Practica2sol (4)

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Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Departamento de Matemática
Resueltos Práctica 2: Cálculo III
Problema 2. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =

y2 + xy
x− y
, x 6= y
0 , x = y
a) Determinar el subconjunto de R2 más grande donde f es continua.
Solución: El análisis se separará en tres partes: En A := R2 − C, donde C := {(x, y) ∈ R2 : y = x},
en C − {(0, 0)} y en (0, 0). En A, se tiene que f(x, y) = y2+xy
x−y ∀(x, y) ∈ A, y en tal caso f es
continua porque es un cuociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula en A. En el caso
(x, y) ∈ C − {(0, 0)}, se tiene que (x, y) = (a, a), para algún a ∈ R, a 6= 0, y aśı
ĺım
(x,y)→(a,a)
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(a,a)
x2 + xy
x− y
no existe porque x2 + xy → 2a2 6= 0 y x− y → 0. Finalmente, en (0, 0), se considera
T := {(x, y) ∈ R2 : y
2 + xy
x− y
= 1}
y notamos que (x, y) ∈ T ⇐⇒ x = y2+y
1−y , y 6= x, y 6= 1, de donde (0, 0) ∈ T
′ y por lo tanto f no es
continua en (0, 0) porque ĺım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈T
f(x, y) = 1 6= 0.
b) Calcular, si existen,
∂f
∂x
(0, 0),
∂f
∂y
(0, 0),
∂f
∂x
(a,−a) y ∂f
∂y
(a, a), para a 6= 0.
Solución: Dado que
ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
1
h
(
0 + h · 0
h− 0
− 0
)
= 0,
se sigue que f es derivable respecto a x en (0, 0), y
∂f
∂x
(0, 0) = 0. Ahora,
ĺım
h→0
f(0, h)− f(0, 0)
h
= −1,
con lo cual
∂f
∂y
(0, 0) = −1. Si a 6= 0, entonces (a,−a) ∈ A (A es el conjunto definido en el ı́tem anterior),
y como A es abierto, existe r > 0 tal que B := B((a,−a), r) ⊆ A, de donde
f(x, y) =
y2 + xy
x− y
∀(x, y) ∈ B.
Luego, f admite derivadas parciales de primer orden en B, y
∂f
∂x
(x, y) =
y(x− y)− y2 − xy
(x− y)2
.
En particular,
∂f
∂x
(a,−a) = −2a
2 − a2 + a2
4a2
=
1
2
. Finalmente, (a, a) ∈ C, y notamos que no se puede
argumentar como se ha hecho recién porque C no es abierto, por lo tanto debe usarse la definición.
Finalmente, notamos que
ĺım
h→0
f(a, a + h)− f(a, a)
h
= ĺım
h→0
1
h
(
(a + h)2 + a(a + h)
a− a− h
− 0
)
= ĺım
h→0
h2 + 3ah + 2a2
−h2
no existe porque h2 + 3ah + 2a2 → 2a2 6= 0 y −h2 → 0. Aśı, ∂f
∂y
(a, a) no existe.
c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? ¿En (a, a), a 6= 0? ¿En R2 − {(x, x) : x ∈ R}?.
Solución: f no es diferenciable en ningún punto de C porque f no es continua en ningún punto del
mismo conjunto. Aśı, f no es diferenciable ni en (0, 0) ni en (a, a), a 6= 0. En A, f es diferenciable
porque es cuociente de funciones diferenciales cuyo denominador no se anula en A.
d) Determinar el subconjunto de R2 más grande donde f es de clase C1.
Solución: Será hecha en práctica.
Extra. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =

x3 + y5
x2 + y4
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Mostrar que f es continua en (0, 0) y que f no es diferenciable en (0, 0). Además, si û = (a, b) es una
dirección en R2, calcular
∂f
∂û
(0, 0), cuando exista.
Solución: notar que f es continua en (0, 0) porque∣∣∣∣x3 + y5x2 + y4
∣∣∣∣ ≤ |x|3x2 + y4 + |y|5x2 + y4 ≤ |x|+ |y| ∀(x, y) ∈ R2 : xy = 0,
y si xy = 0, la desigualdad anterior se satisface trivialmente. Por otro lado, f es diferenciable en (0, 0) si
y sólo si
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− ∂f
∂x
(0, 0)(x− 0)− ∂f
∂y
(0, 0)(y − 0)− f(0, 0)
‖(x− 0, y − 0)‖
= 0.
Dado que
ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= 1,
y
ĺım
h→0
f(0, h)− f(0, 0)
h
= 1,
se sigue que
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 1, y aśı f es diferenciable en (0, 0) si y sólo si
ĺım
(x,y)→(0,0)
1√
x2 + y2
(
x3 + y5
x2 + y4
− x− y
)
= 0.
Si T := {(x, y) ∈ R2 : x = y}, entonces (0, 0) ∈ T ′ y aśı
ĺım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈T
1√
x2 + y2
(
x3 + y5
x2 + y4
− x− y
)
= ĺım
x→0
x3 + x5√
2|x|(x2 + x4)
− 2x√
2|x|
no existe, por ĺımites laterales. Luego, f no es diferenciable en (0, 0). Finalmente, si û = (a, b) es una
dirección en R2, entonces
ĺım
t→0
f(ta, tb)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
(
a3t3 + b5t5
a2t2 + b4t4
)
= ĺım
t→0
a3 + b5t2
a2 + b4t2
=
{
a, a 6= 0
b, a = 0
Aśı,
∂f
∂û
(0, 0) =
{
a, a 6= 0
b, a = 0
Miércoles 03 de Agosto de 2014.
ECV/ecv.