GUIA 6 DE EDO II

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521218
PRACTICA 6. Ecuaciones Lineales de Orden Superior
Problema 1. Resuelva los siguientes PVI
a) y′′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1 ;
b) y′′ − y′ − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1 (*);
c) y′′ + y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 ;
d) y′′′ − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0 (*);
e) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0 ;
f) x2y′′(x) − 4xy′(x) + 6y(x) = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0 (cambio de variable x = et) ;
g) x2y′′(x) + 2xy′(x) + y(x) = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1 (mismo cambio de variable) (*);
Problema 2. A partir de una solución particular conocida de la EDO, encuentre la
segunda solución linealmente independiente, y resuelva el PVI :
a) y′′ − xy′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, (y1 = x es solución particular) ;
b) xy′′ − (1 + x)y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, (y1 = e
x sol. part.) (*);
c) x2y′′+x2y′−(1+x)y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1, (y1 = x
2 sol. part. integral definida) ;
d) (1 − x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0, y(2) = 1, y′(2) = 1, (y1 = x es sol. part.) (*);
Problema 3. Usando el método de los coeficientes indeterminados, resuelva los PVI :
a) y′′ − y = x − 1, y(0) = 0, y′(0) = 0 ;
b) y′′ + 9y = x3 + 6, y(0) = 0, y′(0) = 0 ;
c) y′′ + y = sen(x), y(0) = 0, y′(0) = 0 (*);
d) y′′ − y = x ex, y(0) = 0, y′(0) = 1 (*);
e) y′′ + y′ + y = sen(x), y(0) = 1, y′(0) = 0;
f) y′′ − 2y′ + y = (1 − 2x) x ex + x3, y(0) = 1, y′(0) = 0 (*);
g) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x ex, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0;
h) y′′ + 4y = x2sen2x + (1 − x) cos 2x, y(0) = 0, y′(0) = 0;
i) y′′ + 2y′ + 5y = 1 + x e−x sen2x, y(0) = 0, y′(0) = 0 (*);
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Problema 4. Usando el método de variación de parámetros, resuelva los PVI :
a) y′′ + y =
1
sen(x)
, y(π/2) = 0, y′(π/2) = 0 ;
b) y′′ + y = tan(x), y(0) = 0, y′(0) = 0 (*);
c) 2y′′ − 4y′ + 2y = x−1 ex, y(1) = 0, y′(1) = 0 (*);
d) y′′ + 2y′ + y =
e−x
1 + x2
, y(0) = 0, y′(0) = 0;
e) y′′ − 3y′ + 2y = e3x cos(ex), y(0) = 0, y′(0) = 0;
f) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3, y(0) = 1, y′(0) = 0 ;
g) x2y′′ + xy′ − y =
√
x, y(1) = 0, y′(1) = 0 (*);
Problema 5. (*) Para la ecuación diferencial L(y) = y′′′ − xy′′ − 7x2y′ + 5x3y = 0, sea
y1 la solución de
L(y) = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0;
sea y2 la solución de
L(y) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0;
sea y3 la solución de
L(y) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 2.
a) Verifique que la solución general de la EDO se puede escribir como y(x) = C1 y1 +
C2 y2 + C3 y3.
b) Encuentre las constantes C1, C2, C3 tales que y(x) = C1 y1 + C2 y2 + C3 y3 sea solución
de
L(y) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1.
(*) Problemas a resolver en clases de Práctica con el Prof. Ayudante.
20.09.2004
RBP/LNB/MSC/rbp
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