problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (596)

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14.32 Automorfismo en un espacio eucĺıdeo
3. Desarrollando por los elementos de la primera columna obtenemos
|M(α)− λI| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 + α− λ 0 1− α 0
0 −1 + α− λ 0 1− α
α 0 −1− λ 0
0 α 0 −1− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1 + α− λ)(−1− λ)
∣∣∣∣−1 + α− λ 1− αα −1− λ
∣∣∣∣
= α(1−α)
∣∣∣∣−1 + α− λ 1− αα −1− λ
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1 + α− λ 1− αα −1− λ
∣∣∣∣2 = |A(α)−λI|2.
Es decir, la matriz A(α) y el endomorfismo Tα tienen los mismos valores
propios para cualquiera que sea α ∈ R.
4. Denotemos
P =
[
x1 x2
x3 x4
]
, Q =
[
y1 y2
y3 y4
]
.
La expresión del producto escalar es
〈P,Q〉 = 〈
[
x1 x2
x3 x4
]
,
[
y1 y2
y3 y4
]
〉 = tr
[
x1 x3
x2 x4
] [
y1 y2
y3 y4
]
= x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4.
Dado que X = (x1, x2, x3, x4)
t, Y = (y1, y2, y3, y4)
t son las coordenadas de
P y Q respectivamente en la base B, la expresión del producto escalar en
esta base es
〈P,Q〉 = XtIY,
lo cual implica que la base B es ortonormal. La matriz del endomorfismo
traspuesto T tα es por tanto M(α)
t y el endomorfismo Tα es simétrico si y
sólo si M(α) es simétrica. Esto ocurre cuando α = 1/2.
14.32. Automorfismo en un espacio eucĺıdeo
Sea E espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión n y H ⊂ E subespacio.
1. Probar que existe un único automorfismo f en E cumpliendo{
f(x) = x ∀x ∈ H
f(x) = −x ∀x ∈ H⊥
Probar también que f−1 = f .
2. Calcular dicho automorfismo si E = R3 siendo H el subespacio generado
	 Producto escalar
	 Automorfismo en un espacio euclídeo