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formulario básico de Cálculo y Geometría - Axel Sánchez Nazario
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FORMULARIO BÁSICO DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA Áreas y Perímetros de figuras regulares Volúmenes y Áreas de cuerpos regulares 𝐴 = 𝜋𝑟2 = 1 4 𝜋𝐷2 𝑃 = 2𝜋𝑟 = 𝜋𝐷 𝑉 = 𝜋𝑟2𝐻 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟𝐻 𝐴 = 𝑏ℎ = 𝑏 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 𝑉 = 1 3 𝜋𝑟2𝐻 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑠 𝐴 = 1 2 (𝐵 + 𝑏)ℎ 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝐵 𝑉 = 4 3 𝜋𝑟3 𝐴 = 4𝜋𝑟2 𝐴 = 1 2 𝑏ℎ = 1 2 𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑠 = 1 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Prisma general 𝑉 = 𝐴𝐵 𝐻 𝐴 = 1 2 𝑟 𝑠 = 1 2 𝑟2𝜃 𝑃 = 2𝑟 + 𝑠 𝑠 = 𝑟𝜃 𝑐𝑜𝑛 𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑 Cono general 𝑉 = 1 3 𝐴𝐵 𝐻 Productos y factores notables Binomio al cuadrado (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Binomio al cubo (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 Binomios conjugados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 Suma de cubos 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) Binomio con término común (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐 Diferencia de cubos 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) FORMULARIO BÁSICO DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA Trigonometría e Identidades trigonométricas Ley de los senos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾 Ley de los cosenos 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛾 Teorema de Pitágoras 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Identidades Pitagóricas 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃 Identidades del ángulo mitad 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 2 Identidades del ángulo doble 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛2𝜃 Identidades de la suma de ángulos 𝑠𝑒𝑛(𝐴 ± 𝐵) = 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐴 ± 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑡𝑎𝑛(𝐴 ± 𝐵) = 𝑡𝑎𝑛 𝐴 ± 𝑡𝑎𝑛 𝐵 1 ∓ 𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐵 Identidades de la multiplicación 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) = 1 2 [ 𝑠𝑒𝑛 ((𝑚 + 𝑛)𝜃) + 𝑠𝑒𝑛 ((𝑚 − 𝑛)𝜃) ] 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) = − 1 2 [ 𝑐𝑜𝑠 ((𝑚 + 𝑛)𝜃) − 𝑐𝑜𝑠 ((𝑚 − 𝑛)𝜃) ] 𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) = 1 2 [ 𝑐𝑜𝑠 ((𝑚 + 𝑛)𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 ((𝑚 − 𝑛)𝜃) ] Coordenadas cartesianas y coordenadas polares. Ecuaciones de transformación 𝑑 = √ (𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2 𝑑 = √ 𝑟1 2 + 𝑟2 2 − 2𝑟1𝑟2 𝑐𝑜𝑠(𝛼2 − 𝛼1) 𝑚 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑦 𝑥 𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑦 𝑥 ) 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦 𝑟 FORMULARIO BÁSICO DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA Curvas cónicas en sistema cartesiano Curva Ecuaciones cartesianas Ecuaciones paramétricas Curva Ecuaciones cartesianas Ecuaciones paramétricas 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥0) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝜃 𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 𝜃 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 𝑥 = ℎ + 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑘 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 𝑐 = √ 𝑎2 + 𝑏2 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1 𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 𝑐 = √ 𝑎2 − 𝑏2 𝑒 = 𝑐 𝑎 < 1 𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦2 = 4𝑝 𝑥 (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 𝑒 = 1 4𝑝 = 𝑏2 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝜃2 + ℎ 𝑦 = 𝑏 𝜃 + 𝑘 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Rotación de ejes 𝑥 = 𝑥′ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑦′ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑦 = 𝑥′ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑦′ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑛 𝛼 = 1 2 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝐵 𝐴 − 𝐶 ) 𝑠𝑖 𝐴 = 𝐶 → 𝛼 = 45° FORMULARIO BÁSICO DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA Fórmulas de derivación. ( a , C , n son constantes ; u , v , w son funciones de x ) 𝐷𝑥 𝐶 = 0 𝐷𝑥 𝑥 = 1 𝐷𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑥𝑛−1 𝐷𝑥 𝑢 𝑛 = 𝑛 𝑢𝑛−1 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 (𝑢 + 𝑣 − 𝑤) = 𝐷𝑥𝑢 + 𝐷𝑥𝑣 − 𝐷𝑥𝑤 𝐷𝑥 (𝑢 𝑣) = 𝑢 𝐷𝑥𝑣 + 𝑣 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 (𝐶 𝑢) = 𝐶 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 ( 𝑢 𝑣 ) = 𝑣 𝐷𝑥𝑢 − 𝑢 𝐷𝑥𝑣 𝑣2 𝐷𝑥 ( 𝐶 𝑣 ) = − 𝐶 𝐷𝑥𝑣 𝑣2 𝐷𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑎 𝑢 = 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 √𝑢 = 𝐷𝑥 𝑢 2 √𝑢 𝐷𝑥 𝑙𝑛 𝑢 = 𝐷𝑥𝑢 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑢 > 0 𝐷𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 = 𝐷𝑥𝑢 𝑢 𝑙𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑢 > 0 𝐷𝑥 𝑢 𝑣 = 𝑣 𝑢𝑣−1 𝐷𝑥𝑢 + 𝑢 𝑣 𝑙𝑛 𝑢 𝐷𝑥𝑣 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛 −1𝑢 = 𝐷𝑥𝑢 √ 1 − 𝑢2 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛 −1𝑢 = 𝐷𝑥𝑢 1 + 𝑢2 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐 −1𝑢 = 𝐷𝑥𝑢 𝑢 √ 𝑢2 − 1 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠 −1𝑢 = − 𝐷𝑥𝑢 √ 1 − 𝑢2 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑡 −1𝑢 = − 𝐷𝑥𝑢 1 + 𝑢2 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐 −1𝑢 = − 𝐷𝑥𝑢 𝑢 √ 𝑢2 − 1 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐ℎ 2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 2𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 𝐷𝑥𝑢 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 𝐷𝑥𝑢 FORMULARIO BÁSICO DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA Fórmulas de integración ( a , k , C son constantes ; r cualquier racional ; u , v son funciones de x ) ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑘 𝑑𝑢 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑘 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑢𝑟 𝑑𝑢 = 𝑢𝑟+1 𝑟 + 1 + 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟 ≠ −1 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛 | 𝑢 | + 𝐶 ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐2𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑙𝑛 | 𝑐𝑜𝑠 𝑢 | + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 | 𝑠𝑒𝑛 𝑢 | + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 | 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 𝑢 | + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 | 𝑐𝑠𝑐 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡 𝑢 | + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑑𝑢 √ 𝑎2 − 𝑢2 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ 𝑑𝑢 𝑎2 + 𝑢2 = 1 𝑎 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ 𝑑𝑢 𝑎2 − 𝑢2 = 1 2𝑎 𝑙𝑛 | 𝑢 + 𝑎 𝑢 − 𝑎 | + 𝐶 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 √ 𝑢2 − 𝑎2 = 1 𝑎 𝑠𝑒𝑐−1 | 𝑢 𝑎 | + 𝐶 = 1 𝑎 𝑐𝑜𝑠−1 | 𝑎 𝑢 | + 𝐶 ∫ √ 𝑢2 ± 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢 2 √ 𝑢2 ± 𝑎2 ± 𝑎2 2 𝑙𝑛 | 𝑢 + √ 𝑢2 ± 𝑎2 | + 𝐶 ∫ √ 𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢 2 √ 𝑎2 − 𝑢2 + 𝑎2 2 𝑠𝑒𝑛−1 ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 En todos los casos, la diferencial 𝑑𝑢 debe estar completa para poder aplicar la fórmula correspondiente
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