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MÉTODOS 
NUMÉRICOS 
Segunda Edición 
Francis Scheid 
Rosa Elena Di Costanzo 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
Segunda edición 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
Coautoría: 
Traducción: 
Revisión técnica: 
Rosa llena Di Costanzo Loreces 
Ingeniero en Sistemas Computáciones 
Maestría en Investigación de Operaciones 
Profesora de Métodos Numéricos ITESM 
Gabriel Nagore Cazares 
Facultad de Ciencias UNAM 
Instituto de Investigaciones Eléctricas 
Glicina Merino Castro 
Lic. en Matemáticas UAEM 
Jefe del área de Matemáticas Aplicadas 
Facultad de Ingeniería UAEM 
Profesora del ITESM Campus Toluca 
McGRAW-HILL 
MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA 
MADRID • NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO 
AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI 
PARÍS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS 
SIDNEY • TOKIO • TORONTO 
FRANCIS SCHEID, Ph.lD. 
Profesor Emérito de Matematica 
Universidad de Boston 
Francis Scheid es profesor emérito de Matemáticas en la Universidad de Boston, ha 
sido miembro de la facultad desde que recibió su Doctorado sobre MIT en 1948, 
fungiendo como Jefe del departamento de 1956 a 1968. En 1961 -1962 fue profesor 
emérito en la Universidad Rangoon en Burma. El profesor Scheid ha impartido varias 
conferencias para educación por televisión, y sus videotapes son usados por la 
Marina de los Estados Unidos de Norteamérica. Sus investigaciones están ahora 
centradas en modelos de simulación por computadora sobre el golf. Entre sus 
publicaciones están los libros de la serie Outline de Schaum, "Numerical Analysis", 
"Computer Science" y "Computers and Programming". 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra 
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. 
DERECHOS RESERVADOS © 1991, respecto a la segunda edición en español por 
McGRAW-HILL INTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V. 
Atlacornulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto, 
535QQ Naucalpan de Juárez, Edo. de México 
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890 
ISBN 968-422-790-6 
(ISBN 968-451-100-0 primera edición) 
Traducido de la segunda edición en inglés de 
SCHAUM'S OUTLINE NUMERICAL ANALYSIS 
Copyright © MCMLXXXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A. 
ISBN 0-07-055221-5 
1234567890 
Impreso en México 
9087654321 
Printed In México 
Esta obra se terminó de 
imprimir en febrero de 1991 
en Programas Educativos, S.A. de C.V. 
Calz, Chabacano 65-A 
Col. Asturias 
Deleg. Cuauhtémoc 
06850 México, D.F. 
Se tiraron 6000 ejemplares 
Rosa Elena Di Costanzo Lorencez es profesora de la División de Ingeniería y Ciencias en el Campus Toluca 
del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Originaria de México, D. F., cursó sus estudios 
de primaria y secundaria en el Colegio Motolinia de Tampico, Tamps. Es graduada de la Preparatoria en Cien-
cias Físico-Matemáticas, de la Carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales y de la Maestría en Inves-
tigación de Operaciones del ITESM, Campus Monterrey. 
Es vocal en Educación Superior y Promoción Cultural de Toluca, A. C. (asociación que auspicia al Campus 
Toluca del ITESM). 
Tiene dieciséis años de experiencia docente en diversas instituciones profesionales y de postgrado, como el 
Tecnológico Regional de Cd. Madero, Tamps., la Universidad Autónoma de Tamaulipas en Tampico, Tamps. 
y el ITESM Campus Monterrey y Campus Toluca. 
Ha dirigido grupos estudiantiles de trabajo en las áreas de Ingeniería Industrial y de Computación, en empresas 
del Valle Toluca-Lerma, tales como FAMOSA Toluca, Cervecería Cuauhtémoc, S. A., Plásticos Vallejo, S. A., 
Vitrocrisa Toluca, Ladrillera La Huerta, S.A., CRYOINFRA Toluca, Resistol, Servicio Villegas, S. A., y cuatro 
hospitales de Toluca. 
Ha impartido diversos cursos en las mismas áreas como Análisis Numérico, Métodos Numéricos para 
Ingeniería, Algoritmos Computacionales, Programación Lineal, Programación Fortran, Cobol, Basic, Análisis 
y Diseño de Sistemas, Ciencias Computacionales, Programación Estructurada, Calidad y Productividad, 
Sistemas de Información Computarizados, Administración de Centros de Cómputo e Ingeniería de Sistemas. 
Ha colaborado en proyectos de desarrollo de planes y programas de estudio y de capacitación y adiestramiento 
a nivel profesional, diplomados y de postgrado en las mismas instituciones y en el Sistema Estatal de 
Informática del Gobierno del Estado de México. 
Ha trabajado como analista y como jefa de proyectos en la Unidad de Informática Zona Norte de PEMEX, en 
la Dirección General de Acreditación y Certificación de la Secretaría de Educación Pública, en el Grupo Sigma 
y en el Sistema Estatal de Informática del Gobierno del Estado de México. 
Contenido 
Capítulo Pág. 
1 ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 1 
2 POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 33 
3 DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 43 
4 POLINOMIOS FACTORIALES 54 
5 SUMAS (SUMATORIAS) 67 
6 EL POLINOMIO DE NEWTON 75 
7 OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 85 
8 PUNTOS NO EQUIDISTANTES 104 
9 INTERPOLACIÓN_POR_SEGMENTACIÓN_(SPLINES) 118 
10 POLINOMIOS OSCULADORES 131 
11 EL POLINOMIO DE TAYLOR 140 
12 INTERPOLACIÓN 152 
13 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 172 
14 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 187 
15 INTEGRACIÓN GAUSSIANA 211 
16 CASOS ESPECIALES EN LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 241 
17 SUMAS Y SERIES 250 
18 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 278 
19 ECUACIONES DIFERENCIALES 296 
20 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 343 
21 APROXIMACIÓN POLINOMIAL POR MÍNIMOS CUADRADOS 356 
22 APROXIMACIÓN POLINOMIAL POR MINIMAX 403 
23 APROXIMACIÓN POR FUNCIONES RACIONALES 427 
24 APROXIMACIÓN POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 445 
25 ÁLGEBRA NO LINEAL 475 
26 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 529 
27 PROGRAMACIÓN LINEAL 611 
28 SOLUCIÓN DE SISTEMAS INCONSISTENTES 630 
29 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 640 
30 MÉTODO DE MONTE CARLO 671 
APÉNDICE. PROBLEMAS INTEGRADORES 685 
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 693 
ÍNDICE 705 
Prefacio 
de la 2a edición en inglés 
El objetivo principal del análisis numérico sigue siendo el mismo: encontrar soluciones aproximadas a problemas 
complejos utilizando sólo las operaciones más simples de aritmética. En pocas palabras, se trata sencillamente de 
resolver problemas difíciles mediante muchos pasos fáciles. Ello significa identificar los procedimientos por medio 
de los cuales las computadoras pueden hacer ese trabajo por nosotros. Los problemas provienen de diversas 
áreas de las matemáticas, sobre todo del álgebra y el análisis; en ocasiones los límites o fronteras entre ellas no 
están bien definidos. Gran parte de la teoría básica la toma el analista de esas áreas, algunas de las cuales han 
de incluirse en un libro introductorio para lograr mayor claridad. También es cierto que este libro no se ocupa sólo 
de simples números en esas áreas. No olvidemos que el método numérico ha realizado notables aportaciones a la 
teoría algebraica y analítica. 
En esta segunda edición se han incorporado muchos temas nuevos. Entre otras cosas se incluye el análisis 
de error regresivo, interpolación por segmentación (splines), la integración adaptativa, las transformadas rápidas 
de Fourier, los elementos finitos, las ecuaciones diferenciales rígidas y el método QR. El capítulo dedicado a los 
sistemas lineales ha sido reelaborado por completo. Se han abreviado o suprimido algunos temas más antiguos, 
pero una parte considerable del análisis numérico clásico se ha conservado en parte por razones históricas. Muy a 
mi pesar he tenido que hacer algunas de esas supresiones, en especial la de la prueba constructiva de la exis-
tencia de soluciones a las ecuaciones diferenciales. La nueva edición exige un poco más a los estudiantes, pero lo 
mismo puede decirse de esta materia en general. 
La presentación del libro y su finalidad no han cambiado. Se ha incluido suficiente material para un curso de 
un año al inicio del nivel de postgrado. El libro puede adaptarse a un curso de un semestre si se efectúan las mo-
dificaciones (supresiones)necesarias. El formato de los problemas permite utilizarlos como un complemento de 
otros libros y facilita el estudio independiente. Cada capítulo comienza con un resumen del contenido y ha de con-
siderarse como su tabla de contenidos. No se pretende que el texto sea autoexplicatorio y por ello se ofrecen deta-
lles de apoyo a lo largo de los problemas resueltos. 
Y vuelvo a insistir en un aspecto sumamente importante: no cabe duda que el lector meticuloso encontrará 
errores en el libro, a pesar de todos ios esfuerzos que hice por evitarlos. Los analistas numéricos son las personas 
que más se preocupan por no cometer errores, posiblemente porque tienden mucho a hacerlos. Agradeceré a los 
lectores si me comunican los errores que encuentren. (Realmente la respuesta a esta petición fue muy buena en 
la primera edición.) Y sigo creyendo que en la vida uno de los mejores premios al esfuerzo humano es la alegría 
que acompaña la búsqueda de la "verdad" tan elusiva. 
FRANCIS SCHEID 
Prefacio 
de la edición adaptada 
En esta adaptación al Español, se conservan todas las ventajas de la segunda edición en inglés, además de tener 
adiciones importantes para emplear este libro a nivel de Licenciatura y de Postgrado, que considero atractivas tan-
to para alumnos como para maestros, ya que permiten el empleo del libro como texto. 
Se ha dado un nuevo enfoque en cada capítulo, incluyendo teoría básica en donde se juzgó necesario, obje-
tivos específicos de aprendizaje en cada uno de los treinta capítulos y algo muy importante fue la inclusión de al-
goritmos detallados de algunos métodos, sobre todo en los temas de Raíces de Ecuaciones, Ceros de Polinomios 
y Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. 
La forma de presentar los objetivos específicos de aprendizaje, es empleando verbos de acción para darles 
claridad, además de estar correlacionados con los problemas del capítulo correspondiente, lo que permitirá al 
maestro definir al alumno el grado de profundidad con que se va a tratar cada tema, seleccionando los objetivos 
requeridos, dependiendo del nivel del curso que se esté impartiendo. 
Los algoritmos que se han incluido, están definidos paso a paso; en otros casos se incluyen diagramas de 
flujo los que respetan una estructura que permite su programación en cualquier superlenguaje, ésta es una ventaja 
adicional, ya que estas metodologías no obligan al usuario a emplear un superlenguaje determinado, sino a utilizar 
el que conozca o el que juzgue más conveniente. 
Asimismo se incluye un método relativamente nuevo, comparado con la eliminación gaussiana para resolver 
Sistemas de Ecuaciones Lineales, éste es el Método de Montante, desarrollado por los ingenieros mexicanos Re-
ne Mario Montante Pardo y Marco Antonio Méndez Cavazos en Universidad Autónoma de Nuevo León, en la ciu-
dad de Monterrey, N. L 
ROSA ELENA DI COSTANZO LORENCEZ 
¿Qué son los 
métodos numéricos? 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE 
El alumno deberá ser capaz de: 
1. Explicar con sus propias palabras por qué son útiles los métodos numéricos (Introducción, Problemas 
1.1. Ejemplos 1.1,1.6). 
2. Explicar con sus propias palabras las desventajas e inconvenientes de los métodos numéricos 
(Introducción). 
3. Definir con sus propias palabras lo que es una sucesión aritmética y una sucesión geométrica 
(Introducción, Capítulo 5). 
4. Definir con sus propias palabras lo que es una serie aritmética y una serie geométrica (Introducción, 
Problemas 1.10,1.11, Capítulos 5 y 17). 
5. Escribir buscando en los capítulos posteriores, las series de Taylor y Fourier (Capítulos 11,24). 
6. Explicar con sus propias palabras lo que es una fórmula recursiva y su aplicación dentro de métodos 
numéricos (Introducción). 
7. Explicar con sus propias palabras lo que es recursividad simple y múltiple (Introducción). 
8. Obtener matemáticamente una fórmula de recursión de una sucesión, dados los elementos iniciales 
(Introducción). 
9. Definir con sus propias palabras convergencia de una sucesión y convergencia de una serle 
(Introducción, Problemas 1.9 a 1.11). 
10. Definir con sus propias palabras lo que es exactitud y precisión (Introducción, Problemas 1.8,1.40, 
1.42). 
11. Definir con sus propias palabras lo que es un error inherente (Introducción, Problemas 1.26 a 1.30). 
12. Definir con sus propias palabras dígitos significativos (Introducción, Problemas 1.40 a 1.44,1.46 a 1.49). 
13. Definir con sus propias palabras error absoluto (Introducción, Problemas 1.3,1.12,1.23 a 1.25). 
14. Definir con sus propias palabras error relativo (Introducción, Problemas 1.2,1.6,1.7). 
15. Definir con sus propias palabras error de truncamiento (Introducción). 
16. Definir con sus propias palabras error de redondeo (Introducción). 
17. Definir con sus propias palabras error sistemático (forward) y error accidental (backward) 
(Introducción, Problemas 1.26 a 1.30). 
18. Definir con sus propias palabras overflow y underflow (Introducción, Problemas 1.19,1,20). 
19. Representar y operar números normalizados en módulo binarlo y decimal (Introducción, Problemas 
1.15 a 1.18,1.21,1.22). 
1 
2 MÉTODOS NUMÉRICOS 
20. Sumar sucesiones de números, identificando el error de redondeo y aplicar posteriormente diferentes 
agrupaciones de ellos (Introducción, Problema 1). 
21. Deducir las fórmulas de error relativo para las operaciones de suma, resta, multiplicación y 
división de dos números X y Y, cada uno con error relativo (Introducción). 
22. Obtener el error relativo que se cometerá al hacer una serie de operaciones ( + , - , * , / ) (Introducción). 
23. Enumerar por lo menos cinco aplicaciones de los métodos numéricos (Introducción). 
24. Dar una definición de algoritmo y sus características (Introducción). 
25. Definir con sus propias palabras el significado de algoritmo estable (Problema 1.14). 
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS 
Métodos numéricos 1 
Polinomios 2 
Manejo de funciones continuas 
Polinomios osculadores 10 
El polinomio de Taylor 11 
Diferenciación numérica 13 
Integración numérica 14 
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21 
Aproximación polinomial por minimax 22 
Aproximación polinomial por funciones racionales 23 
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24 
Manejo de funciones discretas 
Diferencias divididas 3 
Polinomios factoriales 4 
Sumas (sumatorias) 5 
Sumas y series 17 
El polinomio de Newton 6 
Aproximación polinomial mediante interpolación 
Operadores y polinomios de colocación 7 
Puntos no equidistantes 8 
Interpolación por segmentos (splines) 9 
Interpolación 12 
Operación de polinomios 
Diferenciación numérica 13 
Integración numérica 14 
Integración gaussiana 15 
Integrales simples con puntos de singularidad 16 
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21 
Aproximación polinomial por minimax 22 
Aproximación polinomial por funciones racionales 23 
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 3 
Manejo de ecuaciones 
Ecuaciones en diferencias 18 
Ecuaciones diferenciales 19 
Sistemas de ecuaciones diferenciales 20 
Álgebra no-lineal y optimización 
Raíces de ecuaciones 25 
Ceros de polinomios 25 
Sistemas de ecuaciones lineales 
Sistemas de ecuaciones lineales 26 
Programación lineal 27 
Sistemas con múltiples soluciones 28 
Problemas con valores en la frontera 29 
Métodos de Monte Cario (números aleatorios) 30 
4 MÉTODOS NUMÉRICOS 
ALGORITMOS 
El objetivo del análisis numérico es resolver problemas numéricos complejos utilizando sólo operaciones simples 
de la aritmética, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos 
proporcionados. Los métodos de cálculo se denominan algoritmos. 
Nuestros esfuerzos se centrarán en la búsqueda de algoritmos. Para algunos problemas aún no se ha en-
contrado un algoritmo satisfactorio, mientras que para otros hay varios, por lo que deberemos elegir de entre ellos. 
Son varias las razones para elegir un algoritmo en vezde otro; dos criterios evidentes son la rapidez y la precisión. 
La rapidez es una ventaja evidente, aunque en el caso de problemas pequeños dicha ventaja se ve casi eliminada 
por la capacidad de la computadora. En problemas de grande escala, la rapidez es aún un factor principal y un al-
goritmo lento tiene que rechazarse por impráctico. Así, siendo otros factores iguales, es seguro que el método más 
rápido será el elegido. 
Dado que una computadora está compuesta de dispositivos que realizan operaciones lógicas y aritméticas; 
los procedimientos matemáticos deben simplificarse a tal grado que sean accesibles para procesarse en 
una computadora. Éste es uno de los objetivos principales para el estudio de los métodos numéricos. 
Los métodos que vamos a estudiar nos permitirán simplificar los procedimientos matemáticos de manera 
que podamos auxiliarnos con una computadora o una calculadora, para obtener resultados; como ejemplos de los 
procedimientos que al final del curso podremos desarrollar, se encuentran: cálculo de derivadas, integrales, 
ecuaciones diferenciales, operaciones con matrices, interpolaciones, ajuste de curvas, regresión lineal y 
polinomial, raíces de ecuaciones de segundo grado y ceros de polinomios. 
Las aplicaciones de los métodos numéricos son prácticamente ilimitadas y se requieren conocimientos de la 
materia en disciplinas tan variadas como: economía, contabilidad, mercadotecnia, física e ingenierías industrial, ci-
vil, eléctrica, mecánica, química, etc. Asimismo, propicia la formación de criterios de decisión para la elección 
del método adecuado, dependiendo del equipo computacional con el que nos estemos auxiliando, pudiendo ser 
éste desde una gran computadora hasta una calculadora de bolsillo (programable o no), pasando por equipos 
orientados hacia uno o más usuarios, ya que el comportamiento de los procesos diferirá mucho dependiendo del equipo. 
DEFINICIÓN DE ALGORITMO: 
El procedimiento matemático general que vamos a aplicar a los problemas que se nos presentan se llama algorit-
mo, voz de origen árabe que significa procedimiento matemático para la solución de un problema. 
ALGORITMO: procedimiento matemático que nos indica la serie de pasos y decisiones que vamos a tomar para la 
solución de un problema. 
CARACTERÍSTICAS DE UN ALGORITMO: 
1. FINITO: siempre debe terminar en un número determinado de pasos. 
2. DEFINIDO: las acciones deben definirse sin ambigüedad. 
3. ENTRADA: puede tener una o varias entradas. 
4. SALIDA: debe tener una o más salidas. 
5. EFECTIVIDAD: todas las operaciones deben ser lo suficientemente básicas para que puedan hacerse exac-
tamente en un determinado tiempo, no mayor que el que tome una persona empleando lápiz y papel. 
EJEMPLO 1.1 Encuentre la raíz cuadrada de 2 hasta cuatro decimales. 
Existe más de un algoritmo con ios que sólo se usan las cuatro operaciones básicas de la aritmética. El favo-
rito es sin duda 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 5 
2 
xn 
xn x1= 1 
1 
2 
del cual unos cuantos cálculos mentales producen rápidamente 
17 24 
17 12 
1 
2 x4 = x3 = 
17 
12 
3 
x 2 = 2 
o, redondeando hasta cuatro decimales, 
x2= 1.5000 x3 = 1.4167 x4= 1.4142 
siendo correcto el último resultado con cuatro decimales. Este algoritmo numérico tiene una larga historia y se en­
contrará de nuevo en el capítulo 25 como un caso especial del problema de determinar raices de ecuaciones. 
RECURRENCIA O RECURSIVIDAD 
FÓRMULA RECURSIVA: relaciona términos sucesivos de una sucesión particular de números, funciones o poli­
nomios, para proporcionar medios para calcular cantidades sucesivas en términos de las anteriores. 
FÓRMULA RECURSIVA SIMPLE: 
Por ejemplo, encuentre 
S= la suma de un conjunto de n números reales (a1 a2, a3 an). 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 = S1 + a2 
S} = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 
Sk =a1 + a2 + ... +ak = Sk-1 + ak 
S„ = a1 + a2 + ... +an = Sn-1 + an 
Fórmula inicial S1 = a1, para k - 1 
Fórmula recursiva Sk = 5k-1 + ak,para k = 2, 3, . . . ,n . 
Desarrolle un diagrama de flujo completo. 
FÓRMULA RECURSIVA MÚLTIPLE: 
Por ejemplo, encuentre la sucesión de números de Fibonacci, 0,1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,. . . 
En este caso la fórmula recursiva está en función de más de una variable anterior 
Fórmula inicial t1 = 0 Fórmula recursiva tk+2+ tk+1+ tk para k = 1,2,... 
t2 = l 
Desarrolle un diagrama de flujo completo. 
SUCESIÓN 
DEFINICIÓN FORMAL DE SUCESIÓN: 
Sucesión es una función f definida en el conjunto de Z+ Si f (n) - xn para n Z+ se acostumbra representar la su­
cesión f por el símbolo {Xn} o a veces por x1 x2, x3 , . . . 
6 MÉTODOS NUMÉRICOS 
Los valores de f, esto es, los elementos de x„ se llaman términos de la sucesión. 
Si A es un conjunto y xn A se dice que { xn } es una sucesión en A o una sucesión de elementos de A. 
La definición de sucesión involucra tres aspectos: 
1) Un conjunto de índices, el conjunto de Z+ 
2) Un conjunto de valores M, M 0. 
3) Una función de N en M, tal que para cada n N le corresponde un elemento definido de M denotado por an. 
Una sucesión no es simplemente un subconjunto, es un subconjunto numerado (indexado). 
Si los elementos de M son números, se habla de una sucesión numérica; si los elementos de M son funcio­
nes, tenemos una sucesión de funciones, etc. 
En una manera menos formal, es una colección ordenada de términos {tO, t1, t2............tk,.....} y se denota 
por {tk}. Si el rango de k es finito, la sucesión es finita, de lo contrario es infinita. Se considera recursiva si sus tér­
minos satisfacen alguna relación de recursividad. 
SUCESIÓN ARITMÉ 
Por ejemplo {1, 3, 5, 7,. 
t0 = a 
t1= a + h 
h = (a + h) + h 
tk=[a + ( k - l ) h ] + h 
tn = [a + (n - 1) h] + h 
TICA 
.. } o {2, 4. 6. 8 , . . .} 
= t0 + h 
= t1 + h 
= tk-1 + h 
= tn-1 + h 
Fórmula inicial tO-a 
Fórmula recursiva tk=tk-1+ h para k = 1 ,2 , . . . ,n 
Desarrolle un diagrama de flujo completo. 
SUCESIÓN GEOMÉTRICA 
Por ejemplo generar las sumas pardales de la sucesión geométrica a, ar, ar2, ar3 ark,.... arn. 
t0 = a 
t1 - ar 
t2 = (ar)r 
t3 - [(ar)r]r 
tk = [ar(k-1)r] 
tn= [ar(n-1)r] 
-t1r 
= t2r Fórmula inicial S0 = t0 
= tk - 1r 
= tn-1r 
Fórmula inicial t0 = a 
Fórmula recursiva tk = tk-1r para k- 1,2, ...,n 
Fórmula recursiva Sk = Sk-1 + tk 
Desarrolle un diagrama de flujo completo. 
SERIE: 
S = es la serie infinita correspondiente a la sucesión infinita (t0, t1,t2, ..........., tk, ...) = { tk }. 
Sk = tj es la k-ésima suma parcial de la serie infinita S. 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 7 
La sucesión [Sk] de sumas parciales de la serie infinita S, es la sucesión (S0, S1 S2, ...) = { Sk }. 
La serie converge si la sucesión converge. 
La serie no converge si la sucesión no converge. 
SERIE DE TAYLOR: 
SERIE DE FOURIER: 
f (X )=A 0 + A1 cos X + B1 sen X+ ... + An cos nX + Bn sen nX + ... 
ERROR 
En los cálculos numéricos el optimista pregunta qué tan precisos son los resultados calculados; el pesimista pre­
gunta qué tanto error se ha introducido. Desde luego, las dos preguntas corresponden a lo mismo. Sólo en raras 
ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse en procesos de medida. De mo­
do que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá re-
dondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces error generado por ambas fuentes. 
EXACTITUD: se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone repre­
senta. 
PRECISIÓN: se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando 
se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando. 
DÍGITOS SIGNIFICATIVOS: son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de iz­
quierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las cel­
das que guardan la mantisa. 
ERRORES INHERENTES O HEREDADOS: son errores en los valores numéricos con quese va a operar, pue­
den deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales. 
ERRORES SISTEMÁTICOS: debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. 
ERRORES ACCIDENTALES: debidos a la apreciación del observador y otras causas. 
ERROR DE TRUNCAMIENTO: se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. 
Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de in­
tervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en 
cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido. 
8 MÉTODOS NUMÉRICOS 
ERROR DE REDONDEO: debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que re-
quieren un gran número de dígitos. 
ERROR DE REDONDEO INFERIOR: se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localiza-
ción de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error 
de truncamiento). 
ERROR DE REDONDEO SUPERIOR: este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular: 
a) Para números positivos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se 
incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5. 
b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce 
en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5. 
ERROR ABSOLUTO: es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado y - valor real, y* - va-
lor aproximado, e, - error absoluto. 
ey = | y - y*| 
ERROR RELATIVO: es el cociente del error absoluto entre el valor real. 
ry = ey / y = |(y - y*)| /y para todo y ≠ 0. 
OVERFLOW: en el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear este anglicismo, ya que las traduc-
ciones posibles no proporcionan una idea clara de su significado; con todo, en la presente obra se usará con fines 
prácticos el término "sobreflujo". Se dice que existe overflow o sobreflujo cuando dentro de una localización de al-
macenamiento no cabe un número, debido a que éste es mayor que la capacidad de la mencionada localización 
de almacenamiento. 
UNDERFLOW: en el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear este anglicismo, ya que las tra-
ducciones posibles no proporcionan una ¡dea clara de su significado; con todo, en la presente obra se usará con fi-
nes prácticos el término "subflujo". Se dice que existe underflow o subflujo cuando dentro de una localización de 
almacenamiento no se puede representar un número positivo muy pequeño, debido a que éste es menor que la 
capacidad de la mencionada localización de almacenamiento. 
EJEMPLO 1.2 Suponga que el número .1492 es correcto en los cuatro decimales dados. En otras palabras, es 
una aproximación de un valor verdadero que se encuentra en el intervalo entre .14915 y .14925. Consecuente-
mente, el error es a lo sumo de cinco unidades en el quinto decimal, o la mitad de una unidad en el cuarto. En tal 
caso se dice que la aproximación tiene cuatro dígitos significativos. De modo similar, 14.92 tiene dos lugares deci-
males correctos y cuatro dígitos significativos siempre que su error no exceda .005. 
EJEMPLO 1.3 Se dice que el número .10664 se redondea hasta cuatro decimales cuando se escribe como 
.1066, en tanto que .10666 se redondearía a .1067. En ambos casos el error que se produce al aproximar no es 
mayor que .00005, suponiendo que las cifras dadas son correctas. El primero es un ejemplo de redondeo hacia 
abajo y el segundo, de redondeo hacia arriba. Un caso intermedio tal como .10665 suele redondearse hasta el dí-
gito par más cercano, para este número, .1066. Esto se hace para evitar la parcialidad excesiva entre los redon-
deos anteriores. 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 9 
EJEMPLO 1.4 Cuando 1.492 se multiplica por 1.066, el producto es 1.590472. Las computadoras trabajan de 
acuerdo con un "largo de palabra" establecido, cortando todos los números según ese largo. Suponiendo una má­
quina ficticia de cuatro dígitos, el producto anterior se redondearía a 1.690. Tales errores de redondeo son errores 
de algoritmo y se hacen inevitablemente por millones en la computación moderna. 
TEORÍA DE APOYO 
A pesar de que nuestra perspectiva del análisis numérico está orientada a las aplicaciones, estaremos inte­
resados en la teoría de apoyo, que se emplea tanto para descubrir algoritmos como para establecer su validez. A 
menudo, la teoría hacia la cual nos dejamos conducir tiene interés intrínseco, se trata de matemáticas atractivas. 
Tenemos, por consiguiente, el mejor de ambos mundos, pero no debemos olvidar que nuestro interés es más fun­
cional que estético. 
EJEMPLO 1.5 El cálculo de los valores de las funciones trigonométricas, exponenciales, así como de otras fun­
ciones no elementales depende claramente de la teoría de apoyo. Para obtener el coseno de x para valores pe­
queños de x, la serie clásica sigue siendo una buena elección. 
REPRESENTACIONES NUMÉRICAS 
Puesto que los objetivos fundamentales son numéricos, conviene hablar brevemente de la representación de 
los números. La entrada numérica será por lo general en forma decimal, ya que estamos más familiarizados con 
ella. Sin embargo, como casi todos saben, las computadoras encuentran por lo regular más conveniente las repre-
sentaciones binarias, al corresponder su 0 y su 1 con el apagado y encendido o con los estados alto y bajo de los 
componentes eléctricos. Para enteros positivos, la forma binaria es 
dn 2n+ dn-1 2n-1+ . . . + d121 + d020 
en tanto que para los números positivos menores que uno es 
con todos los dígitos binarios d1 ya sea 0 o 1. Tales representaciones son únicas. 
Las representaciones de punto flotante tienen una ventaja adicional. En esta forma, tres partes describen el 
número: un signo, una mantisa y un exponente (también con signo propio). Tomando los decimales como primer 
ejemplo, el número .1492 aparecería como 
cos x = 1 
x2 x4 xb 
2! 4! 6! 
Con x - .5 esto se convierte en 
cos .5 = 1 - . 125 + .0026041 - .0000217 + • • • 
= .877582 
resultado que tendrá más exactitud entre más términos tomemos de la serie. El límite de error en este ejemplo es­
tá garantizado por la teoría matemática de apoyo, que establece que para series como ésta el error no es mayor 
que el primer término omitido (véase el problema 1.9). Aquí el primer término omitido es x8/8!, que para x = . 5 as­
ciende a un poco menos que .0000001. 
d-12-1 + d - 2 2 - 2 + d-32-3+... 
10 MÉTODOS NUMÉRICOS 
+ .1492 10° 
siendo + el signo, .1492 la mantisa y 0 el exponente. También puede considerarse la alternativa +1.492 10-1, entre 
otras posibilidades, pero la práctica estándar exige que el primer dígito (diferente de cero) venga justo después del 
punto. El exponente entonces determina el orden de magnitud. Dichas representaciones se llaman normalizadas. 
De tal modo, 1492 se expresaría como +.1492 104. 
NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE 
Se llaman así, a diferencia de los números enteros, porque tienen decimales y en consecuencia tienen punto deci-
mal. 
Su representación es 
Ni = aibei para i = 1,2,... 
donde ai = coeficiente; b = base del sistema numérico; ei = exponente. Ejemplo: 245.3 = .2453(10)' 
OPERACIONES DE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE: 
NÚMEROS NORMALIZADOS: 
Se llama de esta manera a aquellos números de punto flotante que se expresan de la forma siguiente: 
Sea a una fracción F, tal que (1/b) \F | < 1, donde F es la mantisa. 
REPRESENTACIÓN INTERNA DE UN NÚMERO NORMALIZADO: 
Únicamente cuando las 
cantidades sean negativas, 
tanto en mantisa como en 
exponente, llevarán signo 
negativo. 
.0001627 
7392842.0 
-.034287654 
8279314836.25 
8279314835.0 
-32.461 
. 1 6 2 7 0 0 0 0 
. 7 3 9 2 8 4 2 0 
- . 3 4 2 8 7 6 5 4 
.82793148 
.82793148 
- . 3 2 4 6 1 0 0 0 
10-3 
10-7 
10-1 
1010 
1010 
102 
Celdas para la mantisa normalizada Celdas para elexponente 
EJEMPLOS DE NÚMEROS NORMALIZADOS A OCHO DÍGITOS SIGNIFICATIVOS: 
Punto decimal hipotético 
signo 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 11 
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS NORMALIZADOS DE PUNTO FLOTANTE: 
X = Fx -10ez => .1≤|Fx |<1 
Y = Fy -10ez => . l≤ |F y |<l 
.1 ≤ |Fz |< 1 
m - dígitos significativos 
SUMA Y RESTA: 
Z = X ± Y = [(Fx10ex) ± (Fx10ey)] 
Z = X ± Y = [Fx ± (Fy10ey-ez )] 10ex 
Sean ex > ey, de no ser así: X −> Y, Y −> X, F^y = Fy10ey-ex 
Recordemos que Fx10ex ± Fy 10ey10ex10ey 
a) Si |Fx ±Fy | < . 1 , Fy = 10m(Fx ± F^y), ez = ex-m 
b) Si .1 < |Fx ± F^y | < .1 ,F z = FX± F^y, ez = ex 
c) Si |Fx ± F^y | >1, Fz - {Fx ± F^y /10},ez =ex+ 1 
Si |f| < .5 => |Z| - |F |. 10ez => |Ex|=|f| .10ez-d 
ERRORES DE REDONDEO EN OPERACIONES ARITMÉTICAS DE PUNTO FLOTANTE: 
d = número de dígitos; Ez - error en el valor redondeado de z; f - dígitos que no caben en la palabra de memoria 
a) Si.l ≤ |Fx / Fy| < 1,Fz = | Fx / Fy,|, ez = ex-ey 
b) Si |Fx / Fy| > 1,Fz = | Fx / 10Fy,|,ez = ex-ey+l 
DIVISIÓN: 
a) Si |FxFy|< .1 => Fz = 10 FxFy, ez = ex + ey - 1 
6) Si .1 < |FxFy| < 1 => Fz = FxFy, e2 = ex + ey 
MULTIPLICACIÓN: 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
Si |f| ≥ .5 =>|Z| = |F | × 10ez + 10ez-d => |E2| = |1 - f| 10ez-d 
MULTIPLICACIÓN: 
DIVISIÓN: 
suponemos 
RESUMIENDO Y PONIENDO ERROR DE REDONDEO: 
FÓRMULAS DE ERROR RELATIVO: 
se ignora 
FÓRMULAS DE ERROR ABSOLUTO:x,y- reales; - aproximados 
ex + ey 
ex + ey 
SUMA: 
RESTA: 
SUMA: 
¿QUE SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 13 
RECOMENDACIONES PRÁCTICAS PARA LOGRAR MAYOR PRECISIÓN: 
1. Cuando se van a sumar y/o restar números, trabajar siempre con los números más pequeños primero. 
2. Evitar siempre que sea posible la resta de números aproximadamente iguales, reescribiendo la resta. 
3. Ejemplos: a(b - c) - ab - ac; (a - b)/c - a¡c — b l c (en caso de que a sea aproximadamente igual a b, 
efectuar primero la resta de b - c). 
4. Cuando sea posible que algún denominador se haga cero, preguntar en el programa, antes de efectuar 
la operación. 
5. Cuando se desea sumar y/o restar una gran cantidad de números, es conveniente asociarlos en n 
grupos de aproximadamente n elementos. 
6. Cuando no se aplica ninguna de las reglas anteriores, minimizar el número de operaciones aritméticas. 
EJEMPLO 1.6 Convierta el decimal 13.75 en una forma binaria de punto flotante. 
Existen métodos de conversión más formales, pero incluso sin ellos puede verse fácilmente que el binario 
equivalente de 13.75 es 1101.11, con 8 + 4 + 1 a la izquierda del punto y ½ + ¼ a la derecha. Ahora reescribimos 
esto como 
+.110111(+100) 
donde el +100 entre paréntesis sirve como exponente 4. Una conversión final es 
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 
en la que la aparición sólo de ceros y unos es atractiva para fines eléctricos, siempre y cuando se entiendan cier-
tas convenciones. El primer cero se interpreta como un signo más. (1 significaría menos.) Seis dígitos binarios o 
bits forman entonces la mantisa, asumiéndose un punto binario en su primer dígito. El cero que sigue es otro signo 
más, esta vez para el exponente, el cual concluye la representación. La forma final no se parece mucho a 13.75, 
pero es comprensible. En la práctica, tanto la mantisa como el exponente incluirían más dígitos y las formas del 
signo y el exponente variarán, pero las representaciones de punto flotante constituyen una herramienta básica de 
la computación moderna. 
NORMAS DE VECTORES Y MATRICES 
La longitud euclidiana de un vector, esto es, 
para el vector V con componentes v¡, se denomina también la norma de V y se le asigna el símbolo ||V ||. Tres 
propiedades básicas de esta norma son 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
La última se conoce como la desigualdad del triángulo. 
Varias funciones reales más tienen también estas propiedades y se llaman también normas. De interés parti-
cular son las normas Lp. 
para p > 1. Con p - 1, se trata de la norma L1, la suma de las magnitudes componentes. Con p = 2, se tiene la fa-
miliar longitud vectorial o norma euclidiana. Cuando p tiende al infinito, prevalece el vi dominante y tenemos la nor-
ma máxima 
En más de una ocasión, encontraremos usos para estas normas, en particular en el estudio del comportamiento 
del error de algoritmos. 
EJEMPLO 1.7 Empleando la norma L1, los vectores (1, 0) (½, ½) (0, 1), entre otros, tienen norma 1. En la figu-
ra 1.1a se presenta un esquema de tales vectores unitarios, partiendo todos del origen. Sus puntos terminales for-
man un cuadrado. La figura 1.16 muestra los vectores unitarios más familiares de la norma euclidiana. Utilizando 
la norma Lo», los vectores (1, 0) (1,1) (0,1), entre otros, tienen norma uno. Su gráfica se asemeja a la de la figu-
ra 1.1c, formando también un cuadrado los puntos terminales. 
b) c) 
Figura 1.1 
Al considerar matrices, definimos 
1. || V|| ≥ 0, y equivale a 0 si y sólo si V = 0 
2. ||cV|| = c • || V || para cualquier número c 
3. ||V + W|| ≤ ||V|| + ||W|| 
a) 
||A|| = máx ||AV|| 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 15 
y la segunda, la suma de renglón absoluta de A 
tomándose el máximo sobre todos los vectores unitarios V. El significado de unitario en este caso depende del ti-
po de norma vectorial que se esté usando. Tales normas de matriz tienen propiedades paralelas a las listadas an-
tes para vectores. 
1. || A || ≥ 0, y equivale a cero si y sólo si A = 0 
2. ||cA|| =c • ||A|| para cualquier número c 
3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| 
Además, para las matrices A y B y el vector V, las propiedades 
4. ||AV|| ≤ ||A||•||V|| 
5. ||AB|| ≤ ||A||•||B|| 
serán útiles. Las normas L1 y L∞ tienen la ventaja de ser fáciles de calcular, siendo la primera el máximo de la su-
ma de columna absoluta 
Muchas de estas características se demostrarán en los problemas resueltos. 
EJEMPLO 1.8 Encuentre las normas L1, L2 y L∞ de la matriz: 
Las sumas máximas absolutas de columnas y renglón se encuentran de inmediato, y rápidamente determi-
namos que 
L1 = L∞ = 2 
Desafortunadamente no hay una teoría de apoyo correspondiente que ayude a L2 y esta matriz en apariencia tan 
sencilla no da tal valor sin algunos problemas. Por definición, la norma L2 de A es la norma máxima L2 del vector 
para x2 + y2 = 1, esto es, para (x, y) en el círculo unitario de la figura 1.1b. El cuadrado de esta norma es 
(x + y)2 + x2 = 1 + 2xy + x2 = 1 + 2x 1 -x 2 + x2 
16 MÉTODOS NUMÉRICOS 
que puede maximizarse mediante cálculo elemental. La suposición de que y es positiva no es restrictiva aquí 
puesto que la norma toma el mismo valor para (x, y) y (-x, -y). A la larga se encuentra que ocurre un máximo para 
Problemas resueltos 
1.1 Calcule el valor del polinomio 
p(x) = 2x3 - 3x2 + 5x - 4 
para el argumento x - 3. 
Siguiendo el curso natural, encontramos x2 = 9, x3 = 27, y uniendo las partes 
p(3) = 54 - 27 + 15 - 4 = 38 
Al contar se descubre que se efectuaron cinco multiplicaciones, una suma y dos restas. 
Volviendo a acomodar el polinomio, ahora en la forma 
se realiza otra vez el procedimiento. De x = 3 tenemos en forma sucesiva 6, 3, 9, 14, 42 y 38. Esta vez sólo 
se hicieron tres multiplicaciones, en lugar de cinco. La reducción no es considerable, pero sí sugestiva. 
Para un polinomio general de grado n, el primer algoritmo requiere 2n - 1 multiplicaciones, y el segundo 
sólo n. En una operación más larga, que incluya muchas evaluaciones de polinomios, puede ser sig-
nificativo el ahorro de tiempo y de errores de algoritmo (redondeo). 
1.2 Defina el error de una aproximación. 
La definición tradicional es 
Valor verdadero = aproximación + error 
de modo que, para el ejemplo, √2 = 1.414214 + error 
π = 3.1415926536 + error 
1.3 ¿Cuál es el error relativo? 
Éste es el error medido relativo al valor verdadero. 
Error relativo = 
valor verdadero 
p(x) = [(2x-3)x + 5] x-4 
error 
y que 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 17 
En el caso común de que el valor verdadero se desconozca o sea difícil de manejar, la aproximación se 
sustituye por él y el resultado sigue llamándose, unpoco libremente, error relativo. De tal manera la 
aproximación familiar de 1.414 para √2 tiene un error relativo de alrededor de 
.0002 
1.414 
.00014 
en tanto que la aproximación menos exacta de 1.41 tiene un error relativo cercano a .003. 
Puesto que xi - E ≤ Xi ≤ xi + E 
sumando se deduce que ∑ x1 - nE ≤ ∑X1 ≤ ∑x1 + nE 
por lo que - nE ≤ ∑X1 - ∑x1 ≤ nE 
que es lo que se quería demostrar. 
1.5 Calcule la suma + ... + con todas las raíces evaluadas hasta dos lugares decimales. De 
acuerdo con el problema anterior, ¿cuál es el máximo error posible? 
Ya sea mediante unas cuantas líneas de programación bien elegidas o por medio de la anticuada 
consulta de tablas, las raíces en cuestión pueden encontrarse y sumarse. El resultado es 671.38. Como ca­
da raíz tiene un error máximo de E =.005, el error máximo posible en la suma es nE = 100(.005) = .5, lo 
que sugiere que la suma en la forma que se determina no puede ser correcta ni siquiera hasta un lugar de­
cimal. 
6 ¿Qué se entiende por el error probable de un resultado calculado? 
Ésta es una estimación de error tal que el error real excederá al estimado con una probabilidad de un 
medio. En otras palabras, es igualmente probable que el error real sea más grande o más pequeño que el 
estimado. Puesto que esto depende de la distribución del error, no es fácil de determinar, por lo que un sus­
tituto menos aproximado se utiliza a menudo, en donde E es el máximo error posible. 
7 ¿Cuál es el error real del resultado en el problema 1.5 y cómo se compara con los errores máximo y pro­
bable? 
Un nuevo cálculo, con raíces cuadradas determinadas hasta cinco lugares decimales, produce la su­
ma 671.46288. Esta vez el error máximo es 100(.000005) que corresponde a .0005, de modo que la suma 
es correcta hasta tres lugares como 671.463. El error real del primer resultado es consecuentemente cerca­
no a .08, comparado con el máximo .50 y el probable .05. Una de nuestras estimaciones fue demasiado pe­
simista y la otra ligeramente optimista. 
8 Suponga que se sumarán mil raíces cuadradas, en vez de sólo cien. Si se quiere una precisión de hasta 
tres lugares, ¿con qué exactitud deben calcularse las raíces individuales? 
Para tener una garantía sólida conviene suponer el caso más extremo en el que podría llegarse al 
máximo error posible. La fórmula nE del (gobierna 1.4 se convierte en 1000E, mostrando que pueden per­
derse tres lugares decimales en una suma de este largo. Puesto que se quiere un resultado con una exacti-
18 MÉTODOS NUMÉRICOS 
tud de hasta tres lugares, puede ser sensato tener seis lugares correctos en la entrada. La cuestión es que 
en cómputos muy largos hay tiempo para que errores muy pequeños hagan una contribución colectiva con-
siderable. 
1.9 Calcule la serie 
1 1 1 
2 3 4 
1 
corrija hasta tres dígitos. 
Esta serie ilustra un teorema de análisis frecuentemente utilizado. Puesto que entre sus términos se 
alterna el signo y éstos disminuyen de manera estable, las sumas parciales se alternan a ambos lados del 
límite (el valor de la serie). Esto implica que el error en cualquier punto será menor que el primer término 
omitido. Para lograr la exactitud especificada, necesitamos entonces 1 / n ≤ .0005 o n ≥ 2000. Tienen que su-
marse dos mil términos. Trabajando con ocho lugares decimales, los 2000 redondeos pueden acumularse 
nE = 2000(.000000005) = .00001 
que puede llegar a ser de poca consideración, lo que permite continuar el cómputo, redondear el resultado 
hasta tres lugares y obtener .693. 
Note que en este problema no tenemos error de entrada, sólo errores de algoritmo. Primero, única-
mente tomamos una suma parcial en lugar de la serie, y después hacemos numerosos errores de redondeo 
al tratar de evaluar dicha suma. El primero se llama error de truncamiento y parece ser el mayor en las dos 
fuentes de error en este problema. En resumen, 
Error real = error de truncamiento + error de redondeo 
= .0005 +.00001 
aproximadamente. De hecho, el valor de la serie es el logaritmo natural de 2, y hasta tres lugares corres-
ponden a nuestro valor de .693. 
1.10 Demuestre que si la serie 
a1- a2 + a3 - a4 + . . . 
es convergente, siendo todos los ai positivos, entonces 
es también convergente y representa el mismo número. 
Con An y Bn representando las sumas enésimas parciales de las dos series, es fácil ver que An - Bn = 
± ½ an. Como la primera serie es convergente, el límite de an es cero y concluye la demostración. 
1.11 Aplique el teorema del problema anterior para evaluar la serie del problema 1.9, también hasta tres de-
cimales. 
½ a1 +½ (a1 -a2) - ½ (a2 - a3) +½ (a3 -a4)+ . . . 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 19 
Ésta es nuevamente una serie alternante con términos monótonos, así que podemos recurrir al teorema del 
problema 1.9. Para una exactitud de tres dígitos necesitamos 
2n(n +1) 
≤ .0005 
o n ≥ 32. Se trata de muchos menos términos que los que se necesitaron antes y el redondeo será difícil-
mente un producto de una máquina de ocho dígitos. El nuevo algoritmo es mucho más rápido que el ante-
rior y maneja el mismo .693 con menor esfuerzo. 
1.12 Dado que los números .1492 y .1493 son correctos a medida que se avanza, esto es, los errores no son 
más grandes que cinco unidades en el quinto lugar, ilustre el desarrollo del error relativo considerando el 
cociente 1/(.1498 - .1402). 
Para los números dados, los errores relativos son aproximadamente iguales a 5/15 000, que es cer-
cano a 1.03%. En el caso de la suma, esto conduce también a un error relativo próximo al .03%, pero 
con la diferencia de .0006 encontramos un error de una parte en seis, lo cual es el 17%. Volviendo al co-
ciente requerido, puede ser conveniente considerar la posición pesimista. En la forma dada, se calcularía el 
cociente de 1667, hasta el entero más cercano. Pero es concebible que el que debe determinarse en lugar 
del anterior es 1/(.14985 - .14915), lo cual nos llevaría a 1429. En el otro extremo está 1/(.14975 -
.14925) = 2000. Este simple ejemplo aclara que un gran error relativo generado en alguna etapa anterior de 
un cálculo continuo puede conducir a errores absolutos más grandes en los pasos posteriores del procedi-
miento. 
1.13 ¿Qué se entiende por la condición de un problema numérico? 
Un problema está bien condicionado si cambios pequeños en la información de entrada ocasionan 
cambios pequeños en la salida. De otro modo se dice que está pobremente condicionado. Por ejemplo, el 
sistema 
x + y = 1 
l.l x + y=2 
presenta una dificultad obvia. Representa la intersección de líneas casi paralelas y tiene la solución x - 10 y 
y = - 9 . 
Cambiemos ahora el valor 1.1 a 1.05 y resolvamos otra vez. Esta vez x = 20 y y = -19. Un cambio de 
5% en un coeficiente ha provocado un cambio del 100% en la solución. 
1.14 ¿Qué es un algoritmo estable? 
En los cálculos prolongados es probable que se realicen muchos redondeos. Cada uno de ellos 
desempeña el papel de un error de entrada para el resto del cálculo y cada uno tiene un efecto sobre la 
consiguiente salida. Los algoritmos en que es limitado el efecto acumulativo de tales errores, de modo que 
se genera un resultado útil, se llaman algoritmos estables. Desafortunadamente, hay ocasiones en las 
que la acumulación es devastadora y la solución está colmada de errores. Es innecesario decir que esos al-
goritmos se denominan inestables. 
Con un poco de álgebra se encuentra que B = ½, y para n > 1. 
1 
20 MÉTODOS NUMÉRICOS 
1.15 Interprete el decimal de punto flotante +.1066*104. 
Es claro que el decimal corre el punto decimal cuatro lugares a la derecha para producir 1066. De ma-
nera similar, +.1066*10-2 corresponde a .001066. 
1.16 Interprete el símbolo binario de punto flotante +.10111010 * 24. 
El exponente corre el punto binario cuatro lugares a la derecha, resultando 1011.1010, equivalente al 
decimal 11 + ⅝ u 11.625. Similarmente, +.10111010 * 2-1 es .01011101. Éste es, desde luego, 1/32 veces el 
número dado originalmente. 
1.17 Interpreteel símbolo binario de punto flotante 0101110100100, considerando que la mantisa usa ocho 
lugares y el exponente tres, aparte de sus signos. 
Los ceros en las posiciones uno y diez deben tomarse como signos más. 
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 
signo mantisa signo exponente 
El punto binario se supone a la cabeza de la mantisa. Con estas consideraciones tenemos otra vez 
+.10111010* 24. De manera similar y con las mismas convenciones, +.10111010 * 2"1 se convierte en 
0101110101001, correspondiendo los últimos cuatro dígitos a un exponente d e - 1 . 
1.18 Sume estos números de punto flotante usando las convenciones del problema precedente 
0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 
De una u otra manera, los puntos binarios tendrán que "alinearse". La interpretación de los símbolos 
conduce a la siguiente suma: 
10.110111 
+ .000010001100 
= 10.111001001100 
En la forma utilizada para las entradas esto se vuelve 
0101110010010 
tomando nuevamente la mantisa ocho lugares y el exponente tres, aparte de los signos. Se produce un 
error de redondeo cuando los últimos seis dígitos binarios se eliminan para adecuarse a la capacidad de la 
máquina de cálculo. 
1.19 ¿Qué es un sobreflujo? 
Empleando otra vez las convenciones de nuestra máquina ficticia, el número más grande que puede 
expresarse es 0111111110111, siendo máximos tanto la mantisa como el exponente. Siete corrimientos del 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 21 
punto binario hacen que éste se transforme en el equivalente 1111111.1 que corresponde al decimal 127 + 
½, o 27 - 2-1. Cualquier número mayor que el anterior no puede representarse bajo las convenciones es-
tablecidas y se llama un sobreflujo. 
1.20 ¿Qué es un subflujo? 
El número más pequeño que puede representarse en la forma que se está usando, aparte del cero y 
de números negativos, es 0000000011111. Sin embargo, por diversas razones conviene insistir en que el 
primer dígito de una mantisa es un 1. Esto se conoce como la forma normalizada, y fija el exponente. Tam-
bién aquí debe hacerse una excepción para el número cero. Si se requiere la normalización, el número po-
sitivo más pequeño viene a ser 0100000001111. En decimales corresponde a 2-1 * 2-7 o 2-8. Cualquier nú-
mero positivo más pequeño que éste no puede representarse y se llama un subflujo. Cualquier sistema de 
punto flotante de representación de números tendrá tales limitaciones y se aplicarán los conceptos de so-
breflujo y subflujo. 
1.21 Imagine un sistema de punto flotante aún más simple, en el que las mantisas tienen sólo tres dígitos 
binarios y los exponentes son -1 ,0 o 1. ¿Cómo se distribuyen estos números en una línea real? 
Suponiendo normalización, estos números tienen la forma .1xx aparte del exponente. El conjunto 
completo, por tanto, se compone de tres subconjuntos de cuatro números cada uno, en la forma que sigue: 
.0100 
.100 
1.00 
.0101 
.101 
1.01 
.0110 
.110 
1.10 
.0111 
.111 
1.11 
(para exponente-1) 
(para exponente 0) 
(para exponente 1) 
Estos subconjuntos se grafican en la figura 1.2. Note el agolpamiento más denso de los números más 
pequeños, incrementándose la separación de 1/16 a ¼ conforme se pasa de un grupo a otro. Esto se debe, por 
supuesto, al hecho de que tenemos sólo tres dígitos significativos (la cabeza se fija en 1), brindando el ex-
ponente un aumento progresivo a medida que crece. Por ejemplo, aquí no está disponible 1.005. El conjun-
to no es tan denso en esta parte de su intervalo. Sería necesario un cuarto dígito significativo. Los sistemas 
de punto flotante reales tienen ese mismo rasgo, de un modo más complejo, y las ideas de dígitos sig-
nificativos y error relativo son importantes. 
1.22 Suponga un número x representado por un símbolo binario de punto flotante, redondeado hasta una man-
tisa de n bits. Suponga también normalización. ¿Cuáles son los límites de los errores absoluto y relativo 
causados por el redondeo? 
Figura 1.2 
exponente =0 sobreflujo 
exponente = 1 exponente = -1 
subflujo 
22 MÉTODOS NUMÉRICOS 
El redondeo provocará un error de cuando mucho una unidad en el lugar binario (n + 1) o de media 
unidad en el lugar n-ésimo. De tal modo 
Error absoluto ≤ 2-n-1 
en tanto que para el error relativo debemos tomar en cuenta el verdadero valor de x. La normalización signi-
fica una mantisa no menor que i y esto lleva al siguiente límite: 
y la segunda por 
½≤|m1 + m2 * 2 f-e| < 1 
Si ocurre el sobreflujo, se requerirá un corrimiento de un lugar a la derecha, y tenemos 
fl(x +y) = [(m1 + m2 * 2f-e) 2-1+ e ]* 2e+1 
donde є es el error de redondeo. Esto puede reescribirse 
con |E| ≤ 2є ≤ 2-n. 
Si no hay sobreflujo, entonces 
ñ(x +y) = [(mt + m2* 2f-n) + e] * 2e 
1 ≤ | ml + m2*2f-e|<2 
|Error relativo| < 2-n 
2-1 
2-n-1 
con En consecuencia, la operación de redondeo puede verse entonces como la sustitución de x 
por un valor perturbado x + xE, siendo la perturbación relativamente pequeña. 
1.23 Encuentre un limite para el error relativo que se produce por la suma de dos números de punto flotante. 
Sean los números con y como el más pequeño. De tal modo que m2 deba 
correrse e-f lugares a la derecha (alineamiento de los puntos binarios). Después se suman las mantisas, 
se normaliza el resultado y se redondea. Hay dos posibilidades. Ocurre sobreflujo a la izquierda del punto 
flotante (no sobreflujo en el sentido del problema 1.19) o no ocurre. La primera posibilidad está carac­
terizada por 
Es útil reescribir lo anterior dejando que fl(x) represente el símbolo de punto flotante para x. Por consiguien-
te 
Error relativo = = E 
X 
ff(x)-x 
f l(x)=x(l + E)=x+xE 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? ¡23 
con E limitado como antes. 
Un resultado correspondiente para la resta de punto flotante se encontrará en el problema 1.45. 
1.24 Encuentre un límite para el error relativo que se produce al multiplicar dos números de punto flotante. 
Sean también en este caso los dos números x - m1*20 y y = m2*2f. Entonces xy - m1m2*2e+f con ¼ ≤ 
|m1m2| < 1 debido a la normalización. Esto significa que para normalizar el producto habrá un corrimiento a 
la izquierda de cuando mucho un lugar. El redondeo producirá, en consecuencia, ya sea m1m2 + є o 2m1m2 + 
є, con |є| < 2-n-1. Esto puede resumirse como sigue: 
= xy(l + E) 
con |E| ≤ 2 |є| ≤ 2-n. 
Un resultado similar se bosqueja para la operación de la división en el problema 1.46. Esto quiere de-
cir que en la totalidad de las operaciones aritméticas, utilizando números de punto flotante, el error relativo 
que se introduce no excede de 1 en el lugar menos significativo de la mantisa. 
1.25 Estime el error generado al computar la suma 
utilizando operaciones de punto flotante. 
Consideramos las sumas parciales s1. Sea s1 - x1. Entonces 
s2 = fl(s1+ x2) = (s1+ x2)(1 + E2) 
con E1 acotado por 2-n como se muestra en el problema 1.23. Reescribiendo, 
s2 = x1(1 + E1)+x2(1 + E2) 
x1+x2+ . . . +xk 
Observe que si la suma verdadera ∑x¡ es pequeña comparada con las x¡, entonces el error relativo E puede 
ser grande. Éste es el efecto de cancelación causado por las sustracciones, observado antes en el proble-
ma 1.12. 
1.26 Ejemplo de un análisis de error progresivo. 
Suponga que se calculará el valor de A(B + C), utilizando las aproximaciones a, b y c cuyos errores 
son las cantidades e1, e2, e3. Entonces el valor verdadero es 
A(B + C) = (a + e1)(b + e2 + c + e3) = ab + ac + error 
donde Error = a(e2 + e3) + be1 + ce1 + e1e2 + e1e3 
Suponiendo la cota uniforme |e,| < e y que los productos de error pueden despreciarse, encontramos 
|Error| ≤ (2|a| + |b| + |c|)e 
Este tipo de procedimiento se conoce como análisis de error progresivo. En principio puede efectuarse con 
cualquier algoritmo. Sin embargo, el análisis suele ser tedioso si es que no abrumador. Además, las cotas 
24 MÉTODOS NUMÉRICOS 
Continuando 
s3 = fl(s2 + x3) = (s2 + x3)(1 + E2) 
= x1(l + E1)(1 + E2) + x2(1 + E1)(1 + E2) +x3(1 + E2) 
y finalmente 
sk = fl(sk-1+ xk) = (sk-1+ xk)(1+ Ek-1) 
= x1(1 + c1) + x2(1 + c2) + • • • + xk(1 + ck) 
donde, para i = 2 k. 
1 + c1 = (1 + Ei-1)(1 +Ei). . . (1 + Ek-1) 
y 1 + c, - 1 + c2. En vista de la cota uniforme sobre las E¡, tenemos ahora esta estimación para las 1 + c¡: 
(1 - 2-n)k-i+1 ≤ 1 + c1 ≤ (1 + 2-n)k-i+1 
Resumiendo 
donde donde 
(l + E) 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 25 
que resultan, con frecuencia son muy conservadoras, apropiadas si lo que se necesita es una idea del peor 
de los casos que podría ocurrir. En el presente ejemplo emerge un punto de menor interés. El valor de a pa-
rece ser dos veces más sensible que los valores de b y c. 
1.27 ¿Qué es el análisis de error regresivo? 
La idea importante detrás del análisis de error regresivo es tomar el resultado de un cálculo y tratar de 
determinar el intervalo de los datos de entrada que podría haberío producido. Es importante entender el ob-
jetivo. No hay intención de modificar los datos para acomodar la respuesta. Si se completa un análisis de 
error regresivo y se muestra que el resultado encontrado es consistente con los datos de entrada, dentro 
del intervalo del error observacional o de redondeo, entonces puede tenerse cierta confianza del resultado. 
Si esto no sucede, existe entonces una fuente principal de error en otra parte, presumiblemente dentro del 
propio algoritmo. 
1.28 Demuestre que el análisis de error en el problema 1.23 fue un análisis de error regresivo. 
El resultado obtenido fue 
con |E| ≤ 2-2, donde n es el número de lugares binarios en la mantisa. Reescribiendo esto como 
fl(x + y) =x(l + E) + y(l + E) 
y recordando el problema 1.22, vemos que la suma tal como se computó, esto es fl(x + y), es también la 
suma verdadera de los números que difieren de los x y y originales en no más que la cota del error de 
redondeo E. Esto es, la salida puede ser bien explicada por los datos de entrada dentro del limite de error 
reconocido. 
1.29 Demuestre que el análisis efectuado en el problema 1.24 fue de error regresivo. 
Encontramos 
fl(xy)=xy(1 + E) 
que podemos pensar como el producto de x por y(1 + E). Esto significa que el fl(xy) calculado es también el 
producto verdadero de números que difieren de los x y y originales en no más que el error de redondeo. 
Concuerda bien con los datos de entrada dentro de nuestro límite de error admitido. 
1.30 ¿Qué indica el análisis de error regresivo efectuado en el problema 1.25? 
Primero, la ecuación 
muestra que la suma de punto flotante de k números x, a xk es también la suma verdadera de k números 
que difieren de las x¡ por errores relativos de tamaño c¡. Desafortunadamente, las estimaciones obtenidas 
fl(x+y) = (x+y)(l + E) 
= x1,(1+ c1) + ••••••+ xk (1+ck) 
26 MÉTODOS NUMÉRICOS 
entonces en el problema 1.25 muestran también que estos errores pueden ser mucho más grandes que los 
simples redondeos. 
1.31 Pruebe la propiedad del triángulo de la longitud de un vector, la norma L2. probando primero la desigualdad 
de Cauchy-Schwarz. 
Una prueba interesante se inicia notando que es no negativa, por lo que la ecuación cua­
drática 
no puede tener raíces reales distintas. Esto requiere 
y al cancelar los 4 tenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 
La desigualdad del triángulo se deduce casi directamente, empleando un poco de álgebra. Escrita en 
forma de componentes, establece que 
Elevando al cuadrado, eliminando términos comunes, elevando otra vez al cuadrado y empleando la 
desigualdad de Cauchy-Schwarz llegamos al resultado deseado (véase el problema 1.50). 
1.32 Muestre que la norma vectorial tiende a máx cuando p tiende a infinito. 
Supongamos que vm es la componente absoluta más grande por lo que reescribimos la suma como 
Dentro deL paréntesis todos los términos excepto el primero se acercan a cero en el límite, de donde se 
concluye el resultado que se requería. 
1.33 Muestre que la definición ||A || - máx ||AV || para V unitario satisface las propiedades 1, 2 y 3 que se 
presentaron en la introducción. 
Esto se demuestra de manera más fácil a partir de las propiedades correspondientes de la norma 
vectorial asociada. Puesto que AV es un vector, ||AV || ≥ 0 y por ello ||A || ≥ 0. Si ||A || ≥ 0 e incluso si un 
elemento de A no fuera cero, entonces V podría elegirse para hacer una componente de A V positiva, que 
es una contradicción para máx ||A ||=- 0. Esto prueba la primera propiedad. 
A continuación encontramos 
||cA|| =máx ||cAV|| = máx |c| • ||AV|| = |c| • ||A|| 
que prueba la segunda. La tercera se maneja en forma similar. 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 27 
1.34 ¿Cuáles son las normas L1, L2 y L∞ de la matriz identidad? 
Todas son iguales a 1. Tenemos 
|| I || = máx||IV||=máx||V|| = l 
puesto que V es un vector unitario. 
1.35 ¿Cuáles son las normas L1, L2 y L∞ de la matriz 
Tenemos que 
AV = 
Suponga por sencillez que V1 y v2 son no negativas. Entonces para L1 sumamos y encontramos ||AV ||= 
2(v1 + v2) = 2, ya que v es un vector unitario en la norma L1. De tal modo ||A ||1 = 2. Para la norma L2 
debemos elevar al cuadrado y sumar las dos componentes, obteniendo 2(v22 + 2v1v2 + v22). En esta norma 
v12 +v22 = 1, lo que maximizará v1v2. El cálculo elemental produce entonces v1 = v2 = 1/√2 conduciendo 
rápidamente a || A ||2 = 2. Por último, ||AV ||∞ - v1 + v2, puesto que con esta norma buscamos la componente 
máxima. Pero de nuevo aquí el máximo es 2, debido a que con esta norma ningún v, puede exceder 1. Las 
normas L, y L∞. podrían haberse señalado de inmediato utilizando el resultado del siguiente problema o su 
asociado. 
1.36 Demostrar que 
Elíjase un vector V con todas las componentes de tamaño 1 y signos que correspondan con las a, 
de manera tal que ∑ |aη | sea máxima. Entonces ∑ aη,vj es un elemento de AV que iguala este valor máximo y 
evidentemente no puede excederse. Puesto que esta V tiene norma 1, la norma de A también toma este 
valor. El resultado similar para la norma L, se deja como el problema 1.52. 
1.37 Demuestre que ||AV || ≤ ||A || • ||V ||. 
Para un sector unitario U tenemos, por definición de IIA II, 
por lo que al elegir U = V / ||V || y aplicar la propiedad 2, 
1.38 Pruebe que ||AB ||≤ ||A || • | |B | | . 
28 MÉTODOS NUMÉRICOS 
Problemas suplementarios 
1.39 Calcule 1 /.982 usando la teoría de apoyo 
1.40 Los números son exactos hasta dos lugares cuando su error no excede .005. Las siguientes raíces 
cuadradas se toman de una tabla. Redondee cada una hasta dos lugares y anote el valor del redondeo. 
¿Cómo se comparan estos errores de redondeo con el máximo de .005? 
n 
hasta tres lugares 
hasta dos lugares 
redondeo aproximado 
11 
3.317 
3.32 
+ .003 
12 
3.464 
3.46 
-.004 
13 
3.606 
14 
3.742 
15 
3.873 
16 
4.000 
17 
4.123 
18 
4.243 
19 
4.359 
20 
4.472 
El error total de redondeo podría estar teóricamente en cualquier parte del intervalo de 10(-.005) a 10(.005). 
¿Realmente cuál es el total? ¿Cómo se compara con el "error probable" de √10 (.005)? 
1.41 Suponga que N números, todos correctos hasta un número de lugares dado, se van a sumar. ¿Aproximada-
mente hasta qué valor de N dejará probablemente de tener sentido el último dígito de la suma calculada? 
¿Los últimos dos dígitos? Use la fórmula del error probable. 
1.42 Una sucesión J0, J1,J2, . . . está definida por 
con J0 = .765198 y J1 = .440051 correctos hasta seis lugares. Calcule J2 , J7 y compare con los valores 
correctos que siguen. (Estos valores correctos se obtuvieron mediante un proceso por completo diferente. 
Véase el siguiente problema para explicación de errores.) 
n 
Jn correcto 
2 
.114903 
3 
.019563 
4 
.002477 
5 
.000250 
.6 
.000021 
7 
.000002 
= 1 + X + X2 + . . . 
1 
con x = .018. 1-x 
Volvemos a utilizar el resultado del problema 1.37: 
||AB|| = máx ||ABU|| ≤ máx ||A || •||BU || ≤ máx ||A || • ||B|| • ||U|| = ||A|| • ||B || 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 29 
exactamente. Calcule esto a partir de los valores dados de J0 y J1. Se obtendrá el mismo valor erróneo.Los 
coeficientes grandes multiplican los errores de redondeo en los valores dados de J0 y J1 y los resultados 
combinados contienen entonces un error grande. 
1.44 Hasta en seis lugares el número JB debe ser cero. ¿Qué es lo que en realidad produce la fórmula del 
problema 1.42? 
1.45Muestre que el error introducido por la resta de punto flotante está acotada por Sean 
como en el problema 1.23. Entonces y a menos que esto sea cero 
1.46 Mostrar que el error introducido durante una división de punto flotante está acotado por 2-n. Con las con­
venciones del problema 1.24, déjese que la mitad de la mantisa del numerador sea dividida por la mantisa 
del denominador (para evitar cocientes mayores que uno) y que se resten los exponentes. Esto produce 
1.43 Muestre que para la sucesión del problema anterior, 
Mostrar entonces que 
y finalmente 
La normalización de la nueva mantisa puede requerir hasta n - 1 corrimientos a la izquierda, determinán­
dose el número real s por medio de 
con Después de esto, sígase el resto del análisis efectuado para la operación de 
multiplicación con el fin de mostrar otra vez que el error relativo está acotado como se establece. 
y después establezca que 
como el del problema 1.25. Sea 
1.47 Analice el cálculo del producto interior 
30 MÉTODOS NUMÉRICOS 
para Esto hace a sk el producto interior requerido. A continuación encuentre relaciones y es­
timaciones similares a las que se encontraron en el problema anterior mencionado. 
1.48 Usando las convenciones del problema 1.17, interprete este símbolo de punto flotante: 0100110011010. 
(Este número se aproxima mucho a .1492 con una mantisa de sólo 8 bits.) 
1.49 Imitando el problema 1.21, imagine un sistema de punto flotante en el cual las mantisas normalizadas 
tienen 4 bits y los exponentes son - 1 , 0 y 1. Muestre que estos números forman tres grupos de ocho, de 
acuerdo con sus exponentes, cayendo un grupo en el intervalo de otro en el intervalo de a 1, y el ter­
cero entre 1 y 2. ¿Cuáles números positivos causarán sobreflujo? ¿Y subflujo? 
1.50 Complete la prueba iniciada en el problema 1.31. 
1.51 Termine el problema 1.33 demostrando que la norma de la suma de dos matrices no excede la suma de 
sus normas. 
1.52 Mediante la elección adecuada de un vector unitario (una componente 1, el resto 0) muestre que la norma 
Z.1 de una matriz A puede calcularse como el máximo de la suma de columna de elementos absolutos. 
Compare con la prueba relacionada en el problema 1.36. 
1.53 Demuestre que para A = las normas y son iguales. 
1.54 Demuestre que para A = la norma es 
1.55 Demuestre que para,4 = un vector V maximiza \\AV H2 puede encontrarse en la forma 
con eos en el caso en tanto que tan en otro caso. 
1.56 Se ha sugerido que el siguiente mensaje se transmita al espacio exterior como una señal de que en el 
planeta hay vida inteligente. La idea es que cualquier forma de vida inteligente en cualquier parte compren­
da con seguridad su contenido intelectual y con ello deduzca nuestra presencia inteligente aquí en la Tierra. 
¿Cuál es el significado del mensaje? 
11.001001000011111101110 
1.57 Si el vector V con componentes x, y se usa para representar el punto (x, y) de un plano, entonces los pun­
tos correspondientes a vectores unitarios en la norma forman el clásico círculo unitario. Como se 
muestra en la figura 1.1, en las normas y el "círculo" toma una forma cuadrada. En una ciudad de 
cuadras cuadradas, ¿cuál es la norma adecuada para un viaje en taxi? (Encuentre todas las intersecciones 
a una distancia dada de una intersección determinada.) En un tablero de ajedrez, ¿por qué es la norma 
apropiada para los movimientos del rey la norma L»? 
1.58 Codifique en PASCAL, FORTRAN o BASIC las siguientes fórmulas, recordando que se debe respetar la 
jerarquía de operaciones en el código (paréntesis, potencia, multiplicación/división y suma/resta; en todos 
los casos de izquierda a derecha). 
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 31 
1.59 Con los valores de con cinco dígitos significativos, calcule tan exacto como sea posible, 
utilizando los siguientes métodos: 
a) Evaluación directa 
b) Racionalizando el numerador 
c) Por el teorema del valor medio 
d) Desarrollo en series de Taylor alrededor del punto x - 50 
1.60 Haga un programa en BASIC o PASCAL para evaluar dando valores grandes de x, evalúe 
20 puntos. 
1.61 Haga un programa para evaluar iterativamente las expresiones siguientes: 
dando valores para 
1.62 Deduzca las fórmulas de error relativo para: a) suma; b) resta; c) multiplicación; d) división. 
1.63 Determine las fórmulas de error relativo de las siguientes operaciones: 
1.64 Realice la suma siguiente con números normalizados, asumiendo que la mantisa es de cuatro dígitos 
(recuerde que a medida que se van haciendo las sumas de una cifra con la siguiente, se va acarreando un 
error de redondeo). 
32 MÉTODOS NUMÉRICOS 
a) Sume las cifras de arriba hacia abajo. 
b) Sume las cifras de abajo hacia arriba. 
c) Asuma que están normalizados a 10 dígitos significativos. 
a) 
Datos 
.3767 * 10° 
.7658 * 10° 
.3564 * 101 
.7649 * 101 
.5686 * 102 
.1436* 102 
.2456 * 103 
.1563 * 103 
.9586 * 104 
.4396 * 104 
Sumas 
parciales 
.3767 * 10° 
.1143*10' 
.4707 * 101 
.1236* 102 
.6922 * 102 
.8358 * 102 
.3292 * 103 
.4855 * 103 
.1007 *105 
.1447 *105 
b) 
Datos 
.4396 * 104 
.9586 *104 
.1563 * 103 
.2456 * 103 
.1436 *102 
.5686 * 102 
.7649 * 101 
.3564 * 101 
.7658 * 10° 
.3767 * 10° 
Sumas 
parciales 
.4396 * 104 
.1398 *105 
.1414 * 105 
.1439 * 105 
.1440 *105 
.1446 *105 
.1447 *105 
.1447 *105 
.1447 *105 
.1447 * 105 
c) 
Datos 
.3767 * 10° 
.7658 * 10° 
.3564 * 101 
.7649 * 101 
.5686 * 102 
.1436 * 102 
.2456 * 103 
.1563 * 103 
.9586 * 104 
.4396 * 104 
Sumas parciales 
.3767000000 * 10° 
.1142500000* 101 
.4706500000 * 101 
.1235550000 * 102 
.6921550000 * 102 
.8357550000 * 102 
.3291755000 * 103 
.4854755000 * 103 
.1007114755 *105 
.1446747550 * 105 
Polinomios de 
colocación 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE 
El alumno deberá ser capaz de: 
1. Explicar con sus propias palabras por qué es útil aproximar una función a un polinomio (Introducción 
de los capítulos 1.12.21, 22, 23, 24). 
2. Explicar con sus propias palabras cuando menos cuatro de las desventajas e inconvenientes de 
aproximar mediante un polinomio una función (Introducción de los capítulos 2,12,21,22,23,24). 
3. Definir con sus propias palabras lo que es colocación polinomial (Introducción de los capítulos 2,12, 
21,22,23,24). 
4. Definir con sus propias palabras lo que son polinomios osculadores (Introducción de los capítulos 2, 
12,21,22,23,24). 
5. Definir con sus propias palabras lo que significa aproximación polinomial mediante mínimos cuadrados 
(Introducción, Capítulo 21). 
6. Definir con sus propias palabras lo que significa aproximación polinomial mediante minimax 
(Introducción, Capitulo 22). 
7. Describir con sus propias palabras cuando menos cuatro de las diferencias en el significado de 
colocación, osculación, mínimos cuadrados y minimax (Introducción de los capítulos 2,10,12,21, 
22). 
8. Describir con sus propias palabras cuando menos cuatro de las semejanzas en el significado de 
colocación, osculación, mínimos cuadrados y minimax (Introducción de los capítulos 2,10,12, 21, 
22). 
9. Demostrar que si se aproxima una función mediante un polinomio de colocación en ciertos puntos, 
éste es único (Introducción, Problemas 2.6,2.7,2.19, 2.20). 
10. Demostrar que un polinomio de grado n tiene cuando mucho n ceros (Introducción, Problema 2.5). 
11. Aplicar el algoritmo de división a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.1, 2.3). 
12. Aplicar el teorema del residuo a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.2, 2.3). 
13. Aplicar el teorema del factor a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.1 a 2.4). 
14. Explicar con sus propias palabras la división sintética o método de Horner (Introducción, Problemas2.3.2.11,2.12). 
15. Aplicar el algoritmo de división sintética a un polinomio dado (Problemas 2.3, 2.11, 2.12). 
16. Aplicar el algoritmo de división sintética a un polinomio dado, para obtener la primera derivada 
evaluada en un punto dado (Problemas 2.3,2.11,2.12, Capítulo 25). 
17. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación; posteriormente 
comparar el resultado con la función real (Problemas 2.7, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15). 
2 
34 MÉTODOS NUMÉRICOS 
18. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación; después obtener la 
diferencia entre la aproximación y la función real (Problemas 2.7, 2.9, 2.15, 2.20, 2.21). 
19. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación y derivar el polinomio 
hasta la segunda derivada; posteriormente comparar los resultados con la función real y sus 
derivadas (Problemas 2.16, 2.17). 
20. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación e integrarla; 
posteriormente comparar los resultados con la función real y su integral (Problema 2.19). 
21. Estimar la precisión de los polinomios de colocación (Problemas 2.9,2.15). 
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 
Los polinomios de colocación garantizan que el valor de la función y el del polinomio de aproximación son igua-
les en determinados puntos; sin embargo no garantizan nada con referencia a la primera derivada o a deriva-
das de órdenes superiores. Asimismo, es interesante empezar a observar y a comparar qué ocurre cuando 
integramos una función obtenida mediante polinomios de colocación, de la cual sí conocemos su forma real. 
Estos polinomios se podrán emplear cuando no necesitemos obtener datos de ninguna derivada y ge­
neralmente se utilizan aproximaciones cuando la función original es difícil de evaluar o bien de ser utilizados 
en alguna aplicación. 
Otro de los casos de utilización es cuando sólo nos interesan ciertos puntos de la función original y ésta 
no es sencilla de evaluar; también cuando no conocemos una función original y sólo contamos con una mues-
tra de los puntos reales. 
Este capítulo es introductorio y está muy orientado hacia la comprensión y el dominio de la mecanización, 
ya que el concepto se empleará más adelante. 
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS 
Colocación polinomial 2 
Manejo de funciones continuas 
Polinomios osculadores 10 
El polinomio de Taylor 11 
Diferenciación numérica 13 
Integración numérica 14 
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21 
Aproximación polinomial por minimax 22 
Aproximación polinomial por funciones racionales 23 
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24 
Manejo de funciones discretas 
Diferencias divididas 3 
Polinomios factoriales 4 
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 35 
Sumas 5 
Sumas y seríes 17 
El polinomio de Newton 6 
Aproximación polinomial mediante interpolación 
Operadores y polinomios de colocación 7 
Puntos no equiespaciados 8 
Interpolación por segmentos (spllnes) 9 
Interpolación 12 
Operación de polinomios 
Diferenciación numérica 13 
Integración numérica 14 
Integración gaussiana 15 
Integrales simples con puntos de singularidad 16 
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21 
Aproximación polinomial por minimax 22 
Aproximación polinomial por funciones racionales 23 
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24 
Manejo de ecuaciones 
Ecuaciones en diferencias 18 
Ecuaciones diferenciales 19 
Sistemas de ecuaciones diferenciales 20 
Álgebra no lineal y optimización 
Raíces de ecuaciones 25 
Ceros de polinomios 25 
36 MÉTODOS NUMÉRICOS 
APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS 
La aproximación por polinomios es una de las ideas más antiguas en el análisis numérico y sigue siendo una de 
las más utilizadas. Un polinomio p(x) se usa como un sustituto para la función y(x), por un sinnúmero de razones. 
Quizá la más importante de todas sea que los polinomios son fáciles de calcular al incluir solamente potencias 
simples de enteros. Sus derivadas e integrales se encuentran también sin mucho esfuerzo y son también polino­
mios. Las raíces de ecuaciones de polinomios se descubren con menores dificultades que en el caso de otras fun­
ciones. No es difícil entender el porqué de la popularidad de los polinomios como sustitutos. 
La diferencia y(x) - p(x) es el error de la aproximación, y la idea central es, desde luego, mantener este error razo­
nablemente pequeño. La simplicidad de los polinomios permite que esta meta se alcance de diversas maneras, de 
las cuales consideraremos 
El polinomio de colocación es el objetivo de éste y los siguientes capítulos. Coincide (se coloca) con y(x) y en cier­
tos puntos especificados. Varias propiedades de tales polinomios, y de los polinomios en general, desempeñan un 
papel en el desarrollo. 
1. El teorema de existencia y unicidad establece que existe exactamente un polinomio de colocación de 
grado n para argumentos . . . , es decir, tal que y(x) - p(x) para estos argumentos. La existencia se 
probará exhibiendo realmente un polinomio de tales características en los capítulos siguientes. La unici­
dad se prueba en el presente capítulo y es una consecuencia de ciertas propiedades elementales de los 
polinomios. 
2. El algoritmo de la división. Todo polinomio p(x) puede expresarse como 
donde r es cualquier número, g(x) es un polinomio de grado n - 1, y R es una constante. Esto tiene dos 
corolarios inmediatos. 
3. El teorema del residuo establece que p(r) - R 
4. El teorema del factor establece que si p(r) - 0, entonces x - r es un factor de p(x). 
5. La limitación en ceros. Un polinomio de grado n puede tener a lo más n ceros, lo que equivale a que la 
ecuación p(x) - 0 puede tener a lo más n raíces. El teorema de unicidad es una consecuencia inmediata, 
como se demostrará. 
6. La división sintética es un procedimiento (o algoritmo) económico para producir q(x) y R del algoritmo de 
la división. A menudo se emplea para obtener R, que por el teorema del residuo es igual a Este cami­
no hacia p(r) puede ser preferible en vez de la computación directa de este valor del polinomio. 
1. colocación 2. osculación 3. mínimos cuadrados 4. minimax 
CRITERIO DE APROXIMACIÓN 
EL POLINOMIO DE COLOCACIÓN 
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 37 
7. El producto desempeña un papel central en la teoría de la colocación. 
Note que se hace cero en los argumentos que corresponden a nuestros argumentos de co­
locación. Se mostrará que el error del polinomio de colocación es 
donde depende de x y se encuentra entre los puntos extremos de colocación, siempre y cuando la pro­
pia x lo esté. Note que esta fórmula se reduce a cero en de manera que p(x) corresponde a 
y(x) en esos argumentos. En otra parte consideraremos p(x) como una aproximación a y(x). 
2.1 Demuestre que cualquier polinomio p(x) puede expresarse como 
donde r es cualquier número, q(x) es un polinomio de grado n -1 y R es una constante. 
Éste es un ejemplo del algoritmo déla división. Sea p(x) de grado n. 
Problemas resueltos 
Entonces 
será de grado n - 1 o menor. De manera similar. 
será de grado n - 2 o menor. Continuando de esta forma, llegaremos finalmente al polinomio de grado 
cero, una constante. Renombrando como R esta constante, tenemos 
2.2 Demuestre que Éste se llama el teorema del residuo. 
Sea en el problema 2.1. Inmediatamente, 
2.3 efectuando la división descrita en el problema 2.1, usando r - 2 y 
y(x)-p(x) = 
38 MÉTODOS NUMÉRICOS 
La división sintética es meramente una versión abreviada de las mismas operaciones descritas en el 
problema 2.1. Sólo aparecen los coeficientes diferentes. Para los p(x) y r anteriores, el arreglo inicial es 
"Multiplicamos" tres veces por r y "sumamos" para completar el arreglo. 
1 - 3 5 7 
2 - 2 6 
1 - 1 3 13 
Por tanto, Esto puede verificarse calculando (x - r)q(x) + R, que será p(x). 
Resulta también útil determinar q(x) por el método de la "división larga", empezando a partir de este arreglo 
familiar: 
Comparando el cálculo