(C2) pauta_certamen2_trimestre2_2014

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Pauta Certamen 2
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA (520145)
Tiempo: 90 Minutos
Problema 1. [ 12 puntos] Demuestre utilizando inducción matemática que:
∀n ∈ N, 42n − 1 es divisible por 5
Solución:
1) P(n):= 42n − 1 es divisible por 5.
2) S :={n ∈ N, 42n − 1 es divisible por 5}
3) Probemos que 1 ∈ S, en efecto, 42·1 − 1 = 42 − 1 = 16− 1 = 15 = 5 · 3.
4) Hipótesis de Inducción: k ∈ S, es decir: 42·k − 1 es divisible por 5.
5 puntos
5) Tesis de Inducción: k + 1 ∈ S, es decir, debemos probar que:
42·(k+1) − 1 es divisible por 5
en efecto, 42·(k+1) − 1 = 42k · 42 − 1 = 42k · 42 + (42 − 42)− 1 = 42(42k − 1) + 16− 1 = 42(42k − 1) + 15
Luego, por hipótesis 42(42k − 1) es divisible por 5 y 15 es divisible por 5, en conclusión k + 1 ∈ S
5 puntos
6)Finalmente, por inducción matemática S = N
2 puntos
2 UDEC - 2013
Problema 2. [12 puntos]Considera el desarrollo del binomio
(
x2y
4
− 2x
y
)17
determine, el término que
contiene x
25
y
.
Solución:
Sabemos que el término Tk+1 del binomio (a+ b)
n es Tk+1 =
(
n
k
)
an−kbk
es decir,
Tk+1 =
(
17
k
)(
x2y
4
)17−k (−2x
y
)k
=
(
17
k
)(
x34−ky17−k
417−k
)(
(−2)kxk
yk
)
=
(
17
k
)
x34−ky17−2k(−2)k
234−2k
8 puntos
Aśı, 34 − k = 25 ∧ 17 − 2k = −1 con esto, k = 9. Finalmente, el término que contiene a
x25
y
es el décimo término.
4 puntos
Problema 3. [12 puntos] Obtener el valor de k para que la recta L : x + y + k = 0 sea tangente a la
circunferencia x2 + y2 + 6x+ 2y + 6 = 0
Solución:
x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0 ⇐⇒ (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4 observamos que el centro de las
circunferencia es: C(−3,−1) y el radio r = 2. Finalmente, como la recta es tangente a la
circunferencia tenemos que la distancia del centro a la recta es 2.
6 puntos
Es decir:
d(C,L) = 2 ⇐⇒ | − 4 + k|√
2
= 2
⇐⇒ | − 4 + k| = 2
√
2
⇐⇒ −4 + k = 2
√
2 ∨ −4 + k = −2
√
2
⇐⇒ k = 2
√
2 + 4 ∨ k = −2
√
2− 4
6 puntos
CÁlCULO I - 520145 3
Problema 4. [12 puntos] Considere la cónica definida por 5y2 + 9x2 = 45.
a) Determinar sus vértices.
Solución:
5y2 + 9x2 = 45 ⇐⇒ y
2
9
+
x2
5
= 1
Por lo tanto, los vértices son: V1 = (0, 3), V2 = (0,−3), V3 = (
√
5, 0), V4 =
(−
√
5, 0)
4 puntos
b) Grafique la región, M = {(x, y) ∈ R2 : 5y2 + 9x2 ≤ 45 ∧ x+ y ≥ 1} Desarrollo:
4
−4
3−3
b A
b B
b C
8 puntos
c) [12 puntos] Sea f : D ⊆ R −→ R, hallar el dominio y recorrido de f definida por:
f(x) =
√
x− 2
x− 3
Solución:
Domf = {x ∈ R, ∃y ∈ R, y = f(x)}
=
{
x ∈ R, ∃y ∈ R, y =
√
x− 2
x− 3
}
= {x ∈ R, x ≤ 2 ∨ x > 3}
= ]−∞, 2]∪]3,+∞[
4 puntos
Recf = {y ∈ R, ∃x ∈ Domf, y = f(x)} =
{
y ∈ R, ∃x ∈ R, x ≤ 2 ∨ x > 3, y =
√
x− 2
x− 3
}
= {y ∈ R, ∃x ∈ R, x ≤ 2 ∨ x > 3, x = −2 + 3y
2
y2 − 1 , y ≥ 0}
= {y ∈ R, ∃x ∈ R, x ≤ 2 ∨ x > 3, x = −2 + 3y
2
y2 − 1 , y ≥ 0}
= {y ∈ R, −2 + 3y
2
y2 − 1 ≤ 2 ∨
−2 + 3y2
y2 − 1 > 3, y
2 − 1 6= 0, y ≥ 0}
= [0, 1[∪]1,+∞[
8 puntos
MGI/LBA/FTO/MVH 8 de Agosto 2013