Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-42

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604	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO  2 Utiliza tu calculadora para aproximar los siguientes logaritmos co-
munes. Redondea tu respuesta a 4 cifras decimales. Compara tus respuestas con las 
del ejemplo 1 de la página 603.
 a) log 82 b) log 5091
 c) log 0.7 d) log 0.03
Solución Utilizando tu calculadora como se mostró anteriormente, obtenemos 
lo siguiente.
 a) log 82 ≈ 1.9138. Observa que en el ejemplo 1 a) estimamos correctamente que 
log 82 es un número entre 1 y 2.
 b) log 5091 ≈ 3.7068. Observa que en el ejemplo 1 b) estimamos correctamente que 
log 5091 es un número entre 3 y 4.
 c) log 0.7 ≈ 20.1549. Observa que en el ejemplo 1 c) estimamos correctamente que 
log 0.7 es un número entre 21 y 0.
 d) log 0.03 ≈ 21.5229. Observa que en el ejemplo 1 d) estimamos correctamente 
que log 0.03 es un número entre 22 y 21.
Resuelve ahora el ejercicio 27
Recuerda de nuestra definición de logaritmo de la sección 9.3 que y 5 loga	x significa 
que x 5 ay. Replantearemos esta definición para logaritmos comunes.
EJEMPLO  3  Determina el exponente al que se debe elevar 10 para obtener cada 
uno de los siguientes números. Redondea tu respuesta a 4 cifras decimales.
 a) 75 b) 3594 c) 0.00324
Solución Se nos ha pedido encontrar el exponente de 10. Utilizando la definición 
de un logaritmo común, podemos ver que se nos ha pedido hallar el logaritmo común de 
cada uno de estos números.
Definición de un logaritmo común
Para todos los números positivos x 
y 5 log x significa x 5 10y
El logaritmo común de un número positivo x es el exponente al que se debe elevar la base 
10 para obtener el número x.
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Aproximación	de	logaritmos	comunes
	Calculadora científica
Para aproximar logaritmos comunes en muchas calculadoras científicas, ingresa el argumento y luego presiona la tecla de logaritmo.
  EJEMPLO  TECLAS A PRESIONAR  RESPUESTA MOSTRADA
 Aproximar log 400. 004  LOG  2.60206
	Calculadora graficadora
En las calculadoras graficadoras y en muchas calculadoras científicas, primero tienes que presionar la tecla  LOG  y luego in-
gresar el número. Por ejemplo, en la TI-84 Plus, debes hacer lo siguiente.
  EJEMPLO  TECLAS A PRESIONAR  RESPUESTA MOSTRADA
 Aproximar log 400. 004(  ENTER  2  LOG  2.602059991
 c
 Generado por la calculadora
	 Sección	9.5	Logaritmos	comunes	 605
 a) log 75 ≈ 1.8751 Observa: 101.8751 L 75
 b) log 3594 ≈ 3.5556 Observa: 103.5556 L 3594
 c) log 0.00324 ≈ 22.4895 Observa: 1022.4895 L 0.00324
Resuelve ahora el ejercicio 37
	3 	Aproximar	potencias	de	10
Mientras resolvamos ecuaciones que involucren logaritmos comunes, con frecuencia nece-
sitaremos evaluar una potencia de 10. Por ejemplo, si log x 5 3, entonces, utilizando la de-
finición de logaritmo común, vemos que x 5 103 o 1000. En muchas ecuaciones la potencia 
de 10 no será un número entero. Utilizaremos una calculadora graficadora o científica para 
aproximar tales potencias de 10.
Cómo utilizar tu calculadora
Aproximar potencias de 10
Para aproximar potencias de 10 en tu calculadora, utiliza la función 10x, la cual se localiza directamente arriba de la tecla  LOG . 
Para acceder a esta función, presiona la tecla  2ND  ,  INV  o  Shift  antes de presionar la tecla  LOG .
EJEMPLO  4  Aproxima las siguientes potencias de 10. Redondea tus respuestas 
a cuatro cifras decimales.
 a) 101.394 b) 102.827 c) 1020.356
Solución Utiliza una calculadora para aproximar cada una de las potencias de 10.
 a) 101.394 L 24.7742
 b) 102.827 L 671.4289
 c) 1020.356 L 0.4406
Resuelve ahora el ejercicio 49
Cuando evaluamos una potencia de 10, al número que obtenemos podemos denomi-
narlo como un antilogaritmo o un antilog. Por ejemplo, en el ejemplo 4 inciso a), determina-
mos que 101.394 L 24.7742. Por lo tanto, podemos escribir antilog 1.394 L 24.7742. Observa que 
log 24.7742 L 1.394.
EJEMPLO  5  Resuelve para x en cada una de las siguientes ecuaciones. Redon-
dea tu respuesta a cuatro cifras decimales.
 )b)a log x = -1.203log x = 0.132
Solución 
 a) Utilizando la definición de un logaritmo común, sabemos que
 log x 5 0.132 significa x 5 100.132 L 1.3552
 b) log x 5 21.203 significa x 5 1021.203 L 0.0627
Resuelve ahora el ejercicio 65
En el ejemplo 5 inciso a), resolvimos la ecuación log x 5 0.132 para obtener la so-
lución x 5 100.132 L 1.3552. También podíamos haber escrito x 5 antilog 0.132 L 1.3552. 
Observa que log 1.3552 L 0.132.
EJEMPLO  6  Terremoto En la escala Richter, la magnitud de un terremoto está 
dada por la fórmula R 5 log I, donde I es el número de veces que es más intenso el 
sismo respecto de la actividad sísmica más pequeña que puede medirse. ¿Cuántas 
veces es más intenso un terremoto que mide 6.2 grados en la escala Richter que la 
actividad sísmica más pequeña que puede medirse?
606	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Solución Queremos determinar el valor de I. Tenemos que R 5 6.2. Sustituye R 
por 6.2 en la fórmula R 5 log I y después despeja I.
 R 5 log I 
 6.2 5 log I Sustituye	R por 6.2.
Para encontrar I, reescribiremos la ecuación logarítmica como una ecuación expo-
nencial utilizando la definición de un logaritmo común.
6.2 5 log I significa I 5 106.2
 y obtenemos I L 1,584,893
Por lo tanto, este terremoto es aproximadamente 1,584,893 veces más intenso que la 
actividad sísmica más pequeña que puede medirse.
Resuelve ahora el ejercicio 89
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.5 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
 10y común 4 y10 exponente 2 10x
 1. Un logaritmo es un logaritmo con una 
base de 10.
 2. Un logaritmo común es el al que eleva-
rías 10 con el fin de obtener el argumento.
 3. Utilizando la definición de un logaritmo común, y 5 log x 
significa x 5 .
 4. Ya que 2010 está entre 1000 y 10,000, log 2010 está entre 3 y 
.
Practica tus habilidades
Evalúa	el	logaritmo	común	de	cada	potencia	de	10	sin	el	uso	de	una	calculadora.
 5. log 1 6. log 100 7. log 0.1 8. log 1000 
 9. log 0.01 10. log 10 11. log 0.001 12. 0.0001 
Sin	utilizar	una	calculadora,	estima	los	dos	números	enteros	entre	los	cuales	estará	cada	logaritmo.	Ver	ejemplo	1.
 13. 86 14. 352 15. 19,200 16. 1001 
 17. 0.0613 18. 941,000 19. 101 20. 0.000835 
 21. 3.75 22. 0.375 23. 0.0173 24. 0.00872 
Utiliza	una	calculadora	para	aproximar	los	siguientes	logaritmos	comunes.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	cifras	decimales.	Compara	
tus	respuestas	con	las	de	los	ejercicios	13-24.	Ver	ejemplo	2.
 25. 86 26. 352 27. 19,200 28. 1001 
 29. 0.0613 30. 941,000 31. 101 32. 0.000835 
 33. 3.75 34. 0.375 35. 0.0173 36. 0.00872 
Determina	el	exponente	al	que	debe	elevarse	la	base	10	para	obtener	cada	uno	de	los	siguientes	números.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	
cifras	decimales.	Ver	ejemplo	3.
 37. 3560 38. 817,000 39. 0.0727 40. 0.00612 
 41. 243 42. 8.16 43. 0.00592 44. 73,700,000 
 45. 0.0098 46. 0.0037 47. 15.491 48. 10.892 
Determina	las	siguientes	potencias	de	base	10.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	cifras	decimales.	Ver	ejemplo	4.
 49. 100.2137 50. 101.3845 51. 104.6283 52. 103.5527 
 53. 1021.7086 54. 1022.7431 55. 100.001 56. 1020.001 
57. 102.7625 58. 1020.1543 59. 1022.014 60. 105.5922 
Resuelve	para	x	en	cada	una	de	las	siguientes	ecuaciones.	Si	es	necesario,	redondea	tus	respuestas	a	cuatro	cifras	decimales.	Ver	ejemplo	5.
 61. log x 5 2.0000 62. log x 5 1.4612 63. log x 5 3.3817 64. log x 5 1.9330 
 65. log x 5 4.1409 66. log x 5 22.103 67. log x 5 21.06 68. log x 5 23.1469 
 69. log x 5 20.6218 70. log x 5 1.5177 71. log x 5 20.1256 72. log x 5 21.3206 
	 Sección	9.5	Logaritmos	comunes	 607
Utiliza	las	propiedades	4	y	5	del	logaritmo	común,	que	se	encuentran	en	la	página	602,	para	evaluar	lo	siguiente.
 73. log 107 74. log 103.4 75. 10 log 7 76. 10 log 3.4 
 77. 4 log105.2 78. 8 log 101.2 79. 5(10 log 8.3) 80. 2.3(10 log 5.2) 
Resolución de problemas
Resuelve	los	ejercicios	81-84	mediante	R	=	log	I	(ver	ejemplo	6).	
Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	cifras	decimales.
 81. Determina I si R 5 3.4 
 82. Determina I si R 5 4.9 
 83. Determina I si R 5 5.7 
 84. Determina I si R 5 0.1 
 85. Astronomía En astronomía, una fórmula utilizada para de-
terminar el diámetro, en kilómetros, de planetas menores 
(también llamados asteroides) es log d 5 3.7 2 0.2g, donde g 
es una cantidad llamada magnitud absoluta del planeta menor. 
Determina el diámetro de un planeta menor si su magnitud ab-
soluta es a) 11 y b) 20. c) Determina la magnitud absoluta del 
planeta menor cuyo diámetro es de 5.8 kilómetros.
 86. Prueba estandarizada La puntuación promedio en una 
prueba estandarizada es una función del número de horas de-
dicadas a estudiar para la prueba. La puntuación promedio, 
f (x), en puntos, puede ser aproximada por f (x) 5	log 0.3x 1 1.8, 
donde x es el número de horas dedicadas a estudiar para la 
prueba. La máxima puntuación posible en la prueba es 4.0. 
Determina la puntuación recibida por una persona promedio 
que estudia a) 15 horas y b) 55 horas.
 87. Retención de aprendizaje Sammy Barcia recién ha termina-
do un curso de física. El porcentaje del curso que él recordará 
dentro de t meses puede ser aproximado mediante la función
R(t) 5 94 2 46.8 log (t 1 1)
 para 0  t  48. Determina el porcentaje del curso que 
Sammy recordará, dentro de a) 2 meses y b) 48 meses.
 88. Retención de aprendizaje Karen Frye recién ha terminado un 
curso de psicología. El porcentaje del curso que ella recordará 
dentro de t meses puede ser aproximada mediante la función
R(t) 5 85 2 41.9 log (t 1 1)
 para 0  t  48. Determina el porcentaje del curso que ella 
recordará, dentro de a) 10 meses y b) 25 meses.
 89. Terremoto ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto de 
3.8 grados en la escala Richter, respecto de la actividad sísmi-
ca más pequeña que puede medirse? Ver ejemplo 6.
 90. Terremoto El terremoto más fuerte del que se tiene registro 
ocurrió en Chile el 22 de mayo de 1960. Fue de 9.5 grados 
en la escala Richter. ¿Cuántas veces fue más intenso este te-
rremoto, respecto de la actividad sísmica más pequeña que 
puede medirse?
 91. Energía de un terremoto Una fórmula que se utiliza en oca-
siones para estimar la energía sísmica liberada por un terre-
moto es log E 5 11.8 1 15ms, donde E es la energía sísmica y 
ms es la magnitud de la onda supeficial.
 a) Determina la energía liberada por un terremoto cuya mag-
nitud de la onda superficial es 6.
 b) Si la energía liberada durante un terremoto es 1.2 3 1015, 
¿cuál es la magnitud de la onda superficial?
 92. Presión del sonido El nivel de la presión del sonido, sp, está 
dado por la fórmula sp = 20 log 
pr
0.0002
, donde pr es la pre-
sión del sonido en dinas/cm2.
 a) Determina el nivel de presión del sonido si la presión es de 
0.0036 dinas/cm2.
 b) Si el nivel de presión del sonido es 10.0, determina la pre-
sión del sonido.
 93. Terremoto La escala Richter, usada para medir la intensi-
dad de los terremotos, relaciona la magnitud, M, del terremo-
to con la energía que libera, E, en ergios, mediante la fórmula
M =
log E - 11.8
1.5
Si un terremoto libera 1.259 3 1021 ergios de energía, ¿cuál es su 
magnitud en la escala Richter?
 94. pH de una solución El pH es una medida de la acidez o la 
alcalinidad de una solución. Por ejemplo, el pH del agua es 7. 
En general, las soluciones ácidas tienen números de pH me-
nores que 7, y las soluciones alcalinas mayores que 7. El pH 
de una solución se define como pH 5	2log [H3O
1], donde 
H3O
1 representa la concentración del ion hidronio en la solu-
ción. Determina el pH de una solución cuya concentración de 
iones hidronio es 2.8 3 1023
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