L-LIBRO-AZUL-CA-INDICE-CON-AUTORES-POR-CAPITULO-

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ELEMENTOS DE 
FUNCIONES 
COMPLEJAS PARA 
INGENIEROS 
 
 
Coordinadora: 
 Estela de Lourdes Juárez Ruiz 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE FUNCIONES COMPLEJAS PARA 
INGENIEROS 
 
Aportación del Cuerpo Académico BUAP-237 “Innovación Educativa en Ingeniería” como 
alternativa para un aprendizaje en el área de matemáticas para las Ingenierías. 
 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primera edición: junio 2019 
ISBN: 978-607-525-605-4 
 
 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
4 sur 104, Col. Centro Histórico, Puebla, Pue. CP 72000 
Teléfono: 01 (222) 229 55 00 
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Facultad de Ingeniería 
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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA • Rector: José Alfonso Esparza Ortiz • 
Secretario General: José Jaime Vázquez López • Vicerrector de Extensión y Difusión de la 
Cultura: José Carlos Bernal Suárez • Director General de Publicaciones: Hugo Vargas 
Comsille • Director de la Facultad de Ingeniería: Fernando Daniel Lazcano Hernández 
 
Hecho en México 
Made in Mexico 
 
 
http://www.buap.mx/
http://www.dgp.buap.mx/
http://www.ingenieria.buap.mx/
4 
 
Autores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dra. Estela De Lourdes Juárez Ruiz 
Facultad de Ciencias de la Electrónica 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
Dr. César Pérez Córdova 
Facultad de Ingeniería 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
Dr. José Luis Macias Ponce 
Facultad de Ingeniería 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
M. I. Silvia Contreras Bonilla 
Facultad de Ingeniería 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
M. C. Yatzuki Lucero De Castilla Rosales 
Facultad de Administración 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
 
 
5 
 
 
Revisores 
 
Dr. Michele Dei 
Centro Nacional de Microelectrónica 
Universidad Autónoma de Barcelona 
 
Dr. Tobías Nils Ackerman 
Centro Nacional de Microelectrónica 
Universidad Autónoma de Barcelona 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordinadora del Libro 
 
 
Dra. Estela De Lourdes Juárez Ruiz 
Facultad de Ciencias de la Electrónica 
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
 
 
 
6 
 
 
Colaboradores 
 
 
 
Alumnos: 
 
Diego Hernández Martínez 
 Alumno de la Facultad de Ingeniería 201564951 - BUAP 
 
Oscar Carbajal Vargas 
Alumno de la Facultad de Ingeniería 201450160 – BUAP 
 
Ruby Machorro García 
Alumna de la Facultad de Ingeniería 201313793 - BUAP 
 
Gloria Martínez Cruz 
Alumna de la Maestría en Educación Matemática 217470126 - BUAP 
 
Elizabeth Rosario Hernández Barrientos 
Alumna de la Facultad de Ingeniería 201413427 - BUAP 
 
 
 
 
 
 
7 
 
PROLOGO 
 
La idea de escribir este libro surge de la necesidad de encontrar un material de lenguaje 
sencillo, directo y ameno, que coadyuve a desarrollar el conocimiento y habilidades en los 
estudiantes-aprendices en el análisis complejo. Asimismo, que contribuya a llenar espacios 
y requerimientos para la formación de estudiantes de ingeniería, en un campo de 
conocimiento muy extenso como es la variable compleja, tratando de la concentrar los 
elementos fundamentales que serán de más utilidad para el estudiante en este contexto. 
Con la experiencia adquirida al impartir la asignatura durante varios años, se ha podido 
determinar cuál es el material más apropiado y adecuado para el aprendizaje de los 
estudiantes, con la mejor intención de apoyarlos para que logren aprendizajes significativos 
de estos temas. 
La importancia de la variable compleja en las carreras de ingeniería, en particular, se debe a 
que se encuentra inmersa en el plan de estudios. 
La variable compleja tiene relación con otras asignaturas del plan de estudios, como son la 
teoría de circuitos, el análisis de Fourier, los sistemas lineales, la teoría de control y las 
ecuaciones diferenciales, por mencionar solo algunas, que utilizan conceptos y métodos de 
las funciones de variable compleja en sus propios campos de conocimiento, y en problemas 
y aplicaciones de la vida cotidiana. 
El libro se ha diseñado con una propuesta didáctica sustentada en la comprensión de 
conceptos y métodos de la variable compleja, y el desarrollo de habilidades en la resolución 
de ejercicios, tratando de romper con el estructuralismo y meticulosidad de la exposición 
8 
 
matemática lógica-deductiva, para dar preferencia a un lenguaje sencillo y fluido que el 
aprendiz pueda comprender. De esta manera, prioriza la explicación de conceptos y la 
interpretación de los resultados o teoremas con ejemplos variados, para su aplicación en la 
solución de problemas del campo de acción ingenieril. 
Los temas se exponen buscando una cohesión didáctica e intuitiva que permita al estudiante 
avanzar con confianza. Se utiliza una simbología matemática lo más sencilla e intuitiva 
posible y gráficas para facilitar la comprensión de las ideas. 
Por el propósito fundamental del texto, se han omitido las demostraciones de algunos 
teoremas, sin embargo, se puede recurrir a la bibliografía sugerida al final del texto, para 
profundizar en aquellas nociones matemáticas más elaboradas cuando sea necesario. La 
mayoría de esos libros están disponibles en las bibliotecas de la universidad. Sin embargo, 
las horas disponibles para desarrollar un curso de esa naturaleza no son suficientes, por 
consiguiente, es recomendable proporcionar al estudiante una guía de aquellos conceptos 
fundamentales que de manera inicial lo introduzcan eficazmente en este campo. 
Los conocimientos necesarios para comprender el contenido de este libro son los del cálculo 
diferencial e integral, álgebra y trigonometría Se recomienda repasar los temas de derivación, 
integración, sucesiones y series por la parte de cálculo, y factorización de polinomios, 
descomposición de funciones en fracciones parciales, cálculo de raíces, funciones e 
identidades trigonométricas, entre otros. 
Para un mejor aprovechamiento de los contenidos del libro, se recomienda realizar una 
lectura minuciosa previa para la comprensión de conceptos y métodos, para después tratar de 
responder las preguntas de repaso propuestas al final de cada sección, explicando en voz alta 
9 
 
su propia interpretación y a continuación resolver los ejercicios propuestos, realizando los 
procedimientos explicados de tal manera que el aprendiz desarrolle sus propios 
conocimientos y habilidades en la resolución de ejercicios, tomando como base los ejemplos 
expuestos. Le recomendamos una actitud abierta y positiva sin desesperarse, ya que de suyo 
son temas comprensibles y de uso práctico para su profesión. 
El contenido de cada unidad se desglosa a continuación. En el primer Capítulo, se aborda el 
tema de números complejos, desde la descripción del problema que atienden como sus 
operaciones elementales, potenciación y radicación de números complejos. A continuación, 
en el segundo Capítulo se detalla el estudio de las funciones complejas, límites, continuidad 
y derivadas. En el tercero se tratan el estudio de las funciones elementales de variable 
compleja, exponiendo sus propiedades detalladamente. En el cuarto Capítulo se presenta la 
integración compleja, incluyendo un estudio detallado de los teoremas importantes 
relacionados con el cálculo de integrales. Finalmente, en el Capítulo cinco se aborda el tema 
de series de potencias, series de Taylor y de Laurent, para terminar con una clasificación de 
los ceros y singularidades de una función y el cálculo de residuos. 
Estela de Lourdes Juárez Ruiz 
Y demás autores del libro 
 
 
10Índice 
PROLOGO ................................................................................................................................. 7 
1 Números Complejos ............................................................................................................. 12 
Autores: Estela De Lourdes Juárez Ruiz, José Luis Macias Ponce, Diego Hernández Martínez ..... 12 
1.1 ¿Por qué y cómo fueron creados los números complejos? ....................................................13 
1.2 El número complejo 𝒊 y la forma binómica de los números complejos ..................................19 
1.3 Los números complejos conjugados .......................................................................................25 
1.4 La magnitud de un número complejo.....................................................................................28 
1.5 Forma trigonométrica de un número complejo .....................................................................33 
1.6 Raíces n-ésimas de un número complejo ...............................................................................41 
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas de segundo grado ..........................................................48 
 2 Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas ........................................................................ 53 
Autores: Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, César Pérez Córdova, Oscar Carbajal Vargas ......... 53 
2.1 Subconjuntos del plano complejo ..........................................................................................54 
2.2 Funciones de variable compleja .............................................................................................57 
2.3 Límites ....................................................................................................................................60 
2.4 Continuidad ............................................................................................................................64 
2.5 Derivada de una función compleja .........................................................................................68 
2.6 Analiticidad de funciones complejas ......................................................................................79 
3 Funciones Elementales ......................................................................................................... 84 
Autores: Silvia Contreras Bonilla, Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, Ruby Machorro García.... 84 
3.2 Función exponencial ...............................................................................................................87 
3.3 Funciones trigonométricas .....................................................................................................92 
3.4 Funciones hiperbólicas ...........................................................................................................97 
3.5 Funciones logarítmicas .........................................................................................................100 
3.6 Función potencial generalizada ............................................................................................105 
3.7 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas ..............................................................110 
4 Integración de funciones complejas .................................................................................... 113 
Autores: César Pérez Cordova, Estela De Lourdes Juárez Ruiz, Gloria Martínez Cruz ................ 113 
4.1. Curvas en el plano complejo ...............................................................................................114 
4.2. La integral compleja ............................................................................................................116 
4.3 Funciones definidas por integrales indefinidas ....................................................................121 
4.4. Teoremas de la Integral .......................................................................................................124 
11 
 
5. Series ............................................................................................................................... 132 
Autores: José Luis Macias Ponce, Silvia Contreras Bonilla, Elizabeth Rosario Hernández 
Barrientos ............................................................................................................................ 132 
5.1 Series de potencias ...............................................................................................................133 
5.2 Series de Taylor ....................................................................................................................137 
5.3 Series de Laurent ..................................................................................................................143 
5.4 Clasificación de las singularidades aisladas de una función..................................................147 
5.5 Clasificación de los ceros de una función .............................................................................151 
5.6 Residuos ...............................................................................................................................153 
Bibliografía ........................................................................................................................... 159 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
1 Números Complejos 
 
Estela De Lourdes Juárez Ruiz1, José Luis Macias Ponce2, Diego 
Hernández Martínez3 
 
1Facultad de Ciencias de la Electrónica – BUAP 
2Facultad de Ingeniería- BUAP 
3Alumno de la Facultad de Ingeniería 201564951 - BUAP 
 
Autores: Estela De Lourdes Juárez Ruiz, José Luis Macias Ponce, 
Diego Hernández Martínez 
 
 
 Explicar cuál fue la 
necesidad crear el 
conjunto de números 
complejos. 
 Explicar qué es un 
número complejo. 
 Identificar las 
propiedades de campo 
que cumplen. 
 Identificar las tres 
formas de expresar un 
número complejo. 
 Identificar los números 
complejos en el plano 
complejo. 
 Realizar operaciones de 
adición, sustracción, 
multiplicación y división 
de números complejos. 
 Establecer el conjugado, 
la magnitud y el 
argumento de un 
número complejo y 
aplicar sus propiedades 
en la resolución de 
ejercicios. 
 Realizar operaciones de 
potenciación y 
radicación de números 
complejos. 
 Graficar las raíces n-
ésimas de un número en 
el plano complejo 
ESTUDIANDO ESTE 
CAPÍTULO SERÁS CAPAZ DE: 
 
"He lamentado profundamente no haber avanzado al 
menos lo suficiente como para comprender algo de los 
grandes principios fundamentales de las matemáticas, 
porque los hombres que las dominan parecen poseer un 
sexto sentido." 
Charles Darwin (1809-1882) 
Naturalista inglés 
 
13 
 
1.1 ¿Por qué y cómo fueron creados los números complejos? 
La necesidad de crear los números complejos surge por el problema de resolver ecuaciones 
polinomiales con coeficientes reales. Aún ecuaciones de segundo grado tan simples como 
𝑥2 + 1 = 0 
no poseen ninguna solución en ℝ. Una forma simple de comprobar esto es graficando la 
función 𝑦 = 𝑥2 + 1 en el plano cartesiano. Se trata de la parábola 𝑦 = 𝑥2 trasladada hacia 
arriba una unidad (Fig. 1.1). 
Figura 1.1 Gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2 + 1. 
Como puedes observar, esta función nunca interseca al eje 𝑥, es decir, no existe un número 
real que satisfaga la ecuación. 
Así, el objetivo es construir un conjunto de números que sea una extensión del conjunto de 
los números reales ℝ, es decir, un conjunto de números lo suficientemente amplio para 
contener a los números reales, en el que se pueda resolver el problema de la existencia de 
soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes en este nuevo conjunto (en particular 
en ℝ). También se busca que las operaciones elementales de suma, diferencia, producto y 
división de números realesy sus propiedades no sufran cambio alguno, en lo posible. 
Dado que el conjunto de números reales se representa biunívocamente por los puntos de una 
línea recta, es decir, ocupa totalmente el espacio de dimensión uno, entonces se requiere 
14 
 
emigrar a un espacio de dos dimensiones para la propuesta de este nuevo conjunto, el 
conjunto de puntos del plano cartesiano. 
De esta manera, definimos el Conjunto de Números Complejos, denotado por ℂ, como el 
conjunto de pares ordenados con componentes en el conjunto de números reales. 
Simbólicamente, 
ℂ = {(𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}. 
Los elementos de ℂ se ubican en el llamado plano complejo. Los números complejos así 
definidos se dice que están en la forma de par ordenado. Más adelante veremos que existen 
dos formas más para representarlos. 
Igual que los números reales, requerimos que las operaciones de adición y multiplicación que 
se definan en este nuevo conjunto satisfagan los axiomas de campo1. Una forma de lograr 
esto, es definiendo la adición y multiplicación de números complejos de la manera siguiente: 
Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ son cualesquiera números complejos, entonces 
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) 
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) 
Observa que la multiplicación de números complejos parece complicada a simple vista y no 
intuitiva, y la pregunta que surge inmediatamente es ¿por qué no se define de forma similar 
a la suma, es decir, coordenada a coordenada? La respuesta es que de esta forma satisface las 
propiedades de campo, y el conjunto cumple con el objetivo de ser una extensión de los 
números reales, preservando la adición y multiplicación usual de números reales, como 
comprobaremos más adelante. 
Observa también que en la definición de suma hay dos signos +, el exterior a los pares 
ordenados es el que estamos definiendo y el que se encuentra en el interior de los paréntesis 
 
1 Un campo es una estructura algebraica definida sobre un conjunto de números en la que las operaciones 
de adición y la multiplicación cumplen con las propiedades de cerradura, asociativa, conmutativa y 
distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Además, existe un neutro aditivo y un neutro 
multiplicativo, un inverso aditivo y un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar las operaciones de 
sustracción y división (excepto la división entre cero). 
15 
 
es la operación de adición usual entre números reales. Lo mismo ocurre con la multiplicación, 
la externa ∙ es la nueva, y la interna es la que conoces de los números reales. 
Veamos las propiedades de campo. 
Propiedades de campo El conjunto de números complejos ℂ = {(𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} junto con 
las operaciones de adición y multiplicación, 
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) 
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) 
satisface las siguientes propiedades: 
C1. Cerradura: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ entonces, 
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) y (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ 
C2. Conmutativas: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ entonces, 
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1) y (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) = (𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎1, 𝑏1) 
C3. Asociativas: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3) ∈ ℂ entonces, 
[(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2)] + (𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1) + [(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)] 
[(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2)]∙(𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1)∙[(𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎3, 𝑏3)] 
C4. Distributiva: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3) ∈ ℂ entonces, 
(𝑎1, 𝑏1)∙[(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)] = (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎3, 𝑏3) 
C5. Existencia de neutros: Existen (0, 0), (1,0) ∈ ℂ (los cuales son distintos entre sí), tales 
que si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ, 
(𝑎, 𝑏) + (0, 0) = (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑏)∙(1,0) = (𝑎, 𝑏) 
C6. Existencia de inversos: Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ, existe el número (−𝑎,−𝑏) ∈ ℂ tal que 
(𝑎, 𝑏) + (−𝑎,−𝑏) = (0, 0) 
16 
 
Y si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ, con (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0), existe el número (
𝑎
𝑎2+𝑏2
,
−𝑏
𝑎2+𝑏2
) ∈ ℂ tal que 
(𝑎, 𝑏)∙ (
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
,
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
) = (1, 0) 
Veamos la comprobación de algunas de ellas. 
Demostración de C2: Para la multiplicación tenemos, 
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) = (𝑎2𝑎1 − 𝑏2𝑏1, 𝑏1𝑎2 + 𝑎1𝑏2 )
= (𝑎2𝑎1 − 𝑏2𝑏1, 𝑎2𝑏1 + 𝑏2 𝑎1) = (𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎1, 𝑏1) 
Observa que en la demostración hemos usado la propiedad conmutativa de la multiplicación 
y de la adición de números reales. 
Demostración de C3: 
[(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2)] + (𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)
= ((𝑎1 + 𝑎2) + 𝑎3, (𝑏1 + 𝑏2) + 𝑏3) = (𝑎1 + (𝑎2 + 𝑎3), 𝑏1 + (𝑏2 + 𝑏3))
= (𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2 + 𝑎3, 𝑏2 + 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1) + [(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)] 
De la tercera igualdad a la cuarta, hemos aplicado en cada coordenada la ley asociativa de la 
adición de números reales. Análogamente se prueba la asociatividad del producto. 
Demostración de C5: 
(𝑎, 𝑏) + (0, 0) = (𝑎 + 0, 𝑏 + 0) = (𝑎, 𝑏) 
Nuevamente observa que, de la segunda expresión a la tercera, se aplica la propiedad de 
neutro aditivo de la suma de números reales. Análogamente se prueba la igualdad del neutro 
multiplicativo. 
Para concluir esta sección, analizaremos la propiedad C6, en la que no es evidente que el par 
ordenado (
𝑎
𝑎2+𝑏2
,
−𝑏
𝑎2+𝑏2
) sea el inverso multiplicativo de (𝑎, 𝑏). Una forma de comprobarlo 
es plantear la ecuación 
(𝑎, 𝑏)∙(𝑥, 𝑦) = (1, 0) 
donde 𝑥 e 𝑦 son los números que buscamos. Realizando la multiplicación obtenemos, 
17 
 
(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦, 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥) = (1, 0) 
Dado que dos pares ordenados son iguales si y solo sí lo son coordenada a coordenada, 
obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 
{
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1
𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
 o bien, {
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
 
Resolviéndolo por el método de determinantes obtenemos: 
𝑥 =
|1 −𝑏
0 𝑎
|
|
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
|
=
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
, 𝑦 =
|
𝑎 1
𝑏 0
|
|
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
|
=
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
 
Así, el inverso multiplicativo del número complejo (𝑎, 𝑏) es (
𝑎
𝑎2+𝑏2
,
−𝑏
𝑎2+𝑏2
), siempre que 
𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0, es decir, siempre que (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0). Veamos ahora la comprobación de que 
este número complejo satisface la propiedad C6. 
Demostración de C6: 
(𝑎, 𝑏)∙ (
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
,
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
) = (𝑎
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
− 𝑏
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
, 𝑎 
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
+ 𝑏
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
) 
= (
𝑎2
𝑎2 + 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
,
−𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2
+
𝑏𝑎
𝑎2 + 𝑏2
) = (
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
,
−𝑎𝑏 + 𝑏𝑎
𝑎2 + 𝑏2
 ) = (1, 0) 
De esta manera, el conjunto de los números complejos satisface las propiedades de campo. 
La propiedad C6 permite definir los conceptos de diferencia y división de números complejos 
al establecer las siguientes convenciones: 
Para todo (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ, denotaremos 
(𝑎1, 𝑏1) − (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1, 𝑏1) + (−𝑎2, −𝑏2) 
donde (−𝑎2, −𝑏2) es el inverso aditivo de (𝑎2, 𝑏2). 
Análogamente, para todo (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ, con (𝑎2, 𝑏2) ≠ (0,0), denotaremos 
(𝑎1, 𝑏1)
(𝑎2, 𝑏2)
= (𝑎1, 𝑏1)∙(
𝑎2
 𝑎22 + 𝑏2
2 ,
−𝑏2
𝑎22 + 𝑏2
2), 
18 
 
en particular, 
1
(𝑎2, 𝑏2)
= (𝑎2, 𝑏2)
−1 = (
𝑎2
 𝑎22 + 𝑏2
2 ,
−𝑏2
𝑎22 + 𝑏2
2) 
Preguntas de repaso 
1. ¿De qué problema en el conjunto de los números reales surge la necesidad de crear el 
conjunto de los números complejos? 
2. ¿Qué es un número complejo? 
3. ¿Cómo se representa geométricamente? 
4. ¿Cuándo son iguales dos números complejos? 
5. ¿Cuáles son las propiedades de adición y multiplicación que cumplen los números 
complejos? 
6. ¿Qué números complejos son el neutro aditivo y el idéntico multiplicativo? 
 
Ejercicios 
1. Ubica en el plano complejo los números (4, 2), (−3,5), (−4,−3) y (5, −2). 
Realiza las operaciones de números complejos indicadas. 
2. (2, 3) + (−5, 8) 
3. (5, 7) + (4,−3) 
4. (−4,−3) + (−1,−5) 
5. (−3, 7) − (4,−6) 
6. (8, 4) − (−3, 2) 
7. (−3, 7)− (8,−3) 
8. (1, −4)(7, 6) 
9. (3, −3)(7, 0) 
10. (−2, 3)(4,−2) 
11. 
1
(0,1)
 
12. 
1
(4,7)
 
13. 
(9,6)
(7,1)
 
14. 
(4,3)
(2,5)
 
15. [(1, 3) + (5,7)](8, 2) 
16. [(2, 5) − (3, 9)][(1, 5) + (8, 2)] 
17. (10, 5)[(0, 3) + (24, 8)] 
18. 
(9,4)+(2,1)
(−3,2)+(5,2)
 
19. 
(0,−2)−(5,7)
(4,5)(3,2)
 
20. 
(−8,3)(5,1)
(3,4)
 
21. 
(2,−9)
(4,2)
 
(5,7)
(3,7)
19 
 
1.2 El número complejo 𝒊 y la forma binómica de los números 
complejos 
Analicemos ahora por qué el conjunto de números que hemos creado es una extensión del 
conjunto de los números reales, ℝ. Lo primero que debemos observar es que, si ubicamos en 
el plano complejo al neutro aditivo (0,0) y al neutro multiplicativo (1, 0), ambos se 
encuentran en el eje 𝑥 (Fig. 1.2). 
Figura 1.2 Ubicación del neutro aditivo y multiplicativo en el plano complejo. 
Recordemos que este eje -el eje 𝑥- está formado por todos los pares ordenados de la forma 
(𝑎, 0), 𝑎 ∈ ℝ. Ahora bien, si tomamos cualesquiera dos números en este eje y operamos con 
ellos la adición y multiplicación, 
(𝑎1, 0) + (𝑎2, 0) = (𝑎1 + 𝑎2, 0) 
(𝑎1, 0)(𝑎2, 0) = (𝑎1𝑎2, 0) 
obtenemos números complejos que están ubicados ahí mismo, es decir, no abandonamos el 
eje 𝑥, por lo que las operaciones son cerradas ahí. Más aún, el inverso aditivo de (𝑎, 0) es 
(−𝑎, 0) y si 𝑎 ≠ 0 el inverso multiplicativo de (𝑎, 0) es (
𝑎
𝑎2+02
,
−0
𝑎2+02
) = (
1
𝑎
, 0) por lo que 
ambos también pertenecen al eje 𝑥. 
20 
 
Además, este subconjunto de números complejos con las operaciones de adición y 
multiplicación es idéntico al conjunto de números reales, excepto por la notación en forma 
de par ordenado con cero en la segunda coordenada. Por ello, podemos afirmar que el 
conjunto de números reales con su estructura de campo se encuentra inmerso en el conjunto 
de los números complejos a través de los puntos del eje 𝑥. De ahora en adelante, denotaremos 
a estos puntos simplemente como, 
(𝑎, 0) = 𝑎 
y llamaremos a este eje, el eje real. 
Con este análisis, hemos podido comprobar que el conjunto de los números complejos es una 
extensión de los números complejos. Tanto geométricamente, así como en sus operaciones 
de adición y multiplicación, y en sus propiedades de campo. 
Analicemos ahora el conjunto de números complejos ubicados en el eje 𝑦. Si multiplicamos 
un número del eje 𝑥 por el número (0,1), 
𝑏∙(0,1) = (𝑏, 0)∙(0,1) = (0, 𝑏) 
obtenemos un número complejo del eje 𝑦, que es un múltiplo del número (0,1). Por esa razón 
a este número le llamaremos unidad imaginaria y lo denotaremos por 𝑖, es decir, 𝑖 = (0,1). 
Al eje 𝑦 lo llamaremos eje imaginario y a los números de la forma (0, 𝑏) = 𝑏∙(0,1) = 𝑏𝑖, 
ubicados en este eje les llamaremos imaginarios puros. 
Con todo lo anterior, podemos concluir que cualquier número complejo (𝑎, 𝑏) puede 
escribirse en la forma, 
(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 
la cual es otra forma de representar al número complejo (𝑎, 𝑏) llamada forma binómica, en 
alusión a un binomio algebraico. Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo, 𝑎 se llama parte real 
o 𝑅𝑒 𝑧 (se lee 𝑅𝑒 de 𝑧) y 𝑏 parte imaginaria o 𝐼𝑚 z (𝐼𝑚 de 𝑧). Observa que la parte imaginaria 
de 𝑧 es sólo 𝑏, no 𝑏𝑖, es decir, no incluye a la unidad imaginaria 𝑖. 
El número 𝑖 satisface, 𝑖2 = (0,1)∙(0,1) = (−1,0) = −1, es decir, es una solución de la 
ecuación algebraica 𝑥2 + 1 = 0. Más aún, el número, 
21 
 
(0,−1) = −1∙(0,1) = (−1)𝑖 = −𝑖 
es otra solución de la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 pues, 
 (−𝑖)2 = (0,−1)∙(0,−1) = (−1, 0) = −1 
Al encontrar en este nuevo conjunto las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 1 = 0, hemos 
resuelto el problema inicialmente planteado. Más adelante veremos que esta ecuación sólo 
posee estas soluciones y ninguna otra por ser una ecuación de segundo grado. 
Repasemos ahora las operaciones de adición y multiplicación de números complejos cuando 
se encuentran en forma binómica. Si realizamos estas operaciones como operaciones usuales 
de expresiones algebraicas, tenemos 
(𝑎1 + 𝑖𝑏1) + (𝑎2 + 𝑖𝑏2) = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑖𝑏1 + 𝑖𝑏2 = (𝑎1 + 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 + 𝑏2) 
(𝑎1 + 𝑖𝑏1)∙(𝑎2 + 𝑖𝑏2) = 𝑎1𝑎2 + 𝑖𝑎1𝑏2 + 𝑖𝑏1𝑎2 + 𝑖
2𝑏1𝑏2
= 𝑎1𝑎2 + (−1)𝑏1𝑏2 + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2) + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) 
que son los mismos resultados de adición y multiplicación de números complejos en forma 
de par ordenado, con la ventaja de que con la forma binómica es algebraicamente natural 
obtener estos resultados. 
A continuación, analizaremos cómo realizar la división de números complejos cuando se 
encuentran en forma binómica. 
Cuando el denominador es un número real 𝑐 ≠ 0, podemos simplemente multiplicar 1 𝑐⁄ por 
la parte real y la imaginaria, 
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐
= (𝑎 + 𝑏𝑖)∙
1
𝑐
=
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
𝑖 
Sin embargo, cuando el denominador es un número complejo, se requiere realizar un 
procedimiento algebraico para convertir el denominador en un número real, reduciendo el 
problema al caso anterior. Si 𝑐 + 𝑑𝑖 es el denominador de un cociente de números complejos, 
con 𝑐 + 𝑑𝑖 ≠ 0, multiplicando y dividiendo el cociente por el conjugado 𝑐 − 𝑑𝑖 y aplicando 
el caso anterior, obtenemos 
22 
 
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
=
(𝑎 + 𝑏𝑖)
(𝑐 + 𝑑𝑖)
∙
(𝑐 − 𝑑𝑖)
(𝑐 − 𝑑𝑖)
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐2 + 𝑑2
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)
𝑐2 + 𝑑2
+ 
(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)
𝑐2 + 𝑑2
𝑖 
Ejemplo 1.1 Realicemos la división de 12 + 8𝑖 entre 2 − 3𝑖: 
12 + 8𝑖
2 − 3𝑖
=
(12 + 8𝑖)
(2 − 3𝑖)
∙
(2 + 3𝑖)
(2 + 3𝑖)
=
(24 − 24) + (36 + 16)𝑖
23 + 32
=
52𝑖
13
= 4𝑖 
En este ejemplo en particular, la parte real del número resultó ser igual a cero. 
Habiendo definido las operaciones fundamentales de los números complejos y dos formas de 
representarlos, demos un paso hacia delante. Veamos ahora cómo calcular potencias 
positivas de números complejos. En este caso, utilizaremos la representación en forma 
binómica. Iniciemos con el número 𝑖. 
Ejemplo 1.2 Calculemos algunas potencias no negativas de 𝑖. Definimos 
𝑖0 = 1 igual que en los números reales. Por un proceso de retroalimentación podemos ir 
construyendo las potencias de 𝑖. Algunas de ellas se pueden visualizar en la Tabla 1. 
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −𝑖 
𝑖4 = 𝑖2𝑖2 = 1 𝑖5 = 𝑖4𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖5𝑖 = −1 𝑖7 = 𝑖6𝑖 = −𝑖 
𝑖8 = 𝑖7𝑖 = 1 𝑖9 = 𝑖8𝑖 = 𝑖 𝑖10 = 𝑖9𝑖 = −1 𝑖11 = 𝑖10𝑖 = −𝑖 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
Tabla 1.1 Potencias positivas del número 𝑖 
Como puedes observar, solo se obtienen cuatro posibles resultados, los cuales están 
ordenados cíclicamente. Podemos obtener una fórmula para calcular cualquier potencia 
positiva de 𝑖 a través de los múltiplos de cuatro: 4𝑘, 4𝑘 + 1, 4𝑘 + 2 𝑦 4𝑘 + 3, con 𝑘 ∈ ℕ ∪
{0}, como se muestra en la Tabla 1.2. 
𝑖4𝑘 = 1 𝑖4𝑘+1 = 𝑖 𝑖4𝑘+2 = −1 𝑖4𝑘+3 = −𝑖 
Tabla 1.2 Fórmulas de las potencias positivas de 𝑖 
Para recordar estas fórmulas, es suficiente ubicar los cuatro valores en un círculo, recordando 
cómo están ubicados en el plano complejo (ver la Fig. 1.3). Las potencias sucesivas de 𝑖, 
23 
 
iniciando por 𝑖0 = 1 se obtienen al ir girando consecutivamente en sentido contrario a las 
manecillas del reloj, como se muestra en la Fig. 1.3. 
Fig. 1.3 Visualización de las potencias sucesivas de 𝑖. 
Para el caso general, la potencia 𝑛-ésima del número complejo (𝑎 + 𝑏𝑖) se puede calcular 
aplicando la fórmula del binomio de Newton, 
(𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛 = (
𝑛
0
)𝑎𝑛(𝑏𝑖)0 + (
𝑛
1
) 𝑎𝑛−1(𝑏𝑖)1 + (
𝑛
2
) 𝑎𝑛−2(𝑏𝑖)2 +⋯+ (
𝑛
𝑛
)𝑎0(𝑏𝑖)𝑛 
donde 
(
𝑛
𝑘
) ∶=
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
, 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 
son los llamados coeficientes binomiales, que proporcionan el número de formas en que se 
pueden seleccionar 𝑘 objetos de un conjunto de 𝑛. Estos coeficientes binomiales se pueden 
localizar también en los números del Triángulo de Pascal (Fig. 1.4) 
 
Figura 1.4 Coeficientes binomiales en el triángulo de Pascal desde 𝑛 = 0, 1, … ,6. 
24 
 
Como puede observarseen la Fig. 1.4, cada nivel horizontal de triángulo proporciona los 
coeficientes binomiales ordenados que se requieren para desarrollar la potencia 
(𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛, 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, donde (𝑎 + 𝑏𝑖)0 = 1 corresponde al primer nivel. 
Ejemplo 1.3 Calculemos la potencia cuarta de 2 + 3𝑖. 
(2 + 3𝑖)4 = (
4
0
) 24(3𝑖)0 + (
4
1
)23(3𝑖)1 + (
4
2
)22(3𝑖)2 + (
4
3
)21(3𝑖)3 + (
4
4
) 20(3𝑖)4
= (1)24 + (4)23(3𝑖) + (6)229𝑖2 + (4)2(27)𝑖3 + (1)(81)𝑖4
= 16 + 96𝑖 − 216 − 216𝑖 + 81 = −119 − 120𝑖 
En resumen, con este procedimiento podemos calcular cualquier potencia positiva de un 
número complejo, siempre y cuando 𝑛 no sea demasiado grande, en cuyo caso, este 
procedimiento se vuelve poco práctico. Más adelante veremos otra forma de calcular 
cualquier potencia de números complejos, incluyendo las potencias negativas. 
 
Preguntas de repaso 
1. De lo que has aprendido hasta este momento, describe las formas en las que se puede 
representar un número complejo y su nombre. 
2. ¿Cuál es el número complejo llamado unidad imaginaría? ¿Dónde se encuentra ubicado 
en el plano complejo? 
3. ¿Explica cómo los números complejos se encuentran inmersos en el conjunto de los 
números reales? 
4. ¿Cómo se realiza la adición y multiplicación de números complejos en forma binómica? 
5. ¿Cómo se realiza la sustracción y división de números complejos en forma binómica? 
6. ¿Qué característica tienen las potencias no negativas del número 𝑖? 
7. ¿Cómo se calculan las potencias del número 𝑖? 
8. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular potencias positivas de un número complejo en forma 
binómica? ¿Cómo se desarrolla? 
9. ¿Qué es el coeficiente binomial y qué relación tiene con el triángulo de Pascal? 
 
25 
 
Ejercicios 
Realiza las siguientes operaciones de números complejos 
1. (1 + 3𝑖) + (−5 + 8𝑖) 
2. (2 − 8𝑖) − (9 + 1𝑖) 
3. (−7 − 4𝑖)∙(2 − 7𝑖) 
4. 
(5−1𝑖)
(7+5𝑖)
 
5. (1 + 𝑖)∙[(2 − 𝑖) + 6𝑖] 
6. 2𝑖(4 − 5𝑖) − 𝑖(8 − 7𝑖) 
7. 
2+3𝑖
2−3𝑖
+
5+3𝑖
3𝑖
 
8. 
1+𝑖
(1−𝑖)2
 
9. [(1 − 𝑖) + (
1
1−𝑖
)]
2
 
10. (
1+2𝑖
3−4𝑖
)
2
 
11. 𝑖298 
12. 𝑖679 
13. 𝑖4 + 5𝑖3 − 3𝑖2 + 7 
14. (𝑖2 + 1)(𝑖2 − 1) 
15. (1 + 𝑖)5(2 − 3𝑖)4 
16. (
1+𝑖
1−𝑖
)
100
1.3 Los números complejos conjugados 
Ya habíamos utilizado el conjugado binomial 𝑎 − 𝑏𝑖 del número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 para 
dividir números complejos escritos en forma binómica. El número 𝑎 − 𝑏𝑖 se llama el 
complejo conjugado de 𝑎 + 𝑏𝑖 y se denota por 
 
𝑎 + 𝑏𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 
 
Geométricamente, el conjugado de un número complejo es la reflexión del punto con 
respecto al eje real. Así, por ejemplo, el complejo conjugado de −3 − 2𝑖 es −3 + 2𝑖 y el de 
3 + 3𝑖 es 3 − 3𝑖 (Fig. 1.5). 
26 
 
 
Figura 1.5 Números complejos conjugados. 
Cuando realizamos operaciones elementales con conjugados complejos, se satisfacen 
propiedades interesantes, veámoslas. Sean 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 números complejos 
cualesquiera, entonces: 
P1: 𝑧 + 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧̅ + �̅� 
P2: 𝑧 − 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧̅ − �̅� 
P3: 𝑧∙𝑤̅̅ ̅̅ = 𝑧̅∙�̅� 
P4: (
𝑧
𝑤
)
̅̅ ̅̅ ̅
=
�̅�
�̅�
 
P5: 
𝑧+�̅�
2
= 𝑅𝑒 𝑧 y 
𝑧−�̅�
2𝑖
= 𝐼𝑚 𝑧 
P6: 𝑧 ̿ = 𝑧 
Demostraremos algunas de ellas y las otras las dejaremos como ejercicios, para que 
practiques. 
Demostración de P1: 
𝑧 + 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖
= (𝑎 − 𝑏𝑖) + (𝑐 − 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + (𝑐 + 𝑑𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧̅ + �̅� 
27 
 
Demostración de P3: 
𝑧𝑤̅̅ ̅̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)∙∙(𝑐 + 𝑑𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
= (𝑎 − 𝑏𝑖)∙(𝑐 − 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅∙(𝑐 + 𝑑𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧̅∙�̅� 
Demostración de P5: 
𝑧 + 𝑧̅
2
=
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
2
=
𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖
2
=
2𝑎
2
= 𝑎 = 𝑅e 𝑧 
𝑧 − 𝑧̅
2𝑖
=
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑎 + 𝑏𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
2𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑎 − 𝑏𝑖)
2𝑖
=
2𝑏𝑖
2𝑖
= 𝑏 = 𝐼𝑚 𝑧 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Cómo se define el conjugado de un número complejo? 
2. ¿Qué relación geométrica existe entre un número complejo y su conjugado? 
3. ¿Qué números son iguales a su conjugado complejo? 
4. ¿Cuál es la operación entre un número complejo y su conjugado que da como resultado 
la parte real del número? 
5. ¿Cuál es la operación entre un número complejo y su conjugado que da como resultado 
la parte imaginaria del número? 
6. ¿Cuál operación entre un número y su conjugado que da como resultado un número 
imaginario puro? 
 
Ejercicios 
Demuestra las siguientes propiedades de conjugación de números complejos: 
1. 𝑧 − 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧̅ − �̅� 
2. (
𝑧
𝑤
)
̅̅ ̅̅ ̅
=
�̅�
�̅�
 
3. 𝑧 ̿ = 𝑧 
28 
 
Calcula las siguientes expresiones. Cuando sea posible, utiliza las propiedades de 
conjugación de números complejos 
4. (2 + 3𝑖) + (5 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
5. (2 + 3𝑖)∙(5 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
6. (
(3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖
)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
7. (
(3+4𝑖)+(1+𝑖)
(3−4𝑖)
)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
8. 
(5+9𝑖)∙(4+7𝑖)
(3𝑖)∙(3+2𝑖)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
9. (6 − 2𝑖)3̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
1.4 La magnitud de un número complejo 
En esta sección vamos a definir la extensión del concepto de valor absoluto en los números 
reales, al campo de los números complejos. 
Recordemos que geométricamente, el valor absoluto de un número real representa la 
distancia del punto al origen, considerando la distancia siempre no negativa (observa la Fig. 
1.6). Así, por ejemplo, la distancia del punto −3.5 al origen es igual a |−3.5| = 3.5 y la del 
punto ubicado en la coordenada 3 es |3| = 3. 
Figura 1.6 valor absoluto de un número. 
En el caso de los números complejos, ya que también se representan como puntos en el plano 
complejo, definimos su magnitud como su distancia al origen. Es decir, si = (𝑎, 𝑏) es un 
número complejo, la magnitud o módulo de 𝑧, denotada por |𝑧|, se define como 
|z| = √𝑎2 + 𝑏2 
29 
 
Esta magnitud se ha calculado aplicando el teorema de Pitágoras (ver la Fig. 1.7) 
Fig. 1.7 Magnitud de un número complejo. 
Observa que 
𝑧∙𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 = |𝑧|2 
es decir, 
|z| = √𝑧∙𝑧̅ 
Para el estudio que realizaremos a continuación, consideraremos a los números complejos 
también como vectores con punto inicial el origen y punto terminal el punto correspondiente 
al número complejo 𝑧 = (𝑎, 𝑏), como puede observarse en la Fig. 1.8. 
Figura 1.8 Magnitud de un número complejo. 
30 
 
Algunas propiedades de la magnitud de un número complejo se enuncian a continuación. 
Para cualesquiera números complejos 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ y cualquier número 𝑎 ∈ ℝ, 
M1 |𝑧| ≥ 0 
M2 −|𝑧| ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ |𝑧| y −|𝑧| ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ |𝑧| 
M3 |𝑧| = |𝑧̅| 
M4 |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| 
M5 |𝑧| − |𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤| 
M6 |𝑧∙𝑤| = |𝑧||𝑤| 
M7 |
𝑧
𝑤
| =
|𝑧|
|𝑤|
 , si 𝑤 ≠ 0 
M8 |𝑎∙𝑧| = |𝑎||𝑧| (|𝑎| denota al valor absoluto de 𝑎) 
La propiedad M4 se llama desigualdad del triángulo por su significado geométrico vinculado 
a la suma de vectores en el plano (Fig. 1.9). 
Figura 1.9 Representación de la desigualdad del triángulo. 
 
 
31 
 
Demostración de M1: 
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 ≥ 0 
Dado que la magnitud de un número complejo se considera un número no negativo. 
Demostración de M2: 
Como es verdadero que 𝑎2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2, entonces −√𝑎2 + 𝑏2 ≤ 𝑎 ≤ √𝑎2 + 𝑏2, es decir, 
−|𝑧| ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ |𝑧|. 
Análogamente se demuestra la otra desigualdad de M2. 
Demostración de M3: 
Desarrollando el módulo de 𝑧 
|𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑎2 + (−𝑏)2 = |𝑎 − 𝑏𝑖| = |𝑧̅| 
Demostración de M4: 
Más que probar la desigualdad original, probaremos que |𝑧 + 𝑤|2 ≤ (|𝑧| + |𝑤|)2 
|𝑧 + 𝑤|2 = (𝑧 + 𝑤)∙(𝑧 + 𝑤)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑧+ 𝑤)∙(𝑧̅ + �̅�) = 𝑧∙𝑧̅ + 𝑧∙�̅� + 𝑤∙�̅� + 𝑤∙�̅� = (1) 
pero 𝑧�̅�̅̅ ̅̅ = 𝑧̅�̿� = 𝑧̅𝑤 = 𝑤𝑧̅, entonces 
(1) = |𝑧|2 + 𝑧∙�̅� + 𝑧∙�̅�̅̅ ̅̅ + |𝑤|2 = |𝑧|2 + 2 Re 𝑧∙�̅� + |𝑤|2 ≤ |𝑧|2 + 2|𝑧∙�̅�| + |𝑤|2
= |𝑧|2 + 2|𝑧||�̅�| + |𝑤|2 = (2) 
Pero por la propiedad M3, |𝑤| = |�̅�| por lo que 
(2) = |𝑧|2 + 2|𝑧||𝑤| + |𝑤|2 = (|𝑧| + |𝑤|)2 
Por lo tanto, 
|𝑧 + 𝑤|2 ≤ (|𝑧| + |𝑤|)2 
Demostración de M5: 
|𝑧| = |(𝑧 − 𝑤) + 𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤| + |𝑤| 
entonces, 
32 
 
|𝑧| ≤ |𝑧 − 𝑤| + |𝑤| 
por lo que 
|𝑧| − |𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤| 
Las últimas propiedades se dejan como ejercicios. 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Qué es la magnitud o módulo de un número complejo? ¿Cómo se calcula? 
2. ¿Puede ser negativa la magnitud de un número complejo? ¿Cuándo es exactamente 
igual a cero? 
3. ¿Qué establece la desigualdad del triángulo? ¿En qué caso se cumple la igualdad? 
4. ¿A qué es igual |𝑧∙𝑤|? 
5. ¿A qué es igual |
𝑧
𝑤
| , si 𝑤 ≠ 0? 
 
Ejercicios 
Realiza las siguientes operaciones. Cuando sea posible, aplica las propiedades de la 
magnitud de números complejos que hemos estudiado en esta sección. 
1. |𝑖| 
2. |3 + 5𝑖| 
3. |−2 + 3𝑖|2 
4. |(6 − 8𝑖) + (9 − 5𝑖)| 
5. |(3 − 5𝑖) − (2 − 𝑖)| 
6. |(2 + 2𝑖)∙(4 − 7𝑖)| 
7. |
5−6𝑖
5+6𝑖
| 
8. |
(3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖
| 
9. |𝑖∙
(3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖
| 
10. |
4−5𝑖
7−4𝑖
|
2
 
 
Demuestra las siguientes propiedades 
11. −|𝑧| ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ |𝑧| 
12. |𝑧∙𝑤| = |𝑧||𝑤| 
13. |
𝑧
𝑤
| =
|𝑧|
|𝑤|
, si 𝑤 ≠ 0 
33 
 
14. |𝑎∙𝑧| = |𝑎||𝑧| 
15. Si 𝑧 = 𝑧̅, entonces 𝑧 es un número real. 
 
1.5 Forma trigonométrica de un número complejo 
En la Sección 1.3 hemos estudiado como calcular potencias enteras no negativas de un 
número complejo a través del teorema del binomio de Newton, sin embargo, no hemos 
resuelto el problema del cálculo de potencias muy grandes que con el uso de esta fórmula se 
vuelve ineficiente, o potencias enteras negativas. Tampoco hemos atendido el problema del 
cálculo de raíces de números complejos. En esta sección estudiaremos un método que permite 
atender estos problemas a través de una tercera forma de representar un número complejo. 
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧 ≠ 0. Considerando su representación geométrica como vector en el plano 
complejo, construyamos el triángulo rectángulo que se forma al trazar un segmento de recta 
vertical pasando por el punto 𝑧 = (𝑎, 𝑏) y dibujemos el ángulo 𝜃 que se forma entre el eje 
positivo real y el vector 𝑧, como se muestra en la Fig. 1.10. 
El valor de cada coordenada mediante las funciones trigonométricas seno y coseno de 𝜃 es: 
cos 𝜃 =
𝑎
|𝑧|
⟹ 𝑎 = |𝑧| cos 𝜃 ; sen 𝜃 =
𝑏
|𝑧|
⟹ 𝑏 = |𝑧| sen 𝜃 
Sustituyendo estos valores en el número complejo 𝑧 tenemos, 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = |𝑧| cos 𝜃 + |𝑧|𝑖 sen 𝜃 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) 
Llamamos forma trigonométrica de 𝑧 a la expresión 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃). 
 
 
 
34 
 
Figura 1.10 Representación del número complejo 𝑧. 
 
El ángulo 𝜃 se llama argumento de 𝑧 y se denota por arg(𝑧). Tiene una medida positiva si 
gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativa si gira en el mismo sentido de 
las manecillas. Lo mediremos en radianes. Cuando 𝜃 ∈ (−𝜋, 𝜋] se llamará argumento 
principal de 𝑧 y lo denotaremos por Arg(𝑧) (con mayúscula). 
Para realizar esta representación del número complejo 𝑧 hemos supuesto que 𝑧 ≠ 0, esto es 
necesario porque el número 𝑧 = 0 + 0𝑖 no posee un argumento definido, por lo que no tiene 
una representación en forma trigonométrica. Así, todos los números complejos se pueden 
representar en forma trigonométrica, excepto el cero. 
En la práctica, para hallar la forma trigonométrica de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, solo 
necesitamos calcular su magnitud y argumento, esto puede hacerse aplicando las fórmulas: 
|𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 , tan 𝜃 =
𝑏
𝑎
 ⟹ 𝜃 = arctan (
𝑏
𝑎
) 
En el caso de números complejos ubicados en los ejes real o imaginario, el argumento se 
calcula directamente por observación (en este caso, 𝜃 es un múltiplo de 𝜋 2⁄ ). 
35 
 
Ejemplo 1.4 Calculemos la forma trigonométrica de 2 + 5𝑖. Primero dibujamos el vector 
asociado al número complejo en el plano (Fig. 1.11), para identificar en qué cuadrante se 
halla ubicado, ya que para calcular el argumento en los cuadrantes II y III se requiere hacer 
un ajuste del valor que proporciona la calculadora. A continuación, calculamos su magnitud 
y argumento principal, 
|2 + 5𝑖| = √22 + 52 = √29, 𝜃 = arctan (
𝑏
𝑎
) = arctan (
5
2
) = 1. 1903 
Entonces, la forma trigonométrica es 
2 + 5𝑖 = √29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903) 
 
Figura 1.11 Ubicación del número 𝑧 = 2 + 5𝑖 en el plano complejo. 
La forma trigonométrica de un número complejo nos permite calcular la multiplicación y 
división de números complejos, como veremos a continuación. 
Consideremos dos números complejos arbitrarios diferentes de cero en forma trigonométrica: 
𝑧1 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1), 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2) 
 
36 
 
Entonces, 
𝑧1 𝑧2 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1) 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)
= 𝑟1𝑟2(cos 𝜃1 cos 𝜃2 − sen𝜃1 sen 𝜃2) + 𝑖(cos 𝜃1 sen 𝜃2 + sen 𝜃1 cos 𝜃2)
= 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 + 𝜃2)) 
En el desarrollo anterior, hemos aplicado conocidas identidades trigonométricas del seno y 
coseno de una suma de ángulos. Así, hemos probado que, 
𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1) 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2) = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 + 𝜃2)) 
Esta fórmula, además de ser muy simple de recordar, permite observar el significado 
geométrico del producto de dos números complejos, el cual nos había parecido inicialmente 
complejo y no intuitivo. La multiplicación de dos números complejos es el número complejo 
cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de los números involucrados y cuyo 
argumento, es la suma de los argumentos de los dos números en cuestión (Fig. 1.12). 
Figura 1.12 Ilustración del producto de dos números complejos en forma trigonométrica. 
En el caso particular de la multiplicación de un número complejo por sí mismo, obtenemos 
la simple fórmula 
37 
 
𝑧2 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃)𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) = 𝑟2(cos 2𝜃 + 𝑖 sen 2𝜃) 
la cual se generaliza en el siguiente teorema. 
Fórmula de Moivre Sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) un número complejo en forma 
trigonométrica y 𝑛 ∈ ℕ, entonces la 𝑛-ésima potencia de 𝑧 está dada por 
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen 𝑛𝜃) 
Aplicando la fórmula de Moivre, podemos calcular potencias positivas grandes de números 
complejos, de forma rápida. Veamos un ejemplo. 
Ejemplo 1.5 Calculemos (2 + 5𝑖)50. Expresando el número en forma trigonométrica, la cual 
fue obtenida en el ejemplo 1.4 obtenemos, 
(2 + 5𝑖)50 = (√29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903))
50
= (√29)
50
(cos 50(1.1903) + 𝑖 sen 50(1.1903))
= 2925(cos 59. 515 + 𝑖 sen 59. 515)
= −3. 5747 × 10³⁶ + 6. 3301 × 10³⁵𝑖 
Haciendo el cálculo directo mediante un programa computacional, obtenemos 
(2 + 5𝑖)50 = −3. 5744 × 1036 + 6. 348 × 1035𝑖 
Observa que existe un error en el resultado generado al utilizar la forma trigonométrica. Este 
es el precio que debemos pagar por utilizar una aproximación en el valor del argumento del 
número complejo. 
Analicemos ahora el caso de la división de dos números complejos en forma trigonométrica, 
𝑧1
𝑧2
=
𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1)
𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2)
=
𝑟1
𝑟2
(cos 𝜃1 + 𝑖 sen𝜃1)
(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)
(cos 𝜃2 − 𝑖 sen 𝜃2)
(cos 𝜃2 − 𝑖 sen 𝜃2)
=
𝑟1
𝑟2
(cos 𝜃1 cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃1 sen 𝜃2) + 𝑖(sen𝜃1 cos 𝜃2 − cos 𝜃1 sen 𝜃2)
cos2 𝜃2 + 𝑖 sen2 𝜃2
=
=
𝑟1
𝑟2
(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 − 𝜃2)) 
Donde nuevamente hemos aplicado las conocidas identidades trigonométricas del seno y 
coseno de la diferencia de dos ángulos. Entonces, podemos concluir que 
38 
 
𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1)
𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)
=
𝑟1
𝑟2
(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 − 𝜃2))Así, podemos observar que el resultado de la división de dos números complejos es el número 
cuya magnitud es el cociente de las magnitudes de los números involucrados, y cuyo 
argumento es igual a la diferencia de los argumentos de los números dados (Fig. 1.13). 
 
Figura 1.13 Representación geométrica del cociente de números complejos. 
De la fórmula anterior podemos obtener una fórmula para el cálculo del inverso 
multiplicativo de un número complejo en forma trigonométrica y de potencias negativas. 
En efecto, si 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) es un número complejo diferente de cero, y dado que 
1 = 1 + 0𝑖 = 1(cos 0 + 𝑖 sen 0), entonces 
𝑧−1 =
1
𝑧
=
1(cos 0 + 𝑖 sen 0)
𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
=
1
𝑟
(cos(−𝜃) + 𝑖 sen(−𝜃)) 
 
De esta manera, con la forma trigonométrica podemos calcular el inverso multiplicativo de 
cualquier número complejo no nulo. El cuál es el número cuya magnitud es el inverso 
multiplicativo de la magnitud del número original, y cuyo argumento es el inverso aditivo 
del argumento original. 
39 
 
En el caso particular de un número complejo de magnitud igual a uno, lo que observamos 
geométricamente al realizar el inverso multiplicativo es una reflexión con respecto al eje real 
(Fig. 1.14). 
 
Figura 1.14 Ilustración del cociente de dos números complejos de módulo igual a uno. 
Dado que cos(−𝜃) = cos 𝜃 y sen(−𝜃) = sen𝜃, podemos escribir el inverso multiplicativo 
simplemente como 
𝑧−1 =
1
𝑧
= 𝑟−1(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃) 
Y si 𝑛 ∈ ℕ, 
𝑧−𝑛 = (𝑧−1)𝑛 = 𝑟−𝑛(cos 𝑛𝜃 − 𝑖 sen 𝑛𝜃), 
por lo que hemos obtenido una fórmula para calcular las potencias enteras negativas de 
números complejos. En el capítulo de funciones elementales, estudiaremos cómo calcular 
potencias reales y complejas de números complejos. Por ahora, nos quedaremos solamente 
con potencias enteras, (𝑛 ∈ ℤ). 
−𝜃 
40 
 
Ejemplo 1.6 Calculemos la expresión (2 + 5𝑖)−2. 
(2 + 5𝑖)−2 = (√29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903))
−2
= (√29)
−2
(cos 2(1.1903) − 𝑖 sen 2(1.1903))
= −0.024971 − 0.023781 𝑖 
Preguntas de repaso 
1. Describe las formas en las que se puede representar un número complejo. 
2. ¿Cómo se obtiene la forma trigonométrica de un número complejo? 
3. ¿Qué operaciones elementales de números complejos se pueden visualizar 
geométricamente con la forma trigonométrica? 
4. Geométricamente, explica qué número complejo se obtiene al multiplicar dos números 
complejos en forma trigonométrica. 
5. Geométricamente, explica qué número complejo se obtiene al dividir dos números 
complejos en forma trigonométrica. 
6. ¿Qué establece la fórmula de Moivre? ¿Para qué potencias es válida esta fórmula? 
7. ¿Cómo se calcula la potencia entera negativa de un número complejo en forma 
trigonométrica? 
8. Geométricamente, ¿cuál es el inverso multiplicativo de un número complejo de magnitud 
igual a uno? 
 
Ejercicios 
En los siguientes ejercicios, realiza las operaciones de números complejos indicadas, 
aplicando los conceptos estudiados en esta sección. 
1. (5 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 sen
𝜋
3
))3 (cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sen
2𝜋
3
) 
2. 
5(cos
𝜋
3
+𝑖 sen
𝜋
3
)
3(cos
2𝜋
3
+𝑖 sen
2𝜋
3
)
 
3. (10 − 7𝑖)20 
4. (3 + 4𝑖)10 
5. (
2𝑖
1+𝑖
)
4
 
6. 𝑖−3 
41 
 
7. (1 + 𝑖)−15 8. (
1+𝑖
1−𝑖
)
−6
 
1.6 Raíces n-ésimas de un número complejo 
Las raíces n-ésimas en el campo de los números reales tienen serios problemas. En efecto, 
las raíces cuadradas, cuartas o en general las raíces pares, existen únicamente para los 
números reales no negativos y -con excepción del cero, cuya raíz cuadrada es cero- siempre 
son dos, una negativa y una positiva con el mismo valor absoluto. Por otro lado, para raíces 
cúbicas, quintas, o en general impares, existen para cualquier número real, pero solo hay una 
en ese campo. En la Tabla 1.3 se pueden observar algunos ejemplos. 
 
√4
2
= ±2, √81
4
= ±3, √8
3
= 2, √−1024
5
= −4 
Tabla 1.3 Ejemplos de raíces n-ésimas de números reales. 
 
En el caso de los números complejos, estudiaremos en esta sección que las raíces 𝑛-ésimas 
se definen igual que en el campo real, pero contrario al campo real, siempre son 𝑛 y 
geométricamente, se encuentran ubicadas en los vértices de un polígono regular centrado en 
el origen (para 𝑛 ≥ 3). Algunas podrán ser reales y otras complejas. En el caso particular de 
las raíces 𝑛-ésimas de un número real (que en particular es un número complejo), las raíces 
reales que ya posee en el campo real se conservan, pero son completadas con raíces 
complejas. Esto nos permitirá interpretar que el campo real de alguna manera estaba 
incompleto y que esa completación se ha dado en este nuevo campo de números, haciendo el 
concepto de radicación mucho más comprensible y claro. 
Para dar inicio con el tema, damos la definición de raíz n-ésima de un número complejo. Para 
ello, utilizaremos la tercera forma de expresar un número complejo, la forma trigonométrica. 
Sean 𝑧,𝑤 ∈ ℂ y 𝑛 ∈ ℕ. Decimos que 𝑤 es una raíz 𝑛-ésima de 𝑧 si y solo si 𝑤𝑛 = 𝑧. 
Denotamos a la raíz 𝑛-ésima como 𝑤 = 𝑧1/𝑛, o bien como 𝑤 = √𝑧
𝑛
. 
42 
 
Para calcular las raíces n-ésimas de un número complejo conocido 𝑧 utilizamos su 
representación en forma trigonométrica. Sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) un número complejo 
distinto de cero. Supongamos también que 𝑤 = 𝑠(cos 𝜑 + 𝑖 sen𝜑),𝑤 ≠ 0 es una de sus 
raíces, la cual queremos identificar. Para ello, basta determinar los valores 𝑠 y 𝜑 (por ahora 
incógnitas) tales que, 
𝑤𝑛 = 𝑧 ⟺ (𝑠(cos 𝜑 + 𝑖 sen𝜑))
𝑛
= 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) 
⟺ 𝑠𝑛(cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sen 𝑛𝜑) = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) 
Estos últimos números complejos son iguales, si y solo si tienen la misma magnitud y sus 
argumentos son iguales, salvo por un múltiplo entero de 2𝜋, es decir, 
𝑠𝑛 = 𝑟 y 𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Despejando 𝑠 y 𝜑 de las anteriores ecuaciones, obtenemos 
𝑠 = √𝑟
𝑛
, 𝜑 =
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
, 𝑘 ∈ ℤ 
En la primera ecuación de las expresiones anteriores, tanto 𝑟 como 𝑠 representan magnitudes 
de números complejos, las cuales por definición son cantidades positivas, por lo que la 
expresión √𝑟
𝑛
, se refiere a la conocida raíz real positiva. 
Sustituyendo estos valores en 𝑤 obtenemos la forma que tienen las raíces 𝑛-ésimas de 𝑧: 
𝑤 = √𝑟
𝑛 (cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)) , 𝑘 ∈ ℤ 
en resumen, 
√𝑧
𝑛
= √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
𝑛 = √𝑟
𝑛 (cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)) , 𝑘 ∈ ℤ 
La fórmula que acabamos de obtener permitiría en principio, encontrar un conjunto infinito 
de raíces al variar 𝑘 en el conjunto de números enteros, sin embargo, se puede demostrar que 
sólo se pueden obtener 𝑛 raíces diferentes; si continuáramos con el proceso, entraríamos en 
un ciclo infinito de repetición de las 𝑛 raíces iniciales. Por convención, para obtener las 𝑛 
raíces, se asignan a 𝑘, los 𝑛 valores consecutivos: 𝑘 = 0,1,… , 𝑛 − 1. 
Así entonces, podemos concluir que la fórmula para encontrar las raíces 𝑛-ésimas de 𝑧 es: 
43 
 
√𝑧
𝑛
= √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
𝑛 = √𝑟
𝑛 (cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)) , 𝑘 = 0, …𝑛 − 1 
En el caso particular en que 𝑛 = 2 (raíces cuadradas), la fórmula anterior queda de la 
siguiente manera, 
√𝑧 = √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) = √𝑟 (cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
2
) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
2
)) , 𝑘 = 0,1 
Desarrollando cada raíz, para 𝑘 = 0, 
𝑤1 = √𝑟 (cos
𝜃
2
+ 𝑖 sen
𝜃
2
) 
y para 𝑘 = 1, 
𝑤2 = √𝑟 (cos (
𝜃 + 2𝜋
2
) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝜋
2
)) = √𝑟 (cos (
𝜃
2
+ 𝜋) + 𝑖 sen (
𝜃
2
+ 𝜋)) 
Pero, 
cos (
𝜃
2
+ 𝜋) = (cos
𝜃
2
) cos 𝜋 − (sen
𝜃
2
) sen𝜋 = −cos
𝜃
2
 
sen (
𝜃
2
+ 𝜋) = (sen
𝜃
2
) cos 𝜋 + (cos
𝜃
2
) sen𝜋 = −sen
𝜃
2
 
Sustituyendo en 𝑤2, 
𝑤2 = √𝑟 (−cos
𝜃
2
− 𝑖 sen
𝜃
2
) = −𝑤1 
Es decir, las raíces cuadradas difieren por un signo y se pueden describir mediante la 
expresión, 
√𝑧 = √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) =±√𝑟 (cos
𝜃
2
+ 𝑖 sen
𝜃
2
) 
Esta fórmula describe la semejanza que existe entre el cálculo de raíces complejas con el 
cálculo de raíces reales, en el sentido de que existen dos raíces cuadradas que difieren 
solamente por un signo. La diferencia es que en el caso complejo sí podemos calcular las 
raíces cuadradas de números negativos también. Veamos estos casos particulares. 
Si 𝑧 es un número real positivo 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖, 𝑎 > 0, entonces 𝑧 = 𝑎(cos 0 + 𝑖 sen 0), entonces 
44 
 
√𝑧 = ±√𝑎 (cos
0
2
+ 𝑖 sen
0
2
) = ±√𝑎 
La fórmula coincide con la usual, de raíces cuadradas reales positivas. 
Si 𝑧 es un número real negativo 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖, 𝑎 < 0, entonces 𝑧 = |𝑎|(cos 𝜋 + 𝑖 sen𝜋) (aquí 
|𝑎| denota el valor absoluto del número real 𝑎). En este caso, 
√𝑧 = ±√|𝑎| (cos
𝜋
2
+ 𝑖 sen
𝜋
2
) = ±√|𝑎| 𝑖 
es decir, las raíces cuadradas de los números reales negativos son dos números imaginarios 
puros, conjugados entre sí, 0 ± √|𝑎| 𝑖. Al ser complejos, no existían en el campo de números 
reales. 
Ejemplo 1.7 Calculemos raíces cuadradas complejas de números positivos y negativos 
directamente, aplicando las deducciones anteriores, por ejemplo: 
√9 = ±3 y √−16 = ±4 𝑖 
Ejemplo 1.8 Calculemos las raíces cúbicas complejas del número real 8 + 0𝑖. 
√8 + 0𝑖
3
= √8(cos 0 + 𝑖 sen 0)
3 = √8
3
(cos (
0 + 2𝑘𝜋
3
) + 𝑖 sen (
0 + 2𝑘𝜋
3
)) , 𝑘 = 0,1,2 
para 𝑘 = 0, 
𝑤1 = 2(cos 0 + 𝑖 sen 0) = 2 
para 𝑘 = 1, 
𝑤2 = 2(cos (
0 + 2𝜋
3
) + 𝑖 sen (
0 + 2𝜋
3
)) = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sen
2𝜋
3
) = −1.0 + 1. 7321 𝑖 
para 𝑘 = 2, 
𝑤3 = 2(cos (
0 + 4𝜋
3
) + 𝑖 sen (
0 + 4𝜋
3
)) = 2(cos
4𝜋
3
+ 𝑖 sen
4𝜋
3
) = −1.0 − 1. 7321 𝑖 
Hemos obtenido como raíz cúbica de 8, el número 2, que ya conocíamos de antes, las otras 
dos raíces, son complejas conjugadas una de la otra. Esto ocurre siempre cuando calculamos 
las raíces n-ésimas de números reales: se presentan en parejas de conjugados complejos. Si 
las dibujamos en el plano complejo observamos que se localizan en los vértices de un 
45 
 
triángulo equilátero inscrito en una circunferencia centrada en el origen de radio 2, que es la 
magnitud de las raíces (Fig. 1.15). Las raíces complejas son simétricas con respecto al eje 𝑥. 
 
Figura 1.15 Representación geométrica de las raíces cúbicas de 8 + 0𝑖. 
 
Ejemplo 1.9 Calculemos las raíces cúbicas de 1 + 𝑖. 
√1 + 𝑖
3
= √√2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sen
𝜋
4
)
3
= √2
6
(cos(
𝜋
4 + 2𝑘𝜋
3
) + 𝑖 sen(
𝜋
4 + 2𝑘𝜋
3
)) , 𝑘
= 0,1,2 
para 𝑘 = 0, 
𝑤1 = √2
6
(cos
𝜋
12
+ 𝑖 sen
𝜋
12
) = 1. 0842 − 0.29051 𝑖 
para 𝑘 = 1, 
46 
 
𝑤2 = √2
6
(cos (
𝜋/4 + 2𝜋
3
) + 𝑖 sen (
𝜋/4 + 2𝜋
3
)) = √2
6
(cos
9𝜋
12
+ 𝑖 sen
9𝜋
12
)
= −0.7937 − 0.7937 𝑖 
para 𝑘 = 2, 
𝑤3 = √2
6
(cos (
𝜋/+4𝜋
3
) + 𝑖 sen (
𝜋/4 + 4𝜋
3
)) = √2
6
(cos
17𝜋
12
+ 𝑖 sen
17𝜋
12
)
= −0.29051 + 1. 0842 𝑖 
Observa en este ejemplo que las tres raíces son complejas y distintas entre sí, es decir, en este 
caso no se presentan en parejas de conjugados complejos. Esto pasa con las raíces n-ésimas 
de números estrictamente complejos. Si las dibujamos en el plano complejo, se encuentran 
ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia centrada en 
el origen de radio √2
6
≅ 1. 1225 (Fig. 1.16). En este caso, ya no se da la simetría de las 
raíces respecto de algún eje coordenado. 
 
Figura 1.16 Raíces cúbicas de 1 + 𝑖. 
47 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Cuál es la forma de representación de los números complejos que se utiliza para hallar 
potencias grandes de números complejos? 
2. ¿Cuál es la fórmula que se utiliza para hallar potencias de números complejos? 
3. ¿Cuántas raíces 𝑛-ésimas posee un número complejo? 
4. ¿Cuál es el procedimiento para calcular las raíces n-ésimas de un número complejo? 
5. ¿Se puede utilizar la fórmula del cálculo de raíces n-ésimas para el número 0 = 0 + 0𝑖? 
6. ¿Cuáles son las raíces n-ésimas del número 0 = 0 + 0𝑖? 
7. ¿Qué diferencia fundamental existe entre las raíces 𝑛-ésimas de un número real y las de 
un número complejo? 
8. ¿Cómo podrías construir un polígono regular de n lados en el plano, con centro en el 
origen utilizando la fórmula de las raíces n-ésimas? 
Ejercicios 
Calcula las raíces indicadas.√36 
1. √−10 
2. √4𝑖 
3. √−9𝑖 
4. √3 + 7𝑖 
5. (𝑖 + 1)1/2 
6. 𝑖1/3 
7. (𝑖 − 1)1/3 
8. (1 − 𝑖)1/3 
9. (4√3 − 4𝑖)1/3 
10. 11/4 
11. (−8𝑖)1/4 
12. (1 − 𝑖√3)
1/4
 
13. (16√2 +
32
√2
𝑖)
1/5
 
14. (
1+𝑖
1−𝑖
)
1/6
 
 
Contrasta los dos razonamientos siguientes: 
𝑖2 = 𝑖 𝑖 = √−1 √−1 = √(−1)(−1) = √1 = 1 
𝑖2 = 𝑖 𝑖 = √−1 √−1 = (√(−1))
2
= (± √1 (cos
𝜋
2
+ 𝑖 sen
𝜋
2
))
2
= (± 𝑖)2 = 𝑖2 = −1 
48 
 
¿Cuál fue el problema en el primer razonamiento? ¿Qué puedes concluir acerca de la 
relación √𝑧 𝑤 = √𝑧 √𝑤 en el caso de números complejos 𝑧 y 𝑤? 
15. Para que valores reales de 𝑥 el número 𝑤 = (𝑥 − 1)[(𝑥 + 3) − 4𝑖] es imaginario puro. 
 
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas de segundo grado 
En esta sección estudiaremos cómo resolver ecuaciones polinomiales de segundo grado con 
coeficientes complejos, donde la incógnita es también compleja. Podrás verificar que existen 
muchas similitudes con el caso real (coeficientes y soluciones reales). 
Un polinomio de una variable compleja de grado 𝑛 es de la forma 
𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧
𝑛, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0 
donde 𝑧 es una variable que puede tomar cualquier valor en el campo de los números 
complejos. Cuando un polinomio se iguala a cero se llama ecuación polinomial de grado n: 
𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧
𝑛 = 0, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0 
Decimos que el número complejo 𝑤 es una solución o raíz de la ecuación polinomial si al 
sustituir el valor de 𝑧 por 𝑤 en la ecuación la convierte en una identidad. Resolver una 
ecuación polinomial significa hallar todas sus soluciones o raíces. 
 El problema de resolver ecuaciones polinomiales no es una tarea fácil y sólo se conocen muy 
pocos casos en los que es posible hallarlas mediante procedimientos algebraicos. 
El Teorema Fundamental del Álgebra establece que toda ecuación polinomial de grado 𝑛 
con coeficientes reales o complejos posee al menos una raíz real o compleja. 
Una consecuencia de este teorema es que cualquier ecuación polinomial de grado 𝑛 con 
coeficientes reales o complejos, posee exactamente 𝑛 raíces reales o complejas, contando 
multiplicidades. Así, al resolver una ecuación polinomial de grado 𝑛, sabemos que sólo 
tenemos que buscar 𝑛 y que algunas pueden ser repetidas. 
Analicemos el caso de las ecuaciones polinomiales de segundo grado: 
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ, 𝑎 ≠ 0 
49 
 
 
Resolvamos la ecuación algebraicamente completando cuadrados, 
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑎 (𝑧2 +
𝑏
𝑎
𝑧 +
𝑐
𝑎
) = 0 ⟺ 𝑧2 + 2
𝑏
2𝑎
𝑧 +
𝑐
𝑎
= 0
⟺ 𝑧2 + 2
𝑏
2𝑎
𝑧 + (
𝑏
2𝑎
)
2
+
𝑐
𝑎
− (
𝑏
2𝑎
)
2
= 0⟺ (𝑧 +
𝑏
2𝑎
)
2
+ 
𝑐
𝑎
−
𝑏2
4𝑎2
= 0
⟺ (𝑧 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
4𝑎2
−
𝑐
𝑎
⟺ (𝑧 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
⟺ 𝑧+
𝑏
2𝑎
= √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
⟺ 𝑧 = −
𝑏
2𝑎
+ √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
donde la raíz cuadrada posee dos valores, que varían por un signo. En el caso particular en 
que 𝑎 ∈ ℝ, podemos escribir la fórmula simplemente como 
 𝑧 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
que coincide con la conocida fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 
Ejemplo 1.10 Consideremos la ecuación polinomial 𝑧² + 2𝑖𝑧 + 3 = 0. Aplicando la fórmula 
anterior con 𝑎 = 1, 𝑏 = 2𝑖, 𝑐 = 3 obtenemos, 
𝑧1,2 =
−2𝑖 + √(2𝑖)2 − 4(1)(3)
2(1)
=
−2𝑖 + √4𝑖2 − 12
2
=
−2𝑖 + √4(−1) − 12
2
=
−2𝑖 + √−16
2
=
−2𝑖 ± 4𝑖
2
 
Entonces, 
𝑧1 =
−2𝑖 + 4𝑖
2
=
2𝑖
2
= 𝑖, 𝑧2 =
−2𝑖 − 4𝑖
2
=
−6𝑖
2
= −3𝑖 
Una forma de comprobar las soluciones obtenidas es substituir los valores directamente en 
la ecuación polinomial y viendo que la satisface: 
50 
 
(𝑖)2 +2𝑖(𝑖) + 3 = −1 − 2 + 3 = 0, 
(−3𝑖)2 + 2𝑖(−3𝑖) + 3 = 9(−1) − 6(−1) + 3 = 0 
Otra forma de realizar la comprobación es mostrar que el polinomio se puede descomponer 
en factores lineales, 
(𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 3𝑖) = 𝑧2 + 3𝑖𝑧 − 𝑖𝑧 − 3𝑖2 = 𝑧2 + 2𝑖𝑧 + 3 
Esta comprobación muestra que podemos resolver ecuaciones polinomiales con coeficientes 
complejos, expresando el polinomio como un producto de factores lineales. Sin embargo, 
hay que tener cuidado al aplicar las conocidas técnicas de factorización porque algunas no 
son válidas. Por ejemplo, si en este ejemplo hubiéramos aplicado el método de paréntesis, 
habríamos colocado los siguientes signos: (𝑧 + )(𝑧 + ) lo que no es correcto. La razón es 
que el número 𝑖 afecta el procedimiento. 
Ejemplo 1.11 Consideremos la ecuación polinomial 𝑧2 + 1 = 0, cuyas raíces son 𝑖 y −𝑖. En 
este caso, las raíces sí pueden obtenerse por el siguiente procedimiento algebraico 
𝑧2 + 1 = 0 ⟺ 𝑧2 − (−1) = 0 ⟺ 𝑧2 − 𝑖2 = 0 ⟺ (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖) = 0 ⟺ 𝑧 = 𝑖 o 𝑧 = −𝑖 
Ejemplo 1.12 Calculemos las raíces de 4𝑖𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖) = 0. 
Aplicando la fórmula general con 𝑎 = 4𝑖, 𝑏 = 2 + 𝑖, 𝑐 = 1 + 𝑖, obtenemos 
𝑧1,2 = −
2 + 𝑖
2(4𝑖)
+ √
(2 + 𝑖)2 − 4(4𝑖)(1 + 𝑖)
4(4𝑖)2
= −
2 + 𝑖
8𝑖
+ √
3 + 4𝑖 + 16 − 16𝑖
−64
=
2 + 𝑖
−8𝑖
 
(8𝑖)
(8𝑖)
+ √
 19 − 12𝑖
−64
= −
1
8
+
1
4
𝑖 + √
 19 − 12𝑖
−64
= −0.125 + 0.25𝑖 + √−
 19
64
+
 12
64
𝑖 
Calculando las raíces cuadradas del número complejo: 
51 
 
√−
 19
64
+
 12
64
𝑖 = √ 0.35113(cos(2. 5783) + 𝑖 sen(2. 5783))
= ±√0.35113 (cos (
2. 5783
2
) + 𝑖 sen (
2. 5783
2
)) 
= ±(0.16470 + 0.56921 𝑖) 
Entonces, 
𝑧1 = (−0.125 + 0.25𝑖) + (0.16470 + 0.56921𝑖) = 0.0397 + 0.81921𝑖 
𝑧2 = (−0.125 + 0.25𝑖) − (0.16470 + 0.56921𝑖) = −0.2897 − 0.31921𝑖 
Para realizar la comprobación de los resultados los sustituimos en la ecuación polinomial: 
4𝑖(−0.2897 − 0.31921𝑖)2 + (2 + 𝑖)(−0.2897 − 0.31921𝑖) + (1 + 𝑖)
= 0.000008904 + 0.0000042636𝑖 ≅ 0 + 0𝑖 
Observa que la precisión obtenida es bastante buena, de cinco decimales exactos tanto para 
la parte real como la imaginaria. Para la otra raíz se obtiene un resultado similar. 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Cuáles son las características de un polinomio de variable compleja de grado 𝑛? 
2. ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Álgebra? 
3. ¿Cuántas raíces tiene un polinomio de variable real o compleja de grado 𝑛? 
4. ¿Menciona dos posibles formas de calcular las raíces de una ecuación polinomial de 
segundo grado con coeficientes complejos y sus posibles limitaciones? 
Ejercicios 
Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones expresando la respuesta en forma 
binómica. Cuando sea posible, utiliza sustituciones algebraicas para reducir el grado de las 
ecuaciones polinomiales. 
1. 𝑧² − 𝑖 = −1 2. 𝑧2 + 9 = 0 
52 
 
3. 𝑧² − 9𝑖 = −1 
4. 𝑧² − 𝑧 = −3𝑖 
5. 4𝑧² − 4𝑧 + 𝑖 = 0 
6. 4𝑧2 − 2√3𝑧 + 4 = 0 
7. 𝑧³ − 𝑖 = −√3 
8. 4𝑧3 − 8𝑖 = −6 
9. 3𝑧3 − 2𝑧2 + 𝑖𝑧 = 0 
10. 𝑧6 − 2𝑧3 + 2 = 0 
11. 𝑧⁵ + 16𝑧 − 𝑧⁴ − 16 = 0 
12. 𝑧⁶ − 2𝑖𝑧³ − 1 = 0 (cada raíz es doble) 
13. 𝑧⁴ + 2𝑧² + 1 = 0 
14. Considera la ecuación de segundo grado 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0. Establece la 
veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. 
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, puede tener dos raíces complejas no conjugadas 
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, puede tener una raíz real y una compleja. 
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos, puede tener dos raíces complejas conjugadas. 
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos, que puede tener dos raíces complejas no conjugadas. 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 2 Funciones, Límites, 
Continuidad y Derivadas 
 
Yatzuki Lucero De Castilla Rosales 1, César Pérez Córdova 2, Oscar 
Carbajal Vargas3 
 
1Facultad de Administración – BUAP 
2Facultad de Ingeniería- BUAP 
3Alumno de la Facultad de Ingeniería 201450160 - BUAP 
 
Autores: Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, César Pérez Córdova, 
Oscar Carbajal Vargas 
 
 
 Interpretar 
inecuaciones de 
variable compleja 
como subconjuntos 
del plano complejo. 
 Analizar el límite de 
una función cuando 
la variable se 
aproxima a un valor 
dado. 
 Analizar la 
continuidad de una 
función en un punto 
o en un conjunto. 
 Calcular la derivada 
de una función 
compleja por 
diversos métodos. 
 Estimar la 
analiticidad de una 
función en un punto 
o en una región. 
ESTUDIANDO ESTE 
CAPÍTULO SERÁS CAPAZ 
DE: 
 
"En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo 
que el humilde razonamiento de un solo individuo." 
Galileo Galilei (1564 - 1642) Astrónomo, filósofo, 
ingeniero, matemático y físico italiano 
 
54 
 
Vamos a iniciar con el estudio de las funciones de variable compleja, estableciendo los 
conceptos de algunos subconjuntos del plano complejo, que serán de mucha utilidad al definir 
el concepto de límite. 
2.1 Subconjuntos del plano complejo 
Sea 𝑎 un número complejo y 𝑟 un número real positivo, las desigualdades: 
|𝑧 − 𝑎| < 𝑟, |𝑧 − 𝑎| ≤ 𝑟, |𝑧 − 𝑎| = 𝑟, 
denotan, respectivamente, el disco abierto, disco cerrado y circunferencia, de radio 𝑟 y 
centro en 𝑧 = 𝑎. 
En efecto, observa que si 𝑧 = 𝑧₁ + 𝑖𝑧₂ y 𝑎 = 𝑎₁ + 𝑖𝑎₂, entonces 
|𝑧 − 𝑎| < 𝑟 ⇔ |(𝑧₁ − 𝑎₁) + 𝑖(𝑧₂ − 𝑎₂)| < 𝑟 ⇔ (𝑧₁ − 𝑎₁)² + (𝑧₂ − 𝑎₂)² < 𝑟² 
Esta ecuación corresponde al interior de un círculo centrado en (𝑎₁, 𝑎₂) de radio 𝑟, que en 
este libro llamaremos disco abierto. Análogamente se pueden analizar los otros casos. 
Es importante detenernos en este punto para hacer notar que en todo el estudio que hemos 
realizado, no hemos hecho uso de los símbolos <,≤,> o ≥, los cuales tienen que ver con la 
relación de orden que existe en el campo de números reales. En el conjunto de los números 
complejos, no se define una relación de orden, en consecuencia, no existe la expresión 𝑧1 <
𝑧2 para cualesquiera números complejos 𝑧1 y 𝑧2. 
En las definiciones anteriores, estamos hablando de inecuaciones de números reales, por lo 
que no hay ninguna ambigüedad. Establecemos la convención de que, en lo que sigue, cuando 
se utilice cualquiera de los signos de desigualdad, nos estaremos refiriendo a inecuaciones 
de números reales. 
Sea 𝑆 un subconjunto de números complejos. 𝑆 es abierto si y solo si, para todo punto de 𝑆, 
existe un disco abierto de un radio positivo centrado en él, contenido completamente en 𝑆; 
simbólicamente, 𝑆 es abierto si y solo si 
∀𝑧0 ∈ 𝑆, ∃𝑟 > 0: |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 ⟹ 𝑧 ∈ 𝑆 
55 
 
Observa que, para que un subconjunto del plano complejo sea abierto, se requiere que sea 
bidimensional y no contenga a su frontera. Esto es porque los discos abiertos son 
bidimensionales. 
Un subconjunto 𝑆 de números complejos es conexo, si y solo si cada par de puntos de 𝑆 se 
pueden unir por una curva continua completamente contenida en 𝑆. Y decimos que 𝑆 es una 
región si y solo si, 𝑆 es abierto y conexo. Los conjuntos conexos se dice que son “de una sola 
pieza”. 
Una región 𝑆 es simplemente conexa, si y solo si toda curva cerrada en 𝑆 contiene en su 
interior solo puntos de 𝑆. De esta definición se deduce que una región simplemente conexa 
no puede tener agujeros. 
Ejemplo 2.1 Analicemos la desigualdad |𝑧 − 1| < |𝑧|. 
|𝑧 − 1| < |𝑧| ⇔ |𝑧 − 1|2 < |𝑧|2 ⇔ (𝑧 − 1) (𝑧 − 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ < 𝑧 𝑧̅ ⇔ (𝑧 − 1)(𝑧̅ − 1) < 𝑧 𝑧̅ 
⇔ 𝑧 𝑧̅ − 𝑧 − 𝑧̅ + 1 < 𝑧 𝑧̅ ⇔ 1 < 𝑧 + 𝑧̅ ⇔ 1 < 2 Re 𝑧 ⇔ 
1
2
< Re 𝑧. 
Entonces, el conjunto de puntos que satisfacen la inecuación consta del semiplano ubicado a 
la derecha de la recta vertical en el punto 1 2⁄ . Este conjunto es abierto, conexo y 
simplemente conexo (Fig. 2.1). 
Figura 2.1 Ejemplo de región abierta conexa y simplemente conexa. 
56 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Cómo se representan algebraicamente un disco abierto, un disco cerrado y una 
circunferencia centrada en 𝑎 de radio 𝑟? 
2. ¿Es posible resolverla inecuación 
1
𝑧+3
−
2
𝑧+1
≤ 0 en el campo de números complejos? 
3. ¿Qué tipo de inecuaciones podemos resolver en el campo de números complejos? 
4. Explica por qué una recta no es un conjunto abierto. 
5. Explica por qué una sucesión discreta de puntos no es un conjunto abierto. 
6. Explica cómo lucen los conjuntos abiertos. 
7. ¿Qué es un conjunto conexo? 
8. ¿Qué es una región? 
9. ¿Qué es un conjunto simplemente conexo? 
10. ¿El conjunto 2 < |𝑧 − 3| < 5 es una región? 
11. ¿El conjunto 2 < |𝑧 − 3| < 5 es simplemente conexo? 
Ejercicios 
Representa geométricamente los siguientes conjuntos:
1. |𝑧| < 2 
2. |𝑧| = 0 
3. |𝑧| = 3 
4. |𝑧| ≤ 6 
5. 3 < 5|𝑧| − 8 
6. 3 < |𝑧| < 8 
7. 0 < |𝑧 − (1 + 𝑖)| < 3 
8. 1 < |𝑧 − (2 + 4𝑖)| < 2 
9. 2|𝑧 − 𝑖| < 3|𝑧| 
10. 𝑅𝑒 𝑧 = −3 
11. 𝑅𝑒 𝑧 = 3 𝐼𝑚 𝑧 
12. 𝐼𝑚 𝑧 ≥ 3 𝑅𝑒 𝑧 
13. 𝑧⋅𝑧̅ ≥ 2 𝑅𝑒 𝑧 
57 
 
Representa las siguientes regiones por medio de ecuaciones o desigualdades en la variable 𝑧: 
14. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al exterior del círculo de radio dos 
centrado en 1 − 2𝑖. 
15. Los puntos de la región anular centrada en 3 + 𝑖. El radio interior es de 2 y el exterior es 
5. Excluye los puntos de la frontera interior e incluye los de la frontera exterior. 
16. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al interior del círculo de radio 1 centrado 
en −4 + 2𝑖, excepto el centro del círculo. 
 
2.2 Funciones de variable compleja 
Ahora estamos preparados para estudiar las funciones complejas. Veamos la definición. 
Sea 𝑅 una región del plano complejo. Si asignamos a cada punto 𝑧 ∈ 𝑅 un único número 
complejo 𝑤 mediante una relación o correspondencia 𝑓, decimos que 𝑤 = 𝑓(𝑧) define una 
función de valores complejos en 𝑅 llamada función de variable compleja. Llamamos a 𝑅 el 
dominio de la función y a 𝑤 la imagen de 𝑧. 
El conjunto de todas las imágenes 
{𝑤 ∈ ℂ: 𝑤 = 𝑓(𝑧), para algún 𝑧 ∈ 𝑅} 
se llama el conjunto imagen de la función. Si 𝐸 es la imagen de la función, también podemos 
referirnos a 𝑓(𝑧) como la transformación de 𝑅 sobre 𝐸. Veamos algunos ejemplos sencillos. 
Ejemplo 2.2 Consideremos el caso 𝑅 = 𝐸 = ℂ y sea 𝑏 un número complejo fijo, la función 
𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏 
es una transformación del plano complejo sobre sí mismo, que asigna a cada punto del plano, 
el punto ubicado a una distancia de |𝑏| unidades en la dirección del argumento de 𝑏 (recuerda 
la suma de números complejos). En este caso decimos que la función efectúa una traslación 
del plano en la dirección y magnitud de 𝑏 (Fig. 2.2). 
58 
 
Figura 2.2 Traslación del plano complejo en la dirección y magnitud de 𝑏. 
Ejemplo 2.3 Si 𝑎 ≠ 0 es un número complejo fijo, la función 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 rota el plano 
complejo por un ángulo igual a Arg 𝑎 y lo expande o contrae por un factor |𝑎| (recuerda la 
interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos). Esta función se llama 
rotación por a (Fig. 2.3). 
Figura 2.3 Rotación del plano complejo 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 
Consideremos una función de valores complejos 𝑤 = 𝑓(𝑧), definida en una región 𝑅 ⊆ ℂ. 
Podemos descomponer 𝑓(𝑧) en términos de sus partes real e imaginaria. Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y 
𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣, con 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ, entonces 
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 
donde 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) son funciones definidas en la región 𝑅 ⊆ ℝ² con valores en ℝ. 
Decimos que 𝑢 es la parte real de 𝑓 y 𝑣 la parte imaginaria escribiendo 
𝑢(𝑥, 𝑦) = Re 𝑓(𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦) = Im 𝑓(𝑧) 
59 
 
Ejemplo 2.4 Sea 𝑓(𝑧) = 3𝑧2 + 5𝑧 − 3. En este caso, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 
3(𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 5(𝑥 + 𝑖𝑦) − 3 = 3(𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2) + 5𝑥 + 5𝑦𝑖 − 3
= 3𝑥2 + 6𝑥𝑦𝑖 − 3𝑦2 + 5𝑥 + 5𝑦𝑖 − 3
= (3𝑥2 − 3𝑦2 + 5𝑥 − 3) + (6𝑥𝑦 + 5𝑦)𝑖 
entonces 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 3𝑦2 + 5𝑥 − 3 y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 5𝑦 
En el Capítulo 3, estudiaremos una colección muy amplia de funciones, que 
descompondremos en su parte real e imaginaria como en este ejemplo. 
 
Preguntas de repaso 
1. ¿Qué es una función de variable compleja? 
2. ¿Describe la función que realiza una traslación del plano complejo en la a dirección de 
𝑧 = −2𝑖? 
3. ¿Describe la función que realiza una rotación del plano complejo por un ángulo de 
𝜋
2
 y 
contracción por 
1
2
? 
4. ¿Cómo se descompone una función en la forma 𝑢 + 𝑖𝑣? 
 
Ejercicios 
Evalúa las siguientes funciones en 1 − 2𝑖: 
1. 𝑓(𝑧) =
𝑧
𝑧−�̅�
 
2. 𝑓(𝑧) =
1
|𝑧|
 
3. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =
1
sen𝑥+𝑖 cos𝑦
 
4. 𝑓(𝑧) =
𝑥−𝑖𝑦
1+𝑥+𝑖𝑦
 
60 
 
5. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2) sen 𝑥 + 𝑖 cos 𝑦 
Escribe las siguientes funciones en la forma 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦): 
6. 𝑓(𝑧) = (𝑧 + 3𝑖)2 
7. 𝑓(𝑧) = |𝑧| − 2𝑧2 + 𝑖 
8. 𝑓(𝑧) = 𝑧−1 + 4𝑖𝑧 
9. 𝑓(𝑧) = 𝑧−2 − 2𝑖𝑧2 
10. 𝑓(𝑧) = 𝑧3 
11. 𝑤 = 𝑧2 + 3𝑧 + 8 
12. 𝑤 =
𝑧2+1
2𝑧
 
13. 𝑓(𝑧) =
𝑧
𝑧−�̅�
 
14. 𝑓(𝑧) =
1
|𝑧|
 
15. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =
1
sen𝑥+𝑖 cos𝑦
 
16. 𝑓(𝑧) =
𝑥−𝑖𝑦
1+𝑥+𝑖𝑦
 
Escribe las siguientes funciones complejas en términos de la variable 𝑧, su conjugado 𝑧̅ y 
constantes (la respuesta no es única). 
17. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥2 − 𝑦2) 
18. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥2 + 𝑦2) 
19. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 
20. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥² + 𝑦² 
 
2.3 Límites 
El concepto de límite de una función compleja, cuando la variable 𝑧 se aproxima a un número 
complejo 𝑧0 se parece mucho al límite de funciones de ℝ
2 en ℝ2. Se define en términos de 
aproximaciones al punto en cuestión a través de discos abiertos, como veremos a 
continuación. 
Sea 𝑓(𝑧) una función compleja definida en una región 𝑅 que puede contener o no al punto 
𝑧0. Decimos que 𝑓(𝑧) tiene límite 𝐿 en 𝑧0 escribiendo, 
lim
𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝐿 
si y solo si, 
∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 ∶ 𝑧 ∈ 𝑅 y 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿, entonces |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 
Así, para que exista el límite 𝐿 de 𝑓(𝑧) en 𝑧0 es necesario que, para cada 𝜀 > 0 sea posible 
encontrar un número 𝛿 > 0, tal que, siempre que 𝑧 ∈ 𝑅 y se encuentre en el disco abierto 
61 
 
agujereado con centro en 𝑧0 y radio 𝛿, 𝑓(𝑧) esté en el disco abierto centrado en 𝐿 de radio 𝜀 
(ver la Fig. 2.4). Observa que la región 𝑅 sobre la que está definida la función puede no 
contener a 𝑧0, y, sin embargo, sea posible calcular el límite de la función en 𝑧0. 
Figura 2.4 Interpretación geométrica del límite de la función 𝑓(𝑧) en 𝑧0. 
Cuando calculamos el límite de 𝑓(𝑧) en 𝑧0, no es importarte el valor 𝑓(𝑧0), puede existir o 
no, sino cómo se comporta 𝑓(𝑧) para puntos 𝑧 muy cercanos a 𝑧0. Si 𝑓(𝑧) se aproxima a 𝐿 
cuando 𝑧 se aproxima a 𝑧0, entonces el límite de 𝑓(𝑧) es igual al número complejo 𝐿. 
Como consecuencia de esta definición tenemos el siguiente resultado, que permite calcular 
el límite de funciones complejas a través de límites de funciones escalares. 
Teorema 2.1 Sea 𝑅 ⊆ ℂ una región y 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) una función compleja 
definida en 𝑅. Sea 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 y 𝐿 = 𝐴 + 𝑖𝐵, entonces 
lim
𝑥+𝑖𝑦→𝑥0+𝑖𝑦0
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝐿 = 𝐴 + 𝑖𝐵 ⇔ lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐴 y lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐵 
Ejemplo 2.5 Sea 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 4 − 𝑥𝑦2 − 2𝑖𝑦𝑥2, entonces 
lim
𝑥+𝑖𝑦→1+1𝑖
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
(4 − 𝑥𝑦2) + 𝑖 lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
−2𝑦𝑥2 = (4 − 1) + 𝑖(−2) = 3 − 2𝑖 
Ejemplo 2.6 Analicemos el lim
𝑥+𝑖𝑦→0+0𝑖
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) donde 
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =
𝑥2 − 3𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
+ 𝑖
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
62 
 
Aplicando el teorema anterior, analicemos primero el límite de la parte real de la función: 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−3𝑦2
𝑥2+𝑦2
. 
Si nos acercamos al origen a través de los ejes coordenados, tenemos: 
Si 𝑦 = 0: 
lim
(𝑥,0)→(0,0)
𝑥2 − 3(0)2
𝑥2 + (0)2
= lim
𝑥→0
𝑥2
𝑥2
= lim
𝑥→0
1 = 1 
Si 𝑥 = 0: 
lim
(0,𝑦)→(0,0)
(0)2 − 3𝑦2
(0)2 + 𝑦2
= lim
𝑥→0
−3𝑦2
𝑦2
= lim
𝑥→0
(−3) = −3 
Como los límites