Listado3-Interpolacion

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
Guía N◦3: Interpolación
Cálculo Numérico 521230, 2019-2
Nota: Esta guía complementa la Guía de Laboratorio sobre Interpolación y Splines Cúbicos.
Los problemas a resolver con el computador han sido marcados con (C).
1. Interpolación
Recordemos que, dados los n+ 1 pares ordenados (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) ∈ R2, con x0, x1, . . . , xn distintos entre sí,
existe un único polinomio p ∈ Pn(R) (Pn(R) representa el espacio de los polinomios de grado menor o igual a n) que los
interpola.
Este polinomio puede representarse, por ejemplo, como combinación lineal de los polinomios en la base canónica de Pn(R),
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, en cuyo caso los coeficientes a0, a1, . . . , an son la solución del sistema de ecuaciones
lineales: 
1 x0 x
2
0 ... x
n
0
1 x1 x
2
1 ... x
n
1
1 x2 x
2
2 ... x
n
2
...
...
... ...
...
1 xn x
2
n ... x
n
n


a0
a1
a2
...
an
 =

y0
y1
y2
...
yn
 .(1)
El polinomio p que interpola los datos dados también puede representarse como combinación lineal de los polinomios en
una base de Lagrange de Pn(R). Si utilizamos la base de Lagrange formada por los polinomios l0, l1, . . . , ln con
li(x) =
n∏
j=1,j 6=i
x− xj
xi − xj
, i = 0, 1, . . . , n
entonces p(x) =
∑n
i=0 yili(x).
El comando polyfit de Octave permite encontrar los coeficientes, en la base canónica del espacio correspondiente, del
polinomio que interpola un conjunto de datos dado.
Por otro lado, el comando polyval es útil para evaluar dicho polinomio.
Para mayor información sobre ambos, escriba help polyfit o help polyval en el terminal de Octave.
1. (C) Determine, si es posible, el polinomio que interpola a los siguientes pares ordenados. Represéntelo como com-
binación lineal de los polinomios en la base canónica del espacio correspondiente.
a) (0, 1), (2, 3), (3, 0),
b) (−1, 1), (0, 0), (1, 1),
c) (−1, 0), (2, 1), (3, 1), (5, 2),
d) (0, 1), (1, 2), (1,−1).
Compruebe los resultados obtenidos utilizando el comando polyfit de Octave. Grafique los puntos y el polinomio
obtenido.
2. Considere los mismos puntos del ejercicio anterior. Escriba, en cada caso en que fue posible encontrar el polinomio
de interpolación, una base de Lagrange para el espacio de polinomios correspondiente y escriba al polinomio de
interpolación como combinación lineal de los polinomios en la base encontrada.
3. La tabla 1 muestra datos de temperatura de una sala a partir de las 6:00 hrs y cada 20 minutos.
a) Encuentre el polinomio que interpola a los datos de la tabla.
b) Deduzca la temperatura de la sala a las 6:05 y 6:35 hrs.
4. (C) Determine el polinomio que interpola a la función sin |[0,π] en los siguientes puntos:
a) x0 = 0, x1 = π/2 y x2 = π.
b) x0 = 0, x1 = π/4, x2 = π/2 y x3 = π.
c) x0 = 0, x1 = π/4, x2 = π/2 , x3 = 3π/4 y x4 = π.
1
2
Minutos después de 6:00 hrs temperatura (0C).
0 10
20 20
40 30
Cuadro 1. Datos para ejercicio 3
Compruebe los resultados obtenidos en cada caso utilizando el comando polyfit de Octave, grafique la función,
el polinomio obtenido y los puntos de interpolación.
5. Obtenga una cota para el error de interpolación en cada uno de los casos anteriores.
6. (C) Considere la función f = ln(x), x ∈ [1, 3].
a) Escriba, como combinación lineal de polinomios en una base de Lagrange, el polinomio p que interpola a ln en
los puntos (1, ln 1), (2, ln 2) y (3, ln 3).
b) Grafique f , p y los puntos de interpolación.
c) Utilice el polinomio calculado para aproximar los valores de ln(1,5) y ln(2,4).
d) Determine una cota para el error de interpolación cometido en cada caso.
7. Considere los siguientes pares ordenados (−1, 5), (0, 1), (1, 1), (2, 11).
a) Muestre que los polinomios p(x) = x3 + 2x2 − 3x+ 1 y q(x) = 18x
4 + 34x
3 + 158 x
2 − 114 x+ 1 los interpolan.
b) Explique por qué esto no contradice el teorema visto en clases sobre unicidad del polinomio de interpolación.
8. Suponga se quiere determinar un polinomio de grado menor o igual que 1 que interpole a la función f : [−1, 1] −→ R.
La manera en que se escojan los puntos x0, x1 ∈ [−1, 1] en los que el polinomio interpola a f influyen en el error de
interpolación
f(x)− p(x) = (x− x0)(x− x1)
2
f ′′(ξx).
Suponga que máxx∈[−1,1] |f ′′(x)| = 1.
a) Determine una cota para |f(x)− p(x)| en el caso en que x0 = −1 y x1 = 1.
b) Determine una cota para |f(x)− p(x)| en el caso en que x0 = −
√
2/2 y x1 =
√
2/2.
c) Determine una cota para |f(x)− p(x)| en el caso en que x0 = − 12 y x1 =
1
2 .
¿En cuál de los casos obtiene la menor cota para el error de interpolación?
Observación: Dado que en este ejemplo máxx∈[−1,1] |f ′′(x)| = 1
|f(x)− p(x)| = 1
2
|(x− x0)(x− x1)||f ′′(ξx)| ⇒ |f(x)− p(x)| ≤
1
2
máx
x∈[−1,1]
|(x− x0)(x− x1)|.
Una cota para |f(x)− p(x)| con x ∈ [−1, 1] es 12 máxx∈[−1,1] |(x− x0)(x− x1)|.
2. Splines cúbicos
Dados los pares ordenados (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) con x0 < x1 < x2 < · · · < xn una spline cúbica que los interpola
es una función s : [x0, xn] −→ R tal que
s(x) =

s0(x), si x ∈ [x0, x1],
s1(x), si x ∈ [x1, x2],
...
sn−1(x), si x ∈ [xn−1, xn],
que satisface
∀ i ∈ {0, 1, . . . , n− 1} : si ∈ P3(R),
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} : si(xi) = yi y sn(xn) = yn,
s ∈ C2([x0, xn]).
Si además s′′(x0) = s′′(xn) = 0, s se denomina spline cúbica natural.
3
1. Considere los coeficientes a, b, c ∈ R y la función f : [0, 2]→ R dada por
f(x) =
{
ax+ bx2 + cx3, si x ∈ [0, 1] ,
1 + x+ x3, si x ∈ [1, 2] .
Determine para qué valores de a, b, c ∈ R es f una spline cúbica. ¿Es f una spline cúbica natural?.
2. Determine cuál de las siguientes funciones es la spline cúbica natural que interpola los pares ordenados (−1,−1),
(0, 0), (1, 1),
s(x) = x,
s(x) = x3,
s(x) =
{
−x2, si x ∈ [−1, 0],
x2, si x ∈ [0, 1].
Concepción, 3 de mayo de 2020