problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (558)

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14.13 Giros alrededor de una recta
2. Hallar la matriz del giro de ángulo π/2 alrededor de la recta orientada
r : x = 0, y = 4λ, z = 3λ (λ > 0),
y el transformado del punto P = (1, 1, 1)T por tal giro.
Solución. 1. De manera obvia, G(e1) = e1. Denotemos también por G a la
restricción del giro en el plano determinado por e2 y e3. Las coordenadas de
e2 en este plano son [1, 0]
T y las de e3, [0, 1]
T Dado que e3 = e1 × e2,
G
[
1
0
]
=
[
cosα −sen α
sen α cosα
] [
1
0
]
=
[
cosα
sen α
]
,
G
[
0
1
]
=
[
cosα −sen α
sen α cosα
] [
0
1
]
=
[
−sen α
cosα
]
.
Tenemos por tanto,
G(e1) = e1
G(e2) = (cosα) e2 + (sen α) e3
G(e3) = −(sen α) e2 + (cosα) e3.
Entonces,
GE = G
[
e1, e2, e3
]
=
[
Ge1, Ge2, Ge3
]
=
[
e1, (cosα) e2 + (sen α) e3,−(sen α) e2 + (cosα) e3
]
=
[
e1, e2, e3
] 1 0 00 cosα −sen α
0 sen α cosα
 = E
1 0 00 cosα −sen α
0 sen α cosα
 .
Pero E es ortogonal (sus columnas forman sistema ortonormal), por tanto
E−1 = ET . Queda
G = E
1 0 00 cosα −sen α
0 sen α cosα
ET .
2. El vector e1 =
1
5(0, 4, 3)
T es un vector unitario en la dirección y sentido
del eje. La base de R3 :
B =
{
1
5
(0, 4, 3)T ,
1
5
(0,−3, 4)T , (1, 0, 0)T
}
es ortonormal y verifica e1 × e2 = e3. La matriz del giro es por tanto
G =
1
5
0 0 54 −3 0
3 4 0
1 0 00 cosπ/2 −sen π/2
0 sen π/2 cosπ/2
 1
5
0 4 30 −3 4
5 0 0
