Los que hacen matemáticas en la vida real ¿cómo lidian con la trigonometría en situaciones donde las hipotenusas son diferentes de 1 o los círculos...

En trigonometría las hipotenusas (o el radio de la circunferencia trigonométrica) se hacen igual a la unidad por el sencillo motivo de que da igual lo que valgan, perdona mi franqueza, pero no has entendido nada del concepto profundo que subyace a la trigonometría. Volveré a eso al final.

Tomar otro radio no invalida absolutamente ninguna fórmula que hayas podido ver para una razón trigonométrica.

Tomemos la circunferencia trigonométrica, y supongamos que su radio, en lugar de valer 11 vale RR; habremos "ampliado" toda la figura multiplicando sus distancias por RR, y en consecuencia, el lado adyacente al ángulo α en vez de valer xx valdrá R⋅xR·x, y el lado opuesto, en vez de valer yy valdrá R⋅yR·y

Para calcular el seno de α, que sabemos por definición que es la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa, valdrá:

sinα=R⋅xR=xsin⁡α=R·xR=x

es decir: exactamente lo mismo que en el caso inicial. Siendo, entonces, igual la longitud del radio, para no ir arrastrando una RR que al final va a desaparecer simplificada en las funciones trigonométricas, ponemos el radio unidad, y a correr.

Volvemos al principio: la razón profunda de las razones trigonométricas es la invarianza por cambio de escala, que emana del Teorema de Thales. Es decir: el cociente entre dos longitudes análogas en triángulos semejantes permanece constante aunque ampliemos o disminuyamos las dimensiones del triángulo. Dada esa invarianza, escogemos el valor más sencillo: la unidad. Esto es crucial.

Que no importe en absoluto a qué distancia el ángulo tomo las referencias de los lados adyacentes, opuestos o hipotenusas es lo que me habilita para hablar del seno, del coseno, de la tangente, cotangente, secante o cosecante de un ángulo, y solo de ese ángulo, con independencia de todo lo demás.

En la figura:

sinα=AA′0A′=BB′0B′=XX′0X′sin⁡α=AA′0A′=BB′0B′=XX′0X′

cosα=0A0A′=0B0B′=0X0X′cos⁡α=0A0A′=0B0B′=0X0X′

tanα=AA′0A=BB′0B=XX′0Xtan⁡α=AA′0A=BB′0B=XX′0X

etc