problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (600)

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14.33 Endomorfismo, forma cuadrática y cono
A es simétrica. Es decir, λ = −9 y µ = 4. En consecuencia:
A =
 9 0 −90 4 8
−9 8 −11
 .
Se verifica detA = −1296 6= 0 lo cual implica que T es isomorfismo. Dado
que la base canónica es ortonormal con el producto escalar usual, T será iso-
morfismo isométrico si y sólo si A es ortogonal, y claramente no lo es.
2. La matriz real A es simétrica, y por tanto diagonalizable en R (teorema
espectral). Como consecuencia, T lo es. Sea D = diag (λ1, λ2, λ3) (con λi
valores propios de A) una matriz semejante con A. Teniendo en cuenta que
matrices semejantes tienen la misma traza y el mismo determinante:
λ1λ2λ3 = detD = detA = −1296
λ1 + λ2 + λ3 = trD = trA = 2.
De las igualdades anteriores se deduce inmediatamente que un valor propio
es negativo y los dos restantes positivos.
3. Llamando x = (x1, x2, x3)
t se verifica
f(x) = 〈T (x), x〉 = 〈Ax, x〉 = (Ax)tx = xtAtx = xtAx.
En consecuencia, la matriz de f en la base B es A. Además:
f(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)
 9 0 −90 4 8
−9 8 −11
x1x2
x3

= 9x21 + 4x
2
2 − 11x23 − 18x1x3 + 16x2x3.
Descompongamos ahora f(x1, x2, x3) en suma de cuadrados independientes
usando el método de Gauss:
f(x1, x2, x3) = 9(x
2
1 − 2x1x3) + 4x22 − 11x23 + 16x2x3
= 9(x1 − x3)2 − 9x23 + 4x22 − 11x23 + 16x2x3
= 9(x1 − x3)2 + (4x22 − 20x23 + 16x2x3).
4x22 − 20x23 + 16x2x3 = 4(x22 + 4x2x3)− 20x23
= 4(x2 + 2x3)
2 − 16x23 − 20x23
= 4(x2 + 2x3)
2 − 36x23.