Sucessões Numéricas e Séries Espaciais

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Material Virtual – Curso de preparación para el Examen de COMIPEMS 2021 – Matemáticas 
Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 
 
Subtemas: SUCESIONES NUMÉRICAS 
SERIES ESPACIALES 
 
Un matemático, es como un pintor o poeta, es un fabricante de patrones. 
—G. H. Hardy, A mathematician’sApology, 1940 
A. Sucesiones numéricas 
 
Una de las tareas más importantes de las matemáticas es descubrir y caracterizar patrones 
regulares, tales como los relacionados con los procesos que se repiten. La principal estructura 
matemática que se utiliza en el estudio de los procesos que se repiten es la sucesión y la principal 
herramienta matemática que se usa para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la 
inducción matemática. 
 
Imagina que una persona te pregunta por tus antepasados. Tú tienes dos padres, cuatro abuelos, 
ocho bisabuelos y así sucesivamente, estos números se pueden escribir en un renglón como: 
2, 4, 8,... 
 
El símbolo “...” se llama puntos suspensivos. Es la abreviatura de “y así sucesivamente”. Para 
expresar el patrón de los números, suponga que cada uno está etiquetado por un entero que indica 
su posición en el renglón. 
 
 
Generación Padres Abuelos Bisabuelos Tatarabuelos … 
Posición 1 2 3 4 … n 
Número 2 4 8 16 … 
 
Si te preguntan ¿Cuántos tatarabuelos tienes? Y te dan las siguientes opciones: 
A. 8 
B. 12 
C. 16 
D. 20 
La opción que debes señalar es la C. pues en general las personas tenemos 16 tatarabuelos. Por 
otra parte es común que se presenten sucesiones numéricas y se necesite obtener el patrón que 
éstas obedecen. En este caso específico el patrón que se obedece es 𝑎𝑛 = 2
𝑛, pues si sustituimos 
el valor de la posición n, obtendremos el número de padres, abuelos, bisabuelos, etcétera que 
tenemos. 
𝑎1 = 2
1 = 2El número de padres, 
𝑎2 = 2
2 = 4 Abuelos, 
𝑎3 = 2
3 = 8Bisabuelos, etcétera. 
Es importante que te des cuenta que los números presentados obedecen a una sucesión particular 
y de ser posible obtengas el modelo general o patrón del mismo. También es común que debas 
encontrar los términos siguientes de una sucesión que se te proporciona, para ello hay varias 
técnicas, por ejemplo: 
Encontrar el siguiente término de la sucesión: 3, 10, 17, 24, 31, ____ 
 
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En este caso podemos darnos cuenta de que entre dos términos consecutivos hay siete unidades, 
es decir, dado un término de la sucesión, para obtener su sucesor es necesario sumar siete 
unidades a éste: 
 
De este modo el término siguiente es 38. Hay casos en los cuales en lugar de sumar hay que 
restar, multiplicar, dividir o realizar alguna mezcla de operaciones, puede que los incrementos no 
sean constantes, observa el siguiente ejemplo: 
Encontrar los siguientes dos términos de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31, ____, _____ 
Aquí vemos que entre dos términos consecutivos hay un incremento, pero este incremento no es 
constante sino que también se va incrementando a cada paso, es decir, observando algunos pasos 
podemos encontrar una regularidad y vemos que los incrementos son 2, 4, 8, 16, de esta manera 
los dos incrementos siguientes serán 32 y 64 respectivamente: 
 
Los patrones que podemos encontrar en las sucesiones puede que no sean únicos y que haya 
alguna manera diferente de resolverlos, en el caso anterior se puede resolver de la siguiente 
forma: 
 
 
Si tenemos una sucesión como la siguiente: 1, 3, 6, 10, 15, 21,… y deseamos obtener (más 
concretamente identificar) el patrón que obedece entre una lista de opciones tales como: 
A. 𝑏𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
 
 
B. 𝑏𝑛 =
𝑛(𝑛−1)
2
 
 
C. 𝑏𝑛 =
𝑛2
2
 
 
D. 𝑏𝑛 =
(𝑛−1)(𝑛+1)
2
 
 
Lo que debemos hacer es identificar cada término de la sucesión con el lugar o posición que ocupa 
y sustituirlo en las expresiones que se nos muestran como candidatas a ser término general. 
N 1 2 3 4 5 6 
𝒃𝒏 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
 
1 3 6 10 15 21 
𝒃𝒏 =
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
 
0 1 3 6 10 16 
𝒃𝒏 =
𝒏𝟐
𝟐
 
½ 2 9/2 8 25/2 18 
𝒃𝒏 =
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 + 𝟏)
𝟐
 
0 3/2 4 15/2 12 35/2 
 
De aquí podemos observar que la opción A es la correcta. 
 
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Si la pregunta por el contrario fuera: “Dada la siguiente sucesión 1, 3, 6, 10, 16, 21,…, 
¿Cuál será el décimo término?” en este caso primero debemos identificar el término general 𝒃𝒏 =
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
como ya se vio, al sustituir=10: 
𝑏10 =
10(10 + 1)
2
=
10(11)
2
=
110
2
= 55 
Otro caso bastante frecuente es cuando se tienen dos sucesiones que están intercaladas formando 
una nueva sucesión, en este caso decimos que cada una de las dos primeras son subsucesiones 
de la última. Veamos esto con un ejemplo, indicar cuales son los dos términos siguientes en la 
sucesión: 
 
Está compuesta por dos subsucesiones intercaladas, cada término de una subsucesión está 
alternado con un término de la otra, así las dos sucesiones componentes son: 
 
Y podemos darnos cuenta que los términos generales de cada una de ellas son 2𝑛 y −3𝑛 
respectivamente, y también podremos notar que los términos de la sucesión original alternan su 
signo, dónde las posiciones pares son negativas. Entonces los términos siguientes de la sucesión 
son 32 y -15. 
Ahora ha llegado el momento de que pongas en práctica tus razonamientos resolviendo los 
ejercicios siguientes. 
 
B. Series espaciales 
De la misma manera que se busca encontrar un patrón de comportamiento en sucesiones 
numéricas, se pueden presentar series espaciales en las cuales nos piden identificar cuáles son 
los siguientes movimientos o estados de la sucesión, por ejemplo: 
¿Qué imagen sigue en la siguiente serie? 
 
 
A. B. C. D. 
 
Podremos darnos cuenta de que la opción correcta es el inciso B. 
En otras ocasiones vamos a encontrar problemas que no nos piden el estado inmediato sino cierta 
característica de éste o de un estado mucho más adelante: 
¿Cuántos cuadros se requieren para construir 
una pirámide de 10 niveles? 
A. 50 
B. 45 
C. 66 
D. 55 
 
 
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Aquí debes notar que cada nivel agrega tantos cuadros como el mismo nivel nos indica, así para el 
primer nivel tenemos 1 cuadro, para construir una pirámide de dos niveles necesitamos 1+2 
cuadros, para una de tres 1+2+3 cuadros, de esta forma una de diez niveles requerirá 
1+2+3+…+8+9+10=55 cuadros. 
 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
Epp, Susana, (2012), Matemáticas Discretas Con Aplicaciones, CENGAGE LEARNING, México. 
Stewart, James (2012): "Precálculo, matemáticas para el cálculo". 6ª edición. Cengage Learning 
Editores. 
Larson, Ron. (2012) Precálculo. 8ª edición. Cengage Learning Editores. 
https://es.slideshare.net/augustocabrerabecerril/habilidad-matemtica-series-espaciales 
http://roa.uveg.edu.mx/repositorio/bachillerato2015/171/Seriesespacialesynumricas.pdf 
https://www.youtube.com/watch?v=Vlmgmlt7t9U 
http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 
 
Subtemas: IMAGINACIÓN ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imaginación espacial 
Capacidad del individuo de analizar y visualizar objetos en su mente 
 
Rotación de 
imágenes 
Construcción de 
figuras 
Descubrir 
semejanzas 
 
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METODOLOGIA PARA UNA MEJOR COMPRENCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO 
Para resolver problemas de razonamiento, debemos tener una organización al momento de 
comprender, analizar, clasificar y entender el resultado, puesto que si nos guiamos por conjeturas, 
podemos llegar a un resultado erróneo,por lo anterior se han dado a conocer estrategias o 
procesos para resolver problemas de razonamiento matemático. Con base al método de cuatro 
pasos de George Polya: 
Paso 1. Comprenda el problema. Entender que piden calcular (el objetivo). Analizar y leer 
cuidadosamente el problema. Finalmente preguntar ¿Qué debo calcula? 
Paso 2. Elabore un plan. Primero identificar los datos que nos proporciona el problema, clasificar 
los datos, elaborar un Plan o estrategia utilizando (diagramas, esquemas, operación matemática, 
sentido común). 
Paso 3. Aplique un Plan. Una vez que ha clasificado el problema, ponga en práctica la estrategia. 
Paso 4. Revise y Verifique. Revisar la respuesta para ver si es razonable. Preguntar: ¿Satisface 
las condiciones del problema?, ¿Se han contestado todas las preguntas del problema?, ¿Es 
posible resolver de otra manera y llegar al mismo resultado? 
 
Ejemplo 1 
1.- Observando la figura: 
 
¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la IZQUIERDA? 
a) b) c) d) 
 
Resolución: 
 
Primero observa detenidamente la figura: 
 
 
Toma un solo punto de referencia en este caso tomaremos el 2, ahora imagina en qué posición 
debe de quedar al girarlo 90°, como lo pide el ejercicio: 
 
 
 
 
 
Valida que en las opciones aparezca la forma de la referencia que tomamos 
 
 
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Una vez que validaste que la referencia si corresponde con una de las opciones debes validar que 
las demás referencias coincidan: 
 
 
 
 
 
 
Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema: 
1.- Observando la figura: 
 
¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la 
derecha? 
a) b) c) d) 
 
 
Ejemplo 2 
¿Qué opción contiene los números de la siguiente figura? 
 
 
 
 
 
 
 a) 9, 36 
b) 11,44 
 c) 10, 40 
 d) 12,48 
Primero observa detenidamente las figuras. En este caso se debe tomar en cuenta que el tipo de 
problema es de sucesiones numéricas, por lo tanto se analizará buscando patrones de diferencias 
entre cada cifra: 
Por lo tanto la respuesta 
correcta debe de ser “C” 
2 5 8 
8 32 20 
 
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Notarás que en el caso de la sucesión de arriba existe una diferencia de 3 y en la sucesión de 
abajo existe una diferencia de 12, por lo tanto siguiendo esa lógica la siguiente sucesión deberá 
quedar como: 
 
 
 
 
 
Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema: ¿Qué opción contiene los números de 
la siguiente figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 9, 36 
b) 11,44 
 c) 10, 40 
 d) 12,48 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
https://books.google.com.mx/books?id=0F_pWjrT1CYC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=razonamiento+a
ritmetico&source=bl&ots=vYzMXi9xbY&sig=1Ip4liJ7SKNIh9xIS4mmqXcehNs&hl=es-
419&sa=X&ved=0ahUKEwjytIDwuqHXAhUe0IMKHVtECU0Q6AEIVzAJ#v=onepage&q=razonamie
nto%20aritmetico&f=false 
https://www.tropaymarineria.es/test/Tropa%20y%20Mariner%C3%ADa%20-
%20Ejemplo%20Test%20Razonamiento%20Espacial.pdf 
 
2 5 8 
8 32 20 
Por lo tanto la respuesta correcta debe de ser “b” 
 
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Tema (s): NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS 
 
Subtemas: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS, OPERACIONES BASICAS 
 
Cuando pensamos en números, lo que escribimos es 101, 8.5, 1 2⁄ , 0, ¿y qué hay de los números 
negativos −7 o de √4 o el número  ? Todos ellos pertenecen a un conjunto de números llamados 
los Números Reales. A continuación se muestra la clasificación y a qué conjunto pertenecen estos 
números. 
 
 
 
Ahora, con ayuda de los números Naturales, N={1, 2, 3, … , +∞}, podemos identificar los números 
COMPUESTOS y los número PRIMOS. 
 
 
 
 
 
Números Compuestos 
4=2x2 
10=5x2 
111=11x11 
Números Naturales 
Números Primos 
2,3,5,7,11
,13,17,… 
 
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Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: 
 
Ej. 1. m.c.m (8,10)= 40 
 
8 10 2 
4 5 2 
2 5 2 
1 5 5 
 1 
 
Ej. 2. m.c.m (9, 15)= 
 
9 15 3 
3 5 3 
1 5 5 
 1 
 
 
Ej. 3. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pueda llenar en un número exacto de 
segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por segundos; la 2da, 30 litros en 
2 segundos y la tercera 48 litros en 3 segundos? 
 
2 30 48 2 
1 15 24 2 
 15 12 2 
 15 6 2 
 15 3 3 
 5 1 5 
 1 
 
Para operar números con signos, se requiere de la aplicación de la Ley de los Signos: 
 
➢ Multiplicación: 
 
Ej. 1. (32)(−2) = −64 
 
Ej. 2. −1(−3) = 3 
 
Ej. 3. 103.5(2) = 207 
 
Ej. 4. (−3)(3)(−1)(−7)(−5) = 315 
 
➢ División: 
 
Ej. 1. (−32) ÷ (4) = −8 
 
Ej. 2. 
−22
11
 = −2 
 
Ej. 3. 
−144
−2
× 
 16
−8
= −144 
 
Ej. 4. 
−2(3)÷ 2
−5(−3)÷ −5
= 1 
 
 
2(2)(2)(5) = 40 
2(2)(2)(2)(3)(5)=240 litros 
3(3)(5) = 45 
 
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➢ Suma o Adición: 
 
Para efectuar la suma o adición de números enteros tenemos los siguientes casos. 
 
1) Reducción de números con signo: en este tipo de operación se recomienda sumar primero 
los términos positivos, sumar luego los términos negativos y por último restar las dos 
sumas: 
 
 
Ej. 1. 2 + 3 − 5 + 8 − 7 + 4 = 5 
 
Ej. 2. 6 − 2 − 7 + 9 + 8 − 12 = 2 
 
Ej. 3. 8 + 5 + 3 − 13 − 2 − 1 = 0 
 
 
 
2) Uso de paréntesis: cuando el signo exterior del paréntesis es positivo, los términos dentro 
del paréntesis no cambian su signo. Cuando el signo exterior del paréntesis es negativo, 
los términos del paréntesis cambian su signo. 
 
 
Ej. 1. 5 + (−3) = 2 
 
Ej. 2. 7 − (−8) = 15 
 
Ej. 3. −3 + 4 − (−1 + 1) = 1 
 
 
Nota 1: Cuando existe un paréntesis y dentro de este se encuentra una operación, primero deberá 
de realizar la operación. 
 
 
Ej. 4. 7 + (5 − 3) − (2 − 5) + 6 = 18 
 
Ej. 5. 6 + [2 − (3 + 4) + (5 − 7) − 3] − 2 = −6 
 
Ej. 6. 10
)8267()3248(
)9548()]6824(13[
−=
−−+−
+−−−+−−
 
 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
 
Aritmética 
Teórico practica 
A Baldor 
Décima cuarta impresión 1998 
Publicaciones Cultural. 
 
Cuadernillo gratuito de Habilidad matemática. 
 
PLANEA 2016 y 2017 
INEE (Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación en México) 
 
 
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Numerador 
Denominador 
Tema (s): NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES 
Subtemas: OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS 
 
NÚMEROS FRACCIONARIOS 
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes 
iguales. 
 
𝑎
𝑏
 
Numerador: Indica las partes que se toman. 
Denominador: Indica las partes iguales en que se divide la unidad. 
 
2
5
 
8
20
 
 
Tipos de fracciones 
Las fracciones se clasifican de acuerdo al denominador, estas son: 
Fracciones Propias: son aquellas cuyo numerados es menor que el denominador. Su valor 
comprendido esta entre 0 y 1. 
 Ejemplos: 
4
5
,
5
9
,
3
8
,
2
3
 
Fracciones Impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es 
mayor que 1. 
 Ejemplos: 
5
3
,
14
9
,
7
5
,
23
11
 
Fracciones mixtas: están compuestas de una parte entera y una fraccionaria. 
 Ejemplos: 3
4
9
, 1
1
5
, 2
3
11
 
 
Convertir fracciones mixtas a impropias. 
 
Las fracciones mixtas pueden representar el mismo valor que una fracción impropia, es decir,son 
fracciones equivalentes. Por esta razón podemos convertir una fracción mixta a impropia. 
 
Para convertir lo primero que hay que hacer es multiplicar el entero por el denominador de la 
fracción, después sumar el numerador por el resultado de la multiplicación anterior. Todo esto 
sobre el denominador de la fracción. 
 
 𝟏
𝟑
𝟓
 = (𝟓)(𝟏) + 𝟑 =
𝟖
𝟓
 
 
 
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Convertir fracciones impropias a mixtas 
 
Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador 
entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el 
divisor es el denominador. 
 
17
8
= 8 17 = 2 
1
8
 
Fracciones decimales 
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10. 
101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000, 𝑒𝑡𝑐. 
Ejemplos: 
0.4 = 
4
10
 0.23 = 
23
100
 0.724 = 
724
1000
 
 
Suma de fracciones 
Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, 
conservando el mismo denominador. 
Ejemplos: 
2
7
+ 
3
7
+ 
1
7
= 
6
7
 
3
8
+ 
2
8
= 
5
8
 
Para realizar una suma con distinto denominador, se sigue el procedimiento de productos 
cruzados. 
𝑎
𝑏
+ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
 
Ejemplo: 
2
7
+ 
3
5
= 
2(5)+3(7)
7(5)
= 
10+21
35
=
31
35
 
 
Resta de fracciones 
Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando 
el mismo denominador. 
Ejemplos: 
8
9
− 
3
9
= 
5
9
 
9
11
− 
5
11
=
4
11
 
 
 
 
 2 
 1 
 
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Multiplicación de fracciones 
Para multiplicar fracciones se realiza lo siguiente: se multiplican los numeradores, se multiplican los 
denominadores y se simplifica la fracción. 
Ejemplo: 
3
8
 × 
2
7
=
6
56
=
3
28
 
 
División de fracciones 
Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en cruz. Es decir, el numerador de la primera 
fracción por el denominador de la segunda fracción (se obtiene el numerador), y el denominador de 
la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador). 
Ejemplo: 
3
5
 
1
8
= 
3 × 8
5 × 1
= 
24
5
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
https://www.matematicasonline.es/cidead/libros/1eso/temas/05-Fracciones.pdf 
http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema506.pd 
https://matesyciencias.files.wordpress.com/2012/10/apuntes-de-fracciones.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
Subtemas: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
 
RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas. 
Se lee “a es b”. 
𝒂
𝒃
= 𝒌 𝒐 𝒂: 𝒃 
No se trata de repartir al azar, por ejemplo si al grupo de 15 alumnos le doy 36 libros y al grupo de 
10 alumnos le doy 14 libros, el reparto no es proporcional. En cambio, si al grupo de 15 alumnos le 
doy 30 libros y al segundo grupo le doy 24 libros, el reparto es proporcionalmente directo. 
Si el total de estudiantes que hay es 25 y el total de libros es 50. 
 La Razón correspondiente es 
𝟐𝟓
𝟓𝟎
=
𝟏
𝟐 
 
PROPORCIÓN Es una comparación entre dos razones, esta relación puede ser de forma directa e 
inversa. 
Un primer grupo tiene 15 estudiantes y se necesita conocer el número de libros que le corresponde 
 Primera razón 
50
25
 = Segunda razón 
x
15 
 
PROPORCIÓN DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o 
disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. 
Con estas dos razones planteamos la proporción y resolvemos. 
25
50
=
15
𝑥
 → 𝑥 =
(50)(15)
25
= 30 
Acabamos de averiguar que al grupo de 15 alumnos le corresponde 30 libros. 
 
 
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 PROPORCIÓN INVERSA Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando haciéndose 
mayor o menor la primera cantidad, la segunda por el contrario se hace menor o mayor 
respectivamente el mismo número de veces. Observa la tabla: 
Primera magnitud 1 2 3 4 5 6 
Segunda magnitud 120 60 40 30 24 20 
 
Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada 
uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos? 
 Alumnos dinero 
 18 200 
 10 x 
Por tanto se aplica el inverso multiplicativo 
 x
200
10
18
=
 
x = 
10
)200(18
 
 200
x
10
18
= x = 360 
· Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos 
Una de las aplicaciones de las razones y proporciones es el porcentaje. 
PORCENTAJE Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de 
denominador 100, en otras palabras es el número de unidades que se toma de cada cien. Es de 
utilidad para realizar comparaciones entre cantidades. 
 8 por ciento es lo mismo que la fracción 8 % = 08.0
100
8
= 
 35 % = 35.0
100
35
= 15.8 % = 158.0
100
8.15
= 
 
Existen los siguientes tipos de porcentaje. 
PORCENTAJE DE AUMENTO 
El precio final, aplicando un porcentaje se calcula sumando el AUMENTO al precio inicial. 
PORCENTAJE DE DESCUENTO 
El precio final del, aplicando un porcentaje se calcula restando el DESCUENTO del precio inicial. 
 
 
 
a + alumnos – dinero 
a – alumnos + dinero 
Proporcionalidad inversa 
 
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 Ejemplos 
✓ En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de visita al 
museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo? 
Considera: 
Fueron al museo 30 % 
No fueron al museo: 70 % 
✓ En un almacén de ropa, hay un descuento en los artículos para caballero. Calcula 
el descuento que me hicieron en un artículo si pague $105 cuyo precio normal es 
de $150.00. 
Considera: 
Pago: $105 
Costo normal: $150 
Resuélvelo 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
http://lasmatematicas.eu/matematicas-y/algebra/porcentajes 
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html 
http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf 
http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 
Subtemas: 
LEYES DE LOS EXPONENTES 
OPERACIONES COMBINADAS 
JERARQUIA DE OPERACIONES 
 
 
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 
Potenciación: 
Las potencias o exponentes se utilizan para denotar la multiplicación repetida de un número por sí 
mismo; por ejemplo: 
24 = (2)(2)(2)(2) = 16 y 63 = (6)(6)(6) = 216 
En estas expresiones, 2 y 6 son la base y 4 y 3 son el exponente. 
Reglas de los exponentes: A continuación se mencionan algunas reglas. En cada regla se da por 
hecho que x y y son bases y números reales mayores a cero. También, que los exponentes a y b 
son enteros, a menos que se especifique lo contrario. 
Regla 1 : 𝑥−𝑎 = 
1
𝑥𝑎
 
Ejemplo 1: 2−5 = 
1
25
 = 
1
32
 Ejemplo2:
1
5−3
= 53 = 125 
Regla 2 : (𝑥𝑎)(𝑥𝑏) = 𝑥𝑎+𝑏 
Ejemplo 1: (22)(23) = 22+3 = 25 = 32Ejemplo 2: (𝑥−3)(𝑥5) = 𝑥5−3 = 𝑥2 
Regla 3: 
𝑥𝑏
𝑥𝑎
= 𝑥𝑏−𝑎 = 
1
𝑥𝑎−𝑏
 
Ejemplo 1: 
25
22
= 25−2 = 23 = 8Ejemplo 2: 
𝑥2
𝑥6
= 𝑥2−6 =
1
𝑥6−2
=
1
𝑥4
 
Regla 4: 𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 𝑥 
Ejemplo 1: 50 = 1Ejemplo 2: (-5)0 = 1 
* 00 no está definido. 
Regla 5: (𝑥𝑎)(𝑦𝑎) = (𝑥𝑦)𝑎 
Ejemplo 1: (52)(22) = 102 = 100Ejemplo 2: (2𝑥)4 = 24𝑥4 = 16𝑥4 
Regla 6:(
𝑥
𝑦
)3 =
𝑥3
𝑦3
 
Ejemplo 1: (
2
3
)3 =
23
33
=
8
27
Ejemplo 2: (
𝑥
2𝑦
)2 =
𝑥2
4𝑦2
 
Regla 7: (𝑥𝑎) 𝑏 = 𝑥𝑎𝑏 
Ejemplo 1: (24)2 = 24∗2 = 28 = 256Ejemplo 2: (2𝑥3)3 = (23)(𝑥3∗3) = 8𝑥9 
 
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Radicación: 
La raíz cuadrada de un número positivo n es un número m, por lo tanto m2 = n. Donde m es la raíz, 
2 es el orden y n es el radicando. 
Por ejemplo, 5 es la raíz cuadrada de 25 dado que 52 = 25. También, la raíz cuadrada de 25 es -5 
dado que (-5)2 = 25 ya que todos los números positivos tienen una raíz cuadrada positiva y otra 
negativa. Una raíz cuadrada es una raíz de orden 2, órdenes mayores, por ejemplo 3 y 4 se 
escriben de la siguiente manera: 3m y 4n. A continuación se muestran algunos ejemplos de 
raíces. 
√9 = 3 ya que el cuadrado de 3 es 9, la raíz de 9 es igual a 3. 
√25= 5 √81 = 9√100 = 10 √121 = 11√144= 12 
√169 = 13√196= 14√225 = 15√625= 25 
Las raíces más comunes con órdenes mayores son: 
√8
3
 = 2 ya que 23 = 8 por lo tanto la raíz cúbica es 2, 3 es el orden y 8 es el radicando. 
√27
3
 = 3√81
4
 = 3 
 
Jerarquía de operaciones: 
Para realizar operaciones mixtas, utilizando sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis 
y potencias se debe seguir el siguiente orden: 
 
 
Operaciones combinadas: 
Operaciones con sumas y restas: 
2 + 3 – 5 – 2 + 6 = 4 
 
 
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Cuando existen dos o más operaciones de la misma jerarquía juntas se resuelven por orden de 
aparición. 
Operaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones: 
2x4-5-6/3+7 = 7 
Se resuelve primero la multiplicación, después la división y la sumas y restas de izquierda a 
derecha. 
Operaciones con sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis y potencias: 
-(5x3)+2-9/3+32 = -7 
Se resuelven utilizando la jerarquía de operaciones y de izquierda a derecha cuando poseen la 
misma jerarquía. 
Nunca olvides la ley de los signos para resolver estas operaciones. 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
Arias Cabezas, José María y MazaSáez Ildefonso. 2008. Aritmética y Álgebra. En Carmona 
Rodríguez, Manuel y Díaz Fernández Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial 
Bruño, Sociedad Limitada. p. 19. 
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_rad.htm (Se consultó el 
05/11/2017) 
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_pot.htm (Se consultó el 
05/11/2017) 
http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%207/PDF/Taller%207%20grado
%207.pdf(Se consultó el 05/11/2017) 
https://www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones (Se consultó el 11/11/2017) 
 
 
 
 
 
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Tema (s): EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Subtemas: 
LENGUAJE ALGEBRAICO, OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Es una combinación de números y letras que representan números (variables) cualesquiera. 
Algunas ocasiones se sugiere que las últimas letras del alfabeto para las variables (x, y, z) y las 
primeras (a, b, c) para las constantes. 
Por ejemplo: 
3x2-7xy + 2y3, 
(√5 xyz+2z)
(3 a2+2k)
 
LENGUAJE ALGEBRAICO 
En algebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por 
lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números. 
Dicho en otras palabras, permite expresar números desconocidos y realizar operaciones 
matemáticas con ellos; siendo más preciso al expresarse en forma breve. 
EL lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a 
generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde sólo se 
emplean los números y sus operaciones básicas. 
Ejemplo 
El sucesor de n 𝑛 + 1 
El antecesor de n 𝑛 − 1 
Entero siempre par 2𝑛 
Entero siempre impar 2𝑛 + 1 
Dos pares consecutivos 2𝑛 y 2𝑛 + 2 
Dos impares consecutivos 2𝑛 + 1 y 2𝑛 + 3 
 
TÉRMINO INDEPENDIENTE 
Sólo consta de un valor numérico −2𝑥𝑦 
TÉRMINOS SEMEJANTES 
Son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por ejemplo, -2xy, 4xy son términos 
semejantes, mientras que 2ab,3𝑎2𝑏3 no lo son. 
POLINOMIO 
Es una expresión algebraica de más de un término. 
Por ejemplo. 
a) 7𝑥3𝑦4 es un monomio, ya que sólo consta de un término. 
b) 2𝑥 + 3𝑦 es llamado binomio, por constar de dos términos. 
c) 3𝑥2 + 4𝑥 – 2recibe el nombre de trinomio pues es una expresión algebraica de tres 
términos. 
 
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OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 
1.-SUMA Se efectúa agrupando los términos semejantes. 
7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 ; 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦; 𝑥 − 6𝑦2 − 2𝑥𝑦 
 
( 7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 ) + ( 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦 ) + ( 𝑥 − 6𝑦22 − 2𝑥𝑦 ) = 
7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 6𝑦2 − 2𝑥𝑦= 
𝟏𝟏𝒙 − 𝟓𝒚𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 
2.- RESTA Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el inverso aditivo 
del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos sus términos. 
 
Restar 2𝑥2 − 𝑥𝑦 + 4𝑦2 de 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 
(5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2) - ( 2𝑥2– 𝑥𝑦 + 4𝑦2) = 
5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 − 2𝑥2 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2= 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 
3.- MULTIPLICACIÓN Hay tres casos y debemos recordar: 
 
 
 
 
 
i) Producto de dos o más monomios. Para 
realizarlo se aplican las leyes de los 
exponentes 
 
 
(−3𝑥2𝑦3𝑧)(2𝑥𝑦2𝑧5)= 
 
[(−3) (2)][ 𝑥 2𝑥][ 𝑦3𝑦2][𝑧 𝑧5]= 
 
− 𝟔𝒙𝟑𝒚𝟓𝒛𝟔 
 
 
 
ii) Producto de un monomio por un polinomio. 
Se efectúa multiplicando el monomio por 
todos y cada uno de los términos del 
polinomio y sumando los productos. 
 
 
 
(5𝑥2𝑦4) (3𝑥𝑦2 − 4𝑥3 + 2𝑥𝑦2)= 
 
(5𝑥2𝑦4) (3𝑥𝑦2) + (5𝑥2𝑦4) (−4𝑥3) (5𝑥2 𝑦4) (2𝑥𝑦2)= 
 
𝟏𝟓𝒙𝟑𝟑𝒚𝟓 − 𝟐𝟎𝒙𝟓𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑𝒚𝟔 
 
 
i) Producto de un polinomio por un polinomio. 
Se multiplican todos y cada uno de los 
términos de un polinomio por todos y cada 
uno de los términos del otro y sumando los 
productos obtenidos. 
 
 
 (𝑥 + 3) (𝑥2 + 9𝑥 − 2) = 
 
(𝑥)(𝑥2)+(𝑥)(9𝑥)-(𝑥)(2)+(3)(𝑥2) + (3)(9𝑥) − (3)(2)= 
 
𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟗𝒙 + 𝟔 
 
 
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4.- DIVISION Hay dos casos: 
 
Monomio entre monomio. 
 
Se inicia la división aplicando leyes de los 
signos, los coeficientes se dividen y para las 
letras que son iguales se aplican las leyes de 
los exponentes. 
 
 
75𝑐2𝑒15𝑓11
−5𝑐𝑒7𝑓
 =
75
−5
𝑐2
𝑐
𝑒15
𝑒7
𝑓11
𝑓
 
 
= −𝟏𝟓𝒄𝒆𝟖𝒇𝟏𝟎 
 
 
Polinomio entre monomio 
 
Cada uno de los términos de polinomio se 
divide entre el monomio (que se encuentra en 
el denominador) 
 
 
32𝑥2 + 20𝑥 − 12𝑥3
4𝑥
 
 
32𝑥2
4𝑥
+
20𝑥
4𝑥
−
12𝑥3
4𝑥
= 
 
8𝑥 + 5 − 3𝑥2 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
PiotrWisniewski, Marian y Gutiérrez Banegas, Ana Laura, s.f., Introducción a las matemáticas 
Universitarias, México, D.F., Ed. Mc Graw Hill- Schaum, 
Earl w. Swokowski y Jeffery A. Cole, Diciembre de 2007, Algebra y Trigonometría con Geometría 
Analítica, , México,D.F., Ed. CengajeLearning. 
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas 
https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s 
https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-algebraic-expressions 
http://www.estoy-aprendiendo.com/algebra.html 
https://www.google.com.mx/search?q=que+es+el+lenguaje+algebraico&oq=QUE+ES+EL+LENGU
AJE&aqs=chrome.1.69i57j0l5.7048j0j8&sourceid=chrome&ie=UTF-8 
http://conceptodefinicion.de/lenguaje-algebraico/ 
 
 
 
 
 
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Tema (s): PRODUCTOS NOTABLES 
Subtemas: BINOMIO: AL CUADRADO, CONJUGADOS, TÉRMINO COMÚN 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos 
conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla 
cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de 
productos notables. 
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a 
término. 
 
CUADRADO DE UN BINOMIO 
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo 
del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término 
El cuadrado de un binomio a + b es 
igual al cuadrado del primer término 
más el doble del producto delos términos más el cuadrado del segundo término. 
Ej. 
 
 
 
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS 
Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos. 
Al efectuar el producto de un binomio a + b por su conjugado a - b , se tiene: 
 
Es decir, Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos 
Ej. 
 
 
 
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN 
El producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de 
los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos. 
 
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Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado 
x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que 
se forma una superficie con cuatro regiones 
Ej. 
 
Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término 
común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto 
de los términos distintos. 
 
BINOMIO CON TÉRMINO SEMEJANTE 
Son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios 
con términos semejantes (2x + 3) (3x + 4) cuando el coeficiente del término semejante en cada 
binomio sea el mismo, se tiene el caso de binomios con un término común. 
Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la 
multiplicación directamente. 
El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma 
con un término que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto 
de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer 
binomio con el otro término del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro término del 
primer binomio con el termino semejante del segundo binomio). 
 
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Los términos semejantes se separan de acuerdo al producto de dichos términos más el producto e 
los otros dos términos. 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
https://www.youtube.com/watch?v=OP_WX8TjeI4 
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm 
http://www.escolares.net/matematicas/productos-notables/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): FACTORIZACION 
Subtemas: POR TERMINO COMUN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, DIFERENCIA 
DE CUADRADOS, TRINOMIO CON TERMINO COMUN, BINOMIO CON 
TERMINO SEMEJANTE 
 
FACTORIZACIÓN 
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Nótese como el 
número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno de estos números se divide 
exactamente entre dicho factor común. Cuando una expresión algebraica está contenida 
exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de 
ellos. 
(3)(2)= 6 , por lo que factores de son 3 y 2. 
(5)(2)=10 , por lo que factores de son 5 y 2 . 
(5)(3)(2)= 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 . 
Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor 
(MCD)de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los 
términos, se escogen las que tengan el menor exponente. 
 
 
 
 
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el 
cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 9𝑎2 es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de 3a.Se 
conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado 
un binomio. 
Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe 
cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y 
que el otro término corresponda al doble producto de las raíces 
cuadradas de los términos cuadráticos. 
Ej. 
 
 
 
 
 
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DIFERENCIA DE CUADRADOS 
Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados. Esto 
implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los 
términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su 
conjugado. 
 
Forma: 
 
Es lo mismo que factor común de binomios solo que con trinomio, porque el procedimiento es 
exactamente el mismo, con las mismas reglas. 
 
TRINOMIO CON TÉRMINO COMÚN 
El factor común es aquel factor que está presente en cada término del trinomio. El factor común 
puede ser numeral, literal, o ambos a la vez. Si es un factor común literal se extrae el de menor 
exponente. Si el factor común es numeral se saca el máximo común divisor. El proceso para 
aplicar el factor común en trinomio, se realiza igualmente de los binomios. 
 
 
Producto de dos binomios los cuales sólo tienen en común un sólo término, su forma general es ( a 
+ b ) ( a + c ) la cual trata del producto de dos binomios, los cuales tienen en común el término “a” 
y los términos NO comunes son los términos “b, c”. El producto de binomios con término común es 
un trinomio cuadrado, para lo cual existe una regla de 3 pasos en donde cada paso nos da un 
término de dicho trinomio. 
 
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1) El cuadrado del término común. 
2) La suma de los términos NO comunes, por el término común. 
3) El producto de los términos NO comunes. 
Ej. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
https://www.youtube.com/watch?v=ROGt8u81FxM 
https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n 
http://math.uprm.edu/academic/courses-help/mate0066/m0066_ver09/sol_factorizacion.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Las incógnitas son las literales 
que aparecen en la ecuación. 
La solución es el valor único 
que toma la incógnita para 
que la igualdad sea cierta. 
El grado de una ecuación es 
de primer grado el 
exponente de la literal. 
Tema (s): ECUACIONES DE PRIMER GRADO 
 
Subtemas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 
PLANTEAMIENTO DE PROBLEMASECUACIONES DE PRIMER GRADO 
ECUACIÓN 
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. 
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del 
signo igual. 
Los términos son los sumandos que forman los miembros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 
En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: 
1º Quitar paréntesis. 
2º Quitar denominadores. 
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el 
otro. 
4º Reducir los términos semejantes. 
5º Despejar la incógnita. 
 
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ECUACIÓN BASICA 
 
Pasamos las x a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha): 
En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando: 
 
Sumamos los monomios con x: 
 
En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando: 
 
Sumamos los monomios de la derecha: 
 
El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo: 
 
Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3. 
 
ECUACIÓN CON PARENTESIS 
 
Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar 
ambigüedades. 
El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que 
cambiar de signo: 
 
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Sumamos 3 y -2 en el lado derecho: 
 
Pasamos los monomios con x a la izquierda y los números a la derecha: 
 
Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos: 
 
Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios: 
 
Luego la solución de la ecuación es x = 0. 
 
ECUACIÓN CON FRACCIONES 
 
Tenemos varias formas de proceder con las fracciones: 
• Sumar las fracciones de forma habitual. 
• Multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. 
En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a 
desaparecer. 
 
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Multiplicamos, pues, por m.c.m. (2, 3) = 6: 
 
Para simplificar, calculamos las divisiones: 
 
Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 
3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma. 
Calculamos los productos: 
 
Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene: 
 
Pasamos las x a la izquierda: 
 
Sumamos los monomios: 
 
Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado: 
 
La solución de la ecuación es x = 3/4. La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es 
irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1). 
 
 
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO 
Para resolver este tipo de problemas, el enunciado se transforma al lenguaje algebraico, de esta 
manera se obtiene una ecuación de primer grado. 
 
 
¿Cuál es el modelo matemático que resuelve el 
problema: “La suma de 2 números es 60, el 
mayor excede al menor en 20”? 
 
✓ Utilizas una literal para generalizar 
 
Número menor : 𝒙 
Número mayor: 𝒙 + 𝟐𝟎 
 
 
✓ Se plantea la ecuación: 
 Número mayor + Número menor =60 
 (𝒙 + 𝟐𝟎) + 𝒙 = 𝟔𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
Norma tiene 15 años y Aidé 35. ¿Dentro de 
cuántos años Aidé tendrá el doble de años que 
Norma? 
 
 
 Edad Actual Dentro de 𝒙 años 
Norma 𝟏𝟓 𝟏𝟓 + 𝒙 
Aidé 𝟑𝟓 𝟑𝟓 + 𝒙 
 
Edad de Aidé = 2(edad de Norma) 
𝟑𝟓 + 𝒙 = 𝟐(𝟏𝟓 + 𝒙) 
𝟑𝟓 + 𝒙 = 𝟑𝟎 + 𝟐𝒙 
𝟑𝟓 − 𝟑𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝒙 
𝟓 = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
 
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html 
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html 
http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS) 
Subtemas: 
CLASIFICACION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 
RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Y FÓRMULA GENERAL 
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
 
 
 
 Se clasifican en 
 
 
 
 De la forma De la forma 
 
 
 Métodos de Resolución 
 
 
 
 
FÓRMULA GENERAL 
𝒙 = 
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
Para aplicar la fórmula general deben obtenerse los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐, en el orden de la 
ecuación de segundo grado igualada a cero. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
 𝒂: 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒐 
 𝒃: 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 
 𝒄: 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
Observa: 
• En la ecuación de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 considera 𝑐 = 0 
• En la ecuación de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 considera 𝑏 = 0 
 
 
 
ECUACIONES COMPLETAS ECUACIONES INCOMPLETAS 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
MIXTAS 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
PURAS 
 
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
✓ FÓRMULA GENERAL 
 
✓ FACTORIZACIÓN 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
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COMPLETA: contiene el término de segundo grado, el de primer grado y el independiente 
 
𝑥2 + 5𝑥 − 6 
Solución: (Formula General) 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑎= 1 𝑏= 5 c = -6 
 
𝑥 =
−5 ± √52 − 4(1)(−6)
2(1)
 
𝑥 =
−5 ± √25 − (−24)
2(1)
 
𝑥 =
−5 ± √25 + 24)
2(1)
 
𝑥 =
−5 ± √49
2(1)
 
𝑥 =
−5 ± 7
2
 
𝑥1 =
−5 − 7
2
𝑥2 =
−5 + 7
2
 
𝑥1 = −6 𝑥2 = 1 
 
DISCRIMINANTE 
 
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser 
sustituidos en la ecuación la convierten en una identidad. 
Llamamos discriminante ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄, a partir del signo del discriminante conoceremos el 
número de soluciones de la ecuación, así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. 
 
Si el discriminante es 0 hay una solución. 
 
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones. 
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 
 
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Discriminante 
 
Ejemplo Discriminante Carácter de las 
 Raíces 
∆> 0 
POSITIVO 
𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 52 − 4(1)(−6) = 49 Dos raíces reales 
y diferentes 
−6 , 1 
 
∆= 0 
CERO 
4𝑥2 + 12𝑥 + 9 = 0 122 − 4(4)(9) = 0 Reales e iguales 
− 3 2⁄ ,
3
2⁄ 
 
∆< 0 
NEGATIVO 
5𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 (−3)2 − 4(5)(2) = −31 Imaginarias 
No hay solución 
 
 
PURA: es aquella donde la variable a encontrar esta elevada al cuadrado y carece del término de 
primer grado: 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
MIXTA: Es aquella ecuación donde carece del término independiente. 
 
22𝑥2-14𝑥 = 0 
 
Solución: (Método de Factorización) 
 
2𝑥(𝑥 − 7) = 0 
 
2𝑥 = 0 
(𝑥 − 7) = 0 
 
𝑥1 = 0/2 → 𝑥1 = 0 
𝑥2 = 7 
 
 
𝑎𝑥+c=0 
3𝑥2-27=0 
3𝑥2-27=0 
3𝑥2 = 27 
𝑥2 = 27/3 
 𝑥
2 = 9 
𝑥 = ±√9 
𝑥2 = −3 𝑥1 = 3 
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 
 
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INTERPRETACION GRÁFICA 
 
La interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la gráfica de 
la función y=ax2+bx+c, que esuna parábola; donde la solución de la ecuación ax2+bx+c=0 son los 
puntos de dicha gráfica cuando y=0, es decir, los puntos de corte de la parábola con el eje de 
abscisas (eje X). 
 
 
 
 
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL USO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
• Hallar la suma de dos números es 16 y cuyo producto es 63 
 
𝑥 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 
Despejamos ( y ) de la ecuación ①. 
𝑥 + 𝑦 = 16…① 𝑦 = 16 − 𝑥 …③ 
 𝑥 ∗ 𝑦= 63…② 
Sustituimos el valor obtenido de la ecuación ③ en ecuación ② para obtener la ecuación con una 
sola incógnita. 
𝑥 ∗ 𝑦 = 63… ② 
𝑥 ∗ (16 − 𝑥) = 63… ② 
 
Igualamos esta ecuación a cero y resolvemos. 
 
 
 
En la imagen de la izquierda podemos 
observar la gráfica de y = x2+2x-3 
donde los puntos de intersección en el 
eje de las abscisas son: (-3,0) y (1,0). 
 
Por lo tanto la solución de la ecuación 
cuadrática es: 
 
𝑥1= -3 
 
𝑥2= 1 
 
 
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𝑥2 − 16 + 63 = 0 a = 1 b = -16 c = 63 
 
𝑥 =
−(−16) ± √((−16)2 − 4(1)(63)
2(1)
 
𝑥 =
16 ± √256 − 4(1)(63)
2
 
𝑥 =
16 ± √256 − 252
2
 
𝑥 =
16 ± √4
2
 
𝑥 =
16 ± 2
2
 
𝑥1 =
16 + 2
2
 𝑥2 =
16 − 2
2
 
𝒙𝟏 = 𝟗 𝒙𝟐 = 𝟕 
 
Así, los números cuya suma es 16 y su producto es 63 son 9 y 7. 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2009/descartes/catalunya/materials/jordi_s
egarra_practica_3/tema5_ccss_eda05/item_2.htm 
http://www.allmathwords.org/es/q/quadraticequation.html 
http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
Subtemas: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS 
PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EN CONTEXTO 
INTERPRETACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Un sistema de ecuaciones lineales es conjunto de ecuaciones lineales (Un sistema de ecuaciones 
donde cada ecuación es de primer grado y puede tener más de una incógnita);lo que hacen estas 
ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí. 
 
Por ejemplo: A𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 
 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 = 𝐶′ 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS 
DE 
SOLUCIÓN.
Reducción.
Consiste en sumar ambas ecuaciones y 
eliminar una de las variables, obteniendo 
una ecuación de primer grado con una 
incognita.
Igualación
Consiste en despejar la misma incognita de 
ambas ecuaciones e igualarlas para 
obtener una ecuación de primer grado con 
una incognita.
Gráfico
En este método se dan valores a x para 
encontrar los valores de y, y formar las 
parejas que al gráficar forman la recta que 
representa la ecuación en el plano cartesiano 
y la intersección de ambas rectas será la 
solución.
Sustitución
Consiste en despejar una incognita de 
cualquiera de ambas ecuaciones para 
sustituir en la ecuación restante y obtener 
una ecuación de primer grado con una 
incognita.
Es un sistema de dos 
ecuaciones con dos 
incógnitas (x e y). 
 
 
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a) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se 
cumplan todas las ecuaciones del sistema. 
 
Los métodos de solución para este sistema de ecuaciones son los siguientes: 
1. Método de Sustitución 
Consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor 
en la otra ecuación. 
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: 
5𝑥 + 2𝑦 = 1 ………….( 1) 
−3𝑥 + 3𝑦 = 5 ………….( 2) 
 
i. Despejamos en una incógnita de una de las ecuaciones. 
En este caso de la ecuación (2) despejamos “y” 
𝑦 =
3𝑥 + 5
3
 
ii. Sustituimos en la otra ecuación, la incógnita despejada: 
5𝑥 + 2 (
3𝑥 + 5
3
) = 1 
iii. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de la incógnita. 
5𝑥 +
6𝑥
3
+
10
3
= 1 → 
21𝑥
3
+
10
3
= 1 → 7𝑥 = 1 −
10
3
 
7𝑥 = − 
7
3
 → 𝑥 =
7
3
7
 
𝑥 = −
7
21
 
iv. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio y resolvemos para 
obtener el otro valor. 
𝑦 =
3𝑥 + 5
3
 → 𝑦 =
3 (−
7
21
) + 5
3
 → 𝑦 =
−1 + 5
3
 → 𝑦 =
4
3
 
Los valores de las incógnitas son: 
𝑥 = −
7
21
 
𝑦 =
4
3
 
 
 
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2. Método de Reducción 
Consiste en reducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuación con una sola incógnita. Para 
esto se necesita multiplicar una ecuación y en ocasiones las dos ecuaciones por números 
convenientes, para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números iguales pero con 
signos opuestos, al momento de realizar la suma de las dos ecuaciones, la incógnita quedará 
eliminada. 
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: 
𝑥 + 2𝑦 = 9 ………….( 1) 
 3𝑥 − 𝑦 = 20 ………….( 2) 
i. Si queremos eliminar la incógnita x, es necesario tener el mismo número y con signo 
contrario los coeficientes de esta incógnita. Para ello multiplicaremos la ecuación (1) 
por “-3” y realizamos la sima algebraica de ambas ecuaciones: 
−3𝑥 − 6𝑦 = −27 ……………… (ecuación “1” multiplicada por “-3”) 
3𝑥 − 𝑦 = 20 ………………. (ecuación “2”) 
−7𝑦 = −7 → 𝑦 =
−7
−7
 → 𝑦 = 1 
ii. Sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones iniciales y resolvemos 
despejando la incógnita “x”. 
 
𝑥 + 2𝑦 = 9 → 𝑥 + 2(1) = 9 → 𝑥 + 2 = 9 
 
𝑥 = 9 − 2 → 𝑥 = 7 
Los valores de las incógnitas son: 
𝑥 = 7 
𝑦 = 1 
 
3. Método de Igualación 
Consiste en despejar en despejar una incógnita en ambas ecuaciones e igualar para formar una 
ecuación con una sola incógnita. 
 
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: 
5𝑥 + 𝑦 = 8 ………….( 1) 
 3𝑥 − 𝑦 = 8 ………….( 2) 
 
i. Despejamos “y” en ambas ecuaciones 
𝑦 = 8 − 5𝑥 
𝑦 = 3𝑥 − 8 
 
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ii. Igualamos los segundos miembros del paso anterior y resolvemos para la incógnita “x”. 
 
3𝑥 − 8 = 8 − 5𝑥 → 3𝑥 + 5𝑥 = 8 + 8 → 8𝑥 = 16 
𝑥 =
16
8
 → 𝑥 = 2 
 
iii. Ya encontrada la incógnita “x” la sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya 
despejada y resolvemos. 
 
𝑦 = 8 − 5𝑥 
𝑦 = 8 − 5(2) 
𝑦 = 8 − 10 
𝑦 = −2 
Los valores de las incógnitas son: 
𝑥 = 2 
𝑦 = −2 
 
b) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden 
ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se 
representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que 
satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los 
valores de las incógnitas. 
Ejemplo: 
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto 
iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo. 
Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el 
problema obtenemos las dos ecuaciones: 
5𝑥 + 4𝑦 = 32 
6𝑥 + 3𝑦 = 33 
Utilizando los métodos antes mencionados para este tipo de ecuaciones. Para este caso 
utilizaremos igualación. 
Despejamos “y” 
𝑦 = 8 −
5
4
𝑥 
𝑦 = 11 − 2𝑥 
 
 
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Igualando y resolviendo para x. 
 
−
5
4
𝑥 + 8 = 11− 2𝑥 → 2𝑥 −
5
4
𝑥 = 11 − 8 → 
3
4
𝑥 = 3 
 
𝑥 = 3 3
4
⁄ → 𝑥 = 4 
Sustituyendo “x” en una de las ecuaciones iniciales encontramos “y”: 
𝑦 = 11 − 2𝑥 
𝑦 = 11 − 2(4) 
𝑦 = 3 
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el 
costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 
5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros 
es igual a 6(4) +3(3) = $33. 
 
a) Interpretación del método gráfico en la solución de un sistema de ecuaciones 
lineales con dos incógnitas. 
Consiste en graficar las ecuaciones lineales de dos incógnitas, donde el resultado se interpreta 
como continúa: 
➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Dos rectas 
que se cortan en un punto. 
 
Ejemplo: 
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones: 
𝑥 + 2𝑦 = 4 
3𝑥 + 𝑦 = 4 
 
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema: 
 
Las dos rectas se cortan en el punto (4/5, 8/5) que es la solución del sistema. 
 
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➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta. 
 
Ejemplo: 
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones: 
𝑥 + 2𝑦 = 4 
2𝑥 + 4𝑦 = 9 
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema: 
 
En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema. 
 
➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Dos rectas paralelas. 
 
Ejemplo: 
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones: 
𝑥 + 2𝑦 = 4 
2𝑥 + 4𝑦 = 8 
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema: 
 
Obtenemos dos rectas paralelas. No hay soluciones para el sistema y de igual 
forma no hay puntos de corte de las dos rectas. 
 
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BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS 
https://oggisioggino.wordpress.com/2014/02/15/sistemas-de-ecuaciones-lineales-con-dos-
incognitas/ 
http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm 
http://www.algebra.jcbmat.com/id1252.htm 
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lineales_dos_incogni
tas_dchg/p5_sde_3.html 
https://es.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations#solutions-to-two-var-linear-
equations 
http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-graficamente.htm 
http://www.aprendermatematicas.org/2esomate09sistemas.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): RECTAS Y ÁNGULOS, PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO 
 
Subtemas: TIPOS DE RECTAS, CLASIFICACIÓN DE RECTAS 
 FIGURAS PLANAS 
 
RECTAS Y ÁNGULOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de rectas 
Recta 
 
 
Línea de puntos sin 
principio ni fin, sin curvas 
ni ángulos 
Paralelas 
 
 
 
Rectas que nunca se 
cortan aunque se 
prolonguen. La 
distancia entre ambas 
siempre es la misma 
 
Recta Tangente 
 
Recta que toca en un 
punto pero sin cortar a 
otra recta 
Secante 
 
Dos rectas tienen un 
punto en común 
(VERTICE) se llaman 
secantes. 
Oblicuas 
 
 
Si dos rectas tienen un punto de 
intersección, y forman ángulos no 
todos iguales se llaman rectas 
oblicuas 
Perpendiculares 
 
 
Dos rectas tienen un punto de 
intersección, y forman cuatro ángulos 
iguales y los ángulos se llaman rectos 
 
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CLASIFICACIÓN Y RELACION DE ÁNGULOS ENTRE 
PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 
Dos rectas paralelas son cortadas por una recta 
secante creando 8 ángulos que reciben distintos 
nombres según la posición que ocupan. 
 
La recta “r” corta a las rectas paralelas “m” y “n” 
 
 
ÁNGULOS EXTERNOS 
• Los ángulos externos son aquellos que se 
forman al exterior de las rectas paralelas m 
y n cuando son cruzadas por una recta 
secante r. 
• Su propiedad es: 
∠𝒂 + ∠𝒅 = 𝟏𝟖𝟎° 
∠𝒃′ + ∠𝒄′ = 𝟏𝟖𝟎° 
 
ÁNGULOS INTERNOS 
• Los ángulos internos son aquellos que se 
forman al interior de las rectas paralelas m 
y n cuando son cruzadas por una recta 
secante r. 
• Su propiedad es: 
∠𝒃 + ∠𝒄 = 𝟏𝟖𝟎° 
∠𝒂′ + ∠𝒅′ = 𝟏𝟖𝟎° 
 
 
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 ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS 
• Son los ángulos que están fuera de las líneas paralelas a 
distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante. 
Por un lado los ángulos a y c’, y por otro, 
los ángulos b’ y d. 
• Una de sus propiedades es que estos ángulos son 
congruentes, lo cual significa que: 
 
∠𝒂 = ∠𝒄′ y ∠𝒅 = ∠𝒃′ 
 
Ejemplo: 
 
 Si el ángulo a es de 135°, determine el valor del ángulo g 
 
 Solución: 
 Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑎 + ∠𝑏 = 180°, por lo tanto: 
 
 135° + 𝑏 = 180° 
 𝑏 = 180° − 135° 
 𝑏 = 45° 
 Entonces aplicando la propiedad ∠𝑏 = ∠𝑔 
 
 𝑏 = 45° por lo tanto 𝑔 = 45° 
Ángulos correspondientes: 
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante y estos 
siempre son iguales. 
El ángulo a se corresponde con el ángulo a’ 
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’ 
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’ 
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’ 
Por lo tanto: 
∠𝒂 = ∠𝒂′ ∠𝒃 = ∠𝒃′ ∠𝒄 = ∠𝒄′ ∠𝒅 = ∠𝒅′ 
Figura 1 
 
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TRIÁNGULO 
Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y 
tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º. 
Cada uno de los lados es menor que la suma de los 
otros dos, esto es 
a < b + c b < a + c c < a + b 
 
Propiedades del Triángulo 
 ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS 
• Son los ángulos que están dentro de las líneas paralelas a 
distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante. 
Por un lado los ángulos b y d’, y por otro, 
los ángulos c y a’. 
• Una de sus propiedades es que estos ángulos son 
congruentes, lo cual significa que: 
 
∠𝒃 = ∠𝒅′ y ∠𝒄 = ∠𝒂′ 
 
Ejemplo: 
 
 Si el ángulo f es de 65°, determine el valor del ángulo d 
 
 Solución: 
 Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑒 + ∠𝑓 = 180°, por lo tanto: 
 
 𝑒 + 65° = 180° 
 𝑒 = 180° − 65° 
 𝑒 = 115° 
 Entonces aplicando la propiedad ∠𝑒 = ∠𝑑 
 
 𝑒 = 45° por lo tanto 𝑑 = 45° 
 
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Clasificación de triángulos según sus lados 
Triángulos equiláteros 
• Todos sus lados son iguales 
• Cada uno de sus ángulos 
• Para poder encontrar el valor de su altura, hay que proceder a hacer uso 
del Teorema de Pitágoras. 
• El perímetro de este tipo de triángulos puede calcularse multiplicando la 
longitud de cualquiera de los lados por tres. 
P=3a Suponiendo que a= 24cm entonces P=3(24) por tanto el perímetroqueda como P=72cm 
• La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es siempre la misma: 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∗ ℎ
2
 
 
Suponiendo que h= 21cm y b=24cm para determinar el Área : 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏∗ℎ
2
 ; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
(24𝑐𝑚)(21𝑐𝑚,)
2
= 252𝑐𝑚2 
Triángulos isósceles 
• El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro 
desigual. 
• Los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β) 
• La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de 
Pitágoras. 
• El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como dos veces el lado 
repetido (a) más el lado desigual (b). 
 
P=2a * b 
• fórmula para calcular el área de un triángulo es siempre la misma: 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∗ ℎ
2
 
Suponiendo que a=10cm y b=12cm por lo tanto h=8cm, entonces para calcular el área: 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏∗ℎ
2
 ; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
(12𝑐𝑚)(8𝑐𝑚,)
2
= 48𝑐𝑚2 
 
 
 
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SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES 
La propiedad 1 nos 
indica que la suma de 
todos los ángulos 
interiores siempre debe 
de ser igual a 180°. 
 
𝛼 + 𝛽 + 𝛿 = 180° 
 
SUMA DE DOS ÁNGULOS EXTERIORES 
La propiedad 4 nos 
indica que la suma de 
dos ángulos exteriores X 
y Y será igual a 180° 
más el Ángulo interno no 
adyacente 
 𝑋 + 𝑌 = 180° + 𝛿 
 
Triángulo escaleno 
• Todos sus lados son desiguales 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 
• Cada uno de sus ángulos son diferentes ∠𝛼 ≠ ∠𝛾 ≠ ∠𝛽 
• La altura (h) del triángulo escaleno se puede calcular a 
partir del teorema de Pitágoras. 
• El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón 
si se conocen todos sus lados (a, b y c). 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) donde S es el semiperimetro 𝑆 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
 
 
• El área también puede calcularse con la fórmula de siempre si se conoce b y h 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∗ ℎ
2
 
Suponiendo que a=2cm y b=5cm y c=4cm calcula el área: 
 
𝑆 =
2+5+3
2
= 5.5𝑐𝑚 entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √5.5(5.5 − 2)(5.5 − 5)(5.5 − 4) = 3.80𝑐𝑚2 
Clasificación de triángulos según sus ángulos 
ÁNGULOS EXTERIOR 
La propiedad 2 nos indica 
que 𝜃 será igual a la 
suma de los ángulos 
interiores no adyacentes. 
 
 𝜃 = 𝛼 + 𝛿 
 
 
SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES 
La propiedad 3 nos 
indica que la suma de 
los 3 ángulos exteriores 
X,Y y Z siempre será 
360° 
 
X+Y+Z=360° 
 
 
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TRIÁNGULO ACUTÁNGULO 
• Sus 3 ángulos siempre son agudos 
 
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 < 90° 
 
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los 
triángulos 
 
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
• Su principal característica es que tiene un ángulo de 90° 
• Sus dos ángulos agudos suman 90º 
• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos 
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los 
triángulos 
 
 
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO 
• Tiene un ángulo mayor a 90° 
 
∠𝐴 > 90° 
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los 
triángulos 
 
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Ejemplos: 
Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que 
hacen falta. 
∢a = 47° es Opuesto por el vértice 
∢b = 47° es Alterno Interno con 47° 
∢c = 68° 112° + ∢c = 180° 
∢d = 68° es Opuesto por el vértice 
∢e =65° Ángulos interiores del Δ 
∢f = 115° es Opuesto por el vértice 
∢g = 65° 115° + ∢g = 180° 
∢h = 133° 47° + ∢h = 180° 
 
 
Calcular el valor de C, cuando 𝑎 = 6𝑥 + 15° y 𝑔 = 2𝑥 + 5° 
 Los ángulos ∢a y ∢g suman 180° 
 ∢a + ∢g = 180° 
 (6x + 15°) + (2x + 5°) = 180° 
 8x + 20° = 180° 
 8x = 180° - 20° 
 8x = 160° 
 x = 160° ÷ 8 x = 20° 
 Entonces ∢a = 6(20°) + 15° = 135° y ∢c = 45° 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
http://diccionariomate.blogdiario.com/1279652640/geometria/ 
https://sites.google.com/site/eet468conthales/conceptos-basicos/transversales/rectas-oblicuas-2 
https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445431865/contido/ud6/22
_posiciones_relativas_entre_una_recta_y_una_circunferencia.html 
http://www.aulafacil.com/cursos/l11136/ciencia/matematicas/geometria/angulos-determinado-por-
rectas-paralelas-cortadas-po-una-secante 
http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/paralelas/paralelas.htm 
https://www.ematematicas.net/figurasplanas.php 
https://es.scribd.com/doc/27590449/Propiedades-basicas-de-los-triangulos 
 
 
 
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Tema (s): SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES 
Subtemas: 
CONCEPTO Y DEDUCCION DE PROPORCIÓN 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CONTEXTO 
 
 
SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES 
 
La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean 
semejantes. 
 
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos congruentes y sus lados 
correspondientes (homólogos) son proporcionales. Se les llama lados homólogos los opuestos a 
ángulos iguales. 
 
En los siguientes triángulos se indican los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad 
o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados: 
 
 
 
 
 
Para que los triángulos sean semejantes se deben de cumplir las siguientes condiciones: 
 
 
 
 
 
 
A r se le denomina razón de semejanza. 
Se llama razón de semejanza a la relación que existe entre la relación entre la longitud de uno de 
los lados de una figura con la de su homólogo. 
 
 
 
 
 
Sus lados sean 
proporcionales: 
 
Sus ángulos sean iguales: 
a = a´ 
b = b´ 
c = c´ 
 
 
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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Para que dos triángulos sean semejantes, deben cumplir alguno de los tres criterios de semejanza, 
que se mencionan a continuación. 
 
Criterio AA (ángulo – ángulo). Que tengan dos ángulos iguales. 
 
 
Si b = b’ y c = c’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. 
 
Criterio LAL (lado – ángulo - lado). Que tengan los lados proporcionales y el ángulo comprendido 
entre ellos sea igual. 
 
 
Entonces: 
Por lo tanto, los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. 
 
Criterio LLL (lado – lado – lado). Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales. 
 
 
Entonces: 
Por la tanto los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. 
 
 
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TEOREMA DE TALES. 
El Teorema de Tales afirma: que todo sistema de paralelas divide a dos transversales en 
segmentos proporcionales 
Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos 
entre sí, entonces esos triángulos son semejantes. 
 
 
 
 
Y, por tanto, se cumple que: 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 
https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/41/criterios-de-semejanza-triangulos 
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm 
https://matematica.laguia2000.com/general/semejanza-de-trianguloshttp://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema (s): POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA 
Subtemas: CARACTERISTICAS DE LOS POLIGONOS REGULARES 
CARACTERISTICAS DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
 
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 
• POLÍGONOS 
Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un mínimo de tres segmentos rectilíneos, 
formando una línea poligonal que denominamos contorno del polígono. 
Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son los vértices. 
 
 
 
 
 
a) Clasificación 
Los polígonos se clasifican de la siguiente manera: 
Según su número de lados 
➢ Triángulo: polígono con tres lados 
➢ Cuadrilátero: polígono con cuatro lados 
➢ Pentágono: polígono con cinco lados 
➢ Hexágono: polígono con seis lados 
➢ Heptágono: polígono con siete lados 
➢ Octógono: polígono con ocho lados 
➢ Eneágono: polígono con nueve lados 
➢ Decágono: polígono con diez lados 
➢ Undecágono: polígono con once lados 
➢ Dodecágono: polígono con doce lados 
➢ Y así sucesivamente… 
Según su regularidad 
➢ Equilátero: si tienen todos sus lados iguales 
➢ Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales 
➢ Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales) 
➢ Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales. 
 
LADO 
VÉRTICE 
Triángul
o 
Pentágono 
 
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Según sus ángulos 
➢ Convexo: Todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. 
➢ Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. 
 
Según su complejidad 
➢ Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro 
➢ Complejo: al menos un par de lados se corta 
 
 
b) Polígonos regulares 
 
El polígono regular consta de tres elementos básicos: 
 
➢ Centro “C”: Punto interior que equidista de cada vértice. 
➢ Radio “r”: Es el segmento que va del centro a cada vértice. 
➢ Apotema “a”: Distancia del centro al punto medio de un lado. 
➢ Ángulo central “α”. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por 
dos vértices consecutivos. En un polígono regular de “N” lados su valor es: 
𝛼 =
360°
𝑁
 
Donde “N” es el número de lados que tiene el polígono. 
 
 
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i. Numeró de diagonales 
 
Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. 
 
La cantidad de diagonales de un polígono se determina por el número de lados que 
tiene el polígono y su fórmula es: 
 
𝐷 =
𝑁(𝑁 − 3)
2
 
Para obtener la cantidad de diagonales de un vértice se utiliza la siguiente formula: 
 
𝐷 = 𝑁 − 3 
 
ii. Medida del ángulo interior 
 
Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos 
y que quedan dentro del polígono. 
Para calcular el ángulo interior de un polígono regular de "N" lados se utiliza la fórmula: 
 
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
180°(𝑁 − 2)
𝑁
 
Por ejemplo el ángulo interior de un hexágono (6 lados) es: 
 
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
180°(6 − 2)
6
 → á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
720
6
 
 
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 120° 
 
iii. Suma de ángulos interiores 
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular depende del número de lados 
(N) que tiene éste y la fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales) 
es: 
 
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180°(𝑁 − 2) 
 
Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un octágono (8 lados) es: 
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180°(8 − 2) 
 
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 1080° 
 
Deduciendo la fórmula: 
 
Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale 
180°. Si tenemos un polígono regular y trazamos las diagonales de un vértice, 
 
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observamos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al 
número de lados menos 2; como los grados de un triángulo valen 180, basta con 
multiplicar este valor por el de lados menos 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Dado un hexágono regular 
Número de lados 𝑁 = 6 
 
 DIAGONALES = 
𝑁(𝑁−3)
2
 = 
6(6−3)
2
 = 6 
 
 ÁNGULO INTERIOR = 
180° (𝑁−2)
𝑁
= 
180° (6−2)
6
= 120° 
 
• CIRCUNFERENCIA 
La circunferencia es una línea plana y cerrada en la que todos los puntos están a igual 
equidistantes de un punto llamado centro O. 
 
 
 
La circunferencia cuenta con seis elementos que la caracterizan. 
• Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier 
punto de la circunferencia. 
• Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro. 
El cuadrado tiene 4 ángulos 
interiores que miden 90°, al 
sumarlos nos resulta 360°. Al 
trazar la diagonal de un vértice se 
generan N-2 triángulos = 2, al 
multiplicar por 180°(suma de los 
ángulos internos del triángulo) nos 
resulta 360° 
 
 
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• Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, de los dos arcos 
que una cuerda determina se le llama arco correspondiente al menor de ellos. 
• Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. 
• Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos. 
• Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia. 
 
 
La longitud o perímetro de una circunferencia se determina de la siguiente formula 
𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑑 
Donde: 
L Es la longitud o perímetro de la circunferencia 
D Es el diámetro de la circunferencia 
De igual forma se puede determinar por la siguiente formula: 
𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 
Donde: 
r Es el radio de la circunferencia 
 
a) Rectas en la Circunferencia 
Una recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia, se dice que es una 
secante. 
 
 
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Una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia se dice que es tangente, al 
punto se le llama punto de tangencia o punto de contacto 
 
 
Si la recta no tiene punto en común con la circunferencia, se dice que la recta es exterior. 
 
 
 
 
 
b) Ángulos en la circunferencia y el cálculo de su medida 
i. Ángulo central. 
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de 
ella. 
La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. 
 
 
Arco AB = ÁNGULO AOB 
 
ii. Ángulo inscrito. 
Tiene su vért ice en la c ircunferenc ia y sus lados son secant es a e l la. 
Mide la mitad del arco que abarca. 
 
 
 
 
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iii. Ángulo interior. 
Tiene su centro en un punto interior del círculo. 
La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su 
opuesto. 
 
 
iv. Ángulo exterior. 
Tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, 
tangentes o secantes a la misma. 
La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca. 
 
 
 
c) Corona Circular 
La corona circular es la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen 
el mismo centro: 
 
 
La zona coloreada del plano es la corona circular. 
Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio 
menor. 
 
Primero se calcula el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del 
círculo con el radio menor y se hallará su diferencia. Esta diferencia representa