todas las identidades

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Matemática II
Tabla de Derivadas e Integrales Inmediatas
Derivadas
1.
d
dx
(x) = 1
2.
d
dx
(u± v) = du
dx
± dv
dx
3.
d
dx
(un) = nun−1
du
dx
4.
d
dx
(lnu) =
du
dx
u
5.
d
dx
(au) = au ln a
du
dx
6.
d
dx
(eu) = eu
du
dx
7.
d
dx
(senu) = cosu
du
dx
8.
d
dx
(cosu) = − sen u du
dx
9.
d
dx
(tg u) = sec2 u
du
dx
10.
d
dx
(ctg u) = − csc2 u du
dx
11.
d
dx
(secu) = secu tg u
du
dx
12.
d
dx
(cscu) = − cscu ctg u du
dx
13.
d
dx
(arc tg u) =
du
dx
1 + u2
14.
d
dx
(arc ctg u) = −
du
dx
1 + u2
15.
d
dx
(arc senu) =
du
dx√
1− u2
16.
d
dx
(arc cosu) = −
du
dx√
1− u2
Integrales
1.
∫
du = u+ C
2.
∫
un du =
un+1
n+ 1
+ C ; n 6= −1
3.
∫
du
u
= ln |u|+ C
4.
∫
au du =
au
ln a
+ C ; a > 0 , a 6= 1
5.
∫
eu du = eu + C
6.
∫
cosu du = senu+ C
7.
∫
senu du = − cosu+ C
8.
∫
sec2 u du = tg u+ C
9.
∫
csc2 u du = − ctg u+ C
10.
∫
secu tg u du = secu+ C
11.
∫
cscu ctg u du = − cscu+ C
12.
∫
du
a2 + u2
=
(
1
a
)
arc tg
(u
a
)
+ C
13.
∫
tg u du = − ln | cosu|+ C
14.
∫
ctg u du = ln | sen u|+ C
15.
∫
secu du = ln | secu+ tg u|+ C
16.
∫
cscu du = ln | cscu− ctg u|+ C
Matemática II
Álgebra y Trigonometŕıa
Álgebra
• axay = ax+y
• (ab)x = ax bx
• a
x
ay
= ax−y
•
(a
b
)x
=
ax
bx
• a−x = 1
ax
• (ax)y = axy
• n
√
am = a
m
n
• n
√
ab = n
√
a n
√
b
• n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
• (x± y)2 = x2 ± 2xy + y2
• (x± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3
• (x± y)4 = x4 ± 4x3y + 6x2y2 ± 4xy3 + y4
• x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
• x3 ± y3 = (x± y) (x2 ∓ xy + y2)
• |x| ≤ a ↔ −a ≤ x ≤ a
• |x| ≥ a ↔ x ≤ −a ∨ x ≥ a
Identidades Trigonométricas
• sen2 x+ cos2 x = 1
• sec2 x = 1 + tg2 x
• csc2 x = 1 + ctg2 x
• sen(2x) = 2 senx cosx
• cos(2x) = cos2 x− sen2 x
• sen(x± y) = sen x cos y ± cosx sen y
• cos(x± y) = cos x cos y ∓ senx sen y
• sen2 x = 1− cos(2x)
2
• cos2 x = 1 + cos(2x)
2
• cscx = 1
senx
• secx = 1
cosx
• ctg x = 1
tg x
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemática y F́ısica
Matemática II / Código: 0826201T
Profesor: Alexander Molina
Hoja de Trabajo I
Integración Indefinida
Instrucción: se recomienda consultar y resolver los ejercicios planteados en el texto “ 801
Ejercicios Resueltos de Integral Indefinida” de Italo Cortés y Carlos Sánchez del Fondo
Editorial UNET (FEUNET).
Ejercicios: Calcular las siguientes Integrales Indefinidas
1.
∫
|x| dx
Resp. I = 1
2
x|x|+ C.
2.
∫
sen8
(x
4
)
dx
Resp.
I = −1
2
(
sin
(
x
4
))7
cos
(
x
4
)
− 7
12
(
sin
(
x
4
))5
cos
(
x
4
)
−35
48
(
sin
(
x
4
))3
cos
(
x
4
)
−35
32
cos
(
x
4
)
sin
(
x
4
)
+
+ 35
128
x+ C.
3.
∫ (
ln(x)
x
)5
dx
Resp.
I = 1
3125
(ln (x))5 x− 1
625
x (ln (x))4+ 4
625
x (ln (x))3− 12
625
x (ln (x))2+ 24
625
x ln (x)− 24
625
x+C.
4.
∫
sen8(2x) cos6(2x) dx
Resp. I = 5
2048
x− 4
8192
sen(8x) + 3
32768
sen(16x) + 1
24576
sen3(8x)− 1
3584
sen7(4x) + C.
5.
∫
sen(
√
x) dx
Resp. I = 2 sin (
√
x)− 2
√
x cos (
√
x) + C.
6.
∫ √
tg x dx
Resp. I =
√
2
4
ln
(
tg(x)−
√
2 tg(x)+1
tg(x)+
√
2 tg(x)+1
)
+
√
2
2
arctg
(√
2 tg(x)− 1
)
+
√
2
2
arctg
(√
2 tg(x) + 1
)
+
+C.
7.
∫
tg9(x) sec9(x) dx
Resp. I = 1
17
sec17(x)− 4
15
sec15(x) + 6
13
sec13(x)− 4
11
sec11(x) + 1
9
sec9(x) + C.
Matemática II / Prof. Alexander Molina
8.
∫
sen x esecx
cos2 x
√
e2 secx − 5 esecx − 7
dx
Resp. I = ln
(
−5
2
+ esec(x) +
√
e2 sec(x) − 5 esec(x) − 7
)
+ C.
9.
∫
xe−2
3√x dx
Resp. I = −3
2
x5/3e−2
3√x − 15
4
x4/3e−2
3√x − 15
2
xe−2
3√x − 45
4
x2/3e−2
3√x − 45
4
3
√
x e−2
3√x −
−45
8
e−2
3√x + C.
10.
∫
ln4(x)
x3
dx
Resp. I = −1
2
(ln(x))4
x2
− (ln(x))
3
x2
− 3
2
(ln(x))2
x2
− 3
2
ln(x)
x2
− 3
4
x−2 + C.
11.
∫
sen(x) + sen(2x) + . . .+ sen(nx)
cos(x) + cos(2x) + . . .+ cos(nx)
dx
Resp. I = − 2
n+1
ln
∣∣cos (n+1
2
x
)∣∣+ C.
12.
∫
2x 3x
22x − 32x
dx
Resp. I =
(
1
2 ln( 23)
)
ln
∣∣∣∣( 23)x−1( 23)x+1
∣∣∣∣+ C.
Ejercicios: Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
13.
dy
dx
=
1 + y2
(1 + x2)xy
Resp. ln(x2 + 1)(y2 + 1) = 2 ln(x)− 2C.
14. a
(
x
dy
dx
+ 2y
)
= xy
dy
dx
Resp. x2y = e
C
a +
y
a .
15.
√
1 + x2 dy −
√
1− y2 dx = 0
Resp. arcsen(y) = ln
(
C
(
x+
√
x2 + 1
))
.
16. (xy − 2x+ 4y − 8)dy = (xy + 3x− y − 3)dx
Resp. y − 5 ln |y + 3| = x− 5 ln |x+ 4|+ C.
17.
dy
dx
=
(x− 1)y5
x2(2y3 − y)
Resp. 1
3y3
− 2
y
= 1
x
+ ln |x|+ C.
Matemática II / Prof. Alexander Molina
Problemas de Aplicación del Modelo Ley de Enfriamiento de Newton
18. Antes de mediod́ıa el cuerpo de una aparente v́ıctima de un homicidio se encuentra en un
cuarto que se conserva a temperatura constante a 70 ◦F. A mediod́ıa la temperatura del
cuerpo es de 80 ◦F y a la 1 p.m. es de 75 ◦F. Considere que la temperatura del cuerpo en
el momento de la muerte era de 98, 6 ◦F y que se ha enfriado de acuerdo con la Ley de
Enfriamiento de Newton. ¿Cuál fué la hora de la muerte?
Resp. Aproximadamente a las 10:29 a.m.
19. Un trozo de carne de 4 libras, inicialmente a una temperatura de 50 ◦F, se coloca en un
horno a 375 ◦F a las 5 : 00 p.m. Después de 75 minutos se encontró que la temperatura
de la carne era de 125 ◦F. ¿A qué hora estará a 150 ◦F (término medio)?
Resp. Aproximadamente a las 6:45 p.m.
20. Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 ◦F es depositado en un lugar donde la tempe-
ratura se mantiene a 40 ◦F. Después de 3 minutos la temperatura del cuerpo ha disminuido
a 60 ◦F. ¿ Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 minutos? ¿Cuánto tiempo debe
transcurrir para que el cuerpo tenga una temperatura de 50 ◦F?
Resp. T (5) ≈ 55, 263 ◦F / t ≈ 8 minutos , 8 segundos.
21. A las 13:00 horas un termómetro que indica una lectura de 10 ◦ F se retira de un con-
gelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66 ◦ F. A la 13:05 horas el
termómetro indica 25 ◦ F. Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el conge-
lador. A las 13:30 horas el termómetro registra una lectura de 32 ◦F. ¿Cuándo se regresó
el termómetro al congelador? ¿Cuál era la lectura del termómetro en ese momento?
Resp. Aproximadamente a las 1:20:19 p.m. / Aproximadamente 50, 22 ◦F.
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemática y F́ısica
Matemática II / Código: 0826201T
Profesor: Alexander Molina
Hoja de Trabajo II
Integración Definida
Verificar el valor de las siguientes Integrales Definidas
1.
∫ π
0
(π2x− x3) dx = π
4
4
2.
∫ 3
0
|x2 − 4| dx = 23
3
3.
∫ 4
1
5x2 + 4
x3 + 4x
dx = 3 ln 4
4.
∫ 4
0
x√
2x+ 1
dx =
10
3
5.
∫ 1
0
2x2 + x+ 3
(x+ 1)(x2 + 1)
dx ≈ 2, 171
6.
∫ π
4
π
6
√
tg x dx ≈ 0, 22967
7.
∫ e
1
√
x lnx2 dx =
8
9
+
4
9
√
e3
8.
∫ 3
0
|2x− 3| dx = 9
2
9.
∫ 2
1
xe2x dx =
1
4
e2(3e2 − 1)
10.
∫ 0
−1
x2 + 4x− 1
x+ 2
dx =
3
2
− 5 ln 2
11.
∫ 4
0
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ dx = 4
12.
∫ 3
−3
JxK2 dx = 19
13.
∫ 1
−1
(|x3|+ x3) dx = 1
2
14.
∫ 2
−1
x2JxK dx = 2
15.
∫ 5
−3
|x3 − 12x| dx = 112
16.
∫ 3
−3
x|x| dx = 0
17.
∫ 3
−2
|x4 − 2x3 − x2 + 2x| dx = 551
30
Calcular las siguientes Integrales Definidas. Emplear una Suma de Riemann
18.
∫ 5
1
(3x+ 4) dx
19.
∫ 2
0
(
4− x2
)
dx
20.
∫ 1
−2
(2x+ 1) dx
21.
∫ 2
−1
(
3x2 + 2
)
dx
En cada una de las siguientes funciones determinar la
dF
dx
22. F (x) =
x2∫ x3
3
e−t
2
dt
23. F (x) =
∫ x2
5
√
5 + 7t5 dt
24. F (x) =
∫ x2
2
tet
3
dt∫ 3
x3
t2et
4
dt
25. F (x) =
∫ x3
1
√
tg t dt
26. F (x) = 5x
∫ x2
1
√
ln 2 + 2t8 dt
27. F (x) = cos
(∫ 2
x
√
3 + 7t9 dt
)
28. F (x) = (4 e−2x)
(∫ x3
1
√
3 + t5 dt
)
29. F (x) = arc tg
(∫ x2
1
√
3 + 4t3 dt
)
30. F (x) = sec
(∫ 3x
2
√
4 + 3t5 dt
)
31. F (x) = ln
(∫ x
3
sen t
t2
dt
)
Calcular los siguientes Ĺımites
32. lim
x→0
∫ x
0
sen t
t
dt
x
33. lim
x→0
3x∫ x
0
e−u
2
du
34. lim
x→0
∫ x
0
t2
√
1 + t4 dt∫ x
0
u2
√
1 + u5 du
35. lim
x→1
∫ x
1
t
√
1 + t11 dt
x2 − 1
Verificar el Teorema del Valor Medio para Integrales para cada función dada en el intervalo
indicado
36. f(x) =
√
1− x2 en [−1, 1] (Satisface el Teorema)37. f(x) =
√
9− x2 en [0, 3] (Satisface el Teorema)
38. f(x) = x2 + 1 en [0, 1] (Satisface el Teorema)
39. f(x) = 4− 3x2 en [−1, 1] (Satisface el Teorema)
40. f(x) = x2 + x+ 2 en [−1, 1] (No satisface el Teorema)
41. f(x) = ex en [0, 1] (Satisface el Teorema)
Determinar el carácter de las siguientes Integrales
42.
∫ ∞
0
e−x cosx dx (Converge)
43.
∫ ∞
0
x5e−2x dx
44.
∫ ∞
1
dx
3
√
x
(Diverge)
45.
∫ ∞
4
dx
x ln3 x
(Converge)
46.
∫ 0
−∞
xe−
√
2x dx (Diverge)
47.
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 2x+ 10
(Converge)
48.
∫ ∞
1
x2√
x3 + 2
dx (Diverge)
49.
∫ 0
−2
dx√
x2 + 7x+ 10
50.
∫ ∞
1
e−
√
x
√
x
dx (Converge)
51.
∫ ∞
1
arc tg
(
1
x
)
dx
52.
∫ 2c
c
x√
x2 + xc− 2c2
dx ; c > 0
53.
∫ 2
0
π
x3 + 4x
dx
54.
∫ 3
0
dx
x3 − x2 − x+ 1
55.
∫ 4
2
x− 2
x2 − 5x+ 4
dx (Diverge)
56.
∫ π
2
0
dx
cos2 x
(Diverge)
57.
∫ 2
−1
(
1
x2
)
cos
(
1
x
)
dx (Converge)
58.
∫ 4
0
dx√
(4− x)3
(Diverge)
59.
∫ π
0
cosx√
1− senx
dx (Converge)
60.
∫ 2
0
√
2 + x
2− x
dx
61.
∫ 1
0
ln(x) dx (Converge)
Calcular el Área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas
62. y = 3x3 − x2 − 10x, y = −x2 + 2x Resp. 24 u.s.
63. y = x4 − 4x2, y = x2 − 4 Resp. 8 u.s.
64. y2 = x4(x+ 4) Resp. 4096
105
u.s.
65. y = x4 − 2x3 + x2 + 3 , y = 0 y las ordenadas de los puntos mı́nimos de la curva
66. y2 = (1− x2)3 Resp. 3π
4
u.s.
67. y =
x2 − 16
x− 3
, x = −2, y = 0, x = 2
68. y =
4x
x2 − 25
, y = 0, x = −4, x = 0
69. y =
√
tg x , x = 0 , x =
π
4
, y = 3
Calcular el Área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Emplear
Elementos de Área Horizontal y Vertical
70. y2 = x+ 4, y =
x
2
− 2 Resp. 36 u.s.
71. x = −2y2, x = 1− 3y2
72. y =
√
2x, y =
5
8
− x, y = 0 Resp. 1
6
u.s.
73. y = −
√
x, y =
3
4
− x, y = 0 Resp. 9
8
u.s.
74. y = −|x2 − 1| , y = −3
75. y2 = 16− x, (y + 2)2 = x+ 4, Resp. 72 u.s.
76. y = 4x2, y =
80
x2 + 1
Resp. (160 arc tg(2)− 8
3
) u.s.
77.
x2
a2
− y
2
b2
= 1, x = 2a; a > 0
78. y = x2, y = 8− x2, y = 4x+ 12 Resp. 64 u.s.
79. y = |x− 1| − |x+ 2|+ x, y = −x2 + 2x
80.
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Resp. πab u.s.
Calcular el Volumen del sólido generado al hacer rotar alrededor de la recta indicada la
región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Emplear 2 métodos diferentes
81. y = x2, y = 4x− x2
(a) alrededor de x = 0 Resp. 16π
3
u.c.
(b) alrededor de x = 4 Resp. 16π u.c.
(c) alrededor de y = 0 Resp. 32π
3
u.c.
(d) alrededor de y = 6 Resp. 64π
3
u.c.
82. y =
5− x
(x+ 1)2
, y = 0 , x = 0 / alrededor de y = 0
83. y = 4x− x2, y = 0
(a) alrededor de x = 5
(b) alrededor de y = 6
84. y =
3
x2
, y = 0 , y = 3 , x = 1 , x = 4 / alrededor de y = −4
85. x = 2y2 + 8y + 11 , x = 8 / alrededor de x = −2
86. y2 = 16− x , (y + 2)2 = x+ 4 / alrededor de x = −10
87. y =
1√
x+ 1
, y = 0, x = 0, x = 3 / alrededor de y = 0 Resp. π ln(4) u.c.
88. y =
1
x
, y = 0, x = 1, x = 4 / alrededor de y = 0 Resp. 3π
4
u.c.
89. y = e−x, y = 0, x = 0, x = 1 / alrededor de y = 0 Resp. π
2
(
1− 1
e2
)
u.c.
90. y = x2 + 1, y = −x2 + 2x+ 5, x = 0, x = 3, con 0 ≤ x ≤ 3
(a) alrededor de y = 0 (b) alrededor de x = 5
91. y = ln(x) en [1, e] / alrededor de y = 0 Resp. π(e− 2) u.c.
92. y = xex, y = 0 en [1, 2] / alrededor de y = 0 (emplear un sólo método)
Resp.
π
4
e2(5 e2 − 1) u.c.
93. (x− b)2 + y2 = a2; b > a, a > 0, b > 0
(a) alrededor de x = 0 Resp. 2 π2a2b u.c.
(b) alrededor de x = −a
94.
x2
a2
+
y2
b2
= 1; y > 0 / alrededor de y = 0 Resp. 4
3
πab2 u.c.
95. (x− 1)2 + 4y = 20 , x = 1 , y = 1 , y = 3 , a la derecha de x = 1 / alrededor de x = 1
96. y = −2x2 + 8x− 5 , x = −4 / alrededor de x = 5
Calcular la Longitud de Arco de la gráfica de la ecuación dada en el intervalo indicado
97. y = ln(senx);
[
π
4
, 3π
4
]
Resp. ln
(√
2 + 1√
2− 1
)
98. y =
1
2
(ex + e−x); [0, 2] Resp. 1
2
(
e2 − 1
e2
)
99. y = ln(x); [
√
3,
√
8 ] Resp. 1 +
1
2
ln
(
3
2
)
100. y = arc sen (e−x) ; [0, 1]
101. y =
∫ x
π
6
√
64 sen2(t) cos4(t)− 1 dt ;
[π
6
,
π
3
]
102. y = ln (1− x2) ;
[
0,
1
2
]
103. y = ln (csc x) ;
[π
6
,
π
2
]
104. 3x2 = y3 , desde y = 1 a y = 20
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemática y F́ısica
Matemática II / Código: 0826201T
Profesor: Alexander Molina
Hoja de Trabajo III
Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares
Dada la parametrización de las siguientes curvas obtener la ecuación rectangular o cartesiana
asociada
1.
 x =
√
t
y = 1− t
; t ≥ 0
2.
 x = 4 cos ty = √tg t ; 0 ≤ t < π2
3.
 x = 3t− 1y = 2t+ 1 ; t ∈ R Resp. 2x− 3y + 5 = 0
4.
 x = t+ 1y = t2 ; t ∈ R Resp.y = (x− 1)2
5.
 x = t
3
y =
t2
2
; t ∈ R Resp. y = 1
2
x
2
3
6.
 x =
√
t
y = t− 2
; t ≥ 0 Resp. y = x2 − 2
7.
 x = t− 1y = t
t− 1
; t ∈ R− {1} Resp. y = x+ 1
x
8.
 x = 2ty = |t− 2| ; t ∈ R Resp. y = |x− 4|2
9.
 x = ety = e3t + 1 ; t ∈ R Resp. y = x3 + 1, x > 0
10.
 x = sec ty = cos t ; 0 ≤ t ≤ π, t 6= π2 Resp. y = 1x , |x| ≥ 1
11.
 x = 3 cos ty = 3 sen t ; 0 ≤ t ≤ 2π Resp. x2 + y2 = 9
12.
 x = 3 cos3 ty = 3 sen3 t ; 0 ≤ t ≤ 2π
13.
 x = t+ sen ty = 1− cos t ; 0 ≤ t ≤ 2π
14.
 x = 2 ctg ty = 2 sen2 t ; 0 < t < π
15.
 x = t− 32 sen ty = 1− 3
2
cos t
; 0 ≤ t ≤ 2π
16.

x =
3t
1 + t3
y =
3t2
1 + t3
; t ∈ R− {−1}
17.
 x = (2a) cos t− (a) cos 2ty = (2a) sen t− (a) sen 2t ; 0 ≤ t ≤ 2π
18.
 x = sen ty = 2 cos2(2t) ; 0 ≤ t ≤ 2π
19.
 x = x1 + t(x2 − x1)y = y1 + t(y2 − y1) ; t ∈ R
20.
 x = a sen4 ty = a cos4 t ; 0 ≤ t ≤ 2π
21.
 x = h+ a cos ty = k + b sen t ; 0 ≤ t ≤ 2π
22.
 x = h+ r cos ty = k + r sen t ; 0 ≤ t ≤ 2π
23.
 x = tg
(
t
2
)
y = sen(t)
; 0 ≤ t ≤ 2π
24.
 x = h+ a sec ty = k + b tg t ; 0 ≤ t ≤ π , t 6= π2
25.
 x = 3
√
t− 3
y = 2
√
4− t
; 3 ≤ t ≤ 4
Determinar una parametrización para
26. La semicircunferencia x2 + y2 = a2; y > 0. Emplear como parámetro la longitud de
arco s medida en sentido antihorario del punto (a, 0) al punto (x, y).
27. La gráfica de y =
√
x3. Emplear como parámetro la longitud de arco s medida en sentido
antihorario del punto (0, 0) al punto (x, y).
En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la
dy
dx
aśı como la pendiente de la recta
tangente a la curva expresada en forma paramétrica en el punto correspondiente para el
valor dado del parámetro
28.
 x = 2ty = 3t− 1 ; t = 3
29.
 x =
√
t
y = 3t− 1
; t = 1
30.
 x = t2 + 3t+ 2y = 2t ; t = 0
31.
 x = 2 cos ty = 2 sen t ; t = π4
32.
 x = 2 + sec ty = 1 + 2 tg t ; t = π6
33.
 x = cos3 ty = sen3 t ; t = π4
34.
 x = t− sen ty = 1− cos t ; t = π
35.
 x = 4 cos ty = 3 sen t ; t = 3π4
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada en forma paramétrica
en el punto o valor del parámetro dado
36.
 x = 2 ctg ty = 2 sen2 t ; (0, 2) 37.
 x = 2 ctg ty = 2 sen2 t ;
(
2
√
3,
1
2
)
38.
 x = 2− 3 cos ty = 3 + 2 sen t ;
(
4 + 3
√
3
2
, 2
)
39.
 x = 2ty = t2 − 1 ; t = 2
40.
 x = t2 − t+ 2y = t3 − 3t ; t = −1
41.
 x = 4 cos ty = 3 sen t ; t = 3π4
Hallar los puntos de Tangencia Horizontal y Vertical (si los hay) de las siguientes curvas
dadas en forma paramétrica
42.
 x = t+ 1y = t2 + 3t ; t ∈ R
43.
 x = 1− ty = t2 ; t ∈ R
44.
 x = 3 cos ty = 3 sen t ; 0 ≤ t < 2π
45.
 x = cos ty = 2 sen 2t ; 0 ≤ t < 2π
46.
 x = t2 − t+ 2y = t3 − 3t ; t ∈ R
47.
 x = 4 cos2 ty = 2 sen t ; 0 ≤ t < 2π
48.
 x = a cos t− 12 a cos 2t− 12 ay = a sen t− 1
2
a sen 2t
; 0 ≤ t < 2π
49.
 x = cos2 ty = cos t ; 0 ≤ t < 2π
50.
 x = 2(1 + cos t) cos ty = 2(1 + cos t) sen t ; 0 ≤ t < 2π
En cada una de las siguientes curvas parametrizadas determinar
(a) Puntos de Tangencia Horizontal y Vertical
(b) Intervalos del parámetro t donde la curva asciende o desciende
(c) Intervalos del parámetro t donde la curva es Cóncava o Convexa
(d) Bosquejo de la Gráfica indicando la orientación de la curva
51.
 x = t(t2 − 3)y = 3(t2 − 3) ; t ∈ R
52.
x = t3 − 3t2y = t3 − 3t ; t ∈ R
53.

x =
3t
1 + t3
y =
3t2
1 + t3
; t ∈ R
Calcular la Longitud de Arco de la curva parametrizada en el intervalo de t indicado
54.
 x = t2y = 2t ; [0, 2]
55.
 x = t2 + 1y = 4t3 + 3 ; [−1, 0]
56.
 x = e−t cos ty = e−t sen t ; [0, π2 ]
57.
 x = arc sen(t)y = ln√1− t2 ; [0, 12]
58.
 x = et + 2y = 2t+ 1 ; [−2, 2]
59.
 x = ln(t)y = t+ 1 ; [1, 6]
60.
 x = 8 cos t+ 8t sen ty = 8 sen t− 8t cos t ; [0, π2 ]
61.
 x = ln(t)y = √t+ 1 ; [1, 5]
62.
 x =
t
1 + t
y = ln(1 + t)
; [0, 2]
63.
 x = t cos t+ sen ty = t sen t− cos t ; [−π, π]
64.
 x = t+
1
t
y = 2 ln(t)
; [1, 4]
65.
 x = sen t− t cos ty = cos t+ t sen t ;
[π
4
,
π
2
]
66.
 x = 2ety = 3√e3t ; [ln(3), 2 ln(3)]
67.
 x = cos ty = ln(sec t+ tg t)− sen t ;
[
0,
π
4
]
Representar gráficamente los puntos dados en coordenadas polares y asimismo determinar
las coordenadas rectangulares o cartesianas correspondientes
68.
(
4,
3π
6
)
; Resp. (0, 4)
69.
(
−4,−π
3
)
; Resp. (−2, 2
√
3)
70.
(
−2, 7π
4
)
71.
(
5,
3π
4
)
72.
(
0,−7π
6
)
73.
(
−2, 11π
6
)
Dadas las coordendas rectangulares de un punto, determinar dos conjuntos de coorde-
nadas polares del punto indicado en el intervalo 0 ≤ θ < 2π
74. (1, 1) ; Resp.
(√
2,
π
4
)
;
(
−
√
2,
5π
4
)
75. (
√
3,−1) ; Resp.
(
−2, 5π
6
)
;
(
2,
11π
6
)
76. (−3, 4)
77. (0,−5)
78. (4,−2)
79. (3,−
√
3)
Dadas las siguientes ecuaciones cartesianas encontrar la ecuación polar asociada
80. x2 + y2 = a2 ; Resp. r = a
81. y = 4
82. 3x− y + 2 = 0
83. xy = 4
84. y2 = 9x ; Resp. r = 9 csc2 θ cos θ
85. (x2 + y2)2 − 9(x2 − y2)2 = 0
86. x = 10
87.
x2
9
+
y2
4
= 1
Dadas las siguientes ecuaciones polares encontrar la ecuación cartesiana asociada
88. r = 3 ; Resp. x2 + y2 = 9
89. r = sen θ
90. r = θ
91. r = 3 sec θ ; Resp. x− 3 = 0
92. r = −2
93. r = 2 csc θ
94. r = 5 cos θ
95. r =
5
sen θ − 2 cos θ
En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la
dy
dx
y la pendiente de la recta tangente
a la curva dada en forma polar en el punto o en el valor de θ dado
96. r = 2 + 3 sen θ ;
(
5,
π
2
)
97. r = 2 + 3 sen θ ; (2, π)
98. r = 2 + 3 sen θ ;
(
−1, 3π
2
)
99. r = 2(1− sen θ) ; (2, 0)
100. r = 2(1− sen θ) ;
(
4,
3π
2
)
101. r = 2(1− sen θ) ;
(
3,
7π
6
)
Hallar todos los Puntos de Tangencia Horizontal y Vertical (si los hay) de las siguientes
curvas dadas en forma polar
102. r2 = 4 sen 2θ ; 0 ≤ θ ≤ π
2
103. r = 3 + 3 cos θ ; 0 ≤ θ < 2π
104. r = 1 + sen θ ; 0 ≤ θ < 2π
105. r = 2− 2 cos θ ; 0 ≤ θ < 2π
Calcular el Área de la región indicada
106. Un pétalo de r = 2 cos 3θ
107. Un pétalo de r = cos 2θ
108. Un pétalo de r = 6 sen 2θ
109. Un pétalo de r = cos 5θ
110. El interior de r = 1− sen θ
111. El lazo interior de r = 1 + 2 cos θ
112. El lazo interior de r = 4− 6 sen θ
En los siguientes ejercicios calcular
(a) Área de la región que se encuentra fuera de la gráfica de la primera ecuación e interior
a la gráfica de la segunda.
(b) Área de la región interior a la gráfica de la primera ecuación y exterior a la gráfica
de la segunda.
(c) Área de la región común.
113. r = 3 , r = 2 + 2 cos θ
114. r = 1− cos θ , r = 3
2
115. r = 2 sen 3θ , r = 4 sen θ
116. r = 3 sen θ , r = 1 + sen θ
117. r = 2 , r2 = 8 sen 2θ
118. r = 2 , r2 = 8 cos 2θ
119. r = 1− sen θ , r = 3 sen θ
120. r = 1 + cos θ , r = 1− cos θ
121. r = 2 cos 2θ , r = 2 sen θ
122. r = 1 + cos θ , r = 1− sen θ
123. r = 4 sen 2θ , r = 2
124. r = 4− 5 sen θ , r = 3 sen θ
125. r = sen θ , r = sen 2θ
126. Calcular el área de la región interior a la gráfica de r = 3 + 3 cos θ y exterior a la gráfica
de r = 3 + 3 sen θ en el primer cuadrante del plano polar. Resp. 9
√
2− 27
4
u.s.
Calcular la Longitud de Arco de la curva dada en forma polar en el intervalo de θ indicado
127. r = a ; [0, 2π]
128. r = a cos3
(
θ
3
)
; [0, 3π]
129. r = 2a cos θ ;
[
−π
2
,
π
2
]
130. r = 8(1 + cos θ) ; [0, 2π]
131. r = a θ ; [0, 2π]
132. r = 2θ ; [0, 2π]
133. r = 1 + cos θ ; [0, π]
134. r = θ ; [0, 2π]
135. r = a sec3
(
θ
3
)
; [−π, π]
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemática y F́ısica
Matemática II / Código: 0826201T
Profesor: Alexander Molina
Hoja de Trabajo IV
Sucesiones y Series Infinitas
Determinar el carácter de las siguientes Sucesiones
1.
{
(2n+ 2) !
(2n) !
}
2.
{
(n+ 2) !
n !
}
3.
{√
n2 + n− n
}
4.
{
3− 1
2n
}
5.
{
(−1)n
(
n
n+ 1
)}
6. {ln(n)− ln(n+ 1)}
7. {1 + (−1)n}
8.
{
3
√
n
3
√
n+ 1
}
9.
{
3n
4n
}
10.
{(
n+ 4
n+ 3
)n+1}
11. { n
√
n}
12. {2}
13.
{(
ln(3) + n
n
)n}
14.
{(
2n+ 1
2n
)4n}
15.
{
1
3
(
1− 1
3n
)}
16.
{
ln
(
n+ 1
n
)}
17.
{
cos2(n)
2n
}
18.
{
sen(
√
n)
n
}
19.
{
cos(n)
4n
}
20.
{
(n) sen
(
1
n
)}
Dadas las siguientes Sucesiones determinar
(a) Monotońıa
(b) Supremo e Ínfimo
(c) Acotamiento
(d) Carácter
21.
{
n+ 1
n
}
22.
{
1√
n3
}
23.
{
3
n+ 1
}
24.
{
3n2 − n+ 4
2n2 + 1
}
25.
{
8n
2n+ 3
}
26.
{
5
2n+ 3
}
27.
{
ln(n3)
2n
}
28.
{
2n
n+ 2
}
29.
{
8n
n+ 1
}
30.
{
n+ 2
n+ 5
}
31.
{
ln(n)
n2
}
32.
{
4n+ 5
n
}
33.
{
5n
1 + 5 2n
}
34.
{
n !
1.3.5 . . . (2n− 1)
}
35.
{
1.3.5 . . . (2n− 1)
2n+2 (n+ 3) !
}
36.
{
2.4.6 . . . (2n)
3n+1 (n+ 2) !
}
Calcular la suma de las siguientes Series (si es posible)
37.
∞∑
n=1
5
n(n+ 1)
38.
∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)
39.
∞∑
n=1
2
n2 + 4n+ 3
40.
∞∑
n=2
1
n2 − 1
41.
∞∑
n=1
1
2n
42.
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
43.
∞∑
n=1
n2
2n
44.
∞∑
n=1
2
4n2 − 1
45.
∞∑
n=1
1
n(n+ 2)
46.
∞∑
n=0
2
3n
47.
∞∑
n=0
1
(n+ 1)(n+ 2)
48.
∞∑
n=0
(1, 075)n
49.
∞∑
n=0
(
17
3
)(
−8
9
)n
50.
∞∑
n=1
senn(1)
51.
∞∑
n=0
4
2n
52.
∞∑
n=1
e−n
Determinar la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales como la suma
de una serie geométrica
53. 0, 619 54. 0, 87 55. 0, 8 43
Determinar el carácter de las siguientes Series
56.
∞∑
n=1
ln(n)
n2
57.
∞∑
n=1
arc tg(n)
n2 + 1
58.
∞∑
n=1
1
n6
59.
∞∑
n=1
1√
n5
60.
∞∑
n=2
n
ln(n)
61.
∞∑
n=1
1
n2 + 9
62.
∞∑
n=1
n+ 10
10n+ 1
63.
∞∑
n=1
n
√
e−n
64.
∞∑
n=1
3n− 1
2n+ 1
65.
∞∑
n=1
3.5...(2n+ 1)
n !
66.
∞∑
n=1
2 + cos(n)
n2
67.
∞∑
n=1
n1+
1
n
68.
∞∑
n=1
(
1 +
k
n
)n
69.
∞∑
n=3
1
n ln(n) ln(ln(n))
70.
∞∑
n=1
arc tg(n)
71.
∞∑
n=2
ln(n)
n3
72.
∞∑
n=1
1
n2 + 1
73.
∞∑
n=2
1
n− 1
74.
∞∑
n=0
1√
n2 + 1
75.
∞∑
n=0
1
3n−1
76.
∞∑
n=1
2n2 − 1
3n5 + 2n+ 1
77.
∞∑
n=2
ln(n)
n+ 1
78.
∞∑
n=1
1
n
√
n2 + 1
79.
∞∑
n=0
1
n !
80.
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
81.
∞∑
n=0
e−n
2
82.
∞∑
n=0
n !
3n
83.
∞∑
n=1
n
n2 + 1
84.
∞∑
n=0
(n !)2
(3n) !
85.
∞∑
n=0
3n
n !
86.
∞∑
n=1
(2 n
√
n+ 1)n
87.
∞∑
n=1
1√
n3
88.
∞∑
n=1
(
ln(n)
n
)n
89.
∞∑
n=0
4n
n !
90.
∞∑
n=1
(n !)n
n2n
91.
∞∑
n=0
3n
(n+ 1)n
92.
∞∑
n=2
n
(ln(n))n
93.
∞∑
n=1
(
n
2n+ 1
)n
94.
∞∑
n=1
n3 − 5n
4n4 − 7n3 + 9
95.
∞∑
n=2
(
2n+ 1
n− 1
)n
96.
∞∑
n=1
n−3
97.
∞∑
n=1
3n+ 1
5n+ 2
98.
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n
99.
∞∑
n=1
(−1)n 3
n2 + 1
100.
∞∑
n=2
(−1)n 1
ln(n)
101.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 2
102.
∞∑
n=1
(−1)n+1 ln(n)
n2
103.
∞∑
n=1
(−1)n 3
n
n2
104.
∞∑
n=1
sen
(
nπ
2
)
n2
105.
∞∑
n=1
(−1)n+1 sen
(π
n
)
106.
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
n
1 + 32n
107.
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
3n− 1
108.
∞∑
n=1
(−1)n+1 ln(n)
n
109.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
n+ 1
110.
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
111.
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)2
112.
∞∑
n=1
(−1)n
n2
113.
∞∑
n=1
(−1)n+1
(n+ 1) ln(n+ 1)
114.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
(n+ 1)2
115.
∞∑
n=1
(−1)n
n !
116.
∞∑
n=1
(−1)n
(2n+ 1)3
117.
∞∑
n=1
(−1)n
n
Determinar si las siguientes series son Absolutamente Convergentes, Condicionalmente
Convergentes o si por el contrario divergen
118.
∞∑
n=1
(−1)n+1
(n+ 1)2
119.
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
120.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
(n+ 1)2
121.
∞∑
n=2
(−1)n
ln(n)
122.
∞∑
n=2
(−1)n n
n3 − 1
123.
∞∑
n=1
(−1)n
(2n+ 1) !
124.
∞∑
n=1
(
−2
3
)n
125.
∞∑
n=2
(−1)n+1
n ln2(n)
126.
∞∑n=1
cos(n)
n2
127.
∞∑
n=2
(−1)n+1 n
ln(n)
128.
∞∑
n=1
(−1)n 2
n
n3
129.
∞∑
n=1
(−1)n+1n+ 1
n+ 3
Determinar el Radio y Conjunto de Convergencia de las siguientes Series de Potencias
130.
∞∑
n=0
xn
n+ 1
131.
∞∑
n=0
xn
n2 + 1
132.
∞∑
n=0
xn
n2 − 3
133.
∞∑
n=0
xn
n2
2n
134.
∞∑
n=1
xn
n2
2n
135.
∞∑
n=1
xn
2n
√
n
136.
∞∑
n=1
(−1)n x
2n
(2n) !
137.
∞∑
n=1
(−1)n+1 x
2n−1
(2n− 1) !
138.
∞∑
n=1
xn
n+ 1
n2n
139.
∞∑
n=0
(x+ 3)n
2n
140.
∞∑
n=0
xn
5n(n+ 1)
141.
∞∑
n=1
(−1)n x
n
32n−1(2n− 1)
142.
∞∑
n=1
(−1)n+1x
n(n+ 1)
n !
143.
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 1)
n
n
144.
∞∑
n=1
(x+ 2)n
2n(n+ 1)
145.
∞∑
n=1
xn
ln(n+ 1)
146.
∞∑
n=2
(−1)n+1 x
n
n ln2(n)
147.
∞∑
n=1
(x+ 5)n−1
n2
148.
∞∑
n=1
(x− 1)nn2
5n
149.
∞∑
n=0
x2n
4n+1
n+ 3
150.
∞∑
n=1
(x− 5)n ln(n)
n+ 1
151.
∞∑
n=0
(−1)n+1 (x− 1)
n+1
n+ 1
Determinar el Radio y Conjunto de Convergencia de las Series de Potencias de
(a) f(x) (b)
d
dx
[f(x)] (c)
∫
f(x) dx
para las siguientes funciones
152. f(x) =
∞∑
n=0
(x
2
)n
153. f(x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 5)
n
n 5n
154. f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n+1 (x− 1)
n+1
n+ 1
155. f(x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 2)
n
n
Determinar una Serie de Potencias para cada una de las siguientes funciones centrada en
el valor c que se indica
156. f(x) =
1
π − x
; c = 0
157. f(x) =
1
3 + x
; c = 0
158. f(x) =
1
2− x
; c = 5
159. f(x) =
3
2x− 1
; c = 0
Determinar el desarrollo en Serie de Potencias de las siguientes funciones
160. f(x) = e−x cos(x)
161. f(x) = (1 + x) cos
√
x
162. f(x) =
ex
1− x
163. f(x) =
ln(1 + x)√
1 + x
Expresar la integral dada como la suma de una Serie de Potencias
164.
∫
sen(2x)
x
dx
165.
∫
cos(3x)
x
dx
166.
∫
e−x
2 − 1
x
dx
167.
∫
ln(1− x)
x
dx
168.
∫
ex
x
dx
169.
∫
arc tg x
x
dx
170.
∫
x− arc tg x
x3
dx
171.
∫
cos(x)− 1
x
dx
172.
∫
dx
1 + x4
173.
∫ √
1 + x3 dx
174.
∫ √
1 + x5 dx
175.
∫
dx√
1 + x4