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MATERIAL DIDACTICO DE APOYO PARA 
NIVELAR LOS CONOCIMIENTOS DE MATEMATICAS DE 
LOS ALUMNOS 
DE PRIMER INGRESO A LA LICENCIATURA DE 
INGENIERIA 
MECÁNICA ELÉCTRICA. 
 SAN JUAN DE ARAGÓN, EDO. MEX. FEBRERO 2011 
 T E S I S 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 IGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA 
P R E S E N T A : 
JUAN CARLOS GUTIÉRREZ GARCÍA 
 
 
 
 
 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA 
 DE MEXICO 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ASESOR: MAT. LUIS RAMÍREZ FLORES 
 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
A DIOS, por permitirme llegar a este día en compañía de toda mi familia y 
compañeros de trabajo. 
 
A MI UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO, por permitirme 
crecer en lo profesional, por ayudarme a cumplir este sueño y por brindarme 
la oportunidad de aprender de los mejores maestros de este país. 
 
A MIS PADRES DANIEL Y GUADALUPE, por todo su sacrificio y lucha 
constante, porque todo lo que he logrado es gracias a ustedes, lo cual 
nunca terminaré de agradecerles, con profunda admiración, cariño y respeto. 
 
A MIS HIJAS KAREN Y XOCHITL, por ser los ángeles que me guían, el don 
más preciado, querido y amado que tengo, que son el motor que me incitan a 
ser cada vez mejor, son la inspiración para afrontar los momentos difíciles y 
por la fuerza que inyectan en mi ser, son mi alma nunca las defraudare. 
 
A GUADALUPE, por todo lo que pasamos juntos y aprendimos. Sabes que 
siempre vas a ser parte de mi, de lo que soy o llegue a ser, porque estamos 
juntos, por ser la compañera leal que todo hombre busca, por todo y mucho 
mas gracias. 
 
A EL MAT. LUIS RAMIREZ FLORES, por darme la oportunidad de aprender 
del mejor, por su apoyo brindado durante los malos momentos y por confiar 
en mi trabajo 
JUAN CARLOS. 
 
 
 
 
 
 
Introducción 1 
 SECUNDARIA 
1 Primer grado 5 
1.1.1 Sistema de numeración 5 
1.1.2 Sistema de numeración binario 6 
1.1.3 Sistema de numeración octal 8 
1.1.4 Tabla de conversiones entre decimal, binario, hexadecimal y octal 9 
1.1.5 Algoritmo de la raíz cuadrada, método manual 10 
1.1.6 Triángulo de pascal/tartaglia 14 
1.1.7 Caso raíz cúbica 16 
1.1.8 Caso raíz cuarta 16 
1.1.9 Números naturales 17 
1.2.1 Propiedad de la adición de los números naturales 18 
1.2.2 Propiedad de la multiplicación de los números naturales 19 
1.2.3 Propiedad de la sustracción de los números naturales 20 
1.2.4 Propiedad de la división de los números naturales 21 
1.2.5 Propiedad de la división 21 
1.2.6 Números irracionales 22 
2 SEGUNDO GRADO 27 
2.1.1 Uso de paréntesis 27 
2.1.2 Eliminación de corchetes 28 
2.1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas 30 
2.1.4 Multiplicación de un monomio por un polinomio 30 
2.1.5 Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios 33 
2.1.6 Productos de monomios 34 
 
 
2.1.7 División de monomios 34 
2.1.8 Multiplicación de polinomios 35 
2.1.9 Productos y potencias notables 36 
3 TERCER GRADO 37 
3.1.1 Método para el cálculo de raíz por promedios 37 
3.1.2 Estimación de errores 38 
3.1.3 Factor común 38 
3.1.4 Trinomio cuadrado perfecto 39 
3.1.5 Factor común de un monomio 40 
3.1.6 Factor común de un polinomio 41 
3.1.7 Factor común por agrupación de términos 42 
3.1.8 Solución de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 43 
3.1.9 Sistema de ecuaciones lineales 43 
3.2.1 Método de sustitución 45 
3.2.2 Método de reducción (suma y resta) 46 
3.2.3 Método gráfico 47 
BACHILLERATO 
4 Geometría 53 
4.11 Geometría plana 53 
4.1.2 ¿Qué es un ángulo? 53 
4.1.3 ¿Cómo son los ángulos? 54 
4.1.4 Clases de ángulos en términos de sus medidas y definir cada uno 55 
4.1.5 ¿Qué es un cuadrilátero 57 
4.1.6 Geometría analítica 58 
4.1.7 Antecedentes históricos 58 
 
 
4.1.8 Modernos avances 59 
4.1.9 Distancia entre dos puntos 60 
4.2.1 Área de un triángulo 63 
4.2.2 Área de un polígono 65 
4.2.3 División de un segmento en una razón dada 68 
4.2.4 Ecuación de la recta y sus equivalentes 72 
4.2.5 Ángulo de inclinación de una recta 73 
4.2.6 Pendiente de una recta 74 
4.2.7 Condiciones de paralelismo 74 
4.2.8 Condiciones de perpendicularidad 74 
4.2.9 Ecuación de la recta que pasa por el origen y cuya pendiente es m 76 
4.3.1 Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen 77 
4.3.2 Ecuación general de la recta 80 
4.3.3 Forma simétrica de la ecuación de la recta 83 
4.3.4 Punto de intersección de dos rectas 84 
4.3.5 Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una 
pendiente dada 86 
4.3.6 Ecuación de una recta que pasa por dos puntos 88 
4.3.7 Distancia de un punto a una recta 89 
4.3.8 Distancia entre dos rectas paralelas 90 
5 CÓNICAS 93 
5.1.1 Circunferencia 93 
5.1.2 Elipse 94 
5.1.3 Hipérbola 94 
5.1.4 Parábola 95 
 
 
5.1.5 Circunferencia 95 
5.1.6 Ecuación de la circunferencia forma ordinaria 96 
5.1.7 Forma general de la ecuación de una circunferencia 96 
5.1.8 Intersección de una recta y una circunferencia 98 
5.1.9 Recta tangente a una circunferencia 100 
5.2.1 La parábola 102 
5.2.2 Ecuación cartesiana de la parábola, Directriz lado recto 103 
5.2.3 Elipse 106 
5.2.4 Partes de la elipse 107 
5.2.5 Hipérbola 108 
6 Cálculo diferencial e integral 111 
6.1.1 Introducción 112 
6.1.2 Tipos de constantes 113 
6.1.3 Funciones 114 
6.1.4 Función inversa 117 
6.1.5 Dominio y rango en funciones 118 
6.1.6 Funciones polinómicas 119 
6.1.7 Funciones racionales 120 
6.1.8 Funciones compuestas 120 
6.1.9 Límites de una función 123 
6.2.1 Propiedades de los límites 124 
6.2.2 Concepto de límites 125 
6.2.3 Indeterminación 125 
6.2.4 Función racional con radicales 129 
6.2.5 Límites y derivadas 132 
 
 
6.2.6 Significado geométrico de la derivad 135 
6.2.7 La derivada de funciones simples 136 
6.2.8 Derivada de una función compuesta de la inversa de una función 136 
6.2.9 Teorema regla de la cadena 137 
6.3.1 Teorema de la función inversa 138 
6.3.2 Fórmulas de derivación 140 
6.3.3 Máximos y mínimos 141 
7 Cálculo integral 146 
7.1.1 Integral definida 146 
7.1.2 Propiedadesde la integral 150 
7.1.3 Integración de funciones elementales 155 
7.1.4 Formulas de integración 156 
8 Apéndice 157 
9 Conclusiones 176 
10 Bibliografía 178 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
INTRODUCCION. 
 
 
Compartimos la idea de que un programa de estudio con información suficiente y 
clara es una herramienta importante para el desarrollo de un curso pero no es 
suficiente. Entre el programa de estudio y lo que sucede en el salón de clases 
suele haber un vacío muy grande, que cada profesor intenta cubrir con base en su 
propia formación, su concepción sobre la enseñanza y el aprendizaje y su nivel de 
responsabilidad ante el trabajo que desempeña, esto último, condicionado por la 
gestión y el ambiente de trabajo de cada comunidad escolar. 
Entre el currículum prescrito y el currículum real hay una tarea sumamente 
importante que es la planificación de actividades de estudio. Esto no es 
equiparable a cumplir con un requisito administrativo, implica seleccionar y 
analizar las actividades que se van a plantear a los alumnos, en función de los 
procedimientos que se pretende movilizar y a la vez hacer anticipaciones sobre lo 
que puede ocurrir. Esto que se dice tan fácil requiere de tiempo y mucha reflexión. 
¿Por qué no compartir la tarea? La planificación no tiene por qué ser un trabajo 
individual que se usa una vez y se desecha, por el contrario, puede ser el 
resultado de un esfuerzo colectivo, que se prueba y se mejora a través del tiempo 
y que da pie para que los grupos colegiados dialoguen en torno a la práctica 
docente. Esta es la razón por la cual se incluyen en esta página los planes de 
clase diarios que cubren el programa de matemáticas para el primer grado, con la 
expectativa de que podamos mejorarlos con base en la experiencia diaria. 
No menos importante es la bibliografía y otros recursos didácticos que los 
profesores podrán consultar en esta página, con la idea de tener cada vez más y 
mejores elementos que nos permitan ayudar a nuestros alumnos a estudiar 
matemáticas, a que disfruten el estudio y que realmente aprendan para un mejor 
desempeño en su vida presente y futura. 
Con el propósito de realizar cambios que mejoren la educación secundaria, en el 
Acuerdo Secretarial 384, se precisa como una de las líneas de acción la 
constitución de Consejos Consultivos Interinstitucionales (CCI) para la revisión 
permanente y mejora continua de los programas de estudio. 
Los mecanismos de ejecución de esta línea de política educativa se definen en el 
artículo séptimo del Acuerdo, en donde se establece que para llevar a cabo la 
evaluación permanente de la aplicación del Plan y los programas de estudio, de la 
calidad de sus resultados, y para determinar las modificaciones que correspondan 
a los contenidos de aprendizaje, orientaciones pedagógicas, estrategias de 
enseñanza y gestión escolar, la SEP constituirá los CCI, mismos que funcionarán 
de manera permanente para cada una de las asignaturas y campos de formación 
de la educación básica. Asimismo, con la representación de los CCI, la Secretaría 
constituirá un Consejo Consultivo General para tratar y resolver, además de 
asuntos específicos relevantes de las asignaturas, los temas y aspectos generales 
de la educación básica, comunes a las diferentes áreas y campos de formación de 
los educandos. 
2 
 
Recordemos que esta reestructuración se empezó a implementar a partir del ciclo 
escolar 2006-2007 dando pauta a la cancelación de varias materias importantes 
para la formación del educando y que año con año ha ido aumentado la 
cancelación de mas materias importantes, como lo son historia, y la física en 
tercer año. 
Esta reestructuración dispuesta por la SEP ha dado pauta a la pérdida de temas 
importantes en la educación básica, en la materia de matemáticas que contienen 
una secuencia lógica en el programa, para que el educando egrese del nivel 
básico mejor preparado al llegar al sistema medio superior, (preparatoria, CCH, 
colegio de bachilleres etc.), se han estado dando cursos de implementación para 
lograr que los educandos puedan continuar con sus estudios a nivel medio 
superior, pero lo que afirma la Secretaria de Educación Pública en los párrafos 
mencionados anteriormente es falso de una u otra manera ya que los programas 
que se aplican en cada grado se han ido deteriorando año con año en los tres 
niveles de secundaria eliminando temas de suma importancia, lo cual implica que 
los educandos egresen del sistema básico con una preparación casi nula. Esto 
trae como consecuencia que los educandos deserten del nivel medio superior por 
la falta de conocimientos básicos. Para tratar de tapar los errores que se cometen, 
la Secretaria de Educación Pública, ha tratado de implementar cursos de 
actualización sin algún éxito. Por ejemplo cuando se quiere poner en marcha el 
sistema de constructivismo, sin logro alguno podemos afirmar que aun, queda 
en entre dicho la educación de los alumnos, ya que solo el 50% o menos del 50% 
de los profesores aplica el sistema. Para poder aplicar con éxito este sistema es 
importante que los directivos estén consientes de la importancia y que traten de 
implementar nuevas estrategias para lograr que todos los temas que se han 
perdido durante este periodo mencionado se cubran de una manera exitosa, y de 
esta forma al final de cada ciclo escolar se logren las metas. Cabe mencionar que 
las personas que implementan este tipo de programas en algunas ocasiones 
nunca han estado frente a grupo lo cual es una gran desventaja para los 
profesores que si están frente a grupo y que al querer implementar dichos 
programa se encuentran con una gran cantidad de dificultades regresando al 
método antiguo que es el conductismo. 
Es importante mencionar que cuando se realizan las actualizaciones para 
docentes en ocasiones es pérdida de tiempo ya que los ponentes se ponen a 
discutir acerca del sindicato dejando de lado la importancia de dicha actualización, 
en algunas ocasiones también los profesores que están frente a grupo adscritos a 
la Secretaria de Educación Pública, no dan la importancia que debería ser, y 
como por ejemplo cito comentarios que algunas ocasiones he escuchado en los 
cursos de actualización…”si dejo a los alumnos sin clases 1 mes no pasa nada” ó 
“si castigo a los alumnos sin clase que investiguen los temas por su cuenta y no 
3 
 
pasa de que me castiguen cambiándome de escuela”, por eso la educación en 
México esta por los suelos con este tipo de educadores que en pocas palabras 
son irresponsables, que no les importa la educación de sus alumnos, y por las 
autoridades que tratan de implementar sistemas de educación que no funcionan 
correctamente ó que no se aplican adecuadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
TEMAS 
SECCIÓN 
SECUNDARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1 PRIMER GRADO 
1.1.1SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza universalmente para 
representar cantidades fuera de un sistema digital. Es decir que habrá situaciones 
en las cuales los valores decimales tengan que convertirse en valores binarios 
antes de que se introduzcan en sistema digital. Entonces habrá situaciones en que 
los valores binarios de las salidas de un circuito digital tengan que convertirse a 
valores decimales para presentarse al mundo exterior. 
 
Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de numeración 
encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los sistemas octal 
(base 8) y hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin, que es ofrecer un 
eficaz medio de representación de números binarios grandes. Como veremos, 
ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convenirse fácilmente 
a números binario. 
 
Tabla Comparativa. 
Binario Decimal Hexadecimal Binario Decimal Hexadecimal 
0000 00 1000 8 8 
0001 1 1 1001 9 9 
0010 2 2 1010 10 A 
0011 3 3 1011 11 B 
0100 4 4 1100 12 C 
0101 5 5 1101 13 D 
0110 6 6 1110 14 E 
0111 7 7 1111 15 F 
 
 
 
 
 
6 
 
1.1.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO. 
Conversión de binario a decimal.- El sistema de numeración binario es un sistema 
de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición 
relativa. Cualquier número binario puede convertirse a su equivalente decimal, 
simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga 
un 1. 
Por ejemplo: 
1 1 1 0 1 12 de binario a decimal 
1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910 
Conversión de decimal a binario.- Existen dos maneras de convertir un número 
decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer 
método es inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se 
expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los 
ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits. 
 Por ejemplo: 
 
 
1 7 4 2 
 
 
0 8 7 2 
 
 
1 43 2 
 
 
1 21 2 
 
 
1 10 2 
 
 
0 5 2 
 
 
1 2 2 
 
 
 
0 1 
 
 
174= 128+32+8+4+2 
174=(1*27)+ (0*26) + (1*25) + (0*24) + (1*23) + (1*22)+ (1*21) + (0*20) 
 
 1 0 1 0 1 1 1 0 
 
Entonces es igual a 101011102 
 
 
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml
http://www.monografias.com/trabajos14/sistemanumeracion/sistemanumeracion.shtml
http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml
http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE
7 
 
Y como otro ejemplo:
45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20 
45= (1*25)+ (0*24) + (1*23) + (1*22) + (0*21) + (1*20) 
 1 0 1 1 0 1 
Entonces es igual a 1011012 
Pasar a decimal el binario 101011102 
1 0 1 0 1 1 1 0 
 
0 2 4 8 0 32 0 128 174 
101011102 = 17410 
El segundo método consiste en dividir repetidas veces el número entre dos hasta 
que su cociente sea menor que él. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es 
decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. 
 
El número quedaría como sigue: 
1 0 0 0 0 0 1 02 
8 
 
1.1.3 SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. 
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo 
agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 
112. 
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. 
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. 
Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte 
es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por 
cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos 
hexadecimales. 
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, 
por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los 
pulgares. Esto explicaría por qué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo 
(novus). Podría tener el significado de número nuevo. 
La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar 
con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las 
fracciones que tengan un denominador distinto de una potencia de dos tendrán un 
desarrollo octal periódico. 
Fracción Octal Resultado en octal 
 
0.4 
 
0.0252525 periódico 
 
0.2 
 
0.14631463 periódico 
 
0.12525252 periódico 
 
0.111111 periódico 
 
0.1 
 
0.0707070 periódico 
 
0.63146314 periódico 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal
9 
 
1.1.4 TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE DECIMAL, BINARIO, HEXADECIMAL Y 
OCTAL 
 
 
Decimal Binario Hexadecimal Octal 
0 00000 0 0 
1 00001 1 1 
2 00010 2 2 
3 00011 3 3 
4 00100 4 4 
5 00101 5 5 
6 00110 6 6 
7 00111 7 7 
8 01000 8 10 
9 01001 9 11 
10 01010 A 12 
11 01011 B 13 
12 01100 C 14 
13 01101 D 15 
14 01110 E 16 
15 01111 F 17 
16 10000 10 20 
17 10001 11 21 
18 10010 12 22 
… … … … 
30 11110 1E 36 
31 11111 1F 37 
32 100000 20 40 
33 100001 41 21 
 
 
Con estos métodos de numeración, haciendo uso de las potencias, el alumno 
logrará captar mas rápido la idea de lo que es una potenciación de lo contrario 
sucederá lo siguiente. 
Por ejemplo, si a un alumno le indicaran que realice la siguiente operación con 
potencias, en algunos casos el alumno contestaría de esta manera. 
1.- 32= 6 mientras que la respuesta correcta es el desglose de 32= 3x3= 9 
2.- 53=15 mientras que el resultado correcto es 53=5x5x5=125 
10 
 
El alumno no sabe distinguir una operación básica a desarrollar manualmente, ya 
que están acostumbrados al uso de la calculadora 
Así mismo son pocos los que saben utilizar el algoritmo de una raíz cuadrada, 
teniendo como costumbre el uso continuo de la calculadora y el programa marca 
únicamente el cálculo de la raíz cuadrada como aproximaciones, como se marca a 
continuación 
 
Obtener la raíz cuadrada por aproximaciones sucesivas de √34 
Valores 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 
cuadrado 26.01 27.04 28.09 29.16 30.25 31.36 32.49 33.64 34.81 
 
 Entre estos dos números está el resultado 
Ahora sabemos que puede obtener el resultado más exacto aproximándolo a 
centésimas de la siguiente manera. 
Valores 5.81 5.82 5.83 5.84 5.85 5.86 5.87 5.88 5.89 
cuadrado 33.7561 33.8724 33.9889 34.1056 34.2225 34.3386 34.45 34.57 34.69 
 
 Entre estos dos números esta el resultado 
La forma más clásica de realizar una raíz cuadrada es utilizando un algoritmo 
como a continuación se menciona. 
1.1.5 ALGORITMO DE LA RAÍZ CUADRADA MÉTODO DE ALGORITMO 
MANUAL 
Cuando resolvemos la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos 
ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de esta no tienen por 
qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz 
cuadrada, según esta imagen podemos ver que las partes de las que se compone 
son: 
1. Radical, es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada. 
2. Radicando, es el número del que se obtiene la raíz cuadrada. 
3. Raíz, es propiamente la raíz cuadrada del radicando. 
4. Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada. 
5. Resto, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada. 
 
Debemos tener presente que extraer la raíz cuadrada de un número es 
buscar otro que al elevarlo al cuadrado nos de el radicando. 
11 
 
 
6. Hoy en día existen muchos métodos para poder calcular la raíz cuadrada, habiendo 
algunos significativos por el hecho de ser a mano y otros por el hecho de ser 
calculados por una máquina. 
Digamos que se desea calcular la raíz cuadrada de 5836.39 
Los pasos a seguir son estos: 
 
Paso 1 
 Paso 1: Se separa el número del radicando (en el ejemplo; 5836.369) en 
grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si 
lo hubiera) hacia la derecha y hacia la izquierda. Si del lado de los 
decimales (a la derecha del punto, es decir 369) no hay un número par de 
cifras, es evidente que quedaría una suelta: en ese caso, se le añadiría un 
cero. Si del lado de los enteros (a la izquierda del punto, es decir, 5836) 
quedara un número suelto, se quedaría así. En la imagen de la derecha 
podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras; después 
del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no 
puede haber un grupo de una cifra (en el ejemplo, esta separación quedaría 
así: 58/36.36/90) 
 
 
 Paso 2: Se busca un número que multiplicado por sí mismo(es decir, 
elevado al cuadrado) de como resultado el número que coincida o que más 
se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el 
ejemplo, 58). El resultado no puede ser mayor que 58. Una vez encontrado 
el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, 
porque 7x7 es 49. Otra posibilidad sería 6x6, pero daría 36 (lo que quedaría 
más alejado de 58) y 8x8, pero daría 64 (lo que excedería a 58). 
12 
 
 
Paso 3 
 Paso 3: El número elegido (7) es el primer resultado de la raíz cuadrada. En 
el paso anterior lo escribíamos en el cajetín de la derecha. Ahora lo 
multiplicamos por sí mismo. El resultado (49) se escribe debajo del primer 
grupo de cifras de la izquierda (58), y se procede a restarlo. El resultado de 
la resta (58-49) es 9. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el 
siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es 
ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras 
bajadas (es decir, 936).Para continuar la extracción de la raíz cuadrada 
multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de 
éste, en el siguiente renglón auxiliar (en la imagen, el 14 está escrito justo 
debajo del 7, ya que 7x2 es 14). 
 
Paso 4 
 Paso 4: En este paso hay que encontrar un número n que, añadido a 14, y 
multiplicado por ese mismo n, de como resultado un número igual o inferior 
a 936. Es decir, podría ser 141x1, 142x2, 143x3... y así hasta 149x9. 
Muchas veces se utiliza el procedimiento de tanteo para hallar ese número, 
si bien se puede emplear el método de dividir las primeras dos cifras del 
residuo (93) entre el número del renglón auxiliar (14). La primera cifra del 
resultado que no sea cero, aunque sea un decimal, es, generalmente, la 
que buscamos. El resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón 
auxiliar. En este caso 93 dividido entre 14 es 6. De manera que la 
operación buscada es 146x6= 876 (operación que añadimos en el renglón 
auxiliar). El siguiente resultado de la raíz cuadrada es 6. También 
procedemos a anotarlo en el radicando. 
 
Paso 5 
 Paso 5: El procedimiento a seguir es el mismo que anteriormente. El 
resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número 
procedente de la resta anterior (936) y se restan. Al resultado de la resta 
(60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). 
Si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto 
decimal al número de la raíz. El nuevo número obtenido es 6036. 
13 
 
 
Paso 6 
 Paso 6: Retomamos el procedimiento del paso 4. La cifra de la raíz (76) se 
multiplica por dos (resultando 152). Buscamos un número que añadido a 
152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada 
a 6036. Sería, por tanto, 1521x1, 1522x2, 1523x3, etc. Lo podemos hacer 
por tanteo, o por el procedimiento de dividir en este caso, las tres primeras 
cifras de la raíz por las tres primeras cifras de la línea auxiliar (nótese que 
antes eran las dos primeras cifras), es decir, 603/152 (el número buscado 
es 3, ya que el resultado es 3.9 y hemos dicho que la cifra que debemos 
tomar es la primera). La operación a realizar es, por tanto, 1523x3. El 
resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la 
diferencia (que es 1467). Una vez realizada la resta se baja el siguiente 
grupo de cifras y se continúa el proceso. Obsérvese que el número a dividir 
entre renglón auxiliar y residuo va aumentado. 
 
Paso 7 
 Paso 7: Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por 
dos (ignorando el punto de los decimales). El resultado de la multiplicación 
se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelven a dividir los primeros cuatro 
números del residuo (1467) entre el resultado de la multiplicación (152), y 
se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar (9). 
Dicha cifra se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le 
resta al tercer residuo. Se continúa el proceso, si ya no hay más cifras la 
raíz ha terminado. En este caso, 76.3 se multiplica por 2 como 763 (763x2) 
que nos da un resultado de 1526. La cifra resultante es 14679 (nótese que 
son las primeras cuatro cifras, cuando antes eran las tres primeras), y se 
divide entre 1526, lo que nos da un resultado de 0.9 (como decíamos antes, 
se toma el primer número aunque sea decimal, por lo tanto, la cifra buscada 
es 9). El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón 
auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta 
cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369. 
 
14 
 
 Paso 8 : haciendo la aclaración que si realizamos la comprobación de la 
raíz elevando al cuadrado, nos dará una aproximación, como se muestra a 
continuación 
(76.39)2 = 5835.4321 
Para poder entender el cálculo de la raíz cuadrada, cubica, cuarta, etc., es 
importante basarnos en las reglas del triangulo de pascal y del binomio de Newton 
como a continuación se muestra. 
1.1.6 TRIÁNGULO DE PASCAL / TARTAGLIA 
Los coeficientes se pueden obtener también del triángulo de Tartaglia / Pascal: 
n = 0 1 
n = 1 1 1 
n = 2 1 2 1 
n = 3 1 3 3 1 
n = 4 1 4 6 4 1 
n = 5 1 5 10 10 5 1 
n = 6 1 6 15 20 15 6 1 
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
Obsérvese que cada valor se obtiene sumando los dos valores que se hallan encima en la fila 
anterior. 
Se observa también una simetría izquierda-derecha en la serie de coeficientes para cada valor de n. 
Ello es consecuencia de la siguiente propiedad de simetría de los números combinatorios: 
 
 n = n 
 k n-k 
La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de 
Newton. 
 
Productos notables: 
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 
(a – b)3 = a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3 
(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4 
(a – b)4 = = a4 - 4 a3 b + 6 a2 b2 - 4 a b3 + b4 
 
 
15 
 
Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el 
desarrollo del binomio. Por ejemplo la secuencia 1 3 3 1 de la cuarta fila son 
precisamente los coeficiente del binomio de tercer grado. Se puede ver igualmente 
que en el binomio desarrollado, cada término siguiente aumenta la potencia de b y 
disminuye la de a, y que igualmente se van alternando los signos. 
En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrollo: 
 
Un método alternativo para calcular raíces 
1.- sea N un número real positivo, supongamos que se desea calcular √N. 
Sea “a” un entero positivo tal que a2≤N, si a=N, el problema está resuelto pues 
recuerda que calcular la raíz significa encontrar otro, con la propiedad de este 
último, al elevarlo al cuadrado, da N. Supongamos a2 ‹ N ( a el menor entero 
positivo tal que cumpla lo enunciado), entonces existe una “X” tal que N= a2 + x, 
por otro lado el binomio de newton nos dice 
 
Deseamos calcular √N, luego 
 
 
 
 
Supongamos que se desea calcular . 
Como 442=1936 y 452=2025, nuestra a= 44 
Ahora N-a =2010-1936=44 
√2010=44+ 74/2(44)- (74)2/(2)2 (2!)(44)3 + (1)(3)(74)3/223!(44)5 
=44+.8409-.008035+.000153=44.833018 
Si elevamos al cuadrado, se obtiene: 2009.99950299. 
16 
 
1.1.7 VEAMOS EL CASO DE LA RAÍZ CÚBICA. 
Como antes 3√ N sea un entero talque a3≤N el numero tal que su cubo no supera 
a N si a3=N, el proceso termina. Supongamos que no sea el caso, entonces existe 
una corrección X tal que 
N= a3+X 
 
 
 Pero X= n-a3 , luego 
 
Ejemplo: supongamos que se desea 
123=1728 133=2197, luego a= 12, N= 2010 
y N-a3 =2010-1728= 282 
3√2010 12 + 282/3(12)2 -2(282)2/(3)2(2!)(12)5 + (2)(5)(282)3/(3)3(3!)(12)8 ……… 
12 
.6527-.30550+.003219=12.6204 
Elevando al cubo, se obtiene 2010.117142 
1.1.8 DE MANERA ANÁLOGA VEAMOS EL CASO DE LA RAÍZ CUARTA.Supongamos que se desea calcular 4√N (N›0), como antes sea “a” un entero 
positivo tal que a4‹N, en caso de igualdad, terminaremos, supongamos que “a” es 
el mayor entero positivo tal que a4‹N, entonces existe una corrección “X”, tal que 
N= a4+X, tomando raíz cuarta en ambos miembros se obtiene: 
 
 
Pero X= n-a4 , luego 
 
17 
 
Ejemplo calculemos , en principio 54=625, 64=1296, 74=2401, luego a=6 
N-a4= 2010-1296=714 
 4√N 6 + 714/4(6)23 -(714)2/(16)(2!)(6)7 + (1)(37)(714)3/(64)(3!)(6)11 ……… 
6+.826388-.170729+.054867=6.710526 
Restando el termino siguiente, es decir (1)(3)(7)(11)(714)4 /44(4!)(16)15 
213(714)4 / 6144(16)15= .020781 
 4√2010 6.710526-.020781=60689744, elevando a la cuarta potencia, nos da 
2002.802042……… 
Y así sucesivamente, con este método podemos calcular cualquier número que 
deseemos, porque sabemos que al calcular la raíz de “n“ número con este 
método, es más fácil aproximarnos al resultado que ir tanteando por el método de 
aproximaciones. 
 
1.1.9 NÚMEROS NATURALES 
 
¿Qué son los Números Naturales? 
Número natural, es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene 
un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. 
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: 
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} 
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. 
 
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues 
sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… 
18 
 
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, 
ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden 
realizar en el tratamiento de las cantidades. 
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y 
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números 
naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones 
internas cerradas. 
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia 
de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el 
sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los 
números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que 
sean éstos. 
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos 
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo 
no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números 
racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). 
La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales 
en la que además de un cociente se obtiene un resto 
1.2.1 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y 
elemento neutro. 
1.- Asociativa: 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
(a + b) + c = a + (b + c) 
Por ejemplo: 
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 
Los resultados coinciden, es decir, 
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 
La necesidad de los paréntesis es consecuencia de que que no podemos sumar 
tres números de un solo golpe. 
2.-Conmutativa 
19 
 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a + b = b + a 
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 
7 + 4 = 4 + 7 
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden 
efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en 
cuenta el orden. 
 Elemento neutro 
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el 
número natural “ a “ se cumple que: 
a + 0 = a 
 Recordando, que es su propiedad fundamental. 
1.2.2 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, 
conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma. 
1.-Asociativa 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
(a · b) · c = a · (b · c) 
Por ejemplo: 
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 
Los resultados coinciden, es decir, 
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 
La necesidad de los paréntesis es consecuencia de que no podemos sumar tres 
números de un solo golpe. 
 
20 
 
2.- Conmutativa 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a · b = b · a 
Por ejemplo: 
5 · 8 = 8 · 5 = 40 
Elemento neutro 
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el 
número natural a, se cumple que: y es su propiedad fundamental 
a · 1 = a 
4.- Distributiva del producto respecto de la suma 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a · (b + c) = a · b + a · c 
Por ejemplo: 
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 
Los resultados coinciden, es decir, 
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8 
1.2.3 PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación 
de contar. 
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos?. 
 Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que 
hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no 
necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. 
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y 
sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). 
21 
 
 
Propiedades de la resta: 
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) 
2-3≠3-2 
1.2.4 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de 
cosas entre un número de personas. 
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el 
número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y 
resto (lo que sobra). 
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. 
1.2.5 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN 
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. 
Números primos: En matemáticas, un número primo es un número natural que 
tiene únicamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Euclides 
demostró alrededor del año 300 a.C. que existen infinitos números primos. 
Estos son los veinticinco números primos menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. 
Por otra parte, un número compuesto es aquel que tiene algún divisor natural 
aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni 
compuesto. 
La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede 
emplear como adjetivo. A veces se habla de número primo impar para referirse a 
cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A 
veces se denota el conjunto de todos los números primos por . 
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, 
la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números naturales. 
Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales 
como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los 
números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si 
se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos 
aleatoriamente, pero la distribución "global" de los números primos sigue leyes 
bien definidas, en la actualidad se usan sus propiedades, como sistemas de 
seguridad en computo 
http://es.wikipedia.org/wiki/Uno
http://es.wikipedia.org/wiki/Dos
http://es.wikipedia.org/wiki/Cinco
http://es.wikipedia.org/wiki/Sietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Once
http://es.wikipedia.org/wiki/Trece
http://es.wikipedia.org/wiki/Diecisiete
http://es.wikipedia.org/wiki/Diecinueve
http://es.wikipedia.org/wiki/Veintitr%C3%A9s
http://es.wikipedia.org/wiki/Veintinueve
http://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_uno
http://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_siete
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_uno
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_tres
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_siete
http://es.wikipedia.org/wiki/Cincuenta_y_tres
http://es.wikipedia.org/wiki/Cincuenta_y_nueve
http://es.wikipedia.org/wiki/Sesenta_y_uno
http://es.wikipedia.org/wiki/Sesenta_y_siete
http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_uno
http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_tres
http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_nueve
http://es.wikipedia.org/wiki/Ochenta_y_tres
http://es.wikipedia.org/wiki/Ochenta_y_nueve
http://es.wikipedia.org/wiki/Noventa_y_siete
22 
 
Números racionales: En sentido amplio, se llama número racional a todo número 
que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador 
distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o 
«parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional 
1.2.6 NÚMEROS IRRACIONALES 
 A veces se denota por al conjunto de los números irracionales. Esta notación no 
es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto 
de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo 
son los naturales ( ), los enteros ( ), los racionales ( ), los reales ( ) y los 
complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto 
de números irracionales como al conjunto de números imaginarios puros, lo cual 
puede crear confusión 
 
 
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4. 
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones 
equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del 
dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. 
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por 
ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número 
racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación 
decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones 
del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). 
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» 
(Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los 
números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones 
equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado 
de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números 
fraccionarios. 
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto 
es, para cualquier pareja de números racionales existe distintos números racional 
situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por 
lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
23 
 
 
 
Otro de los temas importantes que se eliminaron de los programas fueron la pre 
algebra con uso de los paréntesis, cabe mencionar que el alumno cuando llega a 
tercero de secundaria no sabe utilizar la simbología de corchetes paréntesis, 
llaves, etc. Tampoco saben que al estar utilizando este tipo de símbolos significa 
que se están multiplicando los números o literales que se encuentran dentro de 
dichos elementos. , [ ], { }, 
Haciendo uso de la ley de los signos podemos suprimir paréntesis de la siguiente 
manera 
1) + x + = + 
2) + x - = - 
3) - x + = - 
1) - x - = + 
Utilizando también la regla general de la suma y la resta 
Suma: números con signos iguales se suman los números y prevalece el signo de 
ambos números 
Ejemplos: 
a) + 3 + 5 = +8 
b) - 3 – 5 = -8 
 
Resta: Números con signos diferentes se restan los números y prevalece el signo 
del número mayor (nota no tomaremos en cuenta la recta numérica ya que si 
tomamos en cuenta la recta numérica el número positivo siempre será mayor. 
Ejemplo: - 3 + 5 = +2 + 3 – 5 = -2 
24 
 
Con la ayuda de la ley de los signos y la regla general de la suma y resta podemos 
empezar a realizar los ejercicios. 
1) + 4 - 5= -1 
2) - 2 - 7= -9 
3) (2)+(-5)= -3 
4) (-1)-(-7)= 6 
5) (-8)-(+3)= -11 
6.- [3+(-3-2+4)] = 2 
7.- { -8+3[ -4+2(-5+3) ]-3 }= -35 
8.- (-5+3-2 [-3+2 ]+4 )= 4 
9.- {-3+4(3+2)+7}= 24 
10.- {-3+4- (-2+4-5 )+8 }=12 
Cabe mencionar otro tipo de factor que afecta a los alumnos de secundaria, es la 
solución de los números fraccionarios, teniendo dificultad para realizar las 
operaciones básicas, como son: suma, resta, multiplicación y división. 
a Numerador 
b Denominador 
 
Suma y resta de fracciones 
Con el mismo denominador 
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. 
 
 
Con distinto denominador 
1.- Se reducen los denominadores a común denominador: 
25 
 
a) Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de 
los denominadores. 
b) Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, 
multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. 
2.- Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes 
obtenidas. 
 
 
 
 
 
Multiplicación de fracciones 
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: 
 
Por numerador el producto de los numeradores. 
 
Por denominador, el producto de los denominadores. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
División de fracciones.
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene: 
Por numerador el producto de los extremos. 
Por denominador el producto de los medios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
2 2ºGRADO 
2.1.1 USO DE PARÉNTESIS 
SIGNOS DE AGRUPACIÓN.-También se llaman paréntesis y son: 
( ) El paréntesis ordinario o circular. 
[ ] El paréntesis angular o corchete. 
{ } Las llaves. 
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS.-Eliminar paréntesis significa efectuar la 
multiplicación indicada. Ejemplo: -4 ( a -2b + 3c ) = -4a + 8b - 12c 
el -4 se multiplica por +a : 
el -4 se multiplica por -2b : 
el -4 se multiplica por +3c : 
 Cuando se eliminan paréntesis procedidos por un signo (-) 
Cada término de los paréntesis se cambia. Ejemplo: 
9x - (5x + 3) = 9x - 5x - 3 = 4x - 3 
6a - (-3a - 11) = 6a + 3a + 11 = 9a + 11 
 
Si el paréntesis está precedido por un signo o por un número se procederá a hacer 
la multiplicación de cada uno de los elementos utilizando la ley de los signos. 
Ejemplos: 
-3b + (a + 4b) = - 3b + a + 4b = a + b 
2y + (2x - 3y) = 2y + 2x - 3y = 2x - y 
 
 
 
 
28 
 
2.1.2 ELIMINACIÓN DE CORCHETES 
 Cuando aparecen paréntesis dentro de los corchetes, las operaciones indicadas 
en los paréntesis interiores se hacen primero. Ejemplo: 
-2 [ 3 ( - 5x + x ) ] = -2 [ - 15x + 3x ] = 30x -6x= 24 x 
ELIMINACIÓN DE LLAVES.-Para simplificar expresiones que tienen llaves, 
primero efectuamos las operaciones que están dentro de los paréntesis, después 
las indicadas dentro del corchete y por último las que están dentro de las llaves. 
 Ejemplo: 
-4 { -3 [ -2 (2x + 1) ] }= -4 { -3 [ -4x - 2 ] } = -4 { 12x + 6 } = -48x-24 
En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que 
las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás,o bien para 
indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo. 
Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se aplican las siguientes 
reglas: 
(1) Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede 
suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos. 
(2) En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, 
entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de 
signo. 
En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende 
que el paréntesis tiene un signo positivo. 
Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los 
términos semejantes. 
 
 
 
 
 
29 
 
Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar 
inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La 
segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego 
eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la 
segunda forma: 
En algunas expresiones algebraicas hay más de un paréntesis, en estos casos 
para eliminar los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al 
interior de otro y así sucesivamente. Aunque también se puede hacer de la forma 
contraria, es decir, eliminar primero los paréntesis desde el exterior hasta llegar a 
los interiores, es poco común proceder así ya que resulta más complicado. 
Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los 
términos semejantes. 
1) 
Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los paréntesis interiores hasta 
llegar a los exteriores y luego reducimos los términos semejantes. Entonces: 
 
 
Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los 
paréntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso. 
 
 Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los paréntesis que 
están más al interior hasta llegar al más exterior y luego reducimos los términos 
semejantes, esto es: 
 
 
 
30 
 
2.1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más simple 
de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio. Esta se realiza 
multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte literal, aplicando 
las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios: 
 
 Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de la 
distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es: 
 
2.1.4 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO 
Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un 
polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del 
monomio, y sumar a los grados del polinomio por el del monomio, veamos: Si el 
polinomio es: 
 
y el monomio es: 
 
el producto del polinomio por el monomio es: 
 
Agrupando términos: 
 
 
31 
 
El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los 
exponentes: 
 
que es el resultado del producto. 
 Ejemplo: 
Partiendo del polinomio: 
 
y del monomio: 
 
La multiplicación es: 
 
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación: 
 
Realizando las operaciones: 
 
Esta misma operación, se puede representar de esta forma: 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
32 
 
Donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio 
M(x) 
Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos la propiedad de 
la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Esto es: 
 
Por ejemplo: 
 
Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda: 
Para multiplicar un binomio por un polinomio, o en general cualquier polinomio por 
un polinomio, aplicamos la propiedad mencionada anteriormente. 
Por ejemplo: 
 
Reduciendo términos semejantes, obtenemos: 
Estos son algunos de los ejemplos del tema "USO DE LOS PARÉNTESIS EN EL 
ÁLGEBRA" que te serán de utilidad para resolverlos. 
5a - (-3a -1 ) = 5a + 3a + 1 = 8a + 1 
 8x - ( 6x - 9 ) = 8x - 6x + 9 = 2x + 9 
 -7 ( 2a - 3 ) = -14a + 21 
 -8 - (-3xy + 10 ) = -8 +3xy -10 = 3xy - 18 
 -ab - ( - ab - 12 ) = - ab + ab + 12 = 12 
 2x - (-5x + 4 ) = 2x + 5x - 4 = 7x – 4-2 [ 6 (2x + 1 ) ] = -2 [ 12x + 6 ] = -24x - 1 
 
33 
 
2.1.5 SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS 
Suma y resta de monomios y polinomios 
 
 
 
Ejemplos: 
x + x2 no se puede sumar, porque no son semejantes 
x + y no se puede sumar, por la misma razón 
8x -5x = (8-5)x = 3x 
-5xyz2 +2xyz2= -3xyz2 
5xy +8xy -2xz = 13xy -2xz 
Para sumar polinomios debemos por tanto sumar los monomios que sean 
semejantes. Ejemplo: 
(3x2 - 5x +1) + (x2 -7x -3) = 4x2 -12x -2 
También se suele hacer así: 
 3x2 - 5x +1 
 + x2 -7x - 3 
 4x2 -12x -2 
Para restar polinomios debemos restar los monomios que los conforman, puede 
ser; 
(3x2 -5x +1) - (x2 -7x -3) = 2x2 +2x +4 directamente 
O también eliminando paréntesis: 
(3x2 -5x +1) - (x2 -7x -3) = 3x2 -5x +1 –x2 +7x +3 = 2x2 +2x +4 
 
Solo se pueden sumar monomios semejantes (misma parte literal), y el 
resultado es otro monomio con la misma parte literal pero que tiene por 
coeficiente la suma o resta de coeficientes. 
 
34 
 
O también: Operaciones por coeficientes separados para polinomios en una 
variable 
3x2 - 5x +1 ó 3 0 -5 +1 3 0 -5 +1 
- x2 -7x -3 -1 0 -7 -3 1 0 -7 -3 
2x2 +2x +4 2 0 -12 -2 2 0 +2 +4 
Cambiando los signos del sustraendo, queda 
3x2 -5x +1 
-x2 +7x +3 
2x2 +2x +4 
2.1.6 PRODUCTO DE MONOMIOS 
El producto de dos monomios es otro monomio que tiene: 
- Como coeficiente el producto de coeficientes 
- Como parte literal las letras que aparecen en los monomios con exponente igual 
a la suma de los exponentes 
Ejemplo: 
(2x)(4x3)= (2)(4)x(1+3) = 8x4 
(2x2y3z)· (4xt5y) = (2)(4)x(2+1)y(3+1)zt5 = 8 x3y4zt5 
2.1.7 DIVISIÓN DE MONOMIOS 
El cociente o división de dos monomios es otro monomio que tiene: 
-Como coeficiente la división de los coeficientes 
-Como parte literal las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a 
la resta de los exponentes respectivos. 
 
 
 
35 
 
Ejemplo: 
Para desarrollar primero se dividen los coeficientes 24 y 3, luego las partes 
literales 
= (x(3-1)) = 8x2 
Si los coeficientes no dan un número entero, se puede dejar en forma de fracción. 
Si el exponente de alguna letra es mayor en el divisor que en el dividendo se 
puede poner negativo o pasarlo abajo. 
Si alguna letra no aparece se supone que está elevado a 0 o simplemente esta 
variable no se tiene en cuenta a la hora de dividir. 
2.1.8 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se 
obtienen multiplicando todos los términos del primero por todos los términos del 
segundo, y reduciendo luego los términos semejantes. 
Ejemplo: 
(7x2 +3x -1)·(6x2 -2x +4) = 
= 42x4 -14x3 +28x2 +18x3 -6x2 +12x -6x2 +2x -4 
= 42x4 +4x3 +16x2 +14x -4 
También se puede hacer así: 
7x2 +3x -1 
* 6x2 -2x +4 
42x4 +18x3 -6x2 
 -14x3 -6x2 +2x 
 28x2 +12x -4 
42x4 +4x3 +16x2 +14x -4 
 
36 
 
2.1.9 PRODUCTOS Y POTENCIAS NOTABLES 
(a + b)2 = a2 + 2·a·b+ b2 
(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2 
(a + b)·(a - b) = a2 - b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
(2x - 3x4)2 = (2x)2 + (3x4)2 - 2·(2x)·(3x4) = 4x2 +9x8 -12x5 
En el caso de que se olvide la fórmula o se encuentre dificultad en su aplicación 
siempre queda el recurso demultiplicar los polinomios. 
(2x - 3x4)2 = (2x - 3x4)·(2x - 3x4) = 
4x2 -6x4 -6x4 +9x8 = 4x2 +9x8 -12x5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
3 TERCER GRADO
En tercer grado se dan los mismos casos, los temas que se han estado perdiendo 
son los siguientes 
1.-Cálculo de la raíz por medio de promedios 
2.- Estimación de errores (Error absoluto, Error relativo) 
3.- Acotación de errores 
4.-Desconposicion de polinomios por factorización (factor común) 
5.- Solución de ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas por los diferentes 
métodos (Suma y Resta, Igualación, Sustitución, Gráfico) 
En tercer año con el nuevo programa de la SEP. Se han perdido temas 
importantes, como los que se mencionan a continuación, que impiden a los 
alumnos que ingresan al nivel medio superior, tengan los conocimientos básicos 
de matemáticas. 
 
3.1.1 MÉTODO PARA EL CÁLCULO DE RAÍZ POR PROMEDIOS 
 
Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de 96 
1.- Se buscan dos números cuyo producto sea el radicando (96) estos son: 
12 y 8 
12 x 8 = 96 
2.- Se obtiene el promedio de esos dos números. Al resultado lo llamaremos P1 
 
 
3.- Se divide el radicando (96) entre P1(10) al resultado lo llamaremos 
 
d1 (Divisores) 
 
4.- Se obtiene el promedio de P1 y d1 al resultado lo llamaremos P2 
 
 
5.- Se divide el radicando entre P2 al resultado lo llamaremos d2 
 
6.-Obtener el promedio de P2 y d2 el resultado le llamaremos P3 
 
38 
 
7.- Comparando los valores de d2 y P3 ambos coinciden hasta centésimos, es una 
aproximación de la raíz de 96 
3.1.2 ESTIMACION DE ERRORES 
1.-Error absoluto: Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado 
E.A= Valor real – Valor aproximado 
Ejemplo: Una fábrica de uniformes adquiere rollos de tela de 30m cada uno. Al 
medir y cortar uno de ellos para la confección de prendas, el responsable se da 
cuenta de que solo mide 29.70 m, es decir, entre lo especificado para el producto 
(Valor real) y la medida del mismo (Valor aproximado), existe una diferencia de 
.3m (30cm) 
Valor real= 30m 
Valor Aproximado=29.70m 
Error absoluto= 30 – 29.70 E.A = .30m ó 30cm 
2.-. Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor real 
Error relativo = .30/30 E.R= .01x100 E.R=1% 
Es decir que el porcentaje de tela que falta es 1% 
3.1.3 FACTOR COMÚN 
Consiste en aplicar la propiedad distributiva. 
 
Descomponer en factores obteniendo el factor común y hallar las raíces: Teorema 
fundamental del algebra “todo polinomio de grado “n” tiene n raíces, reales iguales 
y/o diferentes, o complejas” ó doble y falso 
 
Las raíces son: 
 
Solo tiene una raíz x=0; ya que el polinomio, no tiene ningún valor que lo 
anule; debido a que al estar la ¨ x ¨ al cuadrado siempre dará un número positivo, 
por lo tanto es irreducible. 
39 
 
 
Las raíces son x1 = a y x2 = b 
Igualdad notable 
Diferencia de cuadrados 
Una diferencia de cuadrados es igual a sumar por diferencia. 
 
Descomponer en factores y hallar las raíces 
 
 
 
3.1.4 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado 
 
Descomponer en factores los trinomios cuadrados perfectos y hallar sus raíces 
 
 
 
 
Las dos raíces son 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
3.1.5 FACTOR COMÚN MONOMIO 
 
ab + ac + ad = a ( b + c + d ) 
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. 
 Procedimiento para factorizar 
1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el 
primer factor. 
2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a 
ser el segundo factor. 
 
 
Ejemplos: 
1): Factorizar x7 + x3 
M.C.D. (1, 1) = 1 
 
Variable común con su menor exponente: x3 
 
Factor común monomio: x3 
 
 
 Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1) 
 
 
2): Factorizar a9 + 7a 
 
M.C.D. (1, 7) = 1 
Variable común con su menor exponente: a 
Factor común monomio: a 
Luego se divide 
 
Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7) 
 
3): Factorizar 4a10 + 8a3 
 
M.C.D. (4, 8) = 4 
 
Variable común con su menor exponente: a3 
 
Factor común monomio: 4a3 
41 
 
Luego se divide 
Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2) 
3.1.6 FACTOR COMÚN POLINOMIO 
c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e ) 
Cuando el factor común que aparece es un polinomio. 
Procedimiento para factorizar 
1
) 
 1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer 
factor, teniendo en cuenta que este factor deberá repetirse en todos los 
elementos del polinomio y será el de menor valor o exponente, cabe 
mencionar que también si cuenta con un número éste deberá ser el de menor 
valor y deberá ser múltiplo de los demás números. 
 
 
2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto 
viene a ser el segundo factor. 
 
 
Ejemplos: 
1): Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) 
 
Factor común con su menor exponente: (x + 3) 
 
Luego se divide 
Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) 
 
2): Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y – 1 
 
Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1) 
 
Factor común con su menor exponente: (y + 1) 
 
 
Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a - 4) 
 
 
3): Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 
 
Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1) 
42 
 
 
Luego se divide 
Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a – 1) 
3.1.7 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y ) 
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio. 
Procedimiento para factorizar 
 
a) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común 
monomio y como consecuencia un factor común polinomio. 
 
 
b) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a 
ser el segundo factor. 
 
 
Ejemplos: 
1): Factorizar ax + bx + aw + bw 
Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) 
Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) 
Factor común polinomio: (a + b) 
Luego se divide 
Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) 
2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y 
Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y ) 
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) 
Factor común polinomio: (x - 2y) 
Luego se divide 
Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = 2x+4 
43 
 
3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n 
Agrupamos (2m+n + 2m8m) + (8m+n + 2n8n) 
Factor común en cada binomio: 2m(2n + 8m) + 8n( 8m + 2n) 
Factor común polinomio: (2n + 8m) 
Luego se divide 
Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n =(2m + 8n) 
SE PUEDE VERIFICAR QUE: 
3.1.8 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS 
Sistemas de ecuaciones de primer grado 
El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las 
matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con 
dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico 
y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al 
empleo de matrices y determinantes. 
3.1.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades 
algebraicas en las que aparece una o varias incógnitas elevadas a la potencia 
uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma 
ax + by + cz + … = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, 
z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor 
constante). 
Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas 
se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas 
cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma 
general siguiente: 
 
 
 
44 
 
Tipos de sistemas lineales 
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios 
casos: 
 Si el sistema tiene solución, y ésta es única,se denomina compatible 
determinado. 
 Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible 
indeterminado. 
 Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible. 
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son 
equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas 
algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros 
cuya resolución sea más sencilla. 
 
Método de igualación 
Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones 
lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en 
despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones 
resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida 
utilizando los productos cruzados y se sustituye este valor en las ecuaciones 
iníciales. 
Sea, por ejemplo el sistema: 
 
 
45 
 
Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene: 
 
 
Entonces, 
 
 
Trasponiendo términos y dando solución a la ecuación 
 
 
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2. 
 
Por ejemplo en 
 
 
3.2.1 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 
La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un 
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita 
en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación 
con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su 
valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de 
la otra incógnita. 
Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja , y se 
sustituye en la segunda ecuación, original y se tiene que: 
 
-17 y = -17, y = 1. 
46 
 
Como , entonces x = 2. 
Método de reducción 
La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el 
3.2.2 MÉTODO DE REDUCCIÓN (SUMA Y RESTA). 
 Consta de los siguientes pasos: 
 Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los 
números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo 
coeficiente en ambas. 
 Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una 
incógnita. 
 Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor 
en cualquiera de las ecuaciones iníciales para calcular la segunda. 
Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones: 
 
Conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas 
ecuaciones: 
 
 
Nota: Es indispensable hacerle hincapié al alumno que puede usar cualquiera de 
estos métodos para la solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con 
una incógnita ya que por cualquiera de los métodos anteriores obtendrá el mismo 
resultado. 
 
 
47 
 
3.2.3 MÉTODO GRÁFICO 
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales de dos variables, se 
grafican las dos ecuaciones y la solución es la pareja ordenada del punto de 
intersección de las dos rectas. 
Al representar gráficamente las dos rectas, se va presentar alguna de estas tres 
situaciones: 
 
 
 
 
Consistente 
Solución de 
Rectas perpendiculares 
Inconsistente 
Solución de 
Rectas paralelas 
Dependiente 
Soluciones 
Infintas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Ejemplo: 
 
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
y = x + 2 
 
y = - x + 4 
 
y = x + 2 y = - x + 4 
valor de x valor de y valor de x valor de y 
x = 0 y = ( 0 ) + 2 = 2 x = 0 y = - (0) + 4 = 4 
x = -4 y = (-4) + 2 = -2 x =-4 y = -(-4) + 4 = 8 
 x = 4 y = ( 4 ) + 2 = 6 x = 4 y = - (4) + 4 = 0 
Se localizan los puntos y se trazan las rectas. 
 
La solución de este sistema de ecuaciones es el de la intersección de las dos 
rectas: (1, 3). 
También podemos dar solución a este tipo de ecuaciones utilizando como valores 
para (X,Y), los valores (0,0) esta opción es viable para que el alumno tenga dos 
opciones para la solución y pueda utilizar la que mas se le facilite. 
 
 
 
49 
 
EJEMPLO: 
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
 1) x – y= -2 
2) - x – y = - 4 
Si sustituimos los valores en las ecuaciones de (0,0) en entonces tendremos los 
siguientes resultados. 
1.- Ecuación 1 sustituimos primero el valor de 0 en “x”. 
0-y=-2 
Multiplicando por -1 para que “y” sea positiva. 
 
y = 2 
2.- Ahora sustituimos el valor de 0 en “y”. 
 
 
3.- Graficamos la ecuación en un plano cartesiano. 
 
 x-y=-2 
 
 4 
 1 
 -4 -3-2-1 12 3 4 
 
 
 
 
50 
 
4.- Realizamos el mismo procedimiento con la segunda ecuación quedando de la 
siguiente manera. 
2) –x – y = -4 
1.- Se sustituye el valor de 0 en “x” . 
-(0) - y = -4 
-y = -4 
Multiplicando por -1 para que la incógnita sea positiva. 
-1 (-y=-4); y=4 
2.- sustituyendo el valor de 0 en “y”. 
 
 
Multiplicando por -1 para que la incógnita sea positiva. 
 
Graficando la ecuación. 
 
 
 
 4 
 1 
 12 3 4 
 
 
Graficando ambas ecuaciones podemos notar que es prácticamente lo mismo 
 
51 
 
-x-y=-4 x-y=-2 
 
 4 p(1,3) 
 1 
 -4 -3-2-1 12 3 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
TEMAS 
SECCIÓN 
BACHILLERATO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
4 GEOMETRÍA 
La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la 
matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el 
plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, 
paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la 
solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de 
muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su 
aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, 
topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el 
sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en 
combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones 
diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la 
geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). 
4.1.1 LA GEOMETRÍA PLANA 
 
Es la rama de la geometría que estudia las propiedades de superficies y figuras 
planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se 
conoce como geometría euclídeana, en honor al matemático griego Euclides, el 
primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de 
geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de 
las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX. 
Una parte importante de la geometría plana son las construcciones con regla y 
compás. 
 
4.1.2 ¿QUÉ ES UN ÁNGULO? 
Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen 
el mismo origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado 
sexagesimal o el grado centesimal. 
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas 
(trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre 
dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que 
abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono
http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
http://es.wikipedia.org/wiki/Paralela
http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Comp%C3%A1s_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Teodolito
http://es.wikipedia.org/wiki/Pant%C3%B3grafo
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1utica
http://es.wikipedia.org/wiki/Topograf%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Bal%C3%ADstica
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_posicionamiento_global
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Dibujo_t%C3%A9cnico
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s
54 
 
4.1.3 ¿CÓMO SON LOS ÁNGULOS? 
 
 Agudos: Si su medida está comprendida entre 0° y 90°. 
 
 
 
 Ej. 
 
Rectos: si su medida es 90°. 
 
 
Ej. 
 
Obtusos: Si su medida está comprendida entre 90° y 180°. 
 
 
Ej. 
 
 
 Llanos: Si su medida es >180°. 
 
 
 
1. El Instrumento para medirlos y en qué consiste. 
El transportador en el cual consiste en un semicírculo ó circulo completo, en 
unidades que va de 0º a 360º. Cada una de estas medidas es un grado (1°) 
sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento 
corresponden al sistema sexagesimal. 
 
 
 
 
 
1 
1 
1 
1 
55 
 
4.1.4 CLASES DE ÁNGULOS EN TÉRMINO DE SUS MEDIDAS Y DEFINIR 
CADA UNO. 
 Ángulos suplementarios: 
 
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. 
Ángulos Rectos: Si los dos ángulos que forman un par lineal, tienen la misma 
medida, entonces cada uno de esos ángulos es recto. Si una recta, se levanta 
sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de ellos es recto, y 
las rectas son perpendiculares. 
Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de 
sus medidas es 90°. 
 
Ángulo Agudo: Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor 
que 90°. 
 Ángulo Obtuso: Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 90° y 
menor que 180°. 
 4. Clasificación de los triángulos por sus lados y sus gráficas. 
 
Triángulos Escálenos: Tres lados desiguales. 
 
 
Triángulos Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. 
 
 
 
56 
 
Triángulos Equiláteros: Son los que tienen tres lados iguales. 
 
5. Clasificación de los triángulos por sus ángulos, y sus gráficos. 
 
Acutángulos: Son todos los triángulos con todos los ángulos menores de 90°. 
 
 
 
 
Rectángulos: Es cuando uno de sus ángulos es de 90°. 
 
 
Obtusángulos: Es cuando uno de sus ángulos es mayor de 90°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
4.1.5 ¿QUÉ ES UN CUADRILÁTERO? 
Su clasificación y gráficas. Polígono con cuatro lados, o Paralelogramo, en el que 
cada lado es de igual longitud que su opuesto y los lados opuestos son paralelos 
entre sí. 
 
Cuadrado: donde los cuatro lados son de igual longitud y se cortan en ángulos 
rectos. 
 
 
 
 
Rectángulo: sólo los lados opuestos son iguales, aunque todos los lados se cortan 
en ángulos rectos. 
 
 
 
Rombo: donde todos los lados son iguales pero éstos no se cortan en ángulos 
rectos. 
 
 
 
Trapecio: Cuadrilátero con dos lados paralelo y bases de distinta longitud. 
 
 
 
Paralelogramo: Polígono con 4 lados en el que cada lado es de igual longitud que 
su opuesto y los lados opuesto son paralelos entre si. 
 
 
 
 
58 
 
4.1.6 GEOMETRÍA ANALÍTICA. 
 
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las 
curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas 
y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano 
se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las 
distancias mínimas del punto a cada uno de los ejes. 
 
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad 
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático 
francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, 
hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al 
demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un 
fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan 
mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la 
geometría moderna. 
 
 
4.1.7 ANTECEDENTES HISTORICOS. 
 
En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo 
de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría 
adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia 
matemática obtenga una fecundidad maravillosa. 
 
Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo 
XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la 
geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución (fue 
comparada con la revolución industrial). 
 
Más tarde se verá surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: 
como algoritmo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de 
los fenómenos naturales. 
 
En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del cálculo de la 
probabilidad y de la geometría proyectiva. 
 
 
La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana. 
 
 
En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre 
formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría. 
 
 
 
59 
 
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se 
encuentra en la obra “geometrie” (1637), tratado de poco más de cien paginas. 
Su aportación principal es la unificación del álgebra con la geometría; su 
fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una 
línea. 
 
El primer capítulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata 
sobre como el cálculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la 
geometría. 
 
En el primer capítulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” 
trata sobre como el cálculo de la aritmética se relaciona con las operaciones 
geométricas. 
 
Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, 
realizó trabajos relacionados con la geometría analítica, en el año 1629 y cuya 
aproximación a la geometría analítica es más exacta a la obra de Descartes. 
 
 
La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar 
ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas. 
 
Rene Descartes y su famoso “DISCURSO DEL MÉTODO” es un tratado celebre 
para conducir bien las razón y buscar la verdad en las ciencias. 
 
 
4.1.8 MODERNOS AVANCES. 
 
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los 
matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando 
por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos 
sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" 
de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos inimaginables y no 
intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. 
 
Casi al mismo tiempo, el matemático británico