0_Numeros_complejos

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A Números complejos 
SECCIÓN A.1 
Cuerpos 
En el cuatrimestre pasado se ha visto el concepto de cuerpo, del cual haremos un repaso (ver también https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matemáticas)). 
D A.1.1. Un conjunto K es un cuerpo si es un anillo de división conmutati- vo, es decir, un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto, un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, ’+’y’·’, llamadas adición y multiplicación respecti- vamente, que cumplen las siguientes propiedades. En la siguiente lista de axiomas , , denotan elementos arbitrarios de K, y 0 y 1 denotan elementos especiales de K que cumplen las propiedades especificadas más abajo. 
I1. + y · pertenecen a K. I2. Conmutatividad. + = + ; = . I3. Asociatividad. ( + ) + = + ( + ); ( · ) · = · ( · ). I4. Existencia de elemento neutro. Existen números 0, 1 ∈ K con 0 = 1 tal que 
+0= ; · 1 = . I5. Distributividad. · ( + ) = · + · . I6. Existencia del inverso aditivo. Por cada en K existe un único − en K tal 
que + (− )=0. I7. Existencia de inverso multiplicativo. Si es distinto de 0, existe un único ele- 
mento −1 ∈ K tal que · −1 = 1.161 
162 A. NÚMEROS COMPLEJOS 
Muchas veces denotaremos el producto yuxtaponiendo los elementos, es decir := 
· , para ∈ K. Debido a la ley de asociatividad para la suma (axioma I3) ( + )+ es igual a + ( + ) y por lo tanto podemos eliminar los paréntesis sin ambigüedad. Es decir, denotamos 
+ + := ( + ) + = + ( + ) 
De forma análoga, usaremos la notación 
= ( ) = ( ) 
Debido a la ley de conmutatividad (axioma I2), es claro que del axioma I4 se deduce que 0 + = +0 = y 1 = 1 = . Análogamante, por I2 e I6 obtenemos que − + = + (− )=0, y por I6 que −1 = −1 = 1. 
Todos los axiomas corresponden a propiedades familiares de los cuerpos que ya conocemos, como ser el cuerpo de los números reales, denotado R y el cuerpo de los números racionales (fracciones), denotado Q. De ellas pueden deducirse la mayoría de las reglas comunes a los cuerpos. Por ejemplo, podemos definir la operación de sus- tracción diciendo que − es lo mismo que +(− ); y deducir las reglas elementales por ejemplo, 
− (− ) = + −(− ) = 
También podemos deducir 
( )−1 = −1 −1 
con tal que y sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen 
− = (−1) 
y más generalmente 
−( )=(− ) = (− ) 
y también 
= (− )(− ) 
así como 
· 0=0 
todas reglas familiares de la aritmética elemental. 
A. NÚMEROS COMPLEJOS 163 
A.1.1. Un cuerpo finito A modo de ejemplo, y para entrenar la intuición de que un cuerpo no necesariamente tiene un número infinito de elementos, consideremos el conjunto con dos elementos F2 = {0 1}. Definimos la suma +: F2 × F2 → F2 mediante la regla 
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 
y el producto ·: F2 × F2 → F2 como 
0 · 0=0 0 · 1=0 1 · 0=0 1 · 1=1 
Dejamos como ejercicio para el lector comprobar que estas operaciones así definidas satisfacen los axiomas I1. a I7. y por lo tanto F2 es un cuerpo, con dos elementos. 
O A.1.1. El lector suspicaz reconocerá en estas operaciones a la suma y el producto definidos en el conjunto Z2 = {0 1} de congruencias módulo 2 definido en Álgebra 1/Matemática Discreta I. En efecto, resultados desarrollados en ese curso permiten demostrar que los conjuntos Z , con primo, son ejemplos de cuerpos, en este caso con elementos. 
SECCIÓN A.2 
Números complejos 
La ecuación polinómica 2 +1=0 (¿cuál es el número que elevado al cuadrado y adicionado 1 da 0?) no tiene solución dentro del cuerpo de los números reales, pues todos sabemos que 2 ≥ 0 para todo ∈ R y por lo tanto 2+1 > 0 ∀ ∈ R. Podemos extender R a otro cuerpo, de tal forma que toda ecuación polinómica con coeficentes en R tenga solución. 
D A.2.1. Los números complejos es el conjunto C de los pares ordendados ( ), denotados + , con en R, con las operaciones ’+’y’·’, definidas 
( + )+( + ) := ( + ) + ( + ) (61) 
( + ) · ( + ) := ( − ) + ( + ) (62) 
Al número complejo =0+ · 1 lo llamamos el imaginario puro. Si = + es un número complejo, diremos que es la parte real de y la denotamos = Re . Por otro lado, es la parte imaginaria de que es denotada = Im . 
Es claro que = + es igual a = + si coinciden su parte real e imaginaria, es decir 
+ = + ⇔ = ∧ = 
164 A. NÚMEROS COMPLEJOS 
Podemos ver a R contenido en C, con la correspondencia → + ·0 y observamos que si nos restringimos a R, tenemos las reglas de adición y multiplicación usuales. 
La definición de la suma de dos números complejos no debería sorprendernos, pues es la suma “coordenada a coordenada”. La definición del producto se basa en que deseamos que 2 = −1, es decir que sea la solución de la ecuación polinómica 
2 +1=0, y que el producto sea distributivo. 
Primero, comprobemos que 2 = −1. Esto es debido a que 
2 = (0 + · 1)(0 + · 1) = (0 · 0 − 1 · 1) + (0 · 1+1 · 0) = −1 
y por lo tanto 2 +1= −1+1=0. 
Sean 0 = 0+ · 0 1 = 1+ · 0 ∈ C, es fácil comprobar que son los elementos neutros de la suma y el producto, respectivamente. Por otro lado, si = + , entonces − = − − es el opuesto aditivo de . El inverso multiplicativo es un poco más complicado. Primero observemos que dado + ∈ C, 
( + )( − ) = − (− ) = 2 + 2 ∈ R 
Supongamos que + = 0, encontremos a partir de las reglas de adición y multipli- cación la inversa de . Sea + tal que ( + )( + )=1, luego 
+ = 1 + = 1 + 
− − = ( + − 
)( − ) = − 2 + 2 = 2 + 2 − 2 + 2 
(observar que como + = 0, entonces 2 + 2 > 0.) 
Usando lo anterior, y un poco más de trabajo, obtenemos 
P A.2.1. Sean 0 = 0+ ·0 1 = 1+ ·0 ∈ C. Entonces, C con las operaciones ’+’y’·’, definidas en (61) y (62), respectivamente, es un cuerpo con elementos neutros 0 y 1, y 
−( + ) = − − 
( + )−1 = − 
2 + 2 para + = 0 
D . Ejercicio. D 
Hemos definido los números complejos como pares ordenados y como tales es posible representarlos en el plano R × R: 
√ Por 2 + el teorema de Pitágoras, la distancia del número complejo 2. 
+ al 0 es 
A. NÚMEROS COMPLEJOS 165 
+ 
F . Representación gráfica de los números complejos. 
3 −1 + 2 5 
212 + 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 
-1-2−2 5 − 2 5 -3F . Ejemplos de la representación gráfica de los números complejos. 
D A.2.2. Sea = + ∈ C. El módulo de es 
| | = √ 2 + 2 
El conjugado de es 
 ̄ = − 
E A.2.1. |4+3 | = √42 + 32 = √25 = 5, 4+3 = 4 − 3 . 
166 A. NÚMEROS COMPLEJOS 
P A.2.2. Sean y números complejos. 
1. ̄ = | |2. 
2. Si = 0, −1 = | |2. 3. + = + . 4. = . 
D . Son comprobaciones rutinarias. Para ejemplificar, hagamos la de- mostración de (4). 
Si = + y = + , entonces ( + )( + )=( − )+( + ) . Por lo tanto, 
= ( − ) − ( + ) Como = − y = − , 
= ( − (− )(− )) + ( (− ) + (− )) = ( − ) − ( + ) 
Por lo tanto = . D 
E A.2.1. Determinar el número complejo 2 − 3 + 1 − . S . El ejercicio nos pide que escribamos el número en el formato + . En general, para eliminar un cociente donde el divisor tiene parte imaginaria no nula, multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del divisor, como ∈ R, obtenemos un divisor real. En el ejemplo: 
2+3 + 1 − =2+3 + 1 − × 1 + 
1 + =2+3 + (1 + ) 
(1 − )(1 + ) =2+3 + − 1 
2 =2+3 + 2 − 12 = 32 + 72 
D 
Un poco de trigonometría. Recordemos que dado un punto = ( ) en el plano, la recta que une el origen con determina un ángulo θ con el eje y entonces 
= sen(θ) = cos(θ) 
donde es la longitud del segmento determinado por (0 0) y ( ). En el lenguaje de los números complejos, si = + y θ el ángulo determinado por y el eje horizontal, entonces 
= | |sen(θ) = | |cos(θ) es decir 
(63) = | |(cos(θ) + sen(θ)) 
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Si ∈ C, la fórmula (63) e llamada la forma polar de y θ es llamado el argumento de .Notación exponencial. Otra notación para representar a los números complejos es la notación exponencial, en la cual se denota 
θ := cos(θ) + sen(θ) 
Por lo tanto si ∈ C y θ es el argumento de , 
= θ 
donde = | |. No perder de vista, que la notación exponencial no es más que una notación (por ahora). 
P A.2.3. Sean 1 = 1 θ1, 2 = 2 θ2, entonces 
1 2 = 1 2 (θ1+θ2) 
D . 1 = 1(cos(θ1) + sen(θ1)), 2 = 2(cos(θ2) + sen(θ2)), luego 
1 2 = 1 2(cos(θ1) + sen(θ1))(cos(θ2) + sen(θ2)) 
=1 2(cos(θ1) cos(θ2) + cos(θ1) sen(θ2) + sen(θ1) cos(θ2) + 2 sen(θ1) sen(θ2)) 
= 1 2((cos(θ1) cos(θ2) − sen(θ1) sen(θ2)) + ( sen(θ1) cos(θ2) + cos(θ1) sen(θ2))) 
(∗)= 1 2(cos(θ1 + θ2) + sen(θ1 + θ2)) = 1 2 (θ1+θ2) 
La igualdad (∗) se debe a las tradicionales fórmulas trigonométrica del coseno y seno de la suma de ángulos. D