INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE FUNCIONES

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 INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
Métodos Numéricos 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 5 
INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE FUNCIONES 
DOCENTE: 
ING.SALVADOR ZAMORA GARZA 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
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5.1 Polinomio de interpolación de Newton 
Utilizar la matriz de Vandermonde para muchos nodos no es muy buena idea ya 
que el tiempo de cálculo para matrices grandes es excesivo. Es mucho más sencillo 
utilizar el método clásico de las diferencias divididas de Newton. Recordemos su 
definición, para dos nodos, se llama diferencia dividida de orden uno a : 
 
 
 Mientras que la diferencia dividida de orden n se obtiene por recurrencia a partir 
de las anteriores como: 
 
 
 El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces: 
 p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, 
... , xn] 
El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la 
forma más popular además de las más útil. 
Interpolación Lineal 
La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. 
Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura:ç 
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/1.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/2.png?attredirects=0
 
 
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Usando triángulos semejantes, se tiene: 
 
 
se puede reordenar como : 
 
 
La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica que se trata 
de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de 
representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino 
 
 
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/3.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/4.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/5.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/6.png?attredirects=0
 
 
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Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En 
general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la 
aproximación. 
Interpolación Cuadrática 
Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la 
línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede 
llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio 
cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es : 
 
 
Nótese que aunque la ecuación [1] parezca diferente de la ecuación general de un 
polinomio : 
 
 
Las dos ecuaciones son equivalentes. 
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los 
coeficientes. Para bo , se usa la ecuación [4] con X=X0 y se obtiene. 
 
Sustituyendo la ecuación [6] y [4] y evaluando en X=X1 se obtiene: 
 
 
Y por ultimo las ecuaciones [7] y [6] se sustituyen en la ecuación [4] y se evalúa está 
en X=X2 y se obtiene: 
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/7.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/9.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/11.png?attredirects=0
 
 
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Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun representa la 
pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos 
términos de la ecuación [4] son equivalentes a la interpolación de X0 a X1. El ultimo 
termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la curvatura de segundo orden de la formula. 
Forma general de los Polinomios de Interpolación de Newton: 
 
 
Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación [9] estén 
igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se 
encuentren en orden ascendente. También nótese que las ecuaciones son 
recursivas, esto es las diferencias de orden superior se componen de las diferencias 
de orden inferior. Esta propiedad se puede aprovechar al desarrollar un programa 
eficiente par un computador. 
 
5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange 
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-
Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la 
forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto 
más tarde por Leonhard Euler en 1783. 
 
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de 
puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de 
Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de 
Lagrange. 
Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la 
Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un 
conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, 
esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso 
encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, 
predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema 
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://es.wikipedia.org/wiki/Edward_Waring
http://es.wikipedia.org/wiki/1779
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
http://es.wikipedia.org/wiki/1783
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/11.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/12.png?attredirects=0
 
 
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de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo 
vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la 
conocida Fórmula Interpoladora de Lagrange. 
 
• Interpolacion y Polinomio de Interpolacion de Lagrange 
Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), 
(x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que 
Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1 
Se requiere entonces que el numerador contenga 
(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn) 
El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk. 
 
• N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange 
Teorema 
Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores 
están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, 
con la propiedad de que 
f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n 
Este polinomio está dado por: 
 
 
Donde 
 
 
• Aproximación a 1/x con interpolantesde Lagrange 
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/Imagen1.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/Imagen2.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/Imagen3.png?attredirects=0
 
 
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Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. 
f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25. 
Los polinomios de Lagrange son: 
 
 
P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3 
P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15 
f(3) = P(3) = 0.325 
P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 
f(3) = P(3) = 0.325 
 
 
• Elerror en la interpolación de Lagrange 
El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con : 
 
 
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/pag.4.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/1.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/sistrevolution/5-1-interpolacion/interpolaciondelagrange/2.png?attredirects=0
 
 
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5.3 Interpolación segmentada. 
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La 
idea central es que, en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, 
podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar 
nuestra interpolación. 
Cabe mencionar que, entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más 
adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. 
 Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada 
por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo 
ciertas condiciones de continuidad. 
Interpolación Segmentaria Lineal 
 Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que 
se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra 
función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto 
es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. 
Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un 
total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van 
a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen 
nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, 
pero no derivable en general. 
Ejemplo : Interpolar con splines f(x) = 1 / x , en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4 
https://sites.google.com/site/metodosnumericosarm/trabajos/polinomios-de-interpolacion-de-lagrange/interpola_10.jpg?attredirects=0
 
 
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f(1) = 1 
f(2) = 0.5 
f(4) = 0.25 
El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de 
coordenadas (1,1) y (0.5,2). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos 
incógnitas: 
(1) 1=a+b 
(2) 0.5=2a+b 
De (1) se obtiene: 
a=1-b (3) 
Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 
0.5=2(1-b)+b 
luego 
b=1.5 
Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: 
a = - 0.5 
Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax 
+ b deberá unir el segundo punto (0.5,2) con el tercer punto (0.25,4). Análogamente 
a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene: 
(1) 0.5 = 2a + b 
(2) 0.25 = 4a + b 
a = - 0.125, b = 0.75 
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75 
 Interpolación Segmentaria Cuadrática 
En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen 
grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c 
 
 
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Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde 
N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos 
va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) 
va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, 
vamos a determinar como condiciones: 
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las 
dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno 
de estos puntos. 
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función 
definida a trozos que pasa por tal punto común. 
Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. 
Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres 
puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en 
total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan 
sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada 
intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x). 
Se necesita una sexta ecuación,¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el 
valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x). 
 Interpolación Segmentaria Cúbica 
En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] 
tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d 
En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una 
nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada 
segunda: 
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las 
dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno 
de estos puntos. 
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función 
definida a trozos que pasa por tal punto común. 
Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la 
función definida a trozos que pasa por tal punto común. 
Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no 
nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas 
que tenemos. 
 
 
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La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, 
podemos usar: 
Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 
0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, 
esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. 
Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto 
de splines definidos en el intervalo [m,n]. 
Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines 
definidos en el intervalo [m,n] 
 
5.4 Regresión y correlación 
En las distribuciones bidimensionales que siguen una dependencia estadística se 
utilizan gráficas de puntos para representar sus tendencias. No obstante, dichas 
tendencias pueden apuntar a una ley de tipo funcional, que pueda explicar el 
comportamiento global de la distribución. Para hallar esta ley se utilizan métodos 
de regresión y correlación entre las variables. 
Regresión y líneas de regresión 
Con frecuencia, las variables que constituyen una distribución bidimensional (ver 
t61) muestran un cierto grado de dependencia entre ellas. Un ejemplo típico de esta 
relación aparece en las tablas de peso y altura de los grupos de población: aunque 
no existe una ley causal que relacione ambas variables, en términos estadísticos se 
aprecia una dependencia entre ellas (cuando aumenta la altura, suele hacerlo 
también el peso). Esta dependencia se refleja en la nube de puntos que representa 
a la distribución, de modo que los puntos de esta gráfica aparecen condensados en 
algunas zonas. 
 
La concentración de puntos en algunas regiones de la nube refleja la existencia de 
una dependencia estadística, y la posibilidad de definir una ecuación de regresión. 
https://www.hiru.eus/es/matematicas/tablas-de-doble-entrada
https://www.hiru.eus/es/matematicas/tablas-de-doble-entrada
 
 
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En tales casos, se pretende definir una ecuación de regresión que sirva para 
relacionar las dos variables de la distribución. La representación gráfica de esta 
ecuación recibe el nombre de línea de regresión, y puede adoptar diversas formas: 
lineal, parabólica, cúbica, hiperbólica, exponencial, etcétera. 
Regresión lineal 
Cuando la línea de regresión se asemeja a una recta (regresión lineal), puede 
ajustarse a esta forma geométrica por medio de un método general conocido como 
método de los mínimos cuadrados. La recta de ajuste tendrá por ecuación y = ax 
+ b, donde los coeficientes a y b se calculan teniendo en cuenta que: 
• La recta debe pasar por el punto ( ). 
• La separación de los puntos de la gráfica de dispersión con respecto a la 
recta de regresión debe ser mínima.Estas dos condiciones conducen a una recta de ajuste expresada por la ecuación: 
 
donde es la media aritmética de la primera variable, la media aritmética de la 
segunda variable, sx la desviación típica de la primera variable y sxy un valor 
denominado covarianza, que se define por la expresión: 
 
Correlación 
En una distribución bidimensional, se define correlación, denotada por r, como el 
grado de dependencia que existe entre las dos variables del modelo, de modo que: 
• Cuando al aumentar el valor de una variable crece también el de la otra, 
la correlación es directa, e inversa en caso contrario. 
• Si no existe dependencia entre las variables, la correlación es nula. 
Para conocer si una correlación es directa o inversa, basta con determinar su 
covarianza: 
• Si la covarianza es positiva, la correlación es directa. 
• Cuando la covarianza es negativa, existe una correlación inversa entre 
las variables. 
 
 
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Ejemplos de correlación inversa. 
Coeficiente de correlación 
La medida exacta del grado de dependencia entre las dos variables de una 
distribución bidimensional se obtiene por medio del denominado coeficiente de 
correlación. Este parámetro se define como el cociente entre la covarianza de la 
distribución y el producto de las desviaciones típicas de cada una de las variables. 
Es decir: 
 
• Si r = +1, la correlación es máxima directa. Cuando r = -1, la correlación 
es máxima inversa. En ambos casos, existe entre las variables 
una dependencia funcional (todos los puntos están situados sobre la 
recta de regresión). 
• Si -0,5 £ r £ +0,5, se dice que entre las variables existe una dependencia 
baja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.5 Mínimos cuadrados 
Cuando varias personas miden la misma cantidad, generalmente no obtienen los 
mismos resultados. De hecho, si la misma persona mide la misma cantidad varias 
veces, los resultados variarán. ¿Cuál es la mejor estimación para la verdadera 
medición? El método de mínimos cuadrados proporciona una forma de 
encontrar la mejor estimación, suponiendo que los errores (es decir, las 
diferencias con respecto al valor verdadero) sean aleatorias e imparciales. 
¿Qué son los mínimos cuadrados? 
Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos 
(pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua 
que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), 
proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los 
mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las 
diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la 
función y los correspondientes datos. 
Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se 
obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera 
lineal y así minimizar los errores de la data tomada. 
La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita al 
matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo 
publicó sino hasta 1809. El matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el 
primero en publicarlo en 1805, este lo desarrolló de forma independiente. 
Definición: 
Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m 
es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera: 
 
 
 
15 
 
Σ es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en 
estudio y n la cantidad de datos que existen. 
El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos 
experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. 
Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de 
los puntos medidos a la recta. 
Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al 
conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de 
mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general: 
 
Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea 
de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y 
una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes 
se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el 
eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor 
ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados. 
Ejemplo del método de mínimos cuadrados 
Para entender con claridad la aplicación del método veamos un ejemplo: 
Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos: 
 
Veamos el gráfico: 
 
 
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Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de 
mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ 
y): 
 
Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²: 
 
 
17 
 
 
Ahora podemos obtener los valores de las sumatorias de cada columna: 
 
Sustituimos en cada una de las expresiones: 
 
 
La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente: 
 
Observemos el gráfico: 
 
 
18 
 
 
Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Por lo tanto, si 
queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0: 
 
Despejamos x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
5.6 Problemas de aplicación 
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , 
(4 , 2) . Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5. 
 
Tenemos los puntos: 
 
 
P(x0 , y0) = (-1 , 0) 
 
 
Q(x1 , y1) = (4 , 2) 
 
 
Obtenemos la función de interpolación lineal: 
 
 
 
 
 
Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5 
 
 
Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Bibliografía 
autor, S. (s.f.). sites google. Obtenido de https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-
interpolacion-de-newton 
autor, S. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/metodosnumericosarm/trabajos/polinomios-de-interpolacion-
de-lagrange 
calculo. (s.f.). Obtenido de 
https://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementale
s/problemas/p_interp_extrap.html 
hiru. (s.f.). Obtenido de https://www.hiru.eus/es/matematicas/recta-de-regresion-y-correlaciones 
López, R. A. (s.f.). Sites Google. Obtenido de https://sites.google.com/site/metsistec/unidad-4-
modificar-tablas-de-datos-i 
miprofe. (s.f.). Obtenido de https://miprofe.com/minimos-cuadrados/ 
 
 
 
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INTERPOLACIÓN Y 
AJUSTE DE FUNCIONES 
 
5.1 Polinomio de 
interpolación de Newton 
 
Utilizar la matriz de Vandermonde 
para muchos nodos no es muy 
buena idea ya que el tiempo de 
cálculo para matrices grandes es 
excesivo. Es mucho más sencillo 
utilizar el método clásico de las 
diferencias divididas de Newton. 
Recordemos su definición, para 
dos nodos, se llama diferencia 
dividida de orden uno a : 
 
 
5.2 Polinomio de 
interpolación de 
Lagrange 
 
En análisis numérico, el polinomio 
de Lagrange, llamado así en 
honor a Joseph-Louis de 
Lagrange, es 
el polinomio que interpola un 
conjunto de puntos dado en la 
forma de Lagrange. Fue 
descubierto por Edward 
Waring en 1779 y redescubierto 
más tarde por Leonhard 
Euler en 1783. 
 
Dado que existe un 
único polinomio interpolador para 
un determinado conjunto de 
puntos, resulta algo confuso 
llamar a este polinomio el 
polinomio interpolador de 
Lagrange. Un nombre más 
conciso es interpolación 
polinómica en la forma de 
Lagrange. 
 
5.3 Interpolación 
segmentada. 
 
Esta interpolación se llama 
interpolación segmentaria o 
interpolación por splines. La idea 
central es que, en vez de usar un 
solo polinomio para interpolar los 
datos, podemos usar segmentos 
de polinomios y unirlos 
adecuadamentepara formar 
nuestra interpolación. 
Cabe mencionar que, entre 
todas, las splines cúbicas han 
resultado ser las más adecuadas 
para aplicaciones como la 
mencionada anteriormente. 
 
5.4 Regresión y 
correlación 
 
En las distribuciones 
bidimensionales que siguen 
una dependencia estadística 
se utilizan gráficas de puntos 
para representar sus 
tendencias. No obstante, 
dichas tendencias pueden 
apuntar a una ley de tipo 
funcional, que pueda explicar 
el comportamiento global de la 
distribución. Para hallar esta 
ley se utilizan métodos de 
regresión y correlación entre 
las variables. 
 
cuadrados 
 
Cuando varias personas 
miden la misma cantidad, 
generalmente no obtienen 
los mismos resultados. De 
hecho, si la misma 
persona mide la misma 
cantidad varias veces, los 
resultados variarán. ¿Cuál 
es la mejor estimación 
para la verdadera 
medición? El método de 
mínimos 
cuadrados proporciona 
una forma de encontrar la 
mejor estimación, 
suponiendo que los 
errores (es decir, las 
diferencias con respecto al 
valor verdadero) sean 
aleatorias e imparciales. 
 
5.5 Mínimos 
cuadrados 
 
Cuando varias personas miden 
la misma cantidad, 
generalmente no obtienen los 
mismos resultados. De hecho, 
si la misma persona mide la 
misma cantidad varias veces, 
los resultados variarán. ¿Cuál 
es la mejor estimación para la 
verdadera medición? 
El método de mínimos 
cuadrados proporciona una 
forma de encontrar la mejor 
estimación, suponiendo que los 
errores (es decir, las diferencias 
con respecto al valor 
verdadero) sean aleatorias e 
imparciales. 
 
5.6 Problemas 
de aplicación 
 
Determinar la función lineal 
de interpolación que pasa 
por los puntos (-1 , 0) , (4 , 
2) . Interpola el valor a = 
1 y extrapola el valor b = 5. 
 
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-5/polinomio-de-interpolacion-de-newton/1.png?attredirects=0
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
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http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://es.wikipedia.org/wiki/Edward_Waring
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http://es.wikipedia.org/wiki/1779
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
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http://es.wikipedia.org/wiki/1783
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica