Tutorial 7 Ecuaciones de la recta en 2 y

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
Tutorial Nº 7
Ecuaciones de la recta en 2 y 3.Ecuaciones del plano. Problemas entre rectas y planos.
Angulos, distancias. Noción de Variedad lineal
Introducción: En el presente Trabajo Práctico vamos a trabajar con la geometría analítica
euclidiana tanto en el plano 2 como en el espacio tridimensional 3. Vamos a trabajar con las
operaciones de suma y producto de un escalar por un vector usuales y el producto interno o escalar
usual.
Abordaremos distintas situaciones problemáticas que nos llevarán a determinar las distintas
ecuaciones de la recta en 2 y de la recta y el plano en 3. Estudiaremos las posiciones relativas
entre dos rectas, una recta y un plano y entre dos planos y resolveremos problemas de distancias
entre dos puntos, entre dos rectas, de una recta a un plano y entre dos planos, como también el
ángulo entre rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos. También veremos someramente las
variedades lineales.
Como recomendación general para resolver cualquier situación problemática de geometría
analítica, es que, ante todo, no debemos olvidar que se trata de un problema geométrico. Por lo tanto
lo primero que hay que hacer es interpretarlo geométricamente. En segundo término, hay que
identificar la incógnita a determinar y recordar cuáles son las condiciones necesarias y suficientes
para determinarla. Por último identificar en los datos esas condiciones necesarias y suficientes para
proceder al desarrollo analítico que permita encontrar la incógnita del problema.
Así, si la situación problemática a resolver implica la determinación de una recta, debemos
recordar que para determinar una recta es suficiente con tener dados:
1 Dos puntos distintos o bien
2 Un punto y un vector paralelo a la recta.
Ambas son equivalentes, es decir, se puede pasar de una a la otra mediante operaciones
algebraicas.
En el caso de que debamos determinar un plano, debemos recordar que es suficiente tener dados:
1 Tres puntos no alineados, o bien
2 Un punto y dos vectores linealmente independientes paralelos al plano o bien
3 Un punto y un vector normal al plano.
Las tres son equivalentes.
En consecuencia cuando entre los datos no podamos encontrar las condiciones suficientes para
determinar la incógnita, será porque el problema es indeterminado, es decir tiene infinitas
soluciones. Por ejemplo si nos piden determinar la ecuación de una recta que pasa por un punto. Los
datos del problema no son suficientes para que el mismo sea determinado ya que no cubren ninguna
de las dos situaciones suficientes para la determinación de una recta. Hay una variable que es libre
(el otro punto o el vector paralelo), por lo tanto habrá infinitas rectas que pasen por el punto dado,
todas las que se puede determinar eligiendo otro punto distinto del ya dado o bien eligiendo un
vector paralelo a la recta.
En el caso de que el problema sea determinar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos
pero no sabemos nada acerca de la alineación de esos puntos. Si estos no están alineados listo
tenemos dada la 1 la que nos asegura que podemos determinar el plano. Si los puntos están
alineados, no podemos usar la 1 y por ser esta equivalente a la 2 y a la 3 no tenemos dada ninguna
de las tres posibilidades, en consecuencia nuevamente tenemos un problema de infinitas soluciones.
Esto es así porque como los puntos están alineados, están en una misma recta, y ya sabemos que por
una recta pasan infinitos planos. Si queremos uno de esos planos bastará con elegir un punto que no
pertenezca a la recta.
Ejercicios 1,2 y 6
El ¿qué? debemos hacer en estos ejercicios está relacionado con encontrar distintas ecuaciones
de rectas o planos. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará con recordar lo que dijimos más arriba en cuanto a
las condiciones necesarias y suficientes para determinar una recta o un plano y comprobar si los
datos del problema proporcionan alguna de las condiciones mencionadas para que el problema tenga
única solución. Si esto ocurre podremos encontrar la ecuación de la recta o del plano según sea la
consigna. En el caso de que los datos no sean suficientes, estaremos en condiciones de afirmar que el
problema no tiene una única solución ya que habrá una variable libre, por lo que tendrá infinitas
soluciones. Podremos encontrar la ecuación de una familia de rectas o planos según sea el problema
y adoptando un valor para la variable libre (o parámetro) encontraremos una solución particular del
problema.
Ejercicios 1:
¿Qué? debemos hacer. Recordar las condiciones necesarias y suficientes para determinar una
recta o un plano a los efectos de poder aplicarlos para resolver problemas donde se nos requiera
determinar ecuaciones de rectas y/o planos. Es lo que hicimos más arriba.
Ejercicio 2 y 6
¿Qué? debemos hacer. Determinar (distintas) ecuaciones de una recta en 2 o en 3 o de un
plano. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar cuáles son las condiciones mínimas (arriba
mencionadas) que permiten determinar la ecuación de una recta o un plano y verificar si los datos
del problema son suficientes para aplicarlos y resolver el problema. Veamos algunos ejemplos
ilustrativos.
Ejemplo 1: Determina, de ser posible, las ecuaciones vectorial, paramétricas, cartesianas
simétricas, general implícita, explícita, segmentaria y normal de la recta que pasa por el punto
P  1,2 y es paralela al vector V  3,2
¿Qué? debemos hacer. Encontrar los distintos tipos de ecuaciones de una recta en 2. ¿Cómo?
lo hacemos. Encontrando la ecuación vectorial de la misma, a partir de ella, podemos mediante
desarrollo algebraico determinar las otras- de ser posible- ya que las ecuaciones cartesianas
simétricas solo existen para rectas no paralelas a los ejes cartesianos en el caso del plano y no
paralelas a los planos coordenados en el caso del espacio 3. En el caso de problemas en el plano,
debemos además, interpretar gráficamente.
Analizando los datos, vemos que ellos son suficientes ya que estamos en la situación 2
nombrada más arriba (un punto y un vector paralelo). Así que solo debemos recordar, en este caso,
cómo se determina la ecuación vectorial de la recta.
La ecuación vectorial de la recta que pasa por un punto P y es paralela a un vector V viene dada
por.
X  P  tV.
Si llamamos X  x,y, y reemplazamos los datos tenemos:
x,y  1,2  t3,2 que es la ecuación vectorial de la recta
 x,y  1  3t, 2  2t por definición de producto de un escalar por un vector y suma de
vectores, usuales en 2
Aplicando definición de igualdad de vectores tenemos:
x  1  3t
y  2  2t
que son las ecuaciones paramétricas de la recta

x  1
3
 t
y  2
2
 t
Por existencia de inverso de la suma y del producto en y definición de
neutro de la suma en
Aplicando la propiedad transitiva tenemos que:
x  1
3

y  2
2
es la ecuación cartesiana simétrica de la recta.
De esta última ecuación tenemos que: 2x  1  3y  2  2x  2  3y  6 de donde tenemos:
2x  3y  4  0 que es la ecuación general implícita de la recta
De la ecuación implícita 2x  3y  4  0 tenemos 2x  3y  4. Si la dividimos por 4 tenemos:
2
4 x 
3
4 y  1 que se puede escribir como:
x
2 
y
4
 1 que es la ecuación segmentaria de la recta
De la ecuación general 2x  3y  4 tenemos 3y  2x  4 de la que despejando y obtenemos:
y  2
3
x  4
3
que es la ecuación general explícita de la recta
Por último si consideramos la ecuación general de la recta: 2x  3y  4  0 , sabemos que el
vector N  2,3 es un vector normal a la recta, ya que es un vector ortogonal al vector director de
la recta V  3,2 porque se cumple N,V  0 en consecuencia la ecuación normal de la recta será:
1
N
N, X  P  0 siendo P  1,2 (un punto de la recta)
1
22  32
2,3, x,y  1,2  0  1
13
2,3, x  1,y  2  0 
 1
13
2x  1  3y  2 0  1
13
2x  2  3y  6  0 de la que obtenemos:
2
13
x  3
13
y  4
13
 0 que es la ecuación normal de la recta
Ejemplo 2: Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por P  1,0,1 y es paralela a
la recta r : x  1
2

2y  4
2  z
Tal como dijimos más arriba, lo primero que debemos hacer es realizar una interpretación
geométrica del problema. Tenemos como datos un punto P y una recta r. La incógnita es una recta r1
tal que P  r1 y r1r
Tenemos r por lo tanto podemos conocer un punto Q  r y su vector director V paralelo a r. Así
que el esquema que interpreta geométricamente la situación problemática será:
Recordemos que para determinar una recta es suficiente tener dados un punto y un vector
paralelo (director de la recta) ya tenemos dado el punto P, necesitamos el vector paralelo. De la
interpretación geométrica del problema surge claramente que dicho vector no es otro que el vector V
director de la recta r. Esto se justifica porque como Vr y r1r , por la propiedad transitiva del
paralelilemo entre rectas será: Vr1. En consecuencia la ecuación vectorial de la recta r1 es:
X  P  tV
Como la ecuación de r es la simétrica, necesitamos pasar a su ecuación vectorial para poder
determinar quien es V. Esto se consigue escribiendo convenientemente la ecuación de r de la forma
x  p1
v1 
y  p2
v2 
z  p3
v3 en su forma vectorial , es decir de la forma: X  Q  tV
Hagamos esto para la recta r dato del problema:
Entonces r : x  1
2

2y  4
2  z  r :
x  1
2

2y  2
2 
z  0
1

 r : x  1
2

y  2
1
 z  0
1
 r : x,y, z  1,2,0  t2,1,1
Es decir V  2,1,1 y por lo tanto la ecuación vectorial de r1 será: X  P  tV. Esto es:
r1 : x,y, z  1,0,1  t2,1,1
Ejemplo 3: Dado el punto P  1,0,1 y los vectores U  1,2,1 V  1,1,2. Determine las
ecuaciones: vectorial, y general implícita del plano que pasa por el punto P y es paralelo a los
vectores U y V.
¿Qué? debemos hacer. Determinar distintas ecuaciones de un plano. ¿Cómo? lo hacemos. Solo
debemos tener presente lo que ya dijimos acerca de cómo encarar un problema de geometría
analítica. En consecuencia debemos recordar que:
1) Hay que realizar una interpretación geométrica del problema, identificando los datos y las
incógnitas (cuidado no es lo mismo que graficar los datos)
2) Recordar cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para determinar un plano (como
dijimos anteriormente, hay más de una, pero todas son equivalentes)
3) Identificar entre los datos esas condiciones y con ellas determinar su ecuación.
Recordemos que para que haya un plano en estas condiciones los vectores U y V deben ser
linealmente independientes. Así que es lo primero que debemos verificar: En este momento de
cursado de la asignatura tenemos distintas maneras de ver si se cumple o no que U y V sean
linealmente independientes. Por ejemplo mostrando que no son múltiplos, lo que equivale a pedir
que sus componentes respectivas no sean proporcionales, es decir que alguna de las igualdades
u1
v1 
u2
v2 
u3
v3 (condición para que sean linealmente dependientes) no se cumpla.
En el ejemplo, podemos asegurar que U y V son linealmente independientes ya que u1v1 
u2
v2 ya
que 1
1
 2
1
Así que ya tenemos en los datos las condiciones suficientes para asegurar la existencia de un
plano (un punto y dos vectores linealmente independientes paralelos al plano)
En consecuencia la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P y es paralelo a U y V es:
X  P  tU  sV
x,y, z  1,0,1  t1,2,1  s1,1,2 es la ecuación vectorial del plano buscado.
Para encontrar su ecuación general, recordemos que ella viene dada por ax  by  cz  d  0 en
la que N  a,b,c es un vector normal (perpendicular) al plano.
En consecuencia NY siendo Y cualquier vector paralelo al plano (o también contenido en el
plano). Como U,V son vectores paralelos al plano será NU  NV ¿Te recuerda algo?..Lo más
probable que estés recordando el concepto de producto vectorial trabajado en el anterior T.P.
Dados U,V  3 y linealmente independientes, entonces el vector U  V es un vector
perpendicular tanto a U como a V. En consecuencia N  U  V
Pero NY siendo Y cualquier vector paralelo al plano (o también contenido en el plano). Ahora
bien cualquier vector Y paralelo al plano (contenido en el plano) será aquel que queda determinado
por dos puntos del plano, uno fijo y el otro genérico. Tendremos que Y  X  P siendo P un punto
del plano y X un punto genérico del plano (cualquier punto del plano).
Si interpretamos geométricamente esta situación tendremos:
Como NY  N,Y  0  N,X  P  0  N,X  N,P  0 
 a,b,c, x,y, z  N,P  0  ax  by  cz  N,P  0
Si hacemos d  N,P y reemplazamos en la anterior expresión tenemos:
ax  by  cz  d  0 . Ecuación general del plano que pasa por el punto P y es paralelo a los
vectores U y V, linealmente independientes
Por lo tanto el desarrollo de la ecuación N,X  P  0, permite encontrar la ecuación general
del plano buscado.
Pero como dijimos anteriormente N  U  V  U  V,X  P  0 
 X  P,U  V  0  X  P,U,V  0.
Es decir el producto mixto de los vectores (X  P,U,V es nulo. Veamos para el ejemplo:
N  U  V 
I J K
1 2 1
1 1 2
 5,3,1. Calculamos N,X  P  0
5,3,1, x,y, z  1,0,1  0  5,3,1, x  1,y, z  1  0 
5x  1  3y  z  1  0  5x  5  3y  z  1  0  5x  3y  z  6  0
En consecuencia 5x  3y  z  6  0 es la ecuación general del plano que pasa por el punto
P  1,0,1 y es paralelo a los vectores U  1,2,1 y V  1,1,2.
Observemos que podemos haber llegado al mismo resultado calculando d  N,P y aplicando
el concepto de que los coeficientes de x,y, z en la ecuación general no son más que las coordenadas
del vector normal como lo justificamos anteriormente.
d  N,P  5,3,1, 1,0,1  5  0  1  6 que reemplazado junto con las
coordenadas del vector normal en ax  by  cz  d  0 dá:
5x  3y  z  6  0
También si calculamos X  P,U,V  0 llegamos al mismo resultado:
X  P,U,V 
x  1 y z  1
1 2 1
1 1 2
 0  x  1
2 1
1 2
 y
1 1
1 2
 z  1
1 2
1 1
 0
 x  15  y3  z  11  0  5x  5  3y  z  1  0  5x  3y  z  6  0
Como podemos ver, no hay una única forma de resolver el problema. Cuando tengamos que
resolverlo podemos elegir cualquiera de ellas para hacerlo, aquella que nos sea más amigable.
Ejemplo 4
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto Q  1,2,1 y es perpendicular a la recta
r : X  0,1,1  t1,0,2
Realizamos una interpretación geométrica del problema: Tenemos dados un punto Q y una recta
r. Tenemos que encontrar un plano  tal que Q   y r.
Ilustramos geométricamente el problema de la mejor forma posible. Es decir aquella en la que se
pueda visualizar las condiciones geométricas de los datos y la incógnita.
Analicemos ahora las condiciones necesarias y suficientes para determinar la ecuación de un
plano. Tenemos un punto Q, en consecuencia necesitamos o bien dos vectores U,V linealmente
independientes para poder encontrar su ecuación vectorial o bien un vector normal al plano, para
poder determinar su ecuación general.
Otro dato que tenemos es una recta r. Si tenemos una recta, tenemos un punto P de r y un vector
V paralelo a r. Como r Vr entonces debe ser V. Por lo tanto será VN es decir N  kV en
particular podemos tomar N  V y listo ya podemos encontrar la ecuación general del plano buscado
resolviendo N,X  Q  0 como lo hicimos en el ejemplo 1
Ejemplo 5
Determina, de ser posible, la ecuación vectorial del plano  que pasa por el punto P  1,2,0,
es paralelo al vector U  4,1,2 y que contenga a la recta r : x  1
2

4y  4
2
 1  z
Los datos que tenemos son: un punto P  , un vector U paralelo al plano  buscado y una recta
r incluida en el plano . Así que debemos analizar dos casos posibles:
1.- Si El punto P  r
2.-Si El punto P  r
En el primer caso nos quedan como datos un vector U que debe ser paralelo al plano y una recta
r que debe estar incluida en el plano, con lo cual es paralela al plano. Como tenemos una recta r
tenemos, un punto Q  r y un vector V paralelo a r, de modo que su ecuación vectorial es:
r : X  Q  tV
Si los vectores U y V son linealmente independientes, listo ya tenemos resuelto el problema, ya
que tendríamos dados un punto cualquier punto de la recta y dos vectores linealmente
independientes, de forma que podemos determinar la ecuación del plano como lo hicimos en el
ejemplo 1.
Si Si los vectores U y V son linealmente dependientes, entonces nos quedaría como datos un
punto (cualquiera de la recta r y un vector paralelo U con lo cual no tenemos datos suficientes para
determinar una plano ya que por una recta pasan infinitos planos. Es decir el problema es
indeterminado con infinitas soluciones.
En el segundo caso como P  r y r   entonces podemos asegurar que el problema tiene una
única solución, es decir habrá un único plano que pase por r y P  r.
Veamos para los datos del problema cual de los dos casos se presenta.
Si reemplazamos las cordenadas de P  1,2,0 en la ecuacion de r tenemos:
x  1
2

4y  4
2
 1  z  1  1
2
 4  2  4
2
 1  0  0  6  1 igualdades que son
falsas. En consecuencia P  r y por lo tanto podemos asegurar que hay un único plano  que pasa
por P , es paralelo al vector U y contiene a la recta r. Para encontrarlo (encontrar su ecuación)
debemos encontrar entre los datos, los suficientes para escribir su ecuación. Necesitamos un punto y
dos vectores U y V linealmente independientes. tenemos el punto P, el vector U y la recta r cuyo
vector director (paralelo) llamamos V 8más arriba)
Veamos si U y V son linealmente independientes. Como la ecuación de la recta no es la
vectorial, debemos expresarla de esa forma para poder conocer su vector director V. Hagámoslo.
de
x  1
2

4y  4
2
 1  z  x  1
2

4y  1
2
 z  1  x  1
2

y  1
1
2

z  1
1 
t  x  1
2
t 
y  1
1
2
t 
z  1
1
ecuación vectorial de r
Vemos que V  2, 1
2
,1 y como U  4,1,2  22, 1
2
,1  U y V son linealmente
dependientes. entonces no podemos tomar al V de la recta como el otro vector paralelo al plano. así
que debemos encontrar otro que sea linealmente independiente con U y paralelo al plano. Como
P   y Q  r y r   entonces Q   y por lo tanto el vector Q  P es un vector contenido en el
plano  y por lo tanto paralelo al plano . en consecuencia la ecuación vectorial del plano sera:
 : X  P  tU  sQ  P.
  : x,y, z  1,2,0  t4,1,2  s1,1,1  1,2,0. Es decir:
 : x,y, z  1,2,0  t4,1,2  s0,3,1
Ejercicios: 3, 4 y 5
El ¿Qué? debemos hacer en estos ejercicios, está relacionado con los conceptos de intersección
y/o posición relativa entre dos rectas, una recta y un plano, y entre dos planos. ¿Cómo? lo hacemos.
Debemos recordar los conceptos de intersección y posición relativa.
Para resolver problemas de intersección entre dos conjuntos solo hay que recordar la definición
de intersección. Ella nos lleva a encontrar los puntos comunes entre los conjuntos lo que a su vez nos
lleva a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales (el formado por las ecuaciones de
los conjuntos a intersectar), problema ya tratado en todos los anteriores trabajos prácticos y por lo
tanto muy familiar ¿verdad?
Lo único que hay que tener en cuenta, es que no siempre las ecuaciones de los conjuntos a
intersectar, estarán dadas en forma cartesiana para poder resolver el sistema mediante el algoritmo
de Gauss. Así que tendremos que ver cómo están dadas las ecuaciones y buscar el método más
adecuado para resolver el sistema (igualación sustitución, etc.).
En cuanto a los problemas de posiciones relativas, depende de los conjuntos con que estemos
tratando. Tiene que ver con determinar cuál de las distintas situaciones de posición relativa
corresponde a los conjuntos dados en el problema. El estudio de posición relativa incluye el de
intersección. En algunos de los problemas, para determinar posición relativa, basta con estudiar su
intersección como es el caso de la posición relativa entre dos planos o entre una recta y un plano o
entre dos rectas en 2. No ocurre esto cuando se resuelve posición relativa entre dos rectas en 3
Averiguar la posición relativa entre dos rectas en 3, es determinar si las rectas son secantes,
paralelas o alabeadas. Recordemos cuál es la definición de cada una de ellas:
a) Se dice que dos rectas son secantes si tienen un único punto en común (se dice también que se
cortan en un punto)
b) Se dice que dos rectas son paralelas si son iguales (coincidentes) o si son coplanares con
intersección vacía
c) Se dice que dos rectas son alabeadas si no son coplanares (se dice también que se cruzan pero
no se cortan)
Si analizamos estas definiciones y algunas propiedades de cada una de ellas podemos ver que
para averiguar la posición relativa entre dos rectas es necesario y suficiente determinar dos cosas:
1. Sus direcciones: Si tienen igual o distinta dirección
2. Su intersección: Si tienen o no puntos comunes
La primera se puede determinar analizando la independencia o dependencia lineal de sus
vectores directores. Si sus vectores directores son linealmente independientes, las rectas tendrán
distinta dirección por lo que o son secantes o son alabeadas. Si sus vectores directores son
Linealmente dependientes, las rectas tendrán igual dirección por lo que o son iguales (paralelas
coincidentes) o son paralelas distintas.
Una vez determinado si tienen igual o distinta dirección, determinando si tienen o no
intersección se puede definir claramente cuál es su posición relativa. En resumen
Dadas dos rectas r1 : X  P1  tU1 y r2 : X  P2  tU2
1. Si U1,U2 es Linealmente Independiente

r1  r2  Q el sistema tiene solución única, r1 y r2 son secantes
r1  r2   el sistema no tiene solución, r1 y r2 son alabeadas
O bien:
1. Si U1,U2 es linealmente dependiente

Si r1  r2  r1  r2 (el sistema tiene infinitas soluciones), r1 y r2 son paralelas coincidentes
Si r1  r2   (el sistema no tiene solución), r1y r2 son paralelas distintas
En el caso de que el problema sea averiguar la posición relativa entre una recta y un plano, habrá
que averiguar si: la recta y el plano son secantes, o la recta y el plano son paralelos. Recordemos
estas definiciones:
a) Decimos que una recta y un plano son secantes si tienen un único punto en común
(también se dice que se cortan en un punto)
b) Decimos que una recta y un plano son paralelos si la recta está contenida en el plano o
bien su intersección es vacía
Si analizamos estas definiciones, podemos ver que para determinar la posición relativa entre una
recta y un plano bastará saber que ocurre con su intersección. Si la intersección tiene un único punto
(el sistema tiene única solución) la recta y el plano son secantes. Si la intersección tiene infinitos
puntos (el sistema tiene infinitas soluciones) la recta es paralela al plano y está incluida en él y si la
intersección es vacía (el sistema no tiene solución) la recta es paralela al plano pero no está incluida
en el. En resumen
Dada una recta r : X  P  tU y un plano  : X  P  tU  sV
1. Si r    Q (sistema con solución única), Entonces r y  son secantes
2. Si r    r (sistema con infinitas soluciones), Entonces r  r  
3. Si r     (sistema inconsistente), Entonces r  r no está incluida en 
Por último si el problema es determinar la posición relativa entre dos planos, será distinguir si
los planos son secantes, o paralelos. Recordemos estas definiciones:
a) Diremos que dos planos son secantes si su intersección es una recta r (se dice que se
cortan en r
b) Diremos que dos planos son paralelos si o son iguales o su intersección es vacía
Si analizamos estas definiciones podemos ver que para averiguar la posición relativa entre dos
planos, bastacon determinar su intersección. Si el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones
con una variable libre los planos son secantes, si tiene infinitas soluciones pero con dos variables
libres los planos son paralelos coincidentes y si la intersección es vacía, los planos son paralelos
distintos.
En resumen .
Dados los planos 1 : a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 : a2x  b2y  c2z  d2  0
1. Si 1  2  r (infinitas soluciones con una variable libre), entonces 1 y 2 son secantes
2. Si 1  2  1  2 (infinitas soluciones con dos variable libres), entonces 1 2  1  2
3. Si 1  2   (sistema inconsistente), entonces 1 2  1  2
Veamos algunos ejemplos que ilustren lo antes expuesto:
Ejemplo 1
Determina la posición relativa entre las rectas:
r1 : X  1,1,1  t1,1,2 y r2 : X  2,1,1  t1,1,2
Siguiendo el procedimiento más arriba indicado:
1) Veamos si las rectas tienen igual o distintas direcciones.
V1,V2  1,1,2, 1,1,2 es linealmente independiente, ya que los vectores no son
múltiplos entre sí, porque sus componentes no son proporcionales: 1
2
 1
1
. En consecuencia las
rectas tienen distinta dirección, por lo que o son secantes o son alabeadas.
2) Determinemos la intersección entre las rectas. Para ello debemos resolver el sistema formado
por las ecuaciones de ambas rectas.
r1 : X  1,1,1  t1,1,2
r2 : X  2,1,1  t1,1,2
Resolvemos por igualación: Aquí es necesario tener en cuenta que el parámetro que interviene en
la ecuación de ambas rectas no tiene por qué ser el mismo. Por ello hay que distinguirlo con nombres
distintos por ejemplo t1 para la recta r1 y t2 para la recta r2. Resolvemos el sistema por igualación.
1,1,1  t11,1,2
 2,1,1  t21,1,2  t11,1,2  t21,1,2  2,1,1  1,1,1 
t1  t2  1
t1  t2  0
2t1  2t2  2
Resolviendo por Gauss tenemos
1 1 1
1 1 0
2 2 2

1 1 1
0 2 1
0 0 0

t1  t2  1
2t2  1
El sistema escalonado tiene 2I  2Ec  0 V.L. por lo tanto tiene solución única y en
consecuencia r1 y r2 son secantes.
Si quisiéramos encontrar el punto intersección (en el caso de que nos lo solicitaren) no tenemos
más que encontrar los valores de t1 y t2 y reemplazarlos en las ecuaciones de r1 y r2 respectivamente
para hallar el único punto común a ambas rectas.
Ejemplo 2
Determina la posición relativa entre:
La recta r : X  1,2,1  t0,1,1 y el plano  : 3x  2y  2z  3  0
De acuerdo a lo que expresamos anteriormente, en este caso es suficiente determinar la
intersección de la recta y el plano. Es decir resolver el sistema de ecuaciones formado por las
ecuaciones de la recta y el plano. Como el plano está en su ecuación general es más adecuado
hacerlo por sustitución. Para ello de la ecuación de la recta despejamos los valores de x,y, z y los
sustituimos en la ecuación del plano. Es decir:
De x,y, z  1,2,1  t0,1,1 
x  1
y  2  t
z  1  t
. Sustituyendo en 3x  2y  2z  3  0
tenemos:
3  1  22  t  21  t  3  0  3  4  2t  2  2t  3  0  2  0 igualdad siempre
falsa
En consecuencia el sistema no tiene solución (es inconsistente) por lo que r     y en este
caso r con r no incluida en .
Ejemplo 3: Determina la intersección entre los planos: 1 : x  y  2z  2 y
2 : 2x  y  3z  1
Según lo visto más arriba, para encontrar la intersección entre los planos, sólo debemos resolver
el sistema formado por las ecuaciones de ambos planos. En consecuencia Si X  1  2, entonces
X es solución del sistema:
x  y  2z  2
2x  y  3z  1
. Resolviendo por Gauss tenemos:
1 1 2 2
2 1 3 1

1 1 2 2
0 3 1 3

x  y  2z  2
3y  z  3
El sistema escalonado tiene 3I  2ec  1V.L. , por lo que tiene infinitas soluciones con una
variable libre y en consecuencia los planos son secantes (su intersección es una recta). Como la
intersección de los planos es la solución del sistema, encontremos la solución general.
De 3y  z  3  z  3  3y. Sustituyendo en x  y  2z  2 tenemos:
x  y  23  3y  2  x  y  6  6y  2  x  5y  4  x  4  5y
En consecuencia la solución general es: x,y, z  4  5y,y,3  3y
Por lo dicho anteriormente (al interpretar la solución del sistema) la intersección de los planos es
una recta. Así que podemos expresar su ecuación escribiéndola en forma vectorial. Bastará para ello
descomponer la solución general utilizando la suma y producto de un escalar por un vector. En
efecto
x,y, z  4  5y,y,3  3y  4,0,3  5y,y, 3y por definición de suma de vectores
x,y, z  4  5y,y,3  3y  4,0,3  y5,1,3 por definición de producto de un escalar
por un vector
Si hacemos: X  x,y, z; P  4,0,3; t  y y V  5,1,3 1  2  r
r : X  P  tV Es la ecuación vectorial de r en este caso será r : X  4,0,3  t5,1,3
Ejemplo 4: Dados: La recta r: X  1,0,0  t1,2,k y el plano  : x  y  kz  k
Determina, si existen, los valores del parámetro k tal que:
i r y  sean secantes ii r   iii r  r no esta incluida en 
¿Qué? debemos hacer. Determinar la posición relativa entre una recta y un plano. ¿Cómo? lo
hacemos. Bastará con recordar que para resolver la posición relativa entre una recta y un plano, basta
con resolver su intersección. La pregunta es ¿cómo determinamos la intersección entre una recta
y un plano?. Responderla requiere recordar la definición de intersección de dos conjuntos ya que
tanto la recta como el plano son subconjuntos de puntos del espacio 3. La intersección de dos
conjuntos es el conjunto en el que están los puntos comunes a ambos conjuntos. Así que determinar
la intersección de una recta con un plano, es determinar los puntos comunes a ambos. Ellos serán los
puntos del espacio que satisfacen tanto la ecuación de la recta como la del plano. Así que la
intersección es el conjunto solución del sistema: Sabemos que si el sistema es consistente con única
solución el plano y la recta son secantes, si es consistente con infinitas soluciones la recta está
contenida en el plano y si es inconsistente la recta es paralela al plano pero no está incluida en él.
Veamos que ocurre en el ejemplo.
X  1,0,0  t1,2,k
x  y  kz  k
1
2
Para resolver el sistema utilizaremos el método de sustitución:
De 1 tenemos que:
x  1  t
y  2t
z  tk
3 Sustituyendo 3 en 2 tenemos:
1  t  2t  tk2  k  tk2  t  k  1  k2  1t  k  1
Esta última ecuación, es una ecuación con parámetro k en la incógnita t.
Si k2  1  0 es decir si k  1, entonces la ecuación tiene solución única. Es decir si k  1,
entonces r y  seran secantes
Si k  1 reemplazando en k2  1t  k  1 tenemos: 0  t  0 que es verdadera t. En
consecuencia si k  1 entonces r  
Si k  1 reemplazando en k2  1t  k  1 tenemos: 0  t  2 que es falsa t. En
consecuencia si k  1 entonces r  r no esta incluida en 
Ejercicio 7
El ¿Qué? debemos hacer se relaciona con el concepto de distancia. ¿Cómo? lo hacemos. Solo
debemos recordar las fórmulas que permiten calcular la distancia, según el problema que se esté
resolviendo: distancia de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos rectas, etc. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Determina la distancia del punto A  1,1,3 a la recta r :
x  y  z  1
2x  3z  0
Recordemos que en 3 la distancia de un punto Q a una recta r : X  P  tV está dada por:
dQ,r 
Q  P  V
V
En el ejemplo es Q  A por lo que nos queda dQ,r  dA,r 
A  P  V
V
Necesitamos encontrar el vector director de r, para ello debemos encontrar la ecuación vectorial
de la recta r. Como r es la intersección de dos planos, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones
lineales r :
x  y  z  1
2x  3z  0
1 1 1 1
2 0 3 0

1 1 1 1
0 2 1 2

x  y  z  1
2y  z  2
En el sistema escalonado, de la 2da ecuación z  2  2y, reemplazando en la 1ra ecuación
tenemos: x  y  2  2y  1  x  3  3y
La solución general es: x,y, z  3  3y,y, 2  2y  3,0,2  y3,1,2 
 x,y,z  3,0,2  z3,1,2 que es la ecuación vectorial de la recta r de la forma
X  P  tV donde P  3,0,2 y V  3,1,2
A  P  1,1,3  3,0,2  4,1,1
A  P  V 
I J K
4 1 1
3 1 2
 1,11,7  A  PxV  12  112  72  171  3 19
V  32  12  22  14  dA,r 
A  P  V
V

3 19
14
Ejemplo 2
Determina la distancia del punto Q  1,2,0 al plano  : 2x  y  z  2  0
Recordemos que la distancia de un punto Q a un plano  viene dada por:
dQ, 
|Q  P,N|
N
En la que P es un punto del plano y N es un vector normal al plano.
También recordemos que si Q   entonces dQ,  0. En consecuencia lo primero que hay que
verificar es si el punto dado es o no un punto del plano. Veamos que ocurre en el ejemplo
Reemplazando las coordenadas de Q en la ecuación de  tenemos: 21  2  0  2  2  0,
en consecuencia Q   por lo que tiene sentido calcular la distancia.
En el ejemplo N  2,1,1 Q  1,2,0 y tomamos P  0,1,1   ya que verifica su
ecuación: 2. 0  1  1  2  2  2  0
Q  P  1,2,0  0,1,1  1,1,1
Q  P,N  1,1,1, 2,1,1  2  1  1  2  |Q  P,N|  2
V  32  12  22  14  dQ,  2
14
 2
14
14

14
7
 dQ, 
14
7
Ejemplo 3
Determina la distancia entre:
La recta r : X  1,1,1  t0,1,1 y el plano  : X  2,1,0  t1,0,1  s1,1,2
Aquí es importante recordar que sólo tendrá sentido calcular distancia entre una recta y un plano
cuando ellos sean paralelos, ya que en el caso de que la recta y el plano sean secantes su distancia es
nula.
¿Cómo determinamos si una recta y un plano son paralelos?
Podríamos analizar las condiciones dadas cuando mencionamos cómo determinar la posición
relativa entre una recta y un plano, es decir estudiar su intersección. Pero veamos de que otra forma
podemos hacerlo, nos preguntamos ¿cómo podemos determinar si un plano y una recta son
paralelos sin determinar su intersección?. Habrá que hacer una interpretación geométrica del
problema y ella nos permitirá visualizar la respuesta a esta pregunta. Procedamos entonces a realizar
tal interpretación geométrica.
Tenemos una recta y un plano que queremos sean paralelos. Dada una recta r, entonces tenemos
un punto P y un vector paralelo V y dado un plano  entonces tenemos un punto Q del plano y un
vector N normal al plano
Pr
Q
N
V
Q-P
d

Si observamos la figura (interpretación geométrica del problema) podemos intuir la respuesta
(NV.
En efecto, si llamamos  al plano y r a la recta, como N y queremos que r, entonces deberá
ser Nr. Pero rV, entonces deberá ser NV. En conclusión: r  N.
Hemos realizado la interpretación considerando r pero r no contenida en  .En el caso
particular de que r este contenida en , la anterior condición también se cumple ya que también es
r. Para distinguir estas dos situaciones solo debemos ver qué pasa con la intersección entre r y .
Es decir:
N. r      r y r no está incluida en 
N. r    r  r y r está incluida en .
En el último caso la distancia es cero, el cálculo de la distancia con la formula deducida para
recta paralela al plano y no incluida en él, dará como resultado el valor cero.
Al ser la recta paralela al plano, calcular la distancia entre la recta y el plano, se reduce a
calcular la distancia de un punto de la recta, al plano. Esto es así porque al ser la recta paralela al
plano, como la distancia se mide sobre la recta perpendicular al plano por un punto de la recta, y al
ser la recta paralela al plano, las perpendiculares al plano serán paralelas entre si, por lo que la
distancia siempre será constante (no dependerá del punto que se tome en la recta)
Así que:
dr,  dP, 
|P  Q,N|
N
Siendo: P un punto de la recta, Q un punto del plano y N vector normal al plano.
Veamos que ocurre con la recta y el plano del ejemplo. r : X  1,1,1  t0,1,1 y el plano
 : X  2,1,0  t1,0,1  s1,1,2. V  0,1,1 y N  U  W con U  1,0,1 y
W  1,1,2
N  U  W 
I J K
1 0 1
1 1 2
 1,1,1
N,V  1,1,1, 0,1,1  0  1  1  2  0  r    dr,  0
Ejemplo 4
Determina la distancia entre las rectas r1 : X  1,1,1  t0,1,1 y r2 : X  2,1,0  t1,1,2
Aquí se hace necesario, determinar si son rectas que tienen igual dirección (paralelas) o distintas
direcciones (alabeadas o secantes) ya que el cálculo de la distancia requerirá encontrar la
perpendicular a ambas y ese cálculo es distinto para ambas situaciones.
Para determinar si las rectas tienen igual o distinta dirección, bastará averiguar cómo son sus
vectores directores. Si son linealmente dependientes, las rectas tienen igual dirección (serán
paralelas) y si son linealmente independientes, las rectas tendrán distinta dirección (serán alabeadas
o secantes).
En el primero de los casos (rectas paralelas) la distancia se reduce al cálculo de la distancia de un
punto a una recta (de un punto de una de ellas a la otra). Esto es así porque al ser paralelas, como la
distancia se mide sobre la recta perpendicular, la perpendicular a una de ellas por un punto es
también perpendicular a la otra. Asimismo cualquier par de perpendiculares a las rectas dadas serán
paralelas entre sí por lo que la distancia será siempre constante (no depende del punto).
En el segundo caso se reduce al cálculo de la distancia de un punto a un plano (un punto de una
de las rectas, al plano que pasa por la otra y es paralelo a las direcciones de ambas rectas). Esto es así
porque la distancia se toma en la dirección perpendicular a ambas rectas, en consecuencia, el
producto vectorial de los vectores directores de las rectas, nos da la dirección perpendicular a ambas
y éste vector será normal al plano que pasando por un punto de una de las rectas sea paralelo a los
vectores directores de las rectas.
Así que determinar la distancia entre las rectas es equivalente a encontrar la distancia de un
punto de una de las rectas, al plano que pasa por un punto de la otra recta y tiene como vector normal
el vector producto vectorial de los vectores directores de las rectas.
Veamos en el ejemplo cual de las dos situaciones tenemos:
El vector director de r1 es V1  0,1,1 y el de r2 es V2  1,1,2
V1, V2 son linealmente independientes, ya que sus componentes no son proporcionales porque:
0
1
 1
1
En consecuencia las rectas tienen distintas direcciones y la distancia entre ellas viene dada por:
dr1,r2 
|P1  P2,N|
N
Siendo: P1  r1  P2  r2  N  V1  V2
Para el ejemplo: P1  1,1,1 , P2  2,1,0,V1  0,1,1 y V2  1,1,2
N  V1  V2 
I J K
0 1 1
1 1 2
 1,1,1  N  12  12  12  3
P1  P2  1,1,1  2,1,0  1,0,1
P1  P2,N  1,0,1, 1,1,1  1  0  1  2
dr1,r2 
|P1  P2,N|
N
 |2|
3
 2
3
Ejercicio 8:
El ¿Qué? debemos hacer en estos ejercicios está relacionado con el concepto de ángulo entre
rectas, entre dos planos o entre una recta y un plano. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos responder
las preguntas ¿Cómo se determina el ángulo entre dos rectas? ¿Entre dos planos? ¿Entre una
recta y un plano?. Para responderlas bastará recordar la definición de ángulo dada para cada caso.
Ejemplo 1
Determina el ángulo entre las rectas r1 : X  1,1,1  t0,1,1 y r2 : X  2,1,0  t2,1,1
Recordemos que el ángulo entre dos rectas es el ángulo entre los vectores directores de esas
rectas, y ya sabemos cómo calcular el ángulo entre dos vectores ¿verdad?. Así para el ejemplo
tenemos que el vector director de r1 es V1  0,1,1 y el de r2 es V2  2,1,1
En consecuencia solo debemos calcular cos 
V1,V2 
V1V2
   arcocos
V1,V2 
V1V2

Queda como ejercicio realizar los cálculos con los datos del ejemplo.
Ejemplo 2
Determina el ángulo entre la recta r : X  1,0,1  t1,1,0 y el plano  : x  2y  z  4  0
Aquí es necesario realizar una interpretación geométrica de la situación considerando las
distintas posiciones relativas entre recta y plano.
1) Si N,V  0, la recta es paralela al plano,entonces el ángulo entre recta y plano es 0º ó
180º
2) Si N,V  0, la recta es secante con el plano, entonces el ángulo  entre recta y plano es
tal que 0    90º
Interpretemos geométricamente esta última situación para ver cómo lo calculamos:
Tenemos como datos el vector director de la recta (V) y el vector normal al plano (N). Por lo
tanto podemos calcular el ángulo  entre éstos dos vectores y a partir de él calcular el ángulo  entre
la recta y el plano.
Los datos pueden presentar dos situaciones: 1)   90º (fig1 ) ó 2)   90º (fig 2)
En el primer caso: 1) será     90º    90º  
En el segundo caso: 2) será 90º          90º
Para el ejemplo V  1,1,0 y N  1,2,1
N,V  1,2,1, 1,1,0  1  2  0  1  0  r  
N  12  22  12  6 y V  12  12  02  2
cos 
N,V
NV
 1
6 2
   arcocos 1
6 2
    107
Como cos  0    90º con lo cual     90º  107  90  17
Ejemplo 3
Consigna similar a la del ejemplo 2 pero cambiando el vector director de la recta por su opuesto.
La consigna será:
Determina el ángulo entre la recta r : X  1,0,1  t1,1,0 y el plano  :
x  2y  z  4  0. En este caso:
V  1,1,0 y N  1,2,1
N,V  1,2,1, 1 , 1,0  1  2  0  1  0  r  
N  12  22  12  6 y V  12  12  02  2
cos 
N,V
NV
 1
6 2
   arcocos 1
6 2
  73
Como cos  0    90º con lo cual   90º    90  73  17
Ejercicios 9
¿Qué? debemos hacer. Determinar el punto de una recta o un plano, más próximo a un punto
dado. ¿´Cómo? lo hacemos. Bastará recordar que el punto de un conjunto más proximo a un punto
dado será aquel que se encuentre a menor distancia y sabemos que la menor distancia.se encuentra
sobre la recta perpendicular al conjunto por el punto dado.
Ejemplo 1
Determina el punto de la recta r : X  1,0,1  t1,1,3 más próximo al punto P  2,1,1
¿Qué? debemos hacer. Encontrar un punto de una recta r dada más próximo a un punto P dado,
es decir, se está buscando, el punto de la recta r que se encuentra a la menor distancia del punto P.
Este punto deberá estar en la intersección de la recta con la recta perpendicular a ella por el punto
dado. En el espacio dada una recta r y un punto P hay un único plano  que pasa por el punto P y es
perpendicular a la recta r. Dicho plano es secante con la recta en un punto Q por el que pasan las
infinitas rectas perpendiculares a r y todas esas perpendiculares están contenidas en el plano . En
particular la recta que pasando por el punto P es perpendicular a r. El punto Q será el punto de r más
próximo al punto P.
Debemos distinguir dos casos:
1. P  r será P  Q con lo que r    P. En consecuencia P es el punto de r más próximo a P
2. P  r será P  Q con lo que r    Q. En consecuencia Q es el punto de r más próximo a
P
Veamos que ocurre en el ejemplo:
P  2,1,1 si reemplazamos en la ecuación de r tenemos:
2,1,1  1,0,1  t1,1,3  2,1,1  1,0,1  t1,1,3 
t  1
t  1
3t  0

t  1
t  1
t  0
Como podemos, ver el sistema no tiene solución, por lo que P  2,1,1  r
Encontremos el plano  que pasando por P sea perpendicular a r. Como r y Vr, será V,
siendo V el vector director de la recta. Así que este vector puede tomarse como un vector normal al
plano y por lo tanto, la ecuación general de  será:
V,X  P  0  1,1,3, x,y, z  2,1,1  0  1,1,3, x  2,y  1, z  1  0 
x  2  y  1  3z  1  0   : x  y  3z  6  0
Calculamos la intersección de r y .
De r : X  1,0,1  t1,1,3 
x  1  t
y  t
z  1  3t
. Sustituyendo en x  y  3z  6  0 tenemos:
1  t  t  31  3t  6  0  1  t  t  3  9t  6  0  11t  2  0  t  2
11
Reemplazando este valor en las ecuaciones paramétricas de la recta tenemos:
x  1  2
11
y  2
11
z  1  3 2
11


x  13
11
y  2
11
z  17
11
 r    13
11
, 2
11
, 17
11
Por lo tanto el punto de la recta r más próximo al punto P  2,1,1 es el punto:
Q  13
11
, 2
11
, 17
11
Ejercicio 10
¿Qué? debemos que hacer. Encontrar el conjunto de puntos de un plano que cumplen una
determinada condición geométrica, en este caso que estén a igual distancia de dos puntos dados de
ese plano. ¿Cómo? lo hacemos. Será necesario interpretar la condición "igual distancia" y recordar
la definición de distancia aplicada a un punto genérico de ese plano dado. Recordemos que un plano
tiene infinitos puntos y que ellos son las infinitas soluciones de su ecuación. En consecuencia un
punto cualquiera de ese plano es la solución general de esa ecuación.. Esto ya es superconocido por
nosotros ¿verdad?. En consecuencia si llamamos X a la solución general de la ecuación del plano
dado, bastara hacer cumplir la condición de que X esté a igual distancia de P y Q. Es decir bastará
con resolver la ecuación dX,P  dX,Q.
Ejercicio 11
El ¿Qué? hay que hacer en estos ejercicios está relacionado con el concepto de variedad lineal.
Para responder el ¿cómo? lo hacemos, habrá que responder las preguntas. ¿Qué es una variedad
lineal?. ¿Cómo se la determina? y para ello solo hay que recordar la definición de este concepto y/o
algunas propiedades.
Recordamos la definición de variedad lineal:
Dados los puntos P1,P2, ,Pn de n.y  n. Decimos que es una variedad lineal si y solo
si X   i i  1,2, ,n tal que X 
i1
n
 iP i 
i1
n
 i  1
En este caso decimos que es la variedad lineal generada (determinada) por P1,P2, ,Pn
Como podemos ver. la variedad lineal generada (determinada) por un conjunto de puntos
P1,P2, ,Pn de n no es más que el conjunto solución del sistema:
i1
n
 i  1
X 
i1
n
 iP i
Ejemplo 1: Determina la variedad lineal generada por los puntos P  1,2,1 y Q  2,1,3
¿Qué? debemos hacer. Dados dos puntos, encontrar la variedad lineal que ellos generan.
¿Cómo? lo hacemos. Debemos responder las preguntas que hemos hecho más arriba: ¿Qué es una
variedad lineal?. ¿Cómo se la determina?
Si aplicamos la definición de variedad lineal, a los puntos dados del ejemplo tomando P1  P y
P2  Q , tenemos que la variedad lineal generada por ellos es el conjunto solución del sistema:
i1
2
 i  1
X 
i1
2
 iP i

1  2  1
1P1  2P2  X

1  2  1
11,2,1  22,1,3  x,y, z

1  2  1
1  22  x
21  2  y
1  32  z

1 1 1
1 2 x
2 1 y
1 3 z

1 1 1
0 1 x  1
0 3 y  2
0 2 z  1

1 1 1
0 1 x  1
0 0 3x  y  5
0 0 2x  z  1
El sistema escalonado equivalente es:
1  2  1
2  x  1
02  3x  y  5
02  2x  z  1
El sistema será consistente solo si 3x  y  5  0  2x  z  1  0
Es decir la variedad lineal generada por los dos puntos dados es:
x,y, z  3/3x  y  5  0  2x  z  1  0
En consecuencia la variedad lineal generada por los dos puntos dados es el conjunto solución del
sistema:
3x  y  5  0
2x  z  1  0
o bien
3x  y  5
2x  z  1
Si recordamos que cada una de las ecuaciones del último sistema representa un plano, tendremos
que la variedad lineal es el conjunto intersección de dos planos. ¿De que conjunto se trata?.
Ejemplo 2: Demuestra que la recta que pasa por los puntos P  1,2,1 y Q  2,3,1 es una
variedad lineal
¿Qué? debemos hacer. Demostrar que la recta que pasa por los puntos P y Q es una variedad
lineal de 3. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará mostrar que la recta determinada por esos puntos cumple
con la definición de variedad lineal. Es decir bastará mostrar que para cualquier punto X de la recta
se cumple
I i1
2
 i  1
X  1P  2Q
Si escribimos la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q habremos
encontrado la expresión de un punto genérico de esa recta. Por lo que vimos más arriba, la ecuación
vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q es: X  P  tQ  P.Así que:
X  P  tQ  tP  X  1  tP  tQ
Esta última ecuación muestra que X es combinación lineal de P y Q con coeficientes 1  1  t y
2  t y de talforma que: 1  2  1  t  t  1
Por lo tanto hemos probado que el conjunto de puntos X de la recta que pasa por los puntos P y
Q es el conjunto solución del sistema I. Así que hemos probado que la recta que pasa por los
puntos P y Q dados es una variedad lineal de 3. Pregunta: ¿Será que cualquier recta que pasa
por dos puntos distintos de 3es una variedad lineal de 3?
Ejercicio 12
¿Qué? debemos hacer. Decidir la verdad o falsedad de una proposición dada. ¿Cómo? lo
hacemos. Bastará con recordar los conceptos de lógica en general y en particular el concepto de
valor de verdad de una proposición, como también los conceptos que se encuentran involucrados en
la proposición cuyo valor de verdad debemos decidir. Ya hemos trabajado mucho acerca de este
tema en todos los anteriores tutoriales, así que me imagino que lo de la lógica ya lo tenemos bien
incorporado ¿verdad?. Por lo tanto, necesitaremos recordar los conceptos involucrados en la
proposición que estemos analizando. Veamos unos ejemplos.
Ejempo 1
Decide, justificando tu respuesta, la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
i) Hay un único plano que pasa por un punto P y que contiene a una recta r dada.
ii) Si la intersección de dos rectas es no vacía entonces las rectas son secantes.
i) Analicemos la proposición dada, para decidir su valor de verdad. Si escribimos de otra manera
la proposición, esta nos dice que dados un punto y una recta, entonces hay un único plano que los
contiene. Recordemos cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para determinar un plano.
Esto nos lleva a recordar que para determinar un plano necesitamos un punto y dos vectores
linealmente independientes paralelos al plano. Veamos si los datos de la hipótesis proporcionan
siempre estas condiciones necesarias y suficientes independientemente de los valores que puedan
tomar el punto P y la recta r. Es decir independientemente de la posición relativa del punto P
respecto a la recta r. Vemos que si el punto P  r
, solo tendremos como dato una recta, y sabemos que por una recta pasan infinitos planos. Así
que la proposición en este caso será falsa, pues la hipótesis es verdadera y la tesis es falsa, por lo
tanto la proposición dada es falsa ya que no se cumple para cualquier P y cualquier r dados.
ii) Analicemos nuevamente la proposición dada. Es una implicación cuya hipótesis es que la
intersección de dos rectas es no vacía y cuya conclusión es que las rectas son secantes. Recordemos
que la intersección de dos rectas es el conjunto de puntos comunes a ambas rectas y como es no
vacía, las rectas pueden tener un único punto en común o todos sus puntos comunes. LISTO,
podemos decir que la proposición es falsa ya que en el segundo caso, cuando las rectas tienen todos
sus puntos comunes, seran coincidentes y por lo tanto no son secantes, así que tendremos un caso en
el que la hipótesis es verdadera pero la tesis es falsa, con lo cual la proposición es falsa.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 7 que se presenta como otra de
las actividades no presenciales del Tema 6, que tiene como objetivo que te sirva para autoevaluar tu
aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico. Asimismo te sugiero que aunque
en el cuestionario no te lo exige trata de justificar las respuestas dadas para todas las preguntas, pero
sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de tus respuestas dadas para
las preguntas cuya justificación se pide.
Ing. Augusto A. Estrada V.