Capitulo 4 AVELLO

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73 
CAPITULO IV 
 
 
INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 
 
 
 
1. DEFINICION Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MULTIPLE (DE RIEMANN) 
 
 
INTEGRACION SOBRE RECTANGULOS. 
 
(1º) DEFINICIONES: 
- Rectángulo o bloque en Rn es todo conjunto de la forma: 
   R a b a bn n  1 1, ... , . 
- Medida de un rectángulo es el número m R( ) definido por: 
      m R b a b a b an n   1 1 2 2 ... . 
- Particiones de un rectángulo: una partición P de un rectángulo R es un conjunto de la forma 
P P x xPn 1 ... donde  P x x x xi i i i iNi 0 1 2, , ,..., es una partición de  a bi i, es decir 
a x x x bi i i iN ii    0 1 ... 
Toda partición P de R determina una descomposición de R en N N Nn  1 ... subrectángulos 
 R j Nj , 1  , tales que 
R R R Rj
j
N
j k  
1

 
,  , para j k . 
- Norma de una partición: se llama norma de la partición P P x xPn 1 ... al máximo de 
     P Pn1 ,..., , donde   Pi es la mayor de las longitudes de los intervalos que forman 
 P i ni 12, ,..., , es decir 
       P x x j Ni ij i j i  max : , ,...1 1 2 
 
 
 
(2º) Sumas de Riemann. 
Una suma de Riemann de una función f :R R definida sobre un rectángulo R correspondiente a 
una partición P de R es una suma de la forma: 
   

P T f f c m Rp j j
j
N
, , ( ) ( )
1
 
donde  R j j N1  es la descomposición de R determinada por P y  T C C Cp N 1 2, ,..., es una 
sucesión de puntos de R tales que C Rj j para todo  j  1,2,...N . 
 74 
 
 
(3º) Definición de función integrable sobre un rectángulo. 
Sea f R: R una función acotada se dice que f es integrable Riemann sobre R si existe un número I 
que verifica la siguiente propiedad: 
Para todo   0 existe un número  positivo, tal que: 
 , ,pP T f I   
para toda participación P de norma menor que . 
 
 
(4º) Integral superior e integral inferior de Riemann. 
Sea f R: R acotada. La integral superior de f sobre R es el número f
R definido como el ínfimo 
del conjunto de todas las sumas superiores de Riemann    S f P M m Rj j
j
N
, 


1
 donde Mj es el 
supremo de  f x x R j( ):  . 
Análogamente f
R es el supremo del conjunto de las sumas inferiores de Riemann 
 s f P m m Rj j
j
N
( , ) 


1
 donde mj es el ínfimo de  f x x R( ):  . 
 
Aquí  R j j N1  es la descomposición de R determinada por la partición P y  N N P depende de 
P. 
 
 
Teorema 2: Teorema Fundamental. 
Sea R n R un rectángulo de Rn , y f R: R una función acotada. 
Las propiedades siguientes son equivalentes: 
(I) f es integrable Riemann sobre R. 
(II) 
R R
f x dx f x dx ( ) ( ) . 
(III) f satisface la condición de Riemann en R, esto es: 
Para todo   0 , existe partición P de R tal que: 
   S f P s f P, ,   . 
 
 
Teorema 3: 
Si f es continua en un rectángulo R, entonces f es integrable sobre R. 
 
 
Demostración. 
Como f es continua sobre R, entonces f es uniformemente continua en R, es decir para todo   0 , 
existe   0 tal que: 
 75 
     
 
x y x y R f x f y
m R
     

, , 
Así, para   0 eligiendo una partición P tal que el diámetro de todo subrectángulo Rj de la 
descomposición del rectángulo R que ella determina sea menor que , se cumple 
       S f P s f P M m m Rj j j
j
N
, ,  


1
 
 
 
 
 
    


 

m R
m R
m R
m Rj
j
N
1
 
 
 
CONJUNTOS DE CONTENIDO CERO Y DE MEDIDA CERO. 
 
Definición y Ejemplos. 
Un subconjunto S de Rn tiene contenido cero si para todo   0 existe 
un conjunto finito de rectángulos T T TN1 2, ,... tales que 
(i) S Tj
j
N

1
 . 
(ii)  m Tj
j
N


 
1
. 
 
 
Un subconjunto E de Rn tiene medida cero si para todo   0 existe una 
sucesión  Tj jN de rectángulos tales que 
(i) S Tj

j=1
 . 
(ii)  m Tj
j



 
1
. 
 
 
OBSERVACION: 
Es claro que si S es de contenido cero entonces S es de medida cero. 
 
 
Ejemplos: 
1) El vacío  es de contenido cero. 
2) Si S está formado por un solo punto de Rn , entonces S tiene contenido cero. 
3) La reunión de un número finito de conjuntos de contenido cero tiene contenido cero. 
4) La reunión de una sucesión de conjuntos de medida cero tiene medida cero. 
5) Todo conjunto finito en Rn es de contenido cero. 
6) Todo conjunto numerable es de medida cero. 
7) Todo conjunto acotado de Rn con un número finito de puntos de acumulación es de contenido cero. 
 76 
 
 
OBSERVACION: 
a) En R los conjuntos formados por un número finito de puntos son de contenido cero. 
En R2 los segmentos y las curvas de longitud finita. 
En R3 , los anteriores, y las superficies acotadas. 
 
b) Se puede probar que si E n R es compacto y de medida cero entonces E es de contenido cero. 
 
 
Teorema 4: 
Si f es acotada en un rectángulo R y continua sobre R E donde E tiene contenido nulo, entonces f es 
integrable en R. 
 
 
Ejemplo: 
La función definida por 
 f x y x y
x y
x y
,
sen ,
,
 





 






1
5
 si 
 si 
 
es integrable sobre    0 1 0 1, , . 
 
 
CRITERIO DE EXISTENCIA DE LEBESGUE. 
 
 
Teorema 5: 
Si f es acotada sobre un rectángulo R, entonces  f x dx
R existe si y solamente si el conjunto de los 
puntos de discontinuidad de f es de medida de Lebesgue nula. 
 
INTEGRACION SOBRE CONJUNTOS MAS GENERALES. 
 
 
Sea S n R , S acotado; y sea f S: R , consideramos fS
n:R R , definida por 
   f x
f x x S
x SS n


 


 0
,
,
 si 
 si R
 
 
 
DEFINICION: 
Se dice que f integrable sobre S si fS es integrable sobre R, donde R es un rectángulo que contiene a S. En 
tal caso se define 
   f x dx f x dx
S
S
R  
 77 
Se dice que una parte acotada S de Rn es J-medible (medible según Jordan) si 1dx
S existe, en tal caso 
la medida de S es por definición 
 m S dx
S
 1 . 
 
 
OBSERVACION: 
Puede probarse que un conjunto acotado E n R es J-medible si y sólo si, su frontera, ( )Fr E , es de 
medida cero. 
 
 
Teorema 6: 
Si: 
- S es un conjunto acotado de Rn. 
- f es una función acotada sobre S y continua en S E donde E tiene contenido nulo. 
- la frontera de S, ( )Fr S , tiene contenido nulo. 
Entonces f es integrable sobre S. 
 
 
PROPIEDADES DE LAS INTEGRABLES MULTIPLES. 
 
 
Teorema 7: 
Si f, g son integrables sobre S n R , entonces ffgcfgf , , , también son integrables y se 
cumple: 
a)  f f x dx
S
   es lineal. 
Es decir   SSS gfgf  para todo  , R . 
b)      dxxgdxxfgf . 
c)  f x dx f x dx
S S
( )  . 
 
 
Demostración: 
Se usa criterio de Riemann. 
 
 
Teorema 8. 
Sea RS una parte compacta y conexa, f g S, : R . 
Si f es continua sobre S, g integrable sobre S y 0 , entonces existe x S0  tal que: 
         SS dxxgxfdxxgxf 0 
 
 
Demostración: 
 78 
Se usa el teorema que afirma que la imagen de un conexo es un conexo y el teorema de los valores 
extremos. 
 
 
Teorema 9. 
Si f es integrable sobre 2 conjuntos disjuntos S1 y S2, entonces f es integrable sobre S S S 1 2 y se 
cumple: 
     f x dx f x dx f x dx
S S S S1 2 1 2
    
 
 
Corolario. 
Si f es integrable sobre S1 y S2, y S S1 2 tiene contenido nulo, se cumple: 
     f x dx f x dx f x dx
S S S S1 2 1 2
    . 
 
 
Ejemplo: 
Sean   S x y x y x      , 0: ,1 1 1 
   S x y S x1 1 1    , 
   S S x2 1 0    x,y 
Entonces   S S y y1 2 0 0 1   , : es un segmento en R
2
; luego tiene contenido cero y, por lo 
tanto, 
f f f
S S S   1 2
 
 
 
2. EVALUACION DE INTEGRALES MULTIPLES. 
 
 
Teorema 10: (Teorema de Fubini, Primera Forma) 
Si    : , ,f a b c d R es integrable y si para todo  y c d , existe    F y f x y dx
a
b
  , , 
entonces F es integrable sobre  c d, y se cumple: 
     F y dy f x y d x y
c
d
R , , 
 
 
Corolario. 
Si f es integrable sobre    a b c d, , y si      x a b f x y dyc
d
, , , existe y si 
     y c d f x y dxa
b
, , existe, entonces 
 79 
   f x y dy dx f x y dx dy
c
d
a
b
a
b
c
d
, , 





 





 . 
Esto ocurre en particular si f es continua sobre    R a b c d , , . 
 
 
Teorema 11: (Teorema de Fubini, Segunda Forma). 
Sea    R a b a bn n  1 1, ... , ,    
~
, ... ,R a b a bn n    1 1 1 1 . 
Si f es integrable sobre R y si existe      F x f x x x d x xn n n n
R
   1 1 1 1,..., , ,...,~ para cada 
 x a bn n n , , entonces F integrable sobre  a bn n, y 
   F x dx f x dxn n
a
b
Rn
n
 
 
  
 
 
Teorema 12: (Integración sobre un Producto de Rectángulos). 
Si A es un rectángulo en Rm, B es un rectángulo en Rn y    f x y f x y: , , es una función 
integrable sobre A B , tal que para todo x A E  , la función y f x y ( , ) es integrable sobre B, 
donde E es de contenido cero. Entonces la función x f x y dy
B
  ( , ) es integrable sobre A y se tiene : 
 fd x y f x y dy dx
A B BA
( , ) ( , )
  . 
 
 
Caso Particular. 
Si f A B n:   R R 
     f x y h x g y,  , donde h A: R y g B: R son integrables sobre rectángulos A y B de 
R p y Rq respectivamente, entonces f es integrable sobre A B y se tiene: 
         f x y d x y g x dx h y dy
A B A B
, ,
   
 
 
INTEGRACION SOBRE CONJUNTOS MAS GENERALES. 
 
 
Sea   A x y u y x v y c y d     , : ( ) ( ),R2 donde u y v son funciones reales continuas 
definidas sobre el intervalo cerrado  c d, . 
 
 
Teorema 13. 
Si f es integrable sobre A y para cada  y c d , existe  
 
 
f x y dx
u y
v y
, , entonces: 
 80 
   
 
 
f d x y f x y dx dy
A u y
v y
c
d
, , 


 

 . 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
Calcular la integral iterada. 
I e dx dyx
y
 

 

 
( )1
00
1 2
 
 
Solución. 
Sea   A x y y     x,y 1R2 0 0: , y.    
2
,
x y
f x y e
 
 
Es claro que f es integrable sobre A, pues f es continua sobre A, A es acotado y la frontera de A tiene 
contenido cero. 
Luego existe    J f x y d x y
A
  , , y el igual a I. 
Por otra parte   A x x y    x,y : ,0 1 1 . 
Luego  J f x y dy dx
x
 

 

 ,
1
0
1   
21 1 1
0
x
x
e dy dx
 
   


 

   e dy dx
x
x
( )1
1
0
1 2
 
        x e dx
x
1
1
0
1 2 2
1
( 1)
0
1
2
xe  
  






1
2
1
1
e
 
 
 
3. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES MULTIPLES. 
 
 
Teorema 14. (Caso de 1 variable). 
Si   IR,: bag es de clase C1 y IR IR : f es continua, entonces 
f t dt f g x g x dx
g a
g b
a
b
( ) ( ( )) ( )
( )
( )
 
 
   . 
Si g es biyectiva: 
   
f t dt f g x g x dx
g a b a b
( ) ( )( ) ( )
( , ) ,    . 
 
 
Teorema 15. (Cambio de Variables Primera Forma). 
Sea 
nA IR un abierto y nAg IR:  una función inyectiva de clase C1 tal que: 
 ( ): ( )  x A J xg 0 (*) 
 81 
Si 
nAgf IR)(:  una función integrable, entonces: y f g y J yg ( ( )) ( ) es integrable y se tiene: 
f x dx f g y J y dy
g A
g
A
( ) ( ( )) ( )
( )  . 
 
 
OBSERVACION: 
1) J xg ( ) denota el Jacobiano de g en x. 
2) La hipótesis   puede no ponerse , si se utiliza el 
 
 
Teorema 16. (De Sard) 
Si 
nAg IR:  es de clase C1 y si  : ( ) 0gB x A J x   , entonces g(B) tiene medida de 
Lebesgue nula. 
 
 
Corolario. 
Sea 
nU IR medible y sea nIRg nIR : una aplicación afín (inversible). Si f es integrable sobre 
V g U ( ) , entonces f o g integrable sobre U y se tiene: 
f y dy g f g x dx
g U U
( ) ( ( ))
( ) 
det   . 
En particular la medida de V es: 
m g U g m U( ( )) ( ) det . 
 
 
 
Teorema 17. (Cambio de variables, Segunda Forma). 
Sea K una parte compacta J-medible de 
nIR y sea nAg IR:  una aplicación de clase C1 sobre un 
abierto de 
nIR que contiene a K, tal que la restricción de g al interior K

 de K sea un “difeomorfismo” 
de K

 en su imagen, entonces el conjunto g(K) es medible y si IR)(: Kgf es una función 
continua sobre g(K) se tiene: 
f y dy f g x J x dx
g K
g
K
( ) ( ( )) ( )
( )   . 
 
 
OBSERVACION: 
Para que una biyección g U V:  sea un difeomorfismo es necesario y suficiente que g sea de clase C1 
y que J g no se anule en U. 
 
 
APLICACIONES. 
 
a) Paso a Coordenadas Polares. 
Consideremos la aplicación )sen ,cos(),( ,IRIR: 22  rrrg  , g es de clase C1. 
 82 
J r rg ( , )  
Sea     0 ;2,0, 121  rrrK  . g es una biyección de K

 sobre g K( )

 con J rg ( , )  0 . 
 
Luego g verifica las hipótesis del teorema precedente con 
2IRA , por la otra parte g(K) es la corona 
circular C C r r ( , , )0 1 2 definida por las desigualdades: 
r x y r1
2 2 2
2
2   (si r1 0 esta corona se reduce a un disco). 
Luego para toda función continua IR: Cf se tiene: 
 f x y d x y f r r rdrd
C r
r
( , ) ( , ) ( cos , )    

 sen
 
 
0
2
1
2
 (1) 
Por traslación, la fórmula (1) permite reducir el cálculo de una integral sobre una corona plana 
cualquiera aquel de una integral sobre un rectángulo de 
2IR . 
 
En particular, si DryxD )),,(( 00 denota el disco cerrado de centro ( , )x y0 0 y de radio r, para 
toda función continua f sobre este disco, se tiene: 
  
R
D
drrdryrxfyxdyxf
0
2
0
00 ))sen ,cos(),(),(

 . 
 
 
 
 
Ejemplos. 
1) Si D es el disco unitario de centro 0, se tiene: 
d x y
x y
rd
r
dr
D
( , )
2 2 20
2
0
1
1 1 







 

 
 






  2
1
2 2 1
20
1
 
rdr
r
( ) . 
2) Si DR es el disco de centro 0 y de radio R, 
I x y d x y r d dr
R
D
R
R
   

 

  ( ) ( , )
2 2 3
0
2
0
4
2


. 
 
 
b) Paso a Coordenadas Cilíndricas. 
Consideremos la aplicación 
33 IRIR: g , ( , , ) ( , , )r z r r z   cos sen g es de clase C1 
J r z rg ( , , )  . 
Sea K el compacto de 
3IR definido por las desigualdades: 
0
0 2
1 2
 
 
 




r h z
z z z
( )
  , 
donde   IR,: 21 zzh denota una función continua. 
 
 83 
Dado ( , , ) ( )x y z g K

 existe un único ( , , )r z K 

 tal que g r z x y z( , , ) ( , , )  . Así el teorema 
anterior es aplicable con 
3IRA . 
 
El compacto K g K  ( ) es el “sólido de revolución” de eje, el eje z, limitado por los dos planos 
z z 1 , z z 2 y la superficie de revolución S de ecuación x y h z
2 2 2  ( ) . 
 
Luego si IR)(: Kgf es continua se cumple. 
f x y z d x y z f r r z rd dr dz
K
g z
z
z
( , , ) ( , , ) ( cos , , )
( )
 


 






 sen 
 
 
  

0
2
01
2
. 
 
En particular. El volumen de K  es: 
v K d x y z rd dr dz
K
g z
z
z
( ) ( , , )
( )
   

 







  
 
 
 


0
2
01
2
 
   g z dzz
z
2
1
2
( )
 
 
. 
 
 
Ejemplo. La bola cerrada BR, de centro 0 y de radio R, está definida por las desigualdades: 
z R x y R z   , 2 2 2 2 . 
Considerando h z R z( ) ( ) / 2 2 1 2 , se obtiene: 
volumen de ( ) ( )B R z dz RR
R
R
  
  
2 2 34
3
. 
 
 
c) Paso a Coordenadas Esféricas. 
Consideremos la aplicación 
33 IRIR: g , 
( , , ) ( , , )           cos sen sen sen cos , g es de clase C1 
Jg ( , , )     
2sen . 
 
Sea K el compacto de 
3IR definido por las desigualdades: 
  
 
 

1 2
1
0
0 2
0
1 
 
 





 
 
 ( )
. 
 
Su imagen es la “corona esférica” K

 de 
3IR definida por: 
 1
2 2 2 2
2
2   x y z 
(esta corona se reduce a una bola si 1 0 ), la biyección de g a K

 es una biyección de K

 sobre 
g K( )

, cuyo Jacobiano no se anula , así ella es un difeomorfismo de K

 sobre g K( )

, de manera que se 
satisfacen las hipótesis del teorema anterior.84 
 
Luego para toda función real integrable IR: Kf se tiene: 
 
f x y z d x y z f
d d d
K
( , , ) ( , , ) ( ,
, ) .
 




   
         



cos sen
 sen sen cos sen
00
2
2
1
2
 
 
 
Ejemplo. 
Si BR es la bola de centro 0 y radio R y si R c se tiene: 
1/ 2
2 2 2
( , , )
( )R
B
d x y z
I
x y z c

    
 
 
    

















R
dd
cc
zyxd
0
2
0 0 2/122
d 
)cos 2
),,(


 
 
 
 

  
2 0
   
 
( ) ( )c c d
c
R
 
 
4
3
3R
c
. 
 
La integral I representa el potencial newtoniano creado en punto ( , , )0 0 c por una repartición de masa 
de densidad 1 en la bola BR de centro 0 y de radio R c . 
 
 
4. INTEGRALES IMPROPIAS. 
 
Hasta ahora se ha estudiado la integral múltiple 
 f x dx
S , 
con los supuestos de que: 
I) f es acotada en S. 
II) S es acotado 
 
Extenderemos la definición de  f x dx
S al caso en que uno o ambos de los supuestos precedentes no 
se cumplen; esto constituirá la integral impropia. 
 
 
Ejemplo: 
Si    S    1 1, , y  
 
f x y
x y
, 

1
2 2
2
. 
¿Cómo definir    f x y d x y
S
, , ? 
 
 85 
Sea    R n nn  1 1, , para n n 1, N . 
Es claro que R S R Rn
n
n n


 
1
1 , ; 
       f x y d x y f x y d x y
R n n
, , , ,
 R
  
1
. 
Podríamos definir 
   f d x y f d x y
S n Rn
, ,  lim 
Pero, ¿existe tal límite? ¿Por qué tomar  Rn nN y no otra sucesión   Rn n N tal que S Rn
n
 


1
 y 
  R Rn n 1? 
 
Para dar respuesta a estas preguntas desarrollaremos la teoría que sigue: 
Sea f D n:  R R una función; denotaremos por f  y f  las funciones: 
 
   
 
f x
f x f x
f x
 





, si 
, si 
0
0 0
 
 
 
 
   
f x
f x
f x f x
 





0 0
0
, si 
, si 
 
Es claro que: 
f f f   
f f f=   . 
 
 
DEFINICION. 
Sea S n R tal que S

 0 y tal que todo subconjunto acotado de la frontera de S, S , tiene contenido 
cero y sea 
 J S T T S Tn  




R : , acotado y medible Jordan

. 
Sea f S: R y supongamos que  f x dx
T existe para todo  T J S . 
Si los números 
    A f x dx T J S sup : T 
    B f x dx T J S
T
 sup : 
no son ambos infinitos definimos: 
  f x dx A B
S   . 
(*) 
Si S es acotado y f es integrable y acotado sobre S, entonces A y B son finitos y vale (*), por lo tanto la 
definición anterior es consistente con la definición de integral dada al comienzo del capítulo. Sin 
embargo (*) define f x dx
S
( ) en algunos casos donde S no es acotado o f no es acotada, o en ambos 
 86 
casos. Cuando esto ocurre decimos que f x dx
S
( ) es una integral impropia, la cual converge a A - B si 
A y B son finitos y diverge en otro caso. Cuando se desee distinguir la integral impropia de las ya 
conocidas, llamaremos a estas últimas integrales propias. 
 
Si g x X S( )   0 , escribiremos g x dx
S
( )   para indicar que g x dxS ( ) 
converge. El teorema que sigue muestra que la definición precedente no tiene un análogo de 
convergencia condicional como en 1 variable. 
 
 
Teorema 1. 
La integral impropia f x dx
S
( ) converge si y sólo si f x dxS ( )   (converge). 
 
 
Teorema 2. 
Si f x dx
S
( ) converge a un valor finito o diverge a , y ( )Tj es una sucesión de conjuntos en J(S), 
tal que: 
T T jj j  1 12( , ...) y S Tj
j
0 0
1



 , 
entonces: 
f x dx f x dx
S j Tj
( ) ( )  lim . 
 
 
Corolario. 
Si f x dx
S
( ) converge a un valor finito o diverge a  y ( )T a b   es una familia de conjuntos 
en J(S) tal que: 
 T T 1 2 si  1 2 ( )1 
y 
S T
a b
0 0
 


 , 
entonces: 
 f x dx f x dx
S b T
( ) ( ) 
 
lim
  
 ( )2 
 
Si (1) se reemplaza por T T 1 2 , entonces (2) se reemplaza por: 
f x dx f x dx
S a T
( ) ( )  lim  
. 
 
 
OBSERVACION 
 87 
Si f x x S( )   0 . De acuerdo a la definición, f x dx
S
( ) converge a una valor finito o diverge a 
. De manera que Teorema 2 y su Corolario puede siempre aplicarse en este caso. 
 
 
Ejemplos. 
1) Sea f :R R2  tal que f x y e x y( , )    
2 2
. Calcule, si existe: 
J f x y d x y
R
  ( , ) ( , ) . 
Deduzca que I e dxx 



 2  . 
 
 
Solución. 
Sea  S x y x y nn    ( , ) R2 2 2 2 . R2
1
1 


S S Sn
n
n n ; . 
f x y d x y f x y d x y
x S n
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R2  lim 
. 
f x y dx re dr d e
S
r
n
r
n
n
( , )
 
  


 

  








 2 2
00
2
0
2
1
2
 

 
  





 2
1
2
1
2
2
 
en 
 
 
Luego: J   
I e dx e dyx y2
2 2
 

 

  

 







 
 
 
 
  

 
 lim 
 
x
x y
n
n
n
n
e d x y( ) ( , )
2 2
 
 I   . 
 
 
2) Investigar la convergencia de I
d x y
x y p

 
( , )
( )1 2 2
2R
. 
 
Tomemos  T x y x y        ( , ) R2 2 2 0 . 
 
Cambiando a coordenadas polares: 
( ) ( )1 12 2 200
2
 







 x y
r
r
dr d
pT pp

 
 88 
  







 
 








 
p
p
p
p1
1
1
1
1
1 1
2 1
2
( )
log( )
 si 
 si 
 
 
Así, 
I
d x y
x y
p
p
p
pT

 
 

 




 lim 
 si 
 si 
 

( , )
( )1
1
1
1
2 2
 
 
 
3) La función f x y
x y
p
p
( , )
( )
( )
 

1
1
0
2 2
 es positiva y no es acotada sobre el disco abierto 
 S x y x y  ( , ) 2 2 1 . 
Para investigar la convergencia de I f x y d x y
S
  ( , ) ( , ) , tomamos  I x y x yp   ( , ) 
2 2 2 
donde 0 1  . 
 
Introduciendo coordenadas polares se obtiene: 
f x y d x y
rdr
r
d
T pP
( , ) ( , )
( )  








1 200
2 
 
  







 
  








 
1
1
1
1
1
1 1
2 1
2
p
p
p
p( )
log( )
 si 
 si 
 
Luego 
I f x y d x y p
p
p
T
  
 
 




 
lim 
 si 
 si 
 

1
1
0 1
1
( , ) ( , ) 
 
si p  0 , entonces I existe como una integral impropia, e I
p



1
. 
 
 
OBSERVACION. 
Cuando se aplica Teorema 2 y f es  0 sobre S, basta elegir cualquier sucesión conveniente  Tj de 
J(S) que satisfaga: T T S Tj j j
j
 


1
0 0
1
,  y aplicar f x dx f x dx
S Tj
( ) ( )  lim . 
 
 89 
Sin embargo si f cambia de signo sobre S, entonces una elección particular de ( )Tj puede producir un 
límite finito en (J) del cual se puede inferir erróneamente que f x dx
S
( ) converge aún cuando esto no 
sea así. Por ejemplo: 
 
Si    S    0 0, , y    R aa ( ) , ,   0 0 donde a y  son positivos. 
lim
 si 
 si 
 si 
  
 
  

 





 ( ) ( , )( ) x y d x y
a
a
a
R a
0 1
0 1
1
 
 
El siguiente procedimiento se debería usar para evitar esta clase de error: 
 
1) Usar el Teorema 2 con cualquier elección conveniente ( )Tj para determinar si 
 f x dx
S
( )     
2) Si   vale, entonces usar Teorema 2, otra vez con cualquier elección conveniente de ( )Tj , para 
evaluar 
S
f x dx ( ) . 
Comentarios similares se aplican para el Corolario. 
 
 
Teorema 3. (Test de Comparación) 
Supongamos que S satisfaga las suposiciones de la definición 1, , f g son propiamente integrable sobre 
los miembros de J(S), y 
f x g x x S( )   ( ) . 
Entonces: 
a) Si g x dx( ) converge, entonces f x dx
S
( ) converge. 
b) Si f x dx
S
( ) diverge, entonces g x dxS ( ) diverge. 
 
 
 
 90 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DEL CAPITULO IV 
 
 
PARTE A 
 
I. Usando coordenadas cartesianas, determinar: 
 
1.    
3
0
2
1
 81 dydxxy . 
 
2.  
R
yxdxy ,2 . Donde   10 ,23:, 2 yxIRyxR . 
 
3.  
4
0
2
2
 
2
x
y dxdye . 
 
4. El volumen de la región del primer octante acotada por el cilindro zx  42 y el plano 
1234  yx . 
 
5. 
 
 
C
yxd
yx
y
,
2
3
22
3
, con   1 ,1:,
2
1222  yyxIRyxC . 
 
6. El volumen encerrado por las superficies: 0z , 1 zx , 
2yx  . 
 
7.  
1
0 3
2
 
y
y
x dydxe . 
 
8.   
E
yxdyxyx ,1 3322 , donde E es la región del primer cuadrante acotada por 
133  yx y los ejes coordenados. 
 
 
9.  yxdysen
D
, 3 , donde D es la región acotada por xy  , 2y y 0x . 
 
 
 
 91 
 
PARTE B 
 
 
 
1. El momento de inercia I de la sección transversal de una viga, con respecto a la recta 
horizontal l que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal es: 
    yxdyxdI
R
,,
2
 
Donde  yxd , es la distancia de  yx, a l y R es la sección transversal de la viga. 
Encontrar I cuando R es el rectángulo 11  x , 2 2y   y l es el eje x . 
 
2. Calcular     
R
yxdyx , , donde R es la región del primer cuadrante interior a 
422  yx y que está acotada por 0y e xy 3 . 
 
3. Al calcular por integración doble el volumen V limitado por encima por la superficie 
 yxfz , y por la parte inferior por una región S del plano xy , se ha llegado a la 
suma de integrales: 
 
      















2
1
8
2
8
,,
2
dxdyyxfdxdyyxfV
x
x
x
 
 
Dibujar la región S y expresar el volumen V mediante una integral iterada en la que el 
orden de integración esté invertido. 
 
4. Evaluar la integral     
D
yxdyx , 2 2 , usando los dos órdenes de integración, donde 
D es la región acotada por 1 xy , 1 xy e 3y . 
 
5. Encontrar el volumen de la región del espacio encerrada por el cilindro 422  yx y 
los planos 4 zy y 0z . 
 
6. Dada la función  







0,1
0,
,
x
x
x
senx
yxf , evaluar    
S
yxdyxf , , , con 
  yxyyIRyxS  ,10:, 2 . Explicar además por qué f es integrable 
sobre el conjunto S , y por qué la integración sólo puede realizarse en un orden de 
integración. 
 
 
 92 
 
 
PARTE C 
 
a) Evaluar la integral iterada. 
 
1.    
1
0
2
0
 3 dxdyx 
 
2.   


3
1
1 
1
 42 dxdyyx 
 
3.  
4
2
1
0
2 dydxyx 
 
4.   
 

0 
2
1 
1
22 dydxyx 
 
5.  

3ln
0
2ln 
0
 dxdye yx 
 
6.  
2
0
1 
0
 dxdysenxy 
 
7.    
3
0
1 
0
2
1
2 dydxyxx 
 
8.   


2 
1
4 
2
22 32 dydxxyyx 
 
9.  

0 
1
5 
2
 dydx 
 
10.  

6 
4
7 
3
 dxdy 
 
11. 
   
1 
0
1 
0
2
 
1
dxdy
xy
x
 
 
12.   

 2
2 
1
 cos dxdyxyx 
 
13.  
2ln
0
1 
0
 
2
dxdyexy xy 
 
14. 
   
4 
3
2 
1
2
 
1
dxdy
yx
 
 
 
b) En los ejercicios 15 a 19, evaluar la integral doble sobre la región rectangular. 
 
 
15. 
R
yxdxy ),(4 3 ;   22 ,11:, 2  yxIRyxR 
16. 
R
yxd
yx
xy
),(
122
;   10 ,10:, 2  yxIRyxR 
 
17.  
R
yxdxx ),(1 2 ;   32 ,10:, 2  yxIRyxR 
 
 93 
18.   
R
yxdsenxysenyx ),( ;   
32
2 0 ,0:,

 yxIRyxR 
 
19.   
R
yxdyx ),( cos ;   
444
2 0 ,:,

  yxIRyxR 
 
 
c) En 20 a 25, la integral iterada representa el volumen de un sólido. Dibujar el sólido en el 
espacio. 
 
 
20.  
5
0
2
1
 4 dydx 
 
21.    
1
0
1 
0
 2 dxdyyx 
 
22.  
3
2
4 
3
 dydxy 
 
23.   
3
0
4 
0
22 25 dxdyyx 
 
24.   
 

2 
2
2 
2
22 dydxyx 
 
25.  


1
0
1 
1
2 4 dxdyx 
 
 
 
d) En los ejercicios 26 a 30, usar integrales dobles para encontrar el volumen: 
 
 
26. Bajo el plano yxz  2 y sobre el rectángulo 
  21 ,53:, 2  yxIRyxR . 
 
27. Bajo la superficie yxxz 23 33  y sobre el rectángulo 
  20 ,31:, 2  yxIRyxR . 
 
28. Que se encuentra en el primer octante, entre los planos coordenados y los planos 
4y y 153  zx . 
 
29. Que se encuentra en el primer octante, y está acotado por la superficie 
2xz  y los 
planos 2x , 3y , 0y y 0z . 
 
30. Que se encuentra en el primer octante, entre los planos de ecuaciones 0x , 0z , 
5x , 0 yz y 62  yz . 
 
31. Sea      yhxgyxf ,  y   dycbxaIRyxA  ,:, 2 . 
 
 Mostrar que       
d
c
b
aA
dyyhdxxgyxdyxf ),( , . 
 
32. Hallar    
S
yxdxxyx ),( cos cos 2  , si  ,0
2
1
,0 





S . 
 
33. Hallar el área de la región limitada por xy 22  e xy  . 
 
34. Calcular   


3
0
4
1
 
y
dydxyx . 
 
35. Calcular    











4
2
22
1
 
2
 
2
x
x
x
dx dy
y
x
sendx dy
y
x
sen

. 
 
36. Hallar el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y por el plano de 
ecuación 1
942

zyx
. 
 
37. Hallar el volumen de la región limitada por 
22 yxz  , 0z , ax  , ax  , 
ay  , ay  . 
 
95 
 
38. Determinar  
D
yxdyx ),( 22 , si   2222 :, ayxIRyxD  . 
 
39. Encontrar 
 


E
yx yxde ),( 
22
, si   22222 :, byxaIRyxE  . 
 
40. Hallar el área acotada por 4xy , 8xy , 53 xy y 153 xy . 
 
 
41. Encontrar el área de la región del primer cuadrante limitada por 
 
 
3xy  , 34xy  , 3yx  y 34yx  . 
 
42. Calcular   

1
0
1
0
2
22
 
yx
dxdydzxyz . 
 
43. Hallar la masa de la región del primer octante que es interior a la esfera de radio 4 y 
centro en el origen, sabiendo que la densidad está dada por xyz . 
 
44. Hallar el volumen limitado por 
22 yxz  y xz 2 . 
 
45. Calcular el volumen acotado por 
224 yxz  y el plano xy . 
 
46. Hallar   
R
zyxdzyx ,,222 , donde R es la región del espacio limitada por 
el plano 3z y el cono 
22 yxz  . 
 
47. Encontrar el volumen del sólido encerrado por 
22 yxz  y 22 yxz  . 
 
48. Evaluar 
 
 
R
zyxd
zyx
,,
1
2
3
222
, si R es la región del espacio acotada por 
2222 azyx  y 2222 bzyx  , 0 ba . 
 
49. Hallar la masa de un cilindro circular recto de radio a y altura b , si la densidad es 
proporcional al cuadrado de la distancia a un punto de la circunferencia de la base. 
 
50. Considerar una esfera de radio a y un cilindro de radio ab  cuyo eje coincide con 
un diámetro de la esfera. Hallar el volumen interior a la esfera y exterior al cilindro. 
 
51. Calcular el volumen acotado por los cilíndricos hiperbólicos 
 
 
 
 1xy , 9xy , 4xz , 36xz , 25yz e 49yz . 
 
52. Calcular    
T
zyxdzyxf ,, ,, , si f está dada por    
2
2
2
2
2
2
1,,
c
z
b
y
a
xzyxf  
y   1:,,
2
2
2
2
2
2
3  
c
z
b
y
a
x
IRzyxT . 
 
53. A partir del cambio de variables dado por ,x u v y u v    , determinar el valor 
de la integral 
 


S
yxyx yxde ),( 
22
, donde   1:, 222  yxyxIRyxE . 
 
54. Sean    1,11,0 D y IRIRf 2: una función de clase 2C tal 
 
 que   61,1 f ,   31,1 f ,   11,0 f y   21,0 f . Encontrar : 
 
    
D
xy yxdyxf ,, . 
 
 
 
55. Sea R la región del plano acotada por 2xy  y por xy 2 . Probar que: 
 
 

R
yx yxde
3
1
),(0
22
. 
56. Hallar el volumen de la región interior a la esfera 
2222 azyx  y sobre la hoja superior 
del cono  22222 cos)( yxsinz  , donde 
2
0

  . Deducir luego el volumen de una 
esfera. 
 
57. Calcular la integral 
A
yxdxy ),( si A es la región limitada por la traza del paralelogramo 
con vértices en  0,0 ,  1,2 ,  4,3 y  3,1 . 
 
58. Evaluar  4 2 2 42 ( , )
D
x x y y d x y  , donde D es la parte del disco de radio 2 y centro enel origen que está en el primer cuadrante. 
 
 
59. A través de una esfera de radio 2 se perfora un hoyo cilíndrico de radio 21 . Suponiendo que 
el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera, hallar el volumen del sólido que queda. 
 
60. Al calcular por integración doble el volumen V situado debajo del paraboloide 
22 yxz  y 
limitado inferiormente por una cierta región S del plano xy , se ha llegado a la suma de 
integrales: 
 
97 
 
     


















1
0
2
1
2
0
22
0
22 dydxyxdydxyxV
yy
 
Dibujar la región S y expresar el volumen V mediante una integral iterada en la que el orden 
de integración esté invertido. Efectuar, también, la integración y calcular V. 
 
61. Hallar    zyxdzyx
D
,, 22  , con 
  20 ,1 ,0 ,0:,, 223  zyxyxIRzyxD . 
 
 
62. Sea R la región del plano acotada por ,1xy 4xy , 1x , 4x . Usando el cambio de 
variables ux  , 
u
v
y  , calcular la integral   
R
yxd
yx
xy
, 
1 22
. 
 
63. Sea A el dominio determinado por dos triángulos, uno de ellos de vértices  0,0 ;  
2
,0  y 
 0,
2

 , el otro de vértices  0,0 ;  
2
,0  y  0,
2
 . Hallar     
A
yxdyxsen , 
2
. 
 
64. Encontrar   
R
yxdyx ,4 22 , donde es   xyxIRyxR  0 ,10:, 2 . 
 
65. Sean IRIRf : continua y D el triángulo de vértices  0,0 ;  0,1 y  1,0 . Determinar el 
valor de la siguiente integral     
D
yxdyxf , en función de una variable auxiliar. 
 
66. Hallar el volumen de la región 
 
 






 0 ,0 ,0 , 1
169
:,,
22
23 zyx
zy
xIRzyxA . 
 
67. Calcular    zyxdyx
T
,, 22  , donde   10 ,31:,,
223  zyxIRzyxT . 
 
68. Sea S la región del primer cuadrante limitada por las rectas 0y , xy  y las 
circunferencias 
2 2 1
4
x y  y 122  yx . Evaluar  
S
yxd
yx
yx
, 
22
3
. 
 
69. Si   22 ,21 ,0:, xyyxIRyxA  , calcular  

A
y
x
yxdxe ,
2
. 
 
 
 
70. Calcular  

10
1
3
1
 
3
y
x dydxe . 
 
71. Evaluar     
D
yxdyx , 1 2
3
22
 donde D es el disco unitario. 
 
72. Usando integrales triples determinar el volumen dentro del cilindro 922  yx y fuera 
del cono de ecuación 
222 yxz  . 
 
 
PARTE D 
 
 
Determinar el valor de las siguientes integrales: 
 
 
1. 
A
zyxdzI ),,( . Donde A es el sólido limitado superiormente por la esfera 
azzyx 2222  e inferiormente por el cono 222 yxz  , 0a . 
 
 
2.     
B
yxdyxJ , 22 . Donde B es la región del primer cuadrante limitada por las 
curvas 4xy , 7xy , 222  yx y 1022  yx . 
 
3. K
 

C
yxd
yx
y
),(
2
3
22
3
. Donde C es la región determinada por las condiciones 
1
2
1
 y y 22 yx  1 . 
 
4.  

D
yx yxdeyxL ),(
2
. Donde D es la región acotada por las curvas 
1 yx , 4 yx , 1 yx y 1 yx . 
 
5.  
E
yxdyxM ,22 . Donde E es la región del primer cuadrante acotada por las curvas 
1xy , 2xy , xy  e xy 4 . 
 
6.     
F
zyxdyxxyzN ,,44 . 
Con: F   21:,, 223  yxIRzyx , 43 22  yx , 10  z , 0x , 0y . 
 
 
99 
 
 
 
 
PARTE E 
 
 
 
 
1. Calcular el volumen de la región que se encuentra limitada inferiormente por el 
paraboloide z 22 yx  y superiormente por el plano yz 4 . 
 
2. Encontrar el volumen del sólido que está limitado por las superficies con ecuaciones 
1z , z 22 yx  y 22 yx  = x . 
 
3. Calcular el volumen de la región de 
3IR interior a la esfera 22 yx  1
2  z y al 
cilindro 
22 yx  = y . 
 
4. Sea      3 2 2 2 2, , :B R x y z IR x y z R     la bola cerrada de centro en el 
origen y radio R 0 , y para cada número real a sea: 
 



)(
222
),,(
)(
1
),(
RB
zyxd
azyx
RaI . 
 
Determinar el valor de ),( RaI para: i) aR  y ii) 0a . 
 
5. Un sólido está acotado inferiormente por el plano 1z , lateralmente por el cono 
222 yxz  y superiormente por la esfera 18222  zyx . Usar integrales 
triples y un buen sistema de coordenadas para calcular el volumen del sólido. 
 
6. Un plano corta un casquete de altura H en una esfera de radio R , RH 0 . 
Hallar el volumen del casquete. 
 
7. Dos esferas de radio 4 se intersectan de manera que cada una pasa por el centro de 
la otra. Calcular el volumen de la región interior a ambas esferas. 
 
8. Un sólido  está limitado inferiormente por el plano xy , superiormente por la hoja 
superior del cono 
2223 yxz  y lateralmente por la esfera 4222  zyx . 
Calcular el volumen de  . 
 
9. Sea  la región acotada por 22 yx  2 y por 1222  yxz . Hallar el 
volumen de  . 
 
 
 
10. Sea  la región acotada superiormente por 49222  zyx e inferiormente por 
22 yx  213  z . Encontrar el volumen de  . 
 
11. Calcular el volumen de la región limitada por las superficies 
222 azy  , 222 bzy  ,   122  zyx y 0x , con ba  . 
 
12. Sea  
2 2 2
3
2 2 2
, , : 1, 0, 0, 0
x y z
E x y z IR a b c
a b c
 
        
 
. 
 
Calcular: i) El volumen de E . ii) 
2 2 2
2 2 2
 ( , , )
E
x y z
d x y z
a b c
 
  
 
 . 
 
13. Calcular el volumen de la región que está acotada lateralmente por los lados del 
cilindro 
22 yx  = x , superiormente por el cono 
2216 yxz  , e 
inferiormente por el plano xy . 
 
14. Encontrar el volumen de la región interior a las superficies 02 22  yxx y 
22 yx  4
2  z . 
 
15. Hallar el volumen de región limitada por 
22 yx  2a y 22 zx  2a . 
 
16. La rigidez flexural EI de una viga uniforme es el producto de su módulo de 
elasticidad de Young E y el momento de inercia I de la sección transversal de la la 
viga en x , con respecto a la recta horizontal l que pasa por el centro de gravedad de 
esta sección transversal. Aquí 
 
    yxdyxdI
R
,,
2
 ,  yxd , es la distancia de  yx, a l y R es la sección 
transversal de la viga considerada. 
 
i) Hallar I cuando R es el rectángulo 11  x , 22  y y l es el 
eje x . 
ii) Hallar I cuando R es un círculo de radio 4 y l es el eje x . 
17. Calcular el volumen, usando todos los posibles órdenes de integración, del sólido 
encerrado por las superficies: 0z , 1 zx y 
2yx  . 
 
PARTE F 
 
 
 
1) Calcular 


S
xy
xy
yxde ),( con   xyxIRyxS  2020:, 2 . 
 
101 
 
 
 
 
 
 
2) Hallar ),()ln( 22 yxdyx
A
  , donde   10:,
222  yxIRyxA . 
 
 
3) Calcular 
  D
yxd
yx
),(
1
1
422
 con   1:, 222  yxIRyxD . 
 
4) Evaluar 
 


2
22
),(
IR
yx yxdeI para verificar que 

 
0
2
2 
dxe x . 
 
5) Sea    1:,, 2223  zyxIRzyxR . Analizar la convergencia de: 
 
a) 
 
),,(
1
2222
zyxd
zyxR


 y b) 
 
  
R
zyxd
zyx
,,
1
222
. 
 
6) Sean IRIRgf 2:, las funciones: 










2
2
2
2
),(
b
y
a
x
eyxf ;      xysenyxfyxg ,,  
 
y nB   22
2
2
2
2 1:, nIRyx
b
y
a
x
  , con a y b constantes positivas y INn . 
 
a) Calcular 
nB
yxdyxf ),( ),( 
b) Calcular 
B
yxdyxf ),( ),( con B 1:),(
2
2
2
2
2 
b
y
a
x
IRyx 
 
c) Analizar la convergencia de 
B
yxdyxg ),(),( 
7) ¿Para qué valores de p converge la integral 
  3 222
),,(
IR
p
zyx
zyxd
 ? 
 
8) Si   xyxIRyxD  0 10:, 2 , mostrar que  
D
yx
yxd ),(
 diverge. 
 
9) Sean   1:, 222  yxIRyxE y la integral 
 
 
E
p
yxd
yx
,
1
1
22
. 
 
 
 
Determinar para qué valores de 0p la integral converge y para cuáles diverge. 
 
10. Sea G :
33 IRIRA  ,  wvug ,,  cwbvau ,, , con a , b y c  IR ; 
 
 donde   1:,, 2223  wvuIRwvuA . 
 
a) ¿Satisface G las condiciones delteorema del cambio de variables? 
 
b) Evaluar    
nT
zyxdzyxf ,, ,, , con  
 
3
22 2 2
2 2 2
1
, ,
1 x y z
a b c
f x y z
 


 , 
 
nT    
2 2 2 1
2 2 2
23, , : 1
x y z
na b c
x y z IR  
 
   
 
 y INn . 
 
c) Analizar la convergencia de    
T
zyxdzyxf ,, ,, , donde 
 
  
2 2 2
3
2 2 2
, , : 1
x y z
a b c
T x y z IR     . 
 
11. Para la función  
x
y
yxf , y la región R del plano acotada por las rectas xy  , 
0y y 1x , determinar el valor de    yxdyxf
R
,, .