problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (597)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
por el vector (−2, 0, 1) y calcular la imagen mediante dicho automorfismo
del subespacio
F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + 2z = 0}.
(Se considera el producto escalar usual).
3. Sea R3 el espacio tridimensional, H una recta pasando por el origen y la
simetŕıa g respecto de la recta H. Probar que de identificar puntos y vectores
de R3, g es el automorfismo del que se habla en el primer apartado.
4. Deducir que el simétrico de un plano respecto de una recta es a su vez un
plano y que este es único.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Veamos que f es único. En efecto, como E = H ⊕H⊥, todo
x ∈ E se puede expresar de manera única en la forma x = x1 + x2 con
x1 ∈ H, x2 ∈ H⊥. Entonces
f(x) = f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) = x1 − x2.
Concluimos que si el automorfismo f existe, entonces está uńıvocamente
determinado. Veamos ahora que la aplicación f : E → E definida median-
te f(x) = x1 − x2 es efectivamente un automorfismo en E que satisface
f(x) = x para todo x ∈ H y f(x) = −x para todo x ∈ H⊥.
(a) f es lineal. Sean λ, µ ∈ R y sean x, y ∈ E tales que x = x1 + x2 con
x1 ∈ H,x2 ∈ H⊥, y = y1 + y2 con y1 ∈ H, y2 ∈ H⊥. Entonces
λx+ µy = λ(x1 + x2) + µ(y1 + y2) = (λx1 + µy1) + (λx2 + µy2).
en donde λx1 + µy1 ∈ H y λx2 + µy2 ∈ H⊥. Tenemos
f(λx+ µy) = (λx1 + µy1)− (λx2 + µy2)
= λ(x1 − x2) + µ(y1 − y2)
= λf(x) + µf(y)
es decir, f es lineal.
(b) f es inyectiva. Si x ∈ ker f entonces f(x) = x1 − x2 = 0 es decir,
x1 = x2 lo cual implica que x1 y x2 pertenecen a H ∩H⊥ = {0}. Por tanto
x1 = x2 = 0 y en consecuencia x = 0. Hemos demostrado que ker f = {0} o
equivalentemente que f es inyectiva.
(c) f es sobreyectiva. Por el teorema de las dimensiones para aplicaciones
lineales deducimos que dim Im f = dimE es decir, Im f , por tanto f es