RESUMEN TEMA 7 TRANSFORMACIONES LINEALES AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
RESUMEN DEL TEMA 7
TRANSFORMACIONES LINEALES. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
7.1.-INTRODUCCION: En este capítulo abordaremos el estudio de las transformaciones
lineales que aparecen con frecuencia en muchas aplicaciones del algebra lineal, en otras ramas de la
matemática o de la ciencia. Serán funciones con dominio y codominio en espacios vectoriales sobre
un mismo cuerpo de escalares, que preservan las operaciones de suma y producto por un escalar.
Estudiaremos algunas propiedades, definiremos Núcleo e Imagen de ellas, enunciaremos el teorema
fundamental de las transformaciones lineales y mostraremos que toda transformación lineal, tiene
asociada una matriz que permite expresarla en forma matricial. En particular estudiaremos las
transformaciones lineales de n que preservan la norma, llamadas isometrías
Estudiaremos también los conceptos de autovalores, autovectores y autoespacios de una
transformación lineal y de una matriz. Definiremos los conceptos de semejanza y diagonalización de
matrices, y en particular para las matrices simétricas, la diagonalización ortogonal, conceptos
necesarios para el estudio de la ecuación de segundo grado en dos y tres variables, asociadas a las
cónicas y cuádricas, que estudiaremos en el siguiente tema
7.2.- TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición: Dados dos espacios vectoriales y sobre un mismo cuerpo de escalares , y una
función T :  . Decimos que T es una transformación lineal si y solo sí verifica:
1 X,Y   TX  Y  TX  TY
2 X  ,   TX  TX
Propiedades.
Si T :  es una transformación lineal, entonces:
P1 : TU   V siendo U ,V neutro de la suma en y respectivamente
P2 : TX  TX
P3 : T1X1  2X2 nXn  1TX1  2TX2 nTXn
Teorema 7.1: La transformación nula es una transformación lineal
Teorema 7.2: La transformación identidad es una transformación lineal
Teorema 7.3. Si Amn y T : n  m/X  n, TX  AX, entonces T es una transformación
lineal
7.3.-NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Dada una transformación lineal T : 
Núcleo de una transformación lineal T
Definición: Se llama núcleo de T y lo simbolizamos por NUT al conjunto de los vectores del
espacio (dominio de T) cuyo transformado (imagen por T) es el neutro de la suma del espacio
(codominio). Es decir:
NUT  X  / TX  
Teorema 7.4: El núcleo de una transformación lineal T :  es un subespacio de
Imagen de una transformación lineal T
Definición: Se llama Imagen de T y la denotamos por ImT al conjunto de los vectores del
espacio (codominio de T) que son los transformados (imágenes por T) de algún vector del espacio
U. Es decir:
ImT  Y  V/ X  U  TX  Y
Teorema 7.5: La imagen de una transformación lineal T :  es un subespacio de
7.4.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Dados dos espacios vectoriales y sobre un mismo cuerpo ,  U1,U2, ,Un una base
de y  W1,W2, ,Wn  , entonces existe una única Transformación lineal T :  tal
que: TUi  Wi con i  1,2, ,n
Es decir este teorema afirma que: Dados dos espacios vectoriales y sobre un mismo cuerpo
de escalares, si conocemos los transformados de una base de , y esos trasformados pertenecen a ,
podemos asegurar que la transformación T :  existe, es única y es lineal
Ejemplo (de aplicación del teorema fundamental)
Determina, si existe, T : 2  3 tal que: T1,1  2,0,3 y T2,1  3,1,5
Como  1,1; 2,1 es una base de 2 y  2,0,3; 3,1,5  3 tal que:
TUi  Wi con i  1,2 se cumplen las hipótesis del teorema fundamental, por lo que este nos
asegura la existencia de una única T lineal que cumple con las condiciones dadas.
Para determinar la ley de T, debemos primero expresar un vector genérico de 2 como
combinación lineal de los vectores de la base y encontrar sus coordenadas respecto a esa base.
 x,y  11,1  22,1  x,y  1  22,1  2 
1  22  x
1  2  y

1 2 x
1 1 y
1 2 x
0 1 y  x

1 22  x
2  y  x

1  x  22  1  2y  x
2  x  y
 Tx,y  T11,1  22,1 Aplicando T a x,y  2
 Tx,y  1T1,1  2T2,1 Por hom. y linealidad de T
 Tx,y  2y  x2,0,3  x  y3,1,5 Reemplazo i y TUi  Wi
 Tx,y  4y  2x  3x  3y,x  y, 6y  3x  5x  5y Prod. por un escalar y
suma de vectores
 Tx,y  x  y,x  y, 2x  y Es la ley de la T pedida
7.5.-MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL RESPECTO A UN PAR DE
BASES DEL DOMINIO Y CODOMINIO
Matriz de T : n  m respecto a las bases canónicas de ny m respectivamente
Sí  n y  m, y T : n  m es una transformación lineal, y n  I1, I2, , In y
m  I1
 , I2
 , , Im  las bases canónicas de n y m respectivamente, entonces podemos asociarle a
T una matriz A  mn de tal forma que: TX  AX
A la matriz Amn se la denomina matriz de la transformación T asociada a las bases canónicas
de n y m o representación matricial de T
Podemos demostrar que A tiene como columnas a los transformados de la base canónica del
dominio de T,  n expresados en la base canónica del codominio ( m)
Vamos a mostrarlo para el caso particular de n  2 y m  3 con lo que T : 2  3 y
2  I1, I2  1,0, 0,1; 3  I1
 , I2
 , I3
   1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
Si X 
x
y

x
y
 x
1
0
 y
0
1
por ser 2 generador de 2
Es decir:
X  xI1  yI2
Al ser 2 una base de 2, si asignamos TI1  I1
 y TI2  I2

Aplicando el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T existe, es única y es lineal.
Así que:
TX  TxI1  yI2
TX  TxI1  TyI2. Por linealidad de T
TX  xTI1  yTI2. Por homogeneidad de T 
Como TX  3 X  2, en particular TIi  3 i  1,2, y como 3 es la base canónica
de 3, tendremos que:
TI1  a11I1
  a21I2
  a31I3
  TI1 3 
a11
a21
a31
TI2  a12I1
  a22I2
  a32I3
  TI2 3 
a12
a22
a32
Reemplazando estas expresiones en  tenemos:
TX  xTI1 3  yTI2 3  x
a11
a21
a31
 y
a21
a22
a23

a11 a12
a21 a22
a31 a32
x
y
Si llamamos: A 
a11 a12
a21 a22
a31 a32
, tendremos que: TX  AX
Podemos ver que A32 y que sus columnas son los vectores transformados de la base de 2
(dominio de T expresados en coordenadas de la base canónica de 3 (codominio de T
En consecuencia sí la expresamos en forma simbólica: A  TI1 3 /TI2 3
Si generalizamos a una T : n  m con n  I1, I2, , In y m  I1
 , I2
 , , Im  podemos
mostrar que:
TX  AX con Amn  TI1 m /TI2Em / /TIn m
Siendo Amn matriz de T respecto a n  I1, I2, , In y m  I1
 , I2
 , , Im  bases canónicas
de n y m respectivamente
Matriz de T : n  m respecto a las bases 1  U1,U2, ,Un y 2  V1,V2, ,Vm de
ny m respectivamente.
De igual forma que lo hicimos anteriormente, podemos proceder para encontrar la matriz de una
transformación respecto a un par de bases distintas de las canónicas
TU1  11V1  21V2   m1Vm  TU1 2  11,21, ,m1
T
TU2  12V1  22V2   m2Vm  TU2 2  12,22, ,m2
T

TUn  1nV1  2nV2   mnVm  TUn 2  1n,2n, ,mn
T
Es decir resolviendo cada una de las combinaciones lineales anteriores encontramos los valores
de los coeficientes, con lo cual habremos encontrado las coordenadas respecto de la base 2, de los
transformados de los vectores de la base 1 ( TUi
2
. En consecuencia siguiendo el mismo
criterio que para el caso de la matriz de T respecto a las bases canónicas, dichos vectores serán las
columnas de la matriz de T respecto a las bases 1 y 2. Es decir si llamamos B a dicha matriz:
B  TU1 2 / TU2 2 / /TUn 2. Entonces:
B 
11 12  1n
21 22  2n
   
m1 m2  mn
Podemos observar que esta matriz B puede encontrarse resolviendo una ecuación matricial que
es equivalente a los n sistemas de ecuacionesresultantes de las n combinaciones lineales de los
TUi.
TU1  11V1  21V2   m1Vm
TU2  12V1  22V2   m2Vm

TUn  1nV1  2nV2   mnVm
En efecto, el conjunto de sistemas es equivalente a la ecuación matricial:
TU1/TU2/ /TUn  V1/V2/ /Vm
11 12  1n
21 22  2n
   
m1 m2  mn
 B 
11 12  1n
21 22  2n
   
m1 m2  mn
 V1/V2//Vm1TU1/TU2//TUn
Como podemos observar ambos procedimientos arrojan el mismo resultado ya que son
equivalentes. Esto vale en general para cualquier transformación lineal
7.6.-ISOMETRIA
Definición: Sea un espacio vectorial con producto interno
Dada la transformación lineal T :  . Decimos que T es una Isometría si y solo si
X   TX X
Teorema 7.6: Si T :  es una isometría, entonces TX  TY X  Y
La demostración es trivial, en efecto:
TX  TY TX  Y X  Y por ser T lineal e isometría (hipótesis)
Teorema 7.7: Si T :  es una isometría, entonces X,Y  , TX,TY  X,Y
Teorema 7.8: Si T :  es una isometría, entonces Transforma bases ortonormales en bases
ortonormales
Teorema 7.9: Si T : n n es una isometría, entonces la matriz de T es ortogonal
7.7.- AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Autovalores y autovectores de una transformación lineal T : 
Definición: Dada una transformacion lineal T :  y un escalar , decimos que  es un
autovalor de T si y solo sí existe un autovector no nulo U  tal que: TU  U
Al vector U se lo denomina autovector de T asociado al autovalor 
Si es de dimensión finita, entonces T tiene asociada una matriz Ann que caracteriza a T tal
que:
TX  AX, X 
En consecuencia tendremos que: AX  X
Así que tiene sentido definir autovalores y autovectores de una matriz Ann
Autovalores y autovectores de una matriz Ann
Definición: Dada Ann. Decimos que el escalar  es un autovalor de A si y solo sí existe un
vector no nulo U  n tal que:
AU  U
Al vector U se lo denomina autovector de A asociado al autovalor 
La anterior ecuación, es una ecuación matricial en la que tanto  como U son incógnitas
Escribamos a esta ecuación de forma de que las incógnitas estén en un sólo miembro
De AU  U  AU  U    AU  IU    A  IU  . Es decir:
A  IU   7
Interpretemos esta igualdad 7 a los efectos de comprender mejor lo que nos dice:
Al ser A  nn, entonces A  I  nn y U  n
Por lo visto en temas anteriores, sabemos que la 7 es equivalente a un sistema de n ecuaciones
lineales con n incógnitas homogéneo cuya matriz de coeficientes es A  I  nn y las
coordenadas del vector U sus incógnitas. Al ser un sistema homogéneo siempre es consistente y
puede tener única solución (la nula) o tener infinitas soluciones. Como U  , entonces el sistema
tiene infinitas soluciones y por lo tanto la dimensión del espacio solución será mayor que cero.
Como la cantidad de incógnitas es n, en el sistema escalonado equivalente habrá m ecuaciones
tal que m  n y en consecuencia el RangoA  I  n ya queRangoA  I es el número de filas no
nulas de la matriz que resulta de escalonar A  I y a su vez es la cantidad de ecuaciones del
sistema escalonado equivalente. Es decir las filas de A  I constituyen un conjunto linealmente
dependiente, que se traduce en que una de ellas debe ser combinación lineal del resto y ello asegura
que se anule el determinante de la matriz de coeficientes. Es decir:
detA  I  0 8
Polinomio Característico
Al ser A  I  nn. Si calculamos detA  I por ejemplo por desarrollo de Laplace,
obtendremos un polinomio de grado n en la variable . A ese polinomio se lo denomina
Polinomio característico de A y se lo denota por por p. Es decir:
p  detA  I 9
Ecuación característica:
Sabemos que si encontramos p  0, estamos encontrando las raíces del polinomio
característico de A. En consecuencia los autovalores de A ( i, i  1,2, ,n ) son las raíces del
polinomio característico, de allí que llamamos ecuación característica de A.
detA  I  0 10
Resolviendo la 10 obtenemos los autovalores  i, i  1,2, ,n. Reemplazando cada uno de los
 i en 7 obtenemos el sistema: A   iIU   cuya solución nos dará los autovectores Ui
asociados al autovalor  i.
El conjunto de todos los Ui no nulos asociados a cada autovalor  i será:
Ui  n,Ui  /AUi   iUi
Este conjunto no será un espacio vectorial porque no contiene al vector nulo. Se puede justificar
que si le adicionamos el vector nulo, el conjunto resultante si es un espacio vectorial. A ese espacio
vectorial así obtenido lo denominamos autoespacio o espacio propio correspondiente al autovalor
 i. Si lo denotamos por i, será:
i  U  n/ AUi   iUi
Como todo espacio vectorial tiene una base y si recordamos que una base es un conjunto
generador del espacio podremos expresar:
i  LU1,U2, ,Uk siendo k la máxima cantidad de autovectores linealmente
independientes asociados a  i
Teorema 7.10: Si A  nn,  i, i  1,2, ,n son autovalores distintos de A y Ui, i  1,2, ,n
son autovectores de A asociados respectivamente a los  i, entonces U1,U2, ,Un es linealmente
independiente
Multiplicidad Algebraica
Definición: Si  es un autovalor de Ann. Llamamos multiplicidad algebraica de  al número
natural k de veces que se repite el escalar  como raíz del polinomio característico de A.Así por
ejemplo si  se repite dos veces como raíz, decimos que la multiplicidad algebraica de  es 2.
Multiplicidad Geométrica
Definición: Si  i es un autovalor de Ann y i es el autoespacio asociado al autovalor  i.
Llamamos multiplicidad geométrica de  i a la dimensión de i
Terorema 7.11: Si  es un autovalor de Ann, entonces la multiplicidad geométrica de  es
menor o igual que la multiplicidad algebraica de .
Teorema 7.12: Si Ann, entonces A tiene n autovectores linealmente independientes si y solo sí la
multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual a su multiplicidad algebraica.
7.8.-CAMBIO DE BASE. DIAGONALIZACION
Cambio de base
Dado un espacio vectorial , de dimensión finita, sabemos que existen infinitas bases para .
Sabemos también que las coordenadas de los elementos de dependen de la base en la cual se
expresen, por lo que muchas veces será conveniente realizar un cambio de base (cambio de
coordenadas) como por ejemplo para poder graficar más fácilmente una curva si su ecuación
cartesiana está referida a una cierta base que no permite graficarla de forma sencilla. Mediante la
elección de otra base conveniente y el cambio a esta nueva base, permite una simplificación del
problema, veremos precisamente en qué consiste esto, primeramente con ejemplos de espacios de n
para n  2 o n  3, para luego generalizar a cualquier espacio
Sea  2 y 2  I1, I2 base canónica de 2 y  V1;V2 otra base de 2
Dado el vector genérico de 2 X  x,yT,
X  xI1  yI2 donde x,y son las coordenadas del vector X respecto a la base canónica
Asimismo sabemos que si queremos expresar el mismo vector X en la base  V1;V2 será:
X  sV1  tV2 siendo s, t las coordenadas del vector X respecto a la base , X 
Esta última expresión se puede expresar matricialmente de la siguiente forma:
X  PX 1
Siendo P matriz cuyas columnas son los elementos de la base y X el vector columna de
componentes s, t
La ecuación 1 es la denominada ecuación de cambio de base ya que es la que relaciona las
coordenadas de un mismo vector pero en dos bases distintas (la canónica y otra cualquiera  y
permite pasar de unas coordenadas a las otras según los datos disponibles. Así si se conocen las
coordenadas del vector respecto a la base s, t, podemos calcular las coordenadas del vector
respecto a la base canónica x,y realizando el producto PX
La matriz P es la denominada matriz de cambio de base, la que al estar constituida por columnas
linealmente independientes, es inversible, por lo que:
X  P1X 2
Esta última ecuación permite calcular las coordenadas de un vector referidas a una base ,
conocidas sus coordenadasreferidas a la base canónica
Ejemplo 1: Dada  1,2; 1,3 y X  3,2. Determina las coordenadas del vector X
respecto a la base
El problema consiste en realizar un cambio de base (cambio de coordenadas) de la base canónica
a la base . Por lo tanto corresponde usar la ecuación 2, que en este caso queda:
X  P1X 
s
t

1 1
2 3
1
3
2
|P|  5,
AdjP 
3 1
2 1
 P1 
3
5
1
5
 25
1
5
 P1X 
3
5
1
5
 25
1
5
3
2

11
5
4
5
 X 
11
5
4
5
Son las coordenadas del vector X respecto a la base . Como vemos hemos cambiado de
coordenadas (hemos cambiado de base), de la base canónica a la base .
Ejemplo 2: Dada  1,2; 1,3 y X  2,3. Determina las coordenadas del vector X
respecto a la base canónica
Ahora tenemos como dato las coordenadas del vector respecto a una base y queremos calcular
sus coordenadas respecto a la base canónica, por lo tanto la ecuación a utilizar será la 1
X  PX 
x
y

1 1
2 3
2
3

x
y

5
5
coordenadas respecto a
la base canónica.
Veamos ahora como se generaliza para 2 el cambio de base cuando tenemos dos bases
cualesquiera de 2
Sea 1  U1;U2, 2  V1;V2 dos bases de 2, X 
x
y
 2
Como 1, 2 son bases de
2, entonces podemos encontrar las coordenadas del vector X en
dichas bases:
X  1U1  2U2  las coordenadas de X en la base 1 son: X 1 
1
2
3
X  1V1  2V2  las coordenadas de X en la base 2 son: X 2 
1
2
4
Nosotros queremos cambiar de la base 1 a la base 2, entonces debemos encontrar las
coordenadas de los vectores U1, U2 de la base 1 respecto de la base 2. Es decir:
U1  a11V1  a21V2  las coordenadas de U1 en la base 2 son : U 1B2 
a11
a21
U2  a12V1  a22V2  las coordenadas de U2 en la base 2 son : U 2B2

a12
a22
5
Reemplazando 5 en 3 tenemos:
X  1a11V1  a21V2  2a12V1  a22V2
X  1a11V1  1a21V2  2a12V1  2a22V2
X  1a11  2a12V1  1a21  2a22V2
Entonces:
X  1a11  2a12V1  1a21  2a22V2 6
Igualando la 4 y la 6 (por ser su primer miembro el mismo) tenemos el sistema:
1a11  2a12  1
1a21  2a22  2

a11 a12
a21 a22
1
2

1
2
Llamando P 
a11 a12
a21 a22
y teniendo en cuenta las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
X 2  PX 1 I
La ecuación I es la ecuación de cambio de base (de la base 1 a la base 2) y la matriz P se
denomina matriz de cambio de la base 1 a la base 2, o matriz de transición entre las bases 1 y
2
Observemos que la matriz P tiene como columnas los vectores de la base 1, expresados en la
base 2. Es decir P  U1B2 /U2B2
Como la matriz P tiene por columnas vectores de una base, entonces sus columnas son
linealmente independientes, entonces es inversible por lo que:
P1X 2  P
1PX 1 Existencia de P
1 y propiedad de las ecuaciones
 P1X 2  IX 1 Definición de inversa
 P1X 2  X 1 Neutro del producto de matrices
 X 1  P
1X 2 II
La ecuación II será entonces la ecuación de cambio de base, de la base 2 a la base 1, y la
matriz P1 matriz de cambio de la base 2 a la base 1 respectivamente o matriz de transición entre
las bases 2 y 1
Esto se puede generalizar a un espacio vectorial de dimensión finita n. Así si tenemos dos
bases de :
1  U1,U2, ,Un y 2  V1,V2, ,Vn
X  1U1  2U2   nUn  XB1 
1
2

n
X  1V1  2V2   nVn  XB2 
1
2

n
U1  a11V1  a21V2   an1Vn  U1B2 
a11
a21

an1
U2  a12V1  a22V2   an2Vn  U2B2 
a12
a22

an2
.
.
Ui  a1iV1  a2iV2   aniVn  UiB2 
a1i
a2i

ani
.
.
.
Un  a1nV1  a2nV2   annVn  UnB2 
a1n
a2n

ann
Siendo la matriz P  U1B2 /U2B2 /UiB2 /UnB2  la matriz de cambio de base de la base 1 a la
2
entonces :
P 
a11 a12  a1i  a1n
a21 a22  a2i  a2n
     
an1 an2  ani  ann
Una aplicación del cambio de base se tiene cuando se quiere encontrar la matriz de una
transformación lineal T :  ,/ TX  AX , respecto a un par de bases 1  U1;U2; ;Un y
2  V1;V2; ,Vm de y respectivamente
En efecto cuando hemos encontrado la matriz de T respecto a un par de bases 1 y 2 distintas
de las canónicas, vimos que se podía escribir en forma matricial como sigue:
TU1/TU2/ /TUn  V1/V2/ /Vm
11 12  1n
21 22  2n
   
m1 m2  mn
Entonces:
TX
2
 BX 1
Siendo B la matriz de T respecto a las bases 1 y 2 del dominio y codominio de T
respectivamente. Como vemos esta última expresión no es más que la que corresponde al cambio de
base visto anteriormente (ecuación I).
Matrices semejantes
Definición: Dadas A,B  nn. Decimos que A es semejante o similar a B si y solo si  P  nn
inversible tal que B  P1AP
Teorema 7.13: Si dos matrices A,B son semejantes entonces la transformación T : n  n/
TX  P1XP es una transformación lineal
Veamos que esto es así:
1) TX  Y  P1X  YP por definición de T
 TX  Y  P1XP  P1YP Dist. del prod. de matrices resp. a la suma
 TX  Y  TX  TY por definición de T
2) TkX  P1kXP por definición de T
 TkX  kP1XP Asoc. del producto entre escalar y matriz
 TkX  kTX por definición de T
Se cumplen las dos condiciones, entonces T es lineal
Teorema 7.14: Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen los mismos autovalores
Definición: Se dice que una matriz A  nn es diagonalizable si y solo sí es semejante a una
matriz diagonal
Es decir si y solo si  P  nn inversible tal que D  P1AP, donde D es una matriz diagonal
Teorema 7.15: A  nn es diagonalizable si y solo si A tiene n autovectores Linealmente
Independientes
Corolario: Si A  nn tiene n autovalores distintos, entonces A es diagonalizable
Teorema 7.16: Si A  nn es diagonalizable, entonces la matriz P que la diagonaliza tiene
como columnas autovectores de A y la matriz diagonal semejante a A tiene como elementos de su
diagonal los autovalores de A asociados a los respectivos autovectores, en el mismo orden en el que
los autovectores están como columnas de A
Ejemplo 1: Dada A 
2 1
0 3
Decide si A es diagonalizable. En caso afirmativo encuentra la matriz que la diagonaliza y la
matriz diagonal que es semejante a A
Para responder si A es o no diagonalizable, basta aplicar el teorema 7.15. Es decir bastará ver si
A tiene 2 autovactores linealmente independientes. Para ello debemos calcular los autovalores de A y
sus autovectores asociados
Cálculo de los autovalores:  |A  I|  0
 A  I 
2 1
0 3
 
1 0
0 1

2   1
0 3  

2   1
0 3  
 0  2  3    0 
1  2
2  3
Como los autovalores de A son distintos, entonces sus autovectores asociados son linealmente
independientes. Aplicando el corolario del teorema 7.12, entonces A tiene 2 vectores linealmente
independientes, entonces por el teorema 7.15, A es diagonalizable
Para encontrar la matriz que diagonaliza a A debemos encontrar los autovectores de A
Cálculo de los autovectores  A  IX  
Para 1  2 
2  2 1
0 3  2
x
y

0
0

0 1
0 1
x
y

0
0
 y  0
La solución general será: x,y  x, 0  x1,0  U1  1,0 es un autovector de A asociado
al autovalor 1  2
Para 2  3 
2  3 1
0 3  3
x
y

0
0

1 1
0 0
x
y

0
0
 x  y  0
La solución general será: x,y  x,x  x1,1  U2  1,1 es un autovector de A asociado
al autovalor 2  3
La matriz que diagonaliza a A será: P 
1 1
0 1
que es inversible por tener sus columnas
linealmente independientes
|P|  1, AdjP 
1 1
0 1
 P1 
1 1
0 1
 P1AP  D 
2 0
0 3
7.9.-MATRICES SIMETRICAS: DIAGONALIZACION ORTOGONAL
Definición: Dada A  nn. Decimos que A es diagonalizable ortogonalmente, si y solo sí, existe
una matriz P  nn ortogonal tal que PTAP  D, siendo D una matriz diagonal
Teorema 7.17: Si A  nn es simétrica, entonces sus autovalores son reales
Teorema 7.18: Si A  nn es simétrica y  i   j son autovalores de A, entonces los
autovectores Ui,Uj asociados a ellos son ortogonales
Teorema 7.19: Si A  nn es simétrica , entonces A tiene n autovectores ortonormales y reales
Definición: SeaA  nn. Decimos que A es diagonalizable ortogonalmente si y solo si P
ortogonal tal que PTAP  D donde D es una matriz diagonal
Teorema 7.20: A  nn es diagonalizable ortogonalmente, si y solo sí A es simétrica
Ing Augusto A. Estrada V.