Polinomios - Axel Sánchez Nazario (1)

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Polinomios 
Definición: 
Un polinomio es una expresión de la forma 
 
donde 
 
Grado de un polinomio 
Sea el polinomio en con coeficientes en , 
Si , el entero no negativo n es el grado del polinomio lo que expresamos como 
Adición de polinomios 
Definición: Sean los polinomios en con coeficientes en 
 
 El polinomio se define como: 
 
Grado de un polinomio 
1) 
2) 
3) 
Propiedades de los polinomios 
Sean polinomios en con coeficientes en 
1) Asociatividad: 
2) Conmutatividad: 
3) Elemento idéntico: 
4) Elemento inverso: 
 
Sustracción de polinomios 
Definición: Sean los polinomios en con coeficientes en 
 
 El polinomio se define como: 
 
Multiplicación de polinomios 
Definición: Sean los polinomios en con coeficientes en 
 
 
 
 
 
Propiedades de la multiplicación 
1) Asociatividad: 
2) Conmutatividad: 
3) Elemento idéntico: 
 
 
Divisibilidad 
Definición: Sean dos polinomios en con coeficientes en y 
, es un factor de si existe un polinomio con coeficientes en tal que 
 se dice entonces que es divisible entre 
Teorema: Algoritmo de la división para polinomios 
Sean dos polinomios en con coeficientes en . Sí existen dos polinomios 
únicos q con coeficientes en , tales que donde 
 o bien 
 
Teorema del residuo: Sean un polinomio con coeficientes en y . El residuo de 
dividir entre es igual a 
 
 
 
Teorema del factor: Sean un polinomio con coeficientes en y . es divisible 
entre sí y sólo sí 
Raíces de un polinomio: 
Definición; Sea un polinomio en con coeficientes en y sea un número complejo, es 
una raíz de si 
Teorema fundamental del álgebra 
Si es un polinomio en con coeficientes en de grado mayor o igual a uno, entonces 
tiene al menos una raíz en . 
Teorema: Si es un polinomio en con coeficientes en de grado mayor o igual a uno, entonces 
 tiene n raíces. 
Teorema: Sea + un polinomio en con coeficientes enteros 
donde y , si un número racional es raíz en su mínima expresión, 
entonces es un factor de y q es un factor de 
Posibles raíces = 
Teorema: Regla de los signos de descartes 
Sea + un polinomio en con coeficientes reales y 
1) El número de raíces reales positivas de es igual al número de cambios de signo en la 
secuencia de coeficientes del polinomio , o menor que este en número par. 
2) El número de raíces reales negativas de es igual al número de cambios de signo en la 
secuencia de coeficientes del polinomio en que se obtiene al sustituir o por – en 
 o menor que este en número par. 
Teorema: Sea un polinomio en con coeficientes reales. Si , con , es 
una raíz de entonces es otra raíz de