Matemática Nivel Medio Parte 2

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Unidad
Números reales
 lo largo de tu enseñanza has estudiado distintos conjuntos numéricos. Por ejemplo, el de 
los números naturales ( ), el de los números enteros () y el de los números racionales (). 
En este nivel estudiarás el conjunto de los números irracionales (), con los que completarás el 
estudio de los números reales (), que corresponden a la unión entre los números racionales 
e irracionales.
¿Qué aprenderás? ¿Para qué? ¿Dónde?
 úmeros reales. Resolver problemas que involucren realizar operaciones y aplicar 
propiedades de los números reales.
Páginas 12 a 15.
Raíces. Relacionar la raíz enésima con potencias de exponente racional 
y demostrar algunas propiedades.
Páginas 16 a 27.
Logaritmos. Aplicar la defi nición y propiedades de los logaritmos en la 
resolución de problemas y relacionarlos con potencias y raíces.
Páginas 28 a 35.
 0 Unidad 1 úmeros reales
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 332222 44 55 66 77 88
 onsiderando la información de la página anterior, responde:
 . ¿Qué conjuntos numéricos forman al de los números reales?
2. ¿Qué característica tienen los números irracionales que los hacen diferentes a los números racionales?
3. Averigua los valores de Pi, e y Phi con 10 cifras decimales.
Inicializando
evaluación
e
contenido
c
resolución de pro
ble
m
as
r
eval
uación
e
cont
enido
c res
ol
uc
ión
 de problem
asr
Comprender consiste en construir un signifi cado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o 
gráfi ca. Para comprender, es posible utilizar la representación.
Dada una circunferencia de centro O y radio r, el valor de Pi corresponde al cociente entre la longitud de la 
circunferencia y la medida de su diámetro. Si el radio de esta mide 2 cm, ¿qué valor se considera para Pi si la 
longitud de dicha circunferencia es de 12,566 cm?
 . ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema?
 
 
 
2. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
 
 
 
3. ¿Es necesario conocer el valor de Pi para responder la pregunta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
 
 
 
4. Representa de otra forma la situación planteada. Puedes hacerlo mediante ecuaciones o dibujos.
 Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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Números reales
El Papiro de Rhind es uno de los textos matemáticos egipcios más antiguos. En él ya se 
encontraron registros de números racionales. En el caso de los números irracionales, se 
dice que surgieron en la época de Pitágoras de Samos (aproximadamente 582-507 a. C.), 
cuando se concluyó que la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles 
con catetos de longitud una unidad no podía ser un valor racional. A pesar de esto, la idea 
de número irracional surge en el siglo XVI, al considerar la idea de número decimal no 
periódico, es decir, un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefi nida sin 
obedecer a ley alguna.
Fuente: Francisco Flores. Historia y didáctica de los números racionales e irracionales.
El conjunto de los números racionales () es aquel 
cuyos elementos son números que se pueden escribir de 
la forma 
a
b
 con a, b  y b 0. Por ejemplo: –4; 0; 3,5; 
1
3
; 3,6 – 0,0162 4; ; ; etc. A este conjunto pertenecen 
todos los números naturales, todos los números enteros, 
las fracciones, los números decimales fi nitos y los núme-
ros decimales infi nitos periódicos y semiperiódicos.
El conjunto de números irracionales () es aquel cuyos 
elementos son números que no pueden ser escritos como 
un número racional. Por ejemplo: π = 3,1415…; 
e = 2,7182…;  = 1,6180…; 2 = 1,4142…; etc.
El conjunto de los números reales () es aquel formado 
por todos los números racionales y todos los irracionales. 
Es decir,  =   . Observa el siguiente diagrama:


 
 =   

Observación: que un conjunto esté contenido en otro no 
signifi ca necesariamente que tenga menos elementos.
 ara grabar
1. Identifi ca si la situación implica el uso de números irracionales. Para ello, escribe en la 
casilla la palabra racional o irracional según el ámbito numérico en que se resuelve.
a. Calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm. 
b. Medir la masa corporal de una persona en kilogramos. 
c. Calcular la medida de un cateto de un triángulo rectángulo 
cuya hipotenusa mide 5 cm y el otro cateto mide 4 cm.
d. Calcular el cociente entre la longitud de una circunferencia y la 
medida de su diámetro.
e. Calcular el valor de 
1+ 5
2
. Puedes usar calculadora. 
f. Calcular el valor de 65.536 . Puedes usar calculadora. 
 Los conte-
nidos del 
Papiro de 
Rhind datan 
de 1650 a. C. 
aproximada-
mente.
 La escuela Pitagórica consideraba 
al número como un ente perfecto 
que gobernaba el Universo y todo 
lo que en él existía.
Índice de 
la raíz. 
Cuando no 
se indica 
es 2.
Donde a, b  y a, b ≥ 0.
a =b
Cantidad subradical.
Valor de 
la raíz.
Ayuda
 2 Unidad 1 úmeros reales
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2. Resuelve el siguiente problema.
Si mADB = mCBD = mDGE = mEGF = mGDA = 90°, AD = BD = DG = 1 cm, 
BC = EG = 2 cm y FG = 3 cm, calcula el perímetro del heptágono ABCDEFG.
A
D
GB
F
EC 
Realiza tus cálculos aquí.
a. Compara tu respuesta con la de tus compañeras y compañeros. 
¿Qué puedes concluir?
 
b. Si usaras la calculadora, ¿cuál sería el perímetro del heptágono aproximadamente? 
Explica la aproximación que realizaste.
 
c. ¿El problema planteado se enmarca en el ámbito de los números racionales? 
¿Por qué?
 
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Algunas propiedades de los números reales son las 
siguientes:
 La conmutatividad para la adición y multiplicación.
 La asociatividad para la adición y multiplicación.
 La distributividad para la multiplicación respecto a la 
adición.
 El neutro aditivo de cualquier número real es el cero, 
mientras que el neutro multiplicativo es el 1.
 El inverso aditivo de cualquier número real a distinto 
de cero es –a, mientras que su inverso multiplicativo es 
1
a
. El inverso aditivo de cero es cero y no tiene inverso 
multiplicativo.
 ara grabar
 ¿Qué propiedad se aplicó en cada paso de la resolución del siguiente cálculo? 
 
1
3
+ 3 +2+5 3 – 3 =
1
3
+2 + 3 +5 3 – 3
=
7
3
+ 3 +
 




 ( )
–– 3 +5 3
=
7
3
+ 0+5 3
=
7
3
+5 3
( )( )
( )
 
 
 
Si a, b, c ∈:
Conmutativa:
a + b = b + a
a b = b a
 sociativa: 
a + (b + c) = (a + b) + c
a (b c) = (a b) c
Distributiva: 
a (b + c) = a b + a c
Neutro aditivo: a + 0 = a
Neutro multiplicativo: a 1 = a
Inverso aditivo: a + (-a) = 0
Inverso multiplicativo: a 
1
a
 = 1; 
a 0.
Ayuda
El teorema de Pitágoras 
establece que en un triángulo 
rectángulo la suma de las 
medidas de cada cateto al 
cuadrado es igual a la medida de 
la hipotenusa al cuadrado.
hip
catcat
cat2 + cat2 = hip2
Ayuda
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4. Analiza el siguiente ejemplo de operatoria con números reales. Luego, resuelve.
2
7
– + 1–5 =
2
7
+ 1 + – –5 =
9
7
–6π π π π π
 





( )
a. 9–2 3 + 15–– 3 = 
b. 9,2– + 1,5– =π φ 
c. 9,21–3 4 –
3
8
– 4 = 
d. 5 +7 – 5 – 4 +2e=π π3 
e. 16 –2,,3– 4 –
7
10
– 2 = 
5. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. 
Para ello, analiza el ejemplo.
21 –
1
7
= 3 – +x / + – 3
21 –
1
7
+
π π φ π π φ
π π π
 





–– 3 = x / Aplicando lapropiedad asociativa.
153
7
φ
π –– 3 = xφ
a. 2 +x– 7 = 2 – 7 c. 1,3 –
4
5
+ y = 3y –
144
2
 e. 2,6 –
1
7
– z = 3 –π
b. 3 +5 + y= 12 – 2 3 d. x – = 3 – –π φ π f. 2 –
3
5
= 4( – ) +π π φ π x
6. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a. Si una bicicleta tiene ruedas de “aro 26”, ¿cuál es la distancia (en cm) que recorre al 
dar una vuelta completa?
b. Calcula la medida (en mm) de la diagonalde la tapa de un libro cuyo largo mide 
16 cm; y su ancho, 15 cm.
c. Si un televisor tiene una pantalla de 7’’, ¿cuál es la medida (en pulgadas) de su largo 
si su ancho mide 8,5 cm?
 ¿Pudiste obtener medidas exactas? Fundamenta.
Una pulgada es una medida 
inglesa equivalente a 25,4 mm;
es decir, 2,54 cm. 
Es frecuentemente usada en 
las ruedas de bicicletas, u otros 
vehículos, haciendo referencia 
a la medida de su diámetro. Por 
ejemplo, si una rueda es de 
“aro 20” signifi ca que su 
diámetro mide 20 pulgadas 
(20’’), esto es, unos 50,8 cm.
También es usada en las 
pantallas de los televisores, 
haciendo referencia a la longitud 
de su diagonal. 
Ayuda
 
2
7
– 2 + 1 – 5 2
=
2
7
+ 1 + – 2 – 5 2
=
9
7
– 6 2
(1)
(2)
(
 




 ( )
33)
(1) Primero, se analiza si es 
posible asociar términos 
comunes.
(2) En este caso, se asocian los 
números racionales 
2
7
 y 1 y los 
irracionales 2 y 5 2 .
(3) Luego, se resuelven las 
operaciones propuestas. 
El resultado, en este caso, 
queda expresado como una 
operatoria entre un número 
racional y un irracional, la cual se 
podría resolver y entregar una 
aproximación. 
Paso a Paso
 4 Unidad 1 úmeros reales
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 La distancia que recorre una 
rueda al dar una vuelta completa 
es equivalente al perímetro de la 
circunferencia que la representa.
Recuerda que:
 = 3,14159265…
 = 1,61803398…
e = 2,71828182… 
Ayuda
Aproximación de números irracionales
Como ya has visto en cursos anteriores, los números racionales se pueden aproximar con 
estrategias como el redondeo y el truncamiento. Para aproximar los números irracionales, 
se puede continuar usando estas mismas estrategias, escribiéndolos como números 
decimales infi nitos. Por ejemplo, en el problema a de la actividad 6 de la página anterior 
se pide calcular la distancia que recorre la rueda de aro 26 en dar una vuelta completa.
Perímetro (P) de la circunferencia que representa la rueda:
P
2
=2 r
=26'' / 2r =26''
=66,04 / 26''=26 2,54 cm
=
π
π
π 
007,470778...cm
Como el resultado es un número irracional, se debe aproximar este valor para responder la pre-
gunta. Luego, si en este caso se trunca o se redondea a la unidad, la distancia es de 207 cm; en 
cambio, si se trunca a la décima, se obtiene 207,4 cm y si se redondea a la décima, se tiene 
que la distancia es de 207,5 cm. ¿Cómo respondiste la pregunta en la página anterior?
 proximar un número irracional consiste en encontrar un 
valor cercano a dicho número. Cuando el valor encontra-
do es mayor que el original, se dice que se aproximó por 
exceso; mientras que si el valor es menor que el original, 
se dice que se aproximó por defecto. 
Redondear consiste en encontrar la mejor aproximación 
del número original, ya sea por exceso o por defecto, 
según la cantidad de cifras decimales a las que se quiera 
redondear.
Observación: aproximación de ,  y e por defecto, por 
exceso y por redondeo, considerando 4 decimales.
 proximación  e
Defecto 3,1415 1,618 2,7182
Exceso 3,1416 1,6181 2,7183
Redondeo 3,1416 1,618 2,7183
 ara grabar
1. Aplica la aproximación pedida en cada caso.
a. 2 = 1,414213562… considerando 5 decimales.
Por defecto: Por exceso: Por redondeo: 
b. 5 = 2,236067978… considerando 4 decimales.
Por defecto: Por exceso: Por redondeo: 
Desafíate
2. Resuelve el siguiente problema.
Un estudiante resuelve la ecuación 5 + x = 3 – π + 2 y quiere aproximar el valor de la 
incógnita considerando 4 cifras decimales.
a. ¿Qué valor obtiene si aproxima por defecto?, ¿por exceso?, ¿y por redondeo?
b. Explica el procedimiento que usaste para resolver el problema.
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Se dice que un número natural 
es cuadrado perfecto si 
existe un número natural que 
multiplicado por sí mismo 
resulta dicho número. Por 
ejemplo, 4 es cuadrado perfecto, 
ya que 
22 = 4. Esto es, 4 = 2.
Ayuda
Raíces cuadradas y raíces cúbicas
Los números reales se pueden ubicar en la recta numérica, sin embargo, el proceso para 
situar un número irracional es distinto al de situar números racionales. Por ejemplo, para 
ubicar las raíces cuadradas 2 y 3, se puede aplicar el procedimiento usado por 
Teodoro de irene, maestro de Platón.
2 +1 =hip
2+1=
2
2 2( )
hip
3 =hip
2
1
1 2
2
3
3
1
1
1 +1 =hip
2=hip
2 =hip
2 2 2
2
2
2
Se dice que Teodoro de Cirene (465-399 a. C.), 
demostró la irracionalidad de las raíces cuadradas de los 
números naturales que no son cuadrados perfectos hasta 
el 17. Además, se le atribuye la representación geométrica 
y en la recta numérica de estas raíces usando la llamada 
“espiral de Teodoro”. 
Esta espiral se forma a partir de sucesivos triángulos 
rectángulos, donde uno de sus catetos es la hipotenusa 
del triángulo anterior y el otro cateto mide una unidad.
Ejemplo: para representar 15 se considera un triángulo 
rectángulo de catetos 1 y 14 unidades. Luego, se le 
aplica el teorema de Pitágoras. 
A
CB
1
15
14
1 + 14 = hip
1 + 14 = hip
= hip15
2
2
2
2
( )
Luego, el segmento CA se copia, con un compás, sobre la 
recta numérica, haciendo coincidir uno de sus extremos 
con el origen de la recta. 
 ara grabar
1. Identifi ca los números que completan la siguiente recta numérica. Para ello, 
selecciónalos de la lista y escríbelos en las casillas.
6 12 38 8, ,– ,–
13 41 8 
La siguiente construcción 
geométrica es conocida como 
espiral de Teodoro y representa 
las raíces de los números 
naturales:
2
34
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
 
 
 
 
En ella, se aplica sucesivas 
veces el teorema de Pitá-
goras y se considera que 
a = a
2
( ) ≥; a 0. Propiedad 
que luego será demostrada.
Ampliando memoria
 6 Unidad 1 úmeros reales
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Se demostrará que 2 es un número irracional.
 . Supón que 2 es un número racional.
Entonces, se podría escribir de la forma 
a
b
,
 donde a, b , b 0 y la fracción es 
irreductible. Esto es: 2 =
a
b
2. De la igualdad se tiene que:
2 =
a
b
/()
2=
a
b
2
2
2
⇒ 2b2 = a2
3. De 2 se puede concluir que a2 es par. 
4. De 3 se puede concluir que a es par.
5. Como a es par, se tiene que a = 2k, k .
Luego, reemplazando en 2 se tiene b2 = 2k2.
6. De 5 se concluye que b también es par.
7. Como a y b son pares, tienen factor común 2.
Lo concluido en 7 es falso porque a y b forman 
una fracción irreductible, por lo que no pueden 
tener múltiplos comunes.
 
Se demostrará que 3 es un número irracional.
 . Supón que 3 es 
Entonces, se podría escribir de la forma 
a
b
,
donde a, b , b 0 y la fracción es irreductible. 
Esto es: .
2. De la igualdad se tiene que:
3 =
a
b
/()
3=
a
b
2
2
2
⇒ 
3. De 2 se puede concluir que es múltiplo de .
4. De 3 se puede concluir que es múltiplo de .
5. Como a es múltiplo de 3, se tiene que .
Luego, reemplazando en 2 se tiene .
6. De 5 se concluye que b también es múltiplo de .
7. Como a y b son múltiplos de 3, tienen factor común 3.
Lo concluido en 7 es falso porque 
2. Aplica el procedimiento usado en la espiral de Teodoro para representar 7 y 17 en 
la recta numérica.
0 1 
 Compara el procedimiento aplicado con el de tus compañeros. ¿Hay más de una 
manera de hacerlo?
 ¿Qué estrategia recomendarías usar para representar 101 en la recta numérica?
Desafíate
3. Analiza la siguiente demostración. Luego, completa la demostración propuesta y 
responde.
a. Demuestra en tu cuaderno que 17 es un número irracional.
b. ¿Por qué se concluye que si a2 es par, tal que a ∈ , entonces a es par?
c. ¿En qué consiste una demostración por el método "del absurdo"? 
 7Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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Aplicando el teorema de 
Pitágoras en el triángulo 
rectángulo BCD, se tiene:
5 + 3 = hip
25 + 9 = hip
34 = hip
34 = hip
2 2 2
2
2
Ayuda
V =
4r
3
3πr
h
r
Generatriz
Ayuda
4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
A
B 5 cm
3 cm
D
C
Para calcular la medida de la diagonal del 
rectángulo ABCD, se puede aplicar el teorema de 
Pitágoras. Observa la cápsula de ayuda.
a. Si construyeras con regla y compás el rectángulo ABCD, ¿cuál sería la longitud del 
segmento BD?
b. ¿Qué valor responderías si te preguntaran por la medida del segmento BD? 
Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras y defi ende tu 
postura. 
c. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado 8 cm? 
5. Resuelve los siguientes problemas. Compara tus respuestas con las de tus 
compañeros y compañeras.
a. Si el radio de un círculo mide 5 cm, ¿cuánto mide su superfi cie?
b. Si la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo está representada por 
306 cm, ¿cuánto mide uno de sus catetos, si el otro mide 15 cm?
c. Un terreno rectangular tiene una superfi cie de 198 m2. Si su largo mide 22 m, 
¿cuánto mide una de sus diagonales?
d. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono recto cuya base tiene un diámetro de 14 cm 
y una altura de 12 cm?
e. Si un cubo de madera tiene un volumen de 3.375 cm3, ¿cuánto miden sus aristas?
f. Si el volumen de una esfera está representado por 7.776π cm3, ¿cuánto mide 
su radio?
 8 Unidad 1 úmeros reales
3 4 5 7 8
Operatoria con raíces cuadradas y raíces cúbicas
A continuación podrás practicar cómo realizar operaciones con raíces cuadradas y cúbicas. 
Para ello, debes leer las secciones de contenidos y realizar todas las actividades propuestas.
Para resolver adiciones y sustracciones que involucren 
raíces cuadradas y/o cúbicas, puedes aplicar un pro-
cedimiento similar al usado en la reducción de términos 
semejantes, es decir, puedes agrupar números del mismo 
tipo. Por ejemplo:
2 + 5 – 4 5 – 5 = –3 – 3 5
En este caso, no es posible determinar un valor racional 
que represente el resultado de la operatoria. Por lo tanto, 
se representa con la expresión compuesta por números 
racionales e irracionales.
Para agrupar las raíces, debes fi jarte que tengan igual 
índice de raíz e igual cantidad subradical.
 3 6 – 6 – 5 = 2 6 – 5
2
7
+
2
7
3 – 4 – 4 +
2
7
3 = –
544
7
+
4
7
3
2,3 – 2,3 2 – 2,3 + 2,3 2 – 1+ 2,3 2 = –1+ 2,3 2
22 +π 99 – 4 3 – 3 + = 26 – 5 33 3 3π π π
5
3
+ 5 – 3 3 – 5 3 =
4 5
3
– 8
3
3 3 3
3
333
 ara grabar
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a. 19–2 2 + 1–2 2 = f. 835–5 223 + 14 –2 223 = 
b. 9,2 3 +2 3 +0,6+2 2 = g. 88,3 51 –22 51 + 1,8–21 52 = 
c. 2,27+ 4 8 +
2
7
+ 8 =3 3 h. 2,4 +3 7 –
3
2
– 7 =
3 3
 
d. 2,5 5 +3 111 –
3
5
+ 11=5 i. 1,3 –3 11 –
3
5
π π ππ π–33 11 = 
e. 81 –2,1 + 3 +
6
13
– 3 =3 3π π j. 125 –3,8+ 7 –
1
2
– 7 =
3 3
 





Para resolver multiplicaciones y divisio-
nes que involucren raíces cuadradas 
y/o cúbicas, se multiplican o dividen, 
según corresponda, las cantidades 
subradicales de las raíces que tengan 
igual índice. 
Por ejemplo: 5 7 = 35 y 
35 : 5 = 7 . Más adelante se 
demostrará que a b = a b ;
donde a, b +  {0} y 
a : b = a::b ; b 0≠( ).
Para multiplicar o dividir raíces, debes fi jarte que tengan igual índice de 
raíz; las cantidades subradicales pueden ser distintas.
Ejemplos:
 5 8 8 = 5 64 = 5 8 = 40 
3
5
:
2
7
6 : 3 =
21
10
66 : 3 =
21
10
2
a 3 b 4 + a 2 b 6 = ab 12 + ab 12 = 2ab 12 
3 4
2
2 –
3 53 3
 
33
3
3 3
5
5 25 =
3 8
2
–
15 125
5
=
3 2
2
–
15 5
5
= 3 – 15 = –12 
 
 ara grabar
 9Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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e c r
2. Analiza la sección Para grabar del fi nal de la página anterior y calcula el valor 
numérico de cada expresión. Luego, escríbelo en la casilla.
a. 9 2 3 2 3 = 
( )
 f. ( )
( )
a –4a 24 : 24 = 
( )
 
b. 5,3 50 : 2 2 =( ) g. ( )a –4a 24 +b ––4a 24 =( ) 
c. 2,9 9 27
1
21
=
3
 h. 11,4 :
103
9
4 : 4 =
3 3( ) 
d. 3 11 :
3
5
11
3 3
 





= i. 1,3 3a 25 –
3
5
a–33a 125 =3 
( )
 
e. 
( )
81 2,7 3 3 =3 3 j. aa 12 : b 12 b –12a+1=( ) 
3. Analiza la resolución de los ejercicios. Luego, responde.
Resolución1: 9 27 :3 3 =
9 27
3 3
=3 9 =3 3=9
Resolució
 
nn2: 9 27 :3 3 =
9 27
3
3 =3 27 3 =3 81=3 9=27
15
 
a. ¿Qué diferencia(s) hay entre las resoluciones expuestas?
 
b. ¿Por qué crees que se obtuvo un resultado distinto?
 
c. Busca una justifi cación de por qué la resolución 2 es la correcta.
 
d. A partir del análisis anterior, realiza el siguiente cálculo.
5 :
15
4
6 33 663 =
 
4. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones.
a. 21+x– 4 8 =32– 8 c. 1,5
3
14
+ y=49 33 3 ––
12
5
 e. 2 :
4
5
- z= 98 : 23
b. 3 3 + 5 + y= 2 5 –2 3 d. x – 3 =3– 18 7 2 f. 3 x=33 –14 256
3 3
5 7x = 5 343
x =
5 343
5 7
x = 5 49
x =
7
625
2 –2
–2
2
–4
Ayuda
20 Unidad 1 úmeros reales
3 4 5 6 7 8
Racionalización
Hay fracciones en las que el denominador contiene raíces. En estos casos, se puede aplicar el método llamado racionaliza-
ción, con el que es posible convertir esta fracción en otra equivalente que ya no contenga raíces en su denominador.
1. Aplica en tu cuaderno la racionalización a las siguientes expresiones. Luego, escribe tu resultado.
a. 
5
13
= f. –
2
7 3
= k. 
17
18 – 11
= 
b. –
21
2
= g. 
10
2 16
=
3
 l. 
32
21– 13
= 
c. 
2
4
=
3
 h. –
5
8 625
=
3
 m. –
3
4– 5
= 
d. –
12
7
=
3
 i. 
1
2 + 8
== n. 
1+
1– 2
=
2
 
e. 
5
3 6
= j. –
7
7 + 12
= ñ. 
5
5+ 2
=
Desafíate
2. Aplica en tu cuaderno la racionalización a las siguientes expresiones. Luego, escribe tu resultado.
a. 
a–b
(a–b)
=
23
 b. 
3
2 – 3 + 5
=
Para racionalizar expresiones como:
7
3
,
5
6
,
7
4 5
o
11
3 123 3
, se amplifi ca por el valor irracional 
que permite obtener un cuadrado perfecto o cubo perfecto en 
la cantidad subradical, según sea el índice de la raíz. Observa:
 
7
3
=
7 3
3 3
=
21
3
 
 
5
6
=
5 36
6 33
3
3
 
 66
=
5 36
63
3
7
4 5
=
7 5
4 5 5
=
35
4 5
=
35
20
 
 
 
4
3 144
=
4 12
3
3
 
33 144 12
=
4 12
3 1.728
=
4 12
3 12
=
4 12
36
=
12
93 3
3
3
3 3 3
 
 
Para racionalizar expresiones como:
44
3 + 5
,
2
2 – 8
o
1
7 – 6
, se amplifi ca por el 
binomio respectivo de tal manera que se convierta 
en una suma por diferencia. Observa:
 
4
3 + 5
=
4 3 – 5
3 + 5 3 – 5
 ( )
( )( )
=
4 3 – 5( ))
( ) ( )
( )
( )
( )
3 – 5
=
4 3 – 5
3 – 5
=
4 3 – 5
–2
= –2 3 – 5 = –2 3 +
2 2
22 5
1
7 – 6
=
1 7 + 6
7 – 6 7 + 6
=
7 + 6
7 – 6
=
7 + 6
49 – 6
=
7 + 6
43
2
2
 ( )
( )( )
( )
 ara grabar
2 Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
Evaluación de proceso
Analizando discorce
rres
ol
uc
ión d
e problem
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enido
c
eval
uación
e
Números reales
 Identifi ca si la situación implica el uso de números irracionales. Para ello, escribe en la 
casilla la palabra racional o irracional según el ámbito numérico en que se resuelve.
a. Medir con una regla la diagonal de un cuadrado de lado 3 cm. 
b. Calcular el volumen de un cubo de madera de arista 5 cm. 
c. Calcular la medida de un cateto de un triángulo rectángulo 
cuya hipotenusa mide 10 cm y el otro cateto mide 8 cm.
3
2 Reconoce qué propiedad se aplicó en cada paso de la resolución del siguiente cálculo. 
Escríbela en cada línea. 
3
5
+2 2 +1+ 2 – 2 =
3
5
+1 + 2 2 + 2 – 2
=
8
5
+ 2 +
 




 ( )
–– 2 +2 2
=
8
5
+ 0+2 2
=
8
5
+2 2
( )( )
( )
 
 
 
3
3 Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cómo expresarías en centímetros que la pantalla de un LCD es de 32 pulgadas?
b. Calcula la medida, en cm, de la diagonal de la tapa de un libro cuyo largo mide 
29 cm; y su ancho, 23 cm.
c. Si una pantalla de televisión tiene un largo de 41 cm y un ancho de 23 cm, ¿de 
cuántas pulgadas es esta pantalla aproximadamente?
3
Aproximación de números irracionales
4 Aplica la aproximación pedida en cada caso.
a. = 3,14159265… considerando 6 decimales.Por defecto: Por exceso: Por redondeo: 
b.  = 1,61803398… considerando 5 decimales.
Por defecto: Por exceso: Por redondeo: 
6
 El volumen de un cubo se 
calcula multiplicando las 
medidas de su largo, su ancho 
y su alto.
 Teorema de Pitágoras:
cat2 + cat2 = hip2.
 El aro de una rueda de 
bicicleta corresponde a la 
medida de su diámetro.
 Una pulgada es una medida 
inglesa que equivale a 
25,4 mm. La medida de 
una pantalla de televisión 
se expresa en pulgadas y 
corresponde a la longitud de 
la diagonal de dicha pantalla.
 El área ( ) de un círculo de 
radio (r) se calcula utilizando 
la fórmula:
A = πr2
Pistas
22 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3333322222 44444 55555 66666 77777 88888
Raíces
5 Ubica las siguientes raíces en la recta numérica.
30 13 133 17, , ,
95 1278
4
6 Resuelve los siguientes problemas.
Un CD se puede representar en el plano dibujando dos círculos concéntricos, donde uno de ellos tiene un diámetro de 
12 cm y el otro de 1,5 cm.
a. ¿Cuánto mide la superfi cie del círculo de mayor diámetro?
b. ¿Cuánto mide la superfi cie del círculo de menor diámetro? 
c. ¿Cuánto mide la superfi cie entre los círculos?
3
Operatoria con raíces
7 Resuelve las siguientes operaciones.
a. 21–3 5 +7–7 5 = c. 3 2 + 3 –5 77 2 +4 3 = 
b. –5,1 2 +2 2 –5,5+5 3 = d. –5,1 14 – 11 14 +2,2–2 28 = 
4
Racionalización
8 Aplica la racionalización a las siguientes expresiones. Luego, escribe tu resultado.
a. 
3
26
= b. 
2 +1
7 3
= c. 
17
28 – 11
== 
3
Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de 
seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos.
Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar
Números reales 2 de 3 2 2 de 3 3 2 de 3 12 a 14
 proximación de números irracionales 4 4 de 6 15
Raíces 5 3 de 4 6 2 de 3 16 a 18
Operatoria con raíces 7 3 de 4 19 y 20
Racionalización 8 2 de 3 21
Mi estado
23Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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uación
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Raíz enésima y sus propiedades
Como sabes, 25 =5 ya que 52 = 25. Por otra parte, 5=5 = 5 =25
2
2 2
1
2
1
2( ) . Luego, se puede 
afi rmar que 25 =25
1
2 . Lo anterior se cumple para otras raíces cuadradas, por ejemplo: 
36 =6=6
2
22 2
1
2
1
2
2
2 2
1
2
1
2= 6 =36 49 =7=7 = 7 =49( ) ( ); ; 1144 =12=12 = 12 =144
2
2 2
1
2
1
2( ) ; etc.
Al generalizar esta relación entre raíces cuadradas y potencias de exponente racional, se 
tiene que a =a
1
2 . Sin embargo, esta relación también se cumple para otros índices de
raíces. Por ejemplo: 27
3
==3=3 = 3 =27 625 =5=5 = 5
3
3 3
1
3
1
3 4
4
4 4( ) (; ))
1
4
1
4=625 ; etc.
En una raíz enésima an( ), su índice n es un número natural y su cantidad subradi-
cal a es un número racional si n es impar y, mayor o igual que 0 si n es par.
En la relación ( )a = a = amn n
m m
n , am  si n es impar y am +  {0} si n es 
par. Además, se debe considerar que am 00 y m .
Ejemplos:
 ( )12 = 12 = 123
1
3 3
1
 6 =44 6 =6 = 64
4 4
4( ) 
Otras igualdades:
 1 = 1n
 0 =0n
 a = a = ann n
n n
( ) nn = a; a 0.≥
 1n
1
na = a
 ara grabar
1. Representa como raíz las siguientes potencias de base y exponente racional.
a. 3 =
1
2 d. –3 =
1
2 g. 
3
2(3–x) = 
b. 
4
7
=
7
4
 e. 
3
2
=
5
4 





 h. 
3
5(–2) = 
c. (a+b) =
4
3 f. 3a
–
3
55 = i. 
3
2(–3) = 
 ¿Qué condiciones debería cumplir la expresión en g para que, al transformarla a 
raíz, cumpla con las restricciones de la defi nición?
 ¿Cumplen con las restricciones de la defi nición de la raíz enésima las 
representaciones realizadas en h e i? Justifi ca.
2. Representa como potencias las siguientes raíces.
a. 13 = d. – 8 = g. (3+5x) =
2
 
b. 
3
2
=4 e. 
2
5
=
5
6
 





 h. –2( ))
7
9 = 
c. a+b =
3
 f. 5 a =
7
 i. 
–44 3 = 
Al tener la relación: x = x
2
( ) ,
se puede afi rmar que la raíz 
cuadrada de un número real 
mayor o igual que cero puede 
ser cero o un número real 
positivo.
Ampliando memoria
Recuerda que el uso de 
paréntesis es muy importante 
en las potencias y raíces. Por 
ejemplo:
1
4
1
4
1
2
1
2
≠
 





, ya que
1
4
=
1
4
=
1
4
1
2
1
; mientras que 
1
4
 





1
2
=
1
4
=
1
2
.
Otro caso que debes considerar:
≠( )
1
2
1
2xy xy .
Advertencia
24 Unidad 1 úmeros reales
3 4 6 7 8
3. Calcula en tu cuaderno el valor numérico de las siguientes expresiones. Luego, escribe 
tu resultado.
a. 9 +8 =
1
2
1
2 e. 
27
11
3
1
5
1
2
–243
144
= 
b. 6+ 6+ 9 = f. 169
25
13
1
625
= 
c. –2 16 –2 16 =
1
2
1
4
 g. 
1
2
1
325 –3 125 = 
d. –3 –3 81 =
1
2
–
1
4
 h. 
1
281 –1121
625
=
1
6
1
2
Algunas de las propiedades 
utilizadas en el cálculo de 
raíces son:
 a b = a bn n n 
a
b
=
a
b
n
n
n
a = amn mn
Ejemplos:
 3 274 4 == 3 27 = 81 = 34 4 
438
18
=
438
18
=
73
3
3
3
3 3
72933 2 3 6= 729 = 729 = 3 
3 3 3
2
5
4
5
=
2
5
4
5
=
8
2
 
55
=
8
25
=
2
25
3
3
3 3
Racionalizando:
2
25
=
2 5
25 5
=
2 5
125
=
2
3
3
3 3
3
3
 
55
5
3
Luego:
2
5
4
5
=
2 5
5
3 3
3
 
 ara grabar
4. Aplica en tu cuaderno las propiedades para simplifi car las expresiones. Luego, escribe 
tu resultado en la casilla. Observa el ejemplo.
x x
x : x
=
x x
x :x
=
x
x
3 –4
7 2
3
2
–
4
5
7
10
2
5
3
2
–
4
5
7
10
 
5
10 5 ––
2
5
7
10
3
10
7
3
7
3
4 25=
x
x
=
x
x
=
x
x
= x = x
10
10
10 10
a. 
4 b b
b
 
88
= d. 
34
4
=
p p
p
– :
 
b. 3 3 2
3
: =x x x ( ) e. 
45
2
k k
k
:
:: k5
= 
c. 
13 12
2
5
=
n n
n
 
–
–
 f. 
a b
b a
4 34
4 8
=
 
 
49 – 64
729
=
49 – 64
729
=
7 – 2
27
=
5
27
1
2
1
6
1
2
6
(1)
(2)
(3))
(1) Se convierten las potencias 
en raíces.
(2) Se calculan las raíces. En 
caso de no resultar un número 
racional, se puede dejar 
expresado su valor en raíz.
(3) Se resuelven las operaciones 
respectivas. En este caso, la 
sustracción.
Paso a Paso
25Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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5. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve en tu cuaderno y escribe tu 
resultado en la casilla.
4 75 2 300 3 4 25 3 2 100 3 3
4 25
– –3 = – –3
=
 
 33 2 100 3 3
4 5 3 2 10 3 3
– –3
= – –3
=
 
 
220 – –3
=–3
3 20 3 3
3
a. – –5 32 4 18 = d. –
4
3
16 +2 54 + 8 +3 3 550 = 
b. –3 50
2
3
63 = e. =a bc a bc abc a– –2 3
2
 
c. – –2 3 7 27 3 12 = f. 
a
b
b
b
c
a bc a b c a– –33 2 4 6 5 2 22 = 
6. Aplica los productos notables para calcular en tu cuaderno el valor de cada expresión. 
Escribe tu resultado en la casilla.
a. 1 2
2
–( ) = d. ( ) ( )( )2– 2 – 2– 2 2+ 2 =
2
 
b. 
 





 





( )
5 –
1
5
5 +
1
5
=
( )
 e. 
13 3
3
 





=b b
a
a– 
c. 8– –( )x x 88( )= f. a
b
bb
a
x x x x4 6 6 23– –
 





+( )
2
= 
7. Analiza el ejemplo. Luego, resuelve las multiplicaciones.
5 1 5 1 5 1 5 1– – /+ = + = ( )( ) Aplicando propiedad a b an n bb
solviendo la suma por su diferencia
n .
– /Re .= 5 1
2
2( )
==
=
5 1
4
– /Re .
/Re
solviendo las potencias
solviendo laa sustracción
Calculando la raíz
.
/ .=2
a. 2 3 2 2 3 2– + = d. –a b c a b +c = 
b. 11 2 11 2– + = e. p q p +q =34 3 4– 
c. 4 7 31 4 7 31– + = f. a b a b =3 5( – ) ( – ) 
Recuerda algunos de los 
productos notables:
Cubo de binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Cuadrado de binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Suma por su diferencia
(a + b)(a – b) = a2 – b2 
Ayuda
26 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3322 44 55 66 77 88
8. Aplica propiedades de potencias y raíces para representar cada expresión con solo 
unaraíz. Luego, responde las preguntas.
a. 3 34 = d. xy x y =4 3 
b. 3
33
=a a e. 1 1 13 3 =a a a – – –( ) 
c. 2 5
5 5 25 =+a aa a – f. 5 55 5 522
35
= 
 ¿Para qué valores de a la expresión resultante de c no está defi nida? Justifi ca.
 Si y es un número entero positivo, ¿para qué valores de x la expresión resultante 
de d está defi nida? Justifi ca.
Desafíate
9. Analiza la demostración de una de las propiedades de las raíces. Luego, demuestra 
las que se proponen.
Hipótesis: sean n y a, b +  {0}.
Tesis: a b = a b
n n n
 
Demostración:
a =x; b =y. Luego, x =ae yn n n(1) Sean nn
n n
=
x y =a
b Por definición de raíz enésima
b M
. / .
/(2) uultiplicando
x y b Aplicando propiedad d
n
.
/(3) ( ) =a ee potencias
x y b b x y Por definició
n
n
.
/(4) ( ) ⇔=a a = nn de raíz enésima
b Por definición de x en
.
/(5) a = a bn n yy en (1).
Por lo tanto, .a b = a b
n n n
 
a. 
a
b
=
a
b
n
n
n
 
b. a = a
mn mn
Recuerda algunas propiedades 
de potencias:
am an = am + n
am : an = am – n
am bm = (a b)m
am : bm = (a : b)m
(am)n = amn
Ayuda
Una vez demostrada una 
propiedad, puedes usarla para 
demostrar otra. 
Ayuda
27Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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Logaritmos
En la mayoría de las calculadoras científi cas encontrarás la tecla og og , que representa el 
logaritmo en base 10 de un número. Utilizándola podrás comprobar que:
2 = 100,30102…, 5 = 100,69897…, 500 = 102,698987
 og og 2 = 0,30102…, og og 5 = 0,69897…, og og 500 =2,698987...
 ¿Qué opinas de la afi rmación: "Todo número real positivo r se puede escribir como una 
potencia de base 10 y exponente x, es decir, 10x = r"?
 ¿Cómo escribirías el número 1.000 en base 10? ¿Y en base 5?
Si a, b +, con a 1 y n , entonces se tiene que: 
log
a
b = n ⇔ an = b
Donde a es la base del logaritmo y b su argumento, y se 
lee: “Logaritmo de b en base a es igual a n”.
Ejemplos:
 log
2
16 = 4, ya que 24 = 16.
 log
4
16 = 2, ya que 42 = 16.
 log
1
10
= – 1
10
, ya que 10 =
1
10
–1 .
 log 1 = 0
5
2
, ya que 
5
2
=
0
 





11.
 ara grabar
1. Interpreta cada uno de los siguientes enunciados. Luego, completa con la potencia 
respectiva.
a. log
5
25 = 2, ya que . e. log
0,1
0,1 = 1, ya que .
b. log
1
100
= –2 , ya que . f. log 2 =
1
2 22
, ya que .
c. log
9
4
=2
3
2
, ya que . g. log 7 =
1
37
3
, ya que .
d. log
1
1.000
=1
1
1.000
, ya que . h. log
25
4
=–2
2
5
, ya que .
2. Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 
la letra correspondiente en cada caso.
Columna A Columna B
a. log
1
93
 –2
b. log 100 3
c. log 25
5
 1
d. log 0,001
1
10
 2
La palabra logaritmo proviene 
de la raíz griega logos, que 
signifi ca proporción, y arithmos, 
que signifi ca número.
Ampliando memoria
Usualmente si se trabaja con 
un logaritmo en base 10, la 
notación es: 
log
10
b = log b
Ayuda
28 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3322 44 55 66 77 88
3. Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala y responde.
a log
a
a log
a
 
5
2
5 log
5
 5 = 1 log
5
 1 = 0
0,35
a log
a
a log
a
 
5
2
5 log
5
 5 = 1 log
5
 1 = 0
0,35
 Si el valor de a aumenta, ¿qué ocurre con los valores correspondientes de cada 
columna?
 ¿Cuál es el valor de log
1
1? Discute con tus compañeras y compañeros.
 Utiliza la información del cuadro Para grabar de la página anterior y demuestra que: 
a. Si a + – {1}, entonces log
a
a = 1. b. Si a + – {1}, entonces log
a
1 = 0.
 
4. Analiza la siguiente información. Luego, calcula cada logaritmo.
Ejemplo:
Calcula log
4
1.024.
1. Por la defi nición de logaritmo, se tiene que 4x = 1.024. 
2. Utilizando potencias, se tiene que 1.024 = 45. Luego, x = 5.
Por lo tanto, log
4
1.024 = log
4
45 = 5.
a. log
2
16 c. log
7
1
7
 
b. log
9
5
25
81
 d. log
25
6255
 
 Si a + – {1}, ¿es cierto que log
a
an = n? Justifi ca.
John Napier 
(1550-1617) 
fue uno de los 
precursores 
en la 
utilización de 
los logaritmos 
para métodos 
ligados con 
el cálculo. 
Por ello, en 
variadas publicaciones de la 
época y actuales se conocen 
los logaritmos en base e como 
logaritmos “neperianos”.
variadas publicaciones de la 
época y actuales se conocen 
los logaritmos en base e como 
logaritmos “neperianos”.
variadas publicaciones de la 
época y actuales se conocen 
los logaritmos en base 
logaritmos “neperianos”.
época y actuales se conocen 
 como 
Ampliando memoria
logaritmos “neperianos”.logaritmos “neperianos”.logaritmos “neperianos”.
29Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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Propiedades de los logaritmos
Al demostrar que la afi rmación: “El logaritmo de un producto es equivalente a la adición 
entre los logaritmos de cada uno de sus factores” es verdadera, se tiene:
Sean a, b, c +, con a 1, entonces se cumple que:
log
a
(b c) = log
a
b + log
a
c.
Demostración:
(1) Sea log
a
b = x, log
a
c = y. Luego, ax = b y ay = c.
(2) Usando (1), se tiene que b c = ax ay = ax + y.
(3) Como b c = ax + y, aplicando la defi nición de logaritmo, se tiene que log
a
(b c) = x + y.
(4) De (1) se sabe que x = log
a
b e y = log
a
c. Luego, en (3) se tendrá 
log
a
(b c) = log
a
b + log
a
c.
Si a, b, c +, con a 1, se cumplen las siguientes 
propiedades. 
 a = blog ba
 log
a
1 = 0
 log
a
a = 1
 log
a
an = n
 log
a
(b c) = log
a
b + log
a
c
 log
b
c
= log b log c
a a a
–
 log
a
bn = nlog
a
b
 log b =
log b
na
n a ; n 
 log
a
b = log
a
c ⇒ b = c
Ejemplos:
 log 2
33
8
= log 3 log 8 = log 3 log 2 = log 3 3
2 2 2 2
3
2
– – –
 log 179
4 ++ log 17 =
1
4
log 17 +
3
4
log 17 = log 17
9
34
9 9 9
 log 1255 – llog 625 = log 5 log 5 = 3 4 = 15 5
3
5
4– – –
 ara grabar
1. Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 
la letra correspondiente en cada caso.
Columna A Columna B
a. log 0,00000001 –2
b. log
4
165 + log
4
4 + log
4
1 –8
c. log 343 log 343
7 7
– –1,5
d. log 512+log
1
5122 2
 –16
e. log 25
1
5
 11
f. log 0,00000001 + log 0,00000001 0
Comúnmente se utilizan 
de manera incorrecta las 
propiedades del logaritmo. Por 
ejemplo, se considera: 
 log
2
(8 + 8) = log
2
8 + log
2
8
Pero:
log
2
(8 + 8) = log
2
16 = log
2
24 = 4
Mientras que:
log
2
8 + log
2
8 = log
2
23 + log
2
23 = 
3 + 3 = 6. Claramente 4 6. 
En general, debes tener cuidado 
y considerar lo siguiente:
 log
c
(a + b) log
c
a + log
c
b
 log
c
a log
c
b log
c
a + log
c
b
 log
c
(a – b) log
c
a – log
c
b
 
log a
log b
log a log bc
c
c c
≠ –
Advertencia
log
a
(b c) = log
a
 b + log
a
c 
30 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3322 44 55 66 77 88
2. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo.
a. 
1
2
log
1
1.000
=
1
2
(log 10 log 1.000)=
1
2
(1 3)= 1– – –
Error:
 
Corrección:
b. og 9
1
5
log 1+3log 2=
1
5
log 9
1
5
0+
1
3
=
1
9
5
100 1
2
9
– – 
55
+
1
3
=
8
15
Error:
 
Corrección:
3. Demuestra cada una de las siguientes proposiciones.
a. Si a + – {1}, con a 1 y n , entonces log
a
an = n.
b. Si a + – {1}, con a 1 y n  – {0}, entonces log b =
log b
na
n a .
4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve cada una de las siguientes 
ecuaciones.
Si a, b + – {1} y c +, se tiene que: log c=
log c
log bb
a
a
.
a. log
81
 9 + log
3
27 = log
3
x
 
x= c. loog 343
log343
log7
+
log7
log3437
– =x x=
b. log
12
 1.728 – log
2
x = 
1
2
log 103
log7
 x= d. log 256 2+
log
1
2
–
11
4
0,25
1
2
2
log
1
2
=log x x=
Desafíate
5. Demuestra la siguiente proposición en tu cuaderno.
Si a, b + – {1}, entonces log
a
b = (log
b
a)–1.
 
Si a, b +, con a 1 y n , 
entonces log
a
bn = nlog
a
b
a = b / ( )log b na (1)
a = b a = blog b
n
n n log b na a( )⇒ (2)
De la misma forma, b = an logaa
nb . (3)
Por lo tanto,
a a
nn log b log b
a a
na = a nlog b = log b ⇒ (4)
(1) Se utiliza la propiedad 1 de la 
sección Para grabar de la página 
anterior.
(2) Se eleva a n en ambos 
miembros de la igualdad y se 
multiplican los exponentes 
involucrados en la expresión de la 
izquierda de esta.
(3) Como es una igualdad, se puede 
cambiar el orden de las expresiones 
y esta se conservará.
(4) Del paso (2) y (3) se concluye 
lo pedido.
Paso a Paso
3 Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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Ecuaciones logarítmicas
En Rusia son muy populares unas muñecas llamadas matriuskas. Estas tienen como parti-
cularidad que cada una contiene en su interior otra muñeca de igual forma pero de distinto 
tamaño. Si en un grupo de estas muñecas el volumen de cada una es 
2
3
 del volumen de la 
que la contiene inmediatamente, ¿cuántas muñecas habrá en el grupo si la más pequeña 
tiene un volumen de 31,6 cm3 y la más grande uno de 360 cm3?
Para responder la pregunta, puedes utilizar el logaritmo y sus propiedades:
360
2
3
= 31,6 /
1
360
2
3
x-1
 
 





 





x 1
=
31,6
360
/ Aplicando logaritmo
–
en base 10.
log
2
3
= log
31
x 1
 





–
,,6
360
/Propiedad de logaritmo de una pootencia.
(x 1)log
2
3
= log
31,6
360
/Calculando– los logaritmos.
x 7,0003854≈
Por lo tanto, el grupo tiene siete muñecas.
Una ecuación logarítmica es aquella en que la incógnita involucrada está en el 
argumento de una expresión logarítmica. Por ejemplo:
log
1
1 x
= 2;x 1 / Aplicando definición de logari
–
≠ ttmo.
1
1 x
= 10 / Calculando la potencia
1
1 x
= 100
2
–
–
.
// (1 x)
1 = 100 100x / + (–100)
–99 = 100x /
1
100
 
 
–
–
– –
 





x =
99
100
Comprobación:
log
1
1
99
100
= log
1
100 99
10
–
–
00
= log
1
1
100
= log 100
= log 10
= 2
2
 ara grabar
1. Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 
la letra correspondiente en cada caso.
Columna A Columna B
a. log
3
x = 4 10.000–1 
b. log
100
 x2 = 3 10.001 
c. log
4
x = 3 81
d. log(x – 1) = 4 64
e. log x = log10
1
100
2 1.000 
Una ecuación exponencial es 
aquella en la que la incógnita 
está en el exponente. 
Por ejemplo:
360
2
3
= 31,6
x – 1
 
 





Ampliando memoria
Si a, b, c +, con a 1, se 
tiene que:
log
a
b = log
a
c ⇒ b = c.
Ayuda
32 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3322 44 55 66 77 88
El logaritmo natural (ln) 
representa al logaritmo de base 
e (exponencial).
En general:
log
e
a = ln a
Por ejemplo:
ln e2 = log
e
e2 = 2
Ayuda
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. log x =
5
61
64
 f. log z = 1 + log (22 – z)
x =
 
z =
b. log p +log p = log 32
2 2
1
3
2
 g. log m = 3+log m2
100
p =
 
m =
c. log u3 = log 6 + 2log u h. 
1
3
1
3
3
1
3
1
3
log y log y = log
1
81
log
1
243
– –
u =
 
y =
d. log t + log 50 = log 1.000 i. log q + log q2 = –1
t =
 
q =
e. 2log r – log (r – 16) = log 102 j. log
4
(w + 4) – log
4
(w + 4) = 0
r =
 
w =
Desafíate
3. Verifi ca cada una de las siguientes proposiciones.
a. Si x + – {1}, entonces log x + x 1 +log x x 1 =02 2– – –( ) ( ) .
b. Si a, b +, ln(a2 + 2ab + b2) = 8 y ln(a2 – b2) = 5, entonces a=
e + e
2
yb=
e e
2
4 4 –
.
33Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
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uación
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Operatoria combinada
En la clase de Matemática, se plantea una actividad que consiste en encontrar una expre-
sión que represente al perímetro (P) de la fi gura. 
Luego, el perímetro (P) se puede representar como:
P= log 900+ 3 + 7 +log 10+log 100 + 12 + 28 cm
= log
3 3 3
3
( )
((9 100)+ + +log 10+
1
2
log 10 + +3 2 37 2 7
3 3
2
 
 





(
cm
= log 3 + + + + +2log 10 log 10 log 10 3 3 3 7
3
2
3 3 3 ))
( )
cm
= 2+ + + cm4log 10 3 3 3 7
3
 ¿Por qué crees que algunos términos se destacaron con distinto color?
 ¿De qué otra forma podrías escribir el perímetro de la fi gura? Justifi ca.
Para resolver ejercicios con operatoria combinada, debes considerar el siguiente orden de resolución.
1° Paréntesis, potencias, raíces y logaritmos, identifi cando términos que puedas operar. 
2° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
log xyz +log x y – log z x +log yz
= log x y
2 2 3 3 ) ) ) )
zz + 2log x +log y – 2log z + 3log x +log y z
=
3 3 ) ) ) )
11
2
+
1
2
+
1
2
+ 2 + – 2 – 3log x log x llog y log ylog z log z oog x
log x
–
1
3
–
1
3
= –
1
2
+
7
6
–
11
6
log y
log y
log z
log z
 ara grabar
1. Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 
la letra correspondiente en cada caso.
Columna A Columna B
a. log 10+log 2.000+ 1
2 2
3
 6 + 4log
2
5
b. 100 +log 6255
2
( )
( )
 –4 – 2log 15
c. – log 150+lnne +log 153( ) 196
d. 
11
2
log e +2log e lne– log
3
10
27
9
e. 9log 9+3log 27–9 
55
2
log e 1–
f. –7ln10+7log 10–7log e
e
 ln 10–7
log
3
900 cm
log
3
10 cm
28 cm
12 cm
log 100 cm
3
( )
3 + 7 cm( )
34 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3322 44 55 66 77 88
2. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo.
a. 3log 6+
1
2
log 9 log 1.296
=3log 2+3log 3+
1
2
lo
2 2 6
2 2
–
gg 3 log 6
=3+3log 3+log 3 1
=3+ 4log 3 1
=2
2
2
6
4
2 2
4
2
–
–
–
++ 4log 3
2
 
Error:
 
Corrección:
b. log x +
5
2
log y (–2) log 5y
=2l
125
2
5
2 3
125
5–
oog x +5log y 8log 5+ 40log y
=log x +
125 5 125 125
125
2
–
55log y log 5 +log y
=log
x y
5
5 125
–8
125
40
125
2 45
-8
–
 
Error:
 
Corrección:
3. Resuelve los siguientes problemas. De ser necesario puedes utilizar calculadora.
a. Para calcular el pH de cierta solución química se utiliza la fórmula pH = –logH+, 
donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cómo 
clasifi carías (ácida, neutra o básica) una solución que presenta una concentración de 
H+ igual a 2,3 10–8?
b. El crecimiento o disminución de una población es posible calcularlo utilizando 
la fórmula P = P
0
(1 c)t, donde P
0
 es la población inicial, c el porcentaje de 
crecimiento o disminución anual y t la cantidad de años transcurridos. ¿En cuántos 
años la población de cierta localidad aumentará aproximadamente en 25% 
sabiendo que actualmente hay 90.000 habitantes y crece en 8% anualmente? ¿Y 
cuándo aumentará en 40%?
Para calcular el crecimiento de 
la población, utiliza la fórmula 
P = P
0
(1 + c)t; y para el 
decrecimiento P = P
0
(1 – c)t.
Ayuda
El pH (potencial de hidrógeno) 
de una solución química es la 
concentración de hidrógeno 
presente en ella. Si es mayor que 
0 y menor que 7, la solución es 
ácida; si es igual a 7, la solución 
es neutra, y si es mayor que 7 
y menor o igual que 14, se dice 
que la solución es básica.
Ampliando memoria
35Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
e c r
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so
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e problem
as
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uación
e
cont
enido
c r
 Analiza la resolución del siguiente problema.
El decibel (dB) corresponde a una unidad de referencia para medir la intensidad sonora (I) 
utilizando la escala logarítmica de la siguiente manera:
 
dB
0
=10log
I
I
 
I
0
: intensidad mínima para la que se produce una 
sensación por nosotros perceptible (I
0
= 10–12 W/m2).
β
dB
: nivel de intensidad sonora.
¿Cuál es el nivel de intensidad sonora correspondiente a una onda sonora perceptible de 
10–6 W/m2 de intensidad?
 aso 1 Comprende el enunciado
 Identifi ca lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
El nivel de intensidad sonora que corresponde a una onda sonora de 10–6 W/m2.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Se entrega la correspondenciaque hay entre el nivel de intensidad de una onda 
sonora y el nivel mínimo perceptible utilizando una escala logarítmica de base 10.
 Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué signo debería tener el nivel de intensidad en este caso?
El signo debería ser positivo, ya que es perceptible al oído.
 Expresa la información en otro tipo de formato.
 
dB 0
=10 logI – logI( ) o también dB =10log
10
10
 ( )
–6
––12
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Primero, en la fórmula correspondiente al nivel de intensidad de la onda sonora se 
reemplazarán los valores de I e I
0
. Luego, se aplican las propiedades de los logaritmos 
u otras que faciliten el cálculo de β
dB
.
 aso 3 Resuelve el problema 10
 
dB
0
–6
–12
-6
–6
=10log
I
I
=10log
10
10
=10log
10
10 1 00
=10log
1
10
=10 6 = 60
–6 –6
 
Por lo tanto, el nivel de la onda sonora es 60 dB.
 aso 4 Revisa la solución
=10log
I
I
=10 log10 l
dB
0
–6 – oog10 =10 –6log10 –12log10 =10 –6+12 = 60–12( ) ( )( ) ( )–
¿Qué tengo que hacer para 
comprender un enunciado?
Etapas de la resolución 
de problemas
Comprender consiste en 
construir un signifi cado a partir 
de información comunicada en 
forma oral, escrita y/o gráfi ca 
Para comprender, es posible 
utilizar la representación 
 Identifi car lo que entiendes 
de la información 
 Relacionar lo que entiendes 
con lo que tú sabes 
 Expresar la información en 
otro tipo de formato 
Paso 1 Comprende el 
enunciado.
Paso 2 Planifi ca lo que vas a 
realizar 
Paso 3 Resuelve el problema 
Paso 4 Revisa la solución 
¿Qué es comprender?
36 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 33332222 4444 5555 6666 7777 8888
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
En un laboratorio se tienen 2 soluciones químicas, que tienen una concentración de iones equivalente a 5,1 10–7 y 
8 10–4. Si en un experimento se necesita utilizar una solución neutra (pH = 7), ¿qué concentración de iones debería 
tener la solución considerada? Recuerda que pH = –log H+, donde H+ es la concentración de iones de la solución.
 aso 1 Comprende el enunciado
 Identifi ca lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
 Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué solución tiene mayor concentración de iones?
 Expresa la información en otro tipo de formato.
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
 aso 3 Resuelve el problema
 aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
Si para calcular el tiempo (T) en años que debe permanecer ahorrado un monto de $ 1.000 y obtener un monto 
fi nal (G) se utilizó la siguiente fórmula: T = log G, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que $ 1.000 se conviertan en 
$ 100.000?
37Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
Historial
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado, para después realizar un repaso efi ciente, es el uso de cuadros 
sinópticos: un resumen esquematizado cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada 
y organizada.
 ompleta el cuadro sinóptico, que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Número irracional
Números reales
Aproximación de números 
irracionales
Raíz cuadrada de un 
número real
Raíz cúbica de un 
número real
Raíz enésima de un 
número real
Potencias de base real y 
exponente racional
Logaritmo
Ecuación logarítmica
Contenido Defi nición o procedimiento Ejemplo
38 Unidad 1 úmeros reales
Cargando disco
 33 44 55 66 77 88 22
 3333322222 44444 55555 66666 77777 88888
Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la sufi ciencia de datos.
Si log a =2
b
n , ¿cuál es el valor numérico de a + b?
 ( ) a = 10.000
 (2) n = 2
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E. Se requiere información adicional.
Para responder de manera correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado y 
determinar si entregan sufi ciente información por sí solas.
De esta manera, al analizar la condición ( ), se tiene que:
Si a = 100, entonces:
log 10.000 =2
1
n
log 10.000=2
log 10
b
n
b
b
⇒
⇒ ..000=2n b =10.0002n⇔
Por lo tanto, la información de la condición ( ) no basta para obtener el valor numérico de a + b.
Ahora, si se considera válida la condición (2), se tiene que:
Si n = 0,5, entonces:
log a =2
1
log a=2
log
b
2
b
b
⇒
⇒
2
aa=4
De esta manera, b4 = a, entonces a + b = b4 + b. Por lo tanto, la información de la condición (2) no es sufi ciente para 
determinar el valor numérico de a + b.
Finalmente, si se consideran válidas las condiciones ( ) y (2), se tiene que:
log 10.000 =2
1
log 10.000=2
log 10.000
b
2
b
b
⇒
⇒
2
==4 b=10⇔
Luego, a + b = 10.000 + 10 = 10.010.
Por lo tanto, la alternativa correcta es C, ambas juntas, ( ) y (2).
A B C D E
39Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
Verificando disco
 valuación fi nal
rce
rres
ol
uc
ión d
e problem
as
cont
enido
c
eval
uación
e
 . Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra solo 
números irracionales?
A. 0 5 2, ; ;π
B. 
π
φ
2
; ; 5
 . –7;
3e
e
; 9
D. –20 ;
1
e
; 11
2
( )
E. Ninguna de las anteriores.
2 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. Si r  ⇒ r  
II.  = U {0}
III.  =  U 
A. Solo I.
B. Solo I y II.
 . Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
 Si a +, ¿a qué conjunto no podría pertenecer a?
A. 
B. –
 . +
D. 
E. +
4 ¿Qué resultado se obtiene de: 12+
2
3
5 – 5 ?
A. 12+
1
3
55
B. 
35 5
3
–
 . 
36 5
3
–
D. 
12 5
3
–
E. 
12+
3
5
5 Si se aproxima por defecto 7 =2,64575... 
considerando cuatro cifras decimales, ¿qué número 
representa 4 + 7?
A. 2,6457
B. 2,6458
 . 4,6457
D. 6,6457
E. 6,6458
6 Considerando π = 3,14159, ¿qué resultado se obtiene al 
redondear 3π a la décima?
A. 3,1
B. 9,3
 . 9,4
D. 9,42
E. 9,425.
7 Si 3 a 5≤ ≤ y 0 b 4≤ ≤ , ¿cuál(es) de las siguientes 
afi rmaciones es(son) falsa(s)?
I. 3 a + b 9≤ ≤
II. 0 a + b 20≤ ≤
III. 9 ≤ a + b ≤ 31
A. Solo I.
B. Solo II.
 . Solo I y II.
D. Solo I y III.
E. I, II y III.
8 Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm 
y uno de sus catetos mide 12 cm, ¿cuál es la medida del 
otro cateto?
A. 13 cm
B. 37 cm
 . 133 cm
D. 169 cm
E. 481 cm
40 Unidad 1 úmeros reales
3 4 5 7 8
9 Si el volumen de un cubo es 4.913 dm3, ¿cuánto miden 
sus aristas?
A. 17 dm
B. 4.913 cm
 . cm4 9133 .
D. 4.913 dm
E. Ninguna de las anteriores.
10 Si la base de un triángulo isósceles mide 5 cm, ¿cuál es 
el área del triángulo?
(1) La altura está dada por 
3
2
3 cm.
(2) El perímetro del triángulo es 2 3 + 10 cm1( ) .
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
 . Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E. Se requiere información adicional.
11 ¿Qué resultado se obtiene al elevar al cuadrado la 
expresión: 500 – ?
A. 405
B. 495
 . 4952
D. 9 5
E. 81 5
12 ¿Qué expresión se obtiene al resolver
4 7 + 3
3( )–– 56 + 2 + 23( ) ?
A. 2 7 + 3
3
B. 12 7 + 3
3
 . 4 7 56 3 +2 2
3 3– –
+
D. 4 7 56 + 3 +2 2
3 3–
E. Ninguna de las anteriores.
1 ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 
155
53
?
A. 3 5
B. 3 53
 . 15 253
D. 3 52
3
E. Ninguna de las anteriores.
14 ¿Qué valor satisface la siguiente igualdad 144x = 12?
A. 0,5
B. 1
 . 2
D. 3
E. 12
15 Si a, b + y n, m , ¿cuál(es) de las siguientes 
afi rmaciones es(son) verdadera(s)?
I. a b =(a b)
n mn
1
m
m
n
 
II. a a =a
m n
2
m+n
 
III. a bb =(a b)
n m
1
n
+
1
m 
 
A. Solo I.
B. Solo III.
 . Solo I y II.
D. Solo I y III.
E. I, II y III.
16 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. La basede un logaritmo no puede ser negativa.
II. Si a, b + y a < b, entonces log a > log b.
III. Si x2 > y2, entonces ln x2 > ln y2.
A. Solo I.
B. Solo I y II.
 . Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
17 ¿Cuál es el valor de 2log 1.000?
A. 2
B. 3
 . 4
D. 6
E. 10
18 Se tiene que log
4
5 1,16. ¿Qué expresión representa el 
valor de 1 + log
5
4?
A. 2,32
B. 1 + 1,16
 . 1+
log 5
log 4
D. 1 + 1,16–1
E. Ninguna de las anteriores.
4 Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
rce
rres
ol
uc
ión d
e problem
as
cont
enido
c
eval
uación
e
 valuación fi nal
19 ¿Qué alternativa representa las expresiones: 
ln e , log 1.000, 2log
1
2
, log 15
100 0,5 99
 ordenadas de menor a 
mayor?
A. 2log
1
2
,
0,5
llog 1,lne ,log 1.000
99
5
100
B. lne ,log 1.000,2l5
100
oog
1
2
,log 1
0,5 99
 . log 1.000,2log
1
2
,log 1
100 0,5 99
,, lne5
D. log 1,log 1.000,2log
1
2
,lne
99 100 0,5
5
E. Ninguna de las anteriores.
20 ¿Cuál es el resultado de ln e–2 + log e2?
A. 0
B. 1
 . –2 + e2
D. 2 + 2log e
E. –2 + 2log e
21 Si ln x ≈22,772, ¿cuál es aproximadamente el valor de 
ln x2?
A. 1,386
B. 2,772
 . 5,544
D. 11,088
E. 30,736.
22 ¿Cuál es el valor de log (A B)+log
A
B
 
 





?
(1) log A = 0,2
(2) log B = 0,3
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
 . Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E. Se requiere información adicional.
2 Si K =log xy +lo3 gg xy
2( ), ¿cuál de las siguientes 
expresiones es equivalente a 3K?
A. log (x4y7)
B. 
1
3
log x y4 7
 . log (xy) + log (3xy2)
D. log (xy) + log (x3y2)
E. Ninguna de las anteriores.
24 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 9x = 7?
A. 
7
9
B. 
log 7
log 3
 . 
log 3
log 49
D. 
1
2
log 3
7
E. loog 7
3
25 ¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación 
ln (x + 1) = 1?
A. 0
B. 1
 . e
D. 1 + e
E. e – 1
26 Al resolver la ecuación: log (x2 – 4) – log (x – 2) = log 7, 
resulta:
A. 2
B. 4
 . 5
D. 7
E. 9
27 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación (a b)x = c d?
I. ln (c d) – ln (a b)
II. 
log cd
log ab
( )
( )
III. log
cd
ab
 





A. Solo I.
B. Solo II.
 . Solo III.
D. Solo I y III.
E. Solo II y III.
28 Si y = ln x, entonces ¿qué alternativa representa (ey)2?
A. y2
B. x
 . e2
D. x2
E. 2e2
42 Unidad 1 úmeros reales
 33 44 55 66 77 88 22
 3333322222 44444 55555 66666 77777 88888
29 Sea U = log a + log b y V = log (a–1 b), ¿qué expresión 
es equivalente a 
V
U
?
A. 1
B. a2
 . 
1
a2
D. –log
ab
(a–1b)
E. log
ab
(a–1b)
 0 Si 3x – 4 = 1, entonces el valor de log
x
512 es:
A. 2
B. 9
 . 
2
9
D. 
9
2
( )E. –9
2
( ) 1 ¿Qué expresión representa el perímetro de la fi gura?
3 7 – 5 cm
2
( )
5 + 7 cm( )
( )
3 7 – 5 cm( )
( )
log 125 cm
10 log 5 cm
log 25 cm
1 cm
A. 7 +17 5– 55 log 5( )
( )
cm
B. 7 +15 log 5+1( )cm7 5–
( ) . 7 +10 log 17 5– 555+1( )
( )
cm
D. 7 +10 log 155+log10( )cm7 5–
E. Ninguna de las anteriores.
 2 ¿Cuál es el valor de x?
(1) log
a
x = 4
(2) a= 2
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
 . Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E. Se requiere información adicional.
 Si a, b , ¿cuál(es) de las siguientes afi rmaciones 
es(son) falsa(s)?
I. log e
e
a
b
==
a
b
II. log 10 = 1
10
–b
b
III. log a =
n
ma
m
n
A. Solo I.
B. Solo II.
 . Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo I y III.
 4 ¿Cuánto tiempo (T) debe transcurrir para que 
$ 10.000 se conviertan en un monto G = $ 1.000.000?
(1) T = log G
(2) log 1.000.000 = 6
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
 . Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E. Se requiere información adicional.
 5 Para calcular el pH de cierta solución química, se 
utiliza la siguiente fórmula pH = –logH+, donde H+ es la 
concentración de iones de hidrógeno presentes en la 
solución. ¿Cuál es el pH de una solución que tiene una 
concentración de H+ igual a 9,5 10–12?
A. 12
B. 9,5
 . 9,5 1012
D. 9,5 10–12
E. 12 – log 9,5
43Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
re
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
c
eval
uación
e
 valuación fi nal
 . Resuelve los siguientes problemas.
 . Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden 6 cm y 1 cm, ¿cuál es la medida de su hipotenusa?
¿Es un número irracional? Demuéstralo.
2. El decibel (dB) corresponde a una unidad de referencia para medir la intensidad sonora (I) utilizando de la siguiente 
manera la escala logarítmica:
=10log
I
IdB
0
 
 
I
0
: intensidad mínima para la que se produce una 
sensación por nosotros perceptible (I
0 
= 10–12 W/m2).
β
dB
: nivel de intensidad sonora.
 ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora correspondiente a una onda sonora de 10–9 W/m2 de intensidad?
44 Unidad 1 úmeros reales
Cerrar sesión
3 4 6 7 8
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado en cada contenido. 
 ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
 ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
 ¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
45Matemática 2° medio uevo Explor@ndo
 
Unidad
Expresiones 
algebraicas fraccionarias
 l origen de la palabra racción deriva del latín fráctio, que signifi ca quebrar, partir; es por esto que a las 
fracciones también se les ha conocido como “números quebrados”. Se considera que las fracciones ya se 
usaban desde el Imperio egipcio, pero solamente fracciones con numerador igual a 1 o aquellas que podían 
obtenerse de alguna combinación. Por ejemplo, para representar 
7
12
 lo hacían como la suma de 
1
3
 y 
1
4
.
¿Qué aprenderás? ¿Para qué? ¿Dónde?
 roductos notables y factorización. Reforzar contenidos previos que favorecerán al aprendizaje de 
los conceptos introducidos en la unidad. 
 áginas 48 a 51.
Expresiones algebraicas fraccionarias. 
Operatoria.
Aplicar diferentes técnicas adquiridas para resolver problemas 
que involucren este tipo de expresiones.
 áginas 52 a 67.
Ecuaciones racionales. Resolver ecuaciones racionales y problemas en los que se pueda 
plantear este tipo de ecuaciones.
 áginas 68 a 71.
 6 Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias
Abrir sesión
 33 44 55 66 77 88 11 33
 11 3333 44 55 66 77 88
 onsiderando la información de la página anterior, responde:
 . ¿De dónde proviene la palabra fracción? Explica.
2. ¿Cómo crees que los egipcios escribían la fracción 
13
12
?
3. Defi ne con tus palabras una expresión algebraica fraccionaria. Luego, escribe tres ejemplos.
Inicializando
evaluación
e
contenido
c
resolución de pro
ble
m
as
r
eval
uación
e
cont
enido
c res
ol
uc
ión
 de problem
asr
Comprender consiste en construir un signifi cado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o 
gráfi ca. Para comprender, es posible utilizar la representación.
En una región europea habitada por 72.000 personas, cuyo idioma materno es el español, se sabe que un sexto 
de ellas habla solo su idioma materno y alemán; mientras que un octavo habla solo su idioma materno y chino. Si 
3.000 personas de dicha región hablan ambos idiomas más el idioma materno, ¿cuántas personas hablan español 
y además alemán o chino?
 . ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema?
 
 
2. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
 
 
3. ¿Es necesario conocer la cantidad de personas que habla solo su idioma materno? ¿En qué te basas para 
interpretar eso?
 
 
4. Representa la información del problema y resuélvelo.
 7Matemática 2° medio Nuevo Explor@ndo
e c r
cont
enido
re
so
luc
ión d
e problem
as
eval
uación
e c r
Productos notables
Existe una relación que se puede establecer entre el Álgebra y la Geometría. Específi ca-
mente, hay productos algebraicos denominados notables, ya que estos se pueden calcular 
sin la necesidad de recurrir a la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la 
adición.Además, estos productos se pueden representar en forma geométrica. 
Por ejemplo, el producto de un binomio (a + b) por sí mismo es posible representarlo como 
el área de un cuadrado de lado a + b (ver fi gura).
 ¿Cuál es el binomio que al multiplicarlo por sí mismo resulta a2 – 2ab + b2?
Los productos notables son multiplicaciones de expre-
siones algebraicas que presentan regularidades. 
 or ejemplo:
 Cuadrado de un binomio:
(a b)2 = a2 2ab + b2
 Cubo de un binomio:
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
 Suma por su diferencia:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
 Binomios con un término común:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
 jemplos:
 Cuadrado de un binomio:
(0,1x2 + y3)2 = 0,01x4 + 0,2x2y3 + y6
 Cubo de un binomio:
(0,5a – 2b)3 = 0,125a3 – 1,5a2b + 6ab2 – 8b3
 Suma por su diferencia:
1
5
x – y
1
5
x + y =
x
25
– y5 5
2 





 





110
 Binomios con un término común:
(m – 5)(m + 1) = m2 – 4m – 5
 ara grabar
1. Calcula los siguientes productos notables.
a. (t + 10)2 = i. (w – 1)(w + 0,5) = 
b. (y – 7)2 = j. (–8 + h2)(6 + h2) = 
c. (–6c + 11b)2 = k. n–
4
3
n+
3
4
=
 





 





 
d. (5 + 0,5f)2 = l. (y + 0,2)(y – 0,3) = 
e. (4x – 9y3)2 = m. (10 – h)(h + 10) = 
f. (x + 3)(x + 11) = n. (a3b2 – 3c)2 = 
g. (7 + j)(j – 4) = ñ. (f2 – 11)(f2 + 11) = 
h. (r + 7)(r + 6) = o. 
5k
2
+ 12
3 





 





5k
2
– 12 =
3
 
(a – b)2 = (b – a)2
(–a – b)2 = (a + b)2
Ampliando memoria
Hay casos en los que se piensa 
que:
 (a + b)2 = a2 + b2
 (a – b)2 = a2 – b2
Sin embargo, estas igualdades 
son FALSAS para la mayoría de 
los casos. Solo son verdaderas 
cuando a, b o ambos son cero.
 or ejemplo:
(5 – 1)2 ≠ 52 – 12, ya que:
(5 – 1)2 = 42 = 16, 
52 – 12 = 25 – 1 = 24 y claramente 
16 ≠ 24. 
Advertencia
a + b
a b
a ba2
b2
a
b
a + b
 8 Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias
 44 55 66 77 883311 
3311 44 55 66 77 88
2. Identifi ca los términos que faltan para que las siguientes igualdades sean verdaderas 
y luego escríbelos en el espacio respectivo.
a. x2 – 8x + 16 = (x – )2 d. – 36 = ( + 6)(a – )
b. w2 – = (w – 5)(w + ) e. m2 + + 25 = ( + )2
c. d2 + 11d + = (d + 3)(d + ) f. (r – )(r – 10) = r2 – 11 + 
3. Aplica productos notables para determinar la expresión que representa al área de 
cada fi gura compuesta por paralelogramos.
a. 
(y + 15) cm
(y + 15) cm
 c. 
(q + 1) cm
(6 + q) cm
A = A = 
b. 
(3 + m) cm
(m + 12) cm
 d. 
(h + 20) cm
10 cm
5h cm
h cm(20 + h) cm
A = A = 
4. Resuelve en tu cuaderno. Para ello, aplica productos notables.
a. (k + 3)2 + (k – 3)(k + 3) g. 
k
2
+ 12
k
2
– 12 –(k –
3 3
3
 





 





11)2
b. (m – 10)(m + 11) + (m – 4)2 h. 
25
4
+ p
5
2
–2p
5
2
+24
 





 





22p
 





c. (3x – 2)(3x + 2) + (3x – 1)2 i. 
3
5x
+ x
5
3x
+ x
 





 





 





– +
1
x2
x2
d. (q – 7)(q + 5) – (q + 1)(q – 2) j. (x + y + z)(x – y – z) + (-x – y – z)2
e. (6v – 15)(6v + 10) – (10 – 6v)(10 + 6v) k. (a + 3b2 – 0,5c)2 – (a + 3b2 + 0,5c)2
f. (2m – 3n)2 – (2m + 5n)2 l. ((a – b2) + 3)2 – ((b2 – a) + 3)2
En todo paralelogramo, el 
área se calcula multiplicando 
la medida de su base por 
la medida de su altura. En 
particular, para un cuadrado de 
lado a, su área (A) está dada por 
A = a2; y para un rectángulo de 
lados a y b, su área está dada 
por A = ab.
Ayuda
 9Matemática 2° medio Nuevo Explor@ndo
e c r
cont
enido
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so
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ión d
e problem
as
eval
uación
e c r
a – b = –b + a
m – n = –(n – m)
Ayuda
Todo número o expresión se 
puede representar como un 
producto entre –1 y otro factor.
Observa:
q3 – 9h = –1(9h – q2)
También se puede escribir:
q3 – 9h = – (9h – q2)
Ayuda
Factorización
Un número puede ser escrito como la multiplicación de dos o más factores. Por ejemplo, 6 
es posible escribirlo como 2 3, 1 6, 12 0,5, etc.
Las expresiones algebraicas también pueden ser escritas utilizando factores. Observa:
 xy + x = x(y + 1) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
 ¿Cómo es posible escribir y2 – 9?
Al factorizar una expresión algebraica, puedes 
utilizar productos notables. or ejemplo:
 Trinomio cuadrado perfecto:
a2 2ab + b2 = (a b)2 = (a b)(a b)
 Diferencia de cuadrados:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
 Suma y diferencia de cubos:
a3 b3 = (a b)(a2 
 
 ab + b2)
 Cubo de binomio:
a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3
Otras formas de factorizar expresiones algebraicas:
 Término común: un monomio:
16pq3 – 12pq + 8p2q2 = 4pq(4q2 – 3 + 2pq)
 Término común: un polinomio:
3km + 3kc + m + c = 3k(m + c) + m + c = (m + c)(3k + 1)
 Trinomio ordenado de la forma x2 + bx + c:
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
 Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto:
k2 + 10k + 25 = (k + 5)2
 Ejemplo de diferencia de cuadrados:
j2 – 9 = (j + 3) (j – 3)
 ara grabar
1. Representa solo con factores y de tres formas distintas las siguientes expresiones.
a. 15 
b. 24b2k3 
c. –
1
2
m c3 4 
2. Representa las siguientes expresiones utilizando –1 como un factor.
a. –13 = c. x – y = e. –
4
7
ab c =2 5
b. 1 – m – 6n = d. –5a + 11k4 = f. 3abc +
2
3
xy z =2 8
3. Representa las siguientes expresiones como la multiplicación de dos factores, donde 
uno de ellos está dado.
a. x2 + 3x3 + 10x5; por –x2. 
b. 4mn – m + n; por m2n2. 
c. k – 1 + km; por –k. 
50 Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias
 44 55 66 77 883311 
3311 44 55 66 77 88
4. Aplica alguna de las formas de factorización propuestas en la sección Para grabar de 
la página anterior en las siguientes expresiones algebraicas. Luego, responde. 
a. mnp – 3mp – 6mn f. g6f2 – 4y10 k. a8 + 1 + 2a4
 
b. t2 – 12t + 36 g. ab + 2a + b + 2 l. 121y2 – 25a4
 
c. 0,01 – x2 h. –6 + b + b2 m. –10ab – 5ab2 – 15a2b
 
d. y2 + 35 + 12y i. x2 – x + 10x3 n. h2 – 45 – 4h
 
e. 3xm + 3xn + m + n j. k2 – 12 + k ñ. 4 + 25x4 – 20x2
 
 ¿Crees que todas las expresiones algebraicas se pueden factorizar? Justifi ca.
5. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 
a. ¿Cuál es la longitud de cada lado de un cuadrado cuya área es posible representar 
con la expresión (m2 + 14m + 49) cm2?
b. Si un terreno rectangular tiene una superfi cie cuya medida se puede representar con 
la expresión (d2 + 10 + 11d) m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
c. ¿Cuál es la longitud de una de las diagonales de un rombo si su área se puede 
representar por el binomio a –
16
49
b c2 4 2
 





cm2 y la longitud de la otra diagonal está 
dada por la expresión a–
4
7
b c2
 





cm?
d. ¿Cuál es la medida de la superfi cie de una baldosa rectangular cuyas longitudes 
están expresadas por los binomios (z2 + 4) cm y (z2 – 4) cm?
e. Si el volumen máximo de agua que se puede vaciar en una piscina como la de 
la imagen está representado por la expresión (150x3 – 50x2 – 136x – 24) m3; y la 
superfi cie de su suelo por (50x2 – 50x – 12) m2, ¿qué expresión representa la medida 
de su profundidad?
f. Si consideras la piscina del problema anterior, ¿cuántos m3 de agua se pueden vaciar 
si x = 2?
51Matemática 2° medio Nuevo Explor@ndo
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Valorizar la expresión algebraica 
fraccionaria 
x – 6x + 1
x – 3x – 4
2
2
, 
para x = –
1
3
.
x – 6x + 1
x – 3x – 4
=
–
1
32
2
 





22
2
– 6 –
1
3
+ 1
–
1
3
– 3 –
1
3
 
 
 





 





 





– 4
=
1
9
+ 2 + 1
1
9
+ 1 – 4
=
1
9
+ 3
1
9
– 3
=
28
9
–
26
9
= –
14
133
Ayuda
Expresiones algebraicas raccionarias: 
identifi cación y valorización
En la página de inicio de unidad, se comentó las características de las expresiones algebrai-
cas fraccionarias, también denominadas fracciones algebraicas o expresiones racionales.
 ¿Una fracciónque está compuesta por una expresión algebraica tanto en el numerador 
como en el denominador, es una expresión algebraica fraccionaria? Fundamenta. De ser 
necesario, puedes revisar la página 46 nuevamente.
Las expresiones algebraicas frac-
cionarias son representaciones nu-
méricas compuestas por una fracción 
cuyo denominador es una expresión 
algebraica. or ejemplo:
 
1
x + 1
 
a + b
a b2 2–
 jemplos en Física:
 La rapidez (v) se puede representar por la expresión 
d
t
, donde d representa 
a la distancia y t al tiempo.
 La fuerza de atracción (F) entre dos cargas eléctricas (q
1
 y q
2
) separadas 
por una distancia (r) se puede representar por la expresión k
q q
r
1 2
2
, donde k 
representa un valor constante.
 ara grabar
1. Identifi ca las expresiones algebraicas que son fraccionarias y a ellas valorízalas según 
los números dados. Luego, escribe los resultados en la casilla.
a. –
10x
4
, para x = –2, –1 y 3. e. 
k – 4
16+k2
, para k = –4, 1 y 
1
2
.
 
b. q– 1
q –92
, para q = –2, 1 y 2. f. 
x 7x + 1
x – 10
2
2
–
, para x = 10 y –
22
3
.
 
c. –
1+ x
3
, para x = –2, 0 y 2. g. 
x –7x + 10
x – 4x –5
2
2
, para x = 4 y 
1
7
.
 
d. 
1–b
1–b2
, para b = 0, 2 y 3. h. 
m +2m+ 1
n+ 1
2
, para m = –2 y n= –
3
2
.
 
52 Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias
 44 55 66 77 883311 
3311 44 55 66 77 88
2. Representa con una expresión algebraica fraccionaria cada conjunto de fracciones y 
escribe los valores de la incógnita usada en cada caso.
a. 
1
2
,
3
4
,
6
7
y
11
12
 c. 
2
5
,
3
7
4
9
y
10
21
, 
Valores de la incógnita: Valores de la incógnita: 
b. 1,
1
4
,
1
9
,
1
16
y
1
25
 d. 
4
3
,
16
155
,
25
24
y
100
99
 
Valores de la incógnita: Valores de la incógnita: 
3. Aplica la valorización de expresiones algebraicas fraccionarias y señala a qué número 
tiende cada función a medida que el valor de n aumenta considerablemente.
Ejemplo: f(n)=
n
n+ 1
 si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a 1, 
ya que:
 Si n = 10, f(10) = 
10
11
=0,9090909...
 Si n = 1.000, f(1.000) = 
1.000
1.001
=0,9990009...
 Si n = 1.000.000, f(1.000.000) = 
11.000.000
1.000.001
=0,9999999...
a. f(n)=
2n+ 1
n
 si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: 
b. f(n)==
2+2n
5n
 si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: 
c. f(n)=
n+ 1
3n+2
 si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: 
d. f(n)=
3n
1+6n
 si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: 
4. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas fraccionarias en tu cuaderno 
y describe cómo lo hiciste en cada caso. Luego, compara tu(s) estrategia(s) con la(s) 
de tus compañeras y compañeros.
 Estrategia usada 
a. 
5
x –3
+
x
x –
2
3
, para x = 2. 
 
b. 
2x+2
x +
3x–3
x1 1
–
–
, para x = –
2
3
. 
 
c. 
x
4x +3
+
x +2
x
2
––5
, para x = 0. 
 
El conjunto de fracciones:
1
2
4
5
9
10
16
17
25
26
, , , y puede ser 
representado por la expresión 
algebraica fraccionaria 
a
a + 1
2
2
, 
donde a = 1, 2, 3, 4 y 5.
Ayuda
Se dice que una función f(n) 
tiende a cierto número cuando 
su valorización se aproxima a 
este. 
Ampliando memoria
53Matemática 2° medio Nuevo Explor@ndo
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e problem
as
eval
uación
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 ara que ab = 0, se debe 
cumplir que a = 0 ó b = 0. 
Entonces, para que 
(x – q)(x – p) = 0, se debe 
cumplir que x = q o que 
x = p.
Considerando a x como un valor 
desconocido y a p y q como 
valores conocidos.
Ayuda
Expresiones algebraicas raccionarias: 
comparación y restricciones
Para algunos números reales, las expresiones algebraicas fraccionarias pueden o no estar 
defi nidas. Por ello es necesario identifi car dichos valores para establecer las restricciones 
respectivas. Lo anterior es de gran utilidad para reconocer el dominio y recorrido de funcio-
nes que contienen expresiones algebraicas fraccionarias. Por ejemplo, el dominio A de 
f: A ⊆ → , si f(x)=
7
x +3
, es A = – {–3}, ya que x + 3 = 0 solo para x = –3. Esto es 
porque si a y b son números reales distintos de cero, 
a
b
 es distinto de cero; si a = 0 y b ≠ 0, 
se dice que la fracción se anula, es decir, 
0
b
=0; y si a ≠ 0 y b = 0, se dice que 
a
0
 no está 
defi nido.
 ¿Qué valor de m hace que la fracción algebraica 
5–m
m+2
 se indefi na? ¿Y qué valor hace 
que se anule?
Si el numerador de la fracción algebraica es cero y el 
denominador es distinto de cero para algún valor de la 
variable, se dice que la fracción se anula para dicho valor.
 jemplo:
 
k + 7
k + 12
 se anula para k = –7, ya que –7 + 7 = 0.
Si el numerador de la fracción algebraica es distinto de 
cero y el denominador es cero para algún valor de la 
variable, se dice que la fracción es indefi nida para dicho 
valor.
 jemplo:
 
2y – 3
10 – 2y
 es indefi nida para y = 5, ya que 10 – 2 5 = 0.
 ara grabar
1. Calcula el valor para el que la fracción algebraica se anula y el valor para el que la 
fracción se indefi ne. En caso de no anularse, deja el espacio en blanco.
a. 
1
x – 10
 se anula para x = y es indefi nida para x = .
b. 
a+
a+
5
1
 se anula para a = y es indefi nida para a = .
c. 
h
5h–2
 se anula para h = y es indefi nida para h = .
d. 
11–
k2
k
 se anula para k = y es indefi nida para k = .
e. 
d+
1– 2
7
d
 se anula para d = y es indefi nida para d = .
f. 
2y –
6–
5
3y
 se anula para y = y es indefi nida para y = .
g. 
3c –
c
7
 se anula para c = y es indefi nida para c = .
h. 
x +
1
2 1
00x – 2x
 se anula para x = y es indefi nida para x = .
i. 
m + 4m 45
m 10m+24
2
2
–
–
 se anula para m = y es indefi nida para m = .
5 Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias
 44 55 66 77 883311 
3311 44 55 66 77 88
Si se tiene la expresión p2 
y el valor de p se triplica, 
entonces la expresión resultante 
es nueve veces la expresión 
original, ya que (3p)2 = 9p2.
Ayuda
2. Clasifi ca las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias en mayores que cero, 
menores que cero o iguales a cero. Para ello, considera los datos entregados.
a. 
3+ x
2x –2
 con x > 1. d. 
12r
r –
1
3
 con r = –
1
3
. 
b. 
5h+3
h+ 1
 con h < –1. e. 
3i+9
2
3
i– 13
 con i = 0. 
c. 
9
2
–p
p – 19
 con 4,5 < p < 19. f. 
22
3
k
5k – 1
 con k = 0. 
3. Evalúa las siguientes afi rmaciones. Luego, escribe V si es verdadera o F si es falsa.
a. La expresión 
x + 4
5–3Px
 se indefi ne para x = –2 cuando P = –
5
6
.
Realiza tus cálculos aquí:
b. La expresión 
2x +
9– 4x
7
 se indefi ne solo para x = 
9
4
.
Realiza tus cálculos aquí:
Desafíate
4. Analiza cómo varía el valor de una expresión algebraica fraccionaria cuando las 
variables que están presentes en ella también cambian. Para ello, lee defi nitivamente 
la información y responde en tu cuaderno.
La fuerza de atracción F entre dos cargas eléctricas q
1
 y q
2
 es directamente 
proporcional al producto entre ellas e inversamente proporcional al cuadrado de 
la distancia r que las separa, es decir, F=k
q q
r
1 2
2
.
a. ¿Qué sucede con F si q
1
 se duplica y q
2
 se reduce a la cuarta parte?
b. ¿Qué sucede con F si q
1
 y q
2
 se duplican y la distancia que los separa se reduce a la 
mitad?
c. ¿Qué sucede con F si q
1
 se duplica y q
2
 se reduce a la mitad y la distancia que los 
separa aumenta al doble?
d. ¿Qué sucede con F si q
1
, q
2
 y la distancia que las separa se triplica?
55Matemática 2° medio Nuevo Explor@ndo
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cont
enido
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ión d
e problem
as
eval
uación
e c r
 ara multiplicar expresiones 
algebraicas, se debe aplicar 
la propiedad distributiva de la 
multiplicación con respecto a la 
adición.
 jemplos:
 a(b + c) = ab + ac
 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ayuda
Amplifi cación y simplifi cación 
Al amplifi car una fracción numérica, su valor no varía. Una expresión algebraica fracciona-
ria también puede ser amplifi cada, obteniéndose