Nueva carpeta de matemática V - Aique (2 Polimodal) - Alma Ninette López Hernández

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Cuademillo1 
1. Los números reales y los números 
complejos 
Revisión inicial 
Los números reales 
Adición y sustracción de radicales 
Multiplicación y división de radicales 
Racionalizaciones de denominadores 
Racionalización de numeradores y de 
denomibadores 
Ampliación del campo numérico 
Los números complejos 
El conjugado y el opuesto de un 
númere complejo 
Operaciones con números complejos 
Forma binómica y forma polar de un 
número Gomplejo 
Ecuaciones en ( 
Ecuaciones cuadráticas en ( 
Representación gráfica en el conjunto 
de números complejos 
En el múndo real 
Los números irracionales y el cín:ulo 
Los relojes y los números complejos 
Más actividades 
Autoeval.uación 
Cuadernillo z 
2. Funciones cuadráticas 
Revisión inicial 
El modelo cuadrático 
La función cuadrática 
Ecuaciones cuadráticas 
Resolución de ecuaciones 
cuadráticas completas 
Construcción de la gráfica de una 
functón cuadrática 
El discriminante 
Forma factorizada y canónica de la 
función cuadrática 
Relaciones entre las raíces y los 
coeficientes 
Problemas con máximos y mínimos 
Crecimiento y decrec;imiento 
Intervalos de positividad e intervalos 
de negatividad 
Sistemas mixtos de dos ecuacione·s 
carpeta de Matemática 
Sistemas de dos ecuat::iones cuadráticas 
Recta tangente a una parábola 
Inecuaciones cuadráticas 
En el mundo real 
Libre competencia de mercado 
El cine y las persecuciones 
Más actMdades 
Au'toevaluación 
Cuaderni11o 3 
3· Funciones polinómicas. 
Factorización de polinomios 
Revisión inicial 
Las funciones potenciales 
las funciones polinómicas 
Las funciones polinómicas y los polinomios 
Adicici>n y sustracción de polinomios 
Multiplicación de polinomios 
División entera de monomios 
División entera de polinomios 
La regla de Ruffini 
Valor de un polinomio para x = a. 
Raíces de un polinomio 
Teoremq. del resto 
Factorización de polinomios 
Factor común 
Polinomios de segundo grado 
Otros casos 
Raíces racionales de polinomios con 
coeficientes enteros 
Grado y raíces de un polinomio 
Las funciones polinómicas y sus gráfkas 
Conjunto de positividad y negatividad 
Remnstruccipn de fórmulas polinómicas a 
partir de sus gráfiCas 
ka factorización de polinomios como 
herramienta paTa resolver ecuaciones 
Los polinomios y las raíces no reales 
El camb1o de variable en la resolución 
de ecuaciones 
En el mundo reaf 
los polinomios en la construcción de un 
ascensor 
Funciones polinómicas que permiten 
estimar costos 
Más actividades 
Autoevaluación 
Actividades integradoras 
Cuademillo4 
4- Funciones racionales 
Revisión inicial 
Punciones de proporcionalidad inversa 
Funciones de fórmula:f{x) = ..!:_ 
X 
Funciones de fórmula:f(x) = ax: b 
ax + b Funciones de fórmula:j{x) = ---=-
ex+ d 
Functones racionales 
k 
Funciones de fórmula:f{x) = 
Funciones de fórmula:f{x) = 
Q x) 
En el mundo real 
Lentes y lupas 
La primera ley cuantitativa en la 
historia de la Física 
Más actividades 
Autoevaluadón 
Cuadernillo s 
s. Cónicas 
Revisión inicial 
Secciones cónkas 
Circunferencia 
Distancia entre dos puntos 
Elipse 
Hipérbola 
Parábola 
En el mundo real 
Historia de las secciones cónicas 
Trayectorias elípticas 
Más actividades 
Autoevaluación 
Actividades integradoras 
Cuadernillo 6 
Respuestas a las actividades de los 
cuadernillos 1 a s. 
' 
CUADERNILLO 1 
-· 
' . 
1. los númeTos reales y. 1os números 
complejos 3 
Rev ·s · • · 'c¡·al 4 1 1on 1n1 , ......................................................................... . 
los números reale·s ····-·····················································5 
Adición y sustracción de radicales .............................. 6 
Mult1plicación y división de radicales ........................ ] 
Racionalización de denominadores ............................ 8 
Racionalización de numeradores y de 
denominadores ........................... ........................................... g 
Ampliación del campo numérico ... ............................ 10 
los números complejos .................................................. 11 
El conjugado y el opuesto de un número 
complejo ..... .-.......................................................................... 12 
Operaciones con números complejos ....................... 13 
Forma binómico y forma polar de un 
número complejo .............. 
Ec·uaciones en 0:. .................................. ..... -...................................... 15 
Ecuaciones cuadráticas en ( .................................... 15 
Representación gráfica en el conjunto de 
números complejos ............................................ ..... -........... 16 
En el mundo real ......................................................................... 17 
los números irracionales y el circulo ..... ................ 17 
los relojes y los números complejos ..................... 18 
Más actjvidades ...... -t ................... . .... . ..... . ........................... 19 
Autoevaluación ...................................... ............................... 22 
...... ..,.,., 
"' • 
S , 
• 
, 
Cada conjunto numérico surgió ante la necesidad de resolver 
una determinada situación la vida real o del contexto 
matemático. Por ejemplo, para contar, se usan los números 
naturales; para medir y repartir, se necesitan los racionales; 
para determinar el contorno de figuras circulares, se utilizan 
los irracionales. Todos estos conjuntos numéricos conforman 
el conjunto de los números reales; y con ellos, se pueden 
resolver diversas clases de ecuaciones, excepto las del tipo 
xn = a, cuando n es par y a es menor que cero. En este 
último caso, se recurre a los números complejos. 
1 Ubiquen los siguientes números en el diagrama. 
2 · -3 ·...J2 · O ·{9 · 2 S · 3' , ' 1 1 1 , "\ IR 
<Q " 7L ' 7; n; -25; -t; <j>; . r:: 6,.---: ,.... ,.... 
-\j j; 1 +\j -1;2,3;3,9 IN 
1 +{5 , (Recuerden que <1> = es el numero de oro). 
2 
2 Indiquen cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y expliquen por qué. 
Todos los números naturales son enteros. 
·. 
Todos los números enteros son naturales. 
Algunos números racionales son enteros . 
.2J Algunos números naturales son irracionales . 
..l.J El cuadrado de un número racional puede ser irracional. 
_j El cuadrado de un número irracional puede ser racional. 
3 Indiquen cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución en IR . 
2J 6x2 - 216 = O 
.:J 3_x-4 + 8 = -40 
4 , Completen. 
e 
A 
- :: ···························· 
8cm 
B 
( 2x - 1 Y + 36 = 1 - 4x 
.:::.J (x - 2)2 = 29 - 4x 
_) x2 + 1 = -6 
4 
e 
_) e _) 
7,5 cm 31° 
A B 
A B 
............... 
cos 31o = 11 cm sen 22° 30' = ---AC 
se = ..................................... . 
AB = ········-····································· IIC: == .................................... . 
Los números reales 
([} Agrupen las potencias que tengan la misma base y apliquen las propiedades necesarias para 
obtener la expresión más sencilla: 
3 
( 
b 2 ( 5) 25 . 25 : 125 
Para leer y recordar 
• En el conjunto de los números reales, las propiedades de la potenciación y de la radicación permiten 
escribir expresiones equivalentes a otras de manera dada, aunque estas son válidas sólo en los casos en 
que las operaciones sean posibles. 
• • y =.VX ·V 
• y =-YX :-rf 
• Además, para todo número real a, si a O: 
lx 1 = a< > x = a v x = -a 
S= {-a; a} 
lx 1 S a< -a A X S a 
S = [-a; a] 
• X 1 = X 
• x·n =(j_)n =j_ X 0 
X Xn 
• vr:rx = 
• = 1 x 1 si n es impar 
= x si n es par 
S = ( -co; -a] U (a; + co) 
Representen en una recta numérica la solución de las siguientes ecuaciones e inecuaciones en 
el conjunto de los números reales: 
lxl = 5 
lxl < 5 
!J 
fJ 
(1) Escriban una inecuación del tipo 1 x 1 < a, 1 x 1 a, 1 x 1 > a o 1 x 1 > a cuyo conjunto solución sea 
en cada caso el representado a continuación: 
1 ( 1 1 t 1 ) 
-3 -2 -1 o 1 2 3 X 
( t 1 ] 1 E 1 1 ) 
-3 -2 -1 o 1 2 3 X 
• 
Adición y sustracción de radicales 
{]) El
área de una de las dos caras cuadradas de un prisma como el de la 
figura es de 2 cm2. 
Calculen la medida de cada arista . 
.......•.•.. ..•........•...........•.....•..........•........................................................... ........ . ...... ... ......... 
Calculen la suma de todas las aristas. 
X 3x 
•••••••• ••••••••••• • •••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• X 
._.,_ __ _,/ 
Para observar 1 J 
• Dos o más radicales pueden sumarse o restarse siempre que sean semejantes, es dedr, que tengan el 
mismo índice y el mismo radicando. 
Ejemplo: 
• En algunos casos, cuando los radicales no son semejantes, podremos reducirlos mediante un procedimiento llama-
do extracdón de factores del radical, que consiste en factorizar los radicandos, distribuir las raices y simplificar. 
Ejemplo: factorizamos los radicandos 
----."' 
{18+-18---132 = 
= '"g . 12 + H. -12 - # . = 3 • -Ji+ 2 • -v2- 22 • -Y2 = -Y?: ..., 
aplicamos propiedad distributiva de la radicadón 
(!) Hallen el perímetro de las siguientes figuras, cuyas medidas están en centímetros. 
8 '\J 2 ( !J 8 8 
1,5{7 -Y2 
( 
1 2 
2 
A o A A ( A ( 
2-{7 8 ( 'J. ------ AC = 2 t .,----""""''' 
80 = 6 -- 1 -----
o 
A o o 
(IOJ Resuelvan los siguientes cálculos. 
·········· ···· · ·· ·· ··········•·······················•················ ······•······•················ · ••••••••••••••••••• • •• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• • •••• •• • •••••••••••••• 
•••••••••• o . o. o o •• • o o • • •• o ••••• • • o ••••• • •• o ........ o o ••• o •• o ••••• o ••••• o • o o ••••• o. o •• o •••• o. o. o • o ••• o • . ..•............... .... ................................. .... ... ... . ................. 
· · ···· · ···•·· ·••••··••••·•••···•·••·••······•••··•·•······•·····•···•·•••····•·•·••·····•·•· ······••• ·····•···•······•······· ······•····················•···•·· ··· · ··············•······ 
. .•.•••••••••.•••••••••••••••••••••••••••.••.•. .. ..... .. ..•.... •• . .... ........ ......... ..... ... . .... . . •. .... ..... .. ... .. ..•.. ........ .••......... ..... ......... . .••.. .. ... .... . ... .. .... 
Multiplicación y división de radicales 
(Jl) La base del rectángulo mide 2-{3 cm y la altura -{6 cm. 
Calculen el área del rectángulo. 
·····•···•·••••······•••••••••••••••••••••••·••••••·•············································································· 
Calculen el área del romboide . 
• • • • • • o o o •• o o •••••• o o o • •• o o ••• o. o o ••• o. o o o •• o o o o . o o o o . o o. o ••• o o. o ••••• o •••••• o o. o o o o o • • • o ••• o. o. o • o ••• o o. o o. o. o •• o o o o •• o o o o •• o o. o o 
Para observar 
• Para multiplicar o dividir radicales de igual fndice, utilizamos el siguiente procedimiento, basado en la 
propiedad distributiva: 
Ejemplos: 
2.v 
• Para multiplicar o dividir radicales de distinto fndice, se deben 
buscar radicales equivalentes de modo tal que todos tengan 
igual indice. 
Ejemplo: 
=1% 
(12) Resuelvan las siguientes operaciones y simplifiquen siempre que sea posible. 
-{3.-{2. 6 .-{8 = 4 3 . 2' 
4 8 --3 
• • • • o o ••••• o ••• o. o ••••••• o •••••••••• o. o ••••• o • • o o ••• o o •••••• o • o •••• o o. o ••• o ••••• o o o o ••• o • " o • o • o o ••••• o ••••• o •••••••••• o ••• • •••••...........•.....•.•....••.•..••................••••••••• 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ . 
(13) Resuelvan las siguientes operaciones y simplifiquen cuando sea posible. 
(15. V6) : (V.F) 
S) 18.19 
!J (t+ fi)' 
!J 2 --I3 [1 --J3 (1 +v'3)] 
• 
Racionalización de denominadores 
()4) Utilicen la calculadora para obtener valores aproximados de las siguientes expresiones y unan 
con flechas las que sean equivalentes. 
1 
3 
--J3 
1 -{2 +1 -12- 1 
1 
/ Para observar 
Racionalizar un denominador significa transformar una expresión con denominador irracional en otra 
equivalente con denominador racional. 
En los siguientes ejemplos, pueden observar algunos recursos algebraicos útiles para racionalizar deno-
minadores. 
En casos como el segundo, el cálculo se facilita recordando que: (a+ b).(a- b) = a 2 - b2• 
(15) Sin utilizar la calculadora, analicen si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. 
-{3-1 = 2 {3 + 1 
5 . -f6 -f6 6 --v 3 15 1-{6 = - !) -{12 +-{2= -5 + 10 
2 fJ 12 ='/8 
(16) Racionalicen los denominadores de las siguientes expresiones y descubran cuáles representan 
numeras enteros. 
., 
• 
Racionalizaciones de numeradores 
y de denominadores 
(17) Sin usar calculadora, comprueben que Jz = -{2. Hagan lo mismo con = {5 y luego 
traten de generalizar {-¡ ={O si a " O. 
Para leer y recordar 
Consideren una expresión con numerador o denominador irracional. 
Racionalizar el numerador (o denominador) de dicha expresión significa transformarla en otra expresión 
equivalente con numerador (o denominador) radonal. Para lograr esto, en algunas situadones, se multipli-
ca y divide por lo que se suele llamar el conjugado. 
El conjqgatfo &! . 
....... 
rs- 1 V3 + 1 -· --·----...;p.,_..,.¡__-
(18) En los siguientes ejemplos, se utilizaron distintos recursos algebraicos para racionalizar el 
numerador o denominador. Completen el cálculo y decidan si las operaciones efectuadas permitie-
ron cumplir la consigna. 
!!) 1_1 .V3 
V3V3V3 
• 
v'3 - 1=v'3 -1.v'3 +1= 
V3+1 \Í3+1 v'3+1 
1 1 Ylc m=m·m 
d n j{ m m= m· m 
(19) Racionalicen los denominadores. 
!!) 4x 
Vx 
1 -
X 
Racionalicen los numeradores. 
!!J 1+Vx 
1 -v'x 
7 \fX7 
!) vx+1 
V X+ 1 
W) Sin utilizar calculadora, analicen si la siguiente expresión es verdadera. 
ff -{5 = 2V3 + 3-12 - V30 + 3 + 5 
Ampliación del campo numérico 
(22] Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de 
las ecuaciones, cuando corresponda. 
. .. . ' : 
IR IN 
- . - . -- ¡.-; . '· .. 
. 
x-3"=1 ' 
1.-: ·" . -: ··;.>, 
. ' 
x+2=-1 
. . . 
2 .· 
x-2=-0 · 
: . ·. . 
2 
X+ 1 = 0 
C.' Para leer y recordar 
Como sabemos, en IR no podemos resolver raices cuadradas de números negativos, como --[:i, ya que no 
existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a -1. 
Se utiliza el simbolo i para indicar un número tal que f2 = -1. 
Teniendo en cuenta La igualdad a partir de La cual Lo definimos, y que este número no es real, podemos 
usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones. 
Ejemplos: 
r+1=0 
• • Xt = 7 Xz = - 7 
Comprobación: 
i2 + 1 =o (-i) 2 +1 = o 
-1 + 1 = o ./ (-1Y. ¡z + 1 = o 
-1 + 1 = o ./ 
x2 +2=0 
X2 = -2 
¡\ 
Xt = ..¡::2 Xz =-{="2 
Xt = -{2 j Xz = -{2 j 
Comprobación: 
<12 i)Z + 2 = o (-...J2 ;y+ 2 = o 
2 • i 2 + 2 = o 2 • i 2 + 2 = o 
2 • ( -1) + 2 = o ./ 2 . (-1) + 2 = o./ 
(.23) Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones . 
.9J (x + 5/ = 10x 
••• o. o o •••• o ••• o. o o o. o o o o o o o o ••• o ...... . o •• o •••••• o o ••• o o • o o ••••• o. o • o o • o •••••• o •• o • o o o. o. o ••• o ••• o •• o. o •••••• o. o .... o. • o o. o • o • o •••• o. o • o o o o. o o •••• •• o ••• o •• o • 
1 1 -iJ ---- -=-3-
K+1 K+.f.. 
---'4- -1 = 1 
x2 + 4 
9x2 + 16 =O 
3 
............. . ......................... ••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••• .... o •• o ••••••• o • o o • o o ... o •• o •• o. o ••• o • o o 
¡ 
Los números complejos 
Para leer y recordar 
• A los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, los llamamos números complejos. 
Se suele utilizar La 
Letra z para designar 
un número complejo. 
z = a + bi 
i verifica que i2 = -1. 
i es La unidad imaginaria. 
a se Llama parte real de z. 
lo escribimos asi: 
b se llama parte imaginaria de z. 
lo escribimos asi: 
a=
Re(z) b = Im(z) 
Ejemplos: 
z = 2 - 3i 1 
/\ 
2 • z =-7 
2 3 
/ \ 
• AL conjunto de todos los números complejos, Lo designamos con 
el simbolo <C, y está definido de forma tal que incluye a los 
números reales, representados por aquellos números complejos 
cuya parte imaginaria es nula. 
• Un número complejo no nulo como Z2 , cuya parte real es nula, 
se llama imaginario puro. 
[24) Consideren la siguiente tabla. 
Complétenla. 
/ ,. .. . :·;:.·····. e •c ·: •?::.:':"_ 
Número f<, rut ... z;. .·:· i:::;_H ' . ' . ':'?;. . 
5 + 3i 
2 
r%'M1 '-
-4 
1 
2-vi 
Si 
o 
4 
o 
"'" ..• 
1·- Parte- >1 
•:!: :.,._:. ''·'"' .·· }iñ z . ·:-: . ' . . ' "' ( ;,., :1 
8 
lbS 1 IW Fi :lil• 
2 -3 
-3 
4 
o 
o 
z = -5 3 
( ·: ·--- .. ----1 1 
Q__,:-z ··:-: ...... ·--.. 11 ·- -..... .- ---. 
-:IN: ·- '}- .. 
Indiquen cuáles de los núme-
ros complejos que aparecen en la 
tabla son: 
l. reales. 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• •••••••••••••••• 
11. imaginarios puros. 
•••• •••• •• ••••• •• ••••• ••• ••• • • •• ••••• •• ••••• •• •••••••••• 
•••••••••••• • • • ••••••••••••••• ••••••••••• • •••••••••••••• 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
El conjugado y el opuesto de un número complejo 
/ /"_,....,' , Para leer y recordar 
A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes números complejos: 
• el conjugado de z es z = a- bi {la parte real es igual y la parte imaginaria es la opuesta). 
• el opuesto de z es -z = -a - bi {La parte real y la parte imaginaria son opuestas). 
Ejemplos: 
Z1 = -1 -2i 
Zz = 4i 
z3 = 6 
Z 1 = -1 + 2i -z1 = 1 + 2i 
-z2 = -4i 
Completen el cuadro. 
/ ' -z z -z 
- - --
1..+2-i 
3 2 
2 - 6i 
-7 +-f3 j 
- 3 
-fS j 
2 1 . __ , 
2 
' 
1. 
1 
! 
Analicen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen la respuesta. 
l. Ningún número complejo es igual a su conjugado. 
11. Ningún número complejo es igual a su opuesto. 
@6) Sea z = a + bi un número complejo. 
Escriban en un lenguaje simbólico: 
l. La suma entre un número complejo y su conjugado es dos veces la parte real. 
11. El producto entre un número complejo y su conjugado es igual al cuadrado de su módulo. 
Verifiquen las propiedades anteriores para: 
l. z = 6 - i 
n. z = 4i 
[il) Encuentren un número complejo que cumpla 
en cada caso la siguiente condición: 
z=-z 
• Operaciones con números complejos 
Para observar 
En los siguientes ejemplos, pueden observar cómo realizamos las cuatro operaciones básicas con números 
complejos. 
Consideremos Z1 = 2 + 3i y Z2 = 1 - Si. 
• Adición 
Z 1 + Z2 = (2 + 3i) + (1 - Si) = (2 + 1) + (3 - S)i = 3 - 2i 
• Sustracción 
Z1 - Z 2 = (2 + 3i)- (1- Si)= (2- 1) + (3 + S)i = 1 + 8i 
• Multiplicación 
z 1 • z 2 = ( 2 + 3 i) • ( 1 - Si) = 2 . 1 + 2 • (-Si) + 3 i . 1 + 3 i . (-Si) = 2 - 1 Oi + 3 i - 1S f2 = 1 7 - 7 i 
'-v-' 
• División 
-1 
Para resolver la división entre dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos ambos por 
el conjugado del divisor, del siguiente modo: 
z z z (2 + 3i) (1 + Si) 2 + 10i + 3i- 1S -13 + 13i 1 1 . 
__.!...:__.!..2: • - - -- + 7 
Z2 Z2 Zz (1 -Si) (1 +5i) - 12 - (5i) 2 - 26 - 2 2 
Observen que multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, 
por lo tanto, la igualdad no se altera. 
@8) Consideren los complejos z1 = -2 + i; z2 = 3 + 5i y z3 = 4 - i y resuelvan los siguientes cálculos. 
OJ z1 + z2 - z3 
zl + Zz- z3 
!) (zl + Zz) z3 
iJ (-z1 + z2).( Z1 - z3) 
[29) Consideren los complejos z1 = 3 - i; z2 = - 4i y z3 = 7 + 2i y resuelvan las siguientes divisiones. 
(30J Consideren la unidad imaginaria i. 
Completen sus potencias. 
7'() = 
• •••••••• o •• o o •••• o. o ••• •• • • o • o • o ••• o •••••• o • • •••• o • •• 
¡t = 
o o o •• o o o •••• o o o •• o ••• o. o o o o o ••••• o •••••••• o. o •••• o o. o o 
f6 = 
• o •••• • o o o •• o • •• o •• o • o • o • o o • o • o • o o ••• o ••••• o. o •••••••• 
¡s = i' = 
o •• o o • • o. o. o o o •• o ••• o o ••••• o o ••••• o o o •••••••• o •••• o. o o 
Analicen los valores que obtuvieron y expliquen qué regularidad observan. 
••···••·•••• ·••••········••••·•••••··················•••·•·•·•·•···········•········································································•··•·········· •••••••••••••••••••••••••••••••••·••••··•··· 
(31) Calculen las siguientes potencias. 
¡m = 
············································· 
i J ¡J3 . i11 = 
·············•········•·••••••••··•·· 
!) i 94 = .................................................... 
j 44 = 
.•••••.••••.•................•.•.•..••••••... . ............................... ............... . ..... ..................... .......... 
¡242 = 
................................................ 
.2) (i3)5 = ................................................. 
i 69 = ....... •.••..........•....................... h) (79)27 = ............. ............. ............. ...... . 
Forma binómica y forma polar 
de un número complejo 
(32] Utilicen el teorema de Pitágoras para calcular el módulo de v = (4; 3). 
1 v 1 = .. ...... .. ............................................................................................................................................. .............................................. . 
33 Averigüen cuál de las siguientes medidas corresponde, aproximadamente, al ángulo que forma v 
con el eje x, si v = (4; 3) . 
.!) 143°7'48" 36°52'12" 53°7'48" 
Para leer y recordar 
Un número complejo se puede escribir de distintas maneras. 
z = a + bi es un número complejo escrito en forma binómica. 
1\ 
z =(lzl; a) es un número complejo escrito en forma polar, 
siendo lz 1 = ...J a2 + b2 y a el ángulo que forma el vector 
que lo representa con el semieje positivo de las abscisas. 
(34) Indiquen, en forma binómica y en forma polar, los 
números complejos que están representados a la derecha, 
como en el ejemplo. 
Z1 = (5 + 5i)= (YsO; 45 ·) ••••••••••• • • ••• • o •• ••••• o •••• •••••• • ••• • 
z -2 - •.••••••••••••••••••••••••••• . •••••• .•. •• . ....................................... . 
Z3= .. ....................................... . Z ¡ = •••• • • • •••• • •••••••••• • •••• •••••• 6 ••••••• 
z -4 -- ..••...•........••....•..•............... Zs = 
l }( 
1 
" z3 "' K 
z4 . . 
[7 
[ Z 
m ri• '1 
6 
1'-
/ 
ia 
. 
7 ">C '\.: 
V , 
!Zs 
z6 
1\ • v· 1 , ¡u 
1/ 
Zt 17 
V 
• • qt: f t:l " 
z, 
!"'.. 
(35) Las distintas formas de expresar números complejos se pueden verificar usando calculadora 
científica . 
.5!) Escriban en forma binómica y en forma polar el número com-
plejo que se observa representado geométricamente. 
z = .......................... (forma binómica) 
z = ........................... (forma polar) 
' '{ E. 
1 
1'\. 
Verifiquen estos resultados con la calculadora siguiendo las instrucciones. 
IZI - -tSHIFT - - -' 
De binómica a polar l (á.) 
f'SHIFT - -[ ( --- . . ----. --. ----------. -
a -IZI - -tSHIFT - A - ------- .... -....... -------------... --.. -... ... --
De polar a binómica 1 x-r b 
-fSHIFT - -[ ( --- . • • ................................................... 
• rio e 11 
s· 
en al 
• 
Ecuaciones en C 
, Para leer y recordar ' 
Para resolver ecuaciones en el conjunto de los números complejos, se procede de forma similar que en 
el campo de los números reales, salvo en el caso de presentarse ecuaciones con módulo. 
Ecuaciones cuadráticas en C 
Si z1 y z2 son números complejos y raíces o ceros de la ecuación cuadrática + bz + e, con a, b y e 
números reales, entonces z1 y z2 son números complejos conjugados, es decir: z1 = p + qi y z2 = p - qi. 
Además se cumple que: -< 
Ejemplo: 
Para encontrar la ecuación cuadrática cuyas raices complejas son: 
,... b 
z +z =2+2=4 = --1 2 a
z + z = 22 + 12= 5 =.E_ 1 2 a 
y z2 = 2 - i se cumple que: -< 
Para a = 1 la ecuación es z2 - 4z + 5 = O. 
(36) Resuelvan las ecuaciones en ([ y representen gráficamente la solución. 
z + ( 3 + i) 2 - i 3 = 1 + 4i (2 - z) ( 1 + i) . . = i5 - 1 
7 
- 3z + 3 (z + 1 r = 9i + 3z2 _1_ z + 2 (z - i) + _1_ = - 7i + ]_ z 2 i 2 
(37) Verifiquen que las siguientes ecuaciones tengan las mismas soluciones. 
i + 2z + 2 = O y ( z + 1 : i ) . ( z + 1 i ) = O 
Hallen los números complejos que cumplan simultáneamente: 
z + Z1 = 2 - i 
-z + Z1 = 3i 
z + 3z1 = 4- 2i 
2z- Z1 = 8 + 3i 
2z - z1 = z + 2i 
z- Z1 = 8 
(39) Escriban la expresión polinómica que permita tener 
como solución los números complejos representados. 
IIie irriardn'lri o 
¡::;. 
J. 
':1 
? 
1 ffi lí al 
.... 
- ) -. - - -L¡ 3 l , 
., -
.:::1 
.J. 
1¡::;. 
. 
¡;, 
Representación gráfica en el conjunto 
de números complejos 
Para leer y recordar 
Así como para representar cualquier número real se necesita un eje o una recta graduada, para repre-
sentar cualquier número complejo se necesita un plano cartesiano, con dos ejes graduados. 
Ejemplo: 
La representación gráfica del conjunto definido por comprensión A = { z E [ / Re(z) = 2} y la de 
8 = {z E [/ Im(z) < 1} son: 
t::. 
J. ¡ 
1 • 
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. . ·¡ 1 't_ 
1) 12 1J3 1!4 1l_ -
'"' - - -' h-.:::;=1--- J la , ,_ ,_ ,_ ,_ ,_ J__.; 
@ Representen los siguientes números complejos . 
.5!) D = {z E ([} Re(z) < 2 1\ Imz < l } SJ F = {z E [/ IRe(z)l < 2} 
E= {z E { / Re(z) 2 1\ Imz 11} E= {z E ([} llm(z) 1 > 1} 
[4-1) Teniendo en cuenta que el módulo de un número complejo z = a + bi 
es igual a la longitud del vector que lo representa con origen en (O; 0) y 
extremo (a; b), la representación gráfica del conjunto A= {zE { /lzl = 1} es: 
Representen gráficamente: 
lzl = 3 
lzl < 1 
SJ lzl <3 
/ 
1 
- -
\ 
'-
1 , 1 1-• 
! :.::f . 
e· • • ano ,-r- 1e¡1ma; "7n 
" ..... 1'\. 1 
a( , 
' 
-1 J 
..... ., _, V 
{j 2J Escriban por comprensión el conjunto de números complejos cuya representación gráfica es 
la siguiente: 
• 
... in '11!:. • ·1rio Eie irn '.ldnarib. -
o 1 ., "7 1 
t:. t:. 
1: "' 
/. 1 -
¡.. ., ... 
1 .... r•• ,-... 
5 - + - S - 2 - Lo 1 ' ' f ( 1 01 2 1 31 4 5" 
1 "El 1 
-5 -4 -B - ) -L, • ' t a 9 10 1 31j4 .. ... 
., !., 
1' 
Los números irracionales y el círculo 
Si se rodea un círculo de cualquier tamaño con un hilo y luego 
se divide esta medida por la del diámetro, siempre se obtiene 
un número un poco mayor que 3. Esta relación se mantiene 
siempre, independientemente del círculo escogido. 
Al número que expresa la razón entre la longitud de una cir-
cunferencia y la medida de su diámetro, se lo llamó Jí (esta le-
tra griega es la equivalente a nuestra p y es la primera letra de 
la palabra griega periphereia, que significa 'circunferencia'). 
Los matemáticos de la Antigüedad creyeron que este número 
era racional y le buscaron una representación fraccionaria. Re-
cién en el siglo XVIII, el matemático J. H. Lambert demostró que 
es irracional. 
Seguramente, sin saber que es irracional, hayan utilizado muchas veces alguna aproximación de su 
valor en distintos cálculos relacionados con longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas 
que involucran circunferencias y círculos. 
@,a) Un comerciante debe transportar objetos cilíndricos de vidrio, de 8 cm 
de diámetro y 6 cm de altura. Puede optar por dos tipos de cajas, como las 
descriptas en la tabla. 
taj,a ttpo 4 
Caja tipo & 
i. • se t• 
40 
56 
•' 
Expresen en forma exacta: 
Altura (cm 
32 t 9 . .. .. J ... ·- -
22 10 
l. el volumen de uno de los cilindros. 
Il. el área total de uno de los cilindros. 
Redondeen a los centésimos las medidas que calcularon en 
¿Cuál es la cantidad máxima de cilindros que puede entrar en cada caja? 
El volumen libre en cada caja se llena con un material especial que sirve para evitar o, even-
tualrnente, amortiguar golpes. Expresen el volumen libre de cada caja: 
l. en forma exacta. 
11. en forma aproximada, redondeando a los milésimos. 
!.) ¿Cu_ál de las dos cajas elegirá el comerciante, si se deben cumplir dos requisitos: que entre el 
máximo de cilindros posible y que quede el mínimo de espacio libre? 
Resuelvan y escriban la solución en el 
conjunto de los números reales. 
1 X+ 10 1 - 1 = 0 
(x - 6) . (x - 6) = O 
(x - 6) . (x - 6) = 4 
( 3x + 1) 2 = -1 
.!) (2x + 5)2 - 16 = 20x + 25 
.fJ 5x - ( 49 + 8x) = -x . (x + 3) 
47 Resuelvan y escriban el conjunto solu-
ción en el conjunto de los números reales. 
l3x + 41 < 25 
- 1-1 + X 1 > - 1 
1-x + 11 < -1 
.!J v(-2x + 3)2< 4 
.fJ 1 X - 351 > - 35 
(4.8) En la expresión n 2 - 1 racionalicen: 
2n+ 2 
el denominador. 
el numerador. 
y escriban el conjunto solu-
ción en el conjunto de los números reales. 
Y2 x_ 1 + v'8 x = Y1s 
2 
e • } r;. 1. ( 1 )-3 Y.2 X - V 5 X = 23 - 5 
lv' 12 5 - v'48 x 1 = m 
Resuelvan la ecuación: 
1 x - 11 . (X2 + 2) . (x2 - 2) = O 
enQ 11 
IR 
(51) Encuentren el inverso de los siguientes 
números complejos y represéntenlos gráfica-
mente en un mismo sistema de ejes . 
1 2 . 
---] 
5 5 
1 2 . ----¡ 
5 5 
1 2 . --+-¡ 
5 5 
1 2 . -+-¡ 
5 5 
Resuelvan las siguientes ecuaciones en C . 
z + ( 3 - i) 2 = 1 - 2i 
2z - i + 3 - i = O 
( 1 - i) 2 + ( 2 - z) i = 3 
z . + 2i = 1 
1 - 7 
(53) Escriban un número complejo en cada 
caso que cumpla las condiciones indicadas. 
Re (z) > 2 y Im (z) = 3 
Re (z) < Im (z) y Im (z) < O 
Re (z) + Im (z) = 8 
• 
• _. -: - . -. ·; _:.. • --. - . - .• ':..._ :'¡' .- --,:- ; -. ---.::-<·.· ' -.-· .. -·. -.- . ·- -- .· .. _; • ,·-.: 
• _- ACTIVIDADES -. . . ., 
. ,'_. __ -_.:··.··--·· - . 
. -- :.-.. :-._· ,._· -- . ,_ 
Escriban, si es posible, 
un número complejo que sea igual a su con-
jugado. 
un número complejo que sea igual a su 
opuesto. 
un número complejo que sea igual a su 
• Inverso. 
(5§} Resuelvan las siguientes operaciones con 
números complejos. 
3 + i 3 
1 + ¡s 
(7'8 - 2f9 ) + (1 + 2i7) - (9 + 4i11) 
(3 + 2i5) - (3 + i27) 
- 2 - 3i 
Averigüen el número complejo z para que 
se cumplan las siguientes igualdades. 
3+i 
z- 2 5 5 
z + i = 2i 
z- 2 
@7) Siendo z = 3k - , hallen k para que 1 z 1 = 10. 
1 - 37 
($08) Escriban en forma polar los siguientes nú-
meros complejos presentados en forma binó-
• mica. 
z = 5i 
z = -4 + 4i 
!) z = -10 
fJ z = - 4i 
9.J z = -2 + 2i 
h.J z=2 
--- .. . - ---- ---····. -- ... "· -· ·-. . . - -. · . 
(§2! Hallen la forma binó mica de los siguientes 
números complejos: 
z = ({8 ; 45° ) 
z = (-{18; 135°) 
z = (-{32; 225°) 
z = (1; 270°) 
Investiguen qué relación debe haber en-
tre los coeficientes a y b de una ecuación de la 
forma ax2 + b = O, para que no tenga solucio-
nes en IR. 
(61) Usen la calculadora para escribir la forma 
polar de los siguientes números complejos. 
3 -{3 +-ª- i 
2 2 
b tz=2+ 5-{3i 
=../ 2 2 
z = -2- 2i 
d l -13. 
2 1 
Usen la calculadora para escribir la forma 
binómica de los siguientes números. 
z = (5; 120°) 
z = (2; 330°) 
z = (1; 135°) 
z = (10; 30°) 
63 Encuentren los valores de p y q para que 
se cumplan las siguientes igualdades. 
!!) (6 + pi).(l- 4i) = 11q - 20i 
2p - 1 Oi = 8 _ qi 
3 + i 
.. 
4 Escriban por comprensión el conjunto 
de números complejos cuya representación 
gráfica es la siguiente: 
1 oí 
1 
., 
t:.. 
1;.. 
l . 
l 'l 
? 
11 'n '"'.(l 
-5 - ) -· - - -4 1 • 1 ()1 1{3 j 41 
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t --1- !"'"' • . .t. ... •• •• ... - - -·-· li:. 
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j :1 1 c.: 
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01 2 1 -) - + - -2 -!1 j 1 1 3 1 
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l--... 
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• 
5 
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¡ lnJ r:.· ;., ,
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•J'" " •w; ",.., 
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l'l 
-... 1'-. -- J. • ¡- - 2. ¡.. - " - ¡.. • '"' . - . ., - .. -- .. .. 11 ,.. ·r-'fl r--J 
- - -B - - ' "' j S e ! . 1 )1 1 3114 \ ,, J 
' t\.. c'l , ..... ro.... ' 
.t.: 
. 
(65) Hallen la forma binó mica del inverso de 
los siguientes números complejos y repre-
séntenlos gráficamente en un mismo sistema 
de ejes. 
(2; 60°) 
(2; 120°) 
(2; 240°) 
(2; 300°) 
(66) Hallen dos números complejos conjuga-
dos tales que la suma sea 6 y la diferencia 4i . 
;;;.;;...o' Escriban la ecuación cuadrática 
Z 2 + bz + e = O, = siendo b y e números rea-
les, y sabiendo que una de las raíces es: 
6 + i 
1!J - i 
6- i 
(Yi2; 45°) 
...........,8 Representen gráficamente los siguientes 
conjuntos de números complejos. 
A = {z E ( /1 z 1 $; 3 /\ Re(z) < 1} 
1!J A= {z E (/lzl > 1/\ IIm(z) 1 < 2} 
• 
Marquen la opción correcta. 
1 Gráficamente, un número complejo y su 
conjugado son siempre: 
simétricos con respecto al eje de las or- J 
denadas. 
-- !!) simétricos con respecto a la bisectriz 
del primer cuadrante. 
_:) simétricos con respecto al eje de las 
abscisas. 
g) simétricos respecto del origen de coor-
denadas. 
2 Para todo a y b perteneciente al conjunto 
de números reales, se cumple que: 
-....... .!J ia+bl=lai+Jbl 
...___... 
¿)la+ bl $; lal + lbl 
.._..,___ ::Jia+bl=lal-lbl 
3 El sistema de ecuaciones: V2.x - V3y = V32 
v'2.x- V3y =m . tiene como solución: 
2 
.._ 2 
V2 + 2v'3 
"'-'--'" E) X = {3 
v'3 + 2v'3 ..::) X = ........_.. 2 
y=1- 2v'6 
3 
y=1+ 2v'6 
3 
y= 
y= 
v'2 - 2v'3 
v'2 
v'3 - 2v'2 
3 
4 Los números complejos Z1 = -6 + 6i y 
Z2 = (6 ..J2; 315°): 
!!) son iguales. 
J J son conjugados. :;:::=:: 
.::) son opuestos. 
"----J 
.;:;) tienen distinto módulo. 
a-s. 3 . va2 
5 a4 Si ----':;-::;- = 27-1 , 33 --27. a 5 
""----" 1 a 1 = 'i 
_jjaj=v'3 
_j a=- V3 "'-'" 3 
_j a= -{3 
6 Un hexágono regular tiene 2 cm de lado. La 
distancia que hay desde el centro de esta figura 
hasta uno de sus lados es la misma que: 
_j la medida de la hipotenusa de un cua-
drado de 3 cm de lado. 
!...) la medida de la hipotenusa de un cua-
drado de 2 cm de lado. 
_j la medida de la altura de un triángulo 
equilátero de 2 cm de lado. 
_j la medida de la altura de un triángulo 
equilátero de 3 cm de lado . 
7 Las soluciones de la ecuación x4 - 9 = O son: 
_j X1 ={ i X2= - -{3 
_j X1 =fi X2= -f3¡ 
::._) X1 =·Vi X2= -{ 3; X3={31; 
x3 ={fi; X4= - -{3¡ 
8 El opuesto deJ conjugado de 3 + 2i es: 
0 3 + 'iJ 
_J 3- 2i 
CUADERNILLO 2 
:2. Funciones cuadráticas 
R . . '· . . . l eVJS7ón 1n1c1a 
El m o de lo cuadrátice ....................................................... 5 
La función cuadrática ...................................................... ] 
Ecuaciones cuadráticas ................... , .............................. 9 
Resolución de ec:uaciones 
cuadráticas completas ............................................... 11 
Construcción de la gráfica de una función 
d 't' cua ra. 1c·a ........... ........... . ._. ....... ! .................. . .. . .................. . . . 13 
El discriminante ................................................... ,._ ............... 14 
Forma factorizada y ca1_1ónica de la 
función cuadrática •e.o•u••···-····--·· ........ .................. ..... , ....... ._.. ..... 15 
Relaciones entre las raíces y los coeficientes ...... 16 
Problemas con máximos y míntmos ......................... 17 
Crecimiento y decrecimiento ...................................... 18 
Inter-valos de pesitividad e intervalos de 
n e·g a ti vi dad .. ·-· ...... ·-·· ......................................................... ..-...... 19 
Sistemas mixtos de ·dos ecuaciones .......................... 20 
Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas ................. 21 
Recta tangente a una parábola .................................. 22-
lnecuaciones cuadráticas ................ , ......... .................. 24 
En el mundo real .............. _ ........ 9.' ................. .. ........... . .............. 25 
Libre competencia de mercado .............................. 25 
El cine y las persecud_ones ...................................... 26 
Más activi.dade$ ....................................... "' .......................... 27 
A.u-toevaluación ........................... , ........ ., .... 30 
1 
;.:..;r·•f:_ 
• 
-
• 
t.as funciones cuadráticas permiten describir innumerables 
fenómenos relacionados con distintas ciencias, como la 
Biología, la Física, la Economía y la Astronomía. 
Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadrática'S 
eran conocidas ya en la Antigüedad. Desdé entonces- los 
matemáticos· desarrollaron curiosos métodos para su 
. 
resolución, basados en procedimientos geométricos. En la 
actualidad, gracias al desarrollo del lenguaje simbólico, 
utilizamos métodos sustentados aJgebraicamente que 
resultan más convenientes. Las formas descripta$ por las 
funciones cuadráticas se observan en mucbas situaciones 
cotidianas, como la que ven en la imagen. 
1 Resuelvan las siguientes potencias. 
:' 1 3 -_;.¡ - 4 -
: 1 -4 
.=..! 10 = 
iJ -(-1)32 = 
2 Indiquen V (verdadero) o F (falso) en cada 
una de las siguientes igualdades. 
3 Resuelvan, cuando sea posible, las si-
guientes ecuaciones. 
.:!) 5x2 - 13 = 7 
.:;) 2x4 - 5 = 27 
.2J (x + 3)(x- 3) = (-4/ 
- 3x- 2 = x(3- 8x) 
.:;) x(x2 + 2) = 2x - 8 
(3x- 4)2 = 9x(x + 2) 
4 Hallen el valor de cada expresión para los 
valores de la variable que se indican, como en el 
ejemplo. 
P ( x) = 3x2 - x + 5 
P(-2) = 3(-2/- (-2) + 5 = 19 
Q(x) = x . (7 - x) 
Q(-3) = .............................................. . 
.:J R (X) = 2 - 3x - i 
R( 5) = ................................................... . 
2J S ( x) = 4x + x2 - 6 
5(0,5) ;::::- ··············································· 
T ( x) = i - 7 + 5x 
T( -4) = •.•.•.•..•.••...•.•........................ · · · · · 
5 Unan con flechas las expresiones equiva-
lentes. 
a2 + b2 + 2ab 
a2 + b2 - 2ab 
b2 - ab 
a2- b2 
a2 + ab 
(a + b)a 
(a + b)2 
(a - b)2 
(a + b)(a - b) 
(a - b)b 
6 Resuelvan las siguientes situaciones . 
.0 El área de un cuadrado es de 64 cm2 • ¿Cuál 
es la longitud de un lado? 
.:J Un cartel luminoso de forma triangular tie-
ne una superficie de 6m2, y la longitud de suba-
se es el triple de la longitud de su altura. 
Calculen cuánto miden la base y la altura. 
El modelo cuadrático 
(1) Suave Confort es una empresa de decoración, 
con gran prestigio y muchos años de experiencia en el 
rubro, que decidió abrir su taller de confección artesa-
nal de tapices. Confeccionan una serie de nuevos ta-
pices cuadrados que miden entre 1 y 3 m de lado, con 
diseños exclusivos y a pedido. El precio del tapiz se 
calcula en $300 por metro cuadrado. 
Teniendo en cuenta que l es el lado del tapiz y P 
su precio, completen la siguiente tabla de valores. 
•'a4» (m) 
l 
1 
Mlf'II¡'Q 
2,5 
¡.,, 
1""' 
.(} 1 ... 
1 .. ,. 
1'11 1 ..... 
.... , 
1 .&. J ' 
11 '1. --
n, -
V ' 
" J ' 
... 
V 
.. :i n l\ Al. 
' 
o r; 1 r; 2 r; 1 1;¡dc fmll , r 
Representen los valores que obtuvieron en el gráfico y unan los puntos con una curva. 
Consideren la función P(l) que asigna, a cada medida del lado, el precio correspondiente de un 
tapiz. 
l. Escriban la fórmula de P(l). 
················ · ·········································································································································· ·········-·· ··· 
11. ¿Cuál es la variable 
············ ··· ············ ·························································································-················ ······· ··············· ··············· 
III.¿Cuál es la variable dependiente? 
·········-···························································································································································· ···· 
rv. Indiquen el dominio y la imagen de la función P(l) en esta situación. 
····························································································
··························-··················································· 
CIJ Marcelo es repartidor de diarios en Villa Hermosa y excelente ciclista. Para mantener su estado 
físico y poder competir, debe entrenarse continuamente, por lo que ha decidido efectuar el reparto 
en bicicleta. Todas las mañanas, va arrojando los diarios uno a uno en las puertas de sus clientes sin 
detenerse y, así, se entrena mientras trabaja. 
La distancia al puesto de diarios d (en kilómetros) a la que se encuentra en cada momento durante su 
jornada de trabajo está expresada en función del tiempo t (en horas) mediante la siguiente fórmula: 
d{t) = t{6 - t) 
Completen la siguiente tabla de valores. 
. 
1 ..... .... tn ( 1 1 lJl 
! 
1 ' j i 
1" ·" tiempo (h) · , . Distancia (km) 
1:>' t r . , d . . .,,.., _ ... 
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' 
Representen los datos de la tabla en el gráfico y unan los puntos con una curva. 
Respondan a las siguientes preguntas. 
l. ¿Cuántas horas dura el recorrido? 
•••••••••••• •• • • •••• ••• •••• ••• • • ••• •• ••••••••• ••••••••••••• • • • ••• •• •••••••• • ••••••• • ••••••••••••• •• •••••••••••••••••••••• • •• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. ••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• ••••• ••• ••••••••••• •• ••••••••• • ••••• t • •••••• • • •• ••• • 1 • ••••• • ••••• • •••••••• •• ••• •••• • 
11. ¿Cuántos kilómetros hace diariamente para completar el reparto? 
•••••••••••••• •• ••••••••••••• • •••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
111. Si Marcelo sale a trabajar a las 4:00, ¿a qué hora se encuentra más lejos del puesto y a qué 
distancia está en ese momento? 
•••••••••••••••••••• •• •• •••• • •••••••••••••••••••••• • • • ••••••••••••••••••• •••• • ••••••••••••• • ••• • •••••••• • •• • • • ••••••••••••••••••••• • •••••• • •••••• • ••••••••••••• • ••••••••• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
La función cuadrática 
• Llamamos función cuadrática a toda función que 
pueda expresarse de la forma: 
f(x) = ax2 + bx +e O) 
a E IR- {O} --7 coeficiente principal o cuadrático 
b E IR - coeficiente del término lineal 
e E IR --7 término independiente 
• El dominio natural de estas funciones es IR, y al re-
presentarlas gráficamente, se obtiene una curva lla-
mada parábola. 
• Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje 
y de ordenadas, sobre él, y un punto llamado vértice 
en el que la curva pasa de ser creciente a decreciente o 
• Vlceversa. 
• Los ceros o rafees reales de una función cuadrática son 
las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfi-
ca y el eje de las x. 
Para leer y recordar 
1 
-3 - 2 
• 
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f x) = x2 - 2J - 8 
{1; .-9' ., 
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a Ul .. -a 
C2J Completen la tabla de valores eligiendo adecuadamente los valores para x, representen la curva y 
señalen en el gráfico el vértice y el eje de simetría de cada una de las siguientes funciones cuadráticas. 
f(x) = /-4 f(x) = / - 4x + 3 
V_ 1 1 
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y 
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(lO) Observen atentamente las gráficas y las fórmulas correspondientes, y completen las siguien-
tes oraciones. 
• El eje de simetría de tod,as estas parábolas es la rec-
ta de ecuación x= ...... , que es el eje de ordenadas. 
\. 
• El vértice de cada una de estas parábolas es el 1\ \ 
IJllilt() ...................... ................ ................................. . '\ 
!'-.. 
• Cuando a es positivo, las ramas de la parábola "' 
-tienen forma de . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
• Cuando a es negativo, las ramas de la parábola v 
tienen forma de . . . ... ... . ... .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . .. .. . . . . . . . . . / V 
/ 
• A medida que el valor absoluto de a aumenta, se / 
V 
observa que las curvas ...................... ...................... .. 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
(11) Consideren las funciones que aparecen en la tabla. 
Completen las tablas de valores y representen 
cada función en el gráfico con distintos colores. 
Analicen los gráficos y completen las si-
guientes oraciones. 
• La variación del coeficiente e produce un des-
plazamiento ............................................ ................. . 
• Si e sufre un cambio positivo, la parábola se des-
plaza hacia .............................. ; si e sufre un cambio 
negativo, la parábola se desplaza hacia .................. . 
• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••• •••••••••••••••••• • 
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V 
v 
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_ .... , 
X 
Ecuaciones cuadráticas 
'. . 
Para leer y recordar 
• Llamamos ecuadones cuadráticas o ecuadones de segundo grado a las ecuaciones que pueden reducirse 
a la forma ax2 + bx + e= O (con a:¡ O). 
• Cuando igualamos a cero la fórmula de una función cuadrática para averiguar sus raíces, planteamos una 
ecuación cuadrática. 
• Las soludones reales de esta ecuación, que pueden ser dos, una o ninguna, son los valores buscados. 
• Dedmos que una ecuadón cuadrática es incompleta cuando alguno de sus coeficientes b o e, o ambos, son nulos. 
Observen cómo podemos resolver algunas ecuaciones cuadráticas incompletas. 
x2 - 4 =O 
x2 = 4 
lxl = Y4 
lxl = 2 
(x1 = 2) 
(x2 = -2) 
t 
.Y 
l . ... 
" /[\ 
!\ 1./ 
1 
' ' 
' L x' -
X .. 
(12) Observen la figura y respondan a las siguientes preguntas. 
¿Cuáles de las funciones representadas tienen dos ceros? 
iCuáles tienen un solo punto de contacto con el eje de las x? 
¿Cuáles no tienen ningún cero? 
y 
(13) Resuelvan las siguientes ecuaciones en IR, cuando sea posible. 
-3x2 + 6x = O 
x. j -3x + 6) = O 
( x; = O) - 3x + 6 = O 
6 = 3x 
6: 3 =X 
( 2 = x2 ) 
' 
) 
X 
x2 - 9 = O 3x - x2 = 3x - 2 .9.J x( 3x - 2) = x2 - Sx 
x2 + 4 =O 
1 -i =o 
Sx- x2 =O 
!J 4x2 + 3x =O 
!!J 4 - 3x - x2 = ( 3x - 2) 2 
• !.J x(x + 2) = 2x(x - 1) 
----- ------- --- . -- --- - -
(li) Consideren los prismas de base cuadrada que tienen 1,5 m de altura. 
5!) Escriban la fórmula de una función que permita calcular el volumen del prisma en metros 
cúbicos en función de la arista l de la base, en metros. Indiquen su dominio y represéntenla
grá-
ficamente. 
¿Cuánto mide el perímetro de la base de uno de estos prismas, si su volumen es 0,135 m3? 
(lS) Juan es artesano y tiene un problema con un cliente por una alfombra que le encargó. El señor 
García, su cliente, le pidió una alfombra cuadrada de 1,5 m de lado, cuyo precio era $450 ($200 el 
metro cuadrado), pero luego cambió de opinión y le pidió que hiciera una cuyo lado fuese el doble. 
García está dispuesto a pagar $900 por la nueva alfombra, pero Juan dice que el precio es el doble de 
lo que ofrece su cliente. ¿Quién tiene razón? Justifiquen la respuesta. 
(16) Un jugador de golf, ubicado junto a uno de los orifi-
cios del campo, golpea la pelota con intención de lograr un 
hoyo de 90 m. (Recuerden que un hoyo es la distancia en-
tre dos orificios consecutivos del campo). 
La trayectoria de la pelota responde a la función: h = 0,2d 
(1- 0,01d), donde hes la altura alcanzada y des la distan-
cia horizontal recorrida. 
5!) ¿Podrá la pelota pasar sobre una loma de 3 m de altura que se encuentra en la mitad del hoyo? 
Justifiquen la respuesta. 
En caso de hacerlo, ¿cumplirá con el objetivo del golfista? Justifiquen la respuesta. 
(ti) La energía cinética de un móvil se mide en joules (un joule es la energía con que se desplaza 
un cuerpo de un kilogramo a una velocidad de un metro por segundo) y se calcula mediante la fór-
mula: Be= m v2 (donde m es la masa en kilogramos del cuerpo y v la velocidad con que se des-
plaza en m/ seg). 
¿Con qué velocidad se desplaza una bala de 10 g de masa que en el momento de ser disparada tiene 
una energía cinética de 162 joules? 
(iS) En un péndulo, la relación entre su longitud L (en 
metros) y su período, que es el tiempo T (en segundos) 
que tarda en completar una oscilación, se puede aproxi-
mar mediante la siguiente fórmula = r. 
¿Cuál es el período de un péndulo de 40 cm de longitud? 
(¡9) Calculen el área de un rectángulo de 12 cm de base y 13 cm de diagonal. 
(iQ} Calculen el perímetro de un rombo si sus diagonales miden, respectivamente, 16 cm y 12 cm. 
Resolución de ecuaciones cuadráticas completas 
Para leer y recordar 
Las soluciones x1 y x2 de cualquier ecuadón cuadrática, una vez reducida a la forma ax
2 + bx + e = O 
(con a rr! 0), se pueden obtener mediante la siguiente fórmula, conocida como fórmula resolvente: 
-b :!: V b2 - 4 • a • e 
2. a 
Observen un ejemplo de cómo se aplica. 
3x2 + 2x- S= O a= 3· b = 2· e= -S , , 
-2: v 22 - 4. 3 . (-s> 
2. 3 
-- -2 :v4 + 6o --
6 
--
6 
-2 + 8 6 
¿ 
- - 1 xl = ---
6 6 
(21) Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas. 
-2! 8 
6 ¡ 
-2- 8 
x2 = --
6 
2i - 12x + 1 O = O i + 4x + 1 = 7 - i 8x + 26 = i- 7 
-10 -S -- -
6 3 
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................. . 
-O, 5x2 - 3x = 4, 5 x(x + 2) = -1 .!) x2 - 4x = 5 
••••••••••• ••• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• 
{22) Observen la figura. Sabiendo que la imagen ocupa 
un área de 1350 cm2, calculen el ancho x del marco . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
••• ••• •••••••• •••••••• •••••••• •••• •• •••• ••••• ••••••••••••••••• ••••• ••••••••••••• • ••• •••••••••••••• • 
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
55 cm 
40 cm 
[23) Sobre la esquina de un terreno rectangular que tiene 50 m más de fondo que de frente, se 
construye una casa de 15m por 30m. Si queda libre una superficie de 4550 m 2, calculen la medida 
del frente del terreno . 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ' ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••• o ...................... .. ................................................ ..... ............ . 
•• •• ••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••• ••••••••• •• ••••• •••• •••• ••• ••••• •••••••••• •••••••••••• •••• • •••••••• • • ••••• •• 
(24) Hallen el valor de x en cada una de las siguientes figuras utilizando la información dada. (Las 
longitudes están expresadas en centímetros y las áreas en centímetros cuadrados; P : perímetro; 
A: área). 
X 
2x- 5 
X 
A= 150 
4x 
p = 20 
)( 
1 
U'l 
3x 
x-2 
X+2 
A= 60 
3x+ 1 
x+2 
A= 90 
)( 
1 
..... 
2x- 5 
25 Un agricultor tiene un resto de 100 t de granos que puede vender a $190 la tonelada. Sabe que 
por cada $10 que aumente el precio, vende 5 t menos. 
Si por la venta de granos cobró $18 700, ¿cuántas toneladas le quedaron? 
¿A qué precio vendió la tonelada? 
.!!} ¿Cuánto hubiera recibido por la venta de 90 t? 
Construcción de la gráfica de una función cuadrática 
r' Para observar L 
Para graficar la función f(x)= x 2 + 2x- 8, podemos proceder así: 
• Hallamo·s sus raíces aplicando la fórmula. 
-2 ± v 22 - 4 . 1 . c-8) xt; x2 = -------..!...-...!.. 
2 . 1 
• Encontramos la ecuación del eje de simetría, que pasa por la abscisa del 
vértice, promediando las raíces (ya que estas equidistan del eje). 
x = -1 ecuación del eje 
xv = -1 abs_cisa del vértice 
• Calculamos la ordenada del vértice. 
Yv = f(xvJ = (-1)2 + 2 . (-1) - 8 = -9 
=> v = (-1; -9) -coordenadas del vértice 
1"' 
\ 71 
¡ 
V 
1 
' ' 
• Calculamos la ordenada al origen que es la imagen del O. (Recuerden que es la ordenada del punto de 
intersección de la curva con el eje de ordenadas). 
/(0) = 02 + 2 . o - 8 = -8 
• Marcamos los puntos que obtuvimos y trazamos la gráfica aproximada. 
(26) Consideren la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática. 
!!) Demuestren que la ordenada del vértice también puede obtenerse 
aplicando la fórmula xv = - 2! . 
Utilicen la fórmula hallada en para calcular las coordenadas 
del vértice de las siguientes funciones. 
l. f(x) = -i + 3x -10 
11. g(x) = 2x2 + 1 
111. h(x) = - --} i - x- 3 
(27) Grafiquen las siguientes funciones cuadráticas. Indiquen de cada una: la ecuación de su eje de 
simetría, las coordenadas del vértice, las raíces reales (si las tiene) y la ordenada al origen. 
!!) y = x2 - 2x + 1 2 -x-6 !) y= -x2 + 7x 9J y= 2x2- 8 
y = 1. x2 + J. x - .1 
2 4 2 x
2
- 2x + 9 f.J y= i- 9x !!) y= 1i+6 
• 
El discriminante 
' Para observar 
, 
Se llama discriminante a la expresión b2 - 4ac, y se lo simboliza con la letra mayúscula griega 11 (delta). 
11 = b2 - 4ac 
En la fórmula de una función cuadrática, pueden presentarse tres situaciones: 
La función tiene dos rafees reo- La función tiene una sola rafz 
les distintas, y su gráfica corta real, y su gráfica tiene un solo 
el eje x en dos puntos. punto de contacto con el eje x. 
y J 
A ;t 
4 / '\ • • ;. ... ... -
¡O l. r\ " -V-
, 
- X - X 
1 
-' 1 •• 
• -. 
1 ' ' ' 111>0 1 l f1=o l 
{28) Observen el gráfico e indiquen cuáles son las curvas que co-
rresponden a las funciones cuadráticas cuyo discriminante es: 
negativo. 
positivo. 
calcular sus raíces, indiquen la cantidad de soluciones rea-
les (dos, una o ninguna) de cada una de las siguientes ecuaciones 
cuadráticas. 
x2 + 2x- 1 =O 
si -
3x + 1 = o 
5x2 + 3 =O 
9x - 12x2 + 12 = O 
/- 5x + 2 =O 
.fJ 4 - 4x + i = O 
9) 1 - 9i :::: o 
!!.J 4 + 4x2 = O 
La función no tiene rafees reales, 
y su gráfica no tiene contacto 
con el eje x. 
l 
' +y 1 L "Y 
., J 
\ J 1 " 
/ 
4 1 
1 • 
-2 -
1 f1<o l 
y 
• 
j 
iJ i - 2x + 1 = O 
l.J3-i +x=O 
X 
X 
25x2 + 2x + 0,04 =O 
!J o, s + o, si = o 
30 Hallen los posibles valores de k para que las ecuaciones propuestas cumplan la condición pedi-
da en cada caso. 
x2 + kx =O _j x 2 + kx + 4 = O x2 + kx + 6 =O 
3x
2 
- x + k =_o _j 3x2 - 6x + k =_o __ .... _ ..:J O, 5x2 - x - k = O 
' ) 
• 
) 
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l 
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• 
1 
Forma factorizada y canónica 
de la función cuadrática 
Para leer y recordar •• 
Una función cuadrática con raíces x1 y x2, ya sean reales, iguales o distintas, o complejas conjugadas, 
tiene una fórmula que puede expresarse en forma factorizada, asi: 
Si conocemos Las coordenadas del vértice de una función cuadrática, su fórmula puede expresarse en 
forma canónica asi: 
f(x) = a (x - xv/ + Yv Xv: abscisa del vértice 
Yv: ordenada del vértice 
(31) Completen la tabla con las fórmulas de ca-
da una de las funciones que se representan en el 
siguiente gráfico. 
1 
-
1 
1 
1 
1 
' 
·\ 
\ 
- ,b -
V '\ 
1\ 
' 
1 
m 
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. 
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l . 
f>:1 
1 
1 
1 
1 
1 1 . 1 
-k 
1 
1 
' /' _ Forma factorizada forma :.arnÓlli_sa . 
f(x) -g(x) 
h(x) 
k(x) 
l(x) -
m(x) 
1 
' 
\ j 
1 
1 
... 
l 
• X 
"'\ 
\ 
' 
\ , 
1 
. ' .!) • 
• 
Relaciones entre las raíces y los coeficientes 
L_J 1 Para leer y recordar t 
Las raices x1 y x2 de una función cuadrática se relacionan con los coeficientes a, b y e de su fórmula po-
linómica mediante las siguientes expresiones. 
(3í) Hagan los cálculos necesarios y completen el cuadro. 
1' >: : ___ ..... _ .. .· . . . . .. 1 • .... 
nómica factorizada -· a . . b 1 - e . Xt x2 >; .. 1 . 
. .... ,·:--::. : : ' 
. . 
1 
.. 
1 2 -3 
-2 3 -4 
2(x- 2) (x + 1) 
. 
' 
5 -1 -1 
.. -
4 4 -4 
' 
:-1 
i 
' 
l 
- -
-3 1 1 - -2 4 
33 Hallen la expresión polinómica de la función de segundo grado que cumple con las condicio-
nes indicadas en cada caso. 
!!.) La suma de las raíces es 5; el producto de ambas es 6 y tiene ordenada al origen 3. 
La ordenada al origen es -1; la suma de las raíces es 4 y el producto es 2. 
El coeficiente principal es 1; la suma de las raíces es 3 y el producto es O. 
34 Hallen la expresión de la función de segundo grado que cumple con las condiciones pedidas en 
cada caso y grafíquenla. 
5!J Su gráfico pasa por el punto (1; - 1); su eje tiene ecuación x = -2 y la ordenada del vértice es 3. 
El vértice es el punto (1; 2) y su ordenada al origen es 3. 
Una raíz es 4 y la otra es O; el vértice es (2; -4). 
35 Demuestren las fórmulas que relacionan los coeficientes con las raíces de la función cuadrática. 
(36) El área de un rectángulo es 8 cm2, y su perímetro, 12 cm. Escriban la fórmula de una función 
cuadrática cuyas raíces sean las medidas de los lados del rectángulo. 
Problemas con máximos y mínimos 
/ / ,. , Para leer y recordar 
Muchas veces se presenta, en la resolución de un problema, la necesidad de encontrar un valor máximo 
o mfnimo que sea solución de la situación planteada. 
En muchos de los casos en que una función cuadrática es la interpretación matemática de la situación 
real, estas soluciones se encuentran identificando el vértice de la parábola. 
(37J En el circo Mundo Rodante actúa el ma-
labarista Evaristo. La fórmula que permite cal-
cular la altura en función del tiempo que 
alcanzan los objetos que lanza Evaristo en su 
número es: D(t) = 4,5t - 2,25t2 +0,75 (donde D 
es la altura medida desde el piso, en metros, y 
t es el tiempo, en segundos, tomado a partir 
del instante en el que el objeto es lanzado). 
Confeccionen el gráfico de la función. 
Busquen las coordenadas del vértice. 
¿Cuál es la altura máxima alcanzada por 
los bolos que lanza Evaristo? 
¿Desde qué altura son lanzados? 
(38) En una guardería infantil, se desea construir un corralito para que los bebés permanezcan en 
su interior jugando. El perímetro del corralito rectangular debe ser de 20 m exactos, y se desea que 
su superficie sea la máxima posible. ¿Cuáles deben ser las medidas del corralito? 
La empresa La Santiagueña S. A. es una. importante productora de cestos de mimbre del mer-
cado nacional. El costo promedio (en pesos) por unidad al producir una cantidad x de cestos es 
C(x) = 20 - 0,06x + 0,0002x2• 
¿Qué número de cestos producidos minimizaría el costo promedio? 
¿Cuál sería el costo promedio si se produjera dicha cantidad? 
{ig) ¿Cuál es la ganancia máxima G (en pesos) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto 
producto si su función de ganancia está dada por: G(x) = 60x- x2? 
•• •••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• •••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••• • ••• • •••••• • •••• • •••• • • • ••••••••••• • •••••••••••• 
(il) ¿Cuáles son las medidas de un terreno rectangular de área máxima que puede cercarse con 
sólo 500 m de alambre? 
•••••• • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••• ••• •••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••• •• •••••••••••••••••••••••• • ••••••••••• • •••••• 
Crecimiento y decrecimiento 
la gráfica para cada una de las siguientes funciones cuadráticas y luego com-
pleten la tabla. 
f(x) = i - 2x - 8 
!!.J h(x) = -2x2 - 3x -3 
m(x) = (4 -x)(x-1) 
p(x) = (2 - x)(3 + x) 
g ( x) = i + 6x + 9 
f.J l(x) = -4x2 - 4 
1 
1 
1 
1 
l 
• • 
. 
1 
1 
! ' • l 
/ f ... --:-C-eros Intervalo de credmiento Intervalo de decrecimiento Má>{imo Minimo unaon 
-· - " - - - n 
f(x) 4 y -2 (1; +oo) ( -oo; 1) No tiene -9 
- ., 
j 
T 
1 ] 
1 
1 
l .t 
¡ • 
·, 
,: L; 
i 
1 
1• 
43 Analicen los gráficos que hicieron en la actividad anterior y completen las frases. 
Una función cuadrática con coeficiente principal positivo es decreciente para valores del do-
minio menores que la abscisa del vértice y es ............... .......... ..... para los mayores. 
!!J Si una función cuadrática es creciente para los valores de x que están a la izquierda de su eje, 
entonces su coeficiente principal es .............................. . 
Toda función cuadrática que decrece para los valores de x que están a la derecha de su eje de 
simetría es ......... ..................... para los valores de x que están a la izquierda de su eje. 
.. 
Intervalos de positividad e intervalos de negatividad 
Para observar 
20 y 
15 
10 
5 
4 X 
e+ = ( -oo; -2) u (2; +oo) 
e = (-2; 2) 
1 1 1 o 
-4-
10 
-20 
-30 
-40 
(+ = (-1; 4) 
e = (- :tJ; -1) u (4; +x) 
2 
o -3 -2 -1 
-2 
-4 
y 
1 2 X 
4 
2 
y 
- 1 1- :!- t=-H 
-4- 4 X 
-2 
-4 
e+=. 
C - IR 
[j.4) En cada una de las siguientes funciones cuadráticas, hallen las raíces reales, si es que las tienen, 
hagan un gráfico aproximado (para esto tengan en cuenta el signo del coeficiente principal) y escri-
ban el conjunto de positividad y el de negatividad. 
f(x) = i - 5x + 6 
' 
:Y• 
" 
• 
&. 
k 
l 
, 
., 
• 1 - - - - · 
l ·.O X 1 ' 
o 
X 1 = ............................. . 
X 2 = ..•.... . ...•... .. .....•.•.•... 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
C= ••••••••••••••• • ••••••• • ••••• 
t 
IY 
., 
.o 
2 
. 1 
1 ' 
l 
o 
'-
-
• o 1 h_t 1 1 ' ? l 
x1 = ............................. . 
X 2 = ...... . ...................... . 
••••••••••••••••••••••••••••• 
C= ••••••••••••••••••••••••• • ••• 
h(x) = l..i + 2 
4 
-y 
< 
., 
""l 
o 
X 1 = .....•......... . .............. 
X 2 = •..•.••.•..•..•....••......... 
•••••••••••••••••••• ••• •••••• 
C= • ••••••• • •••••••• • •••• •• •••• • 
(45) Hallen los conjuntos de positividad y de negatividad de cada
una de las siguientes funciones. 
f(x)= x2 + 4x g(x)= 2x - i - 1 h (x)= i + 5x + 6 k( x) = i - 3x - 6 
• 
• 
Sistemas mixtos de dos ecuaciones 
/ Para observar , 
Vamos a resolver el siguiente sistema mixto de dos ecua-
ciones, una cuadrática y una lineal, con dos incógnitas: 
,. 
y= x2 - 4x + 4 
< 
y=2x-4 
Es útil tener presente que gráficamente el sistema está 
representado por una parábola y una recta, y "resolver-
lo" significa encontrar las coordenadas del o de los pun-
tos de intersección entre ambas gráficas, cuando estos 
existan. 
Algebraicamente, podemos proceder asi: 
• Igualamos las ecuaciones. 
• Resolvemos la ecuación cuadrática resultante (apli-
camos la fórmula resolvente). 
• Calculamos el valor de y que corresponde a cada uno 
de los valores de x (reemplazamos los valores de x que 
obtuvimos en cualquiera de las ecuaciones). 
• Las soluciones del sistema de ecuaciones son: 
• Comprobamos ambas ecuaciones y verificamos la ubi-
cación de los puntos en el gráfico. 
' . y ' 
e:.. ' -
f. 
'l 
[1 1 
., \ V 
'l \ 1 - ¡ . ... 
- ¡O 1 
V 
, 
x 2 - 4x + 4 = 2x - 4 
x2 - 6x + 8 =O 
) 
) 
) 
) 
Yt = 4 Y2 =O 
(4; 4) y (2; O) 
4 = 42 - 4. 4 + 4 
4=2.4-4 
o = 22 - 4 • 2 + 4 
0=2.2-4 
4 
{4.6) Resuelvan los siguientes sistemas y represéntenlos gráficamente. 
j 
1 
-
! 
)( 
y= 3i + 6x + 3 y= -i + x y= i + 3x- 4 
y = X - 1 y = X + 2 y = 5X - 4 
y= si+ 15x 
y=x 
47 Resuelvan el sistema de ecuaciones determinado por la parábola de vértice V- ( f; f) que 
tiene una de sus raíces en el origen de coordenadas, y la recta que contiene a los puntos A= (3; O) 
y B = (0; 3) . 
• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • ••••• ••• •••••••• • •••••• • •••••••• ••• •• ••• •••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • •••• •••••• 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
• • • • • • • t ... .... .. .. . . ..... . ....... . ....................................................... ......................... .. ............ .. ...... . ............................... . 
Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas 
(48)El siguiente gráfico muestra dos parábolas a las que se les ha borrado parte de la curva. 
!!, L 1 
o 
....... 
--
"JI -
"'U ,, ' ... 1\. #\r 
\1 :·: \ -1 
' r ., 
'loo. 
o 
,; :5-' tO - .5- .o -a _ff 1 115 20 2!5 X 
" 
\ .111: 
; -
Escriban la ecuaCión de la función cuadrática asociada a cada una. 
Busquen analíticamente los puntos de contacto entre arribas y completen el gráfico borrado. 
{i2JHallen analíticamente y verifiquen en forma gráfica las soluciones de estos sistemas de ecuaciones. 
y= (x- 2)2 + 1 
y = (x - 10)2 + 1 
y= 2(x- 5)2 - 32 
y= 2(x + 1)(x + 9) 
2 y= x - 6x + 9 
2 y = 3x - 2 4x - 48 
y = (x-4)2 
(x - 4 )2 
y=- x-4 
{§Qlconstruyan en cada caso un sistema de dos ecuaciones cuadráticas que cumplan las siguientes 
condiciones. 
Se intersequen en los puntos (1; O) y (2; 2) . 
.!!J No se intersequen. 
E) Se intersequen solamente en el vértice, que debe ser común y coincidir con el origen de coor-
denadas. 
Se intersequen solamente en un punto que no sea el vértice. 
• 
Recta tangente a una parábola 
Para observar 
La recta de ecuación y= 4x- 10 es tangente a la parábola de ecuación y= tx2 - 2, porque al resolver 
y= 4x- 10 
analiticamente el sistema mixto 1 Y --x2 - 2 - 2 
se obtiene una sola solución: S = { ( 4; 6)} 
La interpretación geométrica es que las gráficas de ambas funciones tienen contacto en un solo punto. 
.., ... y 1 
., n IJ 
1b 
1 1 l. # 1 ., 1 n 
' 1 S .y 
:/. 
\ , Jj ' ){ 1. •,.., n o :\.. 1/ . ( 1 r'l 1 ')1 
'L 
'c. -
o - ' 
Si al resolver el sistema mixto hallamos dos soluciones, la recta es secante. 
Si no encontramos solución, la recta es exterior. 
[51) Observen el gráfico y determinen un sistema 
mixto que cumpla con la condición pedida en 
cada caso. 
!!) La recta sea tangente a la parábola. 
La recta sea secante a la parábola. 
La recta sea exterior a la parábola. 
•Y 
1 b ú: '· 1., n 1¡., 1 
V I 
(52Jrndiquen cuáles de las siguientes rectas son tangentes a la parábola de ecuación 
y= ii -2x + 4. 
3x + 3 
12 
!) y=-2x+4 
.f.J y=1 
53 Un grupo de amigos planea salir de vacaciones. Pagarán, por partes iguales, $600 cada uno por 
el alquiler de una combi. Si Gustavo y Mariano se sumaran al grupo, cada uno debería pagar $80 me-
nos que antes. ¿Cuántos amigos planean viajar? 
............................................................................................................................................................................ 
tiene un juego de simulación de 
vuelos en su computadora, que muestra en 
pantalla la fórmula de la trayectoria de dis-
tintas naves. 
Un helicóptero se desplaza con una trayec-
toria dada por f(x) = -2r + 2px- 40000, y 
la fórmula que describe la trayectoria de 
un avión es g(x) = 20 000 - 400x. 
¿Qué valores puede tomar ppara que el avión 
y el helicóptero no colisionen? 
(55] En la diagramación de un diario escolar, se eligió utilizar 700 cm2 de papel para cada página. Se 
necesita que el largo sea 15 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles son las medidas de la página que cum-
plen estas condiciones? 
............................................................................................. .............................................................................. 
[56] Hallen las dimensiones de un rectángulo de 40 cm2 de área sabiendo que su altura es 3 cm me-
nor que la base . 
••••••••••••• • ••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••• • •••••• 
-
57 Considerando que las siguientes ecuaciones pueden formar un sistema, calculen qué valor o 
qué rango de valores podría tomar el número k para que el sistema tenga: 
una única solución . 
. 
dos soluciones distintas. 
ninguna solución. 
l. 
y= x2 + 10 
y= kl + 2x 
11. 
y= 4x2 - kx + 3 
y = -1- 3x +k 
[58] Resuelvan gráfica y analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones. 
2 y= x + 3x 
y= -i +X+ 4 
y= 0,5i- 4x 
y= -2i + 2x + 8,5 
y= 2- 0,5i 
y= 3i +X+ 4 
Inecuaciones cuadráticas 
Para observar 
' !Y g \ tn 
' 
,_ 
\ 1 n 
' ..... v_ !\ 1:: -
' 
:- Lo / ' -
Para resolver una inecuadón cuadrática como x + 2 < x2 - 4, 
es útil construir el gráfico de las dos funciones involucra-
das: f(x) = x + 2 y g(x) = x2 - 4. Asf, el conjunto solu-
ción de la inecuación será el intervalo de valores para los 
cuales observamos que la gráfica de f(x) está u por deba-
jo" de la gráfica de g(x). Si hallamos analíticamente las 
coordenadas de los puntos de intersección entre ambas 
gráficas, podremos luego fácilmente escribir el conjunto 
solución de la inecuación planteada. S= (-oo; -2) U (3; +oo) 
las siguientes inecuaciones cuadráticas. 
i - 2 O > - 3x + 20 .!J - 3i - 3x + 4 2x - 4 
3i - 5 20 - 6i !J 6x2 + 3x < 6 - 2x 
2x2 - 6x + 4 < 4 - x SJ -2i - 2x + 7 -8 - X 
i + 5 lx- 5 !!J 3x2 - X + 4 > - i + X - 8 
x) 1 
J 
1 
/(x 
' 
6 La inmobiliaria Pérez yPérez tiene una ganancia G (en miles de pesos) que puede calcularse en 
función del tiempo t (en meses) mediante la fórmula: G(t) = 28t- 48- 2t2 (para tE [2; 12]). 
La competencia está representada por la inmobiliaria Arquímedes, cuya función de ganancia es: 
A(t) = 40- 2t para (tE [0, 20]). 
Representen ambas funciones en el mismo gráfico. 
Analicen la situación y contesten a las siguientes preguntas. 
l. ¿En qué mes logra Pérez y Pérez su 
máxima ganancia? ¿Cuál es dicha ganancia? 
11. ¿En qué meses la ganancia de Arquí-
medes es inferior a la de su competidor? 
111. ¿En qué período de tiempo Pérez y 
Pérez incrementa su ganancia? ¿Qué sucede 
en esa época con Arquímedes?
:rv. ¿Cuándo tienen la misma ganancia? 
- .. ·, :¡·: . 
Libre competencia de mercado 
Para analizar algunas situaciones relacionadas con la com-
pra y la venta de ciertos bienes, algunos ecol).omistas utili-
zan un modelo llamado de libre competencia en el que se 
supone que ninguno de los compradores o vendedores influ-
ye particularmente en la regulación del mercado. Desde este 
enfoque, se definen las funciones de oferta y las funciones de 
demanda. Dichas funciones describen cómo varía la cantidad 
de unidades ofrecidas o demandadas, respectivamente, de un 
cierto bien, en relación con el precio. 
(6l)Tomemos el caso de la distribuidora de cosméticos 
Tua Pelle. 
Consideremos, como ejemplo, una mercancía cuya función de oferta está dada por: 
O(p) = 0,5 p2- lO, siendo O la cantidad de productos ofrecidos en miles de unidades y p su pre-
cio en pesos, por unidad. 
Durante el verano, la función de demanda que describe el comportamiento del mercado responde a 
la fórmula: D(p) =lOO - 0,3 p\ siendo D la cantidad de productos demandados en miles de unidades 
y p su precio en pesos, por unidad. 
Representen en el gráfico las funciones O y D para valores positivos de todas las variables. 
El precio de equilibrio, en un mercado de libre competencia, es el correspondiente al punto 
donde ambas curvas se cruzan. Averigüen las coordenadas de dicho punto y respondan a las si-
guientes preguntas. 
l. ¿Cuál es el precio de equilibrio para este bien? e .mt "da dCJ e 
•••••••••••• • •••••••••••• ••••• ••••••••••• •• •••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••• •• •••••• • 
11. ¿Cuál es la cantidad que se ofrece a dicho precio? 
1id 7dE S .. .... 
1 ! 
....... ,.., 
-• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .... 
'"" 
111. ¿Para qué precios la oferta supera la demanda? 
.,.., 
..... 
'" 
,.. 
rv .... .. ...................................... .................................................... ,.. .... 
rv. ¿Para qué precios la demanda supera la oferta? -9-
,.. ,.., 
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . .. .. . . . . . . . .. .. .. .. . .. . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . 
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El cine y las persecuciones 
En muchas películas de acción, hemos visto infinidad de entre vehículos. La mayo-
ría de ellas termina cuando "los malos perseguidos" son atrapados por ((los buenos". 
Los físicos llaman problemas de encuentro al planteo de diversos interrogantes relacionados con este 
tipo de situaciones. La resolución de estos problemas, en muchos casos, se reduce al planteo de un 
sistema en el cual las ecuaciones involucradas son las que describen la posición de cada uno de los 
móviles en función del tiempo, llamadas ecuaciones horarias. 
La solución indica el punto de encuentro de los vehículos. 
{62) En una escena de una película, una patrulla de caminos está al costado de la ruta bajo la som-
bra de un árbol mientras controla el tránsito. En determinado momento, aparece un auto deportivo 
viajando a gran velocidad por la ruta. Los agentes salen a perseguirlos en el instante en que el auto 
pasa junto a ellos. 
Supongan que la ecuación de movimiento del auto deportivo es x(t) = 6t (x en kilómetros y ten minu-
tos) y que el patrullero se desplaza según la ecuación x (t) = 5 t 2 + t (x en kilómetros y ten minutos). 
Planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones correspondiente . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Contesten a las siguientes preguntas. 
l. ¿Cuánto tiempo dura la persecución? 
.......................................................... .................................................................... ............................................ 
11. ¿Cuántos kilómetros viaja la patrulla hasta alcanzar el auto deportivo? 
............... ' ..................................................................................................................................................... . 
111. ¿Tienen sentido los dos puntos de contacto entre ambas gráficas, en este problema? ¿Por qué? 
.... ... ...... .. .......................................................................... .. 1 ........... ... .. .. . ...................... . ....... . .............................. . 
63 Hallen la fórmula de la única función 
cuadrática que cumple con las condiciones 
pedidas en cada caso. 
Sus raíces son 2 y - 4, y su ordenada al 
origen es 4. 
f (- 5) = /(3) = O, y su conjunto imagen es 
[-8; + oo) . 
Es simétrica respecto de la recta x = 4, su 
máximo es /(4) = 5, y se anula en el origen de 
coordenadas. 
64 Encuentren el o los valores que puede 
tomar k para que se cumpla la condición 
enunciada en cada caso. 
f (x) = x2 + kx + 9 tiene una sola raíz real. 
f(x) = 4kx2 + (2k + 6)x + 3 tiene uno de sus 
ceros en x = -2. 
f(x)= kx2 - 6x + 9 no tiene raíces reales. 
(S_ Hallen los valores de m y n para que la 
ecuación mx2 + n = O tenga: 
dos raíces reales distintas. 
ninguna raíz real. 
una raíz real doble. 
6 Hallen los valores de r y t, en caso de ser 
posible, para que la ecuación rx2 + tx = O tenga: 
dos raíces reales distintas. 
ninguna raíz real. 
.sl una sola raíz real. 
é Representen gráficamente las siguientes 
funciones.. 
y = - 3 (x - 2)z + 12 
y = 5A2 - 2 4x - 5 
,S) y = - [ : - :zx 
(68)En una finca, la producción de arroz se 
calcula mediante la fórmula: 
P(x) = x(200 - x), que permite obtener la pro-
ducción Pen toneladas, en función de la den-
sidad x expresada en cantidad de plantas 
sembradas por metro cuadrado. 
¿Cuál es la densidad de plantas que pro-
picia la máxima producción? 
Considerando que para no alterar la cali-
dad del alimento no se deben sembrar más 
de 80 plantas de arroz por metro cuadrado, 
¿cuál es la producción máxima posible si se 
respeta esta restricción? ¿Es posible obtener 
este dato calculando las coordenadas del 
vértice? 
la función de la forma 
f(x) = (x- h)2• 
Representen gráficamente las cinco fun-
ciones que se obtienen asignando a h los 
valores: O, 1, 2, - 2 y - 3. 
Observen atentamente los gráficos y 
respondan a las siguientes preguntas. 
l. ¿Cuál es el desplazamiento que produce, 
en la parábola, un valor positivo de h? 
II. ¿Cuál es el desplazamiento que produce, 
en la parábola, un valor negativo de h? 
@ Resuelvan gráfica y analíticamente los 
siguientes sistemas. 
-2x +y + 4 = x(x - 5) 
x +y= 3x- 4 
y + 2x = x( 6 - x) 
y+ x = -2x + 4 
-x2 - 2(x + 1) + 3 = y - 2x - 2 
3y- 6 = 3(x - 1) 
' 
(71) Juan dice que empezó a resolver un sis-
tema mixto de ecuaciones y perdió los datos 
originales, aunque llegó a esta etapa: 
(y+ 4)2 + 13(y + 4)- 38 =y- 19 
Encuentren el sistema mixto perdido y 
resuélvanlo analíticamente. 
!!) ¿Puede haber más de una solución? 
(72) El producto de dos números enteros 
consecutivos es 156. ¿Cuáles pueden ser esos 
números? 
flaJ Despreciando la resistencia del aire, la 
altura h (en metros) de un cuerpo en tiro verti-
cal, para un instante t (en segundos) puede cal-
cularse con la expresión, h(t) = h0 + V0 t- 4,9t, 
donde V0 es la velocidad inicial (en m/ seg) y 
h0 es la altura inicial desde la cual comienza el 
movimiento (en metros). 
Una pelota de fútbol es pateada desde el 
suelo hacia arriba con una velocidad inicial 
de 19,6 m/s. 
l. Encuentren el instante en que alcanza 
la altura máxima. 
11. Calculen la altura máxima. 
111. Encuentren el momento en que toca el 
piso nuevamente. 
Iv. Encuentren los instantes en que alcanza 
una altura de 14,7 m. 
!!) La pelota de fútbol es pateada desde la 
azotea