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Universidad Nacional de Cajamarca
𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐂𝐎𝐍 𝐑𝐀𝐃𝐈𝐂𝐀𝐋𝐄𝐒
Aquellas en la que la variable aparece bajo un signo radical.
𝑃(𝑥) = 𝑏 3 𝑃(𝑥) = 𝑐 … 𝑛 𝑃(𝑥) = 𝑑 𝑒𝑡𝑐.
Para resolver estas ecuaciones utilizaremos los teoremas de los números reales.
Teorema: Si 𝑏 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ∈ 𝑅+entonces: 
𝑎 = 𝑏 ↔ a ≥ 0  (𝑏 ≥ 0  𝑎 = 𝑏2)
Ejemplos:
1) Resolver: 12 − 𝑥 + 8 = 2 − 2𝑥
Solución
𝑥 + 8 = 10 + 2𝑥
𝑥 ≥ −8  (10 + 2𝑥 ≥ 0  𝑥 + 8 = (10 + 2𝑥)2)
2) Resolver: 2𝑥 + 2𝑥 + 4 = 4
Solución
Utilizamos: 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ (𝑏 ≥ 0  𝑎 = 𝑏2)
3) Resolver: 𝑥 + 1 + 𝑥 + 8 = 6𝑥 + 1
Solución
4) Resolver: 12 − 𝑥 + 8 = 2 − 2𝑥
Solución
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
Resolver: 
1) 2x − 3 + x − 1 = 3x − 2
2) 2 + 𝑥 − 2 − 𝑥 = 𝑥
3) 3𝑥2 − 7𝑥 − 30 − 2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 𝑥 − 5
4) 2𝑥 − 1 − 3𝑥 + 10 + 𝑥 − 1 = 0
5) 2𝑥 − 3 = 8𝑥 − 12 − 𝑥 + 3
6) 3𝑥 − 5 = 4𝑥 − 3 − 𝑥 − 6
7) 3𝑥2 − 2𝑥 + 9 + 3𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 13
8) 𝑥 − 1 + 𝑥 + 4 = 3𝑥 + 10
INTRODUCCIÓN A 
LOS NÚMEROS 
REALES
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS.
ECUACIONES 
LINEALES. 
ECUACIONES 
CUADRÁTICAS
INTERVALOS.
OPERACIONES
CON
INTERVALOS.
INECUACIONES 
LINEALES. 
INECUACIONES 
CUADRÁTICAS.
INECUACIONES 
POLINOMICAS 
RACIONALES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESIGUALDAD: Es una relación entre dos expresiones numéricas, en la cuál una de 
ellas puede ser mayor,menor o mayor igual,menor o igual que la otra cantidad. 
< 0;0
0;0


baxbax
baxbax
INECUACIONES :Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades 
desconocidas llamadas variables, y que es solo verdadero para determinados valores 
de dichas variables.
Conjunto Solución:
Es el conjunto de valores de la incógnita que reemplazados en la inecuación,
verifican la desigualdad. la solución de una inecuación generalmente se presenta
por medio de INTERVALOS.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO 
Una inecuación lineal en variable x, es la desigualdad que se puede reducir a:
Propiedades en las Inecuaciones:
Sean a, b y c números reales cualesquiera, se cumple que:
Si a < b, entonces
a + c < b + c
Ejemplo:
4 < 8 implica que
4 + 2 < 8 + 2
6 < 10
Si a < b y c > 0,
entonces a c < b c
Ejemplo:
4 < 8 implica que
4(3) < 8(3)
12 < 24
Si a < b y c < 0,
entonces a c > b c
Ejemplo:
4 < 8 implica que
4(-3) > 8(-3)
-12 > -24
• Si a < b y b < c entonces a < c
Ejemplo:
• 4 < 8 y 8 < 10 entonces
4 < 10
Si 0 < a < b entonces ⅟a > ⅟b > 0
Ejemplo:
0 < 4 < 8 entonces 
⅟4 > ⅛ > 0
Si a < b < 0 entonces
0 > ⅟a > ⅟b
Ejemplo:
-8 < -4 < 0 entonces
0 > -⅛ > - ⅟4
Si 0 < a < b entonces
0 < a² < b²
Ejemplo:
0 < 4 < 8 entonces
0 < 16 < 64
Pasos a seguir para resolver una inecuación lineal:
 Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible, 
utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de agrupación 
y mediante la combinación de términos semejantes.
 Utilice la propiedad de la adición de la desigualdad para expresarla 
convenientemente; los términos que tengan variables queden a un lado y los 
términos independientes estén al otro lado.
 Use la propiedad de la multiplicación para llegar a la desigualdad de la forma x < k; x>K.
 Se sugiere representar gráficamente la solución y escribir el intervalo correspondiente, 
como conjunto solución
EJEMPLOS: 
1.Resolver: 133
2
 x
x
Solución 
Algebraicamente Gráficamente
6
3 1 3 2
2 2
 5 4
4
5
x x x
x
x
x

     
   
 
4
. : ,
5
C S x
 
  
 
𝐶𝑆: ൬ ൨−∞,
4
5
2. Resolver: - 4 (x+2) + 5 > 5 – 2x
Solución
3. Resolver 4(x - 5) + 3 ≥ 3 – 4x + (2 - x)
Solución
4. Resolver:
x
2
x – 2
5
≥ 1–
5. Resolver: 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4
Solución
Solución
6. Resolver: 
6x + 11
2
< 3x 
Solución
7. Resolver: 2 𝑥 + 1 − 3 𝑥 − 2 < 𝑥 + 6
Solución
8.
Solución
Resolver las siguientes inecuaciones lineales:
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA VARIABLE
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los
conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.
Ejemplo 1: Resolver
Solución:
Ejemplo 2: Resolver
Ejemplo 3: Resolver
INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Es aquella desigualdad que se dan entre dos miembros en la que intervienen números 
reales y una incógnita cuyo mayor grado es dos.
Es de la forma: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
donde a , b y c son números reales. a≠ 0
Solución de Inecuaciones cuadráticas: 
1) Método: Factorización
Ejemplo: Resolver la inecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0
Solución
𝑎. 𝑏 < 0 ↔ 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 < 0 ∨ (𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0)
2) Método: Completando Cuadrados.
Ejemplo: Resolver la inecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0
Solución
MÉTODOS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
Este método se emplea en una inecuación cuadrática si y solo si ∆ > 0:
Procedimiento: 
1. Se factoriza la expresión dada 
2. Se halla los PUNTOS CRÍTICOS igualando cada factor a cero 
3. Se ubican los PUNTOS CRÍTICOS en la recta numérica quedando dividida en partes o 
intervalos 
4. Partimos del lado derecho que siempre es POSITIVO, los signos en los intervalos son 
ALTERNADOS con el signo NEGATIVO 
5. Los intervalos que se consideran como CONJUNTO SOLUCION son los que hacen 
coincidir sus signos + ó – con el signo de orden de la desigualdad 
Ejemplo: Resolver la inecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0
Solución
• Se construye la recta numérica:
Ejemplo: Resolver
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Solución 
3) Por la formula General :       
 a
cabb
x
2
4
2


Ejemplo: Resolver la inecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0
Solución 
CARÁCTER DE LAS RAÍCES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
𝐂𝐀𝐒𝐎: 𝟏
∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 > 𝟎
P(x) = ax2 +b x +c ,es factorizable sobre 
Es decir: P(x) = a(x-x1 )(x-x2)
𝐂𝐀𝐒𝐎: 𝟐
∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 = 𝟎
P(x) = ax2 +b x +c , a ≠ 0 es un trinomio cuadrado perfecto 
Es decir: P(x) = a(x-x0 )
2
 (x-x0 )
2 ≥ 0 → CS = R 
 (x-x0 )
2 > 0 → CS = R – {x0} 
 (x-x0 )
2 ≤ 0 → CS = {x0} 
 (x-x0 )
2 < 0 → CS = ø 
𝐂𝐀𝐒𝐎: 𝟑
∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 < 𝟎
 a > 0 ˄ ax2 + b x + c > 0 → CS = R 
 a > 0 ˄ ax2 + b x + c < 0 → CS = ø
Resolver las siguientes inecuaciones:
INECUACIONES RACIONALES 
Aquella desigualdad que tiene la forma: 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0 𝑜
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0
P(x) ,Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos con coeficientes reales. 
Entre las técnicas para resolver se presentan los siguiente casos:
CASO I : 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0 𝑜
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0
P(x) ,Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos con coeficientes reales. 
Estas inecuaciones se reducen en: (𝑎𝑥 + 𝑏)(cx+d) >0 o (ax+b)(cx+d)< 0
Ejemplo: Resolver 
𝑥+1
𝑥−3
> 0
Solución 
Ejemplo: Resolver 
2𝑥−3
𝑥−2
≥ 3
Solución 
CASO II : La inecuación tiene la forma: 
ax2+bx+c
a´x2+b´x+c
> 0 o
ax2+bx+c
a´x2+b´x+c
< 0
Una de los dos trinomios no tiene soluciones reales o tiene una raíz doble.
ie: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 𝑜 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 entonces ax2 + bx + c o a´x2 + b´x + c´
tiene signo fijo ( >0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅)
Ejemplo: Resolver 
𝑥2−𝑥−12
𝑥2−2𝑥+3
< 0
Solución 
Ejemplo: Resolver 1+ 
15−7𝑥
𝑥2+𝑥−6
> 0
Solución 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
1) 
2
3
4x + 2 − x − 2 ≤
4
13
(4x + 5)
2) 
x−3
3
+
5
4
<
x
12
+
2x+9
15
3) 11 −
3
2
x <
1
3
(5x + 14) ≥
9
5
(2 + x)
4) 
3x+8
x−1
≥ −2
5) 
x−1
x+3
> x
6) 3x2 − 10x + 3 < 0
7) x 3x + 2 < (x + 2)2
8) 4x2 − 8x + 1 > 0
9) 
x2+2x+3
x2−3x+2
> 0
10) 
2
3
<
x−1
x+3
<
7
9