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552	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
1 � �5 1 � �5
FIguRA	 8.28	 	
Los valores frontera son parte de la solución debido a que el símbolo de la desigual­
dad es  y los valores frontera hacen que la desigualdad sea igual a 0. Por lo tanto, la 
solución en notación de intervalos es [1 - !5, 1 + !5]. La solución se ilustra en 
la recta numérica de la Figura	8.28.
Resuelve ahora el ejercicio 19
	2 	Resolver	otras	desigualdades	polinomiales
El mismo procedimiento que utilizamos para resolver desigualdades cuadráticas puede 
utilizarse para resolver otras desigualdades	polinomiales, como se ilustra en los ejemplos 
siguientes.
EJEMPLO  4  Resuelve la desigualdad polinomial (3x 2 2)(x 1 3)(x 1 5)  0. 
Ilustra la solución en una recta numérica y escríbela en notación de intervalos y en 
notación constructiva de conjuntos.
Solución  Utilizamos la propiedad del factor nulo para resolver la ecuación 
(3x 2 2)(x 1 3)(x 1 5)5 0.
 x =
2
3
 x = -3 x = -5
 3x - 2 = 0 o x + 3 = 0 o x + 5 = 0
Las soluciones 25, 23 y 
2
3
 se indican con círculos abiertos y dividen la recta numéri­
ca en cuatro intervalos (ver Figura	8.29). Los valores de prueba que usaremos son 
26, 24, 0 y 1. En la tabla siguiente se muestran los resultados.
Intervalo Valor de prueba 1 3x 22 1 x 32 1 x 52 � 0
A: 1 - q , -52 -6 -60 Verdadero
B: 1 -5, -32 -4 14 Falso
C: a -3, 
2
3
b 0 -30 Verdadero
D: a2
3
, q b 1 24 Falso
Como el símbolo de la desigualdad original es <, los valores frontera no son 
parte de la solución. La solución, los intervalos A y C, se ilustra en la recta numérica 
de la Figura	8.30. La solución en notación de intervalos es 1 - q , -52 ´ a -3, 
2
3
b y en 
notación constructiva de conjuntos es e x ` x 6 -5 -3 6 x 6
2
3
f .o
Resuelve ahora el ejercicio 27
�3�5 s
FIguRA	 8.30	 	
10�6 �4
�5 �3 s
A DCB
FIguRA	 8.29	 	
Consejo útil
Si ax2 1 bx 1 c 5 0 con a  0, tiene dos soluciones reales distintas, entonces:
Desigualdad	de	la	forma La	solución	es Solución	en	la	recta	numérica
ax2	1	bx	1	c 	0 Intervalos en los extremos 
 
ax2	1	bx	1	c 	0		 Intervalo central 
El ejemplo 1 es una desigualdad de la forma ax2 1 bx 1 c  0 y el ejemplo 3 es una 
desigualdad de la forma ax2 1 bx 1 c  0. Como el ejemplo 2 no tiene dos soluciones reales 
distintas, este consejo útil no aplica.
	 Sección	8.6	 	 Desigualdades	cuadráticas	y	de	otros	tipos	con	una	variable	 553
EJEMPLO  5  Dada f (x) 5 3x3 2 3x2 2 6x, determina todos los valores de x para 
los que f (x)  0. Ilustra la solución en una recta numérica y da la solución en nota­
ción de intervalos.
Solución  Necesitamos resolver la desigualdad
Comenzamos resolviendo la ecuación 
x = 0 x = 2 x = -1
3x = 0 o x - 2 = 0 o x + 1 = 0
3x 1x - 22 1 x + 1 2 = 0
3x 1x2 - x - 2 2 = 0
3x3 - 3x2 - 6x = 0.
3x3 - 3x2 - 6x Ú 0
Las soluciones 21, 0 y 2 se indican con círculos cerrados y dividen la recta numérica 
en cuatro intervalos (ver Figura	8.31). Los valores de prueba que usaremos son 22, 
-
1
2
, 1 y 3.
Intervalo Valor de prueba 3x3 3x2 6x » 0
A: 1 - q , -14 -2 -24 Falso
B: 3 -1, 04 -
1
2
15
8
Verdadero
C: 3 0, 24 1 -6 Falso
D: 3 2, q 2 3 36 Verdadero
Como la desigualdad original es , los valores frontera son parte de la solución. 
La solución, intervalos B y D, se ilustran en la recta numérica en la Figura 8.32a. La 
solución en notación de intervalos es 3 -1, 04 ´ 3 2, q 2 . La Figura	8.32b muestra la 
gráfica de f (x) 5 3x3 2 3x2 2 6x. Observa que f (x)  0 para 21  x  0 y para 
x  2, lo cual coincide con nuestra solución.
�5
�8
�7
�6
�4
�3
�2
�1
4
3
1
5 6431�4�5�6 �3 �2 x
y
FIguRA	 8.32B	 	
4 5 63210�4�5�6 �3 �2 �1
FIguRA	 8.32A	 	
Resuelve ahora el ejercicio 41
3
2
1
0
�2
�1
�q
A B C D
FIguRA	 8.31	 	
	3 	Resolver	desigualdades	racionales
En los ejemplos 6 y 7 resolveremos desigualdades	racionales, que son aquellas desigualda­
des que tienen al menos una expresión racional. 
Comprendiendo 
el álgebra
Considera	la	desigualdad
-3x3 + 3x2 + 6x … 0.
Por	lo	general,	es	más	sencillo	
resolver	una	desigualdad	po-
linomial	con	un	coeficiente	
principal	positivo.	Es	posible	
cambiar	este	coeficiente	a	
un	número	positivo	multi-
plicando	ambos	lados	de	la	
desigualdad	por	21.	Cuando	
hagas	esto,	recuerda	que	
debemos	invertir	la	dirección	
del	símbolo	de	la	desigualdad.
3x3 - 3x2 - 6x Ú 0
-1 1 -3x3 + 3x2 + 6x 2 Ú -1 10 2
-3x3 + 3x2 + 6x … 0
Esta	desigualdad	se	resolvió	
en	el	ejemplo	5.
554	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
EJEMPLO  6  Resuelve la desigualdad 
x - 1
x + 3
Ú 2 y grafica la solución en una 
recta numérica.
Solución    Cambia  por 5 y resuelve la ecuación resultante.
 -7 = x
 -1 = x + 6
 x - 1 = 2x + 6
 x + 3 # x - 1
x + 3
= 2 1x + 32
x - 1
x + 3
= 2
Multiplica ambos lados por x 1 3.
La solución 27 es un valor frontera y se indica con un círculo cerrado en la recta 
numérica (ver Figura	8.33).
Al resolver desigualdades racionales, también necesitamos determinar el valor 
o valores que hacen al denominador igual a 0. Para ello igualamos a 0 el denomina­
dor y resolvemos.
 x = -3
 x + 3 = 0
Debido a que 23 no puede ser una solución, se indica con un círculo abierto en la 
recta numérica (ver Figura	8.33).
Utilizamos la solución de la ecuación, 27, y el valor que hace al denominador 0, 
23, para determinar los intervalos como se muestra en la Figura	8.33. Como valores 
de prueba utilizaremos 28, 25 y 0.
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
 1 - q , -74 3 -7, -32 1 -3, q 2
Valor de prueba, -8
x - 1
x + 3
Ú 2
x - 1
x + 3
Ú 2
x - 1
x + 3
Ú 2
-8 - 1
-8 + 3
?
Ú 2
-5 - 1
-5 + 3
?
Ú 2
0 - 1
0 + 3
?
Ú 2
Falso
9
5
Ú 2 Verdadero3 Ú 2 Falso-
1
3
Ú 2
Valor de prueba, -5 Valor de prueba, 0
Ahora verificamos los valores frontera 27 y 23. Como 27 da por resultado la des­
igualdad 22  22, que es verdadera, 27 es una solución. Puesto que no está per­
mitida la división entre 0, 23 no es una solución. La solución se ilustra en la recta 
numérica de la Figura	8.34 y es [27,23).
Resuelve ahora el ejercicio 81
En el ejemplo 6 resolvimos 
x - 1
x + 3
Ú 2. Supongamos que graficamos 
f 1x 2 =
x - 1
x + 3
. En la Figura	 8.35 se muestran las gráficas de f 1x 2 =
x - 1
x + 3
 y de 
y 5 2. Observa que f (x)  2 cuando 27  x  23.
�5
�4
�3
�2
�1
5
7
6
4
3
5 64321�3�4�5�12�11�10�9 �8 �7 �6 �2 �1 x
y
y � 2
FIguRA	 8.35		
�7
0�5�8
A B C
�3
FIguRA	 8.33	 	
�7 �3
FIguRA	 8.34	 	
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	resolvemos	una	
desigualdad	racional,	cual-
quier	valor	que	haga	que	el	
denominador	sea	igual	a	0	es	
un	valor	frontera.	Sin	embar-
go,	debido	a	que	un	valor	que	
hace	que	el	denominador	sea	
igual	a	0	nunca	puede	ser	una	
solución,	siempre	indicaremos	
estos	valores	con	un	círculo	
abierto.	Lo	anterior	significa	
que	los	valores	frontera	así	
encontrados	no	forman	parte	
del	conjunto	solución.
	 Sección	8.6	 	 Desigualdades	cuadráticas	y	de	otros	tipos	con	una	variable	 555
EJEMPLO  7  Resuelve la desigualdad 
1x - 32 1 x + 4 2
x + 1
Ú 0. Grafica la solución 
en una recta numérica y proporciona la solución en notación de intervalos.
Solución Las soluciones de la desigualdad 
1x - 32 1 x + 4 2
x + 1
= 0 son 3 y 24.
Indicamos las soluciones en una recta numérica con círculos cerrados (ver Figura	
8.36) debido a que el símbolo de la desigualdad es . La desigualdad no está defi­
nida en 21, así que indicamos este valor en la recta numérica con un círculo abierto 
(ver Figura	8.36) ya que 21 no puede ser una solución de la desigualdad.
Por lo tanto utilizamos los valores 24, 21 y 3 para determinar los intervalos en 
la recta numérica (ver Figura	8.36). Al comprobar los valores de prueba 25, 22, 0 y 
4, encontramos que los valores en los intervalos B y D, 24  x  21 y x  3, satisfa­
cen la desigualdad. Comprueba los valores de prueba para verificarlo. Los valores 3 
y 24 igualan a 0 la desigualdad y, por tanto, son parte de la solución. La desigualdad 
no está definida en 21, así que 21 no es parte dela solución. La solución es 
[24, 21)  [3, q). La solución se ilustra en la recta numérica de la Figura	8.37.
Resuelve ahora el ejercicio 71
3�4 �1
FIguRA	 8.37	 	
A B C D
�5 �2 0 4
3�4 �1
FIguRA	 8.36	 	
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.6 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
 no incluido valores frontera cerrado incluido solución abierto vértices divisor
	 1. La de una desigualdad es el conjunto de 
todos los valores que la hacen verdadera.
	 2. Considere la desigualdad x2 2 3x 2 4  0. Las soluciones a la 
ecuación x2 2 3x 2 4 5 0 se denominan .
	 3. Si resolvemos la desigualdad (x 2 5)(x 1 3)  0, los valores 
frontera 5 y 23 son valores en el conjun­
to solución.
	 4. Si resolvemos la desigualdad (x 2 2)(x 1 4)  0, los valores 
frontera 2 y 24 son valores en el conjun­
to solución.
	 5. Si resolvemos la desigualdad 
1
x - 3
… 0, el valor fron­
tera 3 se indica en la recta numérica con un círculo 
.
	 6. Si resolvemos la desigualdad 
x + 1
x - 3
… 0, el valor fron­
tera 21 se indica en la recta numérica con un círculo 
.
Practica tus habilidades
Resuelve cada desigualdad cuadrática y grafica la solución en una recta numérica.
Resuelve cada desigualdad y da la solución en notación de intervalos.
.9.8.7
10. 11. 12.
.41.31 15.
.81.71.61
19. 20. 5x2 … -20x - 42x2 - 12x + 9 … 0
3x2 + 5x - 3 … 05x2 + 6x … 83n2 - 7n … 6
2x2 + 5x - 3 Ú 0r2 - 5r 6 0x2 - 16 6 0
x2 - 8x Ú 0n2 - 6n + 9 Ú 0x2 + 8x + 7 6 0
x2 + 7x + 6 7 0x2 - 2x - 3 6 0x2 - 2x - 3 Ú 0
.22.12
.42.32 1r - 12 1 r + 22 1 r + 7 2 6 01a - 32 1 a + 22 1 a + 4 2 6 0
1x - 22 1 x + 22 1 x + 5 2 … 01x - 12 1 x + 22 1 x - 3 2 … 0
556	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Determina todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en cada una de las siguientes funciones. Grafica 
la solución en una recta numérica.
Resuelve cada desigualdad y da la solución en notación constructiva de conjuntos.
Resuelve cada desigualdad y grafica la solución en una recta numérica.
Resuelve cada desigualdad y da la solución en notación de intervalos.
.62.52
27. 28.
.03.92
.23.13 x3 + 3x2 - 40x 7 0x3 - 6x2 + 9x 6 0
1x + 32 21 4x - 7 2 … 01x + 22 1 x + 22 1 3x - 8 2 Ú 0
13c - 12 1 c + 42 1 3c + 6 2 … 013x + 52 1 x - 32 1 x + 1 2 7 0
1a - 42 1 a - 22 1 a + 8 2 7 012c + 52 1 3c - 62 1 c + 6 2 7 0
.43.33
.63.53
.83.73
.04.93
41. 42. f 1x2 = x3 - 9x, f 1x2 … 0f 1x2 = 2x3 + 9x2 - 35x, f 1x2 Ú 0
f 1x2 = x2 + 5x - 3, f 1x2 … 4f 1x2 = 2x2 + 9x - 1, f 1x2 … 5
f 1x2 = x2 - 2x - 15, f 1 x2 6 0f 1x2 = x2 - 14x + 48, f 1x2 6 0
f 1x2 = x2 + 8x, f 1x2 … 0f 1x2 = x2 + 4x, f 1x2 7 0
f 1x2 = x2 - 7x, f 1x2 7 0f 1x2 = x2 - 2x, f 1x2 Ú 0
.54.44.34
.84.74.64
.15.05.94
.45.35.25
.75.65.55
.06.95.85
4x - 2
2x - 8
7 0
3x + 8
x - 2
… 0
k + 3
k
Ú 0
3x + 4
2x - 1
6 0
x + 4
x - 4
… 0
5a + 10
3a - 1
Ú 0
4z - 8
z - 9
Ú 0
3y + 6
y + 4
… 0
2d - 6
d - 1
6 0
c - 10
c - 4
7 0
b + 7
b + 1
… 0
a - 9
a + 5
6 0
x - 4
x + 6
7 0
x + 3
x - 2
Ú 0
x - 1
x + 5
… 0
x - 1
x + 5
6 0
x + 2
x - 4
Ú 0
x + 1
x - 3
… 0
.57.47.37
.87.77.67
5
x + 2
6 1
5
x + 2
… 1
3
x + 1
Ú -1
3
x - 1
7 -1
2
x - 4
7 1
2
x - 4
Ú 1
.26.16
.46.36
.66.56
.86.76
.07.96
71. 72.
r 1r - 8 2
2r + 6
6 0
1x - 32 1 2x + 5 2
x - 4
Ú 0
x + 9
1x - 22 1 x + 4 2 7 0
x - 6
1x + 42 1 x - 1 2 … 0
z - 5
1z + 62 1 z - 9 2 Ú 0
c
1c - 32 1 c + 8 2 … 0
1b - 22 1 b + 4 2
b
6 0
1a - 12 1 a - 7 2
a + 2
Ú 0
1x - 22 1 x + 3 2
x - 5
Ú 0
1x - 22 1 x + 3 2
x - 5
7 0
1x + 12 1 x - 6 2
x + 3
… 0
1x - 22 1 x - 4 2
x + 1
6 0
	 Sección	8.6	 	 Desigualdades	cuadráticas	y	de	otros	tipos	con	una	variable	 557
Ejercicios de conceptos y escritura
	 85. A continuación se da la gráfica de f (x) 5 x2 2 7x 1 10. De­
termina la solución de a) f (x)  0 y b) f (x)  0.
y
x
�4
�3
�2
�1
6
5
4
3
2
1
8765431 2�2�1
 
	 86. Dada la gráfica de f (x) 5 2x2 2 4x 1 5. Determina la solu­
ción de 	a) f (x)  0 y b) f (x)  0.
y
x
�1
9
8
6
5
4
3
2
1
32�3�4�7�6 �2�1
 
	 87. A continuación se ilustra la gráfica de y =
x2 - 4x + 4
x - 4
. 
Determina la solución de las desigualdades siguientes.
y
�6
�4
�2
14
12
10
8
6
4
2
987651 2 x
 a)	
x2 - 4x + 4
x - 4
7 0
 b)	
x2 - 4x + 4
x - 4
6 0 
Explica cómo determinaste tu respuesta.
	 88. A continuación se ilustra la gráfica de y =
x2 + x - 6
x - 4
. De­
termina la solución de las desigualdades siguientes.
�20
�15
�10
�5
30
25
20
15
10
5
7 86531 2�3�4 �2�1
y
x
 a)	
x2 + x - 6
x - 4
Ú 0
 b)	
x2 + x - 6
x - 4
6 0
Explica cómo determinaste tu respuesta.
	 89. Escribe una desigualdad cuadrática cuya solución sea
 
2�4
	 90. Escribe una desigualdad cuadrática cuya solución sea
 5�3
 91. Escribe una desigualdad racional cuya solución sea
 
4�3
	 92. Escribe una desigualdad racional cuya solución sea
 
�1�6
	 93. ¿Cuál es la solución de la desigualdad (x 1 3)2(x 2 1)2  0? 
Explica tu respuesta.
	 94. ¿Cuál es la solución de la desigualdad x2(x 2 3)2(x 1 4)2 < 0? 
Explica tu respuesta.
	 95. ¿Cuál es la solución de la desigualdad 
x2
1x + 2 22 Ú 0? Expli­
ca tu respuesta.
	 96. ¿Cuál es la solución de la desigualdad 
x2
1x - 3 22 7 0? Expli­
ca tu respuesta.
	 97. Si f (x) 5 ax2 1 bx 1 c donde a  0 y el discriminante es ne­
gativo, ¿cuál es la solución de f(x)  0? Explica tu respuesta.
	 98. Si f (x) 5 ax2 1 bx 1 c donde a  0 y el discriminante es 
negativo, ¿cuál es la solución de f (x)  2? Explica tu res­
puesta.
.08.97 81.
.48.38.28
x - 1
2x + 6
… -3
w
3w - 2
7 -2
x + 6
x + 2
7 1
4
x + 2
Ú 2
2
2a - 1
7 2
2p - 5
p - 4
… 1
558	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Problemas de desafío
Resuelve cada desigualdad y grafica la solución en una recta numérica.
Escribe una desigualdad cuadrática con las soluciones siguientes; para cada problema existen diferentes respuestas posibles, explica cómo 
determinaste tus respuestas.
En los ejercicios 105 y 106, resuelve cada desigualdad y da la solución en notación de intervalos. Para determinar la solución, utiliza las 
técnicas analizadas en la sección 8.5.
En los ejercicios 107 y 108, resuelve cada desigualdad factorizando por agrupación. Da la solución en notación de intervalos.
	109. Consideren la siguiente recta numérica, donde a, b y c son 
números reales distintos.
	 a) ¿En qué intervalos los números reales satisfacen la des­
igualdad (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c)  0? Expliquen.
	 b) ¿En qué intervalos los números reales satisfacen la des­
igualdad (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c)  0? Expliquen.
Intervalo
1
Intervalo
2
Intervalo
3
Intervalo
4
a b c
	110. Consideren la siguiente recta numérica, donde a, b, c y d 
son números reales distintos.
Intervalo
1
Intervalo
2
Intervalo
3
Intervalo
4
Intervalo
5
a b c d
	 a) ¿En qué intervalos los números reales satisfacen la des­
igualdad (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c)(x 2 d)  0? Expliquen.
	 b) ¿En qué intervalos los números reales satisfacen la des­
igualdad (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c)(x 2 d)  0? Expliquen.
Ejercicios de repaso acumulados
	[2.4] 111.	 	Anticongelante	 	 Paul Simmons desea obtener una 
solución de anticongelante con concentración de 
50%. ¿Cuántos cuartos de galón de anticongelante 
con una concentración de 100% debe agregar a 10 
cuartos de galón de anticongelante con una concen­
tración de 20%?
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
	[3.2] 112. Si h 1x2 =
x2 + 4x
x + 9
, determina h(23).
	[5.1] 113. Suma (6r 1 5s 2 t)1(23r 2 2s 2 8t).
	[6.3] 114. Simplifica 
1 +
x
x + 1
2x + 1
x - 3
.
	[7.7] 115. Multiplica (3 2 4i)(6 1 5i).
Actividad de grupo
Comenten y respondan en grupo los ejercicios 109 y 110.
99. 1x + 1 2 1x - 3 2 1x + 5 2 1x + 8 2 Ú 0
100.
1x - 4 2 1x + 2 2
x 1x + 9 2 Ú 0
.401.301.201.101 ¤{2}1 - q , 0 2 ´ 13, q 2
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