Pauta Certamen 1 Cálculo 3 Año 2014 Semestre 2

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN 
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
Pauta Certamen 1 Cálculo 3 
1. Sea la función: 
𝑓 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 
𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
, 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
0, 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
 
a) Calcular, si existe la derivada direccional 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 0,0 en la dirección del vector unitario 𝑢 = 𝑎, 𝑏 . 
Solución. 
Sea 𝑢 = 𝑎, 𝑏 una dirección de ℝ2, es decir, 𝑢 = 1. Por definición de derivada direccional 
tenemos que: 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 0,0 = lim
𝑐→0
𝑓 𝑎𝑐, 𝑏𝑐 − 𝑓 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
𝑎𝑏2𝑐3
𝑐 𝑎2𝑐2 + 𝑏4𝑐4 
= lim
𝑐→0
𝑎𝑏2
𝑎2 + 𝑏4𝑐2
= 
𝑏2
𝑎
 , 𝑎 ≠ 0 
0 , 𝑎 = 0
 
Es decir: 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 0,0 = 
𝑏2
𝑎
 , 𝑎 ≠ 0 
0 , 𝑎 = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ¿Es 𝑓 diferenciable en 0,0 ? 
Solución. 
Se puede hacer de tres maneras. 
Camino 1. 
Recordemos que 𝑓 es continua en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 0,0 = 0 
Consideremos la trayectoria: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
2
 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 
𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
=
1
2
 
Notemos que: 
 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ⟺
𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
=
1
2
∧ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 ⟺ 𝑥2 + 𝑦4 = 2𝑥𝑦2 ∧ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
 ⟺ 𝑥2 − 2𝑥𝑦2 + 𝑦4 = 0 ∧ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
 ⟺ 𝑥 − 𝑦2 2 = 0 ∧ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
 ⟺ 𝑦2 = 𝑥 ∧ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
Esto prueba que 0,0 ∈ 𝐶´ (es decir, es un punto de acumulación de 𝐶). Luego tenemos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
1
2
=
1
2
≠ 𝑓 0,0 = 0 
Esto prueba que 𝑓 no es continua en 0,0 . Por ende, 𝑓 no es diferenciable en 0,0 . 
 
 
 
 
 
 
Camino 2. 
Recordemos que 𝑓 es continua en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 0,0 = 0 
Consideremos la trayectoria: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑦2 = 𝑥 , 𝑥 > 0 
Notar que 0,0 ∈ 𝐶´ (es decir, es un punto de acumulación de 𝐶). Además tenemos que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
2
 
Luego: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
1
2
=
1
2
≠ 𝑓 0,0 = 0 
Esto prueba que 𝑓 no es continua en 0,0 . Por ende, 𝑓 no es diferenciable en 0,0 . 
Camino 3. 
Recordemos que 𝑓 es diferenciable en 0,0 sí sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑓 0,0 − ∇𝑓 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= 0 
Notar que: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 0,0 = lim
𝑐→0
𝑓 𝑐, 0 − 𝑓 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
0 = 0 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 0,0 = lim
𝑐→0
𝑓 0, 𝑐 − 𝑓 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
0 = 0 
De donde ∇𝑓 0,0 = 0,0 . 
Luego tenemos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑓 0,0 − ∇𝑓 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑥𝑦2
 𝑥2 + 𝑦4 𝑥2 + 𝑦2
 
 
Consideremos la trayectoria: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 > 0 
Notar que 0,0 ∈ 𝐶´ (es decir, es un punto de acumulación de 𝐶). Además tenemos que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∶
𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
=
𝑥3
 𝑥2 + 𝑥4 2𝑥
=
1
 2 1 + 𝑥2 
 
Luego: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
1
 2 1 + 𝑥2 
=
1
 2
≠ 0 
Esto prueba que 𝑓 no es diferenciable en 0,0 . 
c) Sea 𝐹 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ definida por 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 , donde 𝑓 es la función definida más arriba. 
¿Es 𝐹 diferenciable en 0,0 ? 
Solución. 
Camino 1. 
Recordemos que 𝑓 es diferenciable en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= 0 
Notar que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = lim
𝑐→0
𝐹 𝑐, 0 − 𝐹 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
𝑐𝑓 𝑐, 0 − 0 ∙ 𝑓 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
𝑓 𝑐, 0 = lim
𝑐→0
0 = 0 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 0,0 = lim
𝑐→0
𝐹 0, 𝑐 − 𝐹 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
𝑐𝑓 0, 𝑐 − 0 ∙ 𝑓 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
𝑓 0, 𝑐 = lim
𝑐→0
0 = 0 
De donde ∇𝐹 0,0 = 0,0 . 
Luego tenemos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 
 
Notemos que ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑥𝑦 ≠ 0 se tiene: 
 
𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 = 
𝑥2𝑦2
 𝑥2 + 𝑦4 𝑥2 + 𝑦2
 ≤
𝑥2𝑦2
𝑥2 𝑦2
=
𝑥2𝑦2
𝑥2 𝑦 
= 𝑦 
Si 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 la desigualdad de verifica trivialmente, lo mismo ocurre para 𝑦 = 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 . 
Luego podemos concluir que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 ∶ 
𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 ≤ 𝑦 
Como: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑦 = 0 
Por el Teorema del Sandwich concluimos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= 0 
Por lo tanto 𝐹 es diferenciable en 0,0 . 
Camino 2. 
Notemos que: 
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 = 
𝑥2𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
, 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 
0, 𝑥, 𝑦 = 0,0 
 
Recordemos que 𝑓 es diferenciable en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= 0 
Notar que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = lim
𝑐→0
𝐹 𝑐, 0 − 𝐹 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
0 = 0 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 0,0 = lim
𝑐→0
𝐹 0, 𝑐 − 𝐹 0,0 
𝑐
= lim
𝑐→0
0 = 0 
De donde ∇𝐹 0,0 = 0,0 . 
Luego tenemos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 
Notemos que ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑥𝑦 ≠ 0 se tiene: 
 
𝐹 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 = 
𝑥2𝑦2
 𝑥2 + 𝑦4 𝑥2 + 𝑦2
 ≤
𝑥2𝑦2
𝑥2 𝑦2
=
𝑥2𝑦2
𝑥2 𝑦 
= 𝑦 
Si 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 la desigualdad de verifica trivialmente, lo mismo ocurre para 𝑦 = 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 . 
Luego podemos concluir que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 ∶ 
𝐹 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
 ≤ 𝑦 
Como: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑦 = 0 
Por el Teorema del Sandwich concluimos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝐹 𝑥, 𝑦 − 𝐹 0,0 − ∇𝐹 0,0 ∙ 𝑥, 𝑦 
 𝑥, 𝑦 
= 0 
Por lo tanto 𝐹 es diferenciable en 0,0 . 
d) Calcule, si existe, la derivada 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 en todo punto 𝑥, 𝑦 de ℝ2. ¿Es 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 continua en 0,0 ? ¿Es 
𝐹 de clase 𝐶1 en una vecindad del 0,0 ? 
Solución. 
Camino 1. 
Notemos que ∀ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 : 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥
 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
+ 𝑥 ∙
𝑦2 𝑥2 + 𝑦4 − 2𝑥2𝑦2
 𝑥2 + 𝑦4 2
=
2𝑥𝑦6
 𝑥2 + 𝑦4 2
 
Ahora para 𝑥, 𝑦 = 0,0 , del apartado anterior tenemos que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Luego 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 es continua en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Consideremos la trayectoria: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 = 𝑦2 , 𝑥 > 0 
Notar que 0,0 ∈ 𝐶´ (es decir, es un punto de acumulación de 𝐶). Además tenemos que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∶
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
1
2
 
Luego: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 = lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
1
2
=
1
2
≠
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Esto prueba que 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 no es continua en 0,0 . Por ende, 𝐹 no es de clase 𝐶1 en ninguna vecindad del 
punto 0,0 . 
Camino 2. 
Notemos, usando la expresión de 𝐹 del apartado anterior que ∀ 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 : 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝑥2𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
 =
2𝑥𝑦2 𝑥2 + 𝑦4 − 2𝑥3𝑦2
 𝑥2 + 𝑦4 2
=
2𝑥𝑦6
 𝑥2 + 𝑦4 2
 
Ahora para 𝑥, 𝑦 = 0,0 , del apartado anterior tenemos que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Luego 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 es continua en 0,0 sí y sólo sí: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Consideremos la trayectoria: 
𝐶 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 = 𝑦2 , 𝑥 > 0 
 
Notar que 0,0 ∈ 𝐶´ (es decir, es un punto de acumulación de 𝐶). Además tenemos que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∶
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 =
1
2
 
Luego: 
lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 = lim
 𝑥 ,𝑦 → 0,0 
 𝑥 ,𝑦 ∈𝐶
1
2
=
1
2
≠
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,0 = 0 
Esto prueba que 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 no es continua en 0,0 . Por ende, 𝐹 no es de clase 𝐶1 en ninguna vecindad del 
punto 0,0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Considere la función 𝑓 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ dada por𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 + 𝑥3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 − 18. Pruebe 
que la ecuación 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 define a la variable 𝑧 como una función 𝑔 de clase 𝐶1 de las 
variables 𝑥, 𝑦 en una vecindad del punto 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,2,3 . Encuentre la buena aproximación afín 
de 𝑔 en el punto 1,2 . Calcule además 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 1,2 . 
Solución. 
Notar que: 
i) 𝑓 es de clase 𝐶1. 
ii) 𝑓 1,2,3 = 1 + 8 + 27 − 18 − 18 = 36 − 36 = 0 
iii) 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 1,2,3 = 3𝑧2 − 3𝑥𝑦 1,2,3 = 27 − 6 = 21 ≠ 0 
Luego por el Teorema de la Función Implícita, existe una vecindad 𝐶 de 1,2 , una vecindad 𝐵 de 
 1,2,3 , y una única función 𝑔 ∶ 𝐶 ⟶ ℝ de clase 𝐶1 tal que: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑔 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ⟺ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑔 𝑥, 𝑦 
Es decir, la ecuación define a 𝑧 como función de las variables 𝑥, 𝑦 en una vecindad del punto 
 1,2,3 . 
Por el mismo Teorema de la Función Implícita tenemos que: 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 1,2 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 1,2 = − 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 1,2,3 
−1
∙ 
𝜕𝑓
𝜕 𝑥, 𝑦 
 1,2,3 
 = − 21 −1 ∙ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 1,2,3 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 1,2,3 
 = − 
1
21
 ∙ 3𝑥2 − 3𝑦𝑧 3𝑦2 − 3𝑥𝑧 1,2,3 
 = −
1
21
 ∙ −15 3 
= 
5
7
−
1
7
 
Luego: 
∇𝑔 1,2 = 
5
7
, −
1
7
 
De donde la buena aproximación afín está dada por la función: 
𝐶 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝐶 𝑥, 𝑦 = 𝑔 1,2 + ∇𝑔 1,2 ∙ 𝑥 − 1, 𝑦 − 2 
 = 3 + 
5
7
, −
1
7
 ∙ 𝑥 − 1, 𝑦 − 2 
 =
5
7
𝑥 −
1
7
𝑦 +
18
7
 
Derivando la ecuación 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 con respecto a 𝑥 tenemos que: 
3𝑥2 + 3𝑧2
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 − 3𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 = 0 ⋯ 1 
Derivando implícitamente 1 con respecto a 𝑦 se obtiene: 
6𝑧
𝜕𝑔
𝜕𝑦
 𝑥, 𝑦 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 + 3𝑧2
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 − 3𝑧 − 3𝑦
𝜕𝑔
𝜕𝑦
 𝑥, 𝑦 − 3𝑥
𝜕𝑔
𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 − 3𝑥𝑦
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑥
 𝑥, 𝑦 = 0 
Evaluando en el punto 1,2,3 se obtiene: 
−
90
49
+ 27
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑥
 1,2 − 9 +
6
7
−
15
7
− 6
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑥
 1,2 = 0 ⟺
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑥
 1,2 =
198
343
 
3. Encontrar todos los puntos críticos de la función 𝑓 dada por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 + 𝑥3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 y 
clasifique uno de ellos como mínimo local, máximo local o punto de silla. Justificando su respuesta 
mediante un Teorema adecuado muestre que 𝑓 alcanza un máximo y un mínimo absoluto sobre el 
conjunto 𝐾 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 ∶ 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 1 (No se pide calcular ni el mínimo ni el máximo 
de 𝑓 sobre 𝐾) 
Solución. 
Notemos que 𝑓 es diferenciable, luego se tiene que: 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓 ⟺ ∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,0,0 ⟺ 
3𝑥2 − 3𝑦𝑧 = 0
3𝑦2 − 3𝑥𝑧 = 0
3𝑧2 − 3𝑥𝑦 = 0
 ⟺ 
𝑥2 = 𝑦𝑧
𝑦2 = 𝑥𝑧
𝑧2 = 𝑥𝑦
 
Notemos que: 
𝑥 = 0 ⟹ 𝑧 = 0 ⟹ 𝑦 = 0
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ⟹ 𝑧 = 0
𝑧 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 0
 
Luego 0,0,0 es un punto crítico de 𝑓. 
 
Si ahora 𝑥𝑦𝑧 ≠ 0, entonces tenemos que el sistema equivale a: 
 
𝑥3 = 𝑥𝑦𝑧
𝑦3 = 𝑥𝑦𝑧
𝑧3 = 𝑥𝑦𝑧
 
De donde se deduce que: 
𝑥3 = 𝑦3 = 𝑧3 ⟺ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 
De lo anterior se deduce que los puntos críticos de 𝑓 son los puntos de la forma: 
 𝑡, 𝑡, 𝑡 ; 𝑡 ∈ ℝ 
Ahora, el enunciado pide analizar SÓLO uno de estos infinitos puntos críticos. El punto más fácil 
de analizar es el 0,0,0 . Sea la bola 𝐵 0,0,0 , 𝑟 , 𝑟 > 0 . 
Notemos que los puntos 
𝑟
2
, 0,0 , −
𝑟
2
, 0,0 ∈ 𝐵 0,0,0 , 𝑟 . Además: 
𝑓 
𝑟
2
, 0,0 =
𝑟3
8
> 0 
𝑓 −
𝑟
2
, 0,0 = −
𝑟3
8
< 0 
Luego se tiene que: 
∀𝑟 > 0 ∶ 𝑓 −
𝑟
2
, 0,0 < 𝑓 0,0,0 < 𝑓 
𝑟
2
, 0,0 
Esto prueba que 0,0,0 es un punto de silla. 
OBS: Si uno calcula la matriz Hessiana obtiene: 
𝐻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 
6𝑥 −3𝑧 −3𝑦
−3𝑧 6𝑦 −3𝑥
−3𝑦 −3𝑥 6𝑧
 
Luego para TODOS los puntos críticos se tiene que: 
 𝐻𝑓 𝑡, 𝑡, 𝑡 = 
6𝑡 −3𝑡 −3𝑡
−3𝑡 6𝑡 −3𝑡
−3𝑡 −3𝑡 6𝑡
 = 0 , ∀𝑡 ∈ ℝ 
Luego no es Aplicable el Criterio de la Matriz Hessiana. 
Notemos además que 𝐾 es compacto, 𝑓 es continua. Luego por el Teorema de los Valores 
Extremos, existen 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ∈ 𝐾 tal que: 
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐾 ∶ 𝑓 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 𝑓 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 
Es decir, 𝑓 alcanza sus extremos absolutos sobre 𝐾. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AHN/ahn