Introduccion_a_las_matematicas_Ana

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Introducción 
a las 
MATEMÁTICAS 
UNIVERSITARIAS 
Contenido 
CAPÍTULO 1 
CAPÍTULO 2 
CAPÍTULO 3 
PRÓLOGO IX 
Lógica simbólica y teoría de conjuntos 1 
1.1 Introducción 1 
1.2 Proposiciones 1 
1.3 Tablas de verdad y tautologías 2 
1.4 Cuantificadores 4 
1.5 Argumentos lógicos 4 
1.6 Prueba directa 4 
1.7 Contraejemplo 5 
1.8 Prueba por contraposición (contrapositiva) 5 
1.9 Prueba por contradicción 5 
1.10 Conjuntos 5 
1.11 Diagramas de Venn-Euler 7 
1.12 Leyes de álgebra de conjuntos 8 
1.13 Cardinalidad 9 
Problemas resueltos 10 
Problemas propuestos 18 
Soluciones 24 
Teoría de los números reales 27 
2.1 Introducción 27 
2.2 Operaciones aritméticas en el conjunto de los números reales 27 
2.3 Exponentes y radicales 29 
2.4 Expresiones algebraicas 30 
2.5 Valor absoluto 34 
2.6 Propiedades del valor absoluto 35 
Problemas resueltos 35 
Problemas propuestos 42 
Soluciones 54 
Funciones lineales y cuadráticas 59 
3.1 Introducción 59 
3.2 Relaciones 59 
3.3 Funciones y sus propiedades 61 
3.4 Función lineal 61 
3.5 Ecuaciones y desigualdades lineales 62 
3.6 Sistemas de ecuaciones lineales 64 
3.7 Función cuadrática 67 
3.8 Ecuaciones y desigualdades cuadráticas 68 
3.9 Sistemas de ecuaciones cuadráticas 70 
V 
 
Introducción 
a las 
MATEMÁTICAS 
UNIVERSITARIAS 
Piotr Marian Wisniewski 
Universidad de Adam Mickiewicz, Poznañ, Polonia 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, Campus Ciudad de México 
Ana Laura Gutiérrez Banegas 
Instituto Tecnológico Autónomo de México 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, Campus Ciudad de México 
Revisión técnica: 
Guadalupe Martínez Hernández 
Departamento de Ciencias Básicas 
División Ciencias Básicas e Ingeniería 
Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco 
 
MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID 
NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO 
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI 
SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO 
Gerente de producto: Javier Reyes Martínez 
Supervisor de edición: Felipe Hernández Carrasco 
Supervisor de producción: Zeferino García García 
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS 
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. 
 
DERECHOS RESERVADOS © 2003, respecto a la primera edición por 
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V. 
A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. 
Cedro Núm. 512, Col. Atlampa 
Delegación Cuauhtémoc 
06450 México, D. F. 
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 
ISBN 970-10-3904-1 
6789012345 
Impreso en México 
09876531024 
Printed in México 
Este libro se terminó de imprimir y encuadernar 
en el mes de septiembre de 2005 
en Impresora y Encuadernadora 
Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo 244; 
09830 México, D.F. 
 
VI CONTENIDO 
CAPÍTULO 4 
CAPÍTULO 5 
CAPÍTULO 6 
CAPÍTULO 7 
Problemas resueltos 72 
Problemas propuestos 88 
Soluciones 111 
Polinomios 127 
4.1 Introducción 127 
4.2 Polinomio de una variable 127 
4.3 Ecuaciones algebraicas 127 
4.4 Desigualdades algebraicas 129 
4.5 Sistemas de ecuaciones algebraicas 130 
Problemas resueltos 131 
Problemas propuestos 139 
Soluciones 152 
Funciones potencia, exponencial 
y logarítmica 167 
5.1 Introducción 167 
5.2 Función de potencia 167 
5.3 Ecuaciones y desigualdades con radicales 168 
5.4 Función exponencial 170 
5.5 Ecuaciones y desigualdades exponenciales 171 
5.6 Función logarítmica 172 
5.7 Logaritmos 172 
5.8 Ecuaciones y desigualdades logarítmicas 173 
Problemas resueltos 175 
Problemas propuestos 184 
Soluciones 201 
Sucesiones 219 
6.1 Introducción 219 
6.2 Definición de una sucesión 219 
6.3 Sucesiones y sus propiedades 221 
6.4 Inducción matemática 223 
6.5 Elementos de la teoría de conteo 224 
6.6 Teorema del binomio 227 
6.7 Sucesión aritmética 230 
6.8 Sucesión geométrica 231 
Problemas resueltos 232 
Problemas propuestos 261 
Soluciones 289 
Funciones trigonométricas 303 
7.1 Introducción 303 
7.2 Definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas 303 
7.3 Identidades trigonométricas 307 
7.4 Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 311 
Problemas resueltos 315 
Problemas propuestos 345 
Soluciones 361 
CONTENIDO VIl 
CAPÍTULO 8 
CAPÍTULO 9 
CAPÍTULO 10 
CAPÍTULO 11 
CAPÍTULO 12 
Geometría analítica 385 
8.1 Introducción 385 
8.2 Recta 385 
8.3 Circunferencia 388 
8.4 Elipse 390 
8.5 Hipérbola 392 
8.6 Parábola 394 
Problemas resueltos 397 
Problemas propuestos 414 
Soluciones 420 
Introducción al cálculo diferencial 431 
9.1 Introducción 431 
9.2 Definiciones básicas 431 
9.3 Función compuesta 433 
9.4 Función inversa 433 
9.5 Límite de una función 435 
9.6 Continuidad 440 
9.7 Derivada de una función 442 
9.8 Extremos de una función 444 
9.9 Construcción de gráficas 447 
Problemas resueltos 449 
Problemas propuestos 466 
Soluciones 487 
Introducción al cálculo integral 503 
10.1 Introducción 503 
10.2 Integral indefinida 503 
10.3 Técnicas de integración 504 
10.4 La integral definida y sus aplicaciones 506 
Problemas resueltos 507 
Problemas propuestos 519 
Soluciones 525 
Introducción a la probabilidad 533 
11.1 Introducción 533 
11.2 Experimento aleatorio, espacio muestral, evento y espacios 
de probabilidad finitos 533 
11.3 Fundamentos axiomáticos de la teoría de probabilidades 535 
11.4 Regla multiplicativa y probabilidad condicional 536 
11.5 Eventos independientes 538 
11.6 Ensayos de Bernoulli 539 
11.7 Variables aleatorias 540 
11.8 Valor esperado y varianza de la variable aleatoria 541 
Problemas resueltos 542 
Problemas propuestos 552 
Soluciones 561 
Geometría plana 569 
12.1 Introducción 569 
12.2 Paralelas y polígonos 569 
12.3 Triángulos rectángulos 575 
VIII CONTENIDO 
CAPÍTULO 13 
 
12.4 Círculos 577 
12.5 Áreas 580 
Problemas resueltos 589 
Problemas propuestos 618 
Soluciones 629 
Geometría en el espacio 635 
13.1 Introducción 635 
13.2 Poliedro 635 
13.3 Prismas 636 
13.4 Pirámides 638 
13.5 Conos 641 
13.6 Cilindros 643 
13.7 Esfera 645 
Problemas resueltos 647 
Problemas propuestos 678 
Soluciones 684 
ÍNDICE ANALÍTICO 691 
Prólogo 
Nada hay más práctico que una buena teoría. 
EMMANUEL KANT 
Conocimientos sólidos en matemáticas permiten a los estudiantes un mejor desem-
peño en cursos más avanzados. Por ello, el presente libro surge como una respuesta 
a la necesidad de reforzar los conocimientos de precálculo. Los autores elaboramos 
este texto con base en la experiencia que hemos adquirido impartiendo cursos de 
matemáticas superiores. 
El contenido y el nivel del libro están orientados hacia estudiantes de cualquier 
especialidad que deseen reforzar, además, los conocimientos de áreas como álgebra, 
trigonometría, geometría analítica y análisis matemático. O bien, para aquellas per-
sonas que requieran una herramienta que les ayude en la presentación de exámenes 
de admisión en instituciones de educación superior. 
La obra no es de utilidad y apoyo sólo para los estudiantes, sino también para 
los profesores, ya que cuenta con amplia gama de ejercicios, desde los elementales 
hasta los de mayor grado de complejidad. 
El presente libro se ha preparado para un curso introductorio de matemáticas. 
Puede servir para dicho curso o como complemento de cualquier publicación com-
parable. Asimismo, es posible usarlo como complemento de textos y cursos de pre-
cálculo, lo mismo que para estudiar por cuenta propia. 
Empieza con un capítulo de lógica y teoría de conjuntos, al que le sigue uno 
sobre la teoría de los números reales y una revisión completa de álgebra. El tercer 
capítulo trata sobre las funciones lineales y cuadráticas, así como la solución de 
ecuaciones y desigualdades. De esta forma se conecta con otro capítulo sobre 
polinomios. En el quinto capítulose revisan las funciones trascendentales: funcio-
nes potencia, exponencial y logarítmica. Después viene un capítulo sobre sucesio-
nes. El séptimo capítulo contiene los principales conceptos de trigonometría y las 
funciones trigonométricas. En el capítulo subsecuente se analizan los principales 
conceptos de geometría analítica. El noveno y el décimo capítulos ofrecen elemen-
tos básicos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo once se explican los fun-
damentos de probabilidad. Los dos últimos capítulos presentan los conceptos y las 
definiciones básicas de geometría plana y del espacio. 
Cada capítulo empieza con una breve introducción, donde se exponen los te-
mas a tratar y la importancia de éstos en la vida real. Posteriormente se dan defini-
ciones, principios y teoremas, que vienen acompañados de ejemplos. A esto le si-
guen las secciones referentes a los problemas resueltos y propuestos. 
Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, ya que permi-
ten entender aquellos puntos sin cuya explicación el lector se "perdería", a la vez 
que constituyen una reafirmación de los conceptos básicos para lograr un aprendi-
zaje efectivo. Los problemas propuestos son útiles para ejercitar los conocimientos 
X PRÓLOGO 
adquiridos. Al final de cada capítulo se incluyen las aplicaciones en distintas áreas 
como son ingeniería, negocios, humanidades y ciencias sociales. 
Esperamos que este libro sea acogido con interés por las distintas instituciones 
de educación media superior y superior, así como que sea un recurso didáctico en el 
camino del aprendizaje y reforzamiento de las matemáticas. 
PlOTR WISNIEWSKI 
ANA LAURA GUTIÉRREZ 
Ciudad de México 
Julio de 2002 
Lógica simbólica 
y teoría de conjuntos 
 
 
La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el co-
rrecto razonamiento del erróneo. El razonamiento es un tipo especial de pensa-
miento en el cual se realizan inferencias; es decir, en el que se derivan conclusiones 
a partir de premisas. La lógica, al igual que las matemáticas, estudia las relaciones 
abstractas formales. Por ejemplo, "Todos los hombres son mortales. Sócrates es un 
hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal". En realidad no importa Sócrates ni los 
hombres ni su mortalidad. Lo que sí queremos es mostrar la relación entre las pro-
posiciones. 
 
 
EJEMPLO 1.1 
DEFINICIÓN 1.1 
Una proposición en lógica es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero 
no ambas cosas. La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma 
con base en otras proposiciones. 
Premisas Si soy presidente, entonces soy famoso. 
Yo no soy famoso. Conclusión 
Por tanto, no soy presidente. 
DEFINICIÓN 1.2 
Una proposición simple es aquella que no es posible descomponer en dos proposi-
ciones. Se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s... 
DEFINICIÓN 1.3 
Sea p una proposición, entonces ~p ("no p", "no es cierto que p") es la negación 
de p. 
1 
1.1 INTRODUCCIÓN 
1.2 PROPOSICIONES 
2 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
EJEMPLO 1.2 
EJEMPLO 1.3 
Determine si las siguientes proposiciones simples son verdaderas o falsas: 
1. 3 + 8 es mayor que 2 + 1 0 
Proposición falsa. 
2. Mario Vargas Llosa es un escritor peruano. 
Proposición verdadera. 
3. Es más fácil el estudio de la música que el de las matemáticas. 
No es proposición, pues no se puede establecer su veracidad. 
DEFINICIÓN 1.4 
Una proposición compuesta se forma relacionando dos o más proposiciones sim-
ples mediante conectivos lógicos como son: y, o, si... entonces..., si y sólo si, entre 
otros. 
Las siguientes definiciones son proposiciones compuestas: 
DEFINICIÓN 1.5 
Proposición conjuntiva Resulta de unir dos proposiciones mediante el conectivo 
conjunción (se lee como "p y q"). La conjunción es verdadera si 
ambas, p y q son verdaderas; en cualquier otro caso, es falsa. 
DEFINICIÓN 1.6 
Proposición disyuntiva Surge de unir dos proposiciones con el conectivo disyun-
ción (se lee como "p o q"). La disyunción, es verdadera si p, q o 
ambas son verdaderas, y es falsa sólo si p y q son falsas. 
DEFINICIÓN 1.7 
Proposición condicional Es el resultado de unir dos proposiciones mediante el 
conectivo condicional ("si p entonces q"), donde p es la hipótesis (o 
antecedente) y q es la conclusión (o consecuente). La proposición condicional es 
falsa si la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa. 
DEFINICIÓN 1.8 
Proposición bicondicional Es consecuencia de juntar dos proposiciones con el 
conectivo bicondicional ("p si y sólo si q"). Esta afirmación se considera 
verdadera precisamente cuando p y q poseen los mismos valores de verdad (es de-
cir, cuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas). 
Sea p: "Berlín es la capital de Alemania", y q: "Alemania es un país europeo". Construya 
las siguientes proposiciones: 
 
No es cierto que Berlín es la capital de Alemania 
Berlín es la capital de Alemania y Alemania es un país europeo 
Berlín es la capital de Alemania o Alemania es un país europeo 
Sólo Berlín es la capital de Alemania o sólo Alemania es un país europeo
Si Berlín es la capital de Alemania, entonces Alemania es un país europeo 
 Berlín es la capital de Alemania si y sólo si Alemania es un país europeo 
 
DEFINICIÓN 1.9 
Una tabla de verdad es una representación gráfica que sirve para determinar la 
verdad o falsedad de una proposición compuesta dada. En ella se presentan todos 
1.3 TABLAS DE VERDAD Y TAUTOLOGÍAS 
Tablas de verdad y tautologías 
los posibles valores de las proposiciones simples que la conforman. Se denotan con 
V las proposiciones verdaderas y con F las falsas. 
 
V V F V V V V 
V F F F V F F 
F V V F V V F 
F F V F F V V 
EJEMPLO 1.4 
DEFINICIÓN 1.10 
Una tautología es una proposición compuesta cuyos valores de verdad son verdade-
ros en todos los casos de la tabla de verdad. Si todos los valores de verdad son falsos, 
a la proposición se le llama contradicción. 
Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y determine si es una tauto-
logía o una contradicción: 
1. 
 
p q 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
Es una tautología. 
 
p q ~q 
V V F V F F 
V F V F V F 
F V F V F F 
F F V V F F 
Es una contradicción. 
TEOREMA 1.1 
Las leyes de la lógica son aquellas proposiciones que son tautologías. Sean p, q y r 
proposiciones. 
 
Principio de identidad: 
Propiedad idempotente: 
Ley de la doble negación: 
Razonamiento directo: 
Razonamiento indirecto: 
Ley del medio excluido: 
4 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
 
A una palabra o una frase que indique cuántos objetos cumplen con determinada 
propiedad se le llama cuantificador. 
Los cuantificadores se clasifican como: 
a) Existenciales: "existe", "algún", "por lo menos uno", entre otros. 
b) Universales: "para todo", "ninguno". 
 
 Proposición Negación 
Existencial (existe) 
Universal (para todo) 
 Algunos Ningún
 Ningún Algunos
 Todos Algunos no... 
 Algunos no... Todos 
EJEMPLO 1.5 Escriba la negación de cada uno de los siguientes enunciados: 
1. Todos los números son enteros. 
Negación: Algunos números no son enteros. 
2. Ninguno de mis compañeros es extranjero. 
Negación: Algunos de mis compañeros son extranjeros. 
 
La demostración formal de argumentos permite comprobar la validez o no validez 
de un argumento. Para la lógica matemática, la validez de un argumento no depen-
de de su contenido, sino exclusivamente de su forma. Para llevar a cabo las demos-
traciones se requiere que los argumentos adopten la forma de una proposición con-
dicional: 
 
DEFINICIÓN 1.11 
Una prueba es directa si, de todos los posibles casos en los que la hipótesis p es válida, se 
verifica que la conclusión q es verdadera y se obtiene de los pasos anteriores. 
 
Ley de transitividad: 
Ley de la contrapositiva: 
Silogismo disyuntivo: 
Ley de contradicción: 
Leyes de reducción: 
Leyes distributivas: 
Leyes asociativas:1.4 CUANTIFICADORES 
1.5 ARGUMENTOS LÓGICOS 
1.6 PRUEBA DIRECTA 
Conjuntos 5 
 
DEFINICIÓN 1.12 
Un contraejemplo es cuando se demuestra que la proposición es falsa dando un 
ejemplo donde la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa. 
 
DEFINICIÓN 1.13 
Como es equivalente a su contrapositiva, entonces se prueba directamente 
que 
 
 
EJEMPLO 1.6 
DEFINICIÓN 1.14 
En este tipo de pruebas se supone que la proposición que se quiere probar es falsa 
y que esto implica una contradicción. Es decir, es falsa. O sea, se cumple que 
Demuestre por contradicción que si se colocan 100 bolas en nueve cajas, alguna contiene 
12 o más bolas. 
SOLUCIÓN 
Sea p = 100 bolas en nueve cajas y q = al menos una caja contiene 12 bolas o más. 
Entonces 
~q = todas las cajas contienen cuando más 11 bolas 
 100 bolas en nueve cajas y cada una con 11 bolas; por tanto, tenemos 99 bolas, lo 
cual contradice la afirmación de que tenemos 100. 
 
 
EJEMPLO 1.7 
Un conjunto es una colección o lista de objetos bien definidos. Los objetos que 
conforman un conjunto se denominan elementos. Se acostumbra emplear letras 
mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas, para los elementos. 
Los siguientes son ejemplos de conjuntos: 
1. Un conjunto de todos los canales de TV abierta de la Ciudad de México. 
2. Un conjunto de los números primos entre 10 y 20. 
3. Un conjunto de las letras que forman la palabra Alemania. 
1.7 CONTRAEJEMPLO 
1.8 PRUEBA POR CONTRAPOSICIÓN 
(CONTRAPOSITIVA) 
1.9 PRUEBA POR CONTRADICCIÓN 
1.10 CONJUNTOS 
6 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
EJEMPLO 1.8 
EJEMPLO 1.9 
EJEMPLO 1.10 
EJEMPLO 1.11 
DEFINICIÓN 1.15 
Si A es un conjunto cualquiera y x es un elemento de dicho conjunto, la notación 
significa que "x pertenece o es elemento del conjunto A". Para denotar que x no es 
elemento de A, se escribe 
Para describir o definir un conjunto existen dos formas: 
i) Por enumeración, cuando se listan los elementos que constituyen el conjunto. 
ii) Por comprensión, cuando se proporciona la regla que identifica sus elementos. 
Describa el conjunto: 
E = {todos los números naturales que son múltiplos de 3}, por enumeración y por compren-
sión: 
1. Por enumeración: E = {3, 6, 9, 12, . . . ) 
2. Por comprensión: E = 
DEFINICIÓN 1.16 
El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como, 
DEFINICIÓN 1.17 
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Un conjunto A es subconjunto de un conjun-
to B si todo elemento de A es un elemento de B. Se denota por 
Observaciones: 
i) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. 
ii) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. 
DEFINICIÓN 1.18 
Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio de 5, si B tiene al menos un 
elemento más que el conjunto A. Se denota como 
Sean A = {l, 2, 3} y B = {l, 2, 3, 4}. Como todos los elementos de A son elementos de B y B 
tiene un elemento más que A, entonces se establece que (“A es un subconjunto propio 
de B"). 
DEFINICIÓN 1.19 
Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo 
elemento de B es elemento de A. 
Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 1, 2}, entonces A = B. 
DEFINICIÓN 1.20 
Se le llama conjunto universo a aquel que contiene todos los elementos que intere-
san en una situación determinada. Se denota usualmente con U. 
Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 6, 8}, C - {5, 7, 9} son los conjuntos que interesan, entonces el 
conjunto universo es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
EJEMPLO 1.12 
Diagramas de Venn-Euler 7 
1.10.1 Operaciones entre conjuntos 
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. 
DEFINICIÓN 1.21 
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en 
A o en B o en ambos. Es decir, 
DEFINICIÓN 1.22 
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que 
están en A y en B. Esto es, 
DEFINICIÓN 1.23 
Si entonces A y B son disjuntos (mutuamente excluyentes). 
DEFINICIÓN 1.24 
La diferencia entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A, pero 
no en B. Es decir, 
DEFINICIÓN 1.25 
El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los elementos de U que no 
están en A. Entonces, Ac = U-A. 
DEFINICIÓN 1.26 
La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están 
en A o en B, pero no en ambos. Es decir, 
DEFINICIÓN 1.27 
Dos conjuntos A y B son comparables si son no comparables si 
hay un elemento de A que no esté en B y viceversa. 
Dados U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g},C = {i, j, k}, 
encuentre los siguientes conjuntos: 
 
 
Los diagramas de Venn-Euler ofrecen un método gráfico para representar los con-
juntos y sus relaciones. Los siguientes diagramas de Venn-Euler ilustran las opera-
ciones analizadas en el apartado 1.10.1. 
1.11 DIAGRAMAS DE VENN-EULER 
8 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
 
 
A y B son comparables Ay Bno son comparables 
1.12 LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
Leyes de idempotencia: 
Leyes asociativas: 
Leyes conmutativas: 
Leyes distributivas: 
Leyes de identidad: 
Leyes de complemento: 
Leyes de De Morgan: 
Cardinalidad 9 
 
DEFINICIÓN 1.28 
La cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos distintos que contiene. 
Esto lo denotaremos como n(A). 
DEFINICIÓN 1.29 
Un conjunto A es finito si su cardinalidad es un número natural determinado. Un 
conjunto A es infinito si el proceso de contar sus elementos no termina. 
DEFINICIÓN 1.30 
Si A es un conjunto, entonces el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se 
denomina conjunto potencia de A, el cual se denota por P(A). 
TEOREMA 1.2 
Si A es un conjunto con cardinalidad n(A), entonces P(A), el conjunto potencia de A, 
tendrá 2n (A) elementos. 
EJEMPLO 1.13 
EJEMPLO 1.14 
TEOREMA 1.3 
Sean A, B y C conjuntos arbitrarios finitos y n{A), n(B), n(C), las cardinalidades res-
pectivas; entonces se satisfacen las siguientes fórmulas: 
 
Sea el conjunto K = [a, b, c], entonces n(K) = 3. Se deduce también que el número de 
subconjuntos que se llegarían a formar son 23 = 8, siendo el conjunto potencia: 
 
Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8), C = {1, 3, 5); determine 
SOLUCIÓN 
Para ello, se determinan las cardinalidades de cada conjunto: 
 
Si se usan las fórmulas del teorema 1.3, obtendremos: 
 
1.13 CARDINALIDAD 
10 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
1.1 Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: 
 
SOLUCIÓN 
a) 
 
p q ~P 
V V F V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
 
p q 
V V V V V 
V F V F V 
F V V F V 
F F F F F 
 
P q ~p 
V V F V V 
V F F F F 
F V V V F 
F F V V F 
 
P 1 
V V V V V V V 
V F F F V F V 
F V F V F F V 
F F V V V V V 
Problemas resueltos 
Problemas resueltos 11 
 
V V F F V V V V V 
V F F V F V F F V 
F V V F F F V F V 
F F V V V V V V V 
V V F F V F V
V F F V F F V 
F V V F V F V 
F F V V V V V
V V F F V V V
V F F V F F V 
F V V F V V V 
F F V V V V V
Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías: 1.2 
SOLUCIÓN
Por tanto, es una tautología. 
Sí es una tautología. 
Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: 1.3 
a) Todos los reptiles son venenosos.
b) Algunas noticias son deprimentes. 
c) Ningún mexicano es exitoso. 
SOLUCIÓN
a) Algunos reptiles no son venenosos.
b) Ninguna noticia es deprimente. 
c) Algunos mexicanos son exitosos. 
¿Es verdadera la proposición 1.4 
SOLUCIÓN
La proposición es verdadera. 
12 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría efe conjuntos 
 
1.5 
1.6 
¿Es verdadera la proposición 
SOLUCIÓN 
 
Para además, la función cuadrática siempre toma valores positivos. 
Entonces la proposición es verdadera si (0, 4); y falsa si 
Encuentre que para los conjuntos arbitrarios A, B y C se cumple: 
 
SOLUCIÓN 
a) Se debe comprobar que para cualquier x, 
 
Para ello:con lo que queda demostrado. 
b) Se debe llegar a que para cualquier x: 
 
Entonces: 
 
lo cual significa que la igualdad b) es verdadera. 
c) Para afirmar que es su 
ficiente comprobar que la proposición es una tau- 
tología. 
Construyendo la tabla de verdad, se obtiene: 
 
p q 
V V V V V V 
V F F F F V 
F V V F V V 
F F V F V V 
De esta manera se concluye que la igualdad c) es verdadera. 
d) Si: 
 
para cualquier x: 
lo cual significa que la igualdad d) es verdadera. 
 
13 Problemas resueltos
e) Con: 
se comprueba que para cualquier x: 
lo cual quiere decir que la igualdad es verdadera. 
f) Se tiene que: 
se ha concluido que para cualquier x: 
son iguales. es decir, los conjuntos 
Sean A = Encuentre: 1.7 
SOLUCIÓN
Como 
por ello 
Como 
luego 
Sean, A = 1.8 
Demuestre que 
SOLUCIÓN
Para el conjunto A: 
Para el conjunto B: 
Se tiene que: 
14 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
Para el conjunto C: 
Finalmente: 
Sean A = 1.9 
SOLUCIÓN
Para el conjunto A, que representa una función cuadrática con valores no positivos, 
debe ser: 
Para el conjunto B: 
Entonces, 
1.10 Dado K = {1, 2, 3, 4}, calcule el número de subconjuntos que se pueden 
formar e indique también cuáles son. 
SOLUCIÓN
Se concluye que n{K) = 4; por tanto, el número de subconjuntos es 24 = 16. Con esto 
se determina el conjunto potencia: 
Con el diagrama de Venn-Euler, determine las cardinalidades siguientes: 1.11 
SOLUCIÓN 
a) n{A) = 31 
 
b) n(B) = 35 
c) n(C) = 40 
d) = 15 
e) n(B - C) 
f) n =16 
g) n( -0 = 5 
Problemas resueltos 15 
16 CAPITULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
1.12 En una pequeña ciudad árabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 son 
musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcule el número de habitan-
tes que: 
a) son mujeres 
b) son mujeres musulmanes 
c) son mujeres no musulmanes 
SOLUCIÓN 
Sean los conjuntos: 
U = {habitantes de la ciudad árabe} 
A = {hombres} 
B = {musulmanes} 
 = {hombres musulmanes} 
Se determinan las cardinalidades y se dibuja el diagrama de Venn-Euler corres-
pondiente: 
n(U) = 300 
n(A) = 110 
n(B) = 120 
n( ) = 50 
 
De acuerdo con el diagrama: 
a) son mujeres: n(Ac) = 190 
b) son mujeres musulmanes: = 70 
c) son mujeres no musulmanes: = 120 
1.13 Se realizó una encuesta a 1 600 individuos entre los 20 y los 35 años de 
edad para conocer sus preferencias musicales. Los resultados son los 
siguientes: 
801 Jazz 
900 Rock pop 
752 Heavy metal 
435 Jazz y rock pop 
398 Jazz y heavy metal 
412 Rock pop y heavy metal 
310 Jazz, rock pop y heavy metal 
Indique el número de aquellos que: 
a) Prefieren un solo género musical 
b) Prefieren exactamente dos géneros musicales 
c) Prefieren al menos un género musical 
d) Prefieren cuando mucho dos géneros musicales 
SOLUCIÓN 
Sean: 
U = {personas entre los 20 y los 35 años de edad} 
J = {personas que prefieren jazz} 
P = {personas que prefieren el rock pop} 
M = {personas que prefieren el heavy metal} 
 
Problemas resueltos 17 
Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler co-
rrespondiente: 
n(U) = l 600 
n(J) = 801 
n(P) = 900 
n(M) = 752 
 
 
1.14 
Resolviendo: 
a) Prefieren un solo género musical: 893. 
b) Prefieren exactamente dos géneros musicales: 315. 
c) Prefieren al menos un género musical: 1 518. 
d) Prefieren cuando mucho dos géneros musicales: 1 290. 
Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus desti-
nos favoritos en Europa. Los resultados son los siguientes: 
57 prefieren España 
77 prefieren Alemania 
45 prefieren España y Alemania 
10 prefieren España, pero no Alemania ni Polonia 
28 prefieren España y Alemania, pero no Polonia 
90 prefieren otros países 
19 prefieren Alemania y Polonia 
Calcule el número de clientes que prefieren como destino turístico a Polonia. 
SOLUCIÓN 
Sean: 
U = {clientes de una agencia de viajes) 
E = (clientes que prefieren viajar a España) 
A = {clientes que prefieren viajar a Alemania) 
P = {clientes que prefieren viajar a Polonia) 
Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler corres-
pondiente: 
n(U) = 180 
n(E) = 57 
n(A) = 77 
n( = 45 
 
10 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
Resolviendo: 
Clientes que prefieren como destino turístico a Polonia: n(P) = 22. 
 
1.15 Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: 
 
 
1.16 Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías: 
 
 
1.17 ¿Son verdaderas las siguientes proposiciones?: 
 
 
1.18 La proposición 
sea verdadera? 
 
1.19 Encuentre el número M N tal que la proposición 
 
1.20 
1.21 Demuestre que para los conjuntos arbitrarios A y B: 
 
Problemas propuestos 
es falsa. 
sea verdadera. 
Escriba la negación de la siguiente 
 
Problemas propuestos 19 
 
1.22 Indique que para los conjuntos arbitrarios A, B y C: 
 
1.23 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Encuentra las condiciones que deben cumplir 
para que se verifiquen las relaciones: 
 
1.24 Sean A el conjunto de los números en forma el conjunto de los 
números pares; esto es, A = {1, 5, 9, ... } y B = {2, 4, 6, ...). ¿Son A y B mutuamente 
excluyentes? 
1.25 Sean A el conjunto de los números naturales divisibles entre 6, B el conjunto de los 
números naturales divisibles entre 2 y C el conjunto de los números naturales 
divisibles entre 5. Encuentre: 
 
1.26 Sean A el conjunto de los números de la forma el conjunto de los 
números de la forma Encuentre el conjunto B — A. 
1.27 Sean A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma 
 Determine 
1.28 Sea A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma 
. Encuentre 
1.29 Sean A el conjunto de los números de la forma el conjunto de los 
números pares. ¿Qué relación hay entre A y B? 
1.30 Determine en qué condiciones son verdaderas las igualdades: 
 
20 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
Sean Calcule 1.31 
Encuentre Sean 1.32 
Sean Calcule 1.33 
Determine 1.34 Sean 
Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Verifique si es verdad que: 1.35 
Encuentre: 1.36 Sean los conjuntos 
1.37 Sean Realice las siguientes 
operaciones: 
Sean 1.38 Encuentre: 
1.39 Calcule B - A si se sabe que 
1.40 Encuentre B -A si se sabe que 
1.41 Sean 
Determine B-A. 
1.42 Dé con el conjunto para los conjuntos: 
1.43 Encuentre el conjunto 
Problemas propuestos 21 
1.44 Halle el conjunto (A u B) n C, si: 
 
1.45 Indique el conjunto si: 
 
1.46 Considere el conj unto universa! U y tres subconj untos del mismo, A, B y C, de acuerdo 
con la siguiente figura: 
 
 
1.47 
1.48 
1.49 
Dibuje: 
De una encuesta aplicada a 60 estudiantes de una universidad, se supo que 9 son de 
origen latino, 36 son de maestría y 3 son de maestría de origen latino. Determine el 
número de: 
a) Estudiantes de maestría y que son de origen latino o satisfacen ambas caracte- 
rísticas. 
b) Estudiantes de maestría y que no son de origen latino. 
c) Estudiantes que ya tienen maestría y que son de origen latino. 
En una batalla combatieron 270 soldados. El número de los que perdieron un ojo, 
una pierna o un brazo es el siguiente: 
90 perdieron un ojo 
90 perdieron un brazo 
90 perdieron una pierna 
30 perdieron un ojo y un brazo 
30 perdieron un ojo y una pierna 
30 perdieron un brazo y una pierna 
10 perdieron un ojo, un brazo y una pierna 
Determine el número de soldados que: 
a) Perdieron al menos dos partes de su cuerpo 
b) Perdieron exactamente una parte de su cuerpo 
c) Están ilesos 
En una investigación de mercado para conocer qué periódico prefieren leer en el 
Distrito Federal, se realizó una encuesta a 145 adultos; los resultados son los si-
guientes: 
59 leen El Universal 
83 leen Reforma22 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
1.50 
1.51 
1.52 
21 leen Reforma y Excélsior, pero no leen El Universal 
15 leen Excélsior y El Universal, pero no Reforma 
12 leen Reforma y El Universal, pero no Excélsior 
13 leen exclusivamente Excélsior 
41 leen Reforma y Excélsior 
Determine el número de personas que: 
a) Leen sólo el periódico Reforma. 
b) Leen otros periódicos diferentes a los mencionados. 
Se revisó el uso de suelo de 48 edificios de la colonia Del Valle. Los usos que tienen 
dichos edificios son: 
35 son para oficinas 
8 son de uso comercial y para oficinas, pero no habitacional 
6 son exclusivos de uso habitacional 
5 son únicamente para oficinas 
16 no son de uso habitacional 
10 tienen los tres usos de suelo 
Todos tienen al menos un uso de suelo 
Determine el número de edificios que: 
a) Exclusivamente tienen uso de suelo comercial. 
b) Tienen uso de suelo comercial y habitacional, pero no de oficinas. 
c) Tienen uso de suelo habitacional y de oficinas, pero no comercial. 
En un concurso de pasteles participaron 70 personas con sus respectivas creacio-
nes. Los principales sabores de dichos pasteles fueron: 
32 de chocolate 
10 sólo de chocolate 
12 de chocolate y fresa 
15 de fresa y nuez 
5 de fresa y nuez, pero no de chocolate 
13 sólo de nuez 
12 no eran de sabor de chocolate, fresa o nuez 
Calcule el número de pasteles que: 
a) Eran sólo de fresa 
b) Eran de nuez 
c) Tenían los tres sabores 
Se hizo una encuesta a 150 diputados para conocer su aprobación a propuestas del 
Poder Ejecutivo: 
63 aprobarán la ley indígena 
66 aprobarán la reforma fiscal 
65 aprobarán la reforma educativa 
22 aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal 
25 aprobarán la reforma fiscal y la reforma educativa 
23 aprobarán la ley indígena y la reforma educativa 
10 aprobarán las tres. 
Indique el número de diputados que: 
a) Aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal, pero no la reforma educativa. 
b) No aprobarán la ley indígena, pero sí la reforma fiscal y la reforma educativa. 
c) No aprobarán ninguna de las tres propuestas. 
Problemas propuestos 23 
1.53 
1.54 
1.55 
En una empresa se realizó un estudio para conocer el sexo, el estado civil y el nivel 
de estudios de los empleados. Los resultados son los siguientes: 
317 son hombres 316 
son casados 
25 son mujeres casadas sin profesión 72 
son hombres casados sin profesión 83 son 
hombres profesionistas y solteros 15 son 
mujeres profesionistas y solteras 125 son 
hombres casados y profesionistas 49 son 
mujeres solteras sin profesión 
Calcule el número de: 
a) Hombres solteros sin profesión. 
b) Mujeres profesionistas casadas. 
c) Profesionistas. 
Un grupo de 700 alemanes visita México. Las rutas turísticas que realizaron fueron: 
379 viajaron a Cancún 
419 viajaron a Acapulco 
260 viajaron a Los Cabos 
102 fueron a Los Cabos, pero no a Cancún ni a Acapulco 
92 fueron a Acapulco, pero no a Cancún ni a Los Cabos 
110 fueron a Cancún, pero no a Acapulco ni a Los Cabos 
80 visitaron Cancún y Los Cabos 
60 visitaron los tres destinos 
Encuentre el número de alemanes que visitaron: 
a) Exactamente uno de los lugares. 
b) Al menos un destino. 
c) Cuando mucho dos playas. 
d) A lo más un lugar. 
Se hizo una entrevista a 885 personas sobre su equipo favorito de fútbol soccer. Se 
encontró lo siguiente: 
600 siguen al Guadalajara 
400 apoyan al América 
620 prefieren a Pumas 
195 apoyan al Guadalajara y al América 
190 apoyan al América y a Pumas 
400 apoyan al Guadalajara y a Pumas 
Si todos los entrevistados apoyan a uno de estos tres equipos, determine el número 
de aficionados que apoyan a los tres equipos. 
24 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
1.15 a) 
 
p q ~P ~q 
V V F F F 
V F F V V 
F V V F V 
F F V V V 
b) 
 
p q ~P 
V V F V F F 
V F F F F F 
F V V F F F 
F F V F F F 
c) 
 
p q ~P ~q 
V V F F V F V V V 
V F F V F F F F V 
F V V F F F F F V 
F F V V F V V V V 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
1.21 
1.22 
1.23 
Se deja como ejercicio al lector. 
a) Falso 
b) Verdadero 
c) Falso 
d) Falso 
<?) Verdadero 
/) Verdadero 
g) Falso 
h) Verdadero 
Debe ser Por 
ejemplo, M = 10. 
 
Se deja como ejercicio al lector. 
Se deja como ejercicio al lector. 
 
Soluciones 
Soluciones 25 
 
1.24 Sí. 
1.25 a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
8) 
h) 
i) 
j
1.26 
1.27 
1.28 
1.29 
1.30 
1.31 
1.32 
1.33 
1.34 
Indicación: Se debe demostrar que: 1.35 
Para esto es suficiente comprobar que la siguiente proposición 
es una tautología. 
Sean A 1.36 
Sean A 1.37 
26 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos 
 
 
1.46 
1.47 
1.48 
1.49 
1.50 
1.51 
1.52 
1.53 
1.54 
1.55 
Se deja como ejercicio al 
lector. 
a) 42 
b) 33 
c) 18 
a) 70 soldados 
b) 200 soldados 
c) 80 soldados 
a) 30 personas 
b) 22 personas 
a) 3 edificios 
b) 4 edificios 
c) 12 edificios 
a) 8 pasteles 
b) 43 pasteles 
c) 10 pasteles 
a) 12 
b) 13 
c) 16 
a) 37 
b) 94 
c) 317 
a) 304 
b) 287 
c) 651 
d) 353 
50 aficionados 
1.38 
1.39 
1.40 
1.41 
1.42 
1.43 
1.44 
1.45 
Teoría de los números 
reales 
 
 
En este capítulo se desarrolla la teoría de los números reales. Se presentan, también, 
propiedades y leyes de los números, que proporcionan las herramientas básicas ne-
cesarias para el entendimiento de ciertos conceptos algebraicos. 
 
 
EJEMPLO 2.1 
El conjunto de los números reales se establece como resultado de un proceso 
gradual de aplicación de los conjuntos que se reseñan a continuación: 
i) Números naturales: que se utilizan para contar y se denomi- 
nan también números enteros positivos. 
ii) Números enteros: es el conjunto de todos los 
números naturales con sus inversos (negativos) y el cero. 
 iii) Números racionales: es el conjunto formado por todos los números que se 
pueden escribir en la forma donde p y q son enteros y Es decir, los 
números racionales tienen representaciones decimales periódicas (repetitivas). 
Por ejemplo: 
iv) Números irracionales:" es el conjunto de los números que no pueden ser ex-
presados en la forma. Es decir, estos números tienen representaciones no 
periódicas infinitas. Por ejemplo: 
v) Números reales: es la unión de los números racionales e irracionales. 
Demostremos que 
Supongamos que es un número racional; esto es donde no 
tienen divisores comunes. 
Entonces, Esto quiere decir que p2 es par y por consiguiente p es par: 
esto es, p =2K para algún número natural K. Por lo tanto, 4K2 - 2q2 
2K2 = q2 
27 
 
2.1 INTRODUCCIÓN 
2.2 OPERACIONES ARITMÉTICAS EN EL 
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 
28 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales 
Lo anterior muestra que q2 es par y por lo tanto q también lo es. Entonces, son pares tanto 
p como q en contradicción con lo supuesto de que p y q no tienen divisores comunes. Esta 
contradicción nos demuestra que no es racional. 
Relación entre los conjuntos de números: 
 
Las cuatro operaciones fundamentales del álgebra y la aritmética son: 
i) Suma La suma, o adición, de dos números a y b se representa por a + b. Por 
ejemplo, 3 más 2 igual a 5 se escribe 3 + 2 = 5 
ii) Resta La resta, sustracción o diferencia, de un número b de otro a se representa 
por a - b. Por ejemplo, 6 menos 2 igual a 4 se escribe 6 - 2 = 4 
iii) Multiplicación El producto de dos números a y b es otro número c y se repre-
senta como a × b = c. Por ejemplo, 3 × 2 = (3)(2) = 6 
iv) División Cuando se divide un número a entre otro b distinto de cero, el co-
ciente se representa como a -s- b, a : b o en donde a recibe el nombre de 
dividendo y b, el de divisor. La expresión también se denomina fracción, 
siendo a el numerador y b el denominador. 
Propiedades de los números reales 
Sean a, b, 
i) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a 
ii) Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = baiií) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c - a + (b + c) 
iv) Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab)c = a(bc) 
v) Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac 
vi) Propiedad del neutro aditivo: a + 0 = a 
vii) Propiedad del inverso aditivo: a + (-a) = 0 
viii) Propiedad del neutro multiplicativo: a x 1 = a 
ix) Propiedad del inverso multiplicativo: 
Leyes de los signos de la multiplicación 
i) El producto de dos números del mismo signo es positivo. 
ii) El producto de dos números de signo contrario es negativo. 
Exponentes y radicales 29 
Orden de las operaciones 
EJEMPLO 2.2 
 
• Efectuar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 
• Efectuar sumas y restas de izquierda a derecha. 
• Si hay varios símbolos de agrupamiento —como paréntesis (), corchetes [ ] o 
llaves {}—, uno dentro de otro, primero se efectúan las operaciones de los sím 
bolos interiores y luego los exteriores. 
Aplicando las propiedades de los números reales, simplifique: 
 
 
TEOREMA 2.1 
Para toda y para toda m, n racionales, 
 
DEFINICIÓN 2.1 
 
EJEMPLO 2.3 simplifique: 
 
2.3 EXPONENTES Y RADICALES 
30 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
EJEMPLO 2.4 Represente como potencia de 2 las expresiones siguientes: 
Aplicando la regla que, se tiene 
Aplicando la propiedad d) del teorema 2.1, se obtiene 
Aplicando el teorema 2.1, queda 
EJEMPLO 2.5 Simplifique: 
Aplicando las propiedades de los exponentes (el teorema 2.1), se tiene: 
Aplicando la propiedad c) y e) del teorema 2.1, se obtiene: 
2.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
DEFINICIÓN 2.2 
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras que representan 
números (variables) cualesquiera. 
Por ejemplo, 
DEFINICIÓN 2.3 
Un polinomio es una expresión algebraica de más de un término. Por ejemplo: 
Expresiones algebraicas 31 
EJEMPLO 2.6 
EJEMPLO 2.7 
EJEMPLO 2.8 
 
a) 7x3y4 es un monomio, ya que sólo consta de un término. 
b) 2x + 3y es llamado binomio, por constar de dos términos. 
c) 3x2 + 4x - 2 recibe el nombre de trinomio, pues es una expresión algebraica de 
tres términos. 
DEFINICIÓN 2.4 
Términos semejantes son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por 
ejemplo, -2xy, 4xy son términos semejantes, mientras que ab2,3a2b3 no lo son. 
Operaciones con expresiones algebraicas 
1. Suma Se efectúa agrupando los términos semejantes. 
Sume: 
 
2. Resta Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el 
inverso aditivo del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos 
sus términos. 
Reste: 
 
3. Multiplicación Hay tres casos: 
i) Producto de dos o más monomios. Para realizarlo se aplican las leyes de los 
exponentes del teorema 2.1. 
ii) Producto de un monomio por un polinomio. Se efectúa multiplicando el 
monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio y sumando 
los productos. 
iii) Producto de un polinomio por un polinomio. Se multiplican todos y cada 
uno de los términos de un polinomio por todos y cada uno de los términos 
del otro y sumando los productos obtenidos. 
Multiplique: 
a) 
Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, queda: 
 
De acuerdo con las leyes de los signos y los exponentes del teorema 2.1 se deduce: 
 
b) 
Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene: 
 
32 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
EJEMPLO 2.9 
c) 
Se aplica la propiedad distributiva: 
 
Utilizando las leyes de los signos y los exponentes del teorema 2.1 se logra: 
 
Sumando términos semejantes: 
4. División Hay dos casos: 
i) Cociente de dos monomios. Se efectúa determinando el cociente de los 
coeficientes y aplicando el teorema 2.1 para los factores literales. 
ii) Cociente de dos polinomios. Se logra con los siguientes pasos: 
a) Se ordenan los términos de los polinomios en orden decreciente por 
sus exponentes. 
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, 
con lo que resulta el primer término del cociente. 
c) Se multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del 
divisor y se resta del dividendo, con lo que se obtiene un nuevo divi 
dendo. 
d) Con el dividendo de c) se repiten las operaciones de los pasos b) y c) 
hasta obtener un residuo de grado menor que el del divisor. 
e) El resultado se expresa como
 
cociente + 
Divida: 
1. 
2. 
Por tanto 
 
Productos notables 
Son productos de polinomios que aparecen frecuentemente y conviene recordar 
para hacer más rápida y segura la manipulación algebraica: 
Expresiones algebraicas 33 
 
 
EJEMPLO 2.10 
EJEMPLO 2.11 
Factorización 
Los factores de una expresión algebraica dada son dos o más expresiones algebraicas 
que, multiplicadas entre sí, originan la primera. 
Para factorizar se utilizan las fórmulas i-ix del apartado anterior. De la misma 
manera en que leídas de izquierda a derecha dan el producto, cuando esto sucede de 
derecha a izquierda constituyen la factorización. 
Desarrolle: 
1. 
Aplicando el producto notable ii: 
 
2. (5a-9)2 
Aplicando el producto notable iii: 
(5a-9)2 = (5a)2-2(5a)(7)+(9)2 =25a2-90a + 81 
3. (x-1)3 
Aplicando el producto notable vii: 
(x-13) =x3 -3x2 +3x-1 
4. 
Aplicando el producto notable i: 
 
5. (2x + l)(4x2-2x + l) 
Aplicando el producto notable ix: 
(2x + 1)(4x2 -2x + 1)=(2x)3 +13 =8x3 +1 
Factorice: 
1. 8x3 y6 - z3 
Aplicando la fórmula viii: 
8x3y6 - z 3 = (2xy2 )3 - (z)3 = (2xy2 - z)(4x2y4 + 2xy2z + z2) 
2. 2ax - 4bx + ay- 2by 
Obteniendo el factor común por parejas, se obtiene: 
(2ax-4bx)+(ay-2by) = 2x(a-2b)+ y(a-2b) = (a-2b)(2x + y) 
34 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
Obteniendo el factor común por parejas, se obtiene: 
Aplicando la fórmula i: 
2.5 VALOR ABSOLUTO 
DEFINICIÓN 2.5 
El valor absoluto de a, denotado por se define como: 
Geométricamente, el valor absoluto de a es la distancia del origen al punto a. 
EJEMPLO 2.12 Calcule el valor absoluto de -5 y 5. 
DEFINICIÓN 2.6 
Una desigualdad denota que una cantidad real o expresión es mayor o menor que 
otra. 
Signos de desigualdad. 
1. a > b significa que "a mayor que b" o, bien, que a - b es un número positivo. 
2. a < b significa que "a menor que b" o, bien, que a - b es un número negativo. 
3. a > b significa que "« mayor o igual que b" o, bien, que a - b es un número no 
negativo. 
4. a < b significa que "a menor o igual que V o, bien, que a - b es un número no 
positivo. 
EJEMPLO 2.13 Representación en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica de des-
igualdades: 
Desigualdad Intervalo
Problemas resueltos 35 
 
2.6 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 
entonces: Sea a, b,c 
(aplica también para 
(aplica también para 
(desigualdad triangular) 
Problemas resueltos 
Realice las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.1
SOLUCIÓN 
Denotando con x la expresión: 
Efectúe las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.2
36 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
SOLUCIÓN 
Denotando con x la expresión: 
Lleve a cabo las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.3 
SOLUCIÓN 
La simplificación debe ser 34.06-33.81 = 
Denotando con x la expresión: 
Calcule el número cuyo 4% es igual a: 2.4 
SOLUCIÓN 
Denotando con x al número buscado, el valor de la expresión es igual a 
entonces: 
Calcule: 2.5 
Problemas resueltos 37 
 
SOLUCIÓN
Realice la siguiente operación: 2.6 
SOLUCIÓN 
Se tiene que: 
Simplifique la expresión: 2.7 
SOLUCIÓN
Se tiene que: 
Realice la operación: 2.8 
SOLUCIÓN
Se tiene que: 
38 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
Simplifique la expresión: 2.9 
SOLUCIÓN 
Se tiene que: 
Simplifique la expresión: 2.10 
SOLUCIÓN 
Se tiene que: 
2.11 Simplifique la expresión w y calcule el valor para dados a, b. 
40 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
Demuestre que la suma es un número natural. 2.15SOLUCIÓN 
Se puede observar que: 
En forma parecida, entonces: 
2.16 Factorice: 
SOLUCIÓN 
2.17 Calcule el valor de las siguientes expresiones para x dado: 
SOLUCIÓN 
Sea 
Se puede observar que 
 
Problemas resueltos 41 
 
Entonces: 
2.18 Demuestre que si a + b + c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc. 
SOLUCIÓN 
Se tiene que: 
2.19 Si se sabe que calcule x4 + y4 +z4 
SOLUCIÓN 
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad x + y + z = 0, se obtiene 
Otra vez, elevando al cuadrado la última igualdad se obtiene: 
Ahora, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad 
finalmente, se obtiene que 
Encuentre el siguiente conjunto 2.20 
SOLUCIÓN 
Se deben ver 4 casos: 
En cada uno se obtiene un subconjunto; la suma de éstos es un cuadrado con 
vértices (-1, 0); (0,1); (1, 0); (0, -1). 
 
 
44 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
 
Calcule el número cuyo: 2.23 
a) 5% es igual a 14 
b) 0.2% es igual a 
c) 128% es igual a 512 
d) p% ws igual a a.
2.24 Determine el número cuyo 1.31% es igual a: 
Indique el número cuyo 1.2% es igual a: 2.25 
Calcule: 2.26 
2.27 Multiplique: 
 
Problemas propuestos 45 
 
 
Demuestre que: 2.28 
2.29 Simplifique: 
 
 
48 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
Problemas propuestos 49 
 
2.32 Factorice: 
Demuestre que: 2.33 
Simplifique de tal manera que no aparezcan radicales en el denominador: 2.34 
 
 
52 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
 
2.44 Simplifique: 
Problemas propuestos 53 
 
2.45 Demuestre que para todos las siguientes relaciones son verdaderas: 
2.46 Demuestre la identidad: 
2.47 Resuelva las desigualdades: 
2.48 Calcule: 
2.49 Simplifique: 
 
Soluciones 55 
 
2.29 
2.30 
2.31 
2.32 
56 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
2.33 Se deja como ejercicio al lector. 
2.34 
2.35 
2.36 al 2.41 Se dejan como ejercicios al lector. 
Soluciones 57 
 
2.42 
2.43 
2.44 
2.45 Indicación. Se va a demostrar b viendo cuatro casos: 
En el caso 1 se tiene: 
En el caso 2 se tiene: 
En el caso 3 se tiene: 
, entonces 
En el caso 4 se tiene: 
De esto se concluye que la desigualdad b es verdadera para todos 
Se deja como ejercicio al lector. 2.46 
58 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales 
 
2.47 
2.48 
2.49 
Funciones lineales y 
cuadráticas 
 
 
Una ecuación es una proposición de igualdad entre dos expresiones algebraicas. 
Esto hace que la ecuación sea la herramienta más importante del álgebra, ya que en 
la resolución de problemas se involucran distintos tipos de ecuaciones. En el pre-
sente capítulo se revisa cuidadosamente la lógica de la resolución de ecuaciones. 
 
DEFINICIÓN 3.1 
Una relación es una correspondencia entre un conjunto de partida y otro conjunto 
llamado conjunto de llegada, de manera que a cada elemento del conjunto de parti-
da le corresponden uno o más elementos del conjunto de llegada. 
 
Nosotros estudiaremos relaciones entre conjuntos de números. 
DEFINICIÓN 3.2 
Una función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del 
conjunto de partida le corresponde uno y sólo un valor del conjunto de llegada. 
59 
 
3.1 INTRODUCCIÓN 
3.2 RELACIONES 
60 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
El conjunto de partida se llama conjunto de la variable independiente y el con-
junto de llegada se llama conjunto de la variable dependiente. 
DEFINICIÓN 3.3 
Se le llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que toma la 
variable independiente, x. El conjunto de todos los valores correspondientes de 
y =f(x), la variable dependiente, se conoce como rango o imagen. 
 
 
EJEMPLO 3.1 Indique dominio y rango (imagen) de las siguientes funciones: 
 
EJEMPLO 3.2 
 
El dominio está compuesto por todos los valores x que pueden ser sustituidos en la 
expresión entonces se requiere que 
 
DEFINICIÓN 3.4 
Si tomamos como conjunto de partida el conjunto de los números reales repre-
sentados por un eje horizontal y como conjunto de llegada también 
representados por un eje vertical, los puntos del plano P(x, y) tales que y = f(x) 
representan un lugar geométrico que llamaremos gráfica de la función y = f(x). 
Represente gráficamente la función 
 
Función lineal 61 
 
 
EJEMPLO 3.3 
DEFINICIÓN 3.5 
Si una función f(x) satisface que f(-x) = f(x), para todo número x de su dominio, 
entonces f(x) se denomina función par y su gráfica es simétrica respecto al eje y. Si 
una función/(x) satisface f(-x) = -f(x), para todo número x de su dominio, entonces 
f(x) se denomina función impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. 
Analice si las siguientes funciones son pares o impares. 
1. 
Por tanto, f(x) es par. 
2. 
Portanto, f(x) es impar. 
DEFINICIÓN 3.6 
Se dice que una función f(x) es creciente sobre un intervalo I si f(x1) <f(x2), siempre 
que x1 < x2 en I. Se considera que una función f(x) es decreciente sobre un intervalo 
I, si f(x1) > f(x2), siempre que x1 < x2 en I. 
DEFINICIÓN 3.7 
La función f(x) se conoce como periódica si existe un número positivo k, tal que 
f(x + k) = f(x) para todos los valores x. 
 
DEFINICIÓN 3.8 
La función y = f(x) definida por la ecuación y = ax + b, donde a y b son constantes y 
 recibe el nombre de función lineal. 
 Se sabe que la gráfica de la función lineal es una línea recta (no vertical), 
con pendiente a y ordenada al origen igual a b. 
 
DEFINICIÓN 3.9 
Un número c es un cero de una función y = f(x) si f(c) = 0. 
3.3 FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES 
3.4 FUNCIÓN LINEAL 
62 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
EJEMPLO 3.4 Demuestre que el valor de * es un cero de la función indicada: 
 
Se sustituye el valor de x en y: 
Por tanto, es un cero de la función. 
2. 
Se sustituye el valor de x en y. y Por 
tanto, x = -12 es un cero de la función. Observaciones: 
a) Un cero de la función y = f(x) es una solución o raíz de la ecuación y = f(x) = 0. 
b) Cuando se resuelve una ecuación, las soluciones o raíces que se determinan son los 
ceros de la función. 
c) La gráfica de y = f(x) cruza al eje x en cada cero de la función. 
 
 
EJEMPLO 3.5 
Para resolver una ecuación es necesario ejecutar en ella operaciones que produzcan 
ecuaciones equivalentes y más sencillas (dos ecuaciones son equivalentes si tienen 
el mismo conjunto de soluciones). Para ello se utilizan los siguientes teoremas: 
TEOREMA 3.1 
Propiedades de la igualdad. Si a,b, y a = b, entonces 
i) Propiedad de adición: a + c = b + c 
ii) Propiedad de sustracción: a-c-b-c 
iii) Propiedad de multiplicación: ac = bc, c ≠ 0 
iv) Propiedad de división: 
TEOREMA 3.2 
Si una ecuación se modifica utilizando cualquiera de las propiedades del teorema 
3.1, entonces la ecuación resultante es equivalente. 
Resuelva: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8 
Se suprimen los signos de agrupamiento: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8 
Se combinan los términos semejantes: 3x-4x + 10= 2x + 6-8 
-x + 10 = 2x-2 
Propiedad de sustracción: -x +10-10=2x- 2 - 1 0 
-x = 2x-12 
Propiedad de sustracción: -x – 2x = 2x - 12 - 2x 
-3x = -12 
3.5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES 
Ecuaciones y desigualdades lineales 63 
 
TEOREMA 3.3 
Cualquier ecuación que pueda expresarse en la forma ax + b = 0 recibe el nombre de 
ecuación lineal o ecuación de primer grado. Cualquier ecuación de esta forma, 
Con tiene siempre una sola solución, 
 
TEOREMA 3.4 
Propiedades de las desigualdades. Si entonces: 
i) a + c < b + c 
ii) a-c < b -c 
iii) ac < bc si c es positivo 
ac > bc si c es negativo 
Cuando se invierte el signo de cada desigualdad, cuando "<" se sustituye por 
y cuando ">" se hace por se cumplen propiedades parecidas. 
EJEMPLO 3.8 Resuelva y represente gráficamente 3(x-2)+ 2 < 4(x + 1) 
Se simplifican ambos miembros: 3x - 6 + 2 < 4x + 4 
3x - 4 < 4x + 4 
Propiedad de división: 
EJEMPLO 3.6 Resuelva 
Se multiplica cada uno de los términos por (x - 2): 
Se suprimen los signos de agrupamiento: Se 
combinan términos semejantes: Utilizando el 
teorema 3.1 se tiene: 
x = 2 no puede ser solución de la ecuación original. Observe que se ha obtenido una 
solución falsa porque en el primer paso se aplicó la propiedad iii) del teorema 3.1 con 
c = 0. 
EJEMPLO 3.7 Resuelva 
Se debe recordar que el valor absoluto se define como 
Entonces, 
64 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
Utilizando las propiedades del teorema 3.4: 
Representación gráfica: 
EJEMPLO 3.9 Indique el conjunto solución de 
Se debe recordar que entonces: 
3.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Forma general de un sistema lineal: 
Resolver este tipo de sistemas significa determinar todos los pares ordenados 
(x, y) de números reales que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Para 
ello se utilizan tres métodos: 
1. Método de sustitución 
2. Método de eliminación 
3. Regla de Cramer (determinantes) 
3.6.1 Método de sustitución 
a) Se usa una de las ecuaciones para despejar una incógnita y dejarla en función de
la otra. 
b) Se sustituye la ecuación obtenida en a) en la otra ecuación, llegando así a una 
ecuación con una incógnita. Posteriormente se resuelve esta ecuación. 
c) Se sustituye el valor determinado en b) en la ecuación obtenida en a) y se des- 
peja la incógnita.
EJEMPLO 3.10 Resuelva el sistema de ecuaciones: 
Sistemas de ecuaciones lineales 65 
Se despeja y de la primera ecuación: 
Se sustituye ésta en la segunda ecuación: 3x + 4(l-2x)= 14 
 
Sustituyendo x = -2 en la primera ecuación, se tiene y = l-2(-2) = 5 
Por lo tanto, la solución es el par ordenado (-2, 5). 
3.6.2 Método de eliminación 
a) Se multiplica una o más de las ecuaciones por aquellos números que hacen que 
el coeficiente de una de las incógnitas en una de las ecuaciones sea el opuesto 
del coeficiente correspondiente en la otra ecuación. 
b) Se suman las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego se despeja 
la incógnita que queda. 
c) Se sustituye el valor determinado en b) en una de las ecuaciones originales y se 
despeja la incógnita restante. 
EJEMPLO 3.11 Resuelva el sistema de ecuaciones: 
 
Por tanto, la solución es el par ordenado (2, -3). 
• Posibles resultados obtenidos por los métodos de sustitución y eliminación: 
i) Solución única, por ejemplo, (1,2). 
ii) No existe solución cuando se obtiene una proposición falsa como 0 = 7. 
iii) Infinitas soluciones cuando se obtiene la proposición 0 = 0, ya que se trata de una 
identidad. (Es decir, una igualdad que se satisface para todos los valores de x.) 
 
 
CRAMER, GABRIEL (1704-1752). 
Matemático suizo, profesor de ma-
temáticas y filosofía en Ginebra, fue 
admitido en la Academia de Berlín 
y en la Royal Socicty. La conocida 
regla de Cramer, que sirve para la 
resolución de determinantes y está 
incluida en su Introducción al aná-
lisis de las curvas algebraicas (1750), 
la descubrió con Colin MacLaurin 
(1698-1746) probablemente en 
1729, cuando estaba escribiendo el 
Tratado de álgebra, que fue publi-
cado en 1748, dos años después de 
su muerte. 
3.6.3 Regla de Cramer 
TEOREMA 3.5 
La solución (x, y) de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
 
Se multiplica la segunda ecuación por 4: 
Se suman las ecuaciones: 
Se sustituye x = 2 en una de las ecuaciones originales: 
66 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
Resultados posibles por la regla de Cramer: 
iv) Solución única si 
v) Ninguna solución cuando se obtiene 
vi) Infinitas soluciones cuando se obtiene 
EJEMPLO 3.12 Resuelva mediante la regla de Cramer: 
SOLUCIÓN 
Sea D 
Por tanto: 
TEOREMA 3.6 
Regla de Cramer para tres ecuaciones con tres incógnitas. Dado el sistema: 
entonces: 
EJEMPLO 3.13 Resuelva: 
Sea D 
Función cuadrática 67 
 
Por tanto: 
3.7 FUNCIÓN CUADRÁTICA 
DEFINICIÓN 3.10 
La función y = f(x) definida por la ecuación y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0, b y c son 
constantes y x e recibe el nombre de función cuadrática. 
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con el eje de simetría para-
lelo al eje vertical. La parábola abre hacia arriba cuando a > 0 y hacia abajo cuando 
a < 0. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría recibe el nom-
bre de vértice. 
Propiedades de 
i) Eje de simetría de la parábola: 
y es el valor mínimo si es el valor máximo de ii) 
donde 
iii) Vértice de la parábola: 
68 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
EJEMPLO 3.14 Determine el eje de simetría, el valor máximo o mínimo de y, así como el vértice de 
y = 12x - 2x2. 
SOLUCIÓN 
Sean a = -2, b = 12, c = 0; entonces: 
i) Eje de simetría: 
ií) Como a < 0, entonces el valor máximo es 
iii) Vértice V(3; 18) 
3.8 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 
CUADRÁTICAS 
DEFINICIÓN 3.11 
Una ecuación cuadrática con una incógnita x es cualquier ecuación que se puede 
escribir en la forma ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 
Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado es hallar los valores de x 
que la satisfacen. Dichos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la 
ecuación dada. 
Observaciones: 
a) La ecuación se dice completa si 
b) Si se tiene una ecuación in- 
completa. 
Métodos de resolución de las ecuaciones 
cuadráticas 
1. Raíz cuadrada
2. Factorización 
3. Completar trinomio cuadrado perfecto 
4. Fórmula general
3.8.1 Método de la raíz cuadrada 
Este método se aplica exclusivamente cuando la ecuación cuadrática está incomple- 
ta de la forma 
EJEMPLO 3.15 Resuelva 
Se tiene 
3.8.2 Método de factorización 
Este método consiste en descomponer en factores la ecuación y utilizar la siguiente 
propiedad de los números reales: 
Ecuaciones y desigualdades cuadráticas 69 
EJEMPLO 3.16 
Si a y b son números reales, entonces a - b - 0 a = 0 v b = 0. 
Resuelva x2 -5x + 6 = (x-3)(x-2)=Q. Resolviendo este 
sistema de ecuaciones se tiene que: 
 
 
EJEMPLO 3.17 
3.8.3 Método de completar el trinomio 
cuadrado perfecto 
Para completar el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma x2 + bx, se 
suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea, 
Resuelva 2x2-4x-3 = 0- 
Primero se divide la ecuación entre el coeficiente de x2: 
 
Se completa el trinomio cuadrado perfecto: 
 
3.8.4 Fórmula general 
EJEMPLO 3.18 
Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces las soluciones se obtienen por me- 
dio de: 
 
donde Δ es el discriminante y 
i) Si Δ > 0, se tienen dos soluciones reales 
ii) Si Δ = 0, hay dos soluciones iguales reales 
iii) Si Δ < 0, no existen soluciones reales 
Resuelva 3x2 - 5x + l = 0 
Utilizando la fórmula general, a = 3,b > = -5,c = 1. Entonces: 
Δ = (-5)2 - 4(3)(1) = 13 > 0; por ende, se tienen dos soluciones reales. 
 
DEFINICIÓN 3.12 
Si es una ecuación bicuadrática. Para resolver este tipo 
de ecuaciones, se realiza un cambio de variable x2 = t; de esta manera, se tiene una 
ecuación de la forma: at2 + bt + c - 0, que se resuelve por los métodos anteriores. 
DEFINICIÓN 3.13 
Una desigualdad cuadrática con una variable es cualquier desigualdad que se pueda 
escribir en la forma 
70 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
EJEMPLO 3.19 
Para resolver este tipo de desigualdades, se deben seguir los siguientes pasos: 
a) Dejar uno de los lados de la desigualdad igual a 0. 
b) Descomponer en factores la expresión cuadrática. 
c) Determinar los ceros o puntos críticos de cada factor. 
d) Analizar los signos para cada uno de los factores. 
é) Determinar el intervalo donde se cumple la desigualdad dada. 
TEOREMA 3.7 
Si a > 0 entonces la expresión ax + b es negativa a la izquierda de su punto crítico y 
es positiva a la derecha del mismo. 
Determine el conjunto solución de x2 ≥ x + 6. 
Se pasan los términoshacia la izquierda: x2 – x – 6 ≥ 0 
Se factoriza el lado izquierdo: (x -3)(x + 2) ≥ 0 
Se determinan los puntos críticos: x =3, x =-2 
Se analizan los signos: 
 
 
VIETA, FRANCISCO (1540-1603). 
Nace en Fontenay-le-Comte y mue-
re en París. La más espectacular de 
sus virtudes: su capacidad para des-
cifrar enigmas, lo llevó a descifrar las 
claves utilizadas por el rey Felipe II 
de España. Tomó las matemáticas 
como diversión; a pesar de ello, ela-
boró un gran trabajo en álgebra y tri-
gonometría. Fue el primero en usar 
letras para simbolizar incógnitas y 
constantes en las ecuaciones alge-
braicas. Isagoge in artem analiticam 
(1591) se considera el primer libro 
de álgebra escrito con la notación ac-
tual. Por tal razón se le llama el pa-
dre del álgebra moderna. También 
fue aficionado a la geometría; él cal-
culó el número pi con una aproxima-
ción correcta de 10 decimales. 
EJEMPLO 3.20 
 
Como (x — 3)(x + 2)≥ 0, entonces ambos factores deben tener el mismo signo (así, su 
producto es positivo) y esto sólo se cumple cuando 
TEOREMA 3.8 
Teorema de Viete'a. Sea entonces se cumple 
que: 
 
, donde x1, x2 son las raíces o soluciones de la ecuación. 
3.9 SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 
Algunos casos se pueden resolver fácilmente: 
Caso 1 Una ecuación lineal y una cuadrática. El método apropiado para resolver 
este tipo de sistemas de ecuaciones es el de sustitución. Se despeja una de las varia-
bles de la ecuación lineal y se sustituye en la cuadrática. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
 
De la segunda ecuación se despeja y: 
 
Sistemas de ecuaciones cuadráticas 71 
 
Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene: 
Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación, se tiene que: 
Caso 2 Dos ecuaciones cuadráticas que sólo contienen los términos cuadrados de 
las incógnitas. Las ecuaciones generales, en este caso, son de la forma: 
Este sistema se puede resolver mediante el método de eliminación. 
EJEMPLO 3.21 Resuelva el sistema de ecuaciones: 
Utilizando el método de eliminación, se tiene: 
Sustituyendo el resultado anterior en la primera ecuación, se obtiene: 
Cada par 
es una solución del sistema. 
Caso 3 Todos los términos que contienen a las incógnitas son de segundo grado: 
EJEMPLO 3.22 Resuelva 
Como primer paso, se deben eliminar las constantes, para obtener una ecuación de segundo 
grado para las incógnitas x y y. 
72 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
Factorizando este resultado, queda 
Igualando cada factor a cero, se obtienen dos ecuaciones lineales: 
Eligiendo la primera ecuación cuadrática, se forman dos sistemas de ecuaciones del caso 1: 
Resolviendo, resulta para cada sistema de ecuaciones: 
Observación 
En este caso también se puede sustituir en ambas ecuaciones donde y después 
eliminar la incógnita x calculando el valor de t. 
Problemas resueltos 
Resuelva la siguiente ecuación: 3.1 
SOLUCIÓN 
Para se tiene 
Para 
Para identidad 
Para 
Finalmente, se obtiene la solución que o cualquier número 
Resuelva las siguientes desigualdades: 3.2 
SOLUCIÓN 
Para la desigualdad es siempre verdadera. Para la
desigualdad dada es Para es
una desigualdad sin soluciones. La desigualdad es verdadera para todos 
Al presentar la desigualdad dada en la siguiente forma es posible 
observar que todos números cumplen con ella. 
Para y para 
Finalmente, 
Problemas resueltos 73 
 
Haga la gráfica de la función para 3.3 
SOLUCIÓN 
para 
De la definición del valor absoluto se tiene: para 
para 
para 
la gráfica es: 
Resuelva la siguiente desigualdad: 3.4 
SOLUCIÓN
Resuelva el sistema de desigualdades: 3.5 
SOLUCIÓN 
Debemos encontrar el conjunto solución de cada una de las desigualdades y des-
pués buscar la intersección de estos conjuntos. Se tiene que: 
Resuelva en forma gráfica la siguiente desigualdad: 3.6 
SOLUCIÓN 
Debemos trazar dos gráficas en el mismo sistema de coordenadas: 
para 
para 
para 
para 
74 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
Se tiene: 
Finalmente, 
Resuelva las siguientes ecuaciones, con respecto a x: 3.7 
SOLUCIÓN 
a) Al simplificar, la ecuación queda de la siguiente forma: 
la raíz de esta ecuación es Para Para 
existen infinitas soluciones, en tanto que para no hay 
solución. 
b) Al suponer que la ecuación dada se transforma en 
Ahora observamos que: 
para en la ecuación hay una raíz 
para existen infinitas soluciones 
c) Para la ecuación tiene una raíz 
Para no hay solución. 
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3.8 
un número dado 
número dado 
Problemas resueltos 75 
 
los números dados 
SOLUCIÓN 
tiene la solución a) Para por tanto, el sistema 
Para se obtiene el sistema con solución 
el sistema tiene b) Vemos que para k = 0 en el sistema sí hay solución. Para 
Para solución sólo si la solución es: 
mientras que en en el sistema no hay solución porque 
el caso el sistema presenta infinitas soluciones. 
c) Despejando de la primera ecuación y sustituyendo este 
valor en las dos ecuaciones restantes, se obtiene 
el sistema (*) tiene la solución única Para 
y de la primera ecuación del sistema dado 
tema (*) no tiene solución; en consecuencia, el sistema dado tampoco tiene 
solución. Para a = 0 el sistema tiene infinitas soluciones y para cualquier z, 
d) Al sumar ambos lados de las ecuaciones, se obtiene: 
Al restar esta ecuación de cada ecuación del sistema, se obtiene: 
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3.9 
76 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
SOLUCIÓN 
entonces el sistema tiene solución a) Se tiene que 
única. Hay que calcular y se obtiene: 
b) Se tiene que 
entonces y el sistema tiene solución única: Si 
entonces en este caso 
no la hay y si el sistema tiene infinitas soluciones; 
esto es: cualquier par satisface el sistema. 
3.10 es un par ¿Para qué valor de m la solución del sistema 
de números reales con signos opuestos? 
SOLUCIÓN 
La solución del sistema es para Los números x,y tienen signos 
opuestos 
3.11 ¿Para qué valor de m el punto de intersección de las rectas del sistema 
pertenece a la recta 
SOLUCIÓN 
Al resolver el sistema se obtiene para 
El punto pertenece a la recta si y sólo si 
se cumple que: 
3.12 ¿Para qué valor de m la solución del sistema es un par 
(x; y)tal que se cumple 
Problemas resueltos 77 
 
SOLUCIÓN 
La solución del sistema es 
Para un par cumple la condición 
3.13 es un par (x; y) Para qué valor de m la solución del sistema 
tal que se cumple: 
SOLUCIÓN 
La solución del sistema es 
a) 
b) Se tiene que: 
entonces la condición equivale a la alternativa de los siguientes 
sistemas 
¿Para qué valor de m el punto de intersección de las rectas del sistema 3.14 
pertenece al rectángulo con vértices 
78 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
SOLUCIÓN 
Al resolver el sistema se obtiene para El
punto pertenece al rectángulo ABCD si las coordena- 
esto es que: das (x; y) cumplen el sistema de desigualdades 
La desigualdad es verdadera si y desigual- 
Entonces se tiene que dad 
3.15 Resuelva el sistema de ecuaciones y verifique la exis- 
tencia de soluciones en dependencia de los parámetros a y m. 
SOLUCIÓN 
Se tiene que 
entonces 
Para Ahora podemos con- y si
cluir que el sistema tiene: 
1. Solución única 
2. Infinitas soluciones 
3. No tiene solución 
Problemas resueltos 79 
 
3.16 Resuelva las siguientes ecuaciones: 
SOLUCIÓN 
Al sustituir 
se obtiene Regresan- 
do a la variable x se tiene 
Al sustituir se obtiene: 
Regresando a la 
Aun- variable x se tiene 
que la ecuación tiene solución, pero las raíces no pertenecen 
al conjunto: 
3.17 Encuentre los coeficientes a, b, c del trinomio cuadrático 
se sabe que la suma de las raíces es igual a 8, la suma de las inversas de las 
y que para x = 0 el valor de y es de 24. raíces es igual a 
SOLUCIÓN 
De las fórmulas de Viete'a se tieneque: 
Esto implica que 
80 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
una función dada. Demuestre que si 3.18 Sea 
entonces 
SOLUCIÓN 
De las condiciones del ejercicio, se tiene que 
entonces la función dada es y esto es 
3.19 Demuestre que si entre los coeficientes de las ecuaciones x2 + px + q = 0 y 
x + mx + n = 0 existe la relación mp = 2(n + q), entonces por lo menos una 
de estas ecuaciones tiene solución. 
SOLUCIÓN 
Si en ambas ecuaciones no hay solución entonces se cumple que: 
pero por lo que 
es una contradicción, lo cual sig- 
nifica que por lo menos una de las ecuaciones tiene solución. 
3.20 ¿Para qué valor de m la ecuación tiene dos raí- 
ces con signos opuestos? 
SOLUCIÓN 
La ecuación dada tiene dos raíces con signos opuestos si y sólo si: 
(la ecuación cuadrática) 
(el producto de las raíces es negativo). 
De estas condiciones, deducimos que 
3.21 Si se sabe que x + y = 1, calcule el valor mínimo de w = x3 + y3. 
SOLUCIÓN 
Se tiene 
para entonces w alcanza valor mínimo igual a 
3.22 Demuestre que para toda x < 0 se cumple la desigualdad 
SOLUCIÓN 
Para x < 0 se tiene La última desigualdad 
es verdadera para todos entonces también es verdadera para x < 0 
3.23 Demuestre que para cualquier número a se cumple la desigualdad 
Problemas resueltos 81 
 
SOLUCIÓN 
Se tiene que lo cual 
es verdadero para todo valor de a 
3.24 ¿Para qué valor de m la desigualdad es 
verdadera para todos 
SOLUCIÓN 
Las condiciones se cumplen si: 
3.25 ¿Para qué valor de m la ecuación tiene cuan- 
do mucho una raíz? 
SOLUCIÓN 
entonces la ecuación dada no es cuadrática, sólo lineal; 1. Si Si 
en este caso, la única solución es x = 4. 
entonces la ecuación dada es cuadrática y tiene cuando 2. Si 
mucho una raíz si: 
Finalmente, tomando en cuenta 1 y 2, se obtiene que: 
tiene raíz co- ¿Para qué valor de m la ecuación 3.26 
mún con la raíz de la ecuación mx + 3 = 0? 
SOLUCIÓN 
La ecuación cuadrática La ecuación mx + 3 = 0 tiene solución 
tiene solución si La solución de la ecua- 
ción mx + 3 = 0 es también raíz de la ecuación cuadrática dada; esto es, se cumple 
Al resolver: 
entonces, finalmente, pero se obtiene 
tiene ¿ Para qué valor de m la ecuación 3.27 
dos diferentes raíces reales con signos iguales? 
82 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
SOLUCIÓN 
Para que en la ecuación cuadrática haya dos raíces diferentes con signos iguales 
se deben cumplir las siguientes condiciones: 
3.28 ¿Para qué valor de m las raíces xl y x2 de la ecuación 
-x2 + mx - m2 + 2m -1 = 0 cumplen que xx + x2 = xl · x2 +1 ? 
SOLUCIÓN 
La ecuación cuadrática tiene dos raíces que cumplen las condiciones del ejercicio, 
3.29 ¿Para qué valor de m la diferencia entre las raíces de la ecuación 
2x2 - (m + 1) x + (m - 1) = 0 es igual a producto de estas raíces? 
SOLUCIÓN 
Podemos observar que si entonces la ecuación tiene solución para 
todos Al resolver la ecuación, se obtienen 
Pero sabemos que 
Ahora calcularemos 
Finalmente: 
3.30 ;Para qué valor de m las raíces de la ecuación 
cumplen que 
SOLUCIÓN 
La ecuación tiene raíces reales si y sólo si: 
Observamos que: 
se obtiene la ecuación 
Problemas resueltos 83 
 
¿Para qué valor de m las raíces distintas xx y x2 de la ecuación 
(m + l)x2 -2x + m-í = 0 pertenecen al intervalo (0; 2)? 
3.31 
SOLUCIÓN 
La ecuación dada cumple las condiciones del ejercicio si la gráfica de la función 
es la siguiente: 
Esto es, si se cumplen: 
3.32 Dibuje la gráfica de la función y resuelva la desigualdad 
SOLUCIÓN 
De la definición del valor absoluto: 
para 
para 
esto es, 
84 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
para 
para 
Entonces, 
3.33 Dibuje la gráfica de la función y determine el número de 
soluciones de la ecuación según los valores del parámetro m. 
SOLUCIÓN 
De la definición del valor absoluto, 
para 
para 
La ecuación tiene tantas soluciones como puntos comunes entre 
las gráficas esto es, si: 
1. m < -8 la ecuación (*) no tiene solución. 
2. m = -8 la ecuación (*) tiene una solución. 
la ecuación (*) tiene dos soluciones. 
la ecuación (*) tiene tres soluciones. 
la ecuación (*) tiene cuatro soluciones. 
3.34 Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación 
Encuentre la función y trace la gráfica de 
SOLUCIÓN 
Se tiene que: 
pero entonces: 
Problemas resueltos 85 
 
 
3.35 ¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2 de la ecuación 
(m-2)x2 +2(2m-3)x + 5m - 6 = 0 
satisfacen la desigualdad 
SOLUCIÓN 
El ejercicio tiene solución si y sólo si: 
 
 
3.36 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
3.37 
SOLUCIÓN 
Suponemos que el sistema tiene solución (x, y). Despejando x de la segunda ecua-
ción en términos de y, sustituimos x = -1 - 2 y x = -1 - 2y en la primera ecuación, 
con lo que obtenemos una ecuación que sólo contiene a y; esto es: 
 
Entonces x1 = Una comprobación, muestra que los pares (-1; 0) y 
 
son soluciones del sistema. Es muy importante comprobar siempre las 
soluciones de cualquier sistema no lineal para cerciorarse de no incluir raíces 
extrañas. 
Resuelve el sistema de ecuaciones: 
 
La gráfica de la función 
86 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
3.38 
3.39 
3.40 
SOLUCIÓN 
Despejando y de la segunda ecuación en términos de x, sustituimos y = x + m en 
la primera ecuación, con lo que obtenemos una ecuación que sólo contiene a x; 
estoes, 2mx+m2+1 = 0. 
Si entonces 
La comprobación muestra que el par 
encontrado es solución del sistema. 
Si m = 0, entonces el sistema no tiene solución. 
¿Para qué valor de el sistema 
 
tiene sólo una solución? 
SOLUCIÓN 
Suponemos que el sistema tiene solución (x, y). Despejando x de la segunda ecua-
ción en términos de y, sustituimos x = m - y en la primera ecuación y obtenemos 
una ecuación que sólo contiene a y; esto es Esta ecuación 
tiene una solución si y sólo si: 
 
Para estos valores de m se tienen los pares para m, y para m2 
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
SOLUCIÓN 
Si el par (x, y) satisface el sistema, entonces Para en el sistema 
no hay solución. Si r = 1 entonces . De esta manera quedan dos solucio- 
nes (0;-l) y (0; 1). Parar > 1, de la condición 2x2 = r2 - 1, se obtienen dos valores de 
x y a cada valor de x corresponden dos valores de y. Se tiene entonces las 
siguientes cuatro parejas: 
. Cada uno de estos pares satisface el 
sistema dado. 
Tres grifos llenan un depósito en 20,30 y 60 minutos, respectivamente. Calcu-
le el tiempo que tarda en llenarse dicho depósito cuando se utilizan los 3 
grifos simultáneamente. 
SOLUCIÓN 
Sea t el tiempo necesario en minutos. 
En 1 minuto se llena una parte del depósito. 
Por tanto 
Problemas resueltos 87 
 
3.41 Un hombre recibe un ingreso de $730 anualmente, con dos inversiones que 
suman $20 000. Una inversión paga 4% y la otra 3.5% anual. ¿Cuáles son 
los montos de cada inversión? 
SOLUCIÓN 
Sea x la cantidad invertida a 4% e y la cantidad invertida a 3.5%. 
Entonces, se establecen las siguientes ecuaciones (recuerde que el interés se calcula 
como tasa de interés por monto): 
 
 
3.42 
3.43 
El cociente intelectual (IQ) de una persona se obtiene dividiendo su edad 
mental (EM) entre su edad cronológica (EC) y multiplicando por 100, es 
decir, Si la escala de IQ en un grupo de niños de 12 años es 
 ¿cuál es la variación de la edad mental de dicho grupo? 
SOLUCIÓN 
Se sustituye en la desigualdad: 
 
Resolviendo: 
 
Un camino de concreto será construido alrededor de un jardín de 30 X 48 
pies. Si el área del camino representa 35% del área del jardín, encuentre el 
ancho del camino. 
 
Resolviendo con la regla de Cramer: 
SOLUCIÓN 
Sea x el ancho del camino. 
Área del jardín: 
Área del camino: 
Resolviendo por fórmula general: 
Por tanto, el ancho del camino es de 3 pies. 
88 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas 
 
3.44 Si se dispara un objeto perpendicularmente desde el suelo, con una