, trasla-
den al diagrama cartesiano las medidas de los segmentos asociados a las tangentes de los ángulos
señalados en la circunferencia trigonométrica.
11' 111
¡;3 f"'
1
\ 11 :rt ,, ' \\ / V_4
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•
i', j \ 1 11' 1' \. - 1- - 1- 1-
1- - , ¡-...... 1'"' ¡/ v ., ¡..... --1-- ¡..- ., :x .. .. --1-:;; :rt 3 2:rt n - - _,.· / 1 ' " ........ - - J 2 2 - \ J -!/ ' o/ 1 \ i' "' V f;: 1- -., / ""' " v' ' / \ 1',
\
ro. :;e \
1
Para observar
/
/
.,
• La representación gráfica nos permite apreciar que la
Y' 1' función f(x) = tg x no está definida para los valores de x
correspondientes a ángulos cuyo lado terminal está in-
1 ..
cluido en el eje de ordenadas. Es decir que: / ... V V o
Do m f- IR - { - :rt • :rt • 3 :n: • } /: / _( : J/ - ... 2' 2' 2' ... t _J t -.. ¡1 -• En cada uno de estos valores excluidos del dominio, la -- ...
gráfica presenta una asintota vertical.
• El periodo de esta función es T = :n: .
• No tiene máximo ni mínimo, y su imagen es IR •
(28) Analicen la gráfica de la función f(x) = tg x en el intervalo (- T ; -f) e indiquen, si es posible:
a J Intersecciones con los ejes. . ....................... ................... .. ................................................................... .
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. ········· ···· ··· ········ ······· ·-··· ·················· ·· ···· ··· ····· ···· ·· ······
C IM ' " , . élJCIIJrl()S )' • •.. ••••••• ••••• ... .. ..••. •.. .•........•• .••..•.••••••...• .••••••• •• ••.•.• •.•••••...• ...•••.•.• .•••.•. ••.. ................
Intervalos de positividad y de negatividad. . ....................................... ......................................... .. .
Pares especiales de ángulos
(29) Tracen en cada circunferencia los segmentos asociados al seno, al coseno y a la tangente de los
ángulos señalados, y luego completen las igualdades.
y ·
sen (180°- &.)
(
o /\) /1. sen 180 -a =sen a
o /1. /1. cos (180 -a) =-cosa
tg (180° - &.) = -tg a
y
cos (180° + &.) =
/1. sen (-a) =
/1. cos (-a) =
tg (-&.) =
y
L"'"";?\
11 sen a
X
X
X
y
( o /\) 1\ sen 90 - a = cos a
cos (90° - &_) = ry-
y
cos (
/1. ..
sen (90° +a) =
o /1. /1. cos (90 +a)= -sen a
y
sen (270° - &_) =
..
cos (270°- &.) = ' ·. <;-·:·')
tg (270° - &.) =
11 sen a
X
X
(30] Completen las expresiones equivalentes.
f\. n+a 1t· A 2
(31) Calculen los valores exactos de las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°, utilizando la in-
formación que se da en las figuras.
e .ó.
ABC isósceles -AB = 1
A
sen 45° =
cos 45° =
1 -
V2
_V2
2
B
.ó.
ABC equilátero
-AC = 2
1
A e
sen 60° = sen 30° =
cos 60° = ' cos 30° =
tg 60° = tg 30° =
(32) Completen la tabla con los valores exactos, cuando sea posible.
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V2
2
1
1
- j --·
Ecuaciones trigonométricas
Para leer y recordar
Como las funciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repi-ten ciclicamente, es habitual que
Las ecuaciones que Las involucran tengan infinitas soluciones que también se repiten ciclicamente.
En Las siguientes actividades nos vamos a Limitar a buscar sólo las soluciones que pertenezcan al inter-
valo [O; 2n] o su equivalente en grados.
Ejemplo:
sen x = .!. (0° x 360°)
2
• Una solución es x1 = 30° (este valor lo encontramos en la tabla
de la página 1.6, o bien usando la función sin - l de una calculado-
ra cientifica).
• Nos ayudamos con la circunferencia trigonométrica para analizar
si existen otros valores de x que verifiquen la igualdad. Por consi-
deraciones de simetria, observamos que x2 = 180° - x1 es un án-
gulo cuyo seno es igual al de x1• Entonces, x2 = 150° es otro valor
que pertenece al intervalo indicado y también cumple la igualdad.
• Comprobamos que sen 30° = t y sen 150° = t .
y
(33) En cuentren los valores de X E (0° X 360°) que verifican las siguientes ecuaciones:
cos x = -1 V2 cos x = 1 !) sec x = V2
tg X = 1 3 tg X + vf3 = 0 .fJ 2 - cotg X = _1 2
de las siguientes-ecuaciones no tienen solución. Descubran cuáles son y expliquen por qué.
sen x = -0,7 tg x = 1 000 000 !) cosec x = -50
cos x = 1,5 sec x = 1 !.J cotg x = 2
{jiD Encuentren los valores de x E (0° x 360°) que verifican las siguientes ecuaciones:
2 COS X - 1 = 0 tg X - -f3 = 0
4 C052 X - 1 = 0 !) COS2 X - 2 COS X + 1 = 0
cos (x + 15°) = .1 fJ coi x + 3 = 2cos x (1 + sec x - tg x . sen x) 2
Para observar
Para resolver la ecuación 2sen2x +sen x- 1 = O, podemos hacer asi:
• Sustituimos z =sen x
• Resolvemos la ecuación cuadrática
• Reemplazamos en (1) y resolvemos
2z2 + z- 1 =O
z1 = .!. y z2 = -1 2
.!. = sen x -1 =sen x
'\,
x1 = 30° ; x2 = 150° x3 = 270°
• Podemos verificar cada uno de los valores que obtuvimos reemplazándolo en La ecuación original.
(36) Observen los siguientes gráficos de funciones periódicas y completen el cuadro.
' r--y
5
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. . .
. . . . .-.._ .· - . . . : . . . .
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. . . ,· . · .. . . . . .
(37) Una rueda de bicicleta, de 13 cm de radio, gira
en su eje a 100 r.p.m. (revoluciones por minuto).
Supongan que OP es un rayo de la rueda.
Si a medida que el punto gira con velocidad
angular w constánte, el ángulo que forma el rayo con
el eje x crece en forma proporcional al tiempo trans-
currido, hallen la velocidad angular de O P.
Determinen las fórmulas, respecto de ambos
ejes, que indican la posición del punto P a los t
segundos.
1
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1 -".l In
'
El sonido y las funciones periódicas
El diapasón se utiliza como referencia para afi-
nar voces e instrumentos musicales. Consiste
en una lámina de acero doblada en forma de
horquilla con un pie que, cuando se hace sonar,
emite un la con una frecuencia fijada en 440 vi-
braciones por segundo. El sonido de un diapa-
són es un sonido particularmente "simple'', lla-
mado sonido puro. Curiosamente este sonido,
por tener una frecuencia agradable al oído hu-
mano y ser fácilmente reconocible, es utilizado
en el tono del teléfono.
Al hacer vibrar uno de los dientes de la horqui-
lla del diapasón se genera un movimiento de
moléculas de aire que oscilan rápidamente ha-
cia la derecha y hacia la izquierda en una pe-
queña región alrededor de su posición original.
Este desplazamiento en función del tiempo se
observa en el siguiente gráfico, en el cual se
muestra un ciclo completo.
f(t)
0,01
0,005
o
-0,005
-0,01
(38) Tengan en cuenta que la frecuencia es la inversa del período y resuelvan las siguientes consignas:
Hallen los valores de t1 y t2 para los cuales las moléculas de aire están en su posición inicial.
Completen las siguientes oraciones:
Sabiendo que el gráfico dado corresponde a una función del tipo f(t) =a. sen(bt), donde a está
asociado a la intensidad del sonido resultante, a = ....... ..... , b = ............... ..... y el eje horizontal
indica ............. ........ ... Inedido en ...................... .... .. .. ....... .
En el ciclo mostrado, la presión sonora alcanza valores extremos para t = ........... y t = ................. .
Los modelos periódicos
y las funciones trigonométricas
Un péndulo es un cuerpo suspendido de un punto fijo que
oscila alrededor de este por la acción de su peso.
El modelo matemático del movimiento pendular, llamado
péndulo simple, consiste en una partícula material que cuel-
ga de un hilo rígido inextensible y sin masa.
(39) El movimiento del pén-
dulo de un reloj se puede ex-
presar mediante 1a función
d(t) = 5 sen(4:rc t), donde tin-
dica tiempo en segundos y
d ( t), la "distancia" de la pesa a
la vertical en centímetros.
1
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
1 / \ .... -....... ...... -J- -- ,.,.,-
Centro
(Consideramos esta "distancia" positiva cuando la pesa se encuentra a la derecha del centro y
negativa cuando se encuentra a la izquierda).
Calculen el período de d (t) . .............................................. .
Representen gráficamente d ( t) desde t =O hasta t = l_ seg.
2
Completen las siguientes frases:
El péndulo pasa por el centro cada ............. ... . segundos.
¡
l .. Ll -
1
in
1"
ir
iJ
1 •
\ dn-); •
1
.
1 ¡, ·' ",-s
.
A los 10,1 segundos la pesa del péndulo se encuentra a ..................... cm a la derecha del centro.
A los 47,375 segundos, la pesa está a la ........... ............... del centro a ...................... cm.
En el intervalo de t (O; 1) el péndulo pasa exactamente ................. veces por el centro.
Representen gráficamente la función d(t) desde
t = O hasta t = 1 segundo e indiquen en el gráfico los valo-
res de t para los cuales la distancia al centro es máXima.
1
•
••
'
d
-
1 1 1
.J. . cm ) .
1
,.. I r
t""
• 1
!
•
l .
1"'\ . )
1
1 .
{iQ) Hallen los valores dex E[O; 2n] que verifi-
can las siguientes ecuaciones:
sen (990° - x) = cos (720° + x) + 1
sec (6x- 10°) = 2
4 cotg2 x = 3 cosec2 x
( 41) Las funciones que aparecen representadas
en son del tipo f(x) = a . sen (bx) y las que
aparecen en son del tipo f (x) =a. cos (bx).
Para cada una escriban su fórmula e indiquen
cuál es su período y su amplitud.
y 3
y 3
h 1 2 (\
(4.2) Resuelvan las siguientes ecuaciones y,
luego, indiquen si tienen alguna solución en
, comun.
(senx+ 1)2 =.1
4
cos x . sen2 x = cos x
sen x - cos3 x = sen2 x . e os x
[4.3) Encuentren analíticamente los puntos
de intersección entre las funciones que com-
ponen cada uno de los siguiente sistemas, en
el intervalo [O; 2n]. Verifiquen con un gráfico
las soluciones que obtengan.
y= sen x
y= COS X
y= sen x
y= tg X
{ij) Realicen una figura de análisis según las
inclicaciones siguientes:
1\
• ABC es un triángulo rectángulo en C.
1\
• BE es la bisectriz de B.
• AB = 1 unidad.
- -• D pertenece aAB /DE..LAB.
1\
Prueben que AD = 1 - cos B.
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