TUTORIAL 8 Transformaciones Lineales Autovalores y Autovectores Cambio de base Isometrías

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
TUTORIAL Nº8
Transformaciones Lineales. Autovalores y Autovectores. Cambio de base. Isometrías.
Diagonalización
Introducción:
En el presente trabajo práctico vamos a trabajar con situaciones problemáticas que nos permitan
abordar los conceptos de transformación lineal, autovalores y autovectores, cambio de base y
diagonalización. La definición de muchos de estos conceptos nos van a llevar a conceptos ya
definidos y tratados en los anteriores Trabajos Prácticos, por lo que se hace necesario recordarlos y
tenerlos presente. En consecuencia muchos de los problemas a resolver recaerán en la resolución de
problemas ya resueltos anteriormente.
Ejercicio 1:
¿Qué? debemos hacer. Determinar si una cierta función dada es o no una transformación lineal.
¿Cómo? lo hacemos. Solo bastará recordar la definición de una transformación lineal y mostrar si la
función dada cumple con tal definición, en ese caso podremos decir que si es una transformación
lineal, caso contrario no lo será. Además para aquellas transformaciones de 2 o 3, debemos
interpretar geométricamente. Esto es debemos describir el efecto geométrico que produce la
transformación en los vectores a los que se aplican. Veamos algunos ejemplos a modo de ilustración.
Ejemplo 1
Decide, justificando tu respuesta, si las siguientes transformaciones son o no transformaciones
lineales. Interpreta geométricamente en el caso de 2 o 3.
i T : 2 2 / T
x
y

0
y
ii T : 2 2 / T
x
y

x  1
y
iii T : nn / TX  detX iv T : 3 3 /T
x
y
z

x
y
0
Veamos si cada una de las transformaciones dadas, cumplen o no la definición de transformación
lineal, es decir, verifican ambas condiciones de esta definición. Recordemos esa definición:
Dada la función T :  donde , son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo.
Decimos que T es una transformación lineal si y solo si:
1 X,Y  , TX  Y  TX  TY (Linealidad)
2 X,  ,TX  TX (Homogeneidad)
i T : 2 2 / T
x
y

0
y
Veamos si se cumplen las dos condiciones de la definición para la T dada:
1 X,Y  , TX  Y  TX  TY
Sean X 
x1
y1
 2;Y 
x2
y2
 2 Hipótesis
TX  Y  T
x1
y1

x2
y2
Sustitución
TX  Y  T
x1  x2
y1  y2
Definición. de suma usual en 2
TX  Y 
0
y1  y2
Definición. de T
TX  Y 
0
y1

0
y2
Definición de Suma usual en 2
TX  Y  T
x1
y1
 T
x2
y2
Definición de T
TX  Y  TX  TY Hipótesis
Se cumple la linealidad
2 X,  ,TX  TX
Sean X 
x1
y1
 2 Hipótesis
TX  T 
x1
y1
Sustitución
TX  T
x1
y1
Definición. de producto por un escalar usual en 2
TX 
0
y1
Definición. de T
TX  
0
y1
Definición de producto por un escalar usual en 2
TX  T
x1
y1
Definición de T
TX  Y  TX Hipótesis
Se cumple la homogeneidad.
Como se cumplen ambas condiciones de la definición, podemos afirmar que la función dada es
una transformación lineal.
ii T : 2 2 / T
x
y

x  1
y
Observemos cómo es el vector transformado de cualquier vector de 2. Vemos que su primera
componente es una expresión lineal pero no homogénea. ¿Te dice algo eso?. Recordemos además
algunas propiedades que resultan consecuencia de la definición de transformación lineal. Así por
ejemplo que, como consecuencia de la homogeneidad -condición 2- toda transformación lineal
transforma el vector nulo del dominio en el nulo del codominio. Es decir para el caso de la T dada
debe ser T 2    2 . Esto no ocurre en la transformación dada ya que:
T 2   T
0
0

0  1
0

1
0

0
0
.
Entonces T no es una transformación lineal.
iii T : Rnn R / TX  detX
La función T dada es aquella que a una matriz cuadrada con componentes reales le asigna como
imagen un número real (su determinante). Es decir es la función determinante.
Si recordamos lo estudiado en el tema determinantes, podemos ver que ninguna de las dos
condiciones de la definición de transformación lineal se cumple, ya que el determinante no es
distributivo respecto a la suma, por lo que la primera condición no se verifica. Tampoco se verifica
la 2da condición, ya que el determinante de la matriz resultado del producto de un escalar por una
matriz no es igual al producto del escalar por el determinante de la matriz. Mostremos esto último
con un contraejemplo.
Sea A 
3 1
1 1
y   2  A  2
3 1
1 1

6 2
2 2
TA  detA 
3 1
1 1
 2  2TA  2  2  4
T2A  det2A 
6 2
2 2
 8
4  8  T2A  2TA.
Es decir no se cumple la homogeneidad, en consecuencia podemos afirmar que T no es una
transformación lineal.
iv T : 3 3 /T
x
y
z

x
y
0
Queda como ejercicio propuesto para que practiques. En este caso si analizas las componentes
del vector transformado podrás observar que sus componentes son todas expresiones lineales y
homogéneas, esto es un indicio de que es una transformación lineal. Demuéstralo.
Veamos para las transformaciones que resultaron ser transformaciones lineales la interpretación
geométrica de las mismas.
Como pudimos ver más arriba, las transformaciones lineales fueron las de los incisos i y iv a
saber:
i T : 2 2/ T
x
y

0
y
iv T : 3 3 /T
x
y
z

x
y
0
Si graficamos el vector genérico del dominio y su transformado respectivamente, para cada una
de estas transformaciones, podremos visualizar la acción geométrica de la transformación. Ello se
puede observar en el siguiente gráfico.
La fig. 1 corresponde a la transformación del inciso i. Observando la gráfica del vector genérico
X del dominio y de su transformado TX, podemos ver que la transformación es la proyección
ortogonal sobre el eje y (o proyección ortogonal del vector X sobre el versor I director del eje x que
hemos estudiado y trabajado en el TP 6.
La fig. 2 corresponde a la transformación dada en iv. Observando la gráfica del vector genérico
X del dominio y su transformado TX, vemos que es la proyección ortogonal del vector X sobre el
plano xy
Ejercicio 2
¿Qué? debemos hacer. Demostrar un par de propiedades relacionadas con las transformaciones
lineales. ¿Cómo? lo hacemos. De la misma manera que cada vez que hemos tenido que realizar
alguna demostración en los anteriores T.P. Solo habrá que considerar y recordar los conceptos
involucrados en la proposición a demostrar y mediante razonamiento lógico deductivo realizar la
demostración. Esto es algo súper conocido ¿verdad?. Así en el inciso a debemos demostrar que la
transformación nula es una transformación lineal, algo similar a lo que ya hicimos en el ejercicio 1
salvo que aquí ya no tenemos que decidir si es o no una transformación lineal, sino demostrar que lo
es. Es decir demostrar que se verifican para la transformación nula, ambas condiciones de la
definición de transformación lineal.
En el caso del inciso b hay que demostrar que el núcleo de la transformación lineal es un
subespacio del dominio de la misma. Esto ya lo hicimos muchas veces en el TP3, por lo que es algo
que es conocido y que ya sabes hacer ¿verdad?.
Ejercicios 3, 5 y 6
El ¿Qué? debemos hacer en estos ejercicios está relacionado con los conceptos de matriz
asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases una del dominio y otra del
codominio, núcleo e imagen de una transformación lineal. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos
recordar la definición de estos conceptos y/o propiedades derivadas de ellos y aplicarlos en la
resolución de cada uno de los ejercicios según sea lo pedido. Veamos algunos ejemplos ilustrativos.
Ejemplo 1: Dada la transformación lineal:
T : 3 2 /T
x
y
z

x  y  2z
2x  3y
i Determina la matriz de T respecto a las bases canónicas de 3 y 2 respectivamente
ii Determina el núcleo y la imagen de T y una base y la dimensión de los mismos.
iii Determina la matriz de T respecto a las bases B1  1,0,1, 0,1,1, 2,1,0 de 3 y
B2  2,1, 1,3de 2
i ¿Qué? debemos hacer. Determinar la matriz de T respecto a las bases canónicas de 3 y 2
respectivamente. Esto es, expresar a T en forma matricial TX  AX .´ ¿Cómo? lo hacemos. Para
ello debemos recordar que: dada una transformación lineal T : n m y E1  I1, I2, , In base
canónica de n y E2  I1
 , I2
 , , Im  base canónica de m entonces la transformación T se puede
escribir en forma matricial como TX  AX siendo Amxn la matriz asociada a T respecto a las bases
canónicas E1 y E2 de n y m respectivamente. En este caso recordar que A tiene como columnas
los transformados de la base E1 expresado en coordenadas de la base E2 .Es decir:
A  TI1E2 /TI2E2 /. . . . /TInE2
Ahora bien el vector genérico TX es un vector que ya está expresado en coordenadas de la base
canónica de m por lo que todos los TIi también lo están, en consecuencia la matriz A tendrá como
columnas directamente estos vectores transformados. Más aún se podrá hallar expresando en forma
matricial el sistema.
Veamos en el caso del ejemplo para graficar la situación:
La base canónica de 3 es E1  I1, I2, I3  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1.
Si aplicamos la transformación a cada uno de los vectores de esta base tenemos:
T
1
0
0

1
2
; T
0
1
0

1
3
y T
0
0
1

2
0
Por lo que la matriz A respecto a las bases canónicas será:
A  TI1E2 /TI2E2 /TI3E2 
1 1 2
2 3 0
Observemos que este resultado se puede obtener directamente escribiendo el sistema:
T
x
y
z

x  y  2z
2x  3y
en forma matricial
T
x
y
z

x  y  2z
2x  3y

1 1 2
2 3 0
x
y
z
Entonces:
TX  AX siendo A 
1 1 2
2 3 0
Podemos observar que la matriz A tiene como columnas a los transformados de la base canónica
del dominio como afirmamos más arriba. La matriz A será la matriz de la transformación respecto a
las bases canónicas de 3 y 2 respectivamente.
ii ¿Qué? debemos hacer. Determinar el núcleo y la imagen de una transformación lineal dada.
¿Cómo? lo hacemos. Habrá que responder las preguntas ¿Qué es núcleo de una transformación
lineal? ¿Qué es imagen de una transformación lineal?. ¿Cómo los determinamos?. Solo habrá
que recordar la definición de tales conceptos.
Recordemos que dada una transformación lineal T :  se define:
1. Nucleo de T y se lo denota por NUT al conjunto de los vectores de que tienen como imagen
por T al vector nulo de . Es decir:
NUT  X  /TX    como TX  AX  NUT  X  /AX   
Como podemos ver NUT  ESA (espacio solución de la matriz A. Nada nuevo ¿verdad?.
Así que encontrar el Núcleo de una transformación lineal T tal que TX  AX , una base para el
mismo y su dimensión, no es más que hacer lo mismo para el espacio solución de la matriz de la
transformación respecto a las bases canónicas del dominio y codominio de T. Este tipo de problema
ya lo hemos trabajado ampliamente en los TP 3 y TP4. Queda como ejercicio de repaso de estos
conceptos.
2. Imagen de T y se la denota por ImT al conjunto de vectores de que son correspondientes por
T de algún vector de . Es decir:
ImT  Y  /X  ,TX  Y como TX  AX
Entonces:
ImT  Y  /X  , AX  Y
Si recordamos que las columnas de A son los transformados de la base canónica de tendremos
que el sistema AX  Y nos dice que el vector transformado es combinación lineal de las columnas de
A. Es decir ImT  EcA.
Nuevamente volvemos a un concepto ya estudiado en anteriores trabajos prácticos así que nada
nuevo ¿verdad?. Por lo tanto encontrar la Imagen de una transformación lineal T tal que TX  AX,
una base para ella y su dimensión, no es más que hacer lo mismo para el espacio columna de la
matriz de la transformación respecto a las bases canónicas del dominio y codominio de T. Queda
como ejercicio de repaso.
iii Determina la matriz de T respecto a las bases 1  1,0,1, 0,1,1, 2,1,0 de 3 y
2  2,1, 1,3 de 2
El concepto es el mismo que en el inciso i. Dada la transformación lineal T : n m y un par
de bases 1  V1,V2, ,Vn base de n
y 2  W1,W2, ,Wm base de m entonces sí llamamos Bmn a la matriz de T respecto a las
bases 1  V1,V2, ,Vn de n y 2  W1,W2, ,Wm de m será:
B  TV1B2 /TV2B2 /. . . . /TVnB2.
La única diferencia con lo realizado en el inciso i es que ahora, como las bases no son las
canónicas, tendremos que determinar las coordenadas de los transformados de la base del dominio,
respecto a la base del codominio. Es decir debemos expresar a cada TV i como combinación lineal
de los Wi
En el ejemplo que estamos resolviendo es:
T : 3 2 /T
x
y
z

x  y  2z
2x  3y
1  V1,V2,V3  1,0,1, 0,1,1, 2,1,0 de 3 y 2  W1,W2  2,1, 1,3 de
2
TV1  1W1  2W2  T
1
0
1
 1
2
1
 2
1
3

1
2
1
 2
1
3

1
2

21  2  1
1  32  2
2 1 1
1 3 2

2 1 1
0 7 5

21  2  1
72  5
De 72  5  2  57
. Sustituyendo en 21  2  1 tenemos:
21  57  1  21  1 
5
7
 1   27
Entonces:
TV1B2 
1
2

 27
5
7
De forma similar
TV2  1W1  2W2  T
0
1
1
 1
2
1
 2
1
3

1
2
1
 2
1
3

3
3

21  2  3
1  32  3
2 1 3
1 3 3

2 1 3
0 7 9

21  2  3
72  9
De 72  9  2   97 Sustituyendo en 21  2  3 tenemos:
21  97
 3  21  3  97  1 
11
7
Entonces:
TV2B2 
1
2

11
7
 97
Y finalmente
TV3  1W1  2W2  T
2
1
0
 1
2
1
 2
1
3

1
2
1
 2
1
3

3
1

21  2  3
1  32  1
2 1 3
1 3 1

2 1 3
0 7 5

21  2  3
72  5
De 72  5  2   57 Sustituyendo en 21  2  3 tenemos:
21  57
 3  21  3  57  1 
16
7
Entonces:
TV3B2 
1
2

16
7
 57
En consecuencia la matriz de T respecto a las bases 1 y 2 es:
B  TV1B2 /TV2B2 /TV3B2 
1 1 1
2 2 2

 27
11
7
16
7
5
7 
9
7 
5
7
.
Ejercicio 4
El ¿Qué? debemos hacer en este ejercicio está relacionado con el concepto de transformación
lineal y sobre todo con la aplicación del teorema fundamental de las transformaciones lineales.
Recordemos que, este teorema asegura la existencia y unicidad de una transformación lineal bajo
ciertas condiciones que son la hipótesis del teorema. Recordemos el teorema.
Dados dos espacios vectoriales , sobre un mismo cuerpo ,V1,V2, ,Vk una base de y
W1,W2, ,Wk  , entonces existe una única transformación lineal
T :  . tal que: TV i  W1 ,i  1,2, ,k
En otras palabras. el teorema fundamental dice que si T :  y se conocen los
transformados de una base de , entonces T existe, es única y es una transformación lineal.
Es decir, este teorema será útil para resolver algún problema donde se deba encontrar o decidir si
existe una transformación lineal que cumple con ciertas condiciones dadas en el problema a resolver.
Solo debemos recordar que el teorema será aplicable cuando podamos asegurar que se conocen los
transformados de una base de un espacio vectorial.
Veamos algunos ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1:
Determina, si existe una transformación lineal T : 2 3 tal que:
T
1
1

1
1
1
y T
2
1

0
1
1
Lo primero que tenemos que ver si el conjunto de vectores 1,1, 2,1 cuyos transformados
se conocen, constituye una base de 2. Efectivamente eso ocurre porque es un conjunto de dos
vectores L. I. ya que no son múltiplos entre sí. En efecto, esto es así, porque sus componentes no son
proporcionales ya que: 12 
1
1
.
En consecuencia, conocemos los transformados de una base de 2, por lo que la hipótesis del
teorema fundamental es verdadera y por lo tanto podemos concluir que existe T : 2 2 que
cumple con los datos, es única y es una transformación lineal. Veamos ahora cómo la determinamos.
Es decir como determinamos su ley de formación.
Para ello solo debemos encontrar la imagen de un vector genérico de 2 Dominio de T
aprovechando los datos del problema. La base de 2 cuyos transformados conocemos, no es la
canónica, por lo tanto debemos primero expresar el vectorgenérico de 2en coordenadas respecto a
esa base dada. Es decir debemos encontrar escalares ,  tales que:
x
y
 
1
1
 
2
1

  2  x
    y
resolviendo por Gauss
1 2 x
1 1 y

1 2 x
0 3 y  x

  2  x
3  y  x
De 3  y  x    y  x
3
. Sustituyendo en   2  x
Entonces:   x  2
y  x
3
   
3x  2y  2x
3
  
x  2y
3
Ahora bien lo único que resta es aplicarle la transformación al vector genérico de 2 y
aprovechar los datos:
x
y
 
1
1
 
2
1
T
x
y
 T 
1
1
 
2
1
Aplicación de T a ambos miembros
T
x
y
 T 
1
1
 T 
2
1
Linealidad de T
T
x
y
  T
1
1
  T
2
1
Homogeneidad de T
T
x
y
 
x  2y
3

1
1
1
 
y  x
3

0
1
1
Hipótesis y sustitución de los
, 
T
x
y

x2y
3
2xy
3
y
Es la transformación buscada.. En efecto verificamos que:
T
1
1

121
3
211
3
1

1
1
1
y T
2
1

221
3
221
3
1

0
1
1
Ejemplo 2:
La misma consigna que la del ejemplo 1 pero ahora además de los datos dados para el ejemplo 1
le agregamos una condición más por ejemplo que T
3
0

1
2
0
En este caso conocemos los transformados de un conjunto de tres vectores de 2 que ya sabemos
es linealmente dependiente por tener más vectores que la dimensión de 2. Para poder aplicar el
teorema fundamental necesitamos conocer los transformados de una base del dominio 2,
necesitamos ver si en el conjunto de tres vectores 1,1, 2,1, 3,0 hay una base de 2. Para
ello podemos aplicar el teorema que dice que las filas no nulas de una matriz escalonada y sus
correspondientes en la matriz original son linealmente independientes. Formamos una matriz cuyas
filas sean los vectores dados y la escalonamos.
1 1
2 1
3 0

1 1
0 3
0 3

1 1
0 3
0 0
Es decir 1,1, 2,1 es linealmente independiente, por lo que constituye una base de
2(sabes decirme por qué), de la que se conocen sus transformados, asi que podemos aplicar el
teorema fundamental. Ya lo hicimos en el ejemplo 1 Para encontrar la ley de T que como vimos es:
T
x
y

x2y
3
2xy
3
y
Pero para hallarla, solo hemos utilizado dos de los datos dados en este problema, asi que esta
solo es una posible solución del problema. Para que sea una solución del mismo, es decir para que
realmente exista una única T lineal que cumpla con todas las condiciones del problema, la T
encontrada deberá cumplir la tercera condición. En este caso que:
T
3
0

1
2
0
Veamos si es así o no, para ello solo basta reemplazar las componentes del vector
3
0
en la
ley de T y ver si nos da como resultado el transformado que se nos proporciona en los datos del
problema. Veamos:
T
3
0

320
3
230
3
0

1
2
0
Se verifica esta tercera condición, en consecuencia podemos concluir que existe una única
transformación lineal T dada por la ley antes hallada tal que cumple con las tres condiciones del
problema dado.
Ejemplo 3
Idem al del ejemplo 1, pero agregandole que T
3
0

2
2
1
Se procede de la misma forma que en el ejemplo. 2. Al verificar la tercera condición
encontramos que:
T
3
0

320
3
230
3
0

1
2
0

2
2
1
En consecuencia, podemos afirmar que no existe una transformación lineal que cumpla con las
condiciones del problema dado ya que solo cumple con dos de las tres condiciones dadas.
Ejercicios 7, 8,10 y 11
El ¿qué? debemos hacer de estos ejercicios está relacionado con los conceptos de autovalores
(valores propios), autovectores (vectores propios), autoespacios (espacios propios) y diagonalización
de una matriz A  Rnn. Para resolverlo no solo debemos recordar la definición de éstos conceptos,
sino también comprenderlos a fin de utilizarlos para justificar el desarrollo de algún problema que
los incluya. Recordemos estos conceptos y tratemos de comprenderlos claramente.
Autovectores y autovalores de una matriz A  nn
Decimos que el escalar   es un autovalor de A si y solo sí, existe un vector U  n, U  
tal que: AU  U. Al vector V se lo denomina autovector de A asociado al autovalor 
La anterior ecuación, es una ecuación matricial en la que tanto  como U son incógnitas.
Escribamos a esta ecuación de forma de que las incógnitas estén en un sólo miembro.
De AU  U  AU  U    AU  IU    A  IU  
Es decir la anterior ecuación (que surge de la definición):
A  IU   1
Interpretemos la misma a los efectos de comprender mejor lo que nos dice:
Al ser A  nn, entonces A  I  nn y U  n
Por lo estudiado en temas anteriores, sabemos que la 1 es equivalente a un sistema de n
ecuaciones lineales con n incógnitas homogéneo cuya matriz de coeficientes es A  I  nn y las
coordenadas del vector U sus incógnitas. Al ser un sistema homogéneo siempre es consistente y
puede tener única solución (la nula) o tener infinitas soluciones. Como por la definición es U  ,
entonces el sistema tiene infinitas soluciones y por lo tanto la dimensión del espacio solución será
mayor que cero. Como la cantidad de incógnitas es n, en el sistema escalonado equivalente habrá m
ecuaciones tal que m  n y en consecuencia el RangoA  I  n ya que RangoA  I es el
número de filas no nulas de la matriz que resulta de escalonar (A  I y a su vez es la cantidad de
ecuaciones del sistema escalonado equivalente. Es decir las filas de (A  I constituyen un conjunto
linealmente dependiente, que se traduce en que una de ellas debe ser combinación lineal del resto, y
ello asegura que se anule el determinante de la matriz de coeficientes. Es decir:
detA  I  0 2
Al ser A  I  nn si calculamos detA  I por ejemplo por desarrollo de Laplace
obtendremos un polinomio de grado n en la variable . A ese polinomio se lo denomina Polinomio
característico de A y se lo denota por p. Es decir:
p  detA  I
Sabemos que si encontramos p  0 estamos encontrando las raíces de ese polinomio. En
consecuencia los autovalores de A (los  i i  1,2, . . . ,n son las raíces del polinomio característico,
de allí que a detA  I  0 se denomina ecuación característica de A.
Resolviendo la 2 obtenemos los autovalores  i i  1,2, . . . ,n. Reemplazando cada uno de los
 i en 1 obtenemos el sistema:A   iIU   cuya solución nos dará los autovectores Ui
asociados al autovalor  i
El conjunto de todos los Ui asociados a cada autovalor  i será:
 i Ui  n, Ui   /AUi   iUi
Este conjunto no será un subespacio vectorial porque no contiene al vector nulo. Se puede
justificar que si le adicionamos el vector nulo, el conjunto resultante es un espacio vectorial. A ese
espacio vectorial así obtenido lo denominamos autoespacio o espacio propio correspondiente al
autovalor  i. Si lo denotamos por E iserá:
 i   i    Ui  n /AUi  Ui
Como todo espacio vectorial tiene una base y si recordamos que una base es un conjunto
generador del espacio podremos expresar:  i  LU1,U2, ,Uk siendo k la máxima cantidad
de vectores linealmente independientes de  i
Veamos algunos ejemplos para mostrar la aplicación de los conceptos que acabamos de recordar:
Ejemplo1: Dadas:
A 
3 1
0 1
B 
3 2 0
2 3 0
0 0 5
1. Encuentra el polinomio característico y la ecuación característica de las mismas
2. Calcula los autovalores, autovectores y autoespacios de las mismas
1. 1. Como recordamos más arriba, el polinomio característico de A es p  detA  I
A  I 
3 1
0 1
 
1 0
0 1

3   1
0 1  
Entonces p  detA  I  det
3   1
0 1  
 3  1  
El polinomio característico de A será:
p  3  1   o bien desarrollando el producto p  2  4  3 que como vemos es
de grado n  2
La ecuación característica de A es: p  0  3  1    0
Cálculo de los autovalores: De acuerdo a lo recordado más arriba, los autovalores son las raíces
del polinomio característico por lo que si resolvemos la ecuación característica obtenemos los
mismos así que resolvemos:
3  1    0  3    0  1    0  1 3  2  1 que son los autovalores de
A
Cálculo de los autovectores asociados:
Según lo recordado más arriba, los autovectores asociados a un autovalor  i constituyen el
conjunto solución del sistema homogéneo A   iIU   así que si resolvemos éste sistema para
cada uno de los autovalores, determinamos sus autovectores asociados.
Para 1  3 reemplazamos en el sistema A  1IU  

3  1 1
0 1  1
x
y

0
0

3  3 1
0 1  3
x
y

0
0
0 1
0 2
x
y

0
0
Tenemos el sistema
y  0
2y  0
 y  0
Como vemos el sistema tiene infinitas soluciones con una variable libre (ojo si no obtienes
infinitas soluciones es porque has cometido un error. O bien has calculado mal el autovalor o
bien hay un error en el escalonamiento. Nunca puedes llegar a única solución, lo que daría un
autovector nulo como el único vector que satisface la definición, que es contrario a la definición
ya que en ella se pide que no lo sea).
Encontrando la solución general del sistema tenemos que: x,y  x, 0  x1,0
Entonces el vector U1  1,0 es un autovector asociado al autovalor 1  3. También
observando la solución general vemos que cualquier múltiplo de U1 con x  0 será también un
autovector asociado al autovalor 1  3 pero será dependiente de U1.
El autoespacio asociado al autovalor 1  3 será 1  LU1 es decir:
1  L1,0 o bien 1  x,y  2/y  0
Se procede de la misma manera par 2  1. Queda como ejercicio, verifiquen que los resultados
obtenidos son:
Un autovector asociado a 2  1 es U2  1,2
El autoespacio asociado al autovalor 2  1 es:
2  L1,2 o bien 2  x,y  2/y  2x
1.2.
El procedimiento es similar salvo que ahora tenemos una matriz de 3  3 que hace un poco más
extenso los cálculos a realizar: Vamos a obviar algunos pasos para no hacer demasiado largo el
desarrollo, puedes completar los pasos faltantes como forma de practicar y comprender lo que se
realiza
El polinomio característico de B es p  detB  I
detB  I 
3   2 0
2 3   0
0 0 5  
Des.Laplace F3 5  
3   2
2 3  
F1F2
 5  
1   1  
2 3  
Homog F1 5  1  
1 1
2 3  
 5  1  5  
Entonces p  5  21  
La ecuación característica de B es detB  I  0 Es decir 5  21    0
Cálculo de los autovalores de B
Resolvemos 5  21    0  1  2  5  3  1
Cálculo de los autovectores de B asociados a cada uno de los autovalores
Para 1  2  5 resolvemos B  1IU   es decir
3  5 2 0
2 3  5 0
0 0 5  5
x
y
z

0
0
0

2 2 0
2 2 0
0 0 0
x
y
z

0
0
0
Resolvemos por Gauss
2 2 0 0
2 2 0 0
0 0 0 0

2 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
El sistema escalonado es:
2x  2y  0  x  y  0  y  x
Este sistema tiene infinitas soluciones con dos variables libres. Encontramos su solución general
tenemos:
x,y, z  x,x, z  x1,1,0  z0,0,1
Entonces los vectores U1  1,1,0 y U2  0,0,1 son dos autovectores linealmente
independientes asociados al autovalor doble 1  2  5
El autoespacio asociado a 1  2  5 será :
1  E2  LU1,U2  L1,1,0, 0,0,1
O bien
1  E2  x,y, z  3/y  x
Para 3  1 procedemos de forma similar. Lo dejo para que lo hagas y verifiques que los
resultados obtenidos son:
Un autovector asociado a 3  1 es U2  1,1,0
El autoespacio asociado al autovalor 3  1 es:
3  LU3  L1,1,0
O bien:
3  x,y, z  3/x  y  z  0
Ejemplo 2:
Decide, justificando tu respuesta, sí las matrices A,B dadas en el ejemplo 1 son o no
diagonalizables. En caso de que tu respuesta sea afirmativa, encuentra la matriz P que las
diagonaliza y encuentra la matriz diagonal equivalente.
Recordemos que por definición una matriz A es diagonalizable si y solo si existe una matriz P
inversible tal que A es semejante a una matriz diagonal D. Es decir P1AP  D
Si recordamos un poco los conceptos teóricos seguro recordaremos los siguientes teoremas.
Teorema 7.15. A  nn es diagonalizable si y solo sí tiene n autovectores linealmente
independientes
Teorema 7.15 Si A  nn es diagonalizable, entonces la matriz P que la diagonaliza tiene como
columnas los autovectores de A
Teorema 7.10: Autovectores asociados a autovalores distintos de una matriz A  nn
constituyen un conjunto linealmente independiente.
Como consecuencia de este último teorema podemos decir que:
Corolario 1: A  nn es diagonalizable si y solo sí todos sus autovalores son distintos
Teorema: Una matriz A  nn es diagonalizable si y solo sí la suma de las dimensiones de sus
autoespacios es n
Como consecuencia de este último teorema podemos decir que:
Corolario 2: Si una matriz tiene algún autovalor de multiplicidad k, A será diagonalizable
si y solo sí el autoespacio asociado a ese autovalor tiene dimensión igual a k.
Veamos cómo aplicamos la definición y alguno de estos teoremas para decidir si las matrices
dadas son o no diagonalizables.
En el caso de la matriz A encontramos que sus autovalores son 1  3 y 2  1 que son distintos
y para los que encontramos respectivamente los autovetores U1  1,0 y U2  1,2. En
consecuencia podemos decir por el Corolario 1, que A es diagonalizable y que la matriz P que la
diagonaliza es:
P  U1/U2 
1 1
0 2
Para encontrar la matriz D semejante a A calculamos P1AP  D
detP  2 ; AdjP 
2 1
0 1
y
P1  1
detA
AdjP  12
2 1
0 1

1 12
0  12
D  P1AP 
1 12
0  12
3 1
0 1
1 1
0 2

3 32
0  12
1 1
0 2

3 0
0 1
D 
3 0
0 1

1 0
0 2
Como podemos observar los elementos de la diagonal son los autovalores de A en el orden en el
que aparecen en la matriz P sus autovectores asociados.
En el caso de la matriz B hallamos que 1  2  5 y 3  1. Como podemos ver sus
autovectores no son todos distintos y que el autovalor 5 tiene multiplicidad k  2 (es raíz doble). Por
el corolario 2 para que B sea diagonalizable la dimensión del autoespacio asociado al autovalor 5
debería ser igual a 2.
El autoespacio asociado a este autovalor hallado en el ejemplo 1 es:
1  2  x,y, z  3/y  x que como sabemos tiene dimensión 2 (número de variables
libres de la solución general de su ecuación). En consecuencia podemos decir que B es
diagonalizable y por el teorema 1 la matriz que la diagonaliza es
P  U1/U2/U3 
1 0 1
1 0 1
0 1 0
Siendo U1 y U2 los autovectores asociados a 1  2  5 y
U3 el autovector asociado a 3  1 ya determinados en el ejemplo 1
Queda como ejercicio verificar que: que D  P1AP.
5 0 0
0 5 0
0 0 1
Ejercicio 9 , 12 y 13
En estos ejercicios ¿qué? debemos hacer. Demostrar algunos teoremas o propiedades. ¿Cómo?
lo hacemos. Bastará con recordar los conceptos de la lógica simbólica, en particular los métodos de
demostración de la verdad de una implicación. Asimismo habrá que recordar los conceptos
involucrados en el teorema a demostrar. Una vez elegido el método a emplear en la demostración,
utilizar el razonamiento deductivo para realizar la demostración. Aquí aparece fuertemente la
necesidad de justificar cada paso del proceso, es decir el ¿por qué? de lo que hacemos y ello nos
lleva a recordar cada uno de los conceptos involucrados en el teorema, como otros conceptos previos
tanto de la asignatura como los adquiridos en asignaturas previas o en el nivel secundario. Este tipo
de ejercicios, son de mucha utilidad, ya que no solo desarrollan el razonamiento deductivo, sino que
sirven como de autoevaluación acerca de los conceptos teóricos que se está aprendiendo como de
aquellos que se supone ya aprendimos previamente. Ya hemos trabajado este tipo de ejercicios en
todos los TP anteriores y sus respectivos tutoriales, lo único nuevo serán los conceptos involucrados
en las demostraciones a realizar, por lo tanto valen para ellos, todas las recomendaciones ya hechas
al respecto en los tutoriales previos. ¡Vamos! no hay que temerle a las demostraciones.
En el ejercicio 9, hay que demostrar algunas propiedades relacionadas con el conceptode
autovalores y autovectores, por lo que solo debemos recordar dichos conceptos y aquellos conceptos
de temas anteriores involucrados en la proposición a demostrar y por supuesto recordar las
recomendaciones generales que hemos hecho a lo largo de los anteriores tutoriales acerca de cómo
encarar una demostración.
En cambio en el ejercicio 13, debemos demostrar una propiedad de las transformaciones lineales
isométricas o isometrías
Veamos algunos ejemplos ilustrativos.
Ejemplo 1
Demostrar que si A  22 es simétrica entonces sus autovalores son reales
Como en la proposición a demostrar aparece un concepto ya estudiado en temas anteriores, lo
primero que debemos responder es ¿Cuando se dice que una matriz es simétrica? Su respuesta nos
permitirá tener más información en la hipótesis.
Recordando la definición de matriz simétrica, podemos decir que A  22 es simétrica si y solo
si A  AT. Debemos recordar también la definición de autovalor de una matriz y las consecuencias
derivadas de esa definición (que hemos analizado al comentar el ejercicio 10)
Demostración.
Sea A matriz simétrica de 22  A 
a11 a12
a12 a22
Los autovalores de A son la solución de la ecuación característica de A que es: detA  I  0
detA  I  0 
a11   a12
a12 a22  
 a11  a22    a122  0
 a11a22  a11  a22  2  a122  0  2  a11  a22  a122  0
Si aplicamos la fórmula cuadrática tenemos:
1,2 
a11  a22  a11  a222  4a122 
2
 1,2 
a11  a22  a11  a222  4a12
2
2
Como a11  a222  4a12
2  0  1,2 
Es decir, si A  22 es simétrica entonces sus los autovalores son números reales. Esta
propiedad se puede generalizar a cualquier matriz simétrica de nn.
Ejemplo 2:
Demostrar que dos matrices semejantes tienen los mismos autovalores
¿Qué? debemos hacer. Probar que dos matrices semejantes tienen los mismos autovalores.
¿Cómo? lo hacemos. Teniendo en cuenta los conceptos involucrados en la proposición a demostrar,
debemos responder las preguntas ¿A qué se denomina autovalor de una matriz? ¿Cómo se
determina los autovalores de una matriz?, ¿Cuando se dice que dos matrices son semejantes?
¿Qué significa que dos matrices tengan los mismos autovalores?. Asimismo como los autovalores
son las raíces de los polinomios característicos, debemos preguntarnos ¿qué significa que dos
polinomios tengan las mismas raíces? Dando respuesta a éstas preguntas te quedará claro cómo
encarar la demostración. ¡Vamos hay que hacerlo!
Ejemplo3
Decide, justificando tu respuesta si la transformación:
T : 2 2 / Tx,y  x,y es o no una isometría.
El ¿qué? debemos hacer en este ejercicio está relacionado con el concepto de isométría. Para
responder el ¿cómo? lo vamos a hacer, será necesario recordar este concepto y algunas de sus
propiedades. Recordémoslo:
Una isometría no es más que una transformación de un espacio en sí mismo que preserva la
norma o medida. En particular vamos a estudiar las transformaciones lineales en n isométricas. En
este caso la norma de un vector está asociada a la longitud del vector, con lo que las
transformaciones isométricas son aquellas que preservan la longitud de los vectores.
Veamos su definición en general:
Sea T : 
Diremos que T es una isometría si y solo si X  TX X 
Tenemos que ver si la T dada, cumple o no la definición: Para el cálculo de las normas
consideramos el producto escalar usual en 2.
X  X,X  x,y, x,y  x2  y2
TX  TX,TX  x,y, x,y  x2  y2  x2  y2  X
Entonces se cumple que X  TXX  2 En consecuencia T es una isometría
Ejemplo 4
Consigna similar a la del ejemplo 3 pero para T : 3 3 definida como:
Tx,y, z  0,y, z
X  X,X  x,y, z, x,y, z  x2  y2  z2
TX  TX,TX  0,y, z, 0,y, z  02  y2  z2  y2  z2
Vemos que x2  y2  z2  y2  z2 solo si x  0
Entonces no se cumple que X  TX X  3 En consecuencia T no es una isometría.
Veamos de justificarlo dando un contraejemplo para hacer más visible lo anterior:
Sea U  1,1,1  U  12  12  12  3
TU  0,1,1  TU  12  12  2  3
En consecuencia no se cumple queX  3, X  TX y por ,lo tanto T no es una
isometría
Ejercicio 14
El ¿Qué? debemos hacer, involucra los conceptos de coordenadas de un vector respecto a una
base y el cambio de coordenadas o cambio de base. Esto ya lo hemos estudiado en anteriores
trabajos prácticos cuando vimos coordenadas de un vector. Aquí solo resta formalizar el concepto de
cambio de base. Sería conveniente repasar el tutorial 4 y los ejemplos dados allí.
Ejemplo 1:
Dada la ecuación en 2 : 2x2  2xy  2y2  3  0 y la base   1
2
, 1
2
,  1
2
, 1
2
 de 2
Expresar dicha ecuación en coordenadas de la base
Podemos expresar matricialmente esta ecuación quedando:
x,y
2 1
1 2
x
y
 3  0 1
Si llamamos X 
x
y
 XT  x,y y A 
2 1
1 2
la 1 queda expresada como:
XTAX  3  0 2
Llamando X 
s
t
a las cordenadas respecto a la base de un vector genérico de 2. La
ecuación de cambio de base será:
X  PX  XT  X TPT 3
Reemplazando las ecuaciones 3 en la 2 tenemos:
X TPTAPX  3  0 4
La 4 será la ecuación expresada en coordenadas de la base .
Podemos hacer notar que es una base ortonormal de 2 por lo que la matriz P es ortogonal y
ello implica que sus columnas son vectores ortogonales unitarios por lo que P1  PT y en
consecuencia PTAP  D (matriz diagonal)
Esto ocurre porque A es simétrica y en consecuencia tiene autovalores reales y autovectores
ortogonales, de allí que es diagonalizable ortogonalmente. Por lo tanto normalizando sus
autovectores la matriz que la diagonaliza es ortogonal. y PTAP  D siendo D la matriz diagonal que
tiene como elementos de su diagonal los autovalores de A asociados a los autovectores con los que
construimos P
En consecuencia la 4 queda:
X TDX  3  0
Que realizando los cálculos nos dará:
s2  3t2  3  0
En esta ecuación podemos apreciar que ha desaparecido el término cuadrático cruzado (término
rectangular). Volveremos sobre esto en el siguiente trabajo práctico cuando trabajemos con las
cónicas y las cuádricas.
Ejercicio 15
¿Qué? debemos hacer. Decidir la verdad o falsedad de una proposición dada. ¿Cómo? lo
hacemos. Bastará con recordar los conceptos de lógica en general y en particular el concepto de
valor de verdad de una proposición, como también los conceptos que se encuentran involucrados en
la proposición cuyo valor de verdad debemos decidir. Ya hemos trabajado mucho acerca de este
tema en todos los anteriores tutoriales, así que me imagino que el asunto de utilizar la lógica ya lo
tenemos bien incorporado ¿verdad?. Por lo tanto, solo necesitaremos recordar los conceptos
involucrados en la proposición que estemos analizando.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 8 que se presenta como otra de
las actividades no presenciales del Tema 7 que tiene como objetivo que te sirva para autoevaluar tu
aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico. Asimismo te sugiero que aunque
en el cuestionario no te lo exige trata de justificar las respuestas dadas para todas las preguntas, pero
sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de tus respuestas dadas para
las preguntas cuya justificación se pide.
Ing. Augusto A. Estrada V.