problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (599)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Por la unicidad demostrada en el primer apartado se deduce que g = f .
4. Por ser g automorfismo, conserva la dimensiones de los subespacios en
consecuencia transforma planos en planos. La unicidad de cada plano es
consecuencia inmediata de la definición de aplicación.
14.33. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
En R3 con el producto escalar usual 〈 , 〉 y siendo B = {e1, e2, e3} la base
canónica, se considera el endomorfismo T y la forma cuadrática f que cum-
plen las condiciones:
i) ∀x∀y ∈ R3 〈T (x), y〉 = 〈x, T (y)〉 .
ii) T (e1) ∈ L[e1 − e3].
iii) T (e2) ∈ L[e2 + 2e3].
iv) T (e3) = −9e1 + 8e2 − 11e3.
v) ∀x ∈ R3 f(x) = 〈T (x), x〉 .
1. Hallar la matriz de T respecto a B. Estudiar si es un isomorfismo. Estudiar
si es un isomorfismo isométrico.
2. Estudiar si T es diagonalizable. Hallar la suma, el producto y los signos
de los valores propios.
3. Obtener la matriz de f respecto a B, y una expresión polinómica de
f(x1, x2, x3). Reducir esta expresión a suma de cuadrados.
4. Estudiar que figura geométrica es la curva C de ecuaciones
x3 = 1, f(x1, x2, 1) = 0.
Hallar una ecuación no paramétrica, respecto de B del cono de vértice
(0, 0, 0) y directriz C.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. De T (e1) ∈ L[e1 − e3] deducimos que T (e1) = λe1 − λe3, y de
T (e2) ∈ L[e2 + 2e3] que T (e2) = µe2 + 2µe3. Si A es la matriz pedida:
T (e1) = λe1 − λe3
T (e2) = µe2 + 2µe3
T (e3) = −9e1 + 8e2 − 11e3
⇒ A =
 λ 0 −90 µ 8
−λ 2µ −11
 .
La condición i) indica que T es un endomorfismo simétrico. Como la base
canónica B es ortonormal con respecto del producto escalar usual, la matriz
	 Producto escalar
	 Endomorfismo, forma cuadrática y cono