421505245-Guia-Para-El-Ets-de-Algebra-Lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo taman˜o invertibles. Demostrar que adj(AB) = adj(B)adj(A).
2. Sea V un espacio vectorial y sean W1 y W2 dos subespacios de V . Demostrar que W1∩W2 tambien es un subespacio de V .
3. Determine si el siguiente conjunto de vectores es una base de M2,2.
.
4. Encuentre una base y la dimensi´on del espacio nulo de la matriz
 .
5. Sean B1 = {(1,1,1),(5,11,12),(−2,3,4)} y B2 = {(1 − 1,1),(3,−2,−2),(−2,2,−3)} dos bases de R3. Encontrar las matrices de coordenadas de los vectores respecto a la base
B2, si [ 1]B1 = ,[ 2]B1 = ,  −366   54 
.
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1. Si A una matriz cuadrada n × n invertible, demuestre que |adj(adj(A))| = |A|(n−1)2.
2. Sea V un espacio vectorial y sean W1 y W2 dos subespacios de V . Demostrar que W = W1 ⊕ W2 = {w~ ∈ V |w~ = w~1 + w~2conw~1 ∈ W1yw~2 ∈ W2} tambi´en es un subespacio.
3. Determine si el siguiente conjunto de vectores es una base de M2,2.
.
4. Encuentre una base y la dimensi´on del espacio nulo de la matriz
 .
5. Sean B1 = {(1,1,1),(5,11,12),(−2,3,4)} y B2 = {(1 − 1,1),(3,−2,−2),(−2,2,−3)} dos bases de R3. Decodifique el mensaje enviado v´ıa las matrices de coordenadas de los
vectores respecto a la base B ,
 , .
Evaluaci´on	1
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ALGEBRA LINEAL
29 de abril de 2019 Prof. Perla Rebeca S´anchez Vargas
Nombre: 
• Resuelva de manera clara y detallada sin omitir procedimiento los siguientes problemas. No esta permitido el uso del celular.
1. (2pts) Determine si los siguientes vectores forman una base de R3. Justifique su respuesta.
 1   −1   4 
 2 ,  1 ,  −1 
	3	−1	1
2. (2pts) Para la siguiente transformaci´on lineal encuentre AT, nuT, imT, y sus respectivas dimensiones.
T : P3 −→ P3
Tdp(x)e = p00(x) + p(0)
3. (2pts) Construya una base ortonormal para el subespacio vectorial dado.
H = {(x,y,z,w) ∈R4 : x − y + 7z − w = 0 y 2x − 3y + 8z + w = 0}
Es decir el conjunto de las soluciones del sistema de ecuaciones.
 −1 
4. (2pts) En R3 suponga que (x)B1 =  0  , donde B1 es la base can´onica . Escriba x en t´erminos de 1
la base obteniendo la matriz de transici´on.
5. (1pts) Pruebe que el espacio generado por los vectores {v1,v2,...,vn} es un subespacio vectorial.
6. (1pts) Demuestre que el conjunto de nu´meros reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones
	x + y = xy,	αx = xα
TERCER EXAMEN PARCIAL
ALGEBRA LINEAL
30 de mayo de 2019
Nombre: 
• Resuelva de manera clara y detallada sin omitir procedimiento los siguientes problemas.
No esta permitido el uso del celular.
No esta permitido el uso de calculadora
1. (3pts) Determine si la siguiente matriz es diagonalizable. De ser as´ı, diagonalice la matriz A.
2. (3pts)Sea B una matriz invertible de nxn. Demuestre que T : Mmn −→ Mmn definida por T(A) = AB es un isomorfismo
3. (1pts)Escriba si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a. Eigenvectores correspondientes al mismo eigenvalor son siempre linealmente dependientes
b. Una matriz A es diagonalizable si y solo si la multiplicadad algebraica de cada eigenvalor es igual a la dimensi´on del espacio Eλ
4. (3pts)Demuestre que si A y B son matrices semejantes de nxn, entonces A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, y por tanto los mismos valores caracter´ısticos.
TERCER EXAMEN PARCIAL
ALGEBRA LINEAL
30 de mayo de 2019
Nombre: 
• Resuelva de manera clara y detallada sin omitir procedimiento los siguientes problemas.
No esta permitido el uso del celular.
No esta permitido el uso de calculadora
1. (3pts) Determine si la siguiente matriz es diagonalizable. De ser as´ı, diagonalice la matriz A.
2. (3pts) Sea B una matriz invertible de nxn. Demuestre que T : Mmn −→ Mmn definida por T(A) = AB es un isomorfismo
3. (1pts)Escriba si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a. Eigenvectores correspondientes al mismo eigenvalor son siempre linealmente dependientes
b. Una matriz A es diagonalizable si y solo si la multiplicadad algebraica de cada eigenvalor es igual a la dimensi´on del espacio Eλ
4. (3pts) Demuestre que si A y B son matrices semejantes de nxn, entonces A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, y por tanto los mismos valores caracter´ısticos.
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO 
PRIMER EXAMEN DE ÁLGEBRA LINEAL 
 
 
NOMBRE:__________________________________________________________ GRUPO:___________ 
 
Instrucciones: 
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el resultado con tinta. No se permite el uso de formulario ni calculadora. Valor de cada uno de los problemas 2 puntos. 
 
1. Una cafetería tiene 56 mesas, A mesas con 4 asientos cada una, B mesas con 8 asientos cada una y C mesas con 10 asientos cada una. La capacidad de asientos de la cafetería es de 364. Durante una tarde se ocuparon ½ de las A mesas, ¼ de la B mesas y 1/10 de las C mesas para un total de 19 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo tiene la cafetería? ¿Cuántas mesas de cada tipo se utilizaron ese día? 
a) Plantea el sistema de ecuaciones 
b) Escribe el sistema en forma matricial 
c) Encuentra la solución utilizando la inversa de la matriz. 
 
2. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 
kxyz10 xkyz10
xykz10
 	 	 	 
Qué valor debe tomar el parámetro k para que el sistema: 
a) Tenga solución única 
b) Tenga un conjunto infinito de soluciones 
c) No tenga solución 
 
3. El centro de Ciudad Gótica se compone de calles de un solo sentido, y se ha medido el flujo de tránsito en cada intersección. En el área de la ciudad que aparece en la figura 2, las cifras representan el número promedio de vehículos por minuto que entran y salen de los puntos de intersección A, B, C. y D durante las horas de trabajo. 
	10
 
	 
10
	
	f1 
 
	20 
	
	5
 
	15
 
	f2 
	A
	f4 
 
	f3 
	B
	15
 
	
	 
10
	D
	
	15 
	C
	
a) Establece y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para hallar los flujos posibles f1, f2 , f3 y f4. 
b) Si el tránsito es regulado en CD de manera que f4 = 10 vehículos por minuto, ¿Cuáles serán los flujos promedio en las otras calles? 
c) ¿Cuáles son los posibles flujos mínimo y máximo en cada calle? 
d) ¿Cómo cambiaría la solución si todas las direcciones fueran invertidas? 
 
	 	Figura 2
4. Si A=diag(a1, a2,…, an) y B= diag(b1, b2,…, bn) demuestra que |AB|=|A||B| 
 
5. Encuentra el determinante de la siguiente matriz 
 
	2 1 0	4 1
		
3 1 1 2 0 
A3 2 2 5 1
		
	0 0	4 1 4
	3 2	1 1 1
 
 
Prof. Judith Margarita Tirado Lule 	 	marzo 2019 
Instrucciones: 
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el resultado con tinta. No se permite el uso de formulario ni calculadora. Valor de cada uno de los problemas 2.5 puntos 
 
1. Sean S = v v v1, 2 , 3 y T = w w w1,	2, 3 dos bases del espacio vectorial 3, donde w1 = (0, 1, 1), w2 = (1, 0, 0) y w3 = (1, 1,0). Si la matriz de cambio de la base T a la base S esta dada por: 
 
		
	 0	1	0
		
	PT S  1	 1	0
 2 2   1 1 
			1
	 2	2	 Cuáles son los vectores de la base S. 
 
 
2. S  1,2,1 , 0,1,1 , 	 2,2,1 y T   1,1,0 , 0,1,0 , 0,1, 	 	1 bases para 3 
 2
		
si vS  2  
 0 
a) Encuentra TTS y TST 
b) Usando a) encuentra vT 
c) ¿Quién es v? 
 
 
3. Considera el siguiente sistema homogéneo: 
x1 x2  2x4  0  2x1  2x2 x3 5x4  0
 
x1 x2 x3  3x4  0
4x1  4x2 x3  9x4  0
 
Determina: 
a) Una base para el espacio solución del sistema 
b) Una base para el espacio columna generado por la matriz de coeficientes. 
c) La nulidad y el rango de la matrizde coeficientes 
 
 
4. Constr 
 
NOMBRE:__________________________________________ GRUPO:___________ 
 
 
 
Instrucciones: 
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el resultado con tinta. No se permite el uso de formulario. 
 
 
1. Considera la siguiente transformación lineal T : P1 P2 definida como: 
T(p(x)) x.p(x)p(0) 
a) Determina el kernel, la imagen, el rango y la nulidad de la transformación. 
b) ¿Es T un isomorfismo? justifícalo 
c) Encuentra la representación matricial de la transformación respecto a las siguientes bases: B1 x1,x1 y B2 x2 1,x1,x1. 
[ ( )]T u B2 Au[ ]B1 para el vector u=3x-2 
d) Verifica la relación 
 
 
Valor 5 puntos 
 
 
 
2. a) Encuentra la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz 
0 3 3
			-1	, donde D es una matriz 
 B3 0 3 y verifica que Q BQ D
3 3 0
diagonal cuyas componentes diagonales son los valores propios de B. 
 
 
b) Para la matriz B del problema anterior utiliza la diagonalización para calcular B5 
 
 
Valor 5 puntos 
 
 
 	 	Prof. Judith Margarita Tirado Lule 
 
Segundo examen de Algebra Lineal´
NombredelEstudiante	Grupo
1. (2 puntos) Sea {v~1,v~2,...,v~n} una base en V . Sean u~1 = v~1, u~2 = v~1 + v~2, u~3 = v~1 + v~2 + v~3, ..., u~n = v~1 + v~2 + v~3 + ··· + v~n. Demuestre que {u~1,u~2,...,u~n} es una base en V .
2. (2 puntos) Sea Snn el espacio vectorial de matrices simetricas de´ n × n. Demuestre que Snn es un subespacio de Mnn y que dimSnn = [n(n+1)]/2.
3. (1 punto) Obtener una base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt de los vectores (2,−1,6,3),(0,−9,−4,−1),(0,0,5,7),(1,−1,0,7)
4. (1 punto) En P3 exprese el polinomio 4x2 − x + 5 en terminos de la base´ polinomial 1,1 − x, (1 − x)2, (1 − x)3
5. (1 punto) Encuentre el rango y la nulidad as´ı como las dimensiones de estas de la siguiente matriz
1
Nombre:	Grupo:	Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1.
Sea
S
=
{
A
∈
M
n
×
n
|
A
=
−
A
T
}
.Demuestrequedim(
S
)=
n
(
n
−
1)
2
.
2.
Sea
T
:
R
3
→
R
3
definidapor
 .
Determine Im(T)
Determine Kernel(T)
Determine Rango(T)
Determine Nulidad(T)
3. un conjunto. Comprobar que es una base de
Transformar esta base en una base ortonormal.
Formar una matriz A ortogonal con esta base, comprobar que AAT = I.
Comprobar que |A| = ±1.
4. Encuentre los eigenvalores y los correspondientes eigenvectores de la siguiente matriz.
.
5. Encuentre una matriz P tal que PTAP diagonaliza A. Compruebe que PTAP da la diagonalizaci´on correcta, si
.
Nombre:	Grupo:	Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1.
Sea
S
=
{
A
∈
M
n
×
n
|
A
=
A
T
}
.Demuestrequedim(
S
)=
n
(
n
+1)
2
.
2.
Sea
T
:
R
3
→
R
3
definidapor
 .
Determine Im(T)
Determine Kernel(T)
Determine Rango(T)
Determine Nulidad(T)
3. Sea B = {(1,1,−2),(1,2,−1),(1,1,1)} un conjunto. Comprobar que es una base de R3.
Transformar esta base en una base ortonormal.
Formar una matriz A ortogonal con esta base, comprobar que AAT = I.
Comprobar que |A| = ±1.
4. Encuentre los eigenvalores y los correspondientes eigenvectores de la siguiente matriz.
.
5. Encuentre una matriz P tal que PTAP diagonaliza A. Compruebe que PTAP da la diagonalizaci´on correcta, si
.
Nombre:	Grupo:	Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1.
Utilicem´etodoslinealesparacalcularsen105
o
ycos105
o
.
2.
Demuestrequesi
A
2
=
A
,entonces
I
−
2
A
=(
I
−
2
A
)
−
1
.
3.
Utilicematriceselementalesparaencontarlainversade
.
4. Encontrar una matriz triangular superior que satisfaga
5. Resolver la sucesi´on de sistemas de ecuaciones lineales formados por la matriz
y las matrices columna
 .
Nombre:	Grupo:	Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.
1.
Utilicem´etodoslinealesparacalcularsen195
o
ycos195
o
.
2. Sea , calcule la traza de An, para n ∈ N.
3. Utilice matrices elementales para encontar la inversa de
.
4. Una matriz cuadrada A se denomina antisim´etrica si AT = −A. Demostrar lo siguiente:
a) Si A es una matriz antisim´etrica invertible, entonces A−1 es antisim´etrica.
b) Si A y B son antisim´etricas, entonces tambi´en lo son AT, A + B, A − B y kA para cualquier escalar k.
c) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz sim´etrica y una matriz antisim´etrica.
Sugerencia Considerar la identidad
5. Resolver la sucesi´on de sistemas de ecuaciones formados por la matriz
y las matrices columna
 .
ESCOM-IPN	Examen de Algebra Lineal´´
Algebra Lineal
Prof. Jesu´s Ortun˜o Araujo.
ESCOM-IPN	Examen de Algebra Lineal´´
Algebra Lineal
Prof. Jesu´s Ortun˜o Araujo.
ESCOM-IPN	Examen de Algebra Lineal´´
Algebra Lineal
Prof. Jesu´s Ortun˜o Araujo.
Evaluaci´on	1
Evaluaci´on	1
Evaluaci´on	1
Primer examen de algebra lineal´
NombredelEstudiante	Grupo
1. Un viajero que acaba de regresar de Europa gasto $30 diarios en Inglaterra,´ $20 diarios en Francia y $20 diarios en Espaa por concepto de hospedaje. En comida gast $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en Espana. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada pas. Los registros del viajero indican que gast un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres pases. Calcule el nmero de das que pas el viajero en cada pas o muestre que los registros son incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con la otra.
2. Calcular las corrientes I1, I2, I3 del siguiente circuito
Figure 1:
3. Calcular el determinante mediante propiedades
1
4. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para que valoresde K el sistema
a) No tiene solucion´
b) Tiene soluciones infinitas
c) Tiene solucion´	unica´
2x−y−Kz =0 x−y−2z =1
−x+2y =K
2
PRIMER EXAMEN PARCIAL
ALGEBRA LINEAL
8 de marzo de 2019 Prof. Perla Rebeca S´anchez Vargas
Nombre: 
• Resuelva de manera clara y detallada sin omitir procedimiento los siguientes problemas. No esta permitido el uso del celular.
1. (2pts) Sea el sistema de ecuaciones
	x1
	−2x2
	+x3
	+x4
	=
	−2
	3x1
	
	+2x3
	−2x4
	=
	1
	
	4x2
	−x3
	−x4
	=
	0
	5x1
	
	+3x3
	−x4
	=
	−3
i) Escriba la matriz aumentada asociada al sistema
ii) Determine la soluci´on general del sistema no homog´eneo
iii) Obtenga una soluci´on particular del sistema no homog´eneoiv) Obtenga la soluci´on general del sitema homog´eneo asociado
2. (2pts) Utilize la matriz de cofactores para calcular la inversa A−1
3. (2pts) QuickInk Publisher edita tres calidades de libros : encuadernaci´on ru´stica, con pasta dura y empastados en piel. Para los ru´sticos, la empresa gasta en promedio 5 pesos en papel, 2 en ilustraciones y 3 en las pastas. Para los de pasta dura, los gastos son 10, en papel, 4 en ilustraciones y 8 en pastas, y para los de lujo empastados en piel, 20 en papel, 12 en ilustraciones y 24 en pastas. Si el presupuesto permite 235000 pesos en papel, 110000 pesos en ilustraciones y 205000 pesos en pastas.
a. Establezca el sistema de ecuaciones
b. Utilize la Regla de Cramer para encontrar cu´antos libros de cada categor´ıa pueden producirse.
4. (2pts) Sea el sistema de ecuaciones x +2y +z = 3 x +3y −z = 4 x +2y +(a2− 8)z = a
Determine los valores de a para los cuales el sistema tiene una u´nica soluci´on, infinidad de soluciones y no tiene soluci´on
5. (2pts) Expresar la matriz inversa A−1 de la siguiente matriz como producto de matrices elementales .
 
Examen 2 de álgebra lineal 11 de abril de 2019 Profesora Leticia Cañedo Suárez 
 
Nombre del alumno:_______________________________________________ 
 
Importante: No olvides escribir clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. 
 
 
 
 
1._ Considera la ecuación diferencial y"y'2y 0 . Una solución de la ecuación diferencial es una función f con valoresreales que satisfacen la ecuación. Sea V el conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial dada. ¿Es V es un s.e.v de V ? Justifica tu respuesta. 
 
	2._
 x1  2x2 x3  3x4  0
 Para el sistema de ecuaciones 2x1  2x2 x3  2x4  0 x1  3x3  3x4  0
 
a. Encuentra el espacio nulo. 
b. Determina una base para el espacio nulo. 
c. Geométricamente ¿qué es el espacio nulo? 
d. Encuentra el rango y la nulidad. 
 
 
3._ a) ¿Bajo qué condiciones para a y b el conjunto Saaxax2, bx2, 1 genera a 
 P2 ? 
 b) Bajo estas condiciones ¿Es S una base para P2 ? 
 
 
 
4._ Sean S 1,0,1,1,1,0,0,0,1 y T w1,w2,w3bases para 3. Si la matriz de transición de la 
 1 1 2
		
base T a la base S es  2 1 1 encuentra los vectores de la base T . 1 1 1
Sugerencia: Recuerda que TT S = ([w1]S,… ,[wn]S) 
 
 
 
 
ESCOM
´algebra lineal	Nombre:
2do semestre
3er Parcial	Grupo:
	Fecha:6-junio-2019
	
	
	Tiempo: 90 minutos
	Profesor:
	Dr. Alejandro Gonz´alez Cisneros
Este examen contiene 3 planteamientos que corresponde a 70 puntos de la valoraci´on final. Tenga presente que no esta autorizada la comunicaci´on con sus compan˜eros, ni el uso de ayudas computacionales (calculadora, celular, etc).
1. (20 puntos) Sea λ un valor caracter´ıstico de A con ~v el vector caracter´ıstico correspondiente. Sea p(λ) = a0 + a1λ + a2λ2 + ··· + anλn. Defina la matriz p(A) por p(A) = a0I + a1A + a2A2 + ··· + anAn. Demuestre que p(A)~v = p(λ)~v.
2. (20 puntos) Demuestre que T : R2 → R2 es un isomorfismo si y solo si AT es invertible.
3. (30 puntos) Encuentre los valores propios y vectores propios de la siguiente matriz