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Sección 8.4 Expresar ecuaciones en forma cuadrática 529 EJEMPLO 6 Resuelve 2p - !p - 10 = 0. Solución Como !p = p1>2 podemos expresar la ecuación como: 2p - p1>2 - 10 = 0 Hacemos u = p1>2, entonces u2 = A p1>2B2 = p y la ecuación se transforma en 2 A p1>2B2 - p1>2 - 10 = 0 2p - p1>2 - 10 = 0 Si hacemos u = p1>2, esta ecuación está en la forma cuadrática. u = 5 2 2u = 5 u = -2 2u - 5 = 0 o u + 2 = 0 12u - 52 1 u + 22 = 0 2u2 - u - 10 = 0 A continuación, sustituimos u por p1>2. p1>2 = 5 2 p1>2 = -2 Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. p = 25 4 p = 4 A p1>2B 2 = a5 2 b 2 A p1>2B 2 = 1-22 2 Debemos comprobar las dos soluciones aparentes en la ecuación original. Verifica p 25 4 p 4 2p - !p - 10 = 0 2p - !p - 10 = 0 2a25 4 b - Ä 25 4 - 10 0 2 142 - !4 - 10 0 25 2 - 5 2 - 10 0 8 - 2 - 10 0 Verdadero0 = 0 Falso-4 = 0 Como 4 no satisface la ecuación, es una solución extraña; la única solución es 25 4 . Resuelve ahora el ejercicio 25 CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.4 Ejercicios de práctica Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista. u 5 h 2 2 solución extraña v en la forma cuadrática u = !v (h 2 2)2 intersección con el eje x u 5 c2 1. Una ecuación que puede escribirse en la forma au2 1 bu 1 c 5 0 para a 0, donde u es una expresión algebraica, es una ecua ción . 2. Las de una función son los puntos donde la gráfica cruza al eje x. 3. Siempre que resolvemos una ecuación elevando am bos lados de ésta a una potencia, podemos introducir una . 4. Para resolver la ecuación c4 1 c2 2 2 5 0, la mejor opción para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática es . 5. Para resolver la ecuación (h 2 2)2 1 (h 2 2) 2 42 5 0, la mejor opción para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática es . 6. Para resolver la ecuación v - 3!v - 28 = 0, la mejor op ción para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática es . Comprendiendo el álgebra Cuando resolvemos una ecua- ción que involucra variables con exponentes racionales o radicales, con frecuencia elevaremos ambos lados de la ecuación a una potencia con el fin de eliminar los expo- nentes racionales o radicales. Cada vez que hacemos esto, es posible que introduzcamos una solución extraña o falsa. Por lo tanto, debemos com- probar con cuidado nuestras respuestas en la ecuación original. 530 Capítulo 8 Funciones cuadráticas Practica tus habilidades Resuelve cada ecuación. Determina todas las intersecciones con el eje x de cada función. Determina todas las soluciones reales de cada ecuación. Determina todas las soluciones de cada ecuación. Ejercicios de conceptos y escritura Resolución de problemas 69. Resuelve la ecuación 3 x2 - 3 x = 60 a) Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD. b) Escribiendo la ecuación con exponentes negativos. 70. Resuelve la ecuación 1 = 2 x - 2 x2 a) Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD. b) Escribiendo la ecuación con exponentes negativos. 81. Da un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax4 1 bxn 1 c 5 0. 82. Da un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax2n 1 bxn 1 c 5 0. 83. Da un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax22 1 bx21 1 c 5 0. 84. Da un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma a(x 2 r)2 1 b(x 2 r) 2 c 5 0 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. .66.56 .86.76 h 1x2 = x4 - 4x2 + 3f 1x2 = x4 - 29x2 + 100 g 1x2 = 1 x2 - 6x2 2 - 5 1x2 - 6x2 - 24g 1x2 = 1 x2 - 3x2 2 + 2 1x2 - 3x2 - 24 f 1x2 = x1>2 + 6x1>4 - 7f 1x2 = x2>3 - x1>3 - 6 g 1x2 = 4x -2 + 12x -1 + 9p 1x2 = 4x -2 - 19x -1 - 5 k 1x2 = x + 7!x + 12h 1x2 = x + 14!x + 45 g 1x2 = x - 15!x + 56f 1x2 = x - 5!x + 6 7. .9.8 .21.11.01 .51.41.31 16. 17. 18. .12.02.91 .32.22 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. .33.23.13 .63.53.43 .93.83.73 .14.04 42. .54.44.34 .84.74.64 49. .15.05 .45.35.25 .65.55 x2>5 - 5x1>5 + 6 = 0c2>5 + 3c1>5 + 2 = 0 r2>3 - 7r1>3 + 10 = 0-2a - 5a1>2 + 3 = 0c2>3 - 4 = 0 b2>3 - 9b1>3 + 18 = 0x2>3 = 3x1>3 + 4x2>3 - 4x1>3 = -3 x2>3 - 5x1>3 + 6 = 0x -2 = 4x -1 + 126a-2 = a-1 + 12 x -2 + 9x -1 = 1010z-2 - 3z-1 - 1 = 02b-2 = 7b-1 - 3 5x -2 + 4x -1 - 1 = 012b-2 - 7b-1 + 1 = 0x -2 + 10x -1 + 25 = 0 a-2 + 4a-1 + 4 = 028 1x2 - 82 2 - 23 1x2 - 82 - 15 = 018 1x2 - 52 2 + 27 1x2 - 52 + 10 = 0 1z2 - 62 2 + 2 1z2 - 62 - 24 = 02 1b + 32 2 + 5 1b + 32 - 3 = 01a2 - 12 2 - 5 1a2 - 12 - 14 = 0 1x2 - 32 2 - 1x2 - 32 - 6 = 010 1z + 22 2 = 3 1z + 22 + 16 1a - 22 2 = -19 1a - 22 - 10 1x + 12 2 + 4 1x + 12 + 3 = 01x + 32 2 + 2 1x + 32 = 248x + 2!x = 1 9x + 3!x = 2x - 4 = -3!xx - !x = 6 x - 2!x = 8!x = 2x - 69b4 = 57b2 - 18 -c4 = 4c2 - 5a4 + a2 = 42z4 - 7z2 = 18 p4 - 8p2 = -12r4 - 8r2 = -159d4 - 13d2 + 4 = 0 4x4 - 17x2 + 4 = 0b4 + 7b2 + 12 = 0a4 - 7a2 + 12 = 0 x4 + 13x2 + 36 = 0x4 - 13x2 + 36 = 0x4 + 50x2 + 49 = 0 x4 + 13x2 + 36 = 0x4 - 5x2 + 4 = 0x4 - 10x2 + 9 = 0 .27.17 .47.37 75. 76. .87.77 1 x2 + 3x - 22 2 - 10 1x2 + 3x - 22 + 16 = 01 x2 + 2x - 22 2 - 7 1x2 + 2x - 22 + 6 = 0 x6 - 28x3 + 27 = 0x6 - 9x3 + 8 = 0 3 1x - 42 -2 = 16 1x - 42 -1 + 124 - 1 x - 12 -1 = 3 1x - 12 -2 2 1 p + 32 + 5 = 3 p + 3 15 1r + 22 + 22 = - 8 r + 2 .08.97 3x4 + 8x2 - 1 = 02n4 - 6n2 - 3 = 0 Section 8.5 graficación de funciones cuadráticas 531 Ejercicios de repaso acumulados [1.3] 91. Evalúa 4 5 - a3 4 - 2 3 b . [2.1] 92. Resuelve 3(x 1 2) 2 2(3x 1 3) 5 23. [3.2] 93. Establece el dominio y el rango de y 5 (x 2 3)2. [7.3] 94. Simplifica "3 16x3y6. [7.4] 95. Suma !75 + !48. 8.5 Graficación de funciones cuadráticas 1 Determinar cuándo una parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 2 Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones con el eje x de una parábola. 3 Graficar funciones cuadrá- ticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones. 4 Resolver problemas de máximos y mínimos. 5 Entender el desplazamien- to de las parábolas. 6 Escribir funciones en la forma f(x) 5 a(x 2 h)2 1k. En los capítulos 3 y 5 se comentaron brevemente las gráficas de las funciones cuadráti cas. En esta sección estudiaremos cómo graficar las funciones cuadráticas usando el eje de simetría, el vértice y las intersecciones. También utilizaremos las traslaciones para graficar funciones cuadráticas. 1 Determinar cuándo una parábola abre hacia arriba o hacia abajo Comencemos con la definición de una función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola tiene una forma que se asemeja a la letra U, pero no es idéntica. Para una función cuadrática, el signo del coeficiente principal, a, determina si la parábola abre hacia arriba (ver Figura 8.7a) o hacia abajo (ver Figura 8.7b). x y x y a � 0, Parabola que abre hacia arriba a � 0, Parabola que abre hacia abajo Vértice Vértice Eje de simetría Eje de simetría f (x) � ax2 � bx � c (a) (b) FIguRA 8.7 • Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba. • El vértice es el punto más bajo en la curva. • El valor mínimo de la función es la coorde- nada y del vértice. • Cuando a < 0, la parábola abre hacia abajo. • El vértice es el punto más alto en la curva. • El valor máximo de la función es la coor- denada y del vértice. 85. Escribe una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que tenga como soluciones 62 y 61. Explica cómo obtuviste la respuesta. 86. Detemina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que tenga como soluciones 63 y 62i. Explica cómo obtuviste la respuesta. 87. Determina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que tenga como soluciones �!2 y �!5. Explica cómo obtuviste la respuesta. 88. Determina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que tenga como soluciones 62i y 65i. Explica cómo obtuviste la respuesta. 89. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 tenga exactamente una solución imaginaria? Explica.90. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 tenga exactamente una solución real? Explica. Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c para todos los números reales a, b y c, con a 0. Función cuadrática 532 Capítulo 8 Funciones cuadráticas 2 Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones con el eje x de una parábola Las gráficas de funciones cuadráticas tendrán simetría con respecto a una línea vertical, denominada eje de simetría, que pasa por el vértice. Esto significa que si dobláramos el papel a lo largo de esta línea imaginaria, el lado derecho e izquierdo de la parábola coinci dirían (ver ambas gráficas en la Figura 8.7, de la página 531). Ahora deduciremos la fórmula del eje de simetría y determinaremos las coorde nadas del vértice de una parábola, comenzando con una función cuadrática de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c y completando el cuadrado de los primeros dos términos. Factoriza = aax2 + b a x b + c f 1 x2 = ax2 + bx + c Un medio del coeficiente de x es b 2a , y su cuadrado es b2 4a2 . Suma y resta este término dentro del paréntesis. La suma de estos dos términos es cero. f 1 x2 = a qx2 + b a x + b2 4a2 - b2 4a2r + c Ahora reescribe la función como se muestra: Reemplazado el trinomio con el cuadrado de un binomio. Escribe fracciones con un denominador común. Reduce los dos últimos términos; escribe primero con la variable . = a ax - a - b 2a b b 2 + 4ac - b2 4a = a ax + b 2a b 2 + 4ac - b2 4a = a ax + b 2a b 2 - b2 4a + 4ac 4a = a ax + b 2a b 2 - b2 4a + c f 1 x2 = a ax2 + b a x + b2 4a2 b - a q b2 4a2r + c Ahora considera lo siguiente. • La expresión ax - a - b 2a b b 2 siempre será mayor o igual a cero. • Si a 0, la parábola abrirá hacia arriba y la función tendrá un valor mínimo. Este valor mínimo ocurrirá cuando x = - b 2a . • Si a 0, la parábola abrirá hacia abajo y la función tendrá un valor máximo. Este valor máximo ocurrirá cuando x = - b 2a . • Por tanto, la coordenada del eje x del vértice puede determinarse usando la fórmu la x = - b 2a . Para determinar la coordenada del eje y del vértice, evalúa f a- b 2a b. Encontramos que la coordenada del eje y del vértice es y = 4ac - b2 4a . Sección 8.5 graficación de funciones cuadráticas 533 Debido a que el eje de simetría es la línea vertical que pasa a través del vértice, su ecuación se determina utilizando la misma fórmula que usamos para encontrar la coordenada x del vértice. Recuerda que para determinar la intersección con el eje x de una función, hacemos y o f (x) 5 0 y resolvemos para x. Como se mencionó en la sección 8.2, el discriminante b2 2 4ac puede usarse para determinar el número de intersecciones con el eje x. La tabla siguiente resume la infor mación acerca del discriminante. Discriminante b2 2 4ac Número de intersecciones con el eje x Posibles gráficas de f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 0 Dos y x y x 5 0 Una y x y x 0 Ninguna y x y x La parábola representada por la función f (x) 5 ax2 1 bx 1 c tendrá como vértice q- b 2a , 4ac - b2 4a r Ya que con frecuencia determinamos la coordenada y del vértice sustituyendo la coorde nada x del vértice en f (x), el vértice también puede designarse como a - b 2a , f a - b 2a b b Vértice de una parábola Para una función cuadrática de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c la ecuación del eje de simetría de la parábola es x = - b 2a Eje de simetría de una parábola Para determinar la intersección con el eje x (si existe alguna) de una función cuadrática, resolvemos la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 para x. Esta ecuación puede resolverse por factorización, mediante la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Eje de simetría de una parábola 534 Capítulo 8 Funciones cuadráticas 3 Graficar funciones cuadráticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones Ahora trazaremos gráficas de funciones cuadráticas. EJEMPLO 1 Considera la función cuadrática y 5 2x2 1 8x 2 12. a) Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determina la intersección con el eje y. c) Determina el vértice. d) Determina las intersecciones con el eje x, si las hay. e) Traza la gráfica. Solución a) Como a es 21, es decir menor que 0, la parábola abre hacia abajo. b) Para determinar la intersección con el eje y, hacemos x 5 0 y resolvemos para y. y 5 2(0)2 1 8(0) 2 12 5 212 La intersección con el eje y se da en el punto (0, 212). c) Primero determina la coordenada del eje x y luego la coordenada del eje y del vértice. De la función, a 5 21, b 5 8 y c 5 212. y = 4ac - b2 4a = 4 1-12 1 -122 - 82 4 1-12 = 48 - 64 -4 = 4 x = - b 2a = - 8 2 1-12 = 4 El vértice está en (4, 4). La coordenada y del vértice podría haberse obtenido también sustituyendo x por 4 en la función, y determinando el valor de y corres pondiente, que es 4. d) Para determinar las intersecciones con el eje x, hacemos y 5 0. x = 6 o x = 2 x - 6 = 0 o x - 2 = 0 1x - 62 1 x - 22 = 0 o x2 - 8x + 12 = 0 0 = -x2 + 8x - 12 Por lo tanto, las intersecciones con el eje x se dan en (2,0) y (6,0). Estos valores también podrían determinarse por medio de la fórmula cuadrática (o comple tando el cuadrado). e) Utiliza toda esta información para trazar la gráfica (Figura 8.8). Resuelve ahora el ejercicio 15 Observa que en el ejemplo 1 la ecuación es y 5 2x2 1 8x 2 12 y la intersección con el eje y es (0, 212). En general, para cualquier ecuación de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c la intersección con el eje y será (0, c). Si al determinar las intersecciones con el eje x mediante la fórmula cuadrática obtienes valores irracionales, utiliza tu calculadora para estimar estos valores, y lue go traza los valores decimales. Por ejemplo, si obtuvieras x = 2 � !10 2 , evaluarías 2 + !10 2 y 2 - !10 2 en tu calculadora para obtener 2.58 y 20.58, respectivamente redondeados a la centésima más cercana. Las intersecciones con el eje x se darían en (2.58, 0) y (20.58, 0). �4 �13 �12 �11 �10 �9 �8 �7 �6 �5 �3 �2 �1 5 4 3 2 1 9876531 2�1 x y Eje de simetría Vértice (4, 4) intersección con el eje y FIguRA 8.8 Comprendiendo el álgebra Recuerda del capítulo 3 que y es una función de x, y se escri- be como y 5 f(x). Por lo tanto, cuando graficamos la función en el ejemplo 1, podemos escribir f (x) 5 22x2 1 8x 2 12, o su equivalente y 5 2 2x2 1 8x 2 12. Sección 8.5 graficación de funciones cuadráticas 535 EJEMPLO 2 Considera la función cuadrática f (x) 5 2x2 1 6x 1 5. a) Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determina la intersección con el eje y. c) Determina el vértice. d) Determina las intersecciones con el eje x, si las hay. e) Traza la gráfica. Solución a) Como a es 2, es decir mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. b) Ya que f (x) es lo mismo que y, para determinar la intersección con el eje y, ha cemos x 5 0 y despejamos f (x) o y. f 10 2 = 2 10 2 2 + 6 10 2 + 5 = 5 La intersección con el eje y es en el punto (0, 5). c) Aquí a 5 2, b 5 6 y c 5 5. y = 4ac - b2 4a = 4 122 1 5 2 - 62 4 122 = 40 - 36 8 = 4 8 = 1 2 x = - b 2a = - 6 2 122 = - 6 4 = - 3 2 El vértice está en a- 3 2 , 1 2 b . La coordenada y del vértice también puede deter minarse evaluando f a- 3 2 b . d) Para determina las intersecciones con el eje x, hacemos f (x)5 0. 0 5 2x2 1 6x 1 5 Este trinomio no puede factorizarse. Para determinar si esta ecuación tiene algu na solución real, evaluamos el discriminante. b2 2 4ac 5 62 2 4(2)(5) 5 36 2 40 5 24 Como el discriminante es menor que 0, esta ecuación no tiene soluciones reales y la gráfica no intersecta el eje x. e) La gráfica se muestra en la Figura 8.9. Resuelve ahora el ejercicio 39 4 Resolver problemas de máximos y mínimos Una parábola que abre hacia arriba tiene un valor mínimo en su vértice, como se ilustraen la Figura 8.10a. Una parábola que abre hacia abajo tiene un valor máximo en su vértice, como se ilustra en la Figura 8.10b. Si tienes una función de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, el máximo o mínimo valor estará en - b 2a , y será 4ac - b2 4a . Existen muchos problemas de la vida real en los que se requiere determinar los valores máximo y mínimo. �2 �1 8 7 6 5 4 3 2 1 54321�4�5 �3�2�1 y x (�w, q) FIguRA 8.9 x y x y a � 0, valor máximoa � 0, valor mínimo 4ac � b2 4a y � 4ac � b2 4a y � b 2a x � � b 2a x � � 4ac � b2 4a b 2a�� , � 4ac � b2 4a b 2a�� , � (a) (b) y � ax2 � bx � c FIguRA 8.10 536 Capítulo 8 Funciones cuadráticas EJEMPLO 3 Béisbol Mark DeRosa le pega con su bate a una bola a 3 pies del suelo. La altura de la bola respecto del suelo, f (t), en pies, en el instante t, en segun dos, puede calcularse mediante la función f (t) 5 216t2 1 52t 1 3 a) Determina la altura máxima que alcanza la bola de béisbol. b) Determina el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima. c) Determina el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo. Solución a) Entiende La bola de béisbol seguirá la trayectoria de una parábola que abre ha cia abajo (a < 0). La bola se elevará hasta una altura máxima para luego caer hacia el suelo debido a la gravedad. Para determinar la altura máxima que alcanza la bola, usaremos la fórmula y = 4ac - b2 4a . Traduce Realiza los cálculos = 45.25 = -2896 -64 = -192 - 2704 -64 = 41 -162 1 32 - 1522 2 4 1-162 y = 4ac - b2 4a a = -16, b = 52, c = 3 Responde La bola de béisbol alcanza una altura máxima de 45.25 pies. b) La bola de béisbol llega a su altura máxima en t = - b 2a = - 52 2 1-162 = - 52 -32 = 13 8 o 1 5 8 o 1.625 segundos c) Entiende y traduce Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura, y, respecto del suelo es 0. Por tanto, para determinar cuando golpea la bola el suelo, resolvemos la ecuación 216t2 1 52t 1 3 5 0 Usaremos la fórmula cuadrática para resolverla. Realiza los cálculos L -0.06 segundo L 3.31 segundos t L -52 + 53.81 -32 o t L -52 - 53.81 -32 L -52 � 53.81 -32 = -52 � !2896 -32 = -52 � !2704 + 192 -32 = -52 � "1 522 2 - 4 1-162 1 32 2 1-162 t = -b � "b2 - 4ac 2a © T od d Ta ul m an /S hu tte rs to ck Sección 8.5 graficación de funciones cuadráticas 537 Responde El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol choca contra el suelo en aproximadamente 3.31 segundos. Observa en el inciso b) que el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima, 1.625 segundos, no es exactamente la mitad del tiempo total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón es que fue golpeada a una altura de 3 pies y no al nivel del suelo. Resuelve ahora el ejercicio 93 EJEMPLO 4 Área de un rectángulo Considera el rectángulo siguiente, cuya longitud es x 1 3 y el ancho es 10 2 x. 10 � x x � 3 a) Determina una ecuación para el área, A(x). b) Determina el valor de x que proporciona el área más grande (máxima). c) Determina el área máxima. Solución a) El área se obtiene al multiplicar la longitud por el ancho. La función para el área es = -x2 + 7x + 30 A1 x2 = 1 x + 32 1 10 - x2 b) Entiende y traduce La gráfica de la función es una parábola que abre hacia aba jo. Así, el valor máximo se alcanza en el vértice. Por lo tanto, el área máxima se da en x = - b 2a , en donde a 5 21 y b 5 7. Realiza los cálculos x = - b 2a = - 7 2 1-12 = 7 2 = 3.5 Responde El área máxima se alcanza cuando x es 3.5 unidades. c) Para determinar el área máxima, sustituye 3.5 por cada x en la ecuación que se obtuvo en el inciso a). = 42.25 = -12.25 + 24.5 + 30 A 13.52 = - 13.52 2 + 7 13.52 + 30 A 1x2 = -x2 + 7x + 30 Observa que para este rectángulo la longitud es x 1 3 5 3.5 1 3 5 6.5 unidades, y el ancho es 10 2 x 5 10 2 3.5 5 6.5 unidades. En realidad, el rectángulo es un cuadrado, y su área es (6.5)(6.5) 5 42.25 unidades cuadradas. Por consiguiente, el área máxima es 42.25 unidades cuadradas. Resuelve ahora el ejercicio 75 En el ejemplo 4 c), el área máxima pudo haberse determinado utilizando la fórmula y = 4ac - b2 4a . Determina el área máxima ahora utilizando esta fórmula. Deberás obtener la misma respuesta, 42.25 unidades cuadradas.
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