Diferenciación e Integración numérica

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 INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
Métodos Numéricos 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 4 
Diferenciación e Integración numérica 
DOCENTE: 
ING.SALVADOR ZAMORA GARZA 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
 
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Como referencia, el polinomio de Taylor muestra una aproximación de una 
función f(x): 
P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) +Pn(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)++ 
\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+2!f′′(x0)(x−x0)2+... 
 
Primera Derivada con Diferencias divididas hacia adelante 
Una aproximación a primera derivada, usa los primeros dos términos del polinomio 
de Taylor alrededor de xi en para un punto a la derecha xi+1 a una distancia h = xi+1–
xi 
 
f(x_{i+1}) = f(x_i)+\frac{f'(x_i)}{1!} (h) + \frac{f''(x_i)}{2!}(h)^2 + ...f(xi+1)=f(xi)+1!f′(xi)
(h)+2!f′′(xi)(h)2+... 
se puede simplificar en un polinomio de grado uno y un término de error: 
f_{i+1} = f_i + f'_i (h) + O(h^2) ...fi+1=fi+fi′(h)+O(h2)... 
Despejando la expresión para f’i 
 
f'_i = \frac{f_{i+1}-f_i}{h} = \frac{\Delta f_i}{h}fi′=hfi+1−fi=hΔfi 
 
La expresión también es la primera diferencia finita dividida con un error del 
orden O(h). (tema usado en interpolación). 
Revise que el término de la expresión queda O(h2)/h con lo que se disminuye el 
exponente en uno. 
4.1 Diferenciación numérica. 
http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/files/2018/07/DiferenciacionAdelante01.png
 
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Primera derivada con diferencias divididas centradas 
Se realiza el mismo procedimiento que el anterior, usando un punto xi+1 y xi-
1 alrededor de xi. En el término xi-1 el valor de h es negativo al invertir el orden de la 
resta. 
 
f_{i+1} = f_i+\frac{f'_i}{1!}(h) + \frac{f''_i}{2!}(h)^2fi+1=fi+1!fi′(h)+2!fi′′(h)2f_{i-1} = f_i-
\frac{f'_i}{1!}(h) + \frac{f''_i}{2!}(h)^2fi−1=fi−1!fi′(h)+2!fi′′(h)2 
restando la ecuaciones se tiene que 
f_{i+1} - f_{i-1} = f'_i (h)+f'_i (h)fi+1−fi−1=fi′(h)+fi′(h)f_{i+1} - f_{i-1} = 2h f'_ifi+1−fi−1
=2hfi′ 
La expresión de primera derivada usando un punto antes y otro después del punto 
central queda como: 
 
f'_i = \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h}fi′=2hfi+1−fi−1 
 
con un error del orden O(h2) 
 
Es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para 
calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, 
aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden 
calcularse analíticamente o resultan muy complicadas. 
4.2 Integración numérica 
 
http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/files/2018/07/DiferenciacionCentrada01.png
 
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La integración numérica es de gran importancia en ciencias aplicadas e ingeniería. 
Sus aplicaciones van desde cálculo de la capacidad de un pantano a partir de datos 
topográficos en el ´ámbito de la ingeniería civil, hasta la estimación de la fuerza total 
ejercida por el aire sobre las alas de un avión en ingeniería aeronáutica. En todas 
estas aplicaciones el objetivo es calcular una integral definida 
Métodos de Newton-Cotes: 
Se llaman Métodos de Newton-Cotes a los que se basan en integrar, en lugar de la 
función dada f(x), un polinomio de interpolación que aproxime a f(x) en [a, b]. Se 
trata por tanto de toda una familia general de métodos, según el polinomio de 
interpolación que se considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos 
para interpolar, etc.). Para el caso de las interpolaciones lineal y cuadrática, estos 
métodos se denominan Método de los Trapecios y Método de Simpson, 
respectivamente. 
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes. 
 Las formas cerradas: Son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final 
de los límites de integración (figura a). 
Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del 
intervalo de los datos (figura b). Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes 
no se usan para integración definida, por tal motivo no profundizaremos en ellas. 
 
FARC EP 
Mètodo Simple de los Trapecios 
Método de los trapecios Como se ha comentado, el Método de los trapecios es un 
Método de Newton-Cotes basado en la interpolación lineal. La idea esencial por 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/7/7c/Rc-1559664315.png/revision/latest?cb=20190604160516&path-prefix=es
 
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tanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)), es aproximar f(x) 
por su polinomio de interpolación lineal en [a, b] 
 
En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el área del trapecio 
que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los 
puntos: (a, f(a)) y (b, f(b)). 
Si recordamos la expresión del error de la interpolación lineal, suponiendo que f(x) 
es continua y derivable dos veces en el intervalo [a,b]: 
 
Tendremos entonces que: 
 
Donde el error de la integración numérica E será, obviamente: 
 
Integrando en esta última expresión y denominando se concluye fácilmente en que: 
Siendo el valor máximo que alcance la derivada segunda de la función en el 
intervalo dado 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/e/e7/Graqfica-0.png/revision/latest?cb=20190604143049&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/e/ea/Error_trapecio.PNG/revision/latest?cb=20190604142213&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/8/87/E.PNG/revision/latest?cb=20190604142322&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/1/12/Error_de_e.PNG/revision/latest?cb=20190604142602&path-prefix=es
 
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Método de los Trapecios compuestos 
Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el Método de los Trapecios 
Simple suele ser muy impreciso.Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el 
intervalo en otros más pequeños y aplicar en cada uno de ellos el Método simple. 
De esta manera, el Método de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en 
tomar una partición , equiespaciada, es dcir; Tendremos así 
que: 
 
 
Teniendo en cuenta las propiedades básicas de la integral definida: 
 
Y aplicando a cada integral el Método simple: 
 
Tenemos por tanto la expresión final para el Método de los Trapecios Generalizado: 
 
En lo que respecta al error de integración, será evidentemente igual a la suma de 
los errores de cada una de las aplicaciones del método simple: 
 
Si denominamos M2 al máximo de la función f ′′(x) en [a, b] tendremos finalmente: 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/4/4a/H.PNG/revision/latest?cb=20190604135850&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/7/74/Varias_integrales-2.PNG/revision/latest?cb=20190604140706&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/f/f9/Aplicando_a_cada_integral.PNG/revision/latest?cb=20190604141134&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/1/12/Metodo_trapecio_generalizado.PNG/revision/latest?cb=20190604141316&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/2/2c/Error_t_compuesto.PNG/revision/latest?cb=20190604143330&path-prefix=es
 
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Tomaremos habitualmente E definido no negativo, por lo que es frecuente escribir 
directamente: 
 
Ejemplo: Calcular el valor aproximado de la integral 
 
Utilizando la regla de los trapecios compuesta con n = 8 subintervalos. Evaluar 
exactamente el valor de la integral y compárese con el valor aproximado obtenido. 
De forma exacta: 
 
Método de los Trapecios, con n = 8. 
Dividimos el intervalo [0, 1] en 8 subintervalos y calculamos los correspondientes 
valores del integrando: 
 
Finalmente, aplicamos la fórmula antes deducida: 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/d/de/E1.png/revision/latest?cb=20190604144355&path-prefix=eshttps://static.wikia.nocookie.net/math/images/5/5d/Ew2.png/revision/latest?cb=20190604144355&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/5/56/Intr-0.png/revision/latest?cb=20190604145136&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/4/4d/Intr-1.png/revision/latest?cb=20190604145246&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/2/20/Rc.png/revision/latest?cb=20190604145447&path-prefix=es
 
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Queda una buena aproximación al resultado exacto. En la próxima sección 
completaremos este ejercicio mediante el uso del Método de Simpson y 
comprobaremos que proporciona una mejor aún aproximación. 
Si realizamos el mismo cálculo con un número diferente de subintervalos, se 
obtienen los siguientes resultados: 
 
Método de Simpson 
El Método de Simpson es un método de Newton-Cötes de segundo orden, es decir 
basado en integrar un polinomio de interpolación de segundo grado, de la forma 
siguiente: Dada la función f(x) en [a, b], tomaremos como tercer punto para la 
interpolación el punto medio de dicho intervalo, es decir: xm = a+b 2 , y 
denominaremos h = b-a 2 a la semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio 
de interpolación de grado 2 que pasa por (a,f(a)),(xm,f(xm)) y (b,f(b)) será: 
 
No es difícil calcular la integral de P2(x) entre a y b, de manera que se obtiene: 
 
La evaluación del error de integración da lugar a un curioso resultado. Suponiendo 
que la función f(x) es derivable al menos cuatro veces en el intervalo considerado, 
podemos desarrollar por la fórmula de Taylor la función f(x) en x = xm hasta tercer 
orden (resto de Taylor de orden 4): 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/1/1d/Rc-0.png/revision/latest?cb=20190604145721&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/a/a1/Rc-1.png/revision/latest?cb=20190604145837&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/9/9e/Rc-2.png/revision/latest?cb=20190604150110&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/5/5c/Rc-3.png/revision/latest?cb=20190604150247&path-prefix=es
 
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Con un breve cálculo se concluye en la expresión (para la fórmula del Método de 
Simpson): 
 
Por otro lado, si integramos el desarrollo de Taylor tendremos (simplificando los 
resultados): 
 
Finalmente el error de integración no es más que (tomando nuevamente el error 
como definido positivo): 
De manera que: 
 
Si denominamos M4 al máximo que alcance la derivada cuarta de la función en el 
intervalo [a,b], tendremos finalmente: 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/b/bd/Rc-1559660884.png/revision/latest?cb=20190604150805&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/8/86/Rc-1559660944.png/revision/latest?cb=20190604150905&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/5/5b/Rc-1559661051.png/revision/latest?cb=20190604151052&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/a/a1/Rc-1559661121.png/revision/latest?cb=20190604151202&path-prefix=es
 
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Métodos de Simpson compuestos 
Método de Simpson (1/3) 
 De manera completamente análoga a lo expuesto para el Método de los 
Trapecios, es posible generalizar (mejorando la precisión) el Método de Simpson 
por medio de la subdivisión del intervalo dado en otros más reducidos. De esta 
forma si partimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de anchura h=(b-a)/n 
tendremos la partición: {x0,x1,...,xn}. De cara a aplicar el Método de Simpson simple 
paso a paso observamos inmediatamente que n debe ser un número par para 
conseguir que todo [a,b] quede incluido en la integración numérica. Tendremos 
entonces: 
 
 Y los puntos x1,x3,...,xn-1 representarán el papel de “puntos medios” en cada 
una de las aplicaciones sucesivas del método simple. 
De forma explícita se obtiene: 
 
Donde I y P representan las sumas: 
 
De cara a la estimación del error, en cada uno de los pasos deberemos considerar 
 
De esta forma, el error de integración en el Método compuesto vendrá dado por: 
 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/9/94/Rc-1559661171.png/revision/latest?cb=20190604151252&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/6/61/Rc-1559661842.png/revision/latest?cb=20190604152403&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/9/9f/Rc-1559661888.png/revision/latest?cb=20190604152448&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/8/8b/Rc-1559661932.png/revision/latest?cb=20190604152532&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/1/19/Rc-1559661997.png/revision/latest?cb=20190604152637&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/4/43/Rc-1559662045.png/revision/latest?cb=20190604152725&path-prefix=es
 
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Donde se denota Mi 4 a los máximos de la derivada cuarta en cada aplicación del 
método simple y M4 al máximo de la derivada cuarta en todo [a, b]. Concluimos por 
tanto en la expresión: 
 
Ejemplo:Calcular el valor aproximado de la integral 
 
Utilizando la regla de Simpson compuesta con n = 8. Recordemos la tabla de valores 
utilizadas en la sección anterior al realizar este ejercicio mediante el método de los 
trapecios: 
 
De manera que 
 
Al ser comparado con el valor exacto 0.1177830 y el obtenido por la regla de los 
trapecios 0.117166 nos permite concluir que este método es más preciso que el 
anterior. Comparando de manera general los dos métodos tendremos: 
 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/6/6a/Rc-1559662090.png/revision/latest?cb=20190604152811&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/d/d6/Rc-1559662214.png/revision/latest?cb=20190604153014&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/4/4d/Rc-1559662262.png/revision/latest?cb=20190604153103&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/2/21/Rc-1559662303.png/revision/latest?cb=20190604153144&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/5/53/Rc-1559662353.png/revision/latest?cb=20190604153234&path-prefix=es
 
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Método de Simpson Compuesto (3/8) 
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible 
ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo: 
 
Para obtener 
 
Donde h = (b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h 
se multiplica por 3/8. La regla 3/8 se expresa también de la siguiente manera: 
 
Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos 
extremos tienen un peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de: 
 
O, como h = (b – a)/3, 
 
Puesto que el denominador de la ecuación (Simpson 3/8) es mayor que el de la 
ecuación (Simpson 1/3), la regla 3/8 es más exacta que la regla 1/3. Por lo común, 
se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden 
con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No 
obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar. 
Ejemplo: Con la regla de Simpson 3/8 integre: 
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/d/dc/Captura.PNG/revision/latest?cb=20190604154033&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/6/65/Captura-0.PNG/revision/latest?cb=20190604154127&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/c/c0/Rc-1559662955.png/revision/latest?cb=20190604154235&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/c/c0/Rc-1559663003.png/revision/latest?cb=20190604154324&path-prefix=es
https://static.wikia.nocookie.net/math/images/a/a5/Rc-1559663053.png/revision/latest?cb=20190604154414&path-prefix=es
 
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https://static.wikia.nocookie.net/math/images/0/08/Captura-2.PNG/revision/latest?cb=20190604161719&path-prefix=es
 
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la integral de una función de dos variables f(x, y) sobreuna región en el plano y la 
integral de una función de tres variables f(x, y, z) sobre una región en el espacio. 
Estas integrales se conocen como integrales múltiples y se definen como el límite 
de las sumas de Riemann, de manera similar al caso de las integrales de una 
variable que se presentaron en el capítulo 5. Presentaremos algunas aplicaciones 
de las integrales múltiples, incluyendo cálculo de volúmenes, áreas en el plano, 
momentos y centros de masa. 
 
 
En el capítulo 5 definimos la integral definida de una función continua f(x) en un 
intervalo [a, b] como el límite de las sumas de Riemann. En esta sección 
ampliaremos esta idea para definir la integral doble de una función continua de dos 
variables f(x, y) sobre un rectángulo R acotado en el plano. En ambos casos, las 
integrales son el límite de las sumas de Riemann. Las sumas de Riemann para la 
integral de una función f(x) de una variable se obtiene particionando un intervalo 
finito en pequeños subintervalos, multiplicando el ancho de cada subintervalo por el 
valor de f en un punto ck dentro del subintervalo, y luego sumando todos estos 
productos. Un método similar de particionar, multiplicar y sumar se usa para 
construir integrales dobles. Integrales dobles Iniciaremos nuestro estudio de las 
integrales dobles considerando el tipo más simple de regiones planas, un 
rectángulo. Consideremos una función f(x, y) definida en una región rectangular R, 
 
 
Integrales dobles en regiones acotadas no rectangulares 
 
Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no 
rectangular R, como la de 
4.3 Integración múltiple. 
 
https://sites.google.com/site/calvectorial123/home/unidad-5-integracion-multiple/Capture.JPG?attredirects=0
 
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la figura 15.8, otra vez empezamos poniendo sobre R una rejilla de pequeñas celdas 
rectangulares, cuya unión contiene todos los puntos de R. Esta vez, sin embargo, 
puesto que su frontera es curva, no podemos llenar exactamente R con un número 
finito de rectángulos que se encuentren dentro de R, y algunos de los pequeños 
rectángulos de la cuadrícula están parcialmente fuera de R. Para formar una 
partición de R se consideran los rectángulos que están por completo dentro de R, 
sin tomar en cuenta aquellos que están parcial o totalmente afuera. En el caso de 
las regiones comunes, se cubre una porción cada vez mayor de R cuando la norma 
de la partición (el máximo ancho o altura de cualquier rectángulo usado) tiende a 
cero. Una vez que tenemos la partición de R, numeramos los rectángulos en algún 
orden desde 1 hasta n, y dejando que DAk sea el área del k-ésimo rectángulo. Luego 
elegimos un punto (xk , yk ) en el k-ésimo rectángulo y formamos la suma de 
Riemann 
 
La naturaleza de la frontera de R introduce aspectos que no estaban presentes en 
las integrales sobre un intervalo. Cuando R tiene una frontera curva, los n 
rectángulos de una partición están dentro de R, pero no la cubren del todo. Para 
que una partición aproxime bien a R, las partes de R cubiertas por pequeños 
rectángulos que tienen una parte fuera de R deben ser despreciables conforme la 
norma de la partición tienda a cero. Esta propiedad de “casi ser cubierta 
completamente” por una partición de norma pequeña se satisface por todas las 
regiones que estudiaremos. No hay problema con las fronteras formadas por 
polígonos, circunferencias, elipses y gráficas continuas sobre un intervalo, unidas 
entre sí por los extremos. Una curva con forma “fractal” sería problemática, pero 
tales curvas rara vez se presentan en la mayoría de las aplicaciones. Un estudio 
detallado de los tipos de regiones R que se usan para el cálculo de integrales dobles 
se deja para textos más avanzados. 
 
https://sites.google.com/site/calvectorial123/home/unidad-5-integracion-multiple/Capture1.JPG?attredirects=0
 
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https://sites.google.com/site/calvectorial123/home/unidad-5-integracion-multiple/Capture2.JPG?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calvectorial123/home/unidad-5-integracion-multiple/Capture3.JPG?attredirects=0
 
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Bibliografía 
autor, S. (10 de 05 de 2022). blog. Obtenido de 
http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/diferenciacion-numerica/ 
autor, s. (10 de 05 de 2022). matematica fandom. Obtenido de 
https://matematica.fandom.com/wiki/Integracion_Numerica#:~:text=Integraci%C3%B3n%
20Num%C3%A9rica%3A%20Es%20una%20herramienta%20de%20las%20matem%C3%A1ti
cas,no%20pueden%20calcularse%20anal%C3%ADticamente%20o%20resultan%20muy%2
0complicadas. 
Roland E. Larson, R. P. (10 de 05 de 2022). diccionario. Obtenido de 
http://diccionario.sensagent.com/INTEGRAL%20MULTIPLE/es-es/ 
 
 
 
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Diferenciación e 
Integración numérica 
Diferenciación 
numérica 
Una aproximación a primera derivada, 
usa los primeros dos términos del 
polinomio de Taylor alrededor de xi en 
para un punto a la derecha xi+1 a una 
distancia h = xi+1–xi 
 
 
Integración 
numérica 
Es una herramienta de las matemáticas 
que proporciona fórmulas y técnicas para 
calcular aproximaciones de integrales 
definidas. Gracias a ella se pueden 
calcular, aunque sea de forma 
aproximada, valores de integrales 
definidas que no pueden calcularse 
analíticamente o resultan muy 
complicadas. 
La integración numérica es de gran 
importancia en ciencias aplicadas e 
ingeniería. Sus aplicaciones van desde 
cálculo de la capacidad de un pantano a 
partir de datos topográficos en el ´ámbito 
de la ingeniería civil, hasta la estimación 
de la fuerza total ejercida por el aire sobre 
las alas de un avión en ingeniería 
aeronáutica. En todas estas aplicaciones 
el objetivo es calcular una integral definida 
 
Integración 
múltiple 
la integral de una función de dos 
variables f(x, y) sobre una región en el 
plano y la integral de una función de 
tres variables f(x, y, z) sobre una 
región en el espacio. Estas integrales 
se conocen como integrales múltiples 
y se definen como el límite de las 
sumas de Riemann, de manera similar 
al caso de las integrales de una 
variable que se presentaron en el 
capítulo 5. Presentaremos algunas 
aplicaciones de las integrales 
múltiples, incluyendo cálculo de 
volúmenes, áreas en el plano, 
momentos y centros de masa. 
http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/files/2018/07/DiferenciacionAdelante01.png