Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
calculo-diferencial-EBecerril
Todos los Materiales
Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original
C.E.C. Y T. LAZARO CARDENAS DEL RIO
Prof: Eduardo Becerril Espinosa
México, Enero de 2016
CÁLCULO
DIFERENCIAL
4
CONTENIDOS Pág.
Prologo.
Capítulo 1. Desigualdades. 9
Otras Definiciones
Operaciones de conjuntos
Algunas Propiedades de las Desigualdades
Desigualdades Cuadráticas .
Algunas aplicaciones de las Desigualdades
Capítulo 2. Funciones 21
Secuencia Didáctica 1. Para la Noción de Función
Secuencia Didáctica 2. Problemas Complementarios Sobre la Noción de Función
Definición de Función
Capítulo 3.Funcion composición 31
Capítulo 4.Funciones inversas 35
Ejemplos
Capítulo 5. Límites 39
Límites con Tablas Numéricas
Teoremas sobre Límites
Límites de Cocientes
Límites al Infinito
Capítulo 6. Derivada de una función 51
Definición y la regla de los cuatro pasos
5
Capítulo 7. Fórmulas básicas 59
Ejemplos de derivadas
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 71
Ejemplos
Capítulo 9. Funciones implícitas 75
Derivada de Funciones Implícitas
Regla de la Cadena
Capítulo 10.Derivadas de orden superior 79
Ejemplos
Capítulo 11. Razón de cambio 81
Ejemplos
Capítulo 12. Funciones Creciente y Decreciente 87
Función Creciente
Función Decreciente
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos 91
Máximo y Mínimo Local
Criterio de la Primera Derivada Para Hallar los Valores Máximo y Mínimo
Aplicaciones de Máximos y Mínimos
Capítulo 14. Concavidad 105
Ejemplos
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos 111
Ejemplos
Capítulo 16. Derivada Trigonométrica 119
Ejemplos
6
Capítulo 17. Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas 131
Ejemplos
Capítulo 18. Derivada de las funciones inversas trigonométricas 143
Capítulo 19. Diferenciales y el método de Newton para resolver ecuaciones 145
Ejemplos
Capítulo 20. Proyectos 159
Apéndice 169
Bibliografía
3
Examen diagnóstico
1.- Resuelve las siguientes operaciones:
a) 3-2(8-1)+4(7+2(2-4))= b) 1
7
4
6
2
=
2.-Resuelve la ecuación: 4(8-3x)+2(11-4x)=5x-1
3.-Resuelve la siguiente ecuación: x
xx
2
3
6
15
4.- Obtenga la gráfica de : 2(x+3)+5y=1
6.-Resuelve el sistema de ecuaciones:
2x+y=7
3x+y=5
7.-Grafica la función 1
6
2
x
y
8.-Resuelve la ecuación: x
2
+3x-5=0
9.-Simplifica: )5025(32182 =
10.- Obtenga la gráfica de la función: y=5sen(2x)+3
Capítulo 1. Desigualdades
9
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
Construcción con tijeras y papel
Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora.
La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si
estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces
tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan
los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm.
por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la
fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.
Capítulo 1. Desigualdades
10
La caja2. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las
esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu
cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así
según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y
formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula
para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres.
Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.
Capítulo 1. Desigualdades
11
DESIGUALDADES
DEFINICIONES
Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades en
común.
Ejemplo 1: El conjunto e transportes = { }
Ejemplo 2: El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={ , , , , ,...}
Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { }
Ejemplo 4: El conjunto de deportistas.
Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...}
Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del
conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto
que se este tratando.
Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo 5136.
B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8.
J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x2 + x - 8 = 0
Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para
representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,...
Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se
representa por la letra griega .
Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40.
El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se
indica a continuación:
D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}
En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus
elementos, así se tiene dos métodos de definición.
Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados
entre llaves.
Ejemplo: El conjunto de números pares = {2, 4, 6, 8, 10,…}
Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que
el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto.
Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las
propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo
definen.
Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo /
( I )se lee tal que.
Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x 2 =1}
Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual
a la unidad.
Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1)2 =1 y también (1)2 =1
Capítulo 1. Desigualdades
12
Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo que es el símbolo de
pertenencia, así 24 D se lee 24 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no
pertenece es , así 5 D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta
contenido en D, donde D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}.
Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra
especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el
conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se
utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el
conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de
números complejos se
representa por la letra C.
OTRAS DEFINICIONES
Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados
posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando.
Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo , como su nombre lo indica es el conjunto
que no tiene elementos.
Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de
círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Consideremos el conjunto universal U.
1. Unión de dos conjuntos A B = {x/ x A o x B}
Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f},
B= {b, d, e} entonces AB = {a, b, c, d, e, f}.
2. Intersección de dos conjuntos A B = {x/ x A y x B}
Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g},
C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B C = {b, c, f}.
3. Complemento de un conjunto Ac = x / x U y x A}
Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1, 2, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que:
Ac= {0, 5, 6, 8}.
Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos.
Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que, mayor o igual que, <menor que,
menor o igual que.
Tomemos el conjunto de números menores de 7, podemos escribir: {x / x<7}.
Representémoslo en la recta numérica:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)
Podemos escribir este conjunto en forma abreviada como: (- , 7)
Capítulo 1. Desigualdades
13
Tomemos el conjunto de números mayores o iguales a 2 y menores de 5= {x / 2 x<5},
representémoslo en la recta numérica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)[
Este conjunto lo
podemos escribir como : [2, 5)
Estos conjuntos se llaman intervalos, veamos la siguiente tabla.
Ejemplo. Resolver 3x-7<0
Solución:
Tenemos: 3x-7<0, sumando 7 en ambos lados de la desigualdad: 3x-7+7<0+7
Así: 3x<7
Dividiendo entre 3, tenemos: x<7/3 y el conjunto solución es: {x/x<7/}= (- ,7/3)
Ejemplo. Resolver 5x+8<1
Solución:
Tenemos: 5x+8<1, restando 8 en ambos lados de la desigualdad: 5x+8-8<1-8
Así: 5x<1-8, es decir: 5x<-7
Dividiendo entre 5, tenemos: x<-7/5 y el conjunto solución es: {x/x<-7/5}= (- ,-7/5)
Ejemplo. Resolver 5x-72
Solución:
Tenemos: 5x2+7, simplificando: 5x9
Dividiendo entre 5, tenemos: x9/5 y el conjunto solución es: {x/x9/5}= [9/5, )
Ejercicio
Resuelve las siguientes desigualdades, tomando como base los ejemplos anteriores:
a)8x-11<4
INTERVALO
ABIERTO a, b
INTERVALO CERRADO
a, b
INTERVALO SEMI
ABIERTO POR LA
IZQUIERDA a, b
INTERVALO SEMI
ABIERTO POR LA
DERECHA a, b
NUMEROS REALES
R
Símbolo a<x<b a xb a<x b a x<b x
( a, b) ba, ba, ba, ( - , )
Gráfica
( )
a b
a
[ ]
b
a
]
b
(
a b
)[
( )-
Tarea. Ejemplifica en las filas de abajo lo descrito en las filas de arriba, en el entendido de
que a y b son números reales.
Capítulo 1. Desigualdades
14
b)6+7x21
c) 33>6x+22
Algunas propiedades de las desigualdades
Una propiedad muy importante de las desigualdades, es cuando se multiplica o se divide por
un número negativo es que el sentido de la desigualdad se invierte, como podemos observar
en los siguientes ejemplos.
Ejemplo. Resolver: -3x>1
Solución:
Dividimos entre -3 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad
x<-1/3, el conjunto solución es: (- ,-1/3)
Ejemplo. Resolver: -5x-9<1
Solución:
Sumando 9 en ambos lados de la desigualdad: -5x<8 Dividimos entre -5 y como éste valor
es negativo se invierte el sentido de la desigualdad
x>-8/5, el conjunto solución es: (-8/5, )
Ejemplo. Resolver: 3x+1<5x-4
Solución: 3x-5x<-4-1
-2x<-5
Dividiendo entre –2; tenemos x> 5/2 y el conjunto solución es [ 5/2, + )
Ejemplo. Resolver: -6<2x-4<2
Solución: En este caso podemos resolver la desigualdad por dos métodos
Metodo1: Consiste en separar en dos desigualdades:
Capítulo 1. Desigualdades
15
Tenemos: -6<2x-4 y también: 2x-4<2
Así: -2<2x 2x<6
De donde: -1<x x<6/2
Así tenemos –1<x, x<3
Graficamos estos conjuntos tenemos:
Así la solución es el intervalo (–1, 3)
Método 2: Consiste en trabajar la desigualdad sin separarla:
Tenemos: -6<2x-4<2
Luego: -4<2x<6
Dividiendo entre 2: -2<x<3 y tenemos que el conjunto solución es: (-1,3)
Ejercicio
Resuelve las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores:
a) -3x+411 b) 1115
3
x
c) 9<15-6x d) x
x
41135
5
e)-2x-3>-4x+3 f) )1(742
5
3
x
x
h) )1
2
(11)12(813
x
xx i)4<2x-6<6
Capítulo 1. Desigualdades
16
j)
2
1
4
35
2
x
f) 33
6
74
15
x
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes, con .0a :
.02;02;02;02 cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
Algunos ejemplos de este tipo de desigualdades se muestran a continuación.
Ejemplo: Resolver x2-7x+10>0
Solución: factorizando la expresión x2-7x+10, tenemos: x2-7x+10 =(x-2)(x-5)
Tomemos x=2, x=5, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,2), (2,5), (5, )
Podemos tomar el valor k=0 en el primer intervalo k=3 en el segundo intervalo y k=6 en el
último intervalo.
Esta información coloquémosla en una tabla:
INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-2)(x-5) SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,2)
1 (1-2)(1-5)=(-1)(-4)=4 +
Capítulo 1. Desigualdades
17
(2,5)
3 (3-2)(3-5)=(1)(-2)=-2 -
(5, )
6 (6-2)(6-5)=(4)(1)=4 +
Observemos que la solución de x2-7x+10>0 son los intervalos en donde se halla el signo
positivo, estos intervalos son: (- ,2) y (5, )
Por lo tanto la solución es: (- ,2) (5, )
Ejemplo: Resolver x2-x-6<0
Solución: factorizando la expresión x2-x-6, tenemos: x2-x-6=(x-3)(x+2)
Tomemos x=-2, x=3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,-2), (-2,3), (3, )
Podemos tomar el valor k=-3 en el primer intervalo k=0 en el segundo intervalo y k=5 en el
último intervalo.
Esta información coloquémosla en una tabla:
INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-3)(x+2) SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,-2)
-3 (-3-3)(-3+2)=(-6)(-1)=6 +
(-2,3)
0 (0-3)(0+2)=(-3)(2)=-6 -
(3, )
5 (5-3)(5+2)=(2)(7)=14 +
Observemos que la solución de x2-x-6<0 son los intervalos en donde se halla el signo
negativo, estos intervalos son: (-2,3)
Por lo tanto la solución es: (-2,3)
Ejemplo:
Resolver 0
3
5
x
x
Solución: En este caso tomemos: x=-5, x=-3, esto nos permite dividir a la recta numérica en
tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,-5), (-5,-3), (-3, )
Podemos tomar el valor k=-6 en el primer intervalo k=-4 en el segundo intervalo y k=-2 en
el último intervalo.
Esta información coloquémosla en una tabla:
INTERVALO VALOR K
EXPRESION
3
5
x
x
SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,-5)
-6
3
1
3
1
36
56
+
Capítulo 1. Desigualdades
18
(-5,-3)
-4
1
1
1
34
54
-
(-3, )
-2
3
1
3
32
52
+
Observemos que la solución de 0
3
5
x
x
son los intervalos en donde se halla el signo
positivo, estos intervalos son: (- ,-5) y (-3, )
Por lo tanto la solución es: (- ,-5) (-3, )
Ejercicio
Resolver las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores.
a) x2 4x-3
b) x2 -24>1
c) 0
5
9
x
x
d) 0
16
7
2
x
x
Capítulo 1. Desigualdades
19
e) 6x2 +2x-20<0
ALGUNAS APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES
1) Rafael un conserje debe mover un gran cargamento de libros del primero al quinto piso.
El letrero del elevador dice peso máximo. 900 libras. si cada caja de libros pesa 80 libras,
encuentra el número máximo de cajas que puede colocar en el elevador
2) La relación entre la escala de temperatura Fahrenheit1 y Celsius está dada por
)32(
9
5
FC . Si 80
9
60
F , exprese el intervalo correspondiente de C en términos de
una desigualdad.
1
Gabriel Fahrenheit nació en Prusia en 1686. Se le conoce principalmente por haber inventado una escala para medición de las
temperaturas. Antes de él, los termómetros empleaban alcohol. En vez de ello, puso mercurio (Hg) dentro del tubo. El mercurio se solidifica
a unas temperaturas muy bajas , y para que hierva, se requiere unas temperaturas muy altas. Por ello, el mercurio puede medir una extensión
mayor de temperaturas que el alcohol. En la escala Fahrenheit el número 32 indica el punto de congelación del agua.
Esta escala es distinta de la de Celsius que también utiliza mercurio
Capítulo 1. Desigualdades
20
3) De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F(en libras) que se requiere para estirar un
resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por: F=4.5x . Si 10<F<18.
¿Cuál es el intervalo de x?
4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene cuando
el ritmo pulsa torio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del mismo de
obtienen multiplicando el número (220-edad) por 0.70 y 0.80. Determine el intervalo del
ritmo cardiaco para dos personas de 30 y 40 años, respectivamente.
x
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
21
CAPÍTULO 2. FUNCIONES
Definición de función
Función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A exactamente un
único elemento de un conjunto B.
Notación: la función f se representa por f:A B, f es función del conjunto A al conjunto B. En este
caso la función f asigna al elemento a el elemento b, esto lo escribimos como f(a)=b.
Notación: f(x) se lee “ f evaluada en x” o también “f en x” o también “f de x” y es el valor que toma la
función en x.
Cuando tenemos f(x) , x se llama variable independiente y se dice que f es función de variable x.
Ejemplo:
x
xf
2
3
)(
Calculemos f(1)
Para obtener este valor sustituimos 1 en el lugar de la variable x, así tenemos:
1
3
3
12
3
)1(
f
Calculemos f(2)
Para obtener este valor sustituimos 2 en el lugar de la variable x, así tenemos:
4
3
22
3
)2(
f
Calcula f(4) calcula f(-7)
Podemos tomar a x como el valor de entrada y a y=f(x) como valor de salida.
Ejemplo: y=f(x)=2x3
Entonces: si x=-1 (valor de entrada)
Se tiene: y=f(-1)=2(-1)3 =-2 (valor de salida)
Así mismo: y=f(0)=0
y=f(1)=2
y=f(2)=16
x se conoce como variable independiente, y=f(x) se conoce como variable dependiente.
Ejemplo: y=2x+4
Se tiene que “x” es la variable independiente y “y” la variable dependiente, sin embargo podemos
cambiar las literales por ejemplo en lugar de “x” pongamos t y en lugar de “y” pongamos z, tenemos:
z=2t +4 que es la misma función.
Las funciones aparecen con mucha frecuencia, por ejemplo:
a) A cada alumno le corresponde exactamente un único número de boleta; hay una función
entre los alumnos y los números de boleta.
b) La distancia necesaria para frenar un auto hasta detenerlo es función de la velocidad que lleva
dicho auto.
c) El número de conejos en un bosque es función del número de zorros.
d) El salario de un oficinista es función del número de faltas que tiene al mes.
e) f(x)=2x , esta función le asigna a cada número x el doble de su valor.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
22
Obtenga la gráfica de y=x3/2
5. Grafica la función f(x)=|x|
6.Grafica la función y=|x2- 5|
Utiliza winplot y observa las gráficas de estas funciones
a) y= x4- 3x2+ 2 b) y=xsenx
c)y=x/x-2 d)y=2/x2 e)y=(x-3)/(x2-4)
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
23
El método de tabulación nos da una idea de cómo son las funciones, sin embargo las funciones
pueden ser más delicadas por lo que este método no resulta eficaz, así más adelante se verán
técnicas para graficar.
Sin embargo también hay funciones donde puede darse una traslación vertical, por ejemplo tomando
como base la gráfica de la función y=x2, representa una parábola con vértice en el origen. Al graficar
y=x2+1, observamos que las expresiones son casi iguales, pero la segunda función se le está
sumando la unidad. Quiere decir que el resultado de sustituir los valores de x serán iguales que
antes pero todos aumentados en una unidad. El efecto que causara que obtendremos una grafica
trasladada una unidad sobre el eje y. Un efecto similar se obtiene para y=x2+2 y y=x2-2, esta última
trasladada dos unidades hacia abajo.
Ejercicio
1) Obtenga la grafica de las siguientes
funciones.
a) y=-x2
b) y=-x2 +1
c) y= x2 +3
d) y=-x2 +5
e) y= x2 -2
2) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.
a) y=-x3
b) y=-x3 +1
c) y= x3 +3
d) y= x3 - 5
e) y=-x3 -2
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
24
3) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.
a) y=(x-3)2
b) y=(x-3)2 +1
c) y=(x-5)2 +4
Ejercicio: Determina si la gráfica representa una función x.
a) b c)
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
25
MÁS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PROYECTOS
1) EL TANQUE DE GAS: Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, el
tanque tiene forma de cilindro circular recto de altura 10 pies, con una semiesfera fija en cada
extremo. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de la superficie del tanque como función del
radio.
Solución:
La figura muestra el tanque de gas. Si desarmamos el tanque tenemos un cilindro y una esfera
10
Si desdoblamos el cilindro tenemos un rectángulo de lado 2 r y altura 10, como se muestra en la
figura:
El área de la esfera es Ae=4 r2
Por lo tanto el área del tanque es
Área del rectángulo + Área de la esfera
At= Ar+ Ae=20 r+4 r2 , es decir At=20 r+4 r2
Calcula el área del tanque si el radio vale 5pies
Calcula el área del tanque si el radio vale 2pies
Obtenga la gráfica de la función At.
2) EL BOTE DE LECHE: Se desea construir un bote de latón para almacenar leche, el bote tiene
forma de cilindro circular recto de altura 17 cm. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de
la superficie del bote como función del radio.
10
2
r
El área del rectángulo es base x altura
Es decir Ar=2 r x 10
O sea Ar=20 r
r
r
r
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
26
3) EL ZOOLOGICO: Para construir 4 jaulas en un zoológico se necesitan 1000 pies de tela de
alambre. El diseño de las jaulas se muestra en la figura.
a) Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x”.
b) Exprese el área total A limitada por el enrejado como función de x.
c) Si x=2pies calcule “y”, así como también el valor del área.
4) LA PECERA: Se desea que una pecera de altura 1.5 pies tenga un volumen de 6 pies3. Como se
muestra en la figura. a)Exprese y como función de x. b)Si la pecera no tiene tapa. Obtenga como
función de x el número total de pies cuadrados de vidrio que se requieren para la construcción.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
27
5) EL CICLISMO: Una pista de ciclismo es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Si el
radio de cada semicírculo es r y la longitud total de la pista mide 400m. Obtenga el Área del terreno
encerrada por la pista como función de r.
6) EL CLINDRO INSCRITO: Un cilindro circular recto de radio r y altura h, esta inscrito en un cono
de altura 12cm. Y radio de base 4cm. Como se muestra en la figura.
a) Exprese h como función de r (sugerencia: use triángulos semejantes)
b) Exprese el volumen V del cilindro como función de r.
Solución:
La figura
Para obtener el volumen del cilindro tenemos V=Area de la base x altura
Así: V= r2 h
Sustituyendo h: V= r2 (12 -3r)
Multiplicando: V= 12 r2 -3 r3
Calcula el volumen del cilindro si r=1cm
Calcula el volumen del cilindro si r=3cm
Cuál el valor más grande que puede tomar r y Cuál el más pequeño?¿Porque?
Obtenga la gráfica de la función volumen V.
a) Tomemos la relación de
semejanza tomando los triángulos
como en la figura: 12- h = r
12 4
Despejemos h: 12-h=12(r/4)
Tenemos: 12-h=3r
Por lo que tenemos: h=12-3r
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
28
7) LA CAFETERA: El agua contenida en un filtro cónico de papel gotea a una taza.Como se muestra
en la figura. Suponga que se vacia 5pulgadas cubicas. De agua en el filtro. Sea “ x ” la atura del agua
en el filtro, “ y ” la altura del agua en la taza.
a) Exprese el radio r como función de x (sugerencia: use triángulos semejantes)
b) Exprese la altura “y” del agua en la taza como función de x.(sugerencia: ¿Cuál es la suma de los
dos volúmenes que se muestran en la figura?
Solución: a) Utilicemos semejanza de triángulos, para esto veamos la siguiente figura:
b)Tenemos que el volumen total es 5=Vol. En el Cono + Vol. En el cilindro
5=1/3 Área de la base*altura+ Area de la base*altura
Es decir: yRxr 22
3
1
5
Sustituyendo:
2
x
r , R=2, tenemos:
yx
yx
x
4
12
1
5
2
23
1
5
3
2
2
Despejando y:
48
60
4
12
1
5
12
1
54
3
3
3
x
y
x
y
xy
Calcula el valor de y, sí x=2, x=1, x=0.5, x=0.
a)Tenemos:
24
rx
, despejando r, tenemos:
2
x
r
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
29
8) En la figura, el triangulo rectángulo ABE es semejante al triángulo ACD; CD=8 y BC=10; h y x son
las medidas de la altura y de la base del triangulo ABE. Exprese h en función de x.
9) EL AGUA: Un depósito de agua tiene forma de un cono circular recto con 30m de altura y 8m de
radio. El depósito está lleno hasta una profundidad de h metros. Sea x el radio del círculo en la parte
superior del nivel del agua. Escriba h en función de x, y utilice este resultado para expresar el
volumen del agua en función de x.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
30
Funciones Racionales
Investiga la gráfica de la función:
a)
x
y
3
43
12
)
x
x
yb
16
57
)
x
x
yc
342
1
)
2
xx
yd
15
1
)
2
xx
ye
f) 4
1
2
2
x
x
y
Capítulo 3 Regla de la cadena
31
CAPÍTULO 3 Función compuesta
Función Composición
A
B
C
g
f
Definimos la función g compuesta con f como: f0g=f(g) , también podemos decir la función
composición g seguida de f.
Definición: Sean f y g funciones con el rango de g contenido en el dominio de f. Para cada x en el
dominio de g, la función composición f0g esta definida como :
(f0g)(x)=f(g(x)).
g(x)=3x-10
4
2
f(x)=4x +1
9
Aquí tenemos g(x)=3x-10, f(x)=4x+1, formamos (f0g)(x), para calcular: (h0g)(4)=9
Ejemplo: si f=u2 , h=v+1
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 en la función h=v+1, es decir:
h0f=h(f)=( u2)+1=u2+1
Ejemplo: si f=u2 +3, 1 vh
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 +3 en la función 1 vh , es decir:
h0f=h(f)= 2131)3(
222 uuu
Ejemplo: si f=z-5,
1
1
2
u
u
h
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f=z-5 en la función
1
1
2
u
u
h , es decir:
h0f=h(f)=
2610
4
12510
15
1)5(
1)5(
222
zz
z
zz
z
z
z
Capítulo 3 Regla de la cadena
32
Ejemplo: si f=2s-11, h=u2 +4u-1
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= 2s-11 en la función h= u2 +4u-1, es decir:
h0f=h(f)= (2s-11)2 +4(2s-11)-1=4s2-44s+121+8s-44=4s2-36s+77
Ejemplo: si u=3x-7, 42 tv
Entonces para obtener v0u=v(u) sustituimos la función u=3x-7 en la función 42 tv , es decir:
v0u=v(u)= 18641464)73(2 xxx
Ejercicio: obtenga: v0u=v(u)
a) si u=5x+4, v=u10 b) u=4x-2, v=3u2+12u-1
c)si u=2x-1, u 7senv d)u=4x-x2 , v=tan u
Ahora procedamos de la siguiente manera, vamos a dar una función y la vamos a descomponer en dos
funciones una la llamaremos u y a la otra v, de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u)
obtengamos la función original
Ejemplo: si 122 xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=2x+12 , v= x
Entonces v0u=v(u)= 122 x
Capítulo 3 Regla de la cadena
33
Ejemplo: si
68
11
x
y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar
la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=8x+6 , v=
w
11
Entonces v0u=v(u)=
68
11
x
Ejemplo: si 3 2 1 xxy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=x2+x-1 , v= 3 z
Entonces v0u=v(u)= 3
2 1 xx
Ejercicio: si
24
3
x
y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar
la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Ejercicio: si
95
2
x
y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Capítulo 3 Regla de la cadena
34
Ejercicio: Considere las siguientes funciones:
f(x)=x+3, g(x)=x3, obtenga: g0f y f0g.
Ejercicio: Considere las siguientes funciones:
f(x)=2x-3, g(x)=|x| , obtenga: (g0f)(4) , (g0f)(-5), ( f0g)(-7), ( f0g)(1/3), ( f0g)(0) .
Capítulo 4. Funciones Inversas
35
CAPÍTULO 4. FUNCIONES INVERSAS
Cuando tenemos una función y=f(x) , si tenemos el valor de x y queremos conocer el valor de y debemos
sustituir el valor de x. Así si tenemos y= 4x-1 y tenemos x=5, entonces para obtener el valor de “y” ,
sustituimos en la función: y=4(5)-1=20-1=19.
Ahora queremos hacer lo contrario : es decir, si tenemos el valor de “y” ¿Cómo encontrar el valor
de x?
Por ejemplo si y= 9x+7 , y si tenemos y=10 ¿Qué valor es el correspondiente de x?
Tenemos: 10=9x+7 , despejando x=(10-7)/9=3/9=1/3.
Ejemplo: y=4x-11 , encontrar los valores de x; despejando tenemos x=(y+11)/4
Ejemplo: y=x3+2, encontrar los valores de x; despejando tenemos 3 2 yx
Ejemplo: y=x2, encontrar los valores de x; despejando tenemos yx , pero en este caso hay dos
valores para cada x hay dos valores uno positivo y uno negativo, pero para que tengamos una función debe
haber un solo valor como resultado, en este caso tenemos dos por lo que no es una función. Cuando se
tenga un solo valor tendremos la función inversa, si tenemos dos o más valores no tenemos función inversa.
Función uno a uno:
Una función y=f(x) se dice que es uno a uno si cada valor de y en el rango de f le corresponde precisamente
un solo valor de x en el dominio de f ; esto es para cualesquiera números a y b en el dominio de f, f(a)=f(b)
implica a=b.
Ejemplo:Determine si f(x)= 9x+11 en uno a uno.
Ejemplo: Determine si y=x2+8x-10 es uno a uno.
Ejemplo: Determine si la función f es uno a uno.
a)y=9-5x b)y=4-x3/7 c)y=x2+3 d)y=(x-5)/(x+2)
Capítulo 4. Funciones Inversas
36
Criterio de la recta horizontal: Cuando tenemos la gráfica de la función f, y si podemos trazar una
recta horizontal que intersecte a la gráfica de dicha función f más de una vez, entonces la función f
es uno a uno.
Ejercicio: determine si la grafica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la grafica de la
función inversa f -1
Función inversa:
Si una función es uno a uno, entonces existe una única función f
-1
, llamada la función inversa de f, tal
que:a) (f
-1
° f )(x)=x para todo x en el dominio de f
b)(f ° f
-1)(x)=x para todo x en el dominio de f -1
Ejemplo
La función y=9-5x es uno a uno. Encuentre la función inversa.
Tenemos x=(y-9)/-5=(9-y)/5, así tenemos: x=(9-y)/5
Intercambiamos x por y, tenemos: y=(9-x)/5 , como esta función es la función inversa de y=9-5x, podemos
escribir f
-1(x)= (9-x)/5
Comprobemos: a) (f
-1
° f )(x)= f
-1
( f (x))= (9-(9-5x))/5=(9-9+5x)/5=5x/5=x
b) f ( f
-1
(x))=9-5((9-x)/5)=9-(9-x)=9-9+x=x
Así: f
-1(x)= (9-x)/5 es la función inversa de f(x)= 9-5x.
Ejemplo: La función f(x)=x3-7 es uno a uno. Encuentre su función inversa, f -1(x)
Escribimos: y= x3-7, así tenemos: 3 7 yx , esta función es la inversa de f(x),
Así , reescribiendo: f -1(x)= 3 7x
Ejemplo: la función
3
7
)(
5
x
xf , es uno a uno obtenga la función inversa.
Tenemos
3
75
x
y , de donde 3y-7=x5, así tenemos: 5 73 yx
Reescribiendo: f -1(x)= 5 73 x .
Ej. Si f(x)=4x+12 compruebe que es uno a uno y obtenga la función inversa.
Esta función tiene un punto para x y un punto para y.
Tiene función uno a uno
Esta función tiene para cada volor de y ,dos valores de
x. No es uno a uno.
Capítulo 4. Funciones Inversas
37
Resumen para obtener la función inversa:
a) Verifique que y=f(x) sea uno a uno.
b) Resuelva para x en términos de y.
c) Intercambie x y y , reemplace y con f -1(x) .
d) Verifique que el dominio de f(x) sea el rango de f -1(x) y que el dominio de f -1(x), sea el rango de
f(x).
Ejemplo: La función y= x3-9 es uno a uno. Obtenga su función inversa.
Propiedad grafica de f y f -1
Las gráficas de f y f -1 son reflexiones una de la otra a través de la recta y=x.
Ejercicio: determine si la gráfica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la gráfica de la
función inversa f -1
a) b)
c) d) e)
Capítulo 4. Funciones Inversas
38
Ej. Determine si la función f es uno a uno.
a)y=7-6x. b)y=x3-5 c)y=x2+4x-12 d)y=(x-2)/(x+7)
Ej. La función f es uno a uno en el intervalo indicado. Encuentre una ecuación para la función inversa y
especifique el dominio y rango de f -1.
a)y=6-2x, 31 x
b) xxy 7- ,7
c)y=x2, 40 x
d)y=7+4x, 12 x
e) 4 x,4 xy
f) 3 x0,)1(8 3 xy
Capítulo
5. Límites
39
CAPÍTULO 5 LÍMITES
Consideremos la función:
x
xx
xf
02
0,
)(
2
,
Analicemos su comportamiento a medida que nos acercamos a x=0, con valores negativos, pero cada vez
más cercanos a x=0, vemos que los valores de la función se hacen mas y más pequeños, es decir las
alturas disminuyen, estas se representan en la grafica con las rectas de trazo uniforme. Por lo que si nos
acercamos por la izquierda de x=0 la función también se acerca al valor cero, es decir el límite de la
función es igual a cero, cuando x tomando valores más pequeños que x=0, decimos que nos acercamos
a cero por la izquierda.
Mientras que por la izquierda es cero: 0)(
0
x
xLimf
Como los límites son distintos, decimos que para esta función el límite cuando x tiende a cero no existe.
Veamos otro ejemplo: Analicemos la función:
21
2,
2
4
)(
2
x
x
x
x
xf
,
Vemos que a medida que nos acercamos a 2x , por la izquierda, pero cada vez más cercanos a
2x , vemos que los valores de la función se acercan más y más al valor –4, es decir 4)(
2
x
xLimf
Ejercicio
1) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite
3
)(
x
xLimf existe y su valor.
3, 2.1
3,
)(
2
x
xx
xf
Pero si nos acercamos a x=0 con valores mayores a cero
pero cada vez más cercanos a este, es decir por la derecha
la función toma en cada punto el valor de 2.
Es decir: 2)(
0
x
xLimf
Si nos acercamos a 2x con valores
mayores a -2 pero cada vez más cercanos a
este, es decir por la derecha la función
toma valores cercanos a -4 es decir:
4)(
2
x
xLimf
En este caso
2
)(
x
xLimf = 4)(
2
x
xLimf
Por lo que el limite de la función si existe y
tenemos que 4)(
2
x
xLimf
Aún siendo f(-2)=1
Capítulo 5. Límites
40
2) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite
0
)(
x
xLimf existe y su valor.
0
0,
xx
xx
x
,
3) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite
2
)(
x
xLimf existe y su valor.
2
2,2
)(
2
xx
xx
xf
,
LÍMITES CON TABLAS NUMÉRICAS
Investiga el siguiente límite para la función 12 xy : )1(
2
1
xLim
x
Para esto calcula los valores de y a partir de los valores de x .
x 12 xy
Con la tabla, obtén el valor del
límite:
)1( 2
1
xLim
x
=
Capítulo 5. Límites
41
1.-Investiga el siguiente límite
x
x
xsen
Lím
0
existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
2.-Investiga el siguiente límite
1x
1-x
1-x
Lím
1000
existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
3.-Investiga el siguiente límite
x
Lím
90
tan
x existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
x 70
0 800 890 89.50 89.90 89.990 89.9990
Tan x
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
T1. Límite de la función constante
Si f(x)=c
Entonces
axax
ccLimxLimf
)(
T2. Limite de la suma de dos funciones, Si
axax
BgLimAxLimf
(x) ,)(
Entonces BAxLimfxLimfxgfLim
axaxax
)()())((
T3. Limite del producto de dos funciones, Si
axax
BgLimAxLimf
(x) ,)(
x .1 .01 .001 .0001 0.00001
x
xsen
x 3 2 1.5 1.1 1.01 1.001
1-x
1-x1000
Capítulo 5. Límites
42
Entonces ABxLimfxLimfxfgLim
axaxax
)()())((
T4. Limite del producto de una constante k por una función, Si AxLimf
ax
)(
Entonces kAxLimfkxLimkf
axax
)()(
T5. Limite de la identidad f(x)=x
Entonces axLim
ax
)(
T6. Limite de la función potencia f(x)=x
n
Entonces
nn
ax
axLim
)(
T7. Limite de la función raíz enésima n
ax
n axLim
T8. Limite de un cociente de funciones
Si existen
axax
gLimAxLimf
0B(x) ,)(
Entonces
B
A
gLim
fLim
x
g
f
Lim
x
x
ax
(x)
(x)
)(
a
a
Ejemplos
1)Hallar
5
7
x
xLim , Solución: Tenemos 35)5(7 77
55
xx
xLimxLim
2)Hallar
3
1
8
x
xLim , Solución: Tenemos 8)1(888
33
1
3
1
xx
LimxxLim
3)Hallar )73
4
(
2
2
x
x
Lim
x
, Solución: Tenemos
147617)2(3)2(
4
1
)73
4
1
)73
4
(
2
2 2
2
2
2
2
xxxx
LimxLimxLimx
x
Lim
Ejercicio
1) Hallar )32(
3
3
xxLim
x
2) Hallar )1
4
3( 24
2 -
x
xxLim
x
3) Hallar )543(
35
1
xxxLim
x
Capítulo 5. Límites
43
4) Hallar )3538(
23
0
xxxLim
x
5) Hallar )77( 3
5
xxLim
x
6) Hallar )9( 53
1
xxxLim
x
7) Hallar )x25(( 3 2
4
xLim
x
8) )14(
11
xLim
x
9) )229)35((
2
xxLim
x
10) )26x3( 5
11-
x
Lim
LÍMITES DE COCIENTES
T8 Limite de un cociente de funciones
Si existen
axax
gLimAxLimf
0B(x) ,)(
Entonces
B
A
gLim
fLim
x
g
f
Lim
x
x
ax
(x)
(x)
)(
a
a
1) Ejemplo: Calcular )
1
3
(
2
2
x
x
Lim
x
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
7
1
7
12
34
1)2(
3)2(
)1(
)3(
)
1
3
(
2
2
2
2
2
2
x
x
x xLim
xLim
x
x
Lim
Capítulo 5. Límites
44
2) Ejemplo: Calcular )
42
16
(
3
2
5
xx
xx
Lim
x
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
119
56
410125
13025
4)5(2)5(
1)5(6)5(
)42(
)16(
)
42
16
(
3
2
3
5
2
5
3
2
5
xxLim
xxLim
xx
xx
Lim
x
x
x
3) Ejemplo: Calcular )
1
1
(
2
1
x
x
Lim
x
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
0
0
11
1)1(
)4(
)1(
)
1
1
(
2
1
2
1
2
1
xLim
xLim
x
x
Lim
x
x
x
Por lo que debemos de resolver este ejercicio, tratando de evitar la dificultad de que nos quede una
división entre cero, esto es tratar de evitar la singularidad.
Factor icemos el numerador, tomando en cuenta que se tiene una diferencia de cuadrados, es decir:
A2-B2 = (A-B)(A+B), tenemos entonces:
211)1()
1
)1)(1(
()
1
1
(
1 1
2
1
xLim
x
xx
Lim
x
x
Lim
xxx
4) Ejemplo: Calcular )
12
4
(
24
xx
x
Lim
x
Solución:
En este caso también debemos factor izar, en este caso .34122 xxxx
Tenemos:
7
1
)
3
1
()
)4)(3(
4
()
12
4
(
4 4 24
x
Lim
xx
x
Lim
xx
x
Lim
xxx
Ejercicio
1) Hallar )
2
9
(
2
4
x
x
Lim
x
2) Hallar )
25425
114
(
23
2
7
xxx
xx
Lim
x
3) Hallar )
33
19
(
4
2
1
x
x
Lim
x
Capítulo 5. Límites
45
4) Hallar )
65
4
(
2
2
2
xx
x
Lim
x
5) Hallar )
87
8
(
28
xx
x
Lim
x
6) Hallar )
5
54
(
2
5
x
xx
Lim
x
7) )
12
65
(
2
2
5
xx
xx
Lim
x
8) )
94
32
(
22/1
x
x
Lim
x
9) )
19
13
(
23/1
x
x
Lim
x
10) )
43
45
(
2
2
4
xx
xx
Lim
x
Capítulo 5. Límites
46
11) Hallar )
2
2
(
2
2
x
x
Lim
x
12) Hallar )
4
2
(
4
h
h
Lim
h
9) Hallar )
1
1
(
1
x
x
Lim
x
10) Hallar )
22
(
0 x
x
Lim
x
11) Hallar )
1
25
(
1
h
h
Lim
h
Capítulo 5. Límites
47
13) Hallar )
6
22
(
6
x
x
Lim
x
14) )
11
(
0 h
h
Lim
h
15) Hallar )
4
352
(
22
x
x
Lim
x
16) )
39
(
2
2
0 t
t
Lim
t
17)Hallar )
554
(
2
0 h
hh
Lim
h
Capítulo 5. Límites
48
18) Hallar )
22
25
(
1
x
x
Lim
x
LÍMITES AL INFINITO
Cuando la variable x crece arbitrariamente, tomando valores positivos se dice que tiende a más infinito
+ , podemos pensar en número N>0 muy grande, como la variable x toma valores mayores cada vez,
llegara un momento en que x será mayor que N, es decir x>N, para todo número N.
Esto se puede representar así: x y se lee x tiende a más infinito.
Analicemos la función y=
x
1
, cuando x tiende a más infinito.
Es decir veamos el siguiente límite: )
1
(
x
Lim
x
Tomemos la siguiente tabla: También observemos la gráfica:
Esto nos da un método para tratar con algunos límites, como se muestra a continuación. Pero antes
resuelva lo siguiente:
Al aumentar los valores de la variable x, se observa
que los valores de la función y =
x
1
disminuyen, de
tal manera que se acerca al valor cero, es decir:
)
1
(
x
Lim
x
=0
Podemos pensar en que tenemos un pastel y que el
número de invitados que llegan a la fiesta aumenta
y aumenta, entonces de que tamaño es la rebanada
que les va a tocar.
Capítulo 5. Límites
49
Ejercicio
Obtenga una tabla y una gráfica para estudiar el límite )
1
(
x
Lim
x
1) Ejemplo: Calcular )
54
34
(
x
x
Lim
x
Solución:
Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso
simplemente entre x:
1
4
4
)
04
04
()
5
4
3
4
()
54
34
()
54
34
()
54
34
(
xxxxx
Lim
x
xLim
xx
x
xx
x
Lim
x
x
x
x
Lim
x
x
Lim
2) Ejemplo: Calcular )
36
12
(
2
2
xx
x
Lim
x
Solución:
Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso
simplemente entre x
2
:
3
2
)
300
02
()
3
16
1
2
(
)
36
12
()
36
12
()
36
12
(
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxx
Lim
xx
xLim
x
x
x
x
x
xx
x
Lim
x
xx
x
x
Lim
xx
x
Lim
Ejercicio
1) Calcular )
174
35
(
3
23
xx
xx
Lim
x
2) Calcular )
639
110
(
24
34
xx
xxx
Lim
x
Capítulo 5. Límites
50
3) Calcular )
127161
16115
(
2285
229
xxx
xx
Lim
x
4) Calcular )
75
72
(
23
3
xxx
x
Lim
x
Capítulo 6. Derivada de una Función
51
CAPÍTULO 6 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Derivada de una Función en una Variable: La derivada de una función es un límite especial, veamos la siguiente
definición.
La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de una función al incremento de la variable
independiente cuando este tiende a cero. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma.
x
xfxxf
Lím
x
y
Lim
xx
)()(
00
Cuando existe este límite se dice que la función es derivable.
La derivada de una función se puede representar por los símbolos: )(' xf , )(
.
xf , )(xfDx ,
dx
xdf )(
,
dx
df
Por todo esto si )(xfy es derivable, entonces la derivada es:
x
xfxxf
Lím
x
y
Lím
dx
dy
xx
)()(
00
Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar la definición, esto lo haremos siguiendo cuatro pasos (llamada
también regla de los cuatro pasos) importantes, como se muestra:
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy 4 .
Solución:
Primer paso: valor final
)(4)( xxxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
x
xx
xxxxfxxfyyy if
4
444x
4)(4)()(
Tercer paso: cociente:
x
y
, tenemos : 4
4
x
x
x
y
Cuarto paso: Aplicar el límite
x
y
Lim
x
0
Así tenemos la derivada: 44
00
xx
Lim
x
y
Lim
dx
dy
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 106 2 xy .
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Capítulo 6. Derivada de una Función
52
Primer paso: valor final
10)(6)(
2 xxxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
2
2
22
612
)(-)2(6
10)(6-10)(6)()(
xxx
xxx
xxxxfxxfyyy if
1010x
2 26x
Tercer paso: cociente:
x
y
x
x
x
x
xx
x
xxx
x
y
6 12x
612612 22
Cuarto paso: Aplicar el límite
x
y
Lim
x
0
Así tenemos la derivada: xxLim
x
y
Lim
dx
dy
xx
12)6 12x (
00
Ejemplo: Obtén la derivada
de la siguiente función .352 2xxy
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Primer paso : valor final
2 x)3(x - x)5(x 2)( xxfy f
Segundo paso: incremento de la función
2
2
22
365
)-()2(3)(5
)3x -5x (2- x)3(x - x)5(x 2)()(
xxxx
xxxx
xfxxfyyy if
22
x5x2xx2 3
Tercer paso: cociente:
x
y
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx
x
y
3-6x -5
365365 22
Cuarto paso: Aplicar el límite
x
y
Lim
x
0
Así tenemos la derivada:
6x -5
)3-6x -5(
00
xLim
x
y
Lim
dx
dy
xx
Ejercicios
Calcula las siguientes derivadas utilizando la definición:
Capítulo 6. Derivada de una Función
53
1) a) 8y b) y=1000
2) a) xy 9 b) y=32x
3) 64 xy
4)
27xy
Capítulo 6. Derivada de una Función
54
5) 742 xxy
6)
3xy
Capítulo 6. Derivada de una Función
55
7) 133 xxy
Veamos otros ejemplos en donde también utilizamos la regla de los cuatro pasos:
Capítulo 6. Derivada de una Función
56
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función
3x
b
y
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:
Primer paso: valor final
3)x(
)(
x
b
xxfy f
Segundo paso: incremento de la función
33
322
33
32233
33
33
33
)x(
xx3bx3
)x(
)x3x x3(
)x(
)x(
)x(
)()(
xx
bxbx
y
xx
xxxbbx
xx
xbbx
y
x
b
x
b
xfxxfyyy if
-
Tercer paso: cociente:
x
y
33
22
33
22
33
32233
322
)x(
xx3b3
)x(x
xxx3b3
)x(x
xx3bx3)x(
xx3bx3
xx
bxbx
xx
bxbx
xx
bxbx
y
x
xx
bxbx
x
y
)(-
)(--
-
Cuarto paso: Aplicar el límite
x
y
Lim
x
0
4
33
2
33
2
33
22
00
3
)(
3
)0(
003
)
)x(
xx3b3
(
x
b
xx
bx
xx
bx
xx
bxbx
Lim
x
y
Lim
dx
dy
xx
-
-
)(-
)(-
Así tenemos la derivada:
4
3
x
b
dx
dy -
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy
Solución:
Capítulo 6. Derivada de una Función
57
Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:
Primer paso: valor final
x)( xxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
xxxfxxfyyy if x)()(
Tercer paso: cociente:
x
y
x
xx
x
y
x
En este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, a continuación de esto aplicaremos el
producto notable (a-b)(a+b)=a2-b2, y a continuación simplificamos la expresión, como sigue:
)x(
1
)x(
x
)x(
x-x
)x(
)()x(
)
x
x
)(
x
(
22
xx
xxx
xxx
x
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
y
Cuarto paso: Aplicar el límite
x
y
Lim
x
0
x
xx
xx
xx
Lim
x
y
Lim
dx
dy
xx
2
1
)(
1
)0(
1
)
)x(
1
(
00
Así tenemos la derivada:
xdx
dy
2
1
Capítulo 6. Derivada de una Función
58
Ejercicios
Obtenga la derivada de la constante, producto, cociente.
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
59
FÓRMULAS BÁSICAS PARA
OBTENER
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
7
Estas fórmulas se deducen aplicando la definición.
1. 0
dx
cd
2. 1
dx
xd
3.
dx
df
c
dx
fcd
4.
dx
dh
dx
dg
dx
df
dx
hgfd
5.
1 n
n
nx
dx
xd
6.
dx
du
un
dx
ud n
n
1
7.
dx
du
v
dx
dv
u
dx
vud
8.
2
/
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
vud
Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente.
Apliquemos la fórmula uno: 0
dx
cd
La derivada de una función constante siempre es igual a cero.
Ejemplo. Si tenemos la función constante y=8 , entonces aplicando la fórmula: 0
dx
cd
y tenemos: 0
8
dx
d
dx
dy
o Simplemente:
0
dx
dy
Similarmente: 0
10
dx
d , 0
33
dx
d , 0
1000
dx
d , 0
)2/1(
dx
d , 0
)15(
dx
d
Veamos la fórmula dos: 1
dx
xd
Ejemplo:
1
dt
dt , 1
du
du , 1
dz
dz , 1
dw
dw
Veamos la fórmula tres:
dx
df
c
dx
fcd
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
60
Ejemplo:
Hallar
dx
dy , si y=12x
Sol.
10) 1(1010
x10
dx
dx
dx
d
dx
dy
Ejemplo:
Si tenemos h=10x , Hallar
dx
dy
Solución: Aplicando la formula tres:
12) 1(1212
x12
dx
dx
dx
d
dx
dh
Ejemplo:
Obtenga la derivada de la función indicada con respecto de la variable independiente.
a) h=10x
Solución: Aplicando la formula tres:
12) 1(1212
x12
dx
dx
dx
d
dx
dh
b)
4
t
y
Solución: Aplicando la formula tres:
4
1
4
14
dt
dt
dt
t
d
dt
dy
c)
3
7u
h
Solución: Aplicando la formula tres:
3
7
3
73
7
du
du
dt
u
d
du
dh
Veamos la fórmula cuatro:
dx
dh
dx
dg
dx
df
dx
hgfd
Ejemplo1:
Hallar
dx
dy , si y=3x+2 Solución: Aplicando la formula cuatro:
3
03
2323
dx
dx
dx
d
dx
xd
dx
xd
dx
dy
Así 3
dx
dy
Ejemplo2:
Si h=8t -2 , Hallar
dt
dh ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
8
08
2828
dt
dt
dt
d
dt
td
dt
td
dt
dh
Así 8
dt
dh
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
61
Ejemplo3:
Si 6
2
t
y , Hallar
dt
dy ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
2
1
0
2
1
62
6
2
dt
td
dx
d
dt
t
d
dt
t
d
dt
dy
Así
2
1
dt
dy
Ejercicios 1
Obtenga la derivada de la función:
a) y=15
b) h=4x
c) y=3x + 1
d) y= 7 u – 2
e) y=12z + 9
f) y=
52
1
g) y=2- 4 t
h) 3
5
7
xy
i) h=6u+
2
1
j) f =5w+
2
1
k) g=40 l) h= -10+
7
3u
Veamos la fórmula cinco:
1 n
n
nx
dx
xd
, n es una constante
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
62
Ejemplo1:Hallar
dx
dy , si y=x5 Solución: Aplicando la fórmula cinco:
4
15
5
5
5
x
x
dx
xd
dx
dy
Así
45x
dx
dy
Ejemplo2:Hallar
dx
dy , si y=x2 Solución: Aplicando la fórmula cinco:
1
12
2
2
2
x
x
dx
xd
dx
dy
, Así la derivada es: x
dx
dy
2
Ejemplo3:Hallar
dx
dy , si xy
Solución: Aplicando la fórmula cinco:
x
x
x
dx
xd
dx
xd
dx
dy
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
, Así la derivada es:
xdx
dy
2
1
Si queremos obtener la derivada de una raíz cubica aplicamos la fórmula cinco
Ejemplo4:Hallar
dx
dy , si 3 xy
Solución: Aplicando la fórmula cinco:
3 2
3
2
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
x
x
x
dx
xd
dx
xd
dx
dy
Así
3 23
1
xdx
dy
Ejemplo5:
Si y=x11+ x4+9 , Hallar
dx
dy ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
0411
99
310
411411
xx
dx
d
dx
xd
dx
xd
dx
xxd
dx
dy
Así 310 411 xx
dx
dy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
63
Ejemplo6:
Si h=4t6 -2t3+7t+9 , Hallar
dt
dh ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
7624
0)1(7)3(2)6(4
9
724
97249724
25
25
36
3636
tt
tt
dt
d
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
dt
td
dt
td
dt
td
dt
tttd
dt
dh
,Así tenemos: 7624 25 tt
dt
dh
Ejercicios 2
Obtenga la derivada de la función:
a) y=x4
b) h=x22
c) y=x7
d) y= 5 u2
e) y=5z3
f) y=4t2+1
g) 5 xy
h) 3 xxy
i) h= u2+ 6u+1
j) f =5w3+w
k) g=3-t5+4t6 l) h=
117
3
x
m) h=z3+ 11
7
5 2
u
n)
5
2
x
y
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
64
Ejercicios 3
Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.
1. 47y
2. xy 3 3. 912 xy 4. 2/1
7
11
x
y
5.
4xy
6.
8
3
x
y
7. 103715 24 xxxy
8. 3
7
2
2
5
xx
y
9. xy 10.
3
7
x
y
11.
5
x
y 12.
5 xxy
13. 4
3
5
x
x
y
14.
t
r
2
1
15.
2
3
x
y
16. 321 xxy
17.
32
6
x
x
y
18.
2
6 87
x
xx
w
19.
232ttz
20.
2
2
x
xy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
65
Veamos la fórmula seis. Fórmula
dx
du
un
dx
ud n
n
1
Ejemplo1: Si f=(x+1)2 , Hallar
dx
df
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=2, u=x+1:
)1(2
)1()1(2
)01()1(2
)
1
()1(2
1
)1(2
1
1
1
12
x
x
x
dx
d
dx
dx
x
dx
xd
x
dx
df
Así )1(2 x
dx
df
Ejemplo 2: Hallar
ds
dy , Si y=(2s+8)3 ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=3, u=2s+8:
2
2
2
2
13
)82(6
)2()82(3
)02()82(3
)
82
()82(3
82
)82(3
s
s
ds
sd
s
ds
d
ds
sd
s
ds
sd
s
ds
dy
Así
2)82(6 s
ds
dy
Ejemplo 3: Hallar
dx
dy , Si 1 xy ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=x+1:
12
1
)1(2
1
)1()1(
2
1
1
)1(
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
x
x
x
ds
xd
x
ds
xd
ds
dy
Así
12
1
xdx
dy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
66
Ejemplo 4: Hallar
dx
dy , Si xxy 23 ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=3x2+x:
xx
x
xx
x
xxx
ds
xd
ds
xd
xx
ds
xxd
xx
ds
xxd
ds
dy
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
32
16
)3(2
16
)16()3(
2
1
)
3
()3(
2
1
3
)3(
2
1
3
Así
xx
x
dx
dy
232
16
Ejercicios 4
Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.
1.
925 xy
2. 33 52 xy 3. 5 42 xy 4.
42 )1(
5
x
y
5.
2)118( xy
6.
7 15
4
x
y
7.
32 )(
16
xx
y
8. 115 1924 xy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
67
Veamos la fórmula del producto de dos funciones
Formula
dx
du
v
dx
dv
u
dx
vud
Ejemplo : Hallar
dx
dy , Si 1 xxy ,
Solución: Aplicando la fórmula del producto
dx
du
v
dx
dv
u
dx
vud
, aquí: u=x ,: 2/1)1(1 xxv
Así tenemos:
1
12
)1(
)1(2
)1()1()1(
2
1
)1()1(
1
)1(
2
1
)1(
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
xxx
x
ds
xd
xx
ds
xd
x
ds
xd
x
ds
xdx
ds
dy
Así 1
12
x
x
x
dx
dy
Ejercicios 5
1. 3 xxy
2. )13)(12( xxy 3. ))(( 26 bxaxy
4. xxy 452
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
68
Fórmula del cociente:
2
/
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
vud
Ejemplo : Hallar
dx
dy , Si
15
3
x
x
y ,
Solución: Aplicando la fórmula del cociente:
2
/
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
vud
, aquí: u=3x ,v=5x-1
Así tenemos:
2)15(
)15(
3
)3(
)15(
15
3
x
dx
xd
x
dx
xd
x
dx
x
x
d
dx
dy
Tenemos:
2)15(
)5(3)3)(15(
x
xx
dx
dy
Así:
22 )15(
3
)15(
15315
xx
xx
dx
dy
La derivada de y es:
2)15(
3
xdx
dy
Ejercicios 6
1.
3
2
x
x
y 2.
4
1
x
x
y
3.
104
7
z
z
y 4.
225
1
w
w
y
5.
xa
xa
y
6.
22
22
xa
xa
y
7.
16
2 3
w
w
z 8.
2
2
2
2
x
x
z
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
69
9.
xa
xa
y
10.
bxa
x
y
11.
xa
xa
y
Obtenga la derivada de la función:
45. 1 xy
46. 3 52 xy
47.
x
y
2
4
48.
x
x
y
8
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
70
49.
5
3
x
y
50.
5 17
18
x
y
Deducción de la fórmula de la derivada de la potencia, de la multiplicación, del cociente
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
71
8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
En geometría se interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente. Veamos la siguiente explicación.
Consideremos una recta que pasa por el punto P, como se muestra en la figura.
En términos de incrementos, podemos observar la siguiente figura.
Veamos la definición de la derivada
x
xfxxf
Lím
x
y
Lim
xx
)()(
00
Así la derivada de una función nos da como resultado la pendiente de la recta tangente. La ecuación de la recta
es: y-y0=dy/dx (x-x0)
Cuando el incremento de x se hace cada
vez más pequeño entonces la recta
tangente se acerca a la recta tangente
t
x
m
x
y
Lim
0
=dy/dx
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
72
Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y=x
2
+5, en el punto P(1,6)
Solución. Hallemos la derivada de y=x
2
+5
Tenemos dy/dx= dx
2
/dx+d5/dx
dy/dx= 2xdx/dx
Así: dy/dx= 2x
En el punto P(1,6), se tiene que x=1, y=6, sustituyendo en la derivada:
dy/dx= 2x, x=1
dy/dx= 2(1)
dy/dx= 2
Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=6, dy/dx=2
y-6=2 (x-1)
es decir y=2(x-1)+6
o también 2x-y+4=0
Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y= x
3
+x
2
-x+3, en el punto P(1,4)
Solución. Hallemos la derivada de y= x
3
+x
2
-x+3
Tenemos dy/dx= dx
3
/dx+dx
2
/dx-dx/dx+d3/dx
Así: dy/dx= 3x
2
+2x-1
En el punto P(1,4), se tiene que x=1, y=4, sustituyendo en la derivada:
dy/dx= 3x
2
+2x-1, x=1
dy/dx= 3(1)
2
+2(1)-1
dy/dx= 4
Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=4, dy/dx=4
y-4=4 (x-1)
es decir y=4(x-1)+4
o también 4x-y=0
La ecuación de la recta
tangente en el punto
P(1,6)
y=2(x-1)+6
La ecuación de la recta
tangente en el punto
P(1,6)
y=2(x-1)+6
La ecuación de la recta
tangente en el punto P(1,4)
a la curva es: y=4x
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
73
En winplot se puede observar la recta tangente. Una vez que se tiene la grafica de la ecuación, en este caso
tenemos y=x*x. que es la ecuación de la parábola y=x
2
.
Podemos ir al menú y tomar la opción Una y a continuación Traza como se ve en la siguiente figura.
A continuación indicamos en el cuadro que tenemos la opción tangente, la figura se observa indicada,
el cuadro gris podemos moverlo y observar la recta tangente.
Utiliza winplot y observa las rectas tangentes de
a)y=.5 x3+x2-x+4, b)y=xsenx, c) y=lsen xl.
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
74
Ejercicios
Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado.
a) y = 2x – x
3
; P(-1,-1) b) y =
x
8
; P(2,4)
c) y = 3x
2
– 12x + 8 ; P(2,-4) d) y = x ; P(2, 2 )
e) y =
3
1
x
; P(4,1) f) y = x
3
– 2x
2
-3 ; P(2,-3)
Capítulo 9. Funciones Implícitas
75
CAPÍTULO 9 Derivada de una función implícita
1. FUNCIONES IMPLÍCITAS
Funciones Implícitas
Veamos la siguiente pregunta:
¿Una ecuación siempre representa una función?
Observemos que a cada valor x le corresponden dos
Valores de y por lo tanto no es una función.
Sin embargo despejemos "" y tenemos: 24 xy lo que da origen a dos funciones las cuales son:
24 xy y 24 xy tenemos dos funciones una es la parte superior de la circunferencia y la
otra la parte inferior
24 xy 24 xy
También podemos definir otras funciones por ejemplo:
24 x , -2x<0
)(xy
24 x , 0x2 la grafica se muestra a continuación:
Es una función pues para cada valor de x le
corresponde un único valor de "" y .
Es una función pues para cada valor de x le
corresponde un único valor de "" y .
Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de radio 2r y centro el origen. 422 yx .
Capítulo 9. Funciones Implícitas
76
En este caso también tenemos una función. En resumen una ecuación puede representar una función o
puede no representar una función o a partir de ella podemos definir una función o mas funciones, de las
cuales algunas serán derivables y otras no. Supondremos que siempre existen funciones derivables
FUNCIONES EXPLICITAS
Cuando se tiene una ecuación en donde esta despejada una de las variables, diremos que tenemos una
función en forma explícita.
Ejemplo: y=x2+3 , u=t3+ 1/t - 2, v=u5/(u-1)
FUNCION IMPLÍCITA:
Cuando se tiene una ecuación en donde no esta despejada ninguna de las variables, diremos que
tenemos funciones en forma implícita.
Ejemplo: x2 +y2 =4
7xy=3y-10Compartir
Continuar navegando
Materiales relacionados
111 pag.Cálculo Santiago Relos
Peres silva
334 pag.Cálculo Esencial - James Stewart - Rubén Rodríguez
Desafio PASSEI DIRETO
98 pag.
100 pag.
Preguntas relacionadas
Compartir